Prop Revision PCCde Mates-jose Luis Luceño Campos

7/25/2019 Prop Revision PCCde Mates-jose Luis Luceo Campos

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(c) Domingo Fernndez Sabido yJos Luis Luceo Campos 1


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Propuesta didctico metodolgica de revisin de Proyectos Curriculares

rea de Matemticas

A lo largo de la educacin obligatoria lasMatemticas han de desempear, indisociable yequilibradamente, un papel formativo bsico decapacidades intelectuales, un papel aplicado yfuncional a situaciones y problemas de la vida diaria

(en el mbito del consumo, de la vida privada y enmuchas situaciones de la vida social) y un papelinstrumental en cuanto armazn formalizador deconocimientos de otras materias (son precisas tanto

para el conocimiento de las Ciencias de Naturalezacomo de las Ciencias Sociales).


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Propuesta didctico metodolgica de revisin de Proyectos Curricularesrea de Matemticas

Hasta mediados del pasado siglo los

programas de instruccin en Matemticaseran formulados concediendo una especialimportancia al aspecto utilitario de lamisma. Las tcnicas de enseanza, conuna primaca casi exclusiva del mtodoexpositivo, abusaban de la memorizacinde hechos y frmulas matemticas. Los

textos se componan de abundantesejercicios y problemas llamadosprcticos.


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Como una sntesis de las aportaciones ms relevantes del procesode enseanza - aprendizaje del rea de matemticas se propone elsiguiente cuadro, (adaptacin de Hernndez Pina, F y otros, 1989):

Resolucin de problemasResolucin de ejercicios descontextualizados

La estimacinLa exactitud

Aprendizaje cooperativoAprendizaje en solitario

Clculo mentalLargas pginas de cuentas mecnicas

Herramienta para la vida cotid ianaMatemtica para la escuela

Saber que se construyeSaber prefi jado

Conocimiento dinmicoConocimiento esttico

DEBERA SER:ES:

La enseanza de la Matemtica


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rea de Matemticas

Orientaciones psicodidcticas para su aprendizaje:

El profesor ha de ser un diseador de situaciones de aprendizaje

que conduzcan al alumnado al descubrimiento.

La actividad instructiva para ser eficaz, debe actuar en lazona de desarrollo prximo del estudiante, ni ms arribaporque lo ahoga, ni ms abajo porque lo aburre.

Todo lo que enseamos a un alumno evitamos que loaprenda


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Se trata de conceder tanta importancia al proceso como al

producto.

No consiste solamente en obtener una respuesta correcta sinoel cuestionarse los procedimientos o mtodos para alcanzarla.

Los profesores han de crear una atmsfera que estimule alos alumnos a explorar, desarrollar, comprobar, discutir yaplicar ideas.


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A modo de sntesis, se recogen las

ventajas y los inconvenientes que ofrecela enseanza por descubrimiento:

No siempre asegura un aprendizajesignificativo.

Requiere ms tiempo que el aprendizajereceptivo.

Posibil ita el razonamiento inductivo.

Si un alumno no es capaz de descubrir nada, lasituacin es decepcionante.

Anima a concebir las matemticas como unproceso y no como un producto acabado.

El descubr imiento precisa ser guiado oconducido cuidando de no convertirlo endirigismo.

Estimula al alumnado a aprender lasmatemticas, al operar sobre ellas.

InconvenientesVentajas


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El proceso didctico debe respetar los distintos estadios del

desarrollo del nio. En la formacin de los conceptos lgico matemticos se debe proceder de lo concreto a lo abstracto.

En coherencia con los distintos estadios que Piaget distingue en el

desarrollo de los conceptos (sensorio motriz, preoperacional,operaciones concretas y operaciones formales o abstractas) lasestrategias psicodidcticas deben facilitar experiencias que seadecuen a los tipos de pensamiento caractersticos de estas etapas

(pensamiento sensorial y manipulativo, pensamiento preconceptualo intuitivo, pensamiento lgico concreto o representativo ypensamiento formal o simblico).


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Conviene tener en cuenta que en la evolucin intelectual

las acciones con y sobre los objetos (reunir, separar,repartir, repetir grupos iguales, etc.) aparecen antes quelas operaciones mentales.

El conocimiento lgico matemtico es una abstraccin apartir de las acciones sobre los objetos, los cuales no ejercenms que el papel de servir de soportes de la accin.As, pues,la operacin de sumar no es sino la accin interiorizada de unir,

reunir, juntar..., hacer ms o acrecentar. La operacin de dividirconsiste, a su vez, en internalizar las acciones de repartir enpartes iguales, distribuir, hacer grupos iguales,...


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En un proceso de abstraccin creciente a las tareasmanipulativas, a las tareas concretas, seguirnrepresentaciones de la realidad (dibujos, diagramas,seales, marcas, rayas, etc.). Finalmente, durante losperiodos lgico concretos y lgico formal, seactuar sobre simbolismos matemticos.


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A este respecto, Leinhardt (1989) distingue cuatro nivelesque los alumnos suelen recorrer en la comprensin demuchos conceptos matemticos y que exigiran unrespeto instruccional:

conocimiento intuitivo (el ms precoz,contextualizado e idiosincrsico; el ms incierto eincluso podra llegar a se errneo),conocimiento concreto,conocimiento computacional, y

conocimiento conceptual (implica una elevadacomprensin de los principios subyacentes a loscontenidos aprendidos).


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Bruner, psiclogo cognitivista y divulgador de Vigotsky, confirma laque venimos manteniendo al considerar que en el proceso de

aprendizaje de los conceptos matemticos se atraviesan las tresetapas siguientes:

Etapa activa (representacin inactiva): El alumno piensa entrminos de accin. Sus mtodos para resolver problemas tienentodas las limitaciones de la manipulacin de lo concreto.

Etapa representativa o figurativa ( representacin icnica): Enesta etapa la representacin mental se realiza a travs de lasimgenes.

Etapa simblica (representacin simblica):Aqu aparece el

pensamiento matemtico, la representacin mediante formassimblicas tales como el lenguaje matemtico.

Afirma este autor (Bruner, 1966) que cualquier materia puede ser enseada a

cualquier edad de modo eficaz.



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El aprendizaje matemtico debe regirse por el principio de primero

comprensin, despus mecanizacin o automatizacin.

La ejercitacin prctica debe ser posterior a la comprensin del conceptoo del procedimiento en cuestin. Esta aseveracin viene avalada por unaserie de razones:

Los procesos que han sido comprendidos requieren un mnimo de prcticapara ser consolidados.

La retencin del proceso o mecanismo es ms fcil cuando ste (frmula,algoritmo, etc.) ha sido suficientemente comprendido.

Las habilidades o destrezas se olvidan tanto ms fcilmente cuanto menorha sido su comprensin.

El aprendizaje significativo motiva la prctica ya que el alumno comprendemejor la necesidad de su dominio.


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No tiene sentido ensear tcnicas operatorias o algoritmosde manera mecnica (restas llevndose, correr lugares a laizquierda en la multiplicacin, etc.), formulaciones o

principios lgico matemticos, etc., sin una previacomprensin y una posterior comprobacin. Al alumno hayque explic itarle comprensivamente los pasos ocultos decualquier mecanismo, procedimiento o tcnica operatoriaque precise aprender.


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Las reglas, principios y / o generalizadores lgico matemticos

sern construidas inductivamente y aplicadasdeductivamente.

Con el siguiente cuadro tratamos de ilustrar lo que se vieneafirmando. Los tres primeros pasos estaran dentro del procesoinductivo; los dos ltimos corresponderan al procesodeductivo:


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Las generalizaciones son establecidas yconsolidadas por medio de las aplicacionesdeductivas.

DEDUCCIN5

Elaboracin de generalizaciones.INTEGRACIN4Procesodeductivo

Basada sobre la identificacin de los elementos,relaciones y estructuras comunes.

ABSTRACCIN3

Comparaciones (semejanzas y diferencias) y

relaciones derivadas de la PERCEPCIN.

DIFERENCIACIN2

Experiencias perceptivo visuales con larepresentacin de objetos (grficos, dibujos,esquemas,...)

Experiencias manipulativas con materiales

concretos (ambientales y estructuradas).

PERCEPCIN1Proceso induct ivo


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La organizacin / presentacin de los contenidos

matemticos debe venir presidida por una serie deprincipios.

Los criterios bsicos a contemplar para secuenciar yorganizar los contenidos matemticos en la etapa deEducacin Primaria, en la lnea de Del Carmen (1991)deberan ser los siguientes:


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Establecer una distancia ptima entre lo que los alumnos son capaces de hacer y losnuevos contenidos que se pretenden ensear. Es preciso, pues, establecer una

discrepancia adecuada entre lo que se sabe y lo que hay que aprender. Consiste, pues,en situarse en la zona de desarrollo prximo de aprendizaje.

Coherencia con la lgica interna de las matemticas. Conectar los nuevos contenidos con las ideas previas de los alumnos. Partir de sus

conocimientos previos, es decir, de lo que realmente saben y de cmo lo saben. Establecer contenidos organizadores y estructurar los distintos tipos de contenidos en

relacin a ellos, como contenidos soportes.

Delimitar las ideas eje para sintetizar los aspectos fundamentales que tratan deensearse. Posibilitar lo que Bruner denomina currculo en espiral o articulado. El currculo no

debe ser estrictamente lineal sino, siempre que sea posible, recurrente, es decir, enespiral. Los mismos contenidos se retoman en diferentes versiones con diferentesniveles de complejidad. En el caso, por ejemplo, de las operaciones aritmticas cuyoaprendizaje se debe introducir desde la Educacin Infantil.

Mantener el equilibrio e integrar los distintos contenidos (conceptuales,procedimentales y actitudinales) ejercitados en el aula, es decir, cubrir todos losaspectos planteados sin poner excesivo nfasis en unos en detrimento de otros.

Relacionar los conocimientos para favorecer que los alumnos comprendan su sentido ylograr que el aprendizaje sea significativo.


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A la hora de secuenciar los aprendizajeslgico matemticos hay que contemplar la

llamada jerarqua del aprendizaje deGagn.


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Se debern propiciar situaciones de aprendizaje que

estimulen el conocimiento divergente.

El profesor procurar respetar y estimular, no coartar, lasdistintas estrategias en la resolucin de los problemas (elalumno tendr posibilidad de resolver problemas ycuestiones valindose de distintos procedimientos, siempreque los restantes compaeros y el profesor los puedancomprender). No es aconsejable la imposicin de una

tcnica, de un algoritmo o de una frmula nica (la que diceel profesor o el libre de texto).


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Es evidente que en la vida ordinaria los problemas no vienen

formulados en trminos de preguntas cerradas. Es el individuoel que se tienen que formular sus propias hiptesis paraencontrar las correspondientes respuestas y estas respuestaspueden ser bastante variadas.

El aprendizaje de la lgica matemtica, en ningn caso debeaparecer como una creencia sobreimpuesta, sino como algosusceptible de invencin y construccin propia.


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A travs de la interaccin social se facilita el aprendizaje

lgico matemtico.

El profesor procurar disear situaciones de aprendizaje que elicitenmecanismos de interaccin social, de cooperacin (cooperar: operaren comn) entre los alumnos, para el aprendizaje y resolucin de

cuestiones lgico matemticas. Los intercambios que se generancontr ibuyen a una mejor comprensin de las nociones o contenidosque se trabajan. Las modalidades de enseanza mutua y el trabajo engrupo son tcnicas organizativas de gran eficacia. Hay que tener encuenta que, en la actualidad, fuera de la escuela la mayora de las

actividades matemticas son acometidas en grupo. Se debe, pues,estimular el intercambio de ideas entre los alumnos. El desacuerdo conotros compaeros puede llevar a reestructurar, a reconsiderar lospropios planteamientos, las propias soluciones. La confrontacinfacili ta el desarrollo del pensar matemtico.


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La motivacin intrnseca se genera a travs de situaciones

problemticas reales y significativas de aprendizaje

contextual.

Para que los aprendizajes matemticos sean significativos y no repetitivoshay que proceder:

1. partir de los conocimientos previos de los alumnos. En este sentido, nobasta con lo que el Maestro o Maestra piensan qu deben saber, sino que

tienen que contrastar de alguna manera lo que realmente saben y cmo losaben.

2. generar una actitud positiva del alumnado hacia el aprendizajematemtico. Esta actitud se puede lograr proponiendo al alumnadosituaciones concretas contextualizadas en:

la propia historia de las matemticas. La misma gnesis del sistema de

numeracin decimal es suficientemente motivadora. problemas de la realidad cotidiana, de las propias experiencias de losalumnos y alumnas.

problemas planteados en otras reas (Conocimiento del medio,Geografa,..).

utilizando materiales estructurados (regletas, bloques multibase, juegosde simulacin, calculadora, etc.)


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La experiencia que el alumno trae a la escuela, sus

conocimientos informales, hay que aprovecharlos enla formulacin y resolucin de problemas, en elplanteamiento de actividades y ejercicios, en laenseanza aprendizaje de nociones y conceptos.Esta experiencia debe constituir el punto de partidadel proceso psicodidctico.


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A este respecto, Carpenter y Moser (1984) afirman que lamayora de los nios llegan a la escuela con las herramientasnecesarias para el xito: curiosidad, destrezas comunicativas yuna diversidad de experiencias de vida. En el momento deingresar en la escuela, los nios pequeos pueden resolverproblemas que exigen aptitudes de clculo que todava no han

aprendido. Sin embargo, luego de varios aos de instruccinmatemtica tradicional, pierden creatividad y dependen deprocedimientos memorizados. El resultado: sus apti tudes parala resolucin de problemas y su rendimiento realmente

declinan. Los docentes deben brindar a los alumnosoportunidades de compartir experiencias extraescolares yconectarlas con las matemticas que se estn aprendiendo en laescuela.


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Vamos a restar

llevandoHe ahorrado 45 euros porque quiero comprar unreloj que vale 100 euros. Cunto me falta?

10 10 10 10 10 10 10 10 105

5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

45 euros ? euros


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Actividades tales como coste de un alumno para unviaje o excursin , reparto de material en clase , coste de entradas para visitar un museo , manejarel calendario , lista de clase ,... etc., ofrecenposibilidades para un trabajo matemtico significativoy funcional.

La realizacin de taxonomas (nociones lgicas declasificacin e inclusin), formulacin e hiptesis,elaboracin e interpretacin de cuadros estadsticos,elaboracin e interpretacin de mapas y escalas, etc., son,

entre otras cosas, situaciones extradas de los curriculade Sociales y Naturaleza, aplicaciones prcticas y vivasque contribuyen a que los alumnos comprendan laimportancia y signif icacin de esta materia.


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Las matemticas se deben originar de manera natural a

partir de la resolucin de problemas.

La resolucin de problemas no es un tema diferenciado sinoun proceso que debe saturar toda la enseanza aprendizaje

de las matemticas proporcionando el contexto donde puedanaprenderse conceptos, procedimientos y actitudes favorables.

Los algortmos o, en sus aspectos ms abreviados las cuentas,

deben constituir instrumentos para resolver los problemas y, por lotanto, deben ser si tuados en un segundo plano.


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Se deben explotar psicopedaggicamente las ideas

equivocadas del alumnado.

La correccin - aprovechamiento del error debe

enfocarse mediante la presentacin de contraejemplosque generen conflictos cognitivos y sol iciten al alumnootro u otros ejemplos o aplicaciones para que descubraque su razonamiento o procedimiento no es siemprevlido.


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CONCLUSIONES

Los conceptos deben ser construidos por los propiosalumnos en base a sus experiencias y pensamientos.La tarea del profesor consistir primordialmente enfacil itar experiencias de aprendizaje a cada aluno en

particular.

La madurez lgico matemtica se alcanza mediante unacercamiento en espiral. Los conceptos, pues, deben seradquiridos formando parte de un proceso de crecimientoo desarrollo.


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Los conceptos, para que sean funcionales ysignif icativos, deben ser relacionados con laestructura total de la que forman parte.

Los conceptos se desarrollan mejor mediante una serie deexperiencias y situaciones matemticas variadas (principiosde variabil idad perceptiva y variabilidad dinmica de Dienes)que por presentaciones repetit ivas.


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El nivel de dificultad y / o profundidad en que un concepto

debe ser presentado para su aprendizaje depende de losaprendizajes previos, motivaciones, habilidades y / odestrezas y nivel psicoevolut ivo del sujeto aprendiz.

Los conceptos se adquieren y se desarrollan mejor cuandoel alumno opera activamente sobre su medio ambiente y nocuando est sometido pasivamente a la informacin del

profesor.


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La accin, la manipulacin y las imgenes (figurativas yesquemticas), deben preceder a la verbalizacin, y laverbalizacin debe ser previa a la simbolizacin escrita, en

coherencia con el principio filogentico de Haeckel.

En el aprendizaje de la Matemtica se deben ofrecer oportunidades de

invencin y creatividad.


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Cuando nos enfrentamos a situaciones en las que deseamossaber cuntos , nuestra primera actitud o conducta es la decontar. Pero los hombres que vivieron hace mil lares de aosno conocan los nmeros ni saban contar.

Hace, aproximadamente, 10.000 aos, el hombre se transformen agricultor y en ganadero. Estamos hablando del periodoNeoltico.Los pastores tenan necesidad de controlar los rebaos.

Necesitaban saber si faltaban o no ovejas,... Cmo podansaber los pastores si alguna oveja se les haba perdido o si seles haban agregado ovejas de algn otro rebao?.

HISTORIA DEL NMERO Y LA NUMERACIN Y SU VALOR PSICOPEDAGGICO


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Algunos vestigios sealan que los pastores realizaban elcontrol de su rebao usando conjuntos de piedras al salir las

ovejas al pastar, separando una piedra por cada animal quesala y guardaba el montoncito de piedras as formado. Cuandolos animales volvan, el pastor retiraba del montoncito unapiedra por cada animal que volva.

Una relacin del tipo: para cada oveja, una piedra, se llama enmatemticas correspondencia uno a uno.


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Realizar la correspondencia uno a uno es asociar a cada

objeto de una coleccin un objeto de otra coleccin. Como seha podido observar, el hombre resolvi sus primerosproblemas de clculo utilizando la correspondencia uno auno. Esto consti tuye uno de los pasos decisivos para elnacimiento de la nocin de nmero.

Pero, probablemente, el hombre no solo utiliz piedras pararealizar correspondencias uno a uno. Es muy probable queuti lizara cualquier cosa que tuviese muy a mano y nada tenams a mano que sus propios dedos. Ciertamente, el hombre

primitivo util izara tambin sus dedos para realizar conteos,levantando un dedo por cada objeto.


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Entretanto le surgi un problema nuevo: levantar los dedos lepermita saber, de momento, la cantidad de objetos, pero no le

permita conservar esa informacin. Era fcil que se olvidarade cuntos dedos haba levantado. Amontonar piedras lepermita guardar o conservar la informacin por ms tiempo,pero este procedimiento no era muy seguro. Surgi, por tanto,el problema de registrar las cantidades.


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El hombre sinti la necesidad de registrar el total de objetos quecontaba. Y cmo haca eso?. Para registrar el total de objetosuti lizara tambin la correspondencia uno a uno: una marca paracada objeto.Cuando el hombre precisaba contar una gran cantidad de objetos

tuvo que separar los objetos en montones o grupos para facilitarel conteo. Esto es lo que hoy hacemos, por ejemplo, cuandocontamos por docenas. Contar por docenas es una manera deagrupar: agrupar de 12 en 12.


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El hombre debi comenzar agrupando de cinco en cinco, de

diez en diez, de veinte en veinte, haciendo la correspondenciacon los dedos de las manos y de los pies.Despus de que al hombre se le ocurriera la idea de realizaragrupamientos para facili tar el conteo de los objetos, le surgiel problema de registrar los agrupamientos utilizando algn

tipo de seal o marca. Veamos como esto era preciso: si seimagina que un pastor emplease trazos o palotes pararepresentar cada oveja, en el caso de tener:

I I I I I I I I I I I I I I ovejas,esta representacin no sera prctica. Tal vez la solucin seraseparar grupos de seales o marcas: el pastor tendra

I I I I I I I I I I I I I I ovejas,en este caso, las seales o marcas se han agrupado de diez endiez.


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Todava, en la actualidad, es muy corriente, en los juegos, contar lospuntos conseguidos registrndolos de cinco en cinco. Por ejemplo:Ramn ha hecho:

12 puntosEn esta etapa, el conjunto auxiliar (o las piedrecitas de la etapaanterior) se sustituy por un conjunto representado , siempre

equipotente al conjunto inicial, permitiendo una evocacin inmediatadel conjunto inicial en lo que respeta a la cantidad.Los agrupamientos vinieron exigidos cuando los nmeros de trazosse salan de la zona del subitizing (percepcin visual de una cantidadde objetos de forma inmediata). Se pueden distinguir bastante bien

conjuntos tales como:I I I y I I I I ,pero no ocurre lo mismo con:

I I I I I I I I I y I I I I I I I I


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Los egipcios crearon un sistema muy interesante para escribirnmeros basados en agrupamientos:

El 1 era representado por una marca que pareca un bastn,

El 2 por dos marcas y, as, sucesivamente hasta el 10, que era

cambiado por


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Los smbolos util izados en el sistema de numeracin romana

son los siguientes:I = 1 ; V = 5 ; X = 10 ; L = 50 ; C = 100 ; D = 500 ; M = 1.000En este sistema, para no repetir 4 veces un mismo smbolo,uti lizaban la sustraccin. Por ejemplo:

4 = IV ............... 5 1

40 = XL............. 50 1044 = XLIV.......... (50-10) + (5-1)

Como ocurra en el sistema egipcio, la escritura de ciertosnmeros y la realizacin de operaciones se tornaba en algomuy difcil. Por ejemplo, escribir 3.888 pone de manifiesto estagrave dificultad:

MMMDCCCLXXXVIII


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CARACTERSTICAS BSICAS DEL SISTEMA DE NUMERACIN DECIMAL

1) BASELa base de un sistema es la cantidad elegida en el procedimientode agrupar y reagrupar:

en nuestro sistema la base es diezen el egipcio la base es diezen el romano la base es diez


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Se observ que en el sistema romano los smbolos sonsiempre reagrupados de diez en diez: diez I formanuna X , diez X forman una C , diez C forman una M . En este caso puede surgir la duda ya que cinco Ison sustituidas por una V . Sin embargo, no existen

reagrupamientos de cinco. Cinco V no pueden sercambiadas por un smbolo nuevo. Los smbolos V , L y D que indican 5, 50 y 500, son utilizadossolamente para simplificar la escritura.


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2) VALOR POSICIONAL

nuestro sistema es posicional: 51 es diferente de 15.

el egipcio no es posicional: es indiferente escribir 12 de

cualquiera de estas dos maneras:

el romano es posicional, pero no en el mismo sentidoque nuestro sistema. Es distinto escribir VI (seis) que IV

(cuatro).

P t did ti t d l i d i i d P t C i l


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3) CERO

nuestro sistema tiene un smbolo para la nada.el egipcio no tiene cero.el romano no t iene cero.

P t did ti t d l i d i i d P t C i l


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4) PRINCIPIO MULTIPLICATIVO El sistema posicional, como en el nuestro, se basaen el principio multipicativo: cada cifra o guarismorepresenta el producto del mismo por el valor de suposicin o lugar que ocupa. Por ejemplo, en nuestrosistema, al escribir el nmero 245,

5 signif ica 5 x 14 significa 4 x 102 significa 2 x 100

En el sistema egipcio y en el sistema romano no tienevalidez el principio multipl icativo.



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5) PRINCIPIO ADITIVOEl nmero representado es la suma de los valores que cada

uno de los smbolos representa. El principio aditivo apareceen los tres sistemas que venimos considerando:en nuestro sistema, 245 = 200 + 40 + 5

en el sistema egipcio, = 100 + 100 + 10 + 1 +1 + 1

en el sistema romano, CXXVII = 100 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1Sin embargo, en el sistema romano el principio aditivoprecisa ser aplicado con cuidado ya que en l existe tambin

el principio sustractivo. Por ejemplo:La lectura correcta de CXLIX es 100 + (50 10) + (10-1) = 149,una lectura equivocada sera, CXLIX = 100 + 10 + 50 + 1 + 10 =171.



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6) CANTIDADES DE SMBOLOS DIFERENTES

Cuntos smbolos distintos se necesitan para escribircualquier nmero?en nuestro sistema con solo diez smbolos diferentes:1,2,3,4,5,6,7,8,9,0, se escribe cualquier nmero.

en los sistemas egipcio y romano, por muchos smbolosque se creasen, siempre sera posible y necesario pensar unnmero que para ser escrito o representado precisara de unnuevo smbolo. Seran, pues, necesarios infinitos smbolos.



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LA DENOMINACIN ORAL DE LOS NMEROS: SUS ESPECIFICIDADES.

Si la numeracin oral fuera exactamente calcada de la numeracinescrita, para decir el nmero 3.256, se dir a tres-dos-cinco-seis ,exactamente como se escribe. Pero sera necesario esperar al final

de la numeracin para conocer el orden del tamao del nmero(unidades de millar en este caso) y resultara muy complicado sudecodificacin al receptor.

Sin embargo, la solucin que se ha alcanzado, a pesar de sus

numerosas irregularidades, facil ita mucho las cosas. Nuestro sistemade numeracin oral ha generado palabras suplementarias paradenominar potencias de su base: diez, cien, mil, milln, bil ln,...



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No obstante, en nuestra lengua las palabras-nmero util izadas nosiguen totalmente la lgica presente en la escritura de las cifras.Por ejemplo, los nmeros 11, 12, 13, 14 y 15, podran leerse diez

y uno , diez y dos ,... como los nmeros 16, 17, 18 y 19.Las palabras-nmero once , doce , trece , catorce y quince , obedecen a otra lgica ligada a la evolucin fonticainaccesible a los nios. Estas palabras especficas son fuente dedif icultad al nivel de su memorizacin y manejo. Son palabras

que, en una didctica acertada, habra que suprimir en unaprimera fase de aprendizaje.



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De la misma manera, el nombre de las decenas tambin

produce algunas dificultades. Mientras que 20, 30, 40,...,podran leerse perfectamente dos diez , tres diez , cuatro diez ,... como los nmeros dos cientos , trescientos , cuatrocientos , utilizamos as palabras veinte , treinta , cuarenta ,... En el procesote enseanza

aprendizaje se intentar, en un primer momento, obviar estadif icultad aadida al aprendizaje de la numeracin.Finalmente, existe otra irregularidad al util izar cien , mily no un cien , un mil . Los inglese dicen, en estos casos,

one hundred , one thonsand ,...



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Estas irregularidades son, probablemente,consecuencia de una numeracin primero hablada

pero ligada a usos prcticos ms que a unaconstruccin tan lgica como la que presenta nuestrosistema de numeracin escrito.



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LAS CONCEPCIONES ACTUALES SOBRE LA ENSEANZAAPRENDIZAJE DEL NMERO.

1. Los conocimientos numricos adquieren significado ysentido, fundamentalmente, por los problemas quepermitan resolver eficazmente.

2. Lo nuevo se construye a partir de lo antiguo ,perfeccionndolo o rechazndolo (como insuficiente oinapropiado) y, por tanto, conviene en cualquier proceso deenseanza aprendizaje, contemplar los conocimientosprevios




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ASPECTOS QUE DEFINEN LA ACTUAL CONCEPCIN DE LAENSEANZA / APRENDIZAJE DEL NMERO

Tener en cuenta las competencias numricas de los alumnos

Si observamos a los alumnos al inicio de la educacin primaria cuandocuentan, enumeran, construyen una coleccin o conjunto de un nmerodado de elementos, as como cando observamos sus procedimientos pararesolver sencillos problemas aritmticos, detectaremos una granheterogeneidad as como una gran inestabilidad en sus saberes y / ocompetencias.

p g yrea de Matemticas



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La mitad de los alumnos que inician la Primaria recitan ms all

del diez ( y en bastantes ocasiones, por encima del veinte),aproximadamente un diez por ciento recitan por encima delcuarenta; slo un escaso nmero de nios de estas edades (seisaos aproximadamente) no rebasan en su recitado el cuatro o elcinco.

Los errores en la enumeracin al comienzo de la educacinprimaria son los mismos que en la educacin infantil.

p g yrea de Matemticas



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Errores de secuencia: Se producen por el hecho de decir de formaincorrecta, ya sea por doble recuento u omisin.

Errores de particin: No se establece un orden que permita llevar uncontrol entre los objetos contados y no contados, por lo que quizscuenten un objeto ms de una vez. Es importante aclarar que cuandolos objetos estn ordenados en hilera se reducen los errores departicin; pero los nios y nias no utilizan espontneamente esteprocedimiento.Errores de coordinacin: En esta situacin no se coordina el recitadode la serie y la accin de establecer la correspondencia biunvoca conlos objetos a contar. A veces, los nios sealan con el dedo ms rpido

que lo que les lleva recitar la serie, dado el esfuerzo para recitarla.Otras veces recitan la serie demasiado rpido por querer demostrarle alos adultos que le rodean lo bien que lo saben y otras muy lento, debidoal esfuerzo que tienen que realizar para recordar la serie.

rea de Matemticas



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Los nmeros sirven para construir signif icados:

El significado de un concepto se construye por dos vas o caminos: En el poder que el concepto otorga al alumno de dominar, resolver

problemas para lo que el nmero, en este caso, constituye uninstrumento pertinente.

En el poder que el alumno tiene sobre el concepto, en el poder decaptar sus propiedades, de hacerlas funcionar, de utilizar unlenguaje (especialmente simblico) que permita explicitarlo, deestablecer conexiones y relaciones con otros conceptos.

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Las observaciones y estudios realizados han mostrado que los nioselaboran sus primeras competencias numricas muy temprano. Susactividades y experiencias diarias aumentan el deseo de saber ms,de avanzar, el placer ldico de memorizar la serie numrica, lasposibilidades que tienen de prever con el uso del calendario la fechadel da siguiente.

Es ilusorio buscar la construccin del concepto de nmero antes deutilizar los nmeros. Es, a travs del uso que el nio haga delnmero como elaborar sus propias concepciones del mismo

Se opta, pues, no por ensear los nmeros, sino por mucho ms, porpermitir primero utilizarlos, hacer con ellos cualquier cosa... con la finalidadde que las palabras y los smbolos que los designen se impregnen designificado.

rea de Matemticas

Propuesta didctico metodolgica de revisin de Proyectos Curriculares d M i


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La construccin de significados se produce por elreconocimiento y utilizacin de las funciones del nmero:

Para el trabajo del nmero, en el primer ciclo de la educacinprimaria, se deberan destacar las dos funciones siguientes delnmero:

el nmero como memoria: memoria de cantidad que permite evocaruna cantidad sin que sta est presente ( y que corresponde al aspectocardinal del nmero) y memoria de posicin u orden que permiteevocar el lugar en una tira numrica (y que corresponde al aspecto

ordinal).

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Propuesta didctico metodolgica de revisin de Proyectos Curriculares d M t ti


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el nmero como posibilidad de anticipar resultados: el nmero estambin la posibilidad de anticipar resultados para situaciones no

presentes o todava no realizadas (o sea, simplemente evocadas),pero acerca de las cuales se dispone de ciertas informaciones: losprocedimientos a aplicar por los alumnos van a pertenecer al mbitodel conteo o del clculo.

Durante los primeros cursos de la educacin primaria (primer ciclo yparte del segundo) se pueden plantear a los alumnos algunos grandesconjuntos-tipos de problemas que darn significado a los procesosnumricos y a las denominaciones orales o escritas de los nmerosrealizados:

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completar un conjunto B para que tenga tantos elementos como un conjunto A dado.

construir un conjunto B que tenga el doble, el triple,..., del conjunto A;

construir un conjunto B que debe tener tantos elementos como el conjunto A;

comparar dos conjuntos Ay B (desde el punto de vista de la cantidad de objetos que contienen);

PROBLEMAS QUE RELACIONAN DOS CONJUNTOS:Se trata en estos casos de:

Los nmeros pueden ser utilizados eficazmente para situarse, desplazarse en una tira o secuencia

numrica, en una serie de casillas. Por ejemplo, cuando se juega a la oca o al parchs.

PROBLEMAS ORDINALES

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Problemas en los que se realizan intercambios de objetos de valor diferente (porejemplo, para obtener tres cartas rojas es preciso entregar una carta azul),particularmente cuando se trata de anticipar o controlar el resultado del intercambio.(Conviene matizar que esas situaciones son delicadas para muchos alumnos que tienendificultades para admitir que uno no siempre vale uno y que, por ejemplo, es posibletener menos monedas y, a pesar de ello, tener ms dinero.

Problemas de divisin de un conjunto en conjuntos equipolentes o no, conociendo elnmero de partes a realizar (caso de una distribucin) o el valor de una parte (hacergrupos).

Problemas en que un conjunto conocido se encuentra separado en dos subconjuntos ydonde se trata de hallar el nmero de elementos de uno de los subconjuntos conociendoel nmero de elementos del otro.

Problemas en que se plantea la reunin de varios conjuntos, particularmente cuando setrata de anticipar el nmero de objetos a aadir a un conjunto conocido para obteneruna cantidad propuesta.

Problemas ligados a desplazamientos en una pista graduada (dnde se llegar si seavanza o retrocede un lugar o casilla? Cuntas casillas y en qu sentido es necesariodesplazarse para alcanzar un determinado punto o lugar?

PROBLEMAS DE ANTICIPACIN DE RESULTADO:Se trata de problemas que sern estudiados ms tarde recurriendo a las

operaciones aritmticas bsicas, particularmente:

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Estos diferentes problemas se pueden apoyar en situaciones en lasque estn en juego conjuntos de objetos, pero tambin situacionesque son del mbito de la medicin: puntos ganados en un juego,dinero, distancias, etc.Como se puede constatar por los tipos de problemas descritos se

trata, ciertamente, de proponer a los alumnos situacionesproblemticas antes de emprender cualquier estudio de lasoperaciones aritmticas.

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En los PROBLEMAS QUE UTILIZAN DOS CONJUNTOS (decomparacin de conjuntos o de construccin de un conjunto

equipolente a un conjunto dado, el alumno puede, por ejemplo, utilizar:

procedimientos que eviten uti lizar el recurso numrico: lacorrespondencia trmino a trmino para construir un conjunto equipotentea otro dado, comparar dos conjuntos y efectuar particiones odistribuciones, la correspondencia grupo a grupo que se emplea en lasmismas tareas anteriores, particularmente cuando la dimensin de lascolecciones aumenta; la estimacin que se basa, bien en unacomparacin con un conjunto presente o evocado mentalmente, bien enuna descomposicin de cantidades ms pequeas.

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procedimientos que utilicen, ms o menos explcitamente, el recurso a los nmeros:El subitizing o capacidad de enunciar de un vistazo el nmero de elementos u objetos de un

conjunto o coleccin pequea; La enumeracin (con varios niveles): ciertos nios no la utilizan a no ser que les sea aconsejado enumerar una coleccin (Puedes

contar) otros tambin se sirven de la enumeracin para responder a una pregunta que trata

explcitamente sobre la evaluacin de una cantidad (Cuntos cubos hay?) otros, finalmente, recurren espontneamente a la enumeracin en una tarea en la que no se le

sugiere explcitamente que utilice la enumeracin El sobreconteo (su dominio comprende varios niveles): el conocimiento del siguiente a un nmero dado y la posibilidad de deducir el valor de una

cantidad a la que se le aade un elemento la posibilidad de sobrecontar, es decir, enunciar la secuencia de los nmeros a partir de un

nmero cualquiera, contando la cantidad de nmeros enunciada (apoyndose eventualmente en

una ayuda como los dedos). Uno de los errores ms frecuentes es el que el nio no parte delnmero correcto (ejemplo: nueve ms tres: nueve, diez, once)

el sobreconteo realizado al elegir el mayor de los dos nmeros y aadir el ms pequeo.

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Para los problemas deANTICIPACIN el alumno puede utilizar:

Procedimientos propios del mbito del conteo;Procedimientos que pertenecen al mbito del clculo.

Los procedimientos del mbito del conteo se basan en una representacinreal , ms o menos prxima a la situacin real (manipulacin de objetos, dibujosde objetos, utilizacin de la recta numrica o de los dedos, sealizacin deobjetos fict icios,...) o por una representacin mental de la situacin (el alumnovisualiza, por as decirlo, de cabeza la situacin, particularmente en el caso decantidades muy pequeas).

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En una investigacin realizada por Oliva Gil, DAngelo y otros (1995)despus de analizar el comportamiento numrico infantil ante la preguntaCuntos objetos hay?, sistematizaron cuatro estructuras delpensamiento infantil, es decir, cuatro maneras de pensar respecto a loque significa cuantificar determinada cantidad de objetos.

Expresin oral (cuntos objetos hay?).No expresa nmero alguno ni intenta enumerar.Expresa un nmero como dato, pero no enumera los objetos.

Expresin escrita (pon en el papel cuntos objetos hay aqu).Utiliza marcas notacionales del campo grfico y puede llegar a imitaralguna marca rotacional de un nmero (sin enumeracin de los objetos).

No se identifican los nmeros o si seconocen como palabras, no sirven paraenumerar objetos.

COMPORTAMIENTOS DEL NIO/AHIPTESIS:Ausencia de enumeracin de objetos

1 estructura: No enumera objetos y aunque utiliza nmeros lo hace sin descubrir su funcin en la cuantificacin

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Expresin oral (cuntos objetos hay?)Enumera los objetos (de forma convencional o no, cambiando u omitiendotrminos) y contesta con varios nmeros (como si de una enumeracin denmeros se tratara): 1, 2, 3, 1, 3, 4 enumeracin de los objetos).Expresin escrita (pon en el papel cuntos objetos hay)Con marcas rotacionales del campo matemtico, del lenguaje escrito o delgrfico, representa la enumeracin. Por ejemplo, para expresar 4:

I I I I0 0 0 01 2 3 4Uno dos tres cuatro

Utiliza la serie numrica para identificar ycomunicar la cantidad.La serie numrica sirve tanto para lasfunciones instrumentales (contar) comopara las formales (nombrar cunto es ocunto hay).

COMPORTAMIENTOS DEL NIO/AHIPTESIS:Enumeracin de la cantidad

2 estructura: Enumera objetos utilizando la serie numrica (en el orden convencional o propio) y expresa el resultado conuna serie de nmeros y no con un cardinal solamente. An habiendo descubierto la serie numrica convencional, puedecomenzar desde el nmero 1 y hasta omitir o intercambiar cardinales. Por ejemplo, Aunque nunca incluye el nmero 7,ante 8objetos expresa 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8.



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Expresin oral (cuntos objetos hay?)Enumera y responde con un solo nmero que puede coincidir, o

no, con la cantidad de objetos enumerados.Si se le pregunta si con los objetos que tiene le alcanza para daruna determinada cantidad, tiene que volver a contar para contestara pesar de haberlo hecho unos segundos antes.Expresin escrita (pon en el papel cuntos objetos hay)Aparece un solo cardinal.Si se le pregunta si con los objetos que tiene le alcanza para daruna determinada cantidad, tiene que volver a contar para contestara pesar de haberlo hecho unos segundos antes.

Utiliza la serie numrica paraidentificar la cantidad y un cardinal

(sin inclusin en la jerarqua propiadel sistema) para informar elresultado.La serie numrica sirve para lasfunciones instrumentales (contar) yun cardinal sin inclusin ordinalpara los aspectos formales(nombrar cunto es o cunto hay).Hay representacin mental de laserie numrica, pero no de lacantidad.

COMPORTAMIENTOS DEL NIO/AHIPTESIS:Valor cardinal

3 estructura: Enumera objetos utilizando la serie numrica y responde con un solo nmero (cardinal),coincidiendo o no con la cantidad real de objetos. Puede, o no, comenzar la serie numrica desde elnmero 1, pero el resultado es un solo cardinal.Coincide con haber descubierto lo que Baroody denomina regla del valor cardinal.



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(c) Domingo Fernndez Sabido y

Jos Luis Luceo Campos 71

Expresin oral: cuntos objetos hay?. Con los objetos que tienes,te alcanza para darme...? (la misma cantidad), y...? (una

cantidad menor), y...? (una cantidad mayor).Contesta con seguridad utilizando un cardinal, sin necesidad devolver a contar los objetos en cada oportunidad.Expresin escrita:pon en el papel cuntos objetos hay, siguiendolas preguntas detalladas en la expresin oral.Utiliza un cardinal, sin necesidad de volver a contar los objetos encada oportunidad.

Las funciones instrumentales(contar) y las formales (nombrar

cunto es o cunto hay) se realizancon cardinales incluidos en unsistema jerrquico.Se conceptualiza una serienumrica con ordinalidad porquehay representacin mental de lacantidad (inclusin jerrquica).

COMPORTAMIENTOS DEL NIO/AHIPTESIS:Cuenta cardinal

4 estructura: Responde con un nmero (cardinal) que identifica dentro del sistema decimal (implicaordinalidad). Despus de responder con un cardinal, por ejemplo 6, puede responder adecuadamente apreguntas como las siguientes sin necesidad de volver a contar los objetos: Con los objetos que tienes,

te alcanza para darme 6? (la misma cantidad), y 5? (una cantidad menor), y 7? (una cantidadmayor). De modo que, despus de detectar la estructura anterior, es decir, la del valor cardinal, se puedeaveriguar si respecto a la cantidad que el nio/a expresa tiene construida la regla de la cuenta cardinal.Coincide con haber descubierto lo que Baroody denomina regla de la cuenta cardinal.



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Para el aprendizaje del nmero habra que utilizar cuatro grandesmomentos organizativos donde contar con sentido sera una actividadhabitual:

En la vida cotidiana del aula:

Cuntos somos en la clase?Cuntos nios y nias han venido hoy a clase?Cuntos nios y nias han faltado?Cuntas frutas tenemos que traer a clase para

comer una cada uno?



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Al realizar juegos:

Si somos 25 qu podemos hacer para tener dos equiposcon la misma cantidad de nios y nias?

Cuntos puntos has hecho t?

Al desarrollar proyectos de trabajo:Cuntos...necesitamos para...?Cuntos equipos de trabajo hemos formado?

Cuntos murales hemos hecho?Cuntos equipos de seis alumnos hemos formado?



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Al desarrollar actividades ldicas semiestructuradas (concarcter ldico, pero que no son juegos):

Ponemos tantos lpices como chicos y chicas estamos en cadagrupo.

Agregamos o sacamos dos lpices del lapicero cuntos tenemos

ahora?Ponemos el doble de lpices de los que hay en la mesa. Ahoraponemos la mitad.



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L a construccin del concepto nmero / cantidad querepresenta el logro o dominio del principio cardinal debiera pasar por

las fases siguientes:

1: Actividades manipulativas en las que se asocien conjuntos conelementos idnticos y en la misma cantidad: Ejemplo: se le indica al

alumno que extraiga de un recipiente la misma cantidad de bolas quehay encima de la mesa.

2: Actividades manipulativas en las que asocien un conjunto de

elementos distintos pero con la misma cantidad: Ejemplo: se le indica alalumno que extraiga de un recipiente la misma cantidad de bolas que demuecos hay encima de la mesa.



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3: Actividades en las que se asocien cantidades (estticas) cuandolos elementos presentan la misma configuracin: Un ejemplo de estaactividad es el juego del domin en el que los elementos de lacantidad aparecen siempre en la misma disposicin, as, con el cuatrohay que poner otro cuatro.

Otro ejemplo de actividad de este tipo es el de tacha todas lastarjetas que tengan el mismo nmero de puntos que esta que te doyo tacha todas las tarjetas que tengan tres puntos como sta.



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4: Actividades de reproduccin de cantidades: Una actividad muyinteresante es el Juego de las tiendas, en el que se trata de comprar

con monedas realizadas con cartulinas. Con cada cartulina se puedencomprar tantos objetos como figuren en ella:O O O

Puedo comprar 3 objetos Puedo comprar 3 objetos

5: Identificar cantidades: La identificacin se puede realizar mediante signosmotores (mostrar el nmero de dedos correspondientes a una cantidad dada).Actividades como la de mostrarles objetos o dibujos indicndoles que nosenseen o extiendan el mismo nmero de dedos, diciendo, al mismo tiempo, la

palabra nmero correspondiente: un perro, dos perros, ...En esta fase se potenciar el que los nios representen conjuntos ocolecciones de objetos mediante smbolos espontneos, cada vez msarbitrarios, hasta llegar a los guarismos o cifras estandarizados o habituales.



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Hughes (1986) seala que en la aparicin de lo simblico seobservan cinco etapas o fases:

Fase de respuestas idiosincrsicas: Lo simbolizado no presenta ningunarelacin con el referente para personas ajenas al nio. Sin embargo,esto no quiere decir que carezca de relacin para el nio que la realiza.

Fase de respuestas pictogrficas: El nio representa algo parecido a lo quetiene delante, dejando constancia de la cantidad existente de objetos.Aunque no lo logre plenamente hay una clara intencin decorrespondencia entre lo real y lo que el nio intenta representar. El niose centra ms en la fidelidad al modelo que en la intencin comunicativa.

Si el nio, por ejemplo, ha de transmitir por escrito la existencia de cuatrobalones, intentar ms dibujar estos cuatro balones que a transmitir elnmero correcto de los mismos.



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Fase icnica: En esta fase se establece una correspondencia plena entrelo que representa y la realidad, mostrando unos smbolos que van

directamente a la intencin de la comunicacin y no a reproducirfielmente el modelo. El nio entiende lo que tiene que hacer y lorepresenta de manera econmica y personal.

Fase simblica: Utiliza el nombre de los nmeros (los numerales) o bien lascifras, como forma ms rpida y econmica y efectiva, tanto para lcomo para el receptor de la informacin.



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Los pasos para trabajar la cifra escrita debieran ser los siguientes:PRIMERO: Invencin, simbolizacin propia o idiosincrsica. Cada alumno

representa la cantidad con un signo que se inventa.SEGUNDO: Eleccin de smbolos comunes a nivel de la clase. Se ponende acuerdo en adoptar una simbologa comn a toda la clase. Se trata deiniciarlos en la arbitrariedad y convencionalidad del signo numrico onumeral.

TERCERO: Simbologa convencional. La que utilizan sus padres, susamigos, en los anuncios,...CUARTA: Discriminacin perceptivo visual. Ejemplo: Rodea los nmerosque sean iguales al de arriba:

Cuantas ms sean las caractersticas compartidas entre las cifras ms fcilser que las confunda. Las cifras fciles de confundir deben ensearse

juntas ( 6 y 9, 2 y 5, 7 y 1, ...) a fin de destacar explcitamente susdiferencias.



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QUINTO: realizacin de movimientos grafomotrices de base

adecuados:3 5 6Estas fases (4 y 5) adems de las dos siguientes (6 y 7) de

reconocimiento y escritura del nmero debieran realizarse despusdel dominio del principio de cardinalidad, ya que en el caso de una

precipitacin innecesaria no se encontraran con un significante (lagrafa numrica) carente de significado.



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SEXTO: Ordenacin de cantidades: Se trabajar la comparacin numricade conjuntos o colecciones. El objetivo formal de esta fase es que el nio

compare numricamente dos cantidades utilizando los cardinales de dosconjuntos para finalizar ordenando / seriando de mayor a menor y de menora mayor una serie de objetos o de nmeros desordenados.SPTIMO: Lectura y copia: La copia se debe comenzar con ejercicios dedesvanecimiento.

OCTAVO: Dictado numrico visual: Se le presentan grupos de objetos otarjetas con dibujos y el alumno escribe el numeral correspondiente.NOVENO: Dictado numrico auditivo y/o rtmico: El maestro o maestra daun nmero de palmadas o golpes y el alumno escribe el numeralcorrespondiente.

DCIMO: Dictado de nmeros propiamente dichos. El maestro dicta uno,ocho, siete,... y los alumnos los escriben.



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Colocar una recta numrica de referencia en la pared:

10987654321

a) Encontrar la cifra escrita de una palabra-nmero:El maestro pronuncia seis y el alumno contando casilla a casilla oralmentellega a la cifra 6. La puede copiar, puede mostrar un cartn con esa cifra,

jugar al bingo,...b) Encontrar la forma leda de una cifra escrita:El maestro le pide a los alumnos mediante una cifra escrita (8, por ejemplo)una cantidad de objetos. El nio localiza la casilla donde figura el dibujo 8 ycuenta desde la primera casilla hasta llegar a la del 8 emitiendo la palabra

nmero ocho. Aunque es incapaz de leer directamente la cifra 8 haencontrado su forma leda al leer todas las cifras que le preceden gracias a larecta numrica. Desde ese momento conoce la cantidad por su denominacinoral (palabra nmero) y es capaz de formar la coleccin / grupo que se lesolicita.



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La comparacin se iniciar a travs de los cuantificadores (ms, menos,igual, tanto como, mayor que, menor que, el ms pequeo, el ms

grande, el primero, el ltimo, ...) para utilizar, a continuacin lacomparacin explcita con los cardinales de los conjuntos. Lasactividades pasarn por las etapas manipulativas, representativas ofigurativas y simblicas gradualmente.Tres son los criterios que deben guiar la eleccin de actividades de

comparacin desde un punto de vista jerrquico:

PRIMERO: La comparacin se iniciar por conjuntos de cantidades muydispares que son ms fciles de identificar que entre conjuntos decantidades ms prximas (es ms fcil comparar un conjunto de treselementos con otro de ocho que la de un conjunto de siete elementoscon otro de ocho elementos).



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SEGUNDO: Es ms fcil, dentro del criterio anterior, comparar conjuntosde elementos que se puedan fsicamente manipular, agrupar,emparejar,... que las representaciones ms o menos figurativas de loselementos en cuestin (puntos, cruces, estrellas,...).TERCERO: Los dos criterios anteriores habra que conjugarlos con elcriterio de que los conjuntos viniesen dados o tuvieran que serconstruidos por los propios nios, aunque esto ltimo sera de mayordificultad.De la conjuncin de estos tres criterios se podran proponer lasactividades siguientes:



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La graduacin podra ser la siguiente:

1. Conjuntos dados con objetos manipulables:

comparar dos grupos de alumnos.

comparar dos conjuntos de lpices.

situaciones problemticas como las de formar un gran grupo de

alumnos y colocar en un plato un conjunto de galletas o caramelosy luego preguntar: hay galletas o caramelos para todos?,sobrarn?, faltarn?.

2. Conjuntos a construir por los alumnos con objetosmanipulables:

dado un conjunto de lpices, que los alumnos construyan un conjuntomayor, menor o igual.



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Comparar dos conjuntos o colecciones con objetos representados (lminas):

ante una lmina con gallinas y los respectivos huevos que han puesto,preguntarles: qu gallina ha puesto ms huevos?,qu gallina ha puestomenos huevos?

ante una lmina con manzanos, preguntar: qu rbol tiene ms manzanas?,qu rbol tiene menos manzanas?

ante el dibujo de un chaleco que tiene ms botones que ojales, preguntar: sepodr abrochar bien?, por qu?, qu hay ms, ojales o botones?

ante un grfico como el que sigue, preguntar: dnde hay los mismos crculos quearriba?, dnde hay ms que arriba?, dnde hay menos que arriba?

O O O O OO O O O OO O O

O O O

O O O O O



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Construir / representar una cantidad mayor, menor o igual a larepresentada en una lmina:

Dibujar tantos balones como futbolistas hay en la lmina. Dibujar en el rbol de la derecha ms manzanas que en el de la

izquierda.

Comparar numricamente dos cantidades a travs del recuento separado

y la comparacin de cardinales:Se pide a un alumno que traiga lpices (uno para cada compaero) para los

miembros de su equipo de trabajo. Esta actividad se puede complicar en elsentido de indicarle que traiga ms lpices que compaeros, por ejemplo,trae un lpiz ms ya que a Enrique hay que darle dos. Es obvio que obligaal alumno a contar, primero, el nmero de alumnos del equipo y, despus,al retirar los lpices del recipiente, contar el mismo o ms, nmero delpices.



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Adivinar el nmero ms alto entre dos nmeros dados: Qu nmero es mayor, cuatro o siete?

Qu nmero est antes del nueve? Y despus del seis?La recta numrica puede servir a este efecto as como las actividades de

medida.Una vez conseguida esta habilidad de comparacin de dos conjuntos se

debera pasar a las actividades de ordenacin y seriacin. Lasactividades a proponer podran ser del tipo siguiente: Dibujar ocho gallinas y sus hueveras y unas cantidades distintas de

huevos puestos por cada gallina (siete huevos, seis huevos, cincohuevos, ....) y se les propone a los alumnos:

Colorea de verde la gallina que ha puesto ms huevos y colorea deamarillo la gallina que ha puesto menos.

Recorta las hueveras y pgalas ordenadas desde la que tiene mshuevos hasta la que tienen menos huevos.



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Ordena los nmeros siguientes de mayor a menor:

1, 3, 4, 5Escribe el nmero que va en medio de cada serie:5 ____ 7 4 ____ 2 8 ____ 6Escribe los nmeros vecinos de cada uno de los siguientes:

___ 6 ___ ___ 8 ___ ____ 4 ____



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Composicin y descomposicin numrica:Los procesos de razonamiento numrico que implican el establecimiento/ descubrimiento de relaciones numricas estn implicados en lasactividades de composicin descomposicin numrica.La composicin de dos nmeros implica comprender que, al aadir o

juntar uno a otro, se obtiene un nmero mayor que cualquiera de los dos

que se juntan. Por el contrario, descomponer un nmero representa elpercatarse de que cualquiera de ellos es menor que el que los origina yque su composicin conduce al nmero que se descompuso, dividi oparti. La accin, pues, de componer o descomponer un nmero, implicala relacin entre el todo y sus partes. Las actividades adecuadas para

trabajar esta faceta numrica podran ser:



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Con estas seis bolas haz dos grupos iguales, haz dos grupo en los que unoes mayor que el otro, haz tres grupos iguales,...El siete es igual que el 4 y el.... juntos, el siete es igual que el 9 menos.....,si con 9 hago dos grupos iguales me sobra ....Dado un conjunto de objetos y un cardinal, dibujar los objetos que faltanhasta que coincidan con el cardinal.Dado un conjunto de objetos mayor que el cardinal, tachar los objetoshasta que coincidan con el cardinal.



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PLANTILLAS PARA LA EVALUACIN DE LA ADQUISICIN DEL CONTEO

1. As igna un nmero sealando ms de una vez un objeto.

2. Seala dos veces un objeto sin asignarle etiqueta.

3. Seala de modo irregular los objetos y dice los numerales sinconexin con los objetos ni los sealamientos.

4. Hace gesto rasante sobre los objetos y emite numeralessimultneamente y de manera continua.

5. Cuenta dos veces dos o ms objetos.

Duales

1. Seala correctamente el objeto pero omite la etiqueta.

2. As igna dos etiquetas a un objeto correctamente sealado.

3. As igna et iqueta sin objeto ni sealamiento.

4. Fracciona un numeral entre dos objetos y dos sealamientos.

Temporales

1. Omite objetos , no los seala ni etiqueta en un numeral.

2. Seala y etiqueta ms de una vez los objetos.

3. Seala y etiqueta un lugar vaco entre los objetos.

Espaciales

Observaciones en las tareas que realizaErrores

Corres-ponden-cia unoa uno



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a)

Sabe que la lista est formada solo por numerales.b) Sabe que tiene un orden determinado.

c) Sabe que cada numeral es nico y no se repite.

NIVELES EN LA ELABORACIN DE LA SECUENCIA:

1. Nivel de hilera o cuerda. Empieza mecnicamente por el 1.

2. Nivel de cadena irrompible.

3. Nivel de cadena rompible.

4. Nivel numerales como elementos contables.

5. Nivel de flexibilidad de la secuencia (delante-detrs).

Secuenciadenumerales



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1. Incomprensin. Respuesta al azar.

2. Repite la secuencia del conteo.

3. Vuelve a contar a la pregunta cuntos objetos hay?

4. Regla del cuntos . Da el lt imo numeral empleado sea ste correctoo incorrecto.

5. Da el nmero mayor que ha empleado.

6. Respuesta correcta.

Cardinalnumrico



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Todos los objetos de un conjunto o coleccin,homogneos o heterogneos, son elementoscontables.

Abstraccin

El orden en que se asignan los numerales (oetiquetas) a los objetos resulta irrelevante,siempre y cuando se etiquete una sola vez cada

uno de los elementos de un conjunto.

Irrelevancia delorden



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PROCEDIMIENTOS PARA RESOLVER PROBLEMAS

1. Correspondencia trmino a trmino:Construir una coleccin equipotente a otra.

Comparar dos colecciones.

Efectuar distribuciones o repartos.

Comunicar cantidades.

Las designaciones grficas que emplean son analgicas.



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2. Correspondencia subconjunto a subconjunto :

Construir un conjunto equipotente a otro.

Procedimiento de control.



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3. Estimacin puramente visual.

4. Subitizar.

Se emplea cuando hay una configuracin especial. Poco fiable

Reconocer inmediatamente la cantidad por simple percepcinglobal. Los nios cuentan as hasta 5.



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5. Contar.

6. Recontar.

7. Descontar.

Cuando se adjunta una coleccin a otra: Ej. 5 y 3: uno, dos, tres,cuatro, cinco, seis, siete y ocho.



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8. Sobrecontar.

Ej. 5 ms 3 igual a 6, 7 y 8.

9. Procedimientos mixtos.



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Procedimientos de clculo:

Memorizados.

Tcnicas de clculo, descomposiciones, transformaciones, etc.5 + 7 = ( 5 + 5 ) + 2 = 10 + 2 = 12

8 + 6 = ( 8 + 2 ) + 4 = 10 + 4 = 14

13 + 9 = 13 + 10 -1 = (13 + 10) 1 = 23 1 = 22

El nio pasa de unos procedimientos ms costosos a otros ms econmicos.



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PSICOPEDAGOGA DE LA DECENA, LA CENTENA Y EL MILLAR.EL PRINCIPIO DEL VALOR RELATIVO O POSICIONAL.

Para leer un nmero se debe codificar la informacinespecif icada por la posicin (el orden y el lugar). Esta

codificacin se realiza y, por supuesto, el alumno tiene queaprender los pasos siguientes:



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1: Observar el nmero de cifras que tiene. El nmero 37, porejemplo, tiene dos cifras.

2: Especif icar las relaciones entre las cifras. En el nmero 37quiere indicar que la primera cifra (por la izquierda) el 3, ocupael grupo de los dieces (la serie de las decenas) y el 7, elsegundo lugar, el de la derecha) ocupa el grupo de los unos(la serie numeral del uno al nueve, de las unidades.

3 7



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3:Llenar cada lugar con el nombre especfico y adecuado

para cada nmero intercalando en medio la conjuncin y .En el caso del nmero 37, el lugar de las decenas se rellenacon la palabra treinta de la serie de las decenas, y el lugarde las unidades se rellena con la palabra siete de la serienumrica del uno al nueve.

treinta (y) sieteDIECES UNOSdecenas unidades



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El procedimiento con las fases descritas se aplica a la lecturade todos los nmeros de dos cifras, excepto los nmeros 11,12, 13, 14 y 15 y de las decenas completas 20, 30, 40, ...nmeros con 0 en el lugar de las unidades). Para leer los

nmeros 11, 12, 13, 14 y 15 debe recordar los nombresespeciales aprendidos de memoria., igual que los nombres delas decenas completas, (once, doce, trece, catorce, quince,veinte, treinta,...).



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Para leer nmeros de tres cifras el procedimiento es mscomplejo.

La dificultad aadida es la regla de iniciar la lectura con elnombre del dgito extrado de las unidades adjuntndole lapalabra cientos .

Ejemplo, para leer 345, se evoca el nombre del nmero 3 ( tres )y se le aade cientos y se contina leyendo como los de doscifras cuarenta y cinco .

tres (cientos) cuarenta (y) cincoUNOS DIECES UNOSunidades decenas unidades



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Cuando el cero ocupa el lugar de los dieces (decenas) debeaplicarse la regla de los ceros intermedios , es decir, los cerosintermedios no se nombran sino que se debe saltar el lugar que

ocupe (las decenas). En el caso del nmero 305: tres + cientos +cinco.

tres (cientos) (silencio) (y) cinco

UNOS DIECES UNOSunidades decenas unidades



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Aprender a leer nmeros de cuatro cifras implica aprender el nombre del

lugar de las unidades de millar. Los pasos se pueden resumir, tomandocomo ejemplo el nmero 4.684, en los siguientes:

cuatro + mil + seis + cientos + ochenta (y) cuatro

UNOS UNOS DIECES UNOSunidades unidades decenas unidades

Las nicas excepciones para la lectura de las centenas son las delnmero 500 (quinientos) y 700 (setecientos).



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En el caso de los nmeros de 5 6 cifras hayque anteponer a la palabra mil el nombre de

la decena o centena correspondiente:12.584 (doce mil quinientos ochenta y cuatro).415.632 (cuatrocientos quince mil seiscientostreinta y dos).



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El conocimiento profundo de nuestro sistema de numeracin debase diez, implica comprender:

la equivalencia de los rdenes de base diez; 10unidades equivalen a una decena, 10 decenas auna centena, etc.



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Prop Revision PCCde Mates-jose Luis Luceño Campos