R.  Durazo,  Febrero  2016.  Facultad  de  Ciencias  Marinas  UABC.  

Propagación  del  Error.    

En  el   ámbito   científico  es   común  el   realizar  mediciones   repetidas  de  una  o  más  variables,   cada   una   con   sus   incertidumbres   individuales.   Estas   incertidumbres   son   de  tipo   instrumental   que   se   puede   conocer   dadas   las   características   del   instrumento   de  medición,  o  de   tipo  aleatorio  que  proviene  de  numerosos   factores  que   la  mayor  de   las  ocasiones  son  difíciles  de  controlar.      

Cuando  se  desea  realizar  el  cálculo  de  una  nueva  cantidad  basado  en  mediciones  de   otras   que   tienen   una   incerteza   asociada   se   requiere   “propagar”   el   error   hacia   esta  nueva   cantidad.   La   propagación   del   error   es   simplemente   el   proceso   de   determinar   la  incerteza  de  un  cálculo  que  se  basa  en  una  operación.  Por  ejemplo,  en  el   laboratorio  se  miden   el   tiempo   y   el   desplazamiento   para   poder   calcular   la   velocidad   de   un   objeto.  Debido  a  que  ambos,  distancia  y  tiempo,  se  miden  con  un  cierto  grado  de  incertidumbre,  afectará  la  respuesta  final.  

 Supongamos  que  se  miden  las  cantidades  X,Y,Z,…  cuyas  incertezas  son  δX,  δY,  δZ,…  

Se  requiere  calcular  una  cantidad  R  que  depende  de  X,  Y,  Z,..  etc.  Cual  es  la  incerteza  de  la  nueva  variable  R?  La  propagación  del   error   se   realiza  de   forma  separada  dependiendo  del  tipo  de  operación  que  se  realiza.    Suma  o  Resta  de  cantidades  medidas.  

 Pudiera  parecer  intuitivo  que  dadas  las  cantidades  X,  Y,  Z,  …  y  sus  incertidumbres  δX,  δY,  δZ,    etc.,  la  incertidumbre  de  la  nueva  cantidad  R  calculada  a  partir  de  la  suma  o  resta  de  X,  Y,  Z,  …  sea  simplemente  la  suma  de  las  incertezas.      

𝑋 ±  𝛿𝑋 + 𝑌 ±  𝛿𝑌 =  𝑋 + 𝑌  ± (𝛿𝑋 + 𝛿𝑌)      Esto   puede   dar   lugar   a   resultados   ambiguos.   Por   ejemplo,   si   un   número   A   tiene   una  incerteza  δA  positiva  se  suma  con  un  número  B  con  incerteza  δB  negativa  e  igual  a  δA,  el  resultado   de   sumar   las   incertezas   daría   un   número   cero.   La   ambigüedad   es   que   dos  números   con   incertidumbres   no   pueden   dar   un   tercer   número   con   certeza   absoluta.  Para   eliminar   esta   ambigüedad   se   elevan   al   cuadrado   las   incertidumbres   de   cada  cantidad  (que  aporta  solo  resultados  positivos)  y  enseguida  se  obtiene  la  raíz  cuadrada  de  la  suma.      Si  R   es   la  suma  o   la  diferencia  de   las  cantidades  X,  Y,  Z   con   incertidumbres  δX,  δY  y  δZ,  entonces  la  incerticumbre  δR  es:      

R  =  X  +  Y  –  Z      

𝛿𝑅 =      (𝛿𝑋)! +  (𝛿𝑌)! +  (𝛿𝑍)!            

R.  Durazo,  Febrero  2016.  Facultad  de  Ciencias  Marinas  UABC.  

 Ejemplo  Suponga  que  se  han  medido  la  posición  inicial  como  x1=9.3±0.2  m  y  la  final  como  x2=14.4  ±0.3   m.   El   desplazamiento   es   Dx=x2-­‐x1=14.4   m   -­‐9.3   m   =   5.1   m.   El   error   en   el  desplazamiento  calculado  es   (0.2!   +  0.3!)    =  0.36  m.  

   Multiplicación  de  cantidades  medidas.    De   la   misma   manera   que   se   establece   para   las   sumas   y   restas,   se   puede   obtener   la  incertidumbre  para  el  caso  de  multiplicación  y  división:    

𝑅 =      𝑋   ∙ 𝑌    𝑍  

 

𝛿𝑅 = 𝑅     ∙  𝛿𝑋𝑋

!  

+  𝛿𝑌𝑌

!

+  𝛿𝑍𝑍

!

           

 Note   que   para   el   objetivo   del   cálculo   del   error,   no   existe   diferencia   entre   una  multiplicación  y  una  división.    Ejemplo  Se  mide  un  desplazamiento  de  x=5.1±0.4  m  durante  un  tiempo  de  t=0.4±(-­‐0.1)  s.  Calcular  la  velocidad  promedio  y  el  error  en  la  velocidad  promedio.    

𝑣 =  𝑥𝑡 =  

   5.1  𝑚    0.4  𝑠 = 12.75  𝑚/𝑠  

 La  incerteza  en  el  cálculo  de  velocidad  es:    

𝛿𝑣 = 𝑣   ∙    𝛿𝑥𝑥

!  

+  𝛿𝑡𝑡

!  

= 12.74𝑚𝑠   ∙  

0.45.1

!

+  −0.10.4

!

= 3.34𝑚𝑠  

   Multiplicación  por  una  constante.    Si  se  requiere  multiplicar  una  cantidad  medida  X  por  una  constante  c:    

R  =  c  X    

δR  =  |c|    δX    

R.  Durazo,  Febrero  2016.  Facultad  de  Ciencias  Marinas  UABC.  

Esta   expresión   es   equivalente   a   la   de   multiplicación   con   el   caso   particular   de   que   la  incertidumbre  en  c  es  δc  =  0.    Ejemplo  Un  objeto  se  suelta  desde  el  reposo  en  caída  libre.  En  un  punto  de  su  trayectoria  se  mide  la   velocidad  del   objeto   como  v=-­‐3.8  ±  0.3  m/s.  Calcular   el   tiempo  en  que  ha  estado  en  caída  libre.    La  aceleración  es  a=v/t.  Suponiendo  que  la  aceleración  en  caída  libre  es  g=9.81  m/s2,  y  despejando  para  el  tiempo  se  obtiene  t=-­‐v/g  =  (3.8  m/s)  /  (9.81  m/s2)  =  0.387  s.      La  incertidumbre  en  el  cálculo  del  tiempo  de  caída  es    

𝛿𝑡 =−1𝑔   ∙  𝛿𝑣 = 0.102

𝑠!

𝑚   ∙ 0.3𝑚𝑠 = 0.03  𝑠  

   Funciones  Polinomiales.    En   el   caso   en   que  R   es   una   función   polinomial   de   una   variable  X   se   tiene   la   siguiente  expresión:  

R  =  Xn    

𝛿𝑅 =   𝑛   ∙  𝛿𝑋𝑋   ∙   𝑅  

 Es  una  regla  simple  que  se  aplica  para  exponentes  negativos  o  fraccionarios.    Funciones  Generales.    Finalmente,   cuando   R   es   una   función   de   varias   variables,   R=R(X,Y,…),   entonces   la  incertidumbre  en  R  se  obtiene  tomando  las  derivadas  parciales  de  R  con  respecto  a  cada  una  de  las  variables,  multiplicada  por  la  incerteza  de  esa  variable,  elevando  al  cuadrado  y  sumando  las  respectivas  derivadas  y  multiplicaciones  de  otras  variables:    

R  =  R(X,Y,…)    

𝛿𝑅 =  𝜕𝑅𝜕𝑋   ∙  𝛿𝑋

!

+  𝜕𝑅𝜕𝑌   ∙  𝛿𝑌

!

+⋯      

 Esta  es  la  regla  general.  Los  casos  detallados  anteriormente  resultan  ser  casos  especiales  de  esta.      

R.  Durazo,  Febrero  2016.  Facultad  de  Ciencias  Marinas  UABC.  

 Trabajo  en  Laboratorio:    Evalúe  el  error  propagado  para  los  siguientes  casos:    

1) El  cálculo  del  perímetro  de  un  pentágono,  cuyos  lados  tienen  17.8  cm  de  longitud,  y  un  error  instrumental  de  1.5  mm  

 2) El   área   de   un   polígono   rectangular   cuya   base  mide   122.7  m,   y   su   altura   es   de  

310.1  m.  El  error  instrumental  es  de  23  cm.    

3) La  velocidad  de  un  cuerpo  en  movimiento  rectilíneo  uniforme  que  recorre  1.5  m  en  3.13  segundos.  Los  errores  de  medición  son  de  1.5  mm  y  de  1/10  segundos.  

   Utilizando   un   vernier,   mida   el   diámetro   de   una   pequeña   esfera.   Se   debe   realizar   una  medida  por  cada  uno  de  los  alumnos.  Determinar:    

1) La  magnitud  del  error  experimental  2) La  magnitud  del  error  aleatorio  (estadístico)  3) La  magnitud  de  la  incertidumbre  en  la  medida  del  diámetro  4) Calcule   el   valor   del   área   del   círculo   y   el   volumen   de   la   esfera   así   como   la  

incertidumbre  en  dichos  cálculos.    Área=  4πr2    Volumen=  (4/3)  πr3