Indledning

Vi har valgt at besvare spørgsmålet Kvadratur -, kubatur- etc-metoder i 1600-tallet

før Newton og Leibniz. Efter en kort kildekritik giver vi et oprids af matematikkens

historie som den i store træk har udviklet sig fra det gamle Grækenland og op til 1600-

tallet. Dernæst går vi i dybden med 3 primære kilder af hhv. Kepler, Fermat og Roberval

i nævnte rækkefølge. Det er vores mål at disse kilder skal belyse den egentlige

matematik, som den tog sig ud i 1600-tallet. Specielt med henblik på at finde arealet

under forskellige kurver. Undervejs i gennemarbejdningen af kilderne vil der blive

knyttet enkelte historiske kommentarer for at sætte tingene i sammenhæng.

Til det historiske afsnit er der brugt litteratur af C.H. Edwards, Jens Lund, Victor J. Katz,

C. B. Boyer og Paolo Mancosu. I de andre afsnit er det nøje markeret med fodnoter hvor

vi har vores oplysninger fra.

Alle citater er sat i kursiv.

Kildekritisk afsnit

Opgaven er først og fremmest bygget op om 3 kilder, som er behandlet i detaljer. Disse er

givet til os som primærkilder, dvs. at de pågældende matematikere selv har skrevet

teksterne og der er således hverken lavet om på indholdet eller digtet mere til. Disse

kilder er altså yderst troværdige når vi behandler 1600-tallets matematik.

Vi har dog været nødt til at benytte sekundær litteratur når vi skulle se tingene i deres

historiske kontekst. En vigtig andenhåndskilde er Katz: A history of mathematics. Vi har

tilladt at betragte oplysningerne i denne som troværdige og bruge dem uden at forholde

os yderligere til dem. Dette gælder også vores øvrige sekundærlitteratur, hvor det dog

skal bemærkes at biografierne hentet fra MacTutor er knap så udførlige og detaljerede

som dem hentet fra Dictionary of Scientific Biography. Specielt er der uenighed om

Fermats fødselsdato i de to biografier af ham, hvilket gør at vi må overveje

troværdigheden af MacTutors artikel . Vi har dog ikke fundet andre uoverensstemmelser

hvorfor vi antager (med dette enkelte forbehold) at vi også kan stole på oplysningerne

hentet fra MacTutor.

Den historiske baggrund

I århundreder havde den græske matematik været i rivende udvikling. Store matematikere

som bl.a. Eudoxus, Euklid, Archimedes, Pappus og Apollonius havde bidraget til dette,

men i 476 e.v.t., da det Vestromerske Rige faldt, begyndte udviklingen at vende.

Kollapset medførte bl.a. at den videnskabelige udvikling blev sat i stå og den blev ikke

genoptaget før meget senere.

Den græske matematik holdt stadig stand i det Østromerske Rige, men uden at blomstre

som den tidligere havde gjort.

I 391 blev kristendommen under Theodosius den Store udnævnt til at være den eneste

tilladte religion1 og dette fik betydning for de græske skoler. Disses ideer og filosofier

blev som følge af kristendommens indtog anset for hedenske og i 529 blev de lukket.

Den matematik der blev bevaret i Vesteuropa efter Romerrigets fald var på ingen måde

på højde med tidligere. De store kulturelle og sproglige omvæltninger gjorde at den

græske matematik trådte i baggrunden og efterhånden blev glemt. Bl.a. Pythogoras’

læresætning blev offer for den proces.

Mens den græske matematik gik tilbage i Europa, blomstrede den i den arabiske verden. I

takt med arabernes erobringer voksede interessen for de nye indtagne områder, og dette

kom matematikken til gavn. I Bagdad, det nye Alexandria, blev viden fra det gamle

Grækenland, Indien og Mesopotamien studeret. Således blev matematikken udviklet af

araberne og skrifter af bl.a. Euklid, Archimedes, Apollonius og Ptolemaios levede videre

på arabisk og undgik på den måde at gå til grunde for evigt.

I renæssancen genopstod den store interesse for græske værker og tænkere, som havde

været undertrykt i hele middelalderen pga. kristendommens indtog i Europa. Man

oversatte teksterne fra arabisk til latin og nød således godt af arabernes arbejde. Man

granskede i de gamle græske kilder og genoptog de ideer som havde præget antikken. De

blev ofte ligefrem anset som ”den store sandhed”, topmålet af indsigt og viden. De gamle

grækeres indsigt i matematikkens verden kunne således bane vejen for forbedrede og nye

teorier. Kilderne som havde været gemt væk på klostre i århundreder blev taget frem og

udforsket og store matematikere byggede deres teorier på de græske udsagn.2

1 Politikens Verdenshistorie s. 88, 2.søjle n2 Katz Side 432, m+mn

Den store viden man opnåede udbredtes via universiteterne. Man diskuterede

uendelighed og irrationelle tal, begreber som havde været tabu i det gamle Grækenland,

og dette banede vejen for studier af mere avanceret matematik. Man ønskede f.eks. en

forenkling af de stringente og besværlige græske modstridsbeviser (reductio ad

absurdum).

Archimedes var en stor inspirationskilde til matematikerne i det 17. århundrede og hans

beviser og bevismetoder ansås for at være de ideelle.

Man ønskede nye resultater og hurtige metoder til at nå frem til disse, i stedet for de

trættende og besværlige beviser man kendte. Specielt ønskede man at finde en simplere

måde at beregne areal og volumen under kurver.

Det var f.eks. praktisk at kunne beregne et præcist rumfang af en tønde. Den voksende

internationale handel gjorde det nødvendigt at vide ret nøjagtigt hvor meget vin man

lastede sit skib med så man fik den rette betaling. Det samme gjaldt når man ville

bestemme udbyttet af høsten, hvor beregning af markens areal er af meget stor betydning.

Således har handelen med forskellige varer muligvis betydet en øget motivation for at

udtænke de metoder til at finde areal (og rumfang) som bliver grundigt behandlet i det

følgende.

En ting der bl.a. lettede processen var Viètes og dernæst Descartes’ udvikling af den

symbolske algebra, hvor man brugte symboler i stedet for at skrive alting ud i ord.

Det er her infinitesimalteknikken kommer i spil. Begyndelsen til integral- og

differentialregningen.

Kepler

Johannes Kepler (1571-1630) var en tysk astronom og matematiker. Han er bedst kendt

for sit arbejde med hvordan solsystemet er opbygget. Til grund for disse teorier, samt for

hans andre værker, ligger nogle meget komplicerede matematiske udregninger.3

Kepler fik inspirationen til værket ”Nova stereometria doliorum vinariorum” (”Ny rum-

geometri af vintønder”, 1615) fra nogle østrigske vinhandleres metoder til at finde ud af

3 Edwards (1979), s. 99 ff.

hvor meget vin der var tilbage i en tønde4. De følgende to teoremer er taget fra den første

del af værket og handler om hhv. cirklens omkreds og areal.

Teorem 1

Dette teorem handler om sammenhængen mellem cirklens omkreds og diameter. Kepler

vil altså vise at den værdi af π, som man havde fået fra Archimedes, var korrekt. Formålet

med beviset er ikke at finde en ny eller mere præcis værdi af π, men blot at have en

værdi, som Kepler kan bruge til de følgende udregninger. Kepler kunne for så vidt næsten

lige så godt have skrevet ”Vi ved at π tilnærmelsesvis er lig med 22/7”. Især fordi

gennemgangen af bevisets sidste dele er særdeles uformel.

Kepler tager først en regulær sekskant CDB og lader den være indskrevet i en cirkel med

centrum A. Da BD er en af sekskantens sider, vil B og D være to punkter på cirklen.

Kepler lader nu skæringspunktet mellem tangenterne i B og D være F, og skærings-

punkterne mellem linien AF og linien DB være G, mens han kalder skæringspunktet

mellem AF og kurven DB for E. Han observerer nu at linien DGB er lige og dermed må

være kortere end kurven DEB.

Beviset frem til dette punkt er meget klart og stringent. Men herefter bliver argumenterne

mindre præcise. Kepler ønsker at vise at kurven EB er kortere end linien FB. For at gøre

dette kigger han på, hvad der ville ske, hvis kurven EB var lige. Han argumenterer for, at

dette er acceptabelt ved at sige, at hvis cirklen deles ind i meget små dele, så vil hver af

disse dele være lige. Denne argumentation er et eksempel på de infinitesimale metoder,

der på Keplers tid i stadig stigende grad var ved at afløse tidligere tiders ud-

mattelsesbeviser5. I dag synes det måske klart at cirkelen kan opfattes som en slags græn-

seværdi for regulære n-kanter, n → ∞, men det var langt fra almindeligt accepteret,

endsige bevist, da Kepler skrev denne tekst i 1615. Påstanden om at en cirkelbue kan

opfattes som en ret linie blev da også kritiseret af Paul Guldin, en schweizisk matemati-

ker, fordi der ikke fandtes noget geometrisk bevis for påstandens sandhed.6

Derefter argumenter Kepler for, at eftersom kurven DEB er indeholdt i trekanten DBF,

må kurven være kortere en linierne DF, FB. Kepler bemærker, at dette kun gælder fordi

4 MacTutor, artikel om Kepler5 Edwards (1979), s. 986 Struik’s noter til ”Nova Stereometria…”, note 1

kurven DEB er en cirkelbue, og at det ikke ville være sandt, hvis kurven var snoet. Igen

argumenterer Kepler for sin påstand ved hjælp af et simplere og mere intuitivt bevis, i

stedet for, som Archimedes, at give et formelt, geometrisk bevis.

Herefter argumenterer Kepler for at kurven DEB må svare til en sjettedel af cirklen, og at

cirklens omkreds dermed må være længere end seks DB, men kortere end tolv DF. Da

DB er siden i den regulære sekskant CDB, der er indskrevet i cirklen, må DB være lig

med radius AB. Cirklens omkreds er altså længere end seks radiuser eller tre diametre,

svarende til forholdet 21/7 mellem omkreds og diameter. Desuden viser Kepler at hvis

cirklen har en diameter på 7, så må cirklens omkreds være mindre end 24-1/10. Selvom

dette er sandt er det faktisk ikke det rigtige resultat af de udregninger Kepler udfører.

Keplers argumentation viser kun at omkredsen af en cirkel med diameter 7, må være

mindre end 24,25. Dette er den eneste egentlige fejl i beviset. Resten af beviset er ikke

altid lige stringent, men pointerne indtil dette punkt er korrekte.

Efter denne (fejlagtige) konklusion argumenterer Kepler meget løst for at π må være

cirka 22/7 ved at sige at det klart ses at kurven DEB ligge tættere på linierne DF, FB end

på linien DGB. Det er her det tydeligst træder frem at Kepler formentlig ikke er in-

teresseret i dette bevis, og at sikkert han godt er klar over at det er meget løst. Han hen-

viser til Archimedes for er mere stringent bevis og siger at Archimedes desuden har be-

vist hvor lille forskellen på omkredsen og 22/7 gange diameteren er, altså hvor lille for-

skellen på 22/7 og π er.

Som afslutning på beviset nævner Kepler at Adrianus Romanus har vist, at hvis diame-

teren af en cirkel inddeles i 2*1016 dele, så vil omkredsen af cirklen blive

62,831,853,071,795,862 af disse dele. Adrianus Romanus (1561-1615), eller Adriaen van

Roomen, havde fundet denne værdi af π i 1593 ved hjælp af 230-sidede regulære

polygoner7. Værdien er korrekt på de første 16 decimaler, og altså en langt bedre

tilnærmelse end 22/7.

Kepler har altså godt vidst, at der fandtes mere præcise værdier for forholdet mellem di-

ameter og omkreds i en cirkel end 22/7, men har åbenbart valgt ikke at bruge dem. Dette

kan tænkes, at være fordi det ville være særdeles besværligt at regne med van Roomen’s

værdi, især hvis værdien 22/7 er præcis nok til praktiske formål.

7 MacTutor, artikel om Adriaan van Roomen

Teorem 2

Dette teorem omhandler forholdet mellem en cirkels areal og arealet af et kvadrat med

cirklens diameter som sidelængde. Kepler ønsker at vise at dette forhold er omkring

11:14 og fremhæver at Archimedes har givet et indirekte bevis, hvori han konkluderer, at

hvis arealet bliver større end dette forhold, så er det for stort.

I første del af beviset finder Kepler sammenhængen mellem cirklens omkreds og areal.

Da Kepler i det foregående teorem har fundet forholdet mellem cirklens diameter og

omkreds er det klart, at han, ved at finde denne nye sammenhæng, også finder forholdet

mellem cirklens diameter og omkreds.

Pierre de Fermat

En anden matematiker som arbejdede med infinitesimalmetoder var Pierre de Fermat

(1601-1665). Fermat var uddannet jurist og dyrkede matematikken som hobby ved siden

af arbejdet. Fermat betragtede matematik som et pusterum, noget han kunne slappe af

ved, og dette gjorde at han aldrig offentliggjorde nogle af sine teorier (med en enkelt

undtagelse8). En offentliggørelse ville nemlig kræve stor matematisk nøjagtighed og

efterfølgende diskussioner med andre dygtige matematikere, hvilket Fermat ikke var

interesseret i.

Dette giver naturligvis visse vanskeligheder når vi i dag er interesserede i matematikeren

Fermat og hvilke matematiske teorier han stod for. De manglende publiceringer af hans

ideer giver os mindre førstehåndsmateriale at arbejde med. Heldigvis korresponderede

Fermat livligt med andre matematikere og fra disse breve, samt fra en offentliggørelse af

Fermats manuskripter (ved hans søn), kan vi nu danne os et nogenlunde helstøbt billede

af ham.

Dog er Fermats redegørelser til tider noget rodede og usystematiske. Han kunne godt lide

at ”drille” sine samtidige kolleger ved at give dem små hints til løsningerne på sine

problemer, men det var ikke altid de blev fulgt op af en egentlig redegørelse eller

bevisførelse.9

8 Dictionary of Scientific Biography side 572, spalte 2 n9 Katz Side 433, biografien

Som det fremgår af følgende citat brugte Fermat meget tid på at studere gamle græske

værker: ”Fermat followed Viète and others in seeking to restore those lost texts, such as

Apollonius’ Plane Loci… Another supposed source of insight was Diophantus’

Arithmetica, to which Fermat devoted a lifetime of study. These ancient sources, together

with the works of Archimedes, formed the initial elements in a clear pattern of

development that Fermat’s research followed”10. Dette kommer også tydeligt til udtryk I

den kilde vi nu vil behandle.

I kilden finder Fermat arealet af området mellem en hyperbel, den vandrette asymptote og

en lodret linje mellem hyperblen og den vandrette asymptote. Kilden hedder ”On the

Transformation and Simplification of the Equations of Loci” og er fra ca. 1640.

Før vi går i gang er det værd at bemærke, at Fermat kun arbejdede med en enkelt akse.

Han havde ikke en anden-akse som vi kender det i dag, endskønt han forstod

sammenhængen mellem en kurve og en ligning med to ubekendte.11 Dette gør naturligvis

at han i kilden ikke refererer til akserne. I stedet benytter han sig af en vandret og en

lodret asymptote.

Fermat indleder med at stille et spørgsmål om hvorfor Archimedes12 ikke bruger

kvotientrækken, men kun differensrækken når han sammenligner forskellige størrelser.

Det eneste tilfælde hvor Archimedes anvender kvotientrækken er parabolens kvadratur.

Er det mon fordi han finder kvotientrækken mindre egnet i forbindelse med kvadratur?

Eller fordi hans metode mht. parabolens kvadratur hvor han bruger kvotientrækken kun

vanskeligt kan overføres til andre tilfælde?

Fermat besvarer ikke spørgsmålene, men hævder at han finder kvotientrækken særdeles

nyttig, både når det gælder parabler og hyperbler.

Indledningen viser tydeligt den respekt som Fermat havde for Archimedes og det

bekræfter Fermats fascination af den græske matematik, som før nævnt. Hvad der er

vigtigt er at vi her har at gøre med en førstehåndskilde og denne viser os tydeligt hvor

ideerne kommer fra. Det har interesseret Fermat hvad Archimedes har tænkt mht. brugen

af differens- og kvotientrækker og han har derfor indledt sin tekst med at fortælle

10 Dictionary of Scientific Biography side 566, spalte 1 m11 Katz Side 442 ø12 Archimedes 287-212 f.kr. Græsk fysiker og matematiker.

hvordan Archimedes gik frem, og dernæst fortæller han så hvad han selv vil gøre. Han

bruger også senere en af Archimedes’ ideer, samt en ide af den græske matematiker

Diophantus13, men det vender vi tilbage til.

Metoden bygger på en egenskab ved kvotientrækker, nemlig:

“Given a geometric progression the terms of which decrease indefinitely, the difference

between two consecutive terms of this progression is to the smaller of them as the greater

one is to the sum of all following terms”.14 (*)

Sagt på en anden måde: Hvis vi har givet rækken a+ar2+ar3+…+arn+… , 0<r<1, er

Fermat antager resultatet for at være velkendt og ulejliger sig ikke med at angive hvor det

stammer fra, eller hvorfor det er rigtigt.

Fermat definerer en hyperbel som en kurve der går mod uendelig. Han lader RA og AC

være asymptoter hvor AC er lodret og RA er vandret. Han lader dernæst tegne lodrette

linjer parallelle med AC. Disse kaldes EG,HI,NO,MP,RS osv. Forholdet mellem enhver

potens i af AH og den samme potens af AG skal være lig med forholdet mellem enhver

potens j af EG og den samme potens af HI (evt. i = j). Moderne udtrykt vil det sige

i og j behøver ikke være heltal, men kan også være enhedsbrøker.

Fermat hævder nu at alle disse uendelige hyperbler kan ”kvadreres” vha. kvotientrækker

ved brug af en generel metode. Undtaget er dog Apollonius’ hyperbel hvorom det gælder

at hvis den har ligningen xy=a2 så divergerer integralet .15

Fermat betragter nu som et eksempel forholdene

, og osv.

13 Diophantus ca. 200-284 e.kr. Græsk matematiker14 Kilde 3, side 1, spalte 2 m.15 Struik’s note 5

Påstanden er at det ubegrænsede areal som begrænses af den lodrette linje EG, kurven ES

og asymptoten GOR, lad os kalde det a1, er lig med arealet af et bestemt parallelogram

bestående af rette linjer, lad os kalde det b.

Vi betragter nu leddene i en ubegrænset aftagende kvotientrække. Fermat lader AG være

det første led, AH det andet led, AO det tredje led, AM det fjerde led osv.

Det antages så at leddene er så tæt på hinanden at vi, hvis vi bruger Archimedes’ metode,

kan tilnærme os en bestemt værdi ifølge Diophantus. Fermat vil med andre ord

approksimere det retlinede parallelogram GE GH til firkanten GHIE, som ikke er

retlinet, da den ”øverste” side er en del af kurven.

Desuden antages at intervallerne GH, HO, OM, MR osv. er passende lig hinanden, idet vi

så kan bruge Archimedes’ Exhaustionsmetode angående omskrevne og indskrevne

polygoner. Fermat hævder at denne metode er kendt af alle matematikere og mener derfor

ikke at en uddybelse er nødvendig.

”It is enough to make this remark once and we do not need to repeat it and insist

constantly upon a device well known to mathematicians”16

Vi ved at Fermat generelt var meget skeptisk overfor de samtidige matematikere som

f.eks. Descartes og Roberval. ”He claimed that Descartes had not correctly deduced his

law of refraction since it was inherent in his assumptions” 17 og “Fermat claimed that he

had a precise demonstration and doubted that Roberval had one.”18 Vi kan derfor igen

tydeligt se hvordan han på helt anden vis respekterede Archimedes’ ideer, som han ikke

så grund til at betvivle eller uddybe.

For at vende tilbage til matematikken har vi nu at

og det medfører at

For parallelogrammerne har vi

16 Kilde 3, side 2, 2.spalte n17 MacTutor History of Mathematics, Article by J J O’Connor and E F Robertson side 2, mn18 Katz side 482 ø

Faktisk består forholdet på venstresiden af forholdene og ,og som før nævnt er

= hvilket betyder at venstresiden kan opløses til brøkerne og .

Fermat definerede tidligere leddene i kvotientrækken til at være proportionale. Som før

nævnt er

og pga. proportionaliteten kan vi skrive .

Derfor kan brøken opløses til brøkerne og .

Fermat opløser derefter også til og . Altså fås forholdene

Tilsvarende vises det at .

Fra før har vi jo at linjestykkerne AO, AH, AG som netop er elementerne i ovennævnte

brøker definerer en kvotientrække. Således vil de uendeligt mange parallelogrammer

osv. udgøre en kvotientrække, hvor forholdet mellem

leddene er .

Ifølge (*) har vi, idet vi ser på intervallerne AG og AH, at forholdet mellem GH (som er

differensen mellem intervallerne) og AG vil være lig forholdet mellem parallelogrammet

(idet ) og summen af de uendeligt mange resterende parallelogrammer.

Ifølge Archimedes er denne sum netop den ubegrænsede figur begrænset af den lodrette

linje HI, asymptoten HR og kurven IND.

Multiplicerer vi og med får vi forholdet

Fermat bemærker dernæst at forholdet mellem parallelogrammet og det

uendelige areal til højre for linjen , lad os kalde det a2, er lig forholdet mellem

og .

Men så er jo .

Lægger vi til hhv. b og a2 dvs.

får vi det ønskede resultat idet vil reduceres til ingenting når vi foretager en

uendelig inddeling af intervallerne.

Vi har altså at som var det ønskede.

Fermat mener at påstanden nemt kan bestyrkes hvis man fører et bevis a la Archimedes

og at det ikke er svært at udvide resultatet til alle hyperbler undtagen Apollonius’

hyperbel.

Som nævnt må dette være typisk for Fermat. Han gav hints og omrids af sine ideer, men

man måtte selv udføre detaljerne for at få et helt stringent bevis.

Roberval

Gilles Roberval (1602-1675) var en fransk matematiker der især arbejdede indenfor

integration og tangenter. I 1632 blev han udnævnt til professor i filosofi ved Collège

Gervais i Paris. Han ernærede sig som matematiklærer og rejste meget rundt i Frankrig.

Her mødte han blandt andet Fermat og han arbejdede senere sammen med både Pascal og

Picard. På grund af konkurrence om universitetsstillingerne er det ikke meget Roberval

har publiceret. To publikationer i henholdsvis 1636 og 1644. Han var nødt til at have

”noget at komme med” når stillingerne skulle generhverves hvert 3 tredje år. Han står

derfor noget i skyggen af Fermat, Descartes og Pascal. Dog er noget af hans arbejde

blevet publiceret efter hans død.19

Han beskæftigede sig også med cykloiden, som beviset herunder drejer sig om.

19 ”Dictionary of scientific biogaphy”

fig.1: Cykloiden.

Cykloiden fremkommer ved at man ”følger” et punkt på en cirkel der ruller langs 1-

aksen. På figur 2 herunder er skitseret hvordan et punkt der befinder sig i (0,0) bevæger

sig i rummet når cirklen ruller en halv omgang mod højre.

fig.2: Cykloiden fremkommer ved at følge et punkt på en cirkel der bevæger sig langs 1-

aksen.

En anden kurve der er interessant er “The Companion of the Cykloid”. Det er den kurve

der fremkommer hvis man projekterer højden af punktet man følger for at danne

cykloiden ind på den lodrette diameter. På figur 3 er cirklen drejet ca. en kvart omgang

og punktet A har bevæget sig op ad cykloiden. Samtidig projekteres A´s højde ind på

diameteren.

Figur 3. Punktet A bevæger sig på cykloiden når cirklen bevæger sig hen af 1-aksen. A’s

højde afbildes på den lodrette diameter og danner derved “The Companion of the

Cykloid”.

Der påstås to ting:

1: at arealet mellem cykloiden og “The Companion of the Cykloid” er lig arealet af

cirklen. Her betyder cykloiden én buelængde af figur1.

2: at arealet mellem cykloiden og 1- aksen er 3 gange cirklens areal.

Bevis 1: Først inddeler vi halvcirklen og x-aksen i uendeligt mange lige store dele.

Fig. 4: Halvcirklen og x-aksen deles ind i uendeligt mange lige store stykker.

Dvs at AM=MN=NO=… og AE=EF=FG=…. Da AGB = AC må der derfor også gælde

at AM=AE=MN=EF, osv.

Fig. 5 EE1=M2M1,FF1=N2N1,GG1=O2O1,… Halvcirklen inddeles i uendeligt mange

striber med samme areal som dem der inddeler figur AM1…D…N2A.

Figuren AM1N1…D…N2M2A inddeles i uendeligt mange striber med længde

M2M1,N2N1, .. og højder AE1,E1F1,…

Tilsvarende inddeles halvcirklen AGB i uendeligt mange striber med længde EE1,FF1,..

og højder AE1,E1F1,..

Striberne har altså samme højde og da EE1=M2M1,FF1=N2N1,.. har de to figurer

samme areal, dvs. det halve af cirklens areal. Dvs. under en hel cykloide buelængde er

arealet lig cirklens areal.

Bevis 2: “The Companion of the Cykloid” halverer parallelogrammet ACDB(se figur 6).

Dvs at arealet mellem “The Companion of the Cykloid” og x-aksen er halvdelen af

parallelogrammets areal. Dette areal er lig │AC│*│AB│, men │AC│ var jo lig med

halvdelen af cirklens omkreds(*r)(r er cirklens radius). │AB│ =2r, så

parallelogrammets areal bliver : │AC│*│AB│= (*r)*(2r) = 2**r2. Dvs 2 gange

cirklens areal.

Fig. 6: “The Companion of the Cykloid” halverer parallelogrammet ACDB, da der til

enhver linie i AM1N1..DCA svarer en linie på samme længde i AM1N1…DCA.

I bevis 1 så vi at arealet mellem cykloiden og “The Companion of the Cykloid” var lig

arealet af cirklen. Så i alt er arealet mellem cykloiden og x-aksen: 3/2*arealet af cirklen.

Da cykloiden her er en halv buelængde, er det samlede areal derfor lig 3*cirklens areal.

Kommentar:

I bevis 1 er det Cavalieris ”method of indivisibles” der bruges. Højderne af striberne

bliver uendeligt små, dvs. det er det er linjer der er tale om. Dette kaldes i dag Cavalieris

princip:”if two plane figures have equal altitudes and if sections made by lines parallel to

the bases and at equal distances from them are always in the same ratio, then the plane

figures are also in this ratio”20. Roberval påstår selv at han har det direkte fra

Archimedes, uden at kende til Cavalieris metode21. Cavalieri publicerede sit arbejde i

1635 og Roberval bestemte i 1637 arealet under cykloiden. Det kan derfor virke

usandsynligt at Roberval ikke har kendt til Cavalieri’s arbejde, men i Robervals

publication lader han sine striber få uendeligt lille areal, men han siger ikke at de bliver

til linjer. Så det det kan være sandt at han ikke kendte Cavalieri’s arbejde.

Konklusion:

De to kurver har følgende parametrisering:

Cykloiden: x(t)=t-sin(t)

y(t)=1-cos(t)

“The Companion of the Cykloid” x(t)=t

y(t)=1-cos(t)

I moderne integration ville beregningerne derfor se således ud(radius=1):

Arealet mellem cykloiden og “The Companion of the Cykloid” når man ser på en

buelængde er netop arealet af en cirkel med radius 1.

20 Kirsti Andersen, “Cavalieri’s Method of Indivisibles”, Archive for History af Exact Sciences 31 (1985),p.31621 Dictionary af scientific biography

Arealet mellem cykloiden og x-aksen er netop 3