Proiecte Excel rezolvate Exemplu 1. Analiza curbelor cererii i ofertei n urma cercetrilor de pia, valorile corespunztoare cererii i ofertei (n zona punctului de echilibru) pentru un produs P se prezint astfel (att preurile, ct i cantitile sunt exprimate n uniti convenionale): Pre 20 40 60 80 100 Ofert 5 9 14 25 31 Cerere ( Ct ) 50 43 24 13 4 Cerere modificat (Ct+1) 55 48 30 18 9

Valorile Ct+1 sunt estimate n ipoteza creterii veniturilor reale ale consumatorilor n anul urmtor. Presupunnd liniar evoluia cererii i ofertei (ipotez plauzibil local, n jurul punctului de echilibru), s se gseasc ecuaiile dreptelor de interpolare pentru cele trei curbe i s se calculeze cantitatea i preul de echilibru pentru cele dou nivele ale cererii. Rezolvare Se introduc datele din tabel ntr-o foaie de calcul i se creeaz un grafic coninnd cele trei curbe pe baza datelor problemei (figura 1) :

Fig.1

Se vor aduga pe grafic cele trei drepte de interpolare ale curbelor cererii i ofertei utiliznd urmtoarea procedur: Fig.2. 1. n opiunea Add Trendline se stabilesc parametrii corespunztori modelului ales. Se alege tipul de regresie liniar (n conformitate cu ipoteza problemei c seturile de date prezint o variaie liniar) 1. Din meniul Chart se selecteaz opiunea Add Trendline.

Se selecteaz seria de date pentru care se determin ecuaia dreptei de interpolare (de exemplu Oferta)

Fig.3.

1

n subfila Options se introduc numele asociate dreptelor de regresie liniar, conform seturilor de date respective

Se marcheaz caseta pentru afiarea pe grafic a ecuaiei dreptei de regresie

Fig.4. 3. Se repet aceast procedur i pentru celelalte seturi de date. n urma acestor operaii se va obine un grafic pe suprafaa cruia s-au adugat dreptele de regresie pentru cele trei seturi de date i ecuaiile analitice ale acestora (figura 5).

Fig.5. S-au obinut urmtoarele ecuaii pentru dreptele de regresie (dreapta pentru ofert are panta pozitiv, celelalte au panta negativ): dreapta ofertei : dreapta cererii iniiale Ct : dreapta cererii modificate Ct+1 : Y = 2.852 X 12.08 Y = -1.606X + 103.06 Y = -1.611X+ 111.57

Cunoscnd ecuaiile celor trei drepte se pot afla coordonatele punctelor de intersecie dintre dreptele cererii la cele dou momente de timp i dreapta ofertei. Punctul de intersecie a dou drepte pentru care se cunosc ecuaiile analitice se afl pe baza formulelor urmtoare: Pentru a rezolva cerina folosind facilitile Excel, putem organiza datele obinute ntr-o foaie de calcul n forma prezentat n figura 6. Se remarc formulele introduse n celulele G9..H10, prin care se obin coordonatele punctelor de intersecie. Se obin ca rezultate urmtoarele cantiti i preuri de echilibru :

y = ax + b y = cx + d

x=

d b a c

Pre de ad bc y = echilibru a c 70.22 75.66

Cantitate de echilibru 20.40 22.30 2

Cerere iniial Cerere modificat

Fig.6 Observaii Cererea i oferta au n general reprezentri grafice curbe, dependena cantitate-pre nefiind liniar. Pentru studii locale ale curbelor respective i n cazurile n care eroarea comisa nu este semnificativ, se poate adopta un model liniar. Analiza asupra ecuaiilor analitice i a coordonatelor punctului de echilibru se poate rafina prin realizarea unui calcul referitor la eroarea punctual comisa prin folosirea ecuaiilor dreptelor de interpolare ale cererii i ofertei (n locul curbelor reale), precum i prin estimarea marginii superioare a erorii globale consemnate n punctul de intersecie. Excel conine instrumente specifice performante pentru efectuarea calculelor de regresie de orice tip (liniar, neliniar de mai multe tipuri: polinomial, exponenial, putere, etc.). Acestea prezint o mare uurin n utilizare, oferind att suport analitic, ct i grafic pentru evidenierea curbelor determinate i a ecuaiilor acestora. Puterea instrumentelor implementate este valorificat cu adevrat n cadrul unor aplicaii cu seturi de date ce conin multe valori i unde precizia estimrii este unul dintre factorii cei mai importani. Exemplu 2. Elasticitatea cererii Compartimentul de analiz a pieei din cadrul unei societi comerciale realizeaz un studiu referitor la piaa unui produs P. Cererea pentru produsul P este de 600 buci la un pre de 50 uniti monetare (um). Elasticitatea cererii fa de pre este Ec/p=-0,17 i este constant pn la un pre de 55 um. Peste acest nivel al preului, elasticitatea devine 0,25 pentru preurile de 56 um i respectiv 57 um i de 1,8 pentru un pre mai mare sau egal cu 58 um. S se stabileasc preul la care se recomand s fie vndut produsul P, cunoscnd urmtoarele date: costurile fixe sunt de 17.500 um, iar cele variabile de 24 um/produs. Intervalul de calcul va fi pentru preuri cuprinse ntre 50 i 60 um. Rezolvare Pe baza datelor cunoscute se efectueaz calculul cantitilor pentru care exist desfacere pentru fiecare nivel de pre, pe baza formulei elasticitii cererii : unde:

e=

Q (%) p (%)

Q (%) =

Qi +1 Qi 100 Qi

si

p(%) =

p i +1 p i * 100 pi

Se creeaz, ntr-o foaie de calcul, un tabel dup modelul din figura 7. Prima coloan conine valorile preurilor din intervalul de analiza menionat n problem. Datele din coloana a doua pornesc de la valoarea iniial de 600 buci, corespunztoare unui pre de 50 um. Celulele C6..C15 se completeaz pe baza unei formule care returneaz valoarea rotunjit la ntreg obinut din suma dintre cantitatea corespunztoare poziiei precedente (Qi) i variaia de cantitate calculat pe baza elasticitii cererii ( Q). Pentru o celul valoarea este calculat conform formulei generale: Qi+1 = ROUND(Qi + Q(%)*Qi), unde: Q(%) = e * p(%). n tabel, formula pentru o celul (de exemplu C6) este : C6 = ROUND(C5 + C5*(-0.17*100/(100*B5)),0) Observaii: ntre dou linii de calcul din tabel variaia preului este p = 1 um. (de aceea pi+1 pi nu apare explicit n formul); valoarea 0 este un argument al funciei ROUND care indic rotunjirea la ntregul superior; pentru celulele C11..C16 se modific n formul valoarea elasticitii conform datelor problemei (-0,25 i 1,8). 3

Celulele din coloana D, reprezentnd venitul total, conin produsul valorilor din coloanele B i C (exemplu: D6=B6*C6 ) pre*cantitatea_vndut. n coloana E se determin cheltuielile variabile totale prin calculul produsului dintre cantitatea vndut i 24 um, costul variabil unitar (E6 = C6*24). n coloana F valoarea nscrisa este unic, egal cu a costurilor fixe (F6 = 17500). Costul total din coloana G se obine din nsumarea valorilor din coloanele E i F (G6 = E6 + F6). Pe ultima coloan se regsete profitul sau pierderea obinut ca diferen dintre veniturile totale i costurile totale (H6 = D6 G6).

Fig.7. Analiznd rezultatele nscrise n ultima coloan se constat c valoarea maxim a profitului este 1.772 um, corespunztoare unui pre de 57 um/buc. Formula inclus n celula D18 este de determinare a profitului maxim (D18=MAX(H5..H15)). Observaii Formula folosit pentru calculul elasticitii este n realitate o relaie de calcul punctual, care are la baza presupunerea c modificrile preului sunt procentual mici. n cazul n care se efectueaz studii asupra unor intervale care conin variaii importante ale preului este recomandabil s se utilizeze o relaie de calcul a arcului elasticitii:

Ecp =

Q P + P2 * 1 P Q1 + Q2

Dac coeficientul de elasticitate are o valoare absolut mai mare dect 1, cererea este elastic, iar la valori absolute subunitare ale elasticitii corespunde o cerere rigid. Analiza tipului de elasticitate este important pentru rezolvarea corect a problemei ncasrilor totale, unde trebuie stabilit nivelul optim al preului de vnzare pentru un produs astfel nct valoarea total a veniturilor din vnzare s fie maxim. Pe baza unui model similar cu cel implementat n problem se poate determina preul minim de vnzare al unui produs, pentru care se acoper cheltuielile efectuate determinndu-se pragul de rentabilitate al produciei unui anumit produs. Exemplul 3. Utilizarea facilitii Goal Seek n rezolvarea unor modele cu un singur parametru O societate comercial prestatoare de servicii turistice dorete s-i dimensioneze cheltuielile pentru perioada sezonului estival. n acest cadru se urmrete evaluarea nivelului cheltuielilor de publicitate necesare pentru atragerea unui numr suficient de turiti, care s asigure rentabilitatea minim a societii n perioada menionat. n acest scop s-a ntocmit un studiu de marketing, care furnizeaz urmtoarele elemente: - societatea poate presta servicii turistice pentru un numr de maxim 40 turiti/zi (ocupare de 1200 zile\turist pe lun); - veniturile medii zilnice estimate pentru un turist au urmtoarea structur: cazare =70 uniti monetare (um), masa =100 um, alte activiti =30 um; - statistica anilor precedeni indic o variaie natural a numrului de turiti astfel: n luna iulie numrul turitilor este cu 10% mai mare dect n iunie, n august creterea fa de luna iulie este de 2%, iar n septembrie numrul turitilor scade cu 14% fa de luna august; - numrul de turiti care apeleaz la serviciile societii se estimeaz pe baza unui model neliniar simplificat de marketing (bazat pe dependena numr turiti cheltuieli cu reclam) determinat n cadrul unor studii anterioare, pe baza formulei :N .turisti r = 400 + 5 * C helt .reclam a

- nivelul minim de rentabilitate al societii pentru perioada vizat presupune obinerea unor venituri minime lunare de 140.000 um. Pe baza datelor prezentate se cere s se determine nivelul minim necesar al cheltuielilor promoionale astfel nct n fiecare luna s se ating cel puin pragul de rentabilitate. Datele prezentate sunt exprimate n uniti convenionale. Rezolvare Din analiza problemei propuse rezult c ne aflm n faa unui model matematic simplificat al unei probleme cu o singur 4

necunoscut cheltuielile cu reclama. Particularitatea modelului este c se cunoate deja valoarea dorit (valoarea int) pentru venituri (pragul de rentabilitate) i se dorete n fapt determinarea unei valori de intrare (cheltuielile promoionale). n aceste cazuri modalitatea de abordare obinuit este lucrul n sens invers (pornind de la rspuns s se determine o valoare de intrare). Programul Excel dispune de un instrument specializat pentru astfel de probleme, care efectueaz o analiz n sens invers facilitatea Goal Seek. Acest instrument realizeaz o serie de calcule ciclice, ca i cum ar efectua ncercri repetate, apropiindu-se din ce n ce mai mult de valoarea exact. Instrumentul Goal Seek permite atingerea unei anumite valori ntr-o celul care conine o formul, prin modificarea valorii unei alte celule, care influeneaz direct formula respectiv. Pentru rezolvarea problemei propuse, datele iniiale se introduc ntr-o foaie Excel (figura 1) n care se realizeaz modelul propus:

Fig.1. Coninutul celulelor din foaia de calcul este urmtorul: Celula Valori/Formule Observaii C6..C8 Constante Veniturile pe categorii date ale problemei C9 SUM(C6..C8) Venitul zilnic estimat pentru un turist C12 Iniial 0 Celula de modificat; va conine valoarea cheltuieli promoionale C14 =400 + Sqrt(5*C12) Formula modelului simplificat de marketing F6..I6 Constante Variaiile procentuale lunare ale nr. turiti F7 =C14 Numr de turiti n iunie G7 =F7*(1+G6) Numr de turiti n iulie mai mare cu (F6)% ca n iunie H7 =G7(1+H6) Numr de turiti n august I7 =H7(1+I6) Numr de turiti septembrie F8..I8 =(F7..I7)*C9 Veniturile lunare (numr de turiti * venit mediu lunar\turist) F11 =MIN(F8..I8) Cele mai mici venituri lunare din perioada analizat; este totodat i celula int a analizei Dup implementarea modelului se lanseaz instrumentul Goal Seek din meniul Tools/Goal Seek (figura 2). Lansare Goal Seek din meniul Tools

Fig. 2.

Fig.3. 5

Va aprea o caset de dialog n care trebuie setai parametrii de rezolvare ai problemei (figura 3). Celula rezultat este F11 (nivelul minim al veniturilor lunare) i ea trebuie s ating valoarea impusa de problem (140.000), cifr care se va completa n caseta de text To value (trebuie completat obligatoriu o valoare). n final se va completa ultima caset de text cu referina celulei care se va modifica (C12 cheltuielile cu reclama). Rezultatul rezolvrii (dac s-a gsit o soluie) este afiat ntr-o alt caset de dialog (figura 4).

Fig.4. Aceasta prezint rezultatul prelucrrii datelor (anun dac s-a gsit sau nu o soluie exact, iar dac nu s-a gsit o soluie exact se indic valoarea soluiei curente). La finalul rezolvrii, dac se apas butonul OK valorile din foaia de calcul original vor fi nlocuite cu noile valori, conforme cu rezolvarea problemei, iar apsarea butonului Cancel va conduce la meninerea valorilor originale n foaia de calcul. n figura 5 se prezint aspectul foii de calcul dup realizarea calculelor i nlocuirea valorilor cu rezultatele problemei.

Fig.5. Se constat c nivelul minim necesar al cheltuielilor cu reclama pentru atingerea pragului de rentabilitate este 21.371 um (celula C12). Observaii Instrumentul Goal Seek este deosebit de eficient, dar poate fi utilizat numai n rezolvarea unor probleme cu o singur necunoscut (cu un singur parametru variabil). Problemele cu mai multe variabile (liniare sau neliniare) se rezolv prin utilizarea instrumentului Solver. Goal Seek poate fi utilizat la rezolvarea unei mari varieti de probleme care presupun parcurgerea n sens invers a drumului urmat pentru gsirea soluiilor. Exemple clasice de utilizare a acestui instrument sunt probleme de determinare a ratei de cretere necesar pentru atingerea unui obiectiv de vnzri sau determinarea pragului minim de rentabilitate a unei afaceri (nivelul vnzrilor pentru care veniturile acoper cheltuielile). O atenie deosebit trebuie acordat realizrii corecte a modelului problemei, eventualele greeli de modelare putnd conduce la valori fr sens. Pentru a determina care sunt celulele legate de formula din celula int se selecteaz celula int i se alege din meniul Edit, Go To, Special. n caseta de dialog care apare se vor selecta opiunile Precedents, All Levels i prin apsarea butonului OK vor aprea selectate toate celulele care contribuie la valoarea celulei int. Exemplul 4. Alegerea variantei optime de constituire a unui depozit bancar - calculul dobnzii capitalizate O persoan fizic dispune de o sum de 10.000 um i dorete s-i constituie un depozit bancar pentru o perioad de un an. S se aleag cea mai bun variant (cu randamentul maxim la sfritul perioadei) tiind c: - se pot constitui depozite pe termen de 1 lun, 3 luni, 6 luni i 1 an; - nivelul dobnzilor pentru cele 4 variante este menionat n tabelul 1; - dobnda la depozitele cu termen sub 1 an se capitalizeaz; - cheltuielile de constituire a depozitului se consider nule; la expirarea termenului unui depozit se creeaz automat un nou depozit bancar pe acelai termen fr cheltuieli suplimentare i cu suma iniiala sporit cu dobnda aferent perioadei precedente (dobnda se capitalizeaz).

Variant

Termen

Tabelul nr.1 Dobnd anual 6

V1 V2 V3 V4

1 luna 3 luni 6 luni 1 an

5,40% 5,95% 6,35% 6,75%

Rezolvare Pentru a putea compara performanele unor variante de investiie, acestea trebuie aduse la un element de comparaie comun. Comparaia se poate efectua pe baza valorii dobnzii anuale efective n fiecare caz (prin capitalizarea dobnzii la depozitele cu termen sub un an) sau pe baza valorii finale obinute n fiecare variant (suma efectiva disponibil dup un an ). Metoda I. Calculul dobnzii efective anuale (dobnda real) Prima metoda realizeaz calculul dobnzii procentuale efective care se obine ntr-un an prin capitalizarea dobnzii nominale (de exemplu se va constitui la fiecare 3 luni un depozit pe termen de 3 luni cu dobnda anual de 5,95% cu suma iniial mrit de fiecare dat cu suma aferent dobnzii pentru depozitul anterior expirat). Se realizeaz n acest scop o foaie de calcul EXCEL n structura din figura 6.

Fig.6. Pentru calculul dobnzii efective anuale se utilizeaz funcia EFFECT. Aceasta este o funcie din pachetul de funcii financiare (Insert Function Financial Effect) cu sintaxa urmtoare :

EFFECT(Nominal_rate, npery)unde : Nominal_rate = nivelul nominal al ratei dobnzii (exemplu: 5,95% pe an la depozitele pe 3 luni), npery = numrul perioadelor componente pentru un an (exemplu: 4 perioade de cte 3 luni pentru un an sau 12 perioade de o lun pentru un an). Exemplificarea completrii funciei EFFECT pentru varianta 1 cu depozite pe termen de o lun este redat n figura 7.

Fig.7. Metoda a II-a. Calculul valorii finale a investiiei A dou metod de rezolvare presupune compararea direct a sumelor obinute la sfritul perioadei de investiie (dup un an). Pentru aceasta se va utiliza o alt funcie financiar Excel funcia FV (future value). Aceast funcie are urmtoarea sintax:

FV ( rate, nper, pmt, pv, type )unde : rate = rata constant de cretere a investiiei pentru o perioad (n cazul nostru se consider nivelul nominal al 7

dobnzii pentru o perioad, adic : 5,4%/12 pentru depozitele pe o luna, 5,95%/4 pentru depozitele pe 3 luni, 6,35%/2 pentru depozitele pe 6 luni), nper = nr. total de perioade (12 pentru varianta 1, 4 pentru varianta 2, 2 pentru varianta 3 i 1 pentru varianta 4); pmt = sum fix adugat n fiecare perioad la investiia iniial (la problema noastr nu este cazul); pv = valoarea iniial a investiiei (n cazul nostru 10.000 um); type = un indicator de flag (0 sau 1) n funcie de modul de adugare a sumelor fixe suplimentare (pmt) la nceputul sau sfritul perioadei. Pentru rezolvare se modific foaia Excel conform figurii 8, cu utilizarea funciei FV n celulele F14..F17

Fig.8. Conform celor prezentate mai sus, completarea parametrilor funciei FV se poate realiza ca n figura 9.

Fig.9. Observaii Prin aplicarea uneia dintre cele dou metode prezentate problema este n acest moment rezolvat, variantele propuse putnd fi comparate direct pe baza unuia dintre cei doi indicatori calculai (nivelul real al dobnzii anuale obinute sau valoarea final a investiiei). Se constat c varianta 4 este optim n condiiile prezentate n problem. Analiza unei astfel de probleme se poate extinde n cazul fluctuaiei nivelului nominal al dobnzii n cursul perioadei investiiei, dar acesta este deja un alt tip de problem. Exemplul 5. Decizii investiionale pe baza calculului valorii viitoare Un investitor dorete s aleag varianta optim pentru o investiie. El are de ales ntre posibilitatea investirii la un fond mutual (sunt luate n considerare 3 fonduri mutuale cu performane i caracteristici diferite : A, B, C) sau a constituirii unui depozit bancar. Depozitul bancar poate fi constituit pe intervale de o lun sau de 3 luni. Principalele caracteristici luate n considerare pentru aprecierea fondurilor mutuale sunt creterea medie sptmnal, comisionul perceput la depunere (la subscrierea de noi titluri) i comisionul perceput la retragerea din fond. Fonduri mutuale A B C 8

Cretere sptmnal Comision depunere Comision retragere

0,41% 3.00% 3.00%

0,38% 1.00% 1.00%

0,33% 0.00% 0.00%

Pentru depozitele pe termen de o lun dobnda anual este de 6,7%, iar depozitele pe 3 luni au o dobnda anual de 7,2%. Investitorul dispune de o sum iniial de 2.000 um i ia n considerare posibilitatea economisirii i investirii unei sume de 50 um sptmnal. Investiia este programat pe termen de 1 an (52 sptmni), dup care banii se retrag. S se aleag varianta optim de investiie n condiiile precizate mai sus i s se comenteze alegerea fcut. Rezolvare Pentru compararea variantelor investiionale i alegerea celei optime se va calcula valoarea final a investiiei rezultat n fiecare variant. Este vorba de un calcul de dobnd compusa cu suplimentarea periodic a sumei investite. Acest calcul se poate realiza prin utilizarea funciei FV (future value) disponibil n Excel. Pentru variantele de constituire de depozite trebuie calculat suma economisit lunar. Valoarea economisit i investit lunar se calculeaz astfel:

S u m a lu n a r a _ =

S u m a s a p ta m n a l5 2 _ a* 12

Pentru fondurile mutuale care percep comision de depunere, suma suplimentar investit periodic (sptmnal) trebuie corectat (diminuat) cu acest comision. Comisionul perceput la retragere influeneaz doar valoarea net obinut la sfritul perioadei investiionale. Pe baza datelor problemei se creeaz o foaie de calcul Excel, care cuprinde i valorile finale rezultate n fiecare variant investiional (figura 10):

Fig.10. Valorile din linia a 16-a, care reprezint rezultatul brut n fiecare varianta investiional folosesc funcia de calcul a valorii viitoare FV, care returneaz valoarea viitoare a unei investiii bazate pe pli constante i pe o rat constant a dobnzii avnd urmtoarea sintax:

FV ( Rate , Nper , Pm , Pv , Type ) t unde: Rate rata dobnzii (rata de cretere) pentru o perioad; Nper numrul de perioade luat n calcul; Pmt suma investit n fiecare perioad (constant pe durata investiiei); Pv valoarea prezent, suma iniial cu care ncepe investiia; Type tipul plii (1 dac plata se face la nceputul perioadei, 0 dac plata se face la sfritul perioadei). Valorile nete calculate n linia a 17-a conin valorile corectate cu comisioanele de retragere. n acest moment datele privind valorile finale rezultate pentru toate variantele pot fi comparate i se poate alege varianta optim. n figura de mai jos se pot vedea toate formulele folosite pentru rezolvarea problemei.

Fig.11 9

Observaii Alegerea unui fond mutual nu trebuie fcut strict pe baza celei mai mari valori a creterii medii sptmnale. Comisioanele de depunere i retragere reprezint de asemenea elemente importante de apreciere a oportunitii de investiie. n plus pentru o investiie la un fond mutual trebuie analizate perioadele minime de meninere a titlurilor achiziionate i penalizrile suportate n cazul unei retrageri mai rapide (aceti factori nu au fost considerai n aplicaia de mai sus). Dac modelul de investiie ar fi fost corectat cu aceste penalizri, ecartul ntre performantele investiiei bazate pe depozite bancare i cea n fonduri mutuale ar fi fost mult mai redus. Alegerea variantei investiionale trebuie s in cont nu numai de parametrii nominali de performan, ci i de factorii de risc implicai (performanele anterioare ale unui fond mutual nu constituie o garanie pentru evoluia viitoare, ratele dobnzilor sunt variabile, etc.). Funcia FV este un instrument puternic de calcul financiar disponibil n Excel, putnd fi utilizat n diferite tipuri de aplicaii care necesit calcule financiare de dobnzi compuse sau alte aplicaii similare. Exemplul 6. Rambursarea unui mprumut prin anuiti temporare imediate S se ntocmeasc tabelul de amortizare pentru rambursarea unui mprumut n valoare de V 0 = 200.000 um pentru care dobnda este de 15% pe an, perioada de restituire este de 5 ani i plile se efectueaz anual. Plata se face prin anuiti posticipate i cu dobnda posticipat. S se analizeze ambele variante de plat, cu amortismente egale sau cu anuiti egale. S se interpreteze economic rezultatele. Rezolvare Printre cele mai comune aplicaii ale calculelor de matematici financiare care sunt utilizate n practic se afl i cele legate de operaiunile de rambursare a unor mprumuturi. Exist numeroase modele de calcul a rambursrii mprumuturilor, legate de condiiile diverse stabilite la contractarea acestora. Principalele elemente legate de operaiunile de rambursare a mprumuturilor sunt: valoarea mprumutului V0, dobnda, perioada de restituire, numrul de rate, tipul plilor, etc. Prin anuitate se nelege suma totala pltit la un moment dat (amortisment + dobnda calculat la sfritul perioadei pentru suma restant la nceputul perioadei). Amortismentul reprezint partea din mprumut achitat cu ocazia unei pli (fr dobnd). Condiiile problemei stipuleaz realizarea calculului dobnzii la sfritul perioadei de plat. Problema vizeaz categoria de mprumuturi cu dobnd fix pe toat perioada de restituire. n aceste condiii, restituirea se poate efectua n principal pe dou ci: prin plata unor amortismente egale (ceea ce va conduce la pli inegale) sau prin pli constante pe toat durata de restituire (amortismentele calculate vor fi diferite n cadrul diferitelor pli). Programul Excel dispune de funcii financiare destinate calculelor de dobnzi i pli ealonate. Pentru aplicaia dat ambele variante s-au implementat n tabele similare situate n aceeai foaie de calcul (figura 11) pentru compararea facil a rezultatelor. Varianta de rambursare cu amortismente egale Principiul de restituire cu amortismente egale mparte valoarea mprumutului V0 la numrul de pli, astfel ca suma rmasa de restituit va scdea liniar pe tot parcursul restituirii. Valoarea unei pli va cuprinde pe lng valoarea amortismentului (constant) i dobnda aferent sumei rmase de restituit pentru perioada de plat. Calculul n aceast variant de restituire este simplu, putndu-se efectua iterativ (valorile pentru momentul k de plat fiind calculate pe baza celor din momentul (k-1)) sau direct pe baza formulelor matematice specifice. Formulele introduse n celulele foii de calcul pentru varianta de restituire cu amortismente egale se prezint astfel:

Celula C3 D3..D7 E3 F3 G3 C4 E8 F8

Formula =C19 =C19/C20 =C3*C21 =D3+E3 =C3-D3 =G3 =SUM(E3..E7) =SUM(F3..F7)

Observaii Valoarea iniial a mprumutului Amortismentul Dobnda pentru suma de la nceputul perioadei Plata curent Valoarea rmas din mprumut Noua sum iniial este valoarea rmas la sfritul perioadei anterioare Total dobnzi pltite Suma total pltit pe parcursul restituirii

10

Fig.12. Varianta de rambursare cu anuiti egale Varianta a doua de restituire are la baz achitarea mprumutului printr-un ir de pli cu valoare constant. n acest caz amortismentele i dobnzile au valori diferite. Pentru varianta de restituire cu anuiti egale programul Excel dispune de funcii specializate de calcul: IPMT(rate,Per,Nper,Pv,Fv,Type) calculeaz dobnda pentru o anumit perioad, la un mprumut cu dobnd constant, restituit prin anuiti egale; PPMT(rate,Per,Nper,Pv,Fv,Type) calculeaz amortismentul corespunztor unei perioade, pentru un mprumut cu dobnd constant, restituit prin anuiti egale; unde : rate dobnda corespunztoare unei perioade de calcul (unei rate); Per numrul perioadei pentru care se efectueaz calculul; Nper numrul total de pli (rate); Pv se va completa cu valoarea iniial a mprumutului; Fv valoarea dup ultima plat; dac mprumutul se achit integral va fi zero; Type tipul plii; zero dac plata se face la sfritul perioadei i 1 dac plata se face la nceputul perioadei. Formulele utilizate pentru calcule sunt: Celula C12 D12..D16 E12 F12 G12 C13 E17 F17 Formula =C19 =-PPMT(C21,B12,C20,C19) =-IPMT(C21,B12,C20,C19) =D12+E12 =C12-D12 =G12 =SUM(E12..E16) =SUM(F12..F16) Observaii Valoarea iniial a mprumutului Amortismentul Dobnda pentru suma de la nceputul perioadei Plata curent (rata) Valoarea rmas din mprumut Noua sum iniial este valoarea rmas la sfritul perioadei anterioare Total dobnzi pltite Suma total pltit pe parcursul restituirii

Observaii Luarea unei decizii pentru alegerea unui mprumut, n cazul n care exist mai multe variante, se bazeaz pe calculele privind modalitatea de restituire. Cele dou variante analizate n aplicaia propus prezint caracteristici distincte. Dei prima variant (amortismente egale) va necesita plata unei sume mai mici privind dobnda total aferent mprumutului (90.000 um fa de 98.315,55 um) exist i argumente pentru alegerea celei de-a doua variante (anuiti egale). n acest caz, plata unei sume totale mai mari este compensat de egalitatea ratelor i mai ales de faptul c primele pli sunt mai mici dect n cazul restituirii cu amortismente egale. Astfel, efortul principal de restituire a mprumutului este dozat uniform i presiunea mai sczut dat de valoarea primelor rate permite eventual utilizarea superioar a sumei mprumutate (de exemplu pentru dezvoltarea unei afaceri primele perioade de timp sunt importante i necesit resurse mai mari, astfel c ntr-o astfel de situaie poate fi preferabil varianta a doua). De asemenea, pentru o decizie optim trebuie luat n considerare nivelul prognozat al inflaiei. Funciile speciale disponibile n Excel privind restituirea cu anuiti egale permit efectuarea cu uurin a unor calcule altfel complicat de efectuat. Pentru o prezentare elegant a rezultatelor se poate realiza i un grafic comparativ al dobnzilor i amortismentelor n cele dou variante de restituire a mprumutului. 11

12