PROPORCIONET DHE PRQINDJA

Detyra 1. N hambar ka 100 grur dhe thekr, 10% sht thekr. Sa grur duhet shtuar q

prmbajtja e thekrs t jet 5%?

Zgjidhje: S pari le t shenojm me grurin ndrsa me thekrn. N baz t t dhnave kemi:

+ = 100 (1)

10%( + ) =

1

10 ( + ) =

+ = 10

= 9 (2)

Tani shprehjen pr nga (2) e zvendsojm n (1) dhe kemi:

9 + = 100

10 = 100

= 10 (3)

Si shihet n relacionin (3) n hambar kemi 10 thekr. N baz t ksaj nga relacioni (1) kemi:

+ 10 = 100

= 90 (4)

Si shihet n relacionin (4) n hambar kemi 90 grur.

Tani le t shnojm me sasin e grurit t ciln duhet shtuar n hambar n mnyr q sasia e thekrs

t bie n 5%. Kshtu n baz t ksaj kemi:

5%( + + ) =

5

100 (100 + ) = 10

1

20 (100 + ) = 10

100 + = 200

= 100.Si shihet, sasia e grurit e cila duhet t shtohet n hambar duhet t jet = 100.

Detyra 2. Nj en sht e mbushur me 80 lng. 60% e lngut sht uj ndrsa 40% sht vaj. Edhe

sa litra vaj duhet mbushur enn n mnyr q sasia e ujit n en t jet e barabart me sasin e vajit?

Zgjidhje: Le t shenojm me (= 80) lngun i cili gjendet n en, me shnojm sasin e ujit n

lng, ndrsa me shnojm sasin e vajit n lng. N baz t t dhnave t detyrs kemi:

= + (1)

Le t jet sasia e vajit q krkohet t shtohet n en. Ather nga (1) kemi:

+ = + + (2)

Tani sasia e vajit n lng sht + prandaj nga (2) kemi:

+ = + ( + ) (3)

Si dihet tani n lng sasia e ujit dhe e vajit jan t barabarta, pra kemi:

= + (4)

N baz t relacionit (4) nga relacioni (3) kemi:

+ = +

+ = 2 (5)

Dim se:

= 60% =6

10 =

3

5 (6)

Shprehjen pr nga (6) e zvendsojm n relacionin (5) dhe kemi:

+ = 2 3

5

5 + 5 = 6

5 =

=

5

=80

5

= 16.

Pra sasia e vajit q duhet shtuar n en sht 16.

Detyra 3. Nga sa litra t tretsirave q prmbajn 60% dhe 30% hidrogjen prkatsisht, duhet t

przihen n mnyr q t fitohen 30 litra t tretsirs q prmban 40% hidrogjen?

Zgjidhje: Le t jen:

tretsira me 60% hidrogjen,

tretsira me 30% hidrogjen.

Ather n aspektin sasior kemi:

+ = 30 ( )

Nga ana tjetr, n baz t t dhnave kemi:

60% + 30% = 40%30

Pra kemi sistemin e ekuacioneve:

+ = 3 + = 30

60% + 30% = 40%30 60

100 +

30

100 =

40

100 30

+ = 30 + = 30

3

5 +

3

10 = 12 6 + 3 = 30 ()

Zgjidhja e sistemit t ekuacineve n () sht = 10 dhe = 20. Pra nevojiten 10 tretsir

me 60% hidrogjen dhe 20 tretsir me 30% hidrogjen q t fitohen 30 tretsir q

prmban 40% hidrogjen.

Detyra 4. Uji i detit prmban 10% krip. Sa litra uj t pastr duhet przier me 80 litra uj t detit n

mnyr q t fitohet przierja me 2% krip?

Zgjidhje: Le t jen:

uji i detit, kripa dhe uji i pastr. Si shihet kemi:

10% =

1

10 80 =

prej nga kemi:

= 8 (1)

Nga na tjetr, n baz t t dhnave kemi:

2%(80 + ) =

gj q duke u bazuar n (1) kemi:

1

50 (80 + ) = 8

80 + = 400

= 400 80

= 320

Pra nevojiten 320 uj t pastr n mnyr q t fitohet przierja me 2% krip.

Detyra 5. Supozojm se kemi nj en me uj t kriposur. Sasia e przierjes sht 8 litra. Asaj ene i

shtojm 12 litra uj t pastr (pa krip) dhe i fitojm 20 litra przierje (uj me krip). Nse prqindja

e krips n przierjen prej 20 litrash sht 5%, sa ka qen prqindja e krips n enn fillestare?

ZGJIDHJE:

-MNYRA E PAR: N baz t t dhnave le t jet:

= 8 sasia e ujit t kriposur,

= 12 sasia e ujit t pastr,

= + = + = 20 sasia e ujit t fituar (tani i kriposur me prqindje m t vogl t krips)

me przierjen e dhe ,

kripa.

Do t kemi:

5% =

5%20 =

5

100 20 =

= 1 (1)

Si shihet n (1), sasia e krips n przierjen sht = 1 (nuk kemi marrur njsin matse litr

apo kilogram). Kjo sasi e krips ka qen pjes prbrse e ujit t kriposur n prqindjen e krkuar ,

pra duke u bazuar n (1) kemi:

% =

1

100 8 = 1

=100

8

= 12.5.

Pra prqindja e krips n enn fillestare ka qen = 12.5%.

-MNYRA E DYT: N baz t t dhnave ndrtojm raportin nga tabela sqaruese. S pari duke

shfrytzuar simbolikn nga mnyra e par le t shnojm me sasin e prqindjes s krips n enn e

par . Nga ana tjetr dim se sasia e krips n sht 5%. Tani kemi tabeln:

8

20 5

sht e qart se me rritjen e sasis s ujit t pastr, sasia (prqindja) e krips do t zvoglohet, pra n

tabeln e siprme kemi prshkruar madhsit t cilat jan n prpjestim t zhdrejt. Rrjedhimisht

kemi:

5=

20

8

8 = 100

= 12.5.

Pra prqindja e krips n enn fillestare ka qen = 12.5%.

Detyra 6. Nse n fillim temperature e ujit ka qen 65 dhe ajo bie do 30 minuta nga 2%, ather

sa do t jet ajo pas 6 orsh?

ZGJIDHJE:

-MNYRA E PAR: (Detyrn do ta zgjidhim n trajt t prgjithshme e mandej do t zvendsojm t

dhnat numerike):

Le t jet 0 temperatura fillestare. Pr 6 or kjo temperatur do t zvoglohet (do 30 minuta nga

%) 12 her. Kshtu do t fitojm vargun e temperaturave t zbritura n mnyr t vazhdueshme:

1, 2, 3, . . . , 11, 12.

N baz t t dhnave kemi:

1 = 0 %0 = 0 (1

100)

2 = 1 %1 = 1 (1

100) = 0 (1

100)

2

3 = 2 %2 = 2 (1

100) = 0 (1

100)

3

.

.

.

= 1 %1 = 1 (1

100) = 0 (1

100)

N rastin ton kemi = 12, = 2 dhe 0 = 65 prandaj nga formula e fundit kemi:

12 = 65 (1 2

100)

12

=. . . = 51.00658704

Pra temperatura pas zbritjes s vazhdueshme do t jet 51.00658704.

-MNYRA E DYT: Si shihet, n kt rast kemi t bjm me progresion gjeometrik me rast 0 paraqet

termin e par 1 t vargut gjeometrik, 12 paraqet termin 13 t vargut gjeometrik, ndrsa

= 1 2

100= 1

1

50=

49

50.

Detyra 7. Nj produkt tash kushton 55 m shum se q kushtonte m par. Nse 20% e mimit t

tashm sht sa 40% e mimit fillestar, sa kushton tash ai produkt?

Zgjidhje: Le t jet mimi fillestar ndrsa mimi i tashm. N baz t t dhnave kemi:

{ = + 55

20% = 40% {

= + 5520

100 =

40

100

{ = + 551

5 =

2

5

{ = + 55

= 2 {

2 = + 55 = 2

{ = 55

= 2 55 {

= 55 = 110

Pra mimi fillestar ka qen = 55 ndrsa mimi i tashm sht = 110 .

Detyra 8. Njehsoni mimin e vjetr n qoft se mimi i tanishm prej 660 u arrit kur mimi i vjetr s pari sht rritur pr 55 dhe pastaj pr 10%.

Zgjidhje: Le t jet mimi i vjetr. Ather kemi:

( + 55) + 10%( + 55) = 660

(1 +1

10) ( + 55) = 660

11

10 ( + 55) = 660

+ 55 =6600

11

=5995

11

= 545

Pra mimi i vjetr ka qen 545 .

Detyra 9. Pas rritjes/zbritjes s nj mimi, disa produkte psuan ndryshime t rritjes/zbritjes si

prshkruhet n vijim. Njehsoni prqindjen e rritjes/zbritjes:

a) mimi i vjetr: 24.40 ; mimi i ri: 23.18 .

b) mimi i vjetr: 1.80 ; mimi i ri: 2.24 .

Zgjidhje: Si shihet, termi rritje/zbritje prfshin t dy rastet, rastin a) dhe rastin b). N rastin a) kemi

zbritje, n rastin b) kemi rritje t mimit.

a)

24.4 %24.4 = 23.18

24.4

100 24.4 = 23.18

2440 2440 = 2318

2440 = 2440 2318

2440 = 122

= 0.05

Pra zbritja ka qen 0.05%.

b)

1.80 + %1.80 = 2.34

1.80 +

100 1.80 = 2.34

180 + 1.8 = 234

1.8 = 234 180

1.8 = 54

= 30.

Pra rritja ka qen 30%.

Detyra 10. Gjat shitjes dimrore, palltoja q n fillim shitej pr 150 u lirua pr 20%. Gjat nj

fushate speciale t marketingut, mimi u lirua edhe nj her pr 10%. Sa sht zbritja e prgjithshme

n prqindje e mimit fillestar.

Zgjidhje: Le t jet prqindja e krkuar. Kemi:

150 20%150 10%(150 20%150) = 150 %150

1

5 150

1

10 (150

1

5 150) =

100 150

30 1

10 (150 30) =

15

10

300 + 150 30 = 15

15 = 420

= 28

Pra zbritja e prgjithshme n prqindje sht 28%.

Detyra 11. Nse n 5 litra lng ka 2.5 gram biomaterie, sa gram biomaterie ka n 3 litra dhe t

shprehet n prqindje ajo mas e biomateries.

Zgjidhje: Kemi t bjm me proporcion t drejt t madhsive. Le t jet sasia n gram e biomateries

q gjendet n 3 litra lng. Ather kemi:

2.5

5=

3

5 = 3 2.5

5 = 7.5

= 1.5

Pra sasia e biomateries n tri litra lng sht = 1.5 gram. Le t jet sasia e shprehur n prqindje e

biomateries. N qoft se kushtimisht marrim se 1 gram biomaterie sht e barabart me 1 mililitr,

ather kemi:

%300 = 1.5

300

100= 1.5

3 = 1.5

= 0.5

Pra e shprehur n prqindje, sasia e biomateries n tri litra lng sht = 0.5%.

Detyra 12. Nj pun, 65 puntor e kryejn pr 23 dit. Pas 15 ditve 13 puntor e lshojn

punn. Pr sa dit do ta kryejn punn e mbetur puntort e mbetur?

Zgjidhje: 65 puntor e kryejn nj pun pr 23 dit. Pas 15 ditve pun, me largimin e 13

puntorve, mbesin 52 puntor. Po t ishin 65 puntor, me ritm t njjt t puns, punn e

mbetur do ta kryenin pr 8 dit (23 15 = 8 ). Tani kur kan mbetur 52 puntor, nuk

dihet se pr sa dit do ta kryejn punn e mbetur. N baz t ktyre t dhnave t prpunuara, kemi

skemn:

65 puntor _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 8 dit ()

52 puntor _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ dit

Me zvoglimin e numrit t puntorve, rritet numri i ditve t puns, pra numri i puntorve

dhe numri i ditve t puns jan n prpjestim t zhdrejt. Kshtu nga () kemi:

8=

65

52

prej nga rrjedh se = 10. Pra 52 puntort e mbetur, punn e mbetur do ta kryejn pr 10 dit.

Detyra 13. Duke punuar nga 8 or n dit, 120 puntor pr 18 dit kan ndrtuar 16 km rrug. Pr

sa dit, nn t njjtat kushte, 150 puntor duke punuar nga 9 or n dit ndrtojn 30 km rrug?

Zgjidhje: Nga t dhnat e detyrs, formojm skemn:

8 120 18 16

9 150 30 ()

Dim se:

- Sa m shum rrug q ndrtohet, aq m shum dit pune nevojiten, pra numri i ditve t puns dhe

gjatsia e rrugs q ndrtohet jan n prpjestim t drejt.

- Sa m shum puntor q marrin pjes n punime, aq m pak dit pune nevojiten, pra numri i

puntorve dhe numri i ditve t puns jan n prpjestim t zhdrejt.

- Sa m shum or pune brenda nj dite, aq m pak dit pune nevojiten, pra numri i orve t puns

brenda nj dite dhe numri i ditve t puns jan n prpjestim t zhdrejt.

Kshtu nga skema () kemi:

18

=

16

30

150

120

9

8

18=

30

13

120

150

8

9

=30 12 8

16 15 9 18

= 18 2880

2160

=51840

2160

= 24.

Nn t njjtat kushte, puntort do ta kryejn punn pr 24 dit.

Detyra 14. Nj pun 60 puntor mund ta kryejn pr 28 dit. Pas 10 ditve puntorve iu

bashkangjiten edhe 12 puntor t tjer. Pr sa dit mund t kryhet puna?

Zgjidhje: Dihet se 60 puntor nj pun do ta kryenin pr 28 dit. Pas 10 ditsh pun, me ritimin e

njjt t puns, punn e mbetur, 60 puntor do ta kryenin pr 18 dit (= 28 10).

Tani pas 10 ditve pun 60 puntorve u shtohen 12 puntor t tjer me rast bhen 72 puntor

(= 60 + 12 ). Le t shenojm me kohn e shprehur n dit pr t ciln 72

puntor do ta kryenin punn t ciln 60 puntor do ta kryenin pr 28 dit. Ather punn e mbetur

pas 10 ditve, 72 puntor do ta kryenin (mbaronin) pr 10 dit. Kshtu n baz t t dhnave

t prpunuara kemi skemn:

60 puntor (28 10) dit

()

(60 + 12) puntor ( 10) dit

Dihet se me rritjen e numrit t puntorve, zvoglohet numri I ditve t puns, pra numri i puntorve

dhe numri i ditve pr t cilat kryhet puna, jan madhsi n prpjestim (proporionalisht) t zhdrejt.

Kshtu nga () kemi:

10

28 10=

60

60 + 12

10

18=

60

72

72 ( 10) = 18 60

72 720 = 1080

72 = 1800

= 25.

Pra punn e mbetur, 72 puntor do ta kryenin pr 25 dit.

Detyra 15. Nj en ka 501 uj q prmban 3% krip. Nj en tjetr ka uj q prmban 6% krip. Sa

litra uj duhet t hedhim nga ena e dyt n t parn n mnyr q prmbajtja e krips n enn e par t

jet 4%?

Zgjidhja: Le t jet sasia e litrave t ujit q prmban 6% krip, sasi kjo e cila duhet t hedhet nga

ena e dyt n enn e par, n mnyr q n enn e par t fitohet sasia e ujit e cila prmban 4% krip.

Kshtu do t kemi:

3%501 + 6% = 4%(501 + )

3

100 501 +

6

100 =

4

100 (501 + )

1503 + 6 = 2004 + 4

2 = 2004 1503

2 = 501

= 250.5

Pra nga ena e dyt q ka uj me prmbajtje t krips prej 6%, duhet t hedhim 250.5 uj n enn e

par, n mnyr q n enn e dyt t kemi ujin me prmbajtje t krips prej 4%.

Detyra 16. Uji i detit prmban 10% krip. Sa litra uj t pastr duhet przier n 80 uj t detit n

mnyr q t fitohet przierja me 2% krip?

Zgjidhje: Se pari prshkruajm raportin:

80 - - - - - - - - - - 10%

(80 + ) - - - - - - - 2%

Me shtimin e ujit t pastr, zvoglohet prqindja e krips prandaj kemi prpjestim t zhdrejt:

80 +

80=

10

2

80 + = 400

= 320.

Pra duhet przier 320 uj t pastr me 80 uj t detit q t fitohet przierja me 2% krip.

Detyra 17. Supozojm se kemi nj en me uj t kriposur. Sasia e przierjes sht 8. Asaj ene i shtojm

12 uj t pastr (pa krip) dhe fitojm 20 przierje (uj me krip). Nse prqindja e krips n

przierjen prej 20 sht 5%, sa ka qen przierja n enn fillestare?

Zgjidhje: Ndrtojm raportin:

8 - - - - - - - - -

20 - - - - - - - 5%

Me shtimin e ujit t pastr, zvoglohet prqindja e krips prandaj kemi prpjestim t zhdrejt:

5=

20

8

= 6.25.

Pra n enn fillestare przierja ka qen 6.25.

Detyra 18. Shuma prej 7500 sht ndar n dy pjes. Nj pjes sht investuar me interes 6%

kurse pjesa tjetr me interes 8%. Pas nj viti sht marrur interesi prej 536 . Sa mjete jan

investuar me interes 6% e sa me interes 8%?

Zgjidhje: Le t jet pjesa e mjeteve t cilat jan investuar me interes 6%, ndrsa pjesa e mjeteve

t investuara me interes 8%. Le t jen dhe intereset prkatse. Ather n baz t t dhnave

t detyrs kemi:

+ = 7500 (1)

ndrsa

+ = 536 (2)

Tani nga ekuacioni (2) kemi:

6 1

100+

8 1

100= 536

6 + 8 = 53600

3 + 4 = 26800 (3)

Nga ekuacionet (1) dhe (3) formojm sistemin e ekuacioneve lineare:

+ = 75003 + 4 = 26800

zgjidhjet e t cilit sistem jan = 3200 dhe = 4300. Pra me interes 6% jan investuar

3200 , ndrsa 4300 jan investuar me interes 8%.

Detyra 19. Nj arkatar i shrben i vetm 20 klientve n 1 or (60 ). Nj arkatar tjetr i

shrben t njjtit numr klientsh n 40 minuta. Cila sht koha q u nevojitet atyre pr tu shrbyer

20 klientve nse ata punojn s bashku?

Zgjidhje: Mnyra aritmetike:

Le t jet 1 shpejtsia me t ciln arkatari 1 i shrben 20 klient pr 1 or (60 ) ndrsa 2

shpejtsia me t ciln arkatari 2 i shrben 20 klient pr 40 . Pra:

1 =20

60 =

1

3 (1)

2 =20

40 =

1

2 (2)

Nga (1) dhe (2) gjejm se nga sa klient i shrbejn arkatari 1 dhe arkatari 2 brenda t t njjts

koh. Si dihet (3,2) = 6. Tani:

- pr 6 arkatari 1 shrben 2 klient,

- pr 6 arkatari 2 shrben 3 klient.

Pra s bashku, arkatari 1 dhe 2 shrbejn 5 klient brenda 6 . Kshtu le t jet 12

shpejtsia me t ciln arkatari 1 dhe 2 s bashku i shrbejn 5 klient pr 6

12 =5

6 =

5

6

4

4=

20

24 .

Nga relacioni i msiprm shihet se arkatart 1 dhe 2 n qoft se punojn s bashku, 20 klientve do

tu shrbenin brenda 24 minutave.

Mnyra e bazuar n proporcion: Le t jet 1 arktari i cili 20 klient i shrben pr nj or

(60 ), ndrsa 2 arktari i cili 20 klient i shrben pr 40 . Ather me (1 + 2)

shnojm arkatart t cilt duke punuar s bashku, 20 klient i shrbejn pr nj koh t caktuar . N

baz t ksaj ndrtojm skemn vijuese:

1 20 60

2 20 40

1 + 2 20

Si dihet, me rritjen e numrit t arktarve, zvoglohet koha pr t ciln duhet shrbyer numrin e

klientve (n rastin tone 20 klient). Prandaj kemi skemn e msiprme. N kt skem mjafton t

krahasojm rreshtin e tret me cilindo nga rreshtat e msiprm, pr shembull me rreshtin e dyt dhe

kemi:

40=

21 + 2

Ather kemi:

40=

2040

2060 +

2040

=

12

13 +

12

40

=20

56

=120

5

= 24.

Pra koha pr t ciln arktart 1 dhe 2 u shrbejn 20 klientve sht 24 .

N rastin e prgjithshm le t shnojm me 1, 2 shpejtsin me t ciln arkatari 1 prkatsisht 2

shrbejn klient pr koht prkatse 1 dhe 2. Pra

1 =

1, 2 =

2 (1)

Pr shpejtsit prkatse nse arkatari 1 dhe 2 punojn s bashku gjat nj kohe t caktuar ,

arkatari 1 shrben 1 klient ndrsa arakatari 2 shrben 2 klient. Pra = 1 + 2 dhe

1 =1

1 = 1,

2 =2

2 = 2.

Nga

= 1 + 2

dhe 1 = 1, 2 = 2 kemi:

= 1 + 2

= (1 + 2)

(1 + 2) =

Tani n baz t relacioneve n (1) kemi:

(

1+

2) =

(1

1+

1

2) =

1 + 21 2

= 1

=1 2

1 + 2 (2)

Formula n (2) paraqet lidhshmrin ndrmjet kohs (pr t ciln t dy arkatart 1 dhe ai 2 s

bashku shrbejn klient) me kohn 1 (pr t ciln arakatari 1 shrben klient) dhe kohn 2

(pr t ciln arkatari 2 shrben klient).