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Proposition d’une méthode exacte pour l’optimisation des coûts d’une chaîne logistique élémentaire
S.E. Merzouk, O. Grunder & M. Elbagdouri
Laboratoire Systèmes et Transports (SeT)Université de Technologie de Belfort-Montbéliard
90010 Belfort FranceMèl. [email protected]
Journée Bermudes 2
Plan de la présentation.
Introduction
Système étudié
Modèle mathématique et propriétés
Procédure d’optimisation exacte
Résultats expérimentaux
Conclusion et perspectives
Journée Bermudes 3
1. Introduction
Réduction des coûts et délais
Optimisation Optimisation d’une chaîne d’une chaîne logistiquelogistique
Gain pour l’ensemble de
la chaîne
Chaîne logistiqueChaîne logistique
Journée Bermudes 4
Economic Lot and Delivery Scheduling Problem (ELDSP) [Hahm J et al, 1992]
Un seul type de produit fabriqué en lots sur une seule machine chez un
fournisseur et livrés au client par un seul transporteur.
Objectif : Minimiser le coût moyen par unité de temps de la production, du
stockage et de transport.
L’intervalle de production doit être un multiple de l’intervalle de livraison
Modèle continu qui suppose que la production et la livraison des produits se
font périodiquement.
Minimiser les coûtsMinimiser les coûts
Journée Bermudes 5
Single Item Lot-Sizing Problem (SILSP) [Wolsey1994]
Problème de planification dans lequel la demande varie en
fonction du temps sur un horizon T.
Objectif : déterminer les périodes de production et les
quantités à produire pour minimiser le coût global.
La complexité dépend du système étudié.
Beaucoup de variantes : mono produit / multi produits ; avec
ou sans capacité ; …
Journée Bermudes 6
Capacited Single Item Lot-Sizing Problem (CSILSP) [Bitran et al, 1982]
Contrainte : le nombre de produits réalisables pendant une période
est limité par une capacité donnée.
Notation : (coût de réglage, de stockage, de
production et capacité)
Valeurs possibles pour : G, C, ND, NI et Z (Général,
Constant, Non-Decreasing, Non-Increasing et Zero).
Complexité du problème : NP-difficile en général
///
///
Journée Bermudes 7
Discrete Lot-Sizing Problem (DLSP) [Manne 1958]
L’horizon de planification T est discrétisé en périodes
Contrainte : on ne peut produire qu’au plus un produit par période.
Objectif : déterminer la séquence et la taille des lots de différents
types de produits
Complexité du problème : NP-difficile.
Journée Bermudes 8
2. Système étudié
•Capacité limitée du transporteur.
•Aucun retard n ’est permis.
•Temps fixe pour faire un aller retour entre le client et le fournisseur
•Temps fixe pour charger ou décharger un produit.
Contraintes : Contraintes :
Système (un maillon logistique) : Système (un maillon logistique) : •Client : demande des produits à des dates au plus tard.
•Fournisseur : ordonnance des lots pour satisfaire cette demande.
•Transporteur : effectue les livraisons du fournisseur au client.
Journée Bermudes 9
Minimiser le coût global :Minimiser le coût global :
•Coût de stockage chez le client
•Coût de stockage chez le fournisseur
•Coût de transport
Objectif
Variables de sortie du système : Variables de sortie du système :
Nombre de voyages à effectuer.Nombre de produits à transporter dans chaque voyage.Les dates d’arrivée et de départ du transporteur.
Journée Bermudes 10
3. Modèle mathématique
n
iiiF wxC
1
Coût de stockage fournisseur :Coût de stockage fournisseur :
• wi, xi, yri, ydi les dates de fin de production, de chargement (chez le fournisseur), d’arrivée et désirée (par le client) pour le produit numéro i.
• le coût de stockage par unité de temps chez le fournisseur et le client.
• le coût de transport d’un lot de produits
• n le nombre de produits exigés par le client.
,
vCT .Coût de transport :Coût de transport :
n
iiiC yrydC
1
Coût de stockage client :Coût de stockage client :
Journée Bermudes 11
Formulation du problème d’optimisation général
cijtcijxxji
tdyri,yr
ttxx
tcxxi,
tpwi,w
ydi,yr
yrydvwxz
ij
ii
ii
ii
ii
ii
n
iii
n
iii
).(/, )5(
)4(
différents schargementdeux pour .2
ou chargement mêmeun pour )3(
)2(
)1(
.min
1
1
1
1
11
• tp : temps de production d’un produit
• tc : temps de chargement d’un produit
• td : temps de déchargement d’un produit
• tt : temps pour faire un aller (ou retour) entre le fournisseur et le client (tt>tc)
• c : capacité du transporteur
Journée Bermudes 12
Une séquence de chargement Une séquence de chargement Une suite qui vérifie :
•Aucun terme n’est nul.
•La valeur maximale que peut prendre un terme de la suite est c.
•La somme de tous les termes est égale à n.
•Le nombre de termes de la suite est
Kpp 1
Une séquence de chargement partielle : Une séquence de chargement partielle : Une séquence de chargement
pour n’ < n
Définitions
'1
'
kpp
'
1
'n
iii yrydA
L’avance d’une séquence partielle (coût de stockage client) L’avance d’une séquence partielle (coût de stockage client)
K
Journée Bermudes 13
Considérations
Deux problèmes d’optimisation imbriqués :
Optimisation sur les séquences de chargement
Pour une séquence donnée, optimisation des dates de départ du
transporteur.
Dans le cas d’un seul maillon => la politique du juste à temps
permet d’obtenir pour une séquence donnée, les dates de
départ optimales (faux pour plusieurs maillons)
Hypothèse : le coût du fournisseur est négligeable par rapport
aux autres coûts.
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Expression des dates de départ et d’arrivée des produits
Pour déterminer le coût d’une séquence partielle, il faut
calculer pour chaque produit :
sa date de fin de production,
sa date de chargement,
sa date de déchargement.
Utilisation de l’algèbre max-plus pour déterminer les
dates au plus tard d’arrivée des produits [Elmahi,2002]
Journée Bermudes 15
Exemple de calcul de dates FOURNISSEUR
Dates de départ
Dates d’arrivée
Dates dues
CLIENT
Séquence : 2-3
t
5 produits à livrer
1011
13
16
212223
21
23
27
Avance = (13-10)+(16-11)+… =13
Journée Bermudes 16
Expression des dates d’arrivée des produits du dernier lot
Date d’arrivée du 1er produit du dernier lot pour une séquence Date d’arrivée du 1er produit du dernier lot pour une séquence
tdiydyr ini
n K
K
K
min1
1
tdiyryriKK ninK 1,
Date d’arrivée des autres produits du dernier lot :Date d’arrivée des autres produits du dernier lot :
Notations:
ydi : date due du produit i
yri : date d’arrivée du produit i
td : temps de déchargement d’un produit du transporteur
Kpp 1
Journée Bermudes 17
Expression des dates d’arrivée des produits d’un autre lot
Kpp 1Date d’arrivée du 1er produit du lot k pour une séquence Date d’arrivée du 1er produit du lot k pour une séquence
tdiyryriKK ninK 1,
Date d’arrivée des autres produits du dernier lot :Date d’arrivée des autres produits du dernier lot :
Notations:
tc : temps de chargement d’un produit dans le transporteur
tt : Temps d’un voyage entre le client et le fournisseur
tcttyrdtiydyr kiii
ii k
k
..2,min min111
1
0
K
kjjni 11Indice du 1er produit du lot k : Indice du 1er produit du lot k :
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Définitions
On définit l’ensemble des solutions Un,c
On définit l’ensemble des séquences complètes construites à partir de
On note la séquence appartenant à dont le coût est le plus
faible.
iKiKcn KiINiU
,,/ *,
*
zz *,
Journée Bermudes 19
Exemple
2311
3,10
cn
600
350
220
450
)4(
)3(
)2(
)1(
2311111
231112
231121
23113
231121*
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Proposition
Soient deux séquences partielles et pour le même nombre de produits.
Si :
Alors domine :
Kpp 1
Kpp 1
KK
tcyrtcyr
AA
.. 11,11,
**
PropositionProposition
Journée Bermudes 21
Procédure d’optimisation exacte
Programmation dynamiqueProgrammation dynamique
Méthode de résolution exacte.
Trouver la solution optimale en se basant sur des sous – solutions du problème.
Réduire l’espace de recherche
Gain en temps de calcul.
Étapes de la procédure : Établir une propriété récursive qui donne la solution optimale à une instance du problème.
Construire une table qui contiendra les solutions optimales aux sous – problèmes intermédiaires.
Construction ascendante de la solution optimale => problèmes simples vers problèmes complexes.
Journée Bermudes 22
Arborescence des solutions
Présentation sous forme d’arborescence : chaque nœuds correspond à un lot de produits transporté.
Le premier niveau correspond au derniers lots.
On associe les coûts des séquences partielles à chaque nœud.
Journée Bermudes 23
Dénombrement des solutions
On note Un,c l’ensemble des solutions pour n produits et une capacité c.
Proposition : Nombre de solutions pour n produits et capacité n : |Un,n| = 2n-1
Proposition : |Un,n| = |Un,n-1| + 1
Proposition :|Up+c,c| = |Up,c| + |Up+1,c| + |Up+2,c| + … + |Up+c-1,c|
C=2 : |Up+2,2| = |Up,2| + |Up+1,2| (suite de fibonacci)
C=3 : |Up+3,3| = |Up,3| + |Up+1,3| + |Up+2,3| (suite de fibonacci généralisée)
Journée Bermudes 24
Construction du tableau des sous – solutions.
n’ Solutions dominantes
1 1
2 1-1 , 2
…
k-c+1
…
k-1
k
k+1
…
n Solution optimale
Proposition
Avance
Date d’arrivée du premier produit
Nombre de voyages
. . .
. . .
+1
+2
+c
0 0
. . .
Journée Bermudes 25
Coupe classique
La proposition est efficace dans le cas où le coût de stockage chez le client est équivalent ou prépondérant à celui du transporteur.
Construire une bonne solution de départ.
À chaque niveau du tableau, prendre la solution dont le coût est le plus faible
Si le coût d’une solution partielle est supérieur au coût de la solution trouvée, elle sera éliminée du tableau.
Réduction de l’espace de recherche
Journée Bermudes 26
Solution de départ
n’ Solutions dominantes
. . .
. . .
+1
+2
+c
0 0
1
2
…
k-c+1
…
k-1
k
k+1
n Solution optimale
. . . . . .
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5. Résultats expérimentaux
n Minimum Moyenne Maximum
100 15.0 29.1 78.0
200 15.0 47.5 234.0
300 15.0 81.56 1094.0
400 15.0 254.08 1703.0
500 16.0 829.04 3719.0
600 31.0 1566.58 8610.0
700 171.0 3664.77 10109.0
800 47.0 6822.16 31172.0
900 109.0 12731.54 82265.0
1000 125.0 14929.24 66219.0
1100 187.0 15610.64 87500.0
1200 206.0 26476.06 131391.0
•50 exécutions pour chaque n
•Pentium 4 à 2,66 Ghz
•512 Mo de Ram
•Unité de temps = ms
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6. Conclusion
• Ordonnancer les livraisons de produits entre deux sites d’une chaîne logistique.
• Optimiser le coût global de transport et de stockage
• Des résultats mathématiques intéressants ont contribué largement à la procédure d’optimisation exacte.
• Une procédure performante même pour des problèmes de taille importante
Objectifs :Objectifs :
Résultats :Résultats :
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7. Perspectives
• Améliorer la procédure d’optimisation en envisageant un traitement particulier aux cas extrêmes qui la ralentissent.
• Généralisation du modèle à :
plusieurs transporteurs
plusieurs types de produits
Une chaîne logistique entière.