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IntroduçãoProjeto de controladores
Projeto através do lugar das raízes
Guilherme Luiz Moritz1
1 DAELT - Universidade Tecnológica Federal do Paraná
04 de 2013
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Introdução
Objetivos
Observar como o gráfico do root locus pode ajudar noprojeto de compensadoresEntender os métodos de cálculo de compensadoresSaber quando utilizar cada um dos compensadores
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Introdução
Objetivos
Observar como o gráfico do root locus pode ajudar noprojeto de compensadoresEntender os métodos de cálculo de compensadoresSaber quando utilizar cada um dos compensadores
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Introdução
Objetivos
Observar como o gráfico do root locus pode ajudar noprojeto de compensadoresEntender os métodos de cálculo de compensadoresSaber quando utilizar cada um dos compensadores
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Introdução
Revisão do Plano S
H(S) =ω2
n
s2 + 2ζωns + ω2n(1)
Tp =π
ωn√
1− ζ2=
π
ωd(2)
Ts =4ζωn
=4σd
(3)
cos(θ) = ζ (4)
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Introdução
Revisão do Plano S
H(S) =ω2
n
s2 + 2ζωns + ω2n(1)
Tp =π
ωn√
1− ζ2=
π
ωd(2)
Ts =4ζωn
=4σd
(3)
cos(θ) = ζ (4)
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Introdução
Revisão do Plano S
H(S) =ω2
n
s2 + 2ζωns + ω2n(1)
Tp =π
ωn√
1− ζ2=
π
ωd(2)
Ts =4ζωn
=4σd
(3)
cos(θ) = ζ (4)
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Introdução
Revisão do Plano S
H(S) =ω2
n
s2 + 2ζωns + ω2n(1)
Tp =π
ωn√
1− ζ2=
π
ωd(2)
Ts =4ζωn
=4σd
(3)
cos(θ) = ζ (4)
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Introdução
E para sistemas de ordem superior?
Aproximação de segunda ordemPólos 5x mais afastados dos pólos dominantesZeros próximos a pólos
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto de controlador P
Com o ajuste do ganhopodemos alterar Ts, Tp eζ
Por consequênciaalteramos o erro deestado estacionárioPodemos chegar em A,mas não em BComo chegar em B?
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto de controlador P
Com o ajuste do ganhopodemos alterar Ts, Tp eζ
Por consequênciaalteramos o erro deestado estacionárioPodemos chegar em A,mas não em BComo chegar em B?
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto de controlador P
Com o ajuste do ganhopodemos alterar Ts, Tp eζ
Por consequênciaalteramos o erro deestado estacionárioPodemos chegar em A,mas não em BComo chegar em B?
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto de controlador P
Com o ajuste do ganhopodemos alterar Ts, Tp eζ
Por consequênciaalteramos o erro deestado estacionárioPodemos chegar em A,mas não em BComo chegar em B?
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Uso de compensadores
Adicionam pólos e zeros ao sistemaPodem ser ativos ou passivosPodem ser instalados em cascata ou na malha derealimentaçãoQuais as vantagens de cada um?
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Uso de compensadores
Os controladores adicionam pólos e zeros ao sistema,alterando o lugar das raízes para passar por pontosespecificados no projeto.
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Exemplo
Considere o sistema abaixo, com K = 841
pole(T)ans =-10 + 27.22i-10 - 27.22i
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Exemplo controlador P
P.O. = 31.5% (5)
Ts = 0.4s (6)
Step Response
Time (seconds)
Am
plit
ud
e
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Requisitos
Reduzir o percentual de overshoot para 6% sem alterar otempo de estabilização
Ts =4ζωn
=4σd
(7)
cos(θ) = ζ (8)
ζ =−ln(P.O./100)√π2 + ln2(P.O./100)
(9)
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Exemplo
Ts =4ζωn
= 0,4→ ζωn = 10 (10)
P.O. = 6%→ ζ = 0,667→ ωn√
1− ζ2 = 11,17 (11)
s1,2 = −10± 11,17j (12)
O ponto encontrado pertence ao lugar das raízes?
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Exemplo
Ts =4ζωn
= 0,4→ ζωn = 10 (10)
P.O. = 6%→ ζ = 0,667→ ωn√
1− ζ2 = 11,17 (11)
s1,2 = −10± 11,17j (12)
O ponto encontrado pertence ao lugar das raízes?
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto P
θ = 180o(2k − 1),−θ1 − θ2 = 180o(2k − 1),θ1 = arctg(11,17
10 ) = 48,16o,
θ2 = 180o − arctg(11,1710 ) =
131,84o.
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto P
Determinando o ganho:
|KG(S)H(S)|s=−10+11j = 1→ K = 224,77 (13)
Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4 System: sys_fbPeak amplitude: 1.06Overshoot (%): 6At time (seconds): 0.283
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto P por faixa
P.O. < 16% e Ts < 8s → OK
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto P por faixa
P.O. < 10% e Ts < 0,19s → Impossível!
O que fazer quando somente uma alteração de ganho não forsuficiente para atender as especificações?
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto P por faixa
P.O. < 10% e Ts < 0,19s → Impossível!
O que fazer quando somente uma alteração de ganho não forsuficiente para atender as especificações?
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Compensador PI
O compensador PI pode eliminar o erro de estadoestacionárioTécnica: Incluir um pólo na origem do plano SO pólo altera o lugar das raízes: adiciona-se um zero paracancelá-lo
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Compensador PI
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Compensador PI
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Compensador PI - Exemplo
Corrigir de estado estacionário do sistema, com mínimaintervenção na resposta transitória. ζ = 0,174
Incluir um compensador PI conforme figura:
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Compensador PI - Exemplo
Determinar os pólos de malha fechada para o sistema semcompensação
K = 164,6S1,2 =−0,694± j3,926Kp = 8,23e(∞) = 0,108
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Compensador PI - Exemplo
Determinar os pólos de malha fechada para o sistema semcompensação
K = 158,2S1,2 =−0,678± j3,837Kp =∞e(∞) = 0
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Compensador por atraso de fase
Integradores e diferenciadores são implementados comamplificadoresSistemas ativos→ Caros e complexosÉ possível simular seu comportamento comcompensadores ativos, de atraso (P) ou avanço de fase(D)
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Compensador PI
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Compensador PI
Gc(S) = K1 +K2
S=
K1
(S + K2
K1
)S
(14)
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Compensação PD
Possível controlar o P.O. da resposta e diminuir o Ts
Técnica: Inclusão de um zero na função de transferênciade malha abertaOnde?
Projetar um compensador PD para o sistema abaixo, sendoP.O. = 16% e com redução de 3 vezes no tempo deassentamento (Ts).
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Compensação PD
Possível controlar o P.O. da resposta e diminuir o Ts
Técnica: Inclusão de um zero na função de transferênciade malha abertaOnde?
Projetar um compensador PD para o sistema abaixo, sendoP.O. = 16% e com redução de 3 vezes no tempo deassentamento (Ts).
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Exemplo PD
Passo 1: P.O. = 16%→ ζ = 0,504Passo 2: Observar o lugar das raízes e encontrar o pontode interseção entre a reta de ζ = 0,504 e o lugar dasraízes→ S1,2 = −1,205± j2,064, quando K = 43,35
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Exemplo PD
Passo 1: P.O. = 16%→ ζ = 0,504Passo 2: Observar o lugar das raízes e encontrar o pontode interseção entre a reta de ζ = 0,504 e o lugar dasraízes→ S1,2 = −1,205± j2,064, quando K = 43,35
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Exemplo PD
Passo 3: Calcular o settling time:Ts = 4
ζωn= 4
1,205 = 3,320
S1,2 = −1,205︸ ︷︷ ︸ζωn
±j 2,064︸ ︷︷ ︸ωn√
1−ζ2
(15)
Passo 4: O settling time deve ser reduzido para 13 :
Ts′ =3,320
3 = 1,107s
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
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Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Exemplo PD
Passo 3: Calcular o settling time:Ts = 4
ζωn= 4
1,205 = 3,320
S1,2 = −1,205︸ ︷︷ ︸ζωn
±j 2,064︸ ︷︷ ︸ωn√
1−ζ2
(15)
Passo 4: O settling time deve ser reduzido para 13 :
Ts′ =3,320
3 = 1,107s
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Exemplo PD
Passo 5: Calcular a posição dos novos pólos para atendero settling time
σd = ζωn =4Ts
=4
1,107= 3,613 (16)
ζ = 0,504→ ωn = 7,16rad/s → ωd = ωn√
1− ζ2 = 6,19(17)
S1,2 = −3,613︸ ︷︷ ︸ζωn
±j 6,19︸ ︷︷ ︸ωn√
1−ζ2
(18)
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Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Exemplo PD
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Exemplo PD
Passo 7: Como fazer para o root locus passar pelo pontoespecificado??Adicionar o pólo, a nova contribuição angular deve fazer oponto fazer parte do lugar das raízes!∑
θi = (2k + 1)180o (19)
−θpolos + θzeros = 180o, k = 0 (20)
−275,6o + θzeros = 180o (21)
θzero = 95,6o (22)
σ = −3,006 (23)
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Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto PD
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto PD
Gc(s) = K1s + K2 = K1
(s +
K2
K1
)(24)
No exemplo, K1 = 1 e K2 = 3,006
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto PID
Gc(s) = K1s+K2
s+K3s =
K1s + K2 + K3s2
s=
K3
(s2 + K1
K3s + K2
K3
)s
(25)
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Exemplo PID
Etapas do projeto:Determinar desempenho do sistema não compensado;Projetar o PD (localização do zero e determinação doganho) para obtenção das especificações do projeto;Simular sistema;Reprojetar, se necessário;Projetar o PI para correção do erro de estado estacionário;Determinar os ganhos K1, K2 e K3;Simular sistema e;Reprojetar, se necessário.
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto PID
Dado o sistema abaixo, projetar um controlador PID para que osistema opere com 2
3 do tempo de pico do sistema nãocompensado, com P.O. = 20% e erro de estado estacionárionulo para entrada em degrau.
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto PID
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto PID
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto PID
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto PID
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes