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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Progressão Aritmética
e Geométrica
Progressão Aritmética
Uma sucessão de números na qual a diferença entre dois termos consecutivos é constante, é denominada progressão
aritmética, ou abreviadamente de P.A.
Representação de uma P.A.
Representando por a1 o primeiro elemento, por a2 o segundo elemento de uma P.A. e assim sucessivamente, até o último
elemento que é representado por an, temos a seguinte representação para uma progressão aritmética:
P.A. ( a1, a2, a3, a4, ..., an ).
A representação acima se refere a uma P.A. finita com n elementos. Caso a sucessão seja infinita, utilizamos a seguinte
representação:
P.A. ( a1, a2, a3, a4, ..., an, ... ).
Terminologia
P.A. ( 5, 7, 9, 11, 13, 15 )
Acima temos a representação de uma progressão aritmética finita.
Um termo qualquer é identificado por an, onde n indica a posição deste termo. Por exemplo, o termo a4 se refere ao quarto
termo desta P.A., que no caso é igual a 11, já o primeiro termo, a1, nesta P.A. é igual a 5.
Como supracitado, a diferença entre dois termos consecutivos de uma P.A. é constante. Neste exemplo este valor é igual a
2, por exemplo, a diferença entre o primeiro e o segundo termo é igual a 2.
Este valor constante que é a diferença entre um termo e outro é denominado razão da progressão aritmética e é
representado pela letra r.
Se representamos um termo qualquer de uma P.A. por an, então podemos dizer que o seu antecedente é igual a an - 1 e que
o seu consequente é igual a an + 1.
Desta forma podemos dizer que r = an + 1 - an, ou ainda r = an - an - 1.
Veja os seguintes exemplos: r = a4 - a3 = 11 - 9 = 2 e ainda r = a3 - a2 = 9 - 7 = 2.
Além disto temos que um termo qualquer de uma P.A. é média aritmética entre o seu antecedente e o seu consequente:
Progressão aritmética constante
Uma progressão aritmética é constante quando a sua razão é igual a zero. Neste caso todos os termos da P.A. têm o mesmo
valor.
Exemplos:
P.A. ( 0, 0, 0, ... )
P.A. ( 3, 3, ..., 3 )
P.A. ( 7, 7, 7 )
Note que em todas as progressões acima r = 0.
Progressão aritmética crescente
Uma progressão aritmética é crescente quando a sua razão é maior que zero, ou seja, quando o consequente de um termo
qualquer é maior que este termo.
Exemplos:
P.A. ( 1, 2, 3, ... )
P.A. ( 15, 21, 27, ... )
P.A. ( -16, -12, -8 )
Note que a razão das progressões acima, respectivamente 1, 6 e 4 são todas maiores que zero.
Progressão aritmética decrescente
Uma progressão aritmética é decrescente quando a sua razão é menor que zero, ou em outras palavras, quando o
consequente de um termo qualquer é menor que este termo.
Exemplos:
P.A. ( 31, 29, 27, ... )
P.A. ( 75, 68, 61, ... )
P.A. ( 9, 0, -9 )
Veja que a razão das progressões acima, respectivamente -2, -7 e -9 são todas menores que zero.
Fórmula do termo geral de uma P.A.
Como sabemos, o próximo termo de um termo de uma P.A. é igual ao referido termo mais a razão r. Para uma P.A. genérica
podemos dizer que o segundo termo é igual ao primeiro termo, a1, mais a razão r:
O terceiro termo é resultado da soma do segundo termo com a razão:
Mas vimos que a2 = a1 + r, substituindo-o na expressão temos:
O quarto termo é resultado da soma do terceiro termo com a razão e como sabemos que a3 = a1 + 2r, temos:
Seguindo este raciocínio, o quinto termo será:
O sexto termo será:
Resumidamente temos:
Portanto, partindo-se do primeiro termo, a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é:
Mas e se partirmos de outro termo que não o primeiro?
Vejamos:
Na fórmula do termo geral da P.A., subtraímos 1 de n quando partimos do termo a1, perceba que quando partimos do
termo a2, subtraímos 2 de n, assim como subtraímos 3 ao partirmos de a3 e 4 quando partirmos de a4. Partindo então de
um termo m, podemos reescrever a fórmula do termo geral da P.A. como:
Compreendendo a fórmula do termo geral da P.A. em função de
qualquer termo
Como é de costume vamos a um exemplo para que a explicação fique de mais fácil entendimento.
Através da fórmula acima, vamos expressar o termo a5 de uma P.A. genérica, em função do termo a3:
Temos então que o termo a5 pode ser expresso em função do termo a3 como:
Embora seja óbvio, se não formos alertados, talvez não percebamos o que de fato a fórmula faz. Vejamos:
Sabemos que o próximo termo após a3, é o termo a4, que equivale a a3 mais r, para chegarmos ao próximo termo, o a5,
somamos mais outra vez a razão r, ou seja, como nos deslocamos duas posições à direita, acrescentamos 2r ao termo a3
para chegarmos ao termo a5. Veja que foi exatamente este o resultado obtido em função da fórmula, ou seja, a5 = a3 + 2r.
Agora para que vejamos como este raciocínio é bem mais prático que recorrermos à formula, vamos voltar de a5 para a3:
Agora o termo procurado está à esquerda do termo atual, na verdade duas posições à sua esquerda, então vamos subtrair
de a5 duas vezes a razão, temos então que a3 = a5 - 2r.
Apenas para confirmação, vemos na sentença abaixo que através da fórmula chegamos ao mesmo resultado:
Em resumo, se partindo do termo atual iremos avançar n termos à direita, para chegarmos ao termo final, então temos que
somar n vezes a razão r ao termo inicial. Se nos deslocarmos à esquerda, o procedimento é semelhante, só que ao invés de
somarmos, iremos subtrair n vezes a razão r ao termo inicial.
Podemos afirmar, por exemplo, que a17 = a7 + 10r, pois avançamos 10 termos de a7 a a17, assim como a20 = a25 - 5r,
pois retrocedemos 5 termos de a25 para a20.
Soma dos termos de uma P.A.
Para expormos o raciocínio iremos utilizar a primeira P.A. utilizada como exemplo:
P.A. ( 5, 7, 9, 11, 13, 15 )
Qual é a soma dos seus termos?
Primeiramente vamos escrevê-la em ordem contrária:
P.A. ( 15, 13, 11, 9, 7, 5 )
Agora vamos montar uma outra P.A. cujo termo an seja a soma do termo an desta duas progressões:
P.A. ( 20, 20, 20, 20, 20, 20 )
Repare as somas são todas iguais, isto ocorre porque a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é
igual à soma dos seus extremos. Como neste caso os extremos são 5 e 15, temos que a soma de dois termos quaisquer
equidistantes dos extremos será igual a 20.
Tendo em vista que temos seis termos nesta P.A, multiplicando 6 por 20, nos dará 120 que equivale a justamente o dobro
da soma dos termos da P.A.
A divisão de 120 por 2 nos dará a soma dos termos desta P.A. que é igual a 60.
Generalizando temos que a soma de todos os termos de uma progressão aritmética é igual ao produto do número de termos
pela metade da soma do primeiro com o n-ésimo termo. Em notação matemática temos:
Observe que esta fórmula nos permite calcular a soma de todos os termos de uma P.A., ou a soma de apenas os n primeiros
termos da mesma.
Se não dispusermos de an, desde que tenhamos a razão r, podemos utilizar esta outra fórmula abaixo, que foi deduzida
simplesmente se substituindo an por seu respectivo valor a1 + (n - 1)r:
Mas se ao invés de somarmos todos os elementos da P.A., quiséssemos somar apenas os termos do terceiro ao quinto por
exemplo?
Neste caso é como se tivéssemos a seguinte P.A.:
P.A. ( 9, 11, 13 )
Recorrendo à fórmula temos:
Mas veja que podemos expressar a fórmula da soma dos termos da seguinte maneira:
Note que declaramos como p e q a posição do primeiro e do último termo do intervalo respectivamente, declarando assim ap
como o primeiro termo do intervalo e aq como o último. Note também que o número de termos do intervalo considerado é
igual à diferença entre as posições do último e do primeiro termo considerado, mais um.
Aplicando esta nova fórmula temos:
Exemplos de problemas envolvendo Progressão Aritmética
Qual é o vigésimo termo da P.A. ( 3, 10, 17, ... )?
Identificando as variáveis do problema temos:
Como conhecemos o primeiro termo e a razão da P.A., através da fórmula do termo geral iremos calcular o valor do
vigésimo termo:
Logo:
O vigésimo termo da referida P.A. é igual a 136.
Qual é a soma dos números ímpares entre 10 e 30?
Sabemos que a diferença entre um número ímpar e o seu antecedente igual a 2. Este é o valor da razão.
O primeiro número ímpar do intervalo informado é 11 é o último é 29, portanto temos as seguintes variáveis:
Para calcularmos a soma dos termos, primeiramente precisamos identificar quantos termos são. Através da fórmula do
termo geral iremos obter o número de termos da sucessão:
Agora que sabemos que a sucessão possui 10 termos, podemos calcular a sua soma:
Portanto:
A soma dos números ímpares entre 10 e 30 é igual a 200.
Progressão Geométrica
Uma sucessão de números na qual o quociente entre dois termos consecutivos é constante, é denominada progressão
geométrica, ou abreviadamente de P.G.
Representação de uma P.G.
Representando por a1 o primeiro elemento, por a2 o segundo elemento de uma P.G. e assim sucessivamente, até o último
elemento que é representado por an, temos a seguinte representação para uma progressão geométrica:
P.G. ( a1, a2, a3, a4, ..., an ).
A representação acima se refere a uma P.G. finita com n elementos. Caso a sucessão seja infinita, utilizamos a seguinte
representação:
P.G. ( a1, a2, a3, a4, ..., an, ... ).
Terminologia
P.G. ( 3, 12, 48, 192, 768 )
Acima temos a representação de uma progressão geométrica finita.
Um termo qualquer é identificado por an, onde n indica a posição deste termo. Por exemplo, o termo a3 se refere ao terceiro
termo desta P.G., que no caso é igual a 48, já o primeiro termo, a1, nesta P.G. é igual a 3.
Como citado acima, o quociente entre dois termos consecutivos de uma P.G. é constante. Neste exemplo este valor é igual a
4, por exemplo, a divisão do segundo pelo primeiro termo é igual a 4.
Este valor constante que é o quociente entre um termo e outro é denominado razão da progressão geométrica e é
representado pela letra q.
Se representamos um termo qualquer de uma P.G. por an, então podemos dizer que o seu antecedente é igual a an - 1 e que
o seu consequente é igual a an + 1.
Desta forma podemos dizer que , ou ainda .
Veja estes exemplos: e também .
Além disto temos que um termo qualquer de uma P.G. é média geométrica entre o seu antecedente e o seu consequente:
Progressão geométrica constante
Uma progressão geométrica é constante quando a sua razão é igual a 1, ou quando o primeiro termo é igual a zero. Neste
caso todos os termos da P.G. têm o mesmo valor.
Exemplos:
P.G. ( 0, 0, 0, 0, ... )
P.G. ( 5, 5, ..., 5 )
P.G. ( 9, 9, 9 )
No primeiro exemplo temos que a1 = 0 e nos outros dois q = 1.
Progressão geométrica crescente
Uma progressão geométrica é crescente quando o consequente de um termo qualquer é maior que este termo. Isto ocorre
quando q > 1 e a1 > 0, ou quando 0 < q < 1 e a1 < 0.
Exemplos:
P.G. ( 1, 2, 4, ... )
P.G. ( -480, -120, -30, ... )
Note que a razão das progressões acima é respectivamente 2 e 0,25. No primeiro caso, q > 1 e a1 > 0 e no segundo caso
temos que 0 < q < 1 e a1 < 0.
Progressão geométrica decrescente
Uma progressão geométrica é decrescente quando o consequente de um termo qualquer é menor que este termo. Isto
ocorre quando q > 1 e a1 < 0, ou quando 0 < q < 1 e a1 > 0.
Exemplos:
P.G. ( -35, -105, -315, ... )
P.G. ( 1400, 560, 224, ... )
Veja que a razão das progressões acima é respectivamente 3 e 0,4. No primeiro exemplo, q > 1 e a1 < 0 e no segundo
temos que 0 < q < 1 e a1 > 0.
Progressão geométrica alternante ou oscilante
Uma progressão geométrica cujos termos alternem ou oscilem de positivo para negativo e vice-versa, é denominada P.G.
oscilante ou P.G. alternante. Isto ocorre quando q < 0 e a1 ≠ 0.
Exemplos:
P.G. ( -3, 6, -12, ... )
P.G. ( 729, -218,7, 65,61, -19,683, ... )
Em ambos os casos a1 ≠ 0. No primeiro caso a razão é igual a -2, logo q < 0 e no segundo temos que a razão é igual a -
0,3, portanto também temos q < 0.
Fórmula do termo geral de uma P.G.
Sabemos que o termo seguinte a um termo de uma P.G. é igual ao referido termo multiplicado pela razão q. Para uma P.G.
genérica podemos dizer que o segundo termo é igual ao primeiro termo, a1, vezes a razão q:
O terceiro termo é resultado da multiplicação do segundo termo pela razão:
No entanto como vimos que a2 = a1 . q, substituindo-o na expressão temos:
O quarto termo é resultado do produto do terceiro termo com a razão e como sabemos que a3 = a1 . q2, temos:
Pelo mesmo raciocínio, o quinto termo será:
O sexto termo será:
De forma resumida temos:
Portanto, partindo-se do primeiro termo, a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é:
Mas e se partirmos de outro termo que não o primeiro?
Vejamos:
Na fórmula do termo geral da P.G., subtraímos 1 de n quando partimos do termo a1, perceba que quando partimos do
termo a2, subtraímos 2 de n, assim como subtraímos 3 ao partirmos de a3 e 4 quando partirmos de a4. Partindo então de
um termo m, podemos reescrever a fórmula do termo geral da P.G. como:
Compreendendo a fórmula do termo geral da P.G. em função de
qualquer termo
Como já fizemos no caso da P.A., vamos a um exemplo para que a explicação fique de mais fácil entendimento.
Através da fórmula acima, vamos expressar o termo a7 de uma P.G. genérica, em função do termo a4:
Temos então que o termo a7 pode ser expresso em função do termo a4 como:
Agora preste bastante atenção ao seguinte:
Sabemos que o próximo termo após a4, é o termo a5, que equivale a a4 vezes q. Para chegarmos ao próximo termo, o a6,
multiplicamos mais uma vez pela razão q e para chegarmos finalmente ao termo a7, multiplicamos mais outra vez por q, ou
seja, como nos deslocamos três posições à direita, multiplicamos a4 por q3 para chegarmos ao termo a7. Veja que foi
exatamente este o resultado obtido em função da fórmula, ou seja, a7 = a4 . q3.
Vejamos que este raciocínio é bem mais prático que recorrermos à formula, para voltarmos de a7 para a4:
Agora o termo procurado está à esquerda do termo atual, na verdade três posições à sua esquerda, então vamos multiplicar
a7 por q-3, temos então que a4 = a7 . q-3, que equivale a dividirmos a7 por q três vezes.
Então vamos chegar ao mesmo resultado através da fórmula para confirmarmos esta explicação:
Resumindo, se partindo do termo atual iremos avançar n termos à direita, para chegarmos ao termo final, então temos que
multiplicar o termo inicial por n vezes a razão q, ou seja, multiplicá-lo por qn. Se nos deslocarmos à esquerda, o
procedimento é semelhante, só que ao invés de multiplicarmos, iremos dividir o termo inicial n vezes pela razão q, o que
equivale a multiplicá-lo por q-n.
Como exemplo temos que a15 = a11 . q4, pois avançamos 4 termos de a11 a a15, assim como a2 = a7 . q-5, pois
retrocedemos 5 termos de a7 para a2.
Soma dos termos de uma P.G.
Podemos expressar a soma dos n termos de uma P.G. finita como:
Multiplicando-a pela razão q temos:
Vamos analisar o segundo membro das duas expressões. Note que o segundo termo da primeira expressão é igual ao
primeiro termo da segunda expressão, a mesma coisa ocorre com o segundo, terceiro, quarto, até o último termo do
segundo membro da primeira expressão.
Ao subtrairmos a primeira expressão da segunda, estes termos que ocorrem em duplicidade são anulados e ficamos então
com a seguinte expressão:
Temos então:
Portanto podemos utilizar a fórmula abaixo para calcularmos a soma de todos os termos de uma P.G. finita e também dos n
primeiros termos de uma P.G. qualquer, desde que q ≠ 1:
Para q = 1 temos uma fórmula mais simples:
Produto dos termos de uma P.G.
Como feito no caso da soma, vamos agora deduzir a fórmula de cálculo do produto dos termos de uma progressão
geométrica. Vejamos:
Portanto a fórmula para o cálculo do produto dos termos de uma P.G. finita, ou do produto dos n primeiros termos de uma
P.G. é:
Exemplos de problemas envolvendo Progressão Geométrica
Formamos uma P.G. partindo do número 5 e o multiplicando sucessivamente por 3, até finalizarmos no número
17.433.922.005. Quantos termos há nesta progressão geométrica?
Identificando as variáveis do problema temos:
Através da aplicação da fórmula do termo geral iremos calcular o número de termos da progressão:
Portanto:
Nesta progressão geométrica há 21 termos.
Qual é a soma dos termos da P.G. ( 8, 56, 392, ..., 134456)?
A partir do enunciado podemos calcular a razão da progressão:
Para calcularmos a soma dos termos, primeiramente precisamos saber quantos eles são. Os dados disponíveis que temos
para calcular esta quantidade são:
Calculando n temos:
Agora que sabemos quantos termos são, podemos calcular a soma dos mesmos:
Logo:
A soma dos termos da referida P.G. é igual a 156864.