Projekcije - etf.ues.rs.baognjen/Racunarska grafika/Profesorka/Publikovano/RG... · EF Niš, Računarstvo i informatika RG – Grafički sistemi CG GIS L@b 16 Prof. Dr Slobodanka

EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Grafički sistemi

CG GIS L@b

1Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2007/2008

RaRaččunarstvounarstvo i i informatikainformatikaRaRaččunarskaunarska grafikagrafika

ProjekcijeProjekcije

Prof. Dr Prof. Dr SlobodankaSlobodanka ĐorđeviĐorđevićć -- KajanKajanKatedraKatedra za za raraččunarstvounarstvoElektronskiElektronski fakultet fakultet NiNišš


CG GIS L@b


CiljeviCiljeviDefinisanje projekcijaIstorijski pregledOsnovni parametri projekcijeKlasifikacija (sistematizacija)

projekcijaPregled projekcijaTransformacija koordinatnih sistema


CG GIS L@b


ProjekcijeProjekcijeProjekcije preslikavaju tačku iz N-

dimenzionalnog koordinatnog sistema(prostora) u koordinatni sistem (prostor) kojiima manje od N dimenzija

U računarskoj grafici se obično radi saprojekcijama koje preslikavaju objekte iz 3D prostora u 2D prostor


CG GIS L@b


IstorijskiIstorijski pregledpregled


CG GIS L@b


IstorijskiIstorijski pregledpregled


CG GIS L@b


IsIstorijskitorijski pregledpregled


CG GIS L@b


OsnovniOsnovni parametriparametri projekcijeprojekcije Centar projekcije (COP) Projekcioni zraci (Projektori) Ravan projekcije (Projekciona ravan): Zadaje se

referentnom tačkom i normalom Pravac projekcije (DOP): određuje pravac projektora Projekcija 3D objekta je definisana projekcionim zracima koji

se emituju iz centra projekcije kroz svaku tačku objekta– projekcija 3D objekta se nalazi na preseku projektora i projekcione

ravni

objekat

projekcija

projekcioni zraci

objekat projekcija

projekcioni zraci

Paralelna prjekcija Perspektivna prjekcija


CG GIS L@b


Planarne gPlanarne geometrijskeeometrijske projekcijeprojekcijeProjekcija na ravan se naziva planarna

geometrijska projekcija– U računarskoj grafici se uglavnom koriste

planarne projekcijePostoje dve vrste planarnih projekcija:

– paralelne– perspektivne


CG GIS L@b


SistematizacijaSistematizacija projekcijaprojekcija


CG GIS L@b


ParalelneParalelne projekcijeprojekcije

Projekcija linije P1P2 na ravanprojekcije je linija P1’P2’


CG GIS L@b


ParaleneParalene projekcijeprojekcijePostoje dva tipa paralelnih projekcija - zavisno od

odnosa između pravca projekcije (projekcionihzraka) i normale na projekcionu ravan:– Normalna (ortogonalna): Projekcioni zraci su normalni

na projekcionu ravan– Kosa (klinogalna): Projekcioni zraci su kosi u odnosu na

projekcionu ravan


CG GIS L@b


NormalnaNormalna projekcijaprojekcijaPostoje dve vrste normalnih projekcija – zavisno od

odnosa projekcione ravni i glavnih osa:


CG GIS L@b


OOrtografskartografska projekcijaprojekcija Projekciona ravan je normalna na neku od koordinatnih osa Često se koristi u inženjerskom crtanju


CG GIS L@b


AksonometrijskaAksonometrijska projekcijaprojekcijaProjekciona ravan zaklapa proizvoljni ugao sa

koordinatnim osama– Zadržava se paralelnost linija, ali se ne zadržavaju uglovi


CG GIS L@b


AksonometrijskaAksonometrijska projekcijaprojekcija


CG GIS L@b


IIzzometrijska projekcijaometrijska projekcija Normala projekcione ravni (pravac projekcije) zauzima isti

ugao sa svakom od 3 glavne ose Ako je normala projekcione ravni (dx,dy,dz), tada se

zahteva da |dx|=|dy|=|dz| ili dx= dy=dz Ovaj uslov zadovoljava 8 pravaca (po jedan za svaki

oktant) Izometrijska projekcija ima jedno korisno svojstvo, a to je

da su sve tri glavne ose jednako skraćene Glavne ose se projektuju tako da međusobno zauzimaju

jednake uglove

y

xz

1200

1200

1200 Izometrijska projekcija jediničnog vektora sa pravcem projekcije (1,1,1)


CG GIS L@b


KosaKosa projekcijaprojekcija Razlikuje se od ortografske po tome što su normala

projekcione ravni i pravac projekcije različiti Kosa projekcija kombinuje svojstva aksonometrijskih

projekcija spreda, odozgo i sa strane

63.40


CG GIS L@b


SvostvaSvostva kosekose projekcijeprojekcije

Svojstva kabineske projekcije: projekcija linija koje su normalne na projekcionu ravan ima dužinu ½ originalne dužine

Svojstva kavaljerske projekcije: projekcija linija koje su normalne na projekcionu ravan ima istu dužinu kao original

x

y

z z

y

x

Projekcija kocke na ravan z=0


CG GIS L@b


PerspektivnePerspektivne ((centralnecentralne) ) projekcijeprojekcije


CG GIS L@b


PerspektivnePerspektivne projekcijeprojekcije


CG GIS L@b


KarakteristikeKarakteristike perspektivneperspektivne projekcijeprojekcije


CG GIS L@b


PodelaPodela perspektivnihperspektivnih projekcijaprojekcija Ako su linije paralelne sa nekom

od koordinatnih osa– Tačka prividnog preseka se

naziva glavna tačka prividnog preseka

– Postoje 3 glavne tačke koje odgovaraju x, y i z-osi

Perspektivne projekcije se dele prema broju glavnih tačaka prividnog preseka (tj. prema broju osa koje seku projekcionu ravan):– Perspektivna projekcija sa 1

tačkom– Perspektivna projekcija sa 2

tačke– Perspektivna projekcija sa 3

tačke


CG GIS L@b


PerspektivaPerspektiva sasa jednomjednom tataččkomkom


CG GIS L@b


PerspektivaPerspektiva sasa dve tadve taččkeke


CG GIS L@b


PPoredjenjeoredjenje


CG GIS L@b


PParalearalellna prema perspektivnoj projekcijina prema perspektivnoj projekciji


CG GIS L@b


MatematiMatematiččke osnove planarnih ke osnove planarnih projekcijaprojekcija

Svaka projekcija se može definisati matricom 4x4To je pogodno jer se matrice projekcija mogu

komponovati sa matricama geometrijskih transformacija tako da se ove dve operacije (transformacija i projekcije) mogu predstaviti jednom matricom

Izvešćemo ove matrice za neke projekcijePretpostavke:

– Projekcijska ravan je normalna na z-osu i nalazi se na rastojanju z=d kod perspektivne, a z=0 kod paralelne projekcije


CG GIS L@b


MatriMatriččna reprezentacijana reprezentacija


CG GIS L@b


Ortogonalna paralelna projekcijaOrtogonalna paralelna projekcija Ortogonalna paralelna projekcija Projekcijska ravan je z=0 Pravac projekcije je isti kao normala na projekcijsku ravan, tj. to je z-osa Tačka (x,y,z) se projektuje u tačku (xp,yp,zp)

Matrica ortogonalne projekcije


CG GIS L@b


Kosa paralelna projekcija taKosa paralelna projekcija taččke P(0,0,1)ke P(0,0,1)

Kosu projekcijukarakterišu dve veličine: L i

Levo je tačka P(0,0,1)projektovana u tačku P(Lcos,Lsin,0) naravan xy

Pravac projekcije je PP Pravac projekcije

zaklapa ugao sa xy ravan

y

x

z

projektor

P(0,0,1)P

L

Lcos

Lsin

ravanprojekcije

z=0


CG GIS L@b


Kosa projekcijaKosa projekcija Kosa paralelna projekcija tačke

(x,y,z) u (xp,yp,0)– Na slici se vidi tačka i

projektor Jednačine za x i z vrednosti

projektora kao funkcije od z:xp = x +z (L cos)yp = y +z (L sin)

Matrica kose projekcije je:1 0 0 0

Mkos= 0 1 0 0Lcos Lsin 0 0 0 0 0 1

y

z

y

z

yp x,y,zy=-(Lsin)z+yp

y

zz

xpx,y,z

x=-(Lcos)z+xp

P = P * Mkos

x


CG GIS L@b


Kosa projekcija Kosa projekcija –– kavaljerska i kabinetskakavaljerska i kabinetskaKosa Kosa –– ortografska projekcijaortografska projekcija

Matrica kose projekcije je:1 0 0 0

Mkos= 0 1 0 0Lcos Lsin 0 0 0 0 0 1

Za kavaljersku projekciju je L=1, = 450

Za kabinetsku projekciju je L = ½, = arctan(2) ili oko 63.40

Za ortografsku projekciju je L=0, = 900

Matrica ortografskeprojekcije je:

1 0 0 0 Mort= 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1

P = P * Mort


CG GIS L@b


Kosa projekcijaKosa projekcija


CG GIS L@b


Perspektivna projekcijaPerspektivna projekcija

z

x

yP(x,y,z)

P(xp,yp,d)d

P(x,y,z)

zv

x

d

xp

Pogled odozgoduž y-ose

P(x,y,z)

z

yyp

Pogled sa straneduž x-ose

P(x,y,z)

Ravan projekcije

Ravan projekcije

Ravan projekcije normalna na z-osu u z=dCOP u koordinatnom početku

d

COP


CG GIS L@b


Perspektivna projekcijaPerspektivna projekcijaNa osnovu sličnosti trouglova

Centar projekcije (COP) u koordinatnom početkuRavan projekcije normalna na z-osu na rastojanju d od COP-a, tj. z=d

Matrica perspektivne projekcije


CG GIS L@b




CG GIS L@b



Centar projekcije (COP) u z = -dRavan projekcije normalna na z, tj. z = 0

′

′

1


CG GIS L@b


Veza MVeza Mperper i Mi M′′perper

M'per = T(o,o,d) * Mper * T(o,o,-d)

M'per se može dobiti iz Mper na sledeći način:– Transliranje COP-a u koordinatni početak– Primena Mper

– Vraćanje COP-a nazad


CG GIS L@b


PrimerPrimer Jedinična kocka K na slici projektovana je na xy ravan

korišćenjem standardne perspektivne projekcije za:(a) d = 1 i (b) d = 10, gde je d rastojane od ravni pogleda. Naći pozicije temena nakon projekcije kocke. Nacrtati projekciju kocke.

z

x

y C(0,0,-d)

A B

CD

E H

GF


CG GIS L@b


PrimerPrimer -- ReReššenjeenje

Jediničnu kocku ćemo predstaviti preko homogenih koordinata temena:

0 0 0 11 0 0 11 1 0 1

K(ABCDEFGH) = 0 1 0 10 1 1 10 0 1 11 0 1 11 1 1 1

z

x

y COP(0,0,-d)

A B

CD

E H

GF


CG GIS L@b


Primer Primer -- ReReššenjeenje Projekcija kocke Kper = K * Mper

0 0 0 1 0 0 0 11 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 11 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1

Kper = 0 1 0 1 * 0 0 0 1/d = 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1+1/d0 0 1 1 0 0 0 1+1/d1 0 1 1 1 0 0 1+1/d1 1 1 1 1 1 0 1+1/d


CG GIS L@b


Primer Primer -- ReReššenjeenje Projekcija kocke Kper = K * Mper za d=1

0 0 0 1 0 0 0 11 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 11 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1

K per = 0 1 0 1 * 0 0 0 1/d = 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 20 0 1 1 0 0 0 21 0 1 1 1 0 0 21 1 1 1 1 1 0 2

Ako se homogene koordinate vrate u 3D, temena projektovane kockesu:

A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,0), D=(0,1,0)E=(0,½,0), F=(0,0,0), G=(½,0,0), H=(½,½,0)


CG GIS L@b


Primer Primer -- ReReššenjeenje Projekcija kocke Kper = K * Mper za d=10

0 0 0 1 0 0 0 11 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 11 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1

Kper = 0 1 0 1 * 0 0 0 1/d = 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 11/100 0 1 1 0 0 0 11/101 0 1 1 1 0 0 11/101 1 1 1 1 1 0 11/10

Ako se homogene koordinate vrate u 3D, temena projektovane kocke su:A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,0), D=(0,1,0)E=(0,10/11,0), F=(0,0,0), G=(10/11,0,0), H=(10/11,10/11,0)


CG GIS L@b


PrPriimer mer -- ReReššenjeenje

z

x

y COP(0,0,-d)

A B

CD

E H

GF z

x

y

AFB

CD

E H

G

d=1

z

x

y

AFB

CD

E H

G

d=10

Original

Projekcija

Projekcija


CG GIS L@b


KvizKviz RG10RG10 Kviz

1. Šta je projekcija?2. Kakve sve vrste projekcija postoje?3. Koje su karakteristike kavaljerske projekcije?4. Izvesti matricu transformacije za paralelnu projekciju5. Izvesti matricu transformacije za perspektivnu

projekciju Trajanje kviza: 5 minuta Vrednuje se: 0.5 poena/pitanje Za samostalni rad

– U Corelu nacrtati jednu od projekcija na osnovuzadatog predmeta

Documents

Projekcije - etf.ues.rs.baognjen/Racunarska grafika/Profesorka/Publikovano/RG... · EF Niš, Računarstvo i informatika RG – Grafički sistemi CG GIS L@b 16 Prof. Dr Slobodanka