Progresija.pdf

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 1 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 2 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

Sadrzaj

1 Aritmeticki niz 3

2 Vjezbe 10

3 Geometrijski niz 20

4 Vjezbe 26

5 Primjene aritmetickog i geometrijskog niza 38

6 Legenda o nastanku saha 39

7 Metodsko uputstvo 42

Literatura 44

Indeks 44

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 3 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

1. Aritmeticki niz

Aritmeticki niz. Niz brojeva u kome je razlika svakog clana i nje-govog predhodnika ista, zove se aritmeticki niz ili aritmeticka pro-gresija.

Slika 1: Nacin formiranja aritmetickog niza.

Dakle, aritmeticki niz je niz datrekurzivnom formulom:

an+1 = an + d (n N). (1)Broj d zove se razlika ili diferencija aritmeticke progresije.Najjednostavniji aritmeticki niz, s razlikom d = 1, je skup prirodnih brojevaN = {1, 2, 3, . . . , n, . . .}.

Opsti clan aritmetickog niza dat je formulom:

an = a1 + (n 1)d. (2)Dokaz. Jednakost (2) je tacna za n = 2. Pretpostavimo da je jednakost (2) tacna zaneki prirodan broj k 2, tj. da je:

ak = a1 + (k 1)d, (3)pa dokazimo da vazi i za k + 1. Zaista, zbog (1) je

ak+1 = ak + d,

a zbog induktivne pretpostavke (3) je

ak+1 = a1 + (k 1)d+ d,tj. jednakost (2) je tacna za svaki prirodan broj n.

Jednakost (2) omogucava da se odredi bilo koji clan niza kada se zna njegovarazlika d i prvi clan a1.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 4 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

Primjer 1.1 Kako glasi osamnaesti clan aritmetickog niza 1, 3, 5, . . .?

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 4 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

Primjer 1.1 Kako glasi osamnaesti clan aritmetickog niza 1, 3, 5, . . .?Rjesenje. Kako je a1 = 1, d = 2, to je zbog (2)

a18 = 1 + 17 2 = 35.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 4 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj


a18 = 1 + 17 2 = 35.

Primjer 1.2 Formirati aritmeticki niz ako se zna da mu je stoti clan 298, a razlikad = 3.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 4 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj


a18 = 1 + 17 2 = 35.

Primjer 1.2 Formirati aritmeticki niz ako se zna da mu je stoti clan 298, a razlikad = 3.Rjesenje. Zbog (2) je

a100 = a1 + (100 1)d,ili

298 = a1 + 99d,

odakle je a1 = 1. Trazeni niz je: 1, 4, 7, ..., 3n 2, ....

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 4 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj


a18 = 1 + 17 2 = 35.


a100 = a1 + (100 1)d,ili

298 = a1 + 99d,


Primjer 1.3 Cetvrti clan aritmetickog niza je 7, a dvanaesti 3. Izracunati deveticlan.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 4 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj


a18 = 1 + 17 2 = 35.


a100 = a1 + (100 1)d,ili

298 = a1 + 99d,


Primjer 1.3 Cetvrti clan aritmetickog niza je 7, a dvanaesti 3. Izracunati deveticlan.Rjesenje. Na osnovu (2) dobija se sistem

a1 + 3d = 7,

a1 + 11d = 3,

cije je rjesenje a1 =172, d = 1

2. Trazeni deveti clan je

a9 =17

2+ 8

(12

)=

9

2.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 5 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

Zbir bilo koja dva jednako udaljena clana konacnog aritmetickogniza {ai}ni=1 a1, a2, a3, . . . , an od njegovih krajeva jednak je zbirukrajeva, tj.

ak+1 + ank = a1 + an. (4)

.

Dokaz. Niz je aritmeticki pa je:

a1, a1 + d, a1 + 2d, . . . , an 2d, an d, an.Za 1 k n 2 clanovi ak+1 i ank su jednako udaljeni od krajeva toga niza, jer je

ak+1 = a1 + kd i ank = a1 + [(n k) 1]d = [a1 + (n 1)d] kd = an kd

i

ak+1 + ank = (a1 + kd) + (an kd) = a1 + an,tj. vrijedi (4).

Aritmeticka sredina. Kaze se da je broj Ak(s) aritmeticka sredina1

konacnog niza brojeva s = {b1, b2, . . ., bk} ako i samo ako je

Ak(s) =b1 + b2 + . . .+ bk

k

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 6 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

Svaki clan konacnog aritmetickog niza {ai}ni=1 a1, a2, a3, . . . , an, osimprvog i zadnjeg, jednak je aritmetickoj sredini clanova jednako uda-ljenih od njega.

Dokaz. Ako sa ak oznacimo bilo koji clan niza, pocev od drugog pa do predposljednjeg,onda su clanovi od njega jednako udaljeni ak+r i akr.

Posto jeak+r = ak + rd, akr = ak rd,

onda jeak+r + akr = ak + rd+ ak rd,

odnosno

ak =ak+r + akr

2za (k = 2, 3, ..., n 1), (5)

i gdje je r odgovarajuci prirodan broj.

Naziv aritmeticki niz potice iz jedne osobine njegovih clanova, daje svaki clan u njemu, osim prvog i posljednjeg, aritmeticka sredinapredhodnika i sljedbenika.

Cinjenica da tri broja cine aritmeticki niz moze se iskazati na vise nacina: a,a+ d, a+2d; x d, x, x+ d i a 2d, a d, a; a, b, c pod uslovom da je 2b = a+ c.Izmedu dva zadana broja a i b interpolirati (umetnuti) aritmeticki niz od rclanova znaci odrediti r brojeva, koji zajedno s a i b cine aritmeticki niz, komeje a prvi, a b zadnji clan. Ako se sa oznaci razlika tog aritmetickog niza, jeron ima ukupano r + 2 clanova, onda je b = a+ (r + 2 1), tj.

=b ar + 1

. (6)

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 7 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

Suma Sn prvih n clanova aritmetickog niza data je formulom

Sn =n

2[2a1 + (n 1)d] (7)

Dokaz. Suma prvih n clanova aritmetickog niza je

Sn = a1 + a2 + + ak + + an,ili

Sn = an + an1 + + ank+1 + + a1.Ako se saberu lijeve a zatim desne strane posljednjih suma, clan po clan, dobice se:

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an1) + + (ak + ank+1) + + (an + a1).Iz posljednje jednakosti zbog (4) je

2Sn = n (a1 + an) ,odnosno

Sn =n

2(a1 + an) ,

pa je konacno zbog (2)

Sn =n

2[2a1 + (n 1)d] .

Primjer 1.4 Izracunati sumu prva dvadesetcetiri clana niza 5, 9, 13, ... ?Rjesenje. Kako je a1 = 5, d = 4, n = 24, to je

Sn =24

2[2 5 + (24 1) 4] = 12 (10 + 23 4) = 1224.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 8 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

Primjer 1.5 Izracunati sumu prvih n neparnih odnosno parnih prirodnih brojeva.Rjesenje. a) Za neparne brojeve je a1 = 1, d = 2, pa je

Sn =n

2[2 1 + (n 1) 2] .

Dakle, zbir prvih n neparnih prirodnih brojeva je

Sn = n2.

b) Za parne brojeve je a1 = 2, d = 2, pa je

Sn =n

2[2 2 + (n 1) 2] = n

2(4 + 2n 2) .

Dakle, zbir prvih n parnih prirodnih brojeva je

Sn = n(n+ 1).

Primjer 1.6 Rijesiti jednacinu 1 + 3 + 5 + + x = 441.Rjesenje. Lijeva strana date jednacine je aritmeticki niz kod koga je a1 = 1,d = 2 , n = x, Sn = 441, pa je

441 =x

2[2 + (x 1) 2] ,

odakle je x2 = 441, odnosno x = 21. Rjesenje date jednacine je samo x = 21.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 9 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

Monotonost aritmetickog niza. Ako je d > 0 aritmeticki niz jemonotono rastuci, odnosno monotono opadajuci ako je d < 0.

U zadacima koji su u vezi sa aritmetickim nizom pojavljuje sa pet pojmova:prvi clan a1, razlika d, indeks broja clanova n, i suma prvih n clanovaaritmetickog niza Sn, koji su povezani relacijama (2) i (7). Da bi se od tihpet odredila dva potrebno je znati tri. Moguci su sljedeci tipovi zadatakau kojima su dati podaci za:

1. a1, d, an; 2. a1, d, n; 3. a1, d, Sn; 4. a1, an, n;5. a1, n, Sn; 6. d, an, n; 7. d, an, Sn; 8. d, n, Sn;9. an, n, Sn; 10. a1, an, Sn;

Treci i sedmi tip svode se na rjesavanje kvadratne jednacine, a preostalih osam najednacinu prvog stepena.

Ako su u vezi sa aritmetickim nizom u uslovima zadataka pored osnovnih pojmovazadani i neki drugi, tada treba koristiti osobine (4) i (5) aritmetickog niza.

Iz istorije. Jos je starim babiloncima bio poznat postupak sumiranja prvihn clanova aritmetickog niza kome je bio poznat prvi i posljednji clan:

Sn =a1 + an

2 n.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 10 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

2. Vjezbe

2.1 Ako je u aritmetickom nizu

a) a1 = 5, d = 3 naci a7; b) a1 = 8, d = 5 naci a10;

Rjesenje. a) Na osnovu formule za n ti clan aritmetickog niza an = a1 + (n 1)d, a izuslova zadatka je a7 = 5 + (7 1) 3, tj. a7 = 5 + 18 = 23.b) Slicno kao i pod a) je a10 = 8 + (10 1) 5 = 8 + 45 = 37.

Rezultat: [a7 = 23, a10 = 37]2.2 Izracunati an i d u aritmetickom nizu kod koga je:

a) a1 = 45, n = 31 i Sn = 0; b) a1 = 16, n = 9 i Sn = 0;

Rjesenje.

2.3 Odrediti razliku d aritmetickog niza ako je dato

a) a1 = 5, a8 = 26; b) a1 = 5, a12 = 17;

Rjesenje. a) Kako je na osnovu formule za opsti clan aritmetickog niza a8 = a1 +7d, toje iz uslova zadatka 26 = 5 + 7d, tj. 7d = 26 5 pa je je 7d = 21 i konacno d = 3.b) Kako je a12 = a1 +11d, to je na osnovu uslova zadatka 17 = 5+ 11d, tj. 11d = 17+ 5pa je 11d = 22 i konaco d = 2.

Rezultat: [a) d = 3; b) d = 2]

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 11 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

2.4 Odrediti prvi clan aritmetickog niza ako je:

a) a7 = 10, d = 3; b) a24 = 50, d = 2.

Rjesenje. a) Na osnovu formule an = a1 + (n 1)d za n ti clan aritmetickog niza, izuslova zadatka je a7 = a1 +6d = a1 = a7 6d, tj. a1 = 10 6 (3), pa je a1 = 10+ 18i konacno a1 = 8.

b) Kako je a24 = a1 + 23d tj. a1 = a24 23d iz uslova zadatka je a1 = 50 23 2 pa jea1 = 50 46 i konacno a1 = 4.

Rezultat: [a) a1 = 8; b) a1 = 4]

2.5 Naci sumu prvih deset clanova aritmetickog niza 1, 5, 9, . . ..

Rjesenje. Iz datog niza se zakljucuje da je d = 5 1 = 9 4 = 13 9 = 4 i a1 = 1.Kako se osim toga trazi suma deset clanova datog niza, to je n = 10. Prema formuli

Sn =n

2[2a1 + (n 1)d] za sumu n prvih clanova aritmetickog niza konacno je

S10 =10

2[2 1 + (10 1) 4] = 5 [2 + 9 4] = 5 38 = 190.

Rezultat: [S10 = 190]

2.6 Naci n i Sn ako je:

a) a1 = 4, an = 49 i d = 5; b) a1 = 28, an = 28 i d = 7.

Rjesenje. a) Prema formuli za n ti clan niza je 49 = 4 + (n 1) 5 tj. 49 4 = 5n 5ili 45 + 5 = 5n i konacno n = 10, sto je dovoljno da se izracuna suma S10. Zaista

S10 =10

2[2 4 + (10 1) 5] = 5 [8 + 45] = 265.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 12 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

b) Kako je a1 = 28, an = 28 i d = 7 zbog an = a1 + (n 1)d je 28 = 28 + (n 1) 7, tj.28 = 28+7n 7 ili 7n = 28+28+7 odnosno 7n = 63 i konacno n = 9. Dakle, suma S9 je

S9 =9

2[2 (28) + (9 1) 7] = 9

2[56 + 56] = 0.

Rezultat: [a) Sn = 3, b) Sn = 0]

2.7 Koji aritmeticki niz sa realnim clanovima ima osobinu:

a1 a5 = 4, a4 a7 = 4?

Rjesenje. Niz je aritmeticki pa je a4 = a1 + 3d, a5 = a1 + 4d i a7 = a1 + 6d. Datedvije jednacine se mogu na osnovu tih jednakosti napisati u obliku a1 (a1 + 4d) = 4,(a1 + 3d) (a1 + 6d) = 4, pa je 0 = a1 a5+a4 a0 = a1 (a1 + 4d)+ (a1 + 3d) (a1 + 6d), odakleje poslije sredivanja a21 + 4a1d+ a

21 + 6a1d+ 3a1d+ 18d

2 = 0 tj. 2a21 + 13a1d+ 18d2 = 0.

Posljednja jednacina se moze podijeliti sa d2, jer je d 6= 0, pa je

2(a1d

)2+ 13

a1

d+ 18 = 0

koja smjenom y =a1

dprelazi u 2y2 + 13y + 18 = 0.

Rjesenja posljednje jednacine su

y1,2 =13132 4 2 18

2 2 =13169 144

4=13 5

4

tj.

y1 =13 + 5

4= 2 i y2 = 13 5

4= 9

2.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 13 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

Nakon vracanja smjene imamo da je

y1 =a1d

= 2 = a1

d= a1 = 2d.

Uvrstavanjem posljednje jednakosti u a1 (a1 + 4d) = 4 je 2d (2d + 4d) = 4, tj.d d = 1 = d = 1.Posto je a1 = 2d to je a1 = 2

y2 =a1d

= 92=

a1d

= a1 =9d

2

Uvrstavanjem posljednje jednakosti u

a1 (a1 + 4d) = 4imamo da je

9d

2(9d

2+ 4d

)= 4 tj. 81 (d

)2

4+(18d

)2= 4.

Posljednja jednakost je nemoguca jer zbir kvadrata dva broja ne moze biti negativanbroj. Prema tome imamo dva niza koji imaju date osobine, a za koje je d = 1ia1 = 2,pa je za prvi niz d = 1 i a1 = 2 (niz je: -2, -1, 0, 1, 2, . . . ), a za drugi niz je d = 1 ia1 = 2 (niz je: 2, 1, 0, -1, -2, . . . )

Rezultat: [ ]

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 14 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

2.8 U aritmetickom nizu koji ima 15 clanova, kome je srednji clan 7, a proizvodprvog i posljednjeg -147, odrediti a1 i d?

Rjesenje. Srednji clan datog niza je a8 = 7 = a1 + 7d, i a1 a15 = 147 = a1(a1 + 14d).Kako je a1 = 7(1 d), to je 147 = a1(a1 + 14d) = 7(1 d)[7(1 d) + 14d], pa je 147 =7(1 d)[7(1 + d)] = 49(1 d2), tj. 3 = 1 d2. Konacno je d1 = 2 i d2 = 2.Za d1 = 2 iz a1 = 7(1 d) je a1 = 7(1 2) = 7, a za d2 = 2 je a1 = 7[1 (2)] = 21.Dakle, zadatak ima dva rjesenja: niz -7, -5, -3, -1, 1, . . . u kome je a1 = 7, d1 = 2 i niz21, 19, 17, 15, 13, . . ., u kome je a1 = 21, d2 = 2.

Rezultat: [ ]

2.9 a) Izmedu brojeva 5 i 15 umetnuti 4 nova tako da oni cine aritmetici nizte formirati nastali niz.

b) Izmedu brojeva 3 i 7 umetnuti 7 novih tako da oni cine aritmetici nizte formirati nastali niz.

Rjesenje. a) a = 5, b = 15 i r = 4. Diferencija interpoliranog niza je:

d1 =b ar + 1

=15 54 + 1

= 2,

pa je trazeni niz dat sa: 5, 7, 9, 11, 13, 15, . . ..

b) a = 3, b = 7 i r = 7. Diferencija interpoliranog niza je:

d1 =b ar + 1

=7 37 + 1

=1

2,

pa je trazeni niz dat sa: 3,7

2, 4,

9

2, 5,

11

2, 6,

13

2, 7, . . ..

Rezultat: [a) 5, 7, 9, 11, 13, 15, . . . ; b) 3,7

2, 4,

9

2, 5,

11

2, 6,

13

2, 7, . . .]

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 15 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

2.10 Koliko brojeva treba umetnuti izmedu 2 i 20 da bi se dobio aritmeticki nizciji je zbir clanova 187?Rjesenje.

a1 = a = 2, an = b = 20

broj umetnutih clanova jen = r + 2

Sr+2 = 187

Uvrstavanjem datih vrijednosti u formulu

Sn =n

2[a+ b]

dobit cemo da je

187 =r + 2

2[2 + 20] =

r + 2

2 22 = (r + 2) 11 = 11r + 22

165 = 11r = r = 15Znaci, treba umetnuti 15 clanova.

Rezultat: [ ]

2.11 Naci sumu prvih 7 clanova aritmetickog niza u kome je a5 + a11 = 62 ia4 a1 = 12.Rjesenje.

Rezultat: [ ]

2.12 Rijesiti jednacinu1 + 6 + 11 + + x = 148.

Rjesenje.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 16 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

Rezultat: [ ]

2.13 U aritmetickom nizu 2, 5, 8, . . . izmedu prvog i drugog clana umetnutitoliko clanova da suma umetnutih clanova bude samo za jedan manja od sumeprvih dvanaest clanova toga niza. Koliko clanova treba umetnuti i koja je razlikaumetnutih clanova?Rjesenje.

Rezultat: [ ]

2.14 Naci aritmeticki niz kod koga je suma njegova prva cetiri clana 26, aproizvod tih istih clanova 850.Rjesenje.

Rezultat: [ ]

2.15 Odrediti x tako da brojevi x+ 5, 25 x i 30 + 2x cine aritmeticki niz.Rjesenje.

Rezultat: [ ]

2.16 U nizu 35, 26, 17, . . . naci onaj clan koji je jednak zbiru svih predhodnihclanova.Rjesenje.

Rezultat: [ ]

2.17 Da bi brojevi1

b+ c,

1

a+ ci

1

a+ b,

cinili aritmeticki niz, potrebno je i dovoljno da brojevi

a2, b2 i c2

cine aritmeticki niz.Rjesenje.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 17 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

Rezultat: [ ]

2.18 Dat je neki niz u kome je za svaki m suma prvih njegovih m clanova jednakaSm = m2 5m. Pokazati da je taj niz aritmeticki, i naci njegov peti clan.Rjesenje.

Rezultat: [ ]

2.19 Suma prvog i petog clana aritmetickog niza jednaka je 26, a proizvoddrugog i cetvrtog clana tog niza jednak je 160. Naci sumu sest prvih clanovatog niza.Rjesenje.

Rezultat: [ ]

2.20 U aritmetickom nizu 5, 9, 13, ... zbir tri uzastopna clana iznosi 147. Koji suto clanovi?Rjesenje.

Rezultat: [ ]

2.21 Peti clan aritmetickog niza je 13, a deveti 19. Formirati niz.Rjesenje.

Rezultat: [ ]

2.22 Izracunati a1 i d ako je:

a) an = 21, n = 7 i Sn = 105; b) an = 105, n = 16 i Sn = 840.

Rjesenje.Rezultat: [ ]

2.23 Izracunati n i Sn ako je:

a) a1 = 4, d = 5 i an = 49; b) a1 = 14, 5, d = 0, 7ian = 32.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 18 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj


2.24 Izracunati n i an ako je:

a) a1 = 41, d = 2 i Sn = 4784; b) a1 = 2, d = 5iSn = 245.


2.25 Naci sumu svih cetverocifrenih brojeva koji su djeljivi sa 30.

Rjesenje. Prvi medu tkakvim brojevima je broj a1 = 1020, a an = 9990 je posljednji,

n =an a1

30+ 1, S =

a1 + an

2 n.

Literatura: [Basmakov, s. 154]

2.26 Naci sumu svih neparnih trocifrenih brojeva koji nisu djeljivi sa 3.

Rjesenje. Brojevi koji nisu djeljivi sa 2 i sa 3 su oblika 1 + 6d i 5 + 6d.Rezultat: [ ]

2.27 Naci sumu prvih 15 clanova aritmetickog niza, ako je njegov osmi clanjednak 11.Rjesenje.

Rezultat: [ ]

2.28Rjesenje.

Rezultat: [ ]

2.29

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 19 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

a) ; g) ; m) ;

b) ; h) ; n) ;

c) ; i) ; o) ;

d) ; j) ; p) ;

e) ; k) ; q) ;

f) ; l) ; r) .

Rjesenje.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 20 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

3. Geometrijski niz

Geometrijski niz. Niz brojeva u kome je kolicnik svakog clana injegovog predhodnika stalan, zove se geometrijski niz ili geome-trijska progresija.

Slika 2: Nacin formiranja geometrijskog niza.

Dakle, geometrijski niz je nizdat rekurzivnom formulom:

an+1 = an q (n N) (8)Broj q zove se kolicnik geometrijskog niza.

Opsti clan geometrijskog niza dat je formulom:

an = a1 qn1. (9)Dokaz. Jednakost (9) vazi za n = 2. Pretpostavimo da je jednakost (9) tacna za nekiprirodan broj k 2, tj. da je:

ak = a1 qk1, (10)pa dokazimo da vazi i za k + 1. Zaista, zbog (8) je

ak+1 = ak q,a zbog induktivne pretpostavke (10) je

ak+1 =(a1 qk1

) q = a1 qk,

tj. jednakost (9) je tacna za svaki prirodan broj n.

Jednakost (9) daje mogucnost da se izracuna bilo koji clan geometrijskog nizakada se zna kolicnik q i prvi clan a1.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 21 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

Primjer 3.1 Prvi clan geometrijskog niza je 2, a kolicnik 4. Koliki je sesti clan ikako glasi niz?Rjesenje. Kako je a1 = 2, q = 4 i n = 6 to je zbog (9)

a6 = 2 45 = 2048,pa je 2, 8, 32, . . . , 22n1, . . . trazeni niz.

Proizvod bilo koja dva jednako udaljena clana od krajeva konacnoggeometrijskog niza {ai}ni=1 = a1, a2, a3, . . . , an jednak je proizvodu kra-jeva, tj.

ak ank = a1 an za (k = 1, 2, ..., n). (11)Dokaz. Dati geometrijski niz moze biti napisan u obliku:

a1, a1 q, a1 q2 , . . . ,a1 qn3, a1 qn2, a1 qn1,pa je

ak = a1 qk1 i an(k1) = a1 qnk (1 k n),odnosno

ak an(k1) =(a1 qk1

)(a1 qnk

)= a1

(a1 qn1

).

Dakle, clanovi ak i an(k1) jednako su udaljeni od krajnjih clanova a1 i an, tj. vrijedi(11).

Geometrijska sredina. Kaze se da je broj Gk(s) geometrijska sre-dina konacnog niza brojeva s = {b1, b2, . . ., bk} ako i samo akoje

Gk(s) =kb1 b2 . . . bk.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 22 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

U konacnom geometrijskom nizu {ai}ni=1 = a1, a2, a3, . . . , an svaki clan,pocev od drugog do predposljednjeg, jednak je geometrijskoj srediniclanova jednako udaljenih od njega.

Dokaz. Ako sa ak oznacimo bilo koji clan niza, pocev od drugog pa do predposljednjeg,onda su clanovi od njega jednako udaljeni ak+r i akr.

Posto jeak+r = a1 qk+r1, akr = a1 qkr1,

onda jeak+r akr =

(a1 qk+r1

)(a1 qkr1

)= a21

(qk1

)2,

odnosnoak =

ak+r akr za (k = 2, 3, ..., n 1), (12)

gdje je r odgovarajuci prirodan broj.

Naziv geometrijski niz potice iz jedne osobine njegovih clanova, daje svaki clan u njemu, osim prvog i posljednjeg, geometrijska sredinapredhodnika i sljedbenika.

Cinjenica da tri broja cine geometrijski niz moze se iskazati na vise nacina: a,aq, aq2; x d, x, x+ d i a 2d, a d, a; a, b, c pod uslovom da je 2b = a+ c.Izmedu dva zadana broja a i b interpolirati (umetnuti) geometrijski niz od rclanova znaci odrediti r brojeva, koji zajedno s a i b cine geometrijski niz, komeje a prvi, a b zadnji clan. Ako se sa q1 oznaci kolicik tog geometrijskog niza, jeron ima ukupano r + 2 clanova, onda je b = aqr+211 = aq

r+11 , tj.

q1 =r+1

b

a. (13)

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 23 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

Suma Sn prvih n clanova geometrijskog niza data je formulom

Sn = a11 qn1 q (q 6= 1). (14)

Dokaz. Suma prvih n clanova geometrijskog niza moze se prikazati u obliku

Sn = a1 + a1q + a1q2 + + a1qn2 + a1qn1.

Ako se obije strane posljednje jednakosti pomnoze sa q dobice se:

qSn = a1q + a1q2 + + a1qn1 + a1qn.

Oduzimanjem posljednje od pretposljednje jednakosti dobice se:

Sn qSn = a1 a1qn,

tj.

(1 q)Sn = a1 (1 qn) ,pa je konacno

Sn = a11 qn1 q .

Primjedba 1. Formula (14) se moze napisati i u obliku

Sn = a1qn 1q 1 . (15)

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 24 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

Primjer 3.2 Izracunati sumu prvih osam clanova geometrijskog niza1

8,1

4,1

2, 1,

2, . . . .

Rjesenje. U ovom slucaju je a1 =1

8, q = 2 pa je

S8 =1

8 1 2

8

1 2 = 715

16.

U zadacima koji se odnose na geometrijski niz pojavljuje sa pet pojmova:prvi clan a1, kolicnik q, broj clanova n, i suma prvih n clanova geometrijskogniza Sn, koji su povezani relacijama (9) i (14) ili (15). Dakle, svaki putatreba zadati tri od pet pojmova, da bi se preostala dva mogla odrediti.Moguci su tipovi zadataka u kojima su dati sljedeci podaci:

1. a1, q, an; 2. a1, q, n; 3. a1, q, Sn; 4. a1, an, n;5. a1, n, Sn; 6. q, an, n; 7. q, an, Sn; 8. q, n, Sn;9. an, n, Sn; 10. a1, an, Sn;

Treci i sedmi tip svode se na rjesavanje kvadratne jednacine, a preostalih osam najednacinu prvog stepena.Treba istaci: ako su pored osnovnih pojmova u vezi sa geometrijskim nizom uuslovima zadataka zadani i neki drugi, u takvim situacijama ce biti od koristi osobine(11) i (12) geometrijskog niza.

O jednoj nejednakosti. U teoriji nejednakosti posebno mjesto zauzimanejednakost izmedu kvadratne i aritmeticke sredine

a2 + b2

2> a+ b

2.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 25 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

Iz istorije. U selevkidskom tekstu navedeni su zadaci u vezi sa sumaman clanova geometrijskog niza, na primjer 1, 2, 22, . . . , 29. Istina, iz togteksta nije sasvim jasno kako se doslo do rezultata. Tek je kasnije bilodokazano da je u takvoj progresiji

Sn = (Sn1 + 1) + Sn1,

sto je lako primjetiti i na malom broju sabiraka.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 26 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

4. Vjezbe

4.1 Naci nekoliko prvih clanova geometrijskog niza ako je njegov prvi clan a1 =4, a kolicnik q ima vrijednost:

a) q = 3; b) q = 1; c) q = 12;

Rjesenje. Za svaki clan geometrijskog niza vrijedi an = a1qn1, pa vrijede i jednakostia1 = a1q11 = a1q0, a2 = a1q21 = a1q, a3 = a1q31 = a1q2, a4 = a1q41 = a1q3, . . . iz kojih zakonkretne vrijednosti a1 i q je:

a) a1 = 4, a2 = 4 (3) = 12, a3 = (4) (3)2 = (4) 9 = 36,a4 = (4) (3)3 = (4) (27) = 108, . . .

b) a1 = 4, a2 = (4) (1) = 4, a3 = (4) (1)2 = (4) 1 = 4,a4 = (4) (1)3 = (4) (1) = 4, . . .;

c) a1 = 4, a2 = (4) (12

)= 2, a3 = (4)

(12

)2= (4) 1

4= 1

a4 = (4) (12

)3= (4)

(18

)=

1

2.

4.2 Peti clan geometrijskog niza je 162, a sesti 486. Izracunaj prvi clan.

Rjesenje. Zbog an = a1qn1 je a5 = a1q4 i a6 = a1q5. Kada se druga jednacina podjeli sa

prvom bicea6

a5=

a1q5

a1q4, odnosno

a6

a5= q, pa je konacno q =

486

162= 3. Kako je a5 = a1q4,

to je a1 =a5

q4pa je a1 =

162

34=

162

81= 2.

Rezultat: [q = 3, a1 = 2]

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 27 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

4.3 Izracunati sumu:

a) prvih 10 clanova geometrijskog niza: 1, 2, 4, 8,. . . ;

b) prvih 8 clanova geometrijskog niza: 3,1, 13,1

9,. . . .

Rjesenje. a) Na osnovu clanova datog niza je q =2

1=

4

2=

8

4= 2, a1 = 1 i n = 10

(jer se trazi suma prvih 10 clanova). Suma geometrijskog niza od n clanova racuna sepo formuli

Sn = a1qn 1q 1

pa je

S10 = 1 210 12 1 = 1023.

b) Slicno kao pod a)

q =13

=

1

31 =

191

3

= 13, a1 = 3 i n = 8

S8 = 3

(13

)8 1

13 1

= 3 1

6561 1

13 3

3

=

= 3 1 656165611 3

3

= 3 65606561

43

= 3 3 65604 6561 =

6560

4 729 =1640

729

Rezultat: [a) S10 = 1023; b) S8 =1640729

]

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 28 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

4.4 U konacnom rastucem geometrijskom nizu zbir prvog i posljednjeg clana je164, a proizvod drugog i predposljednjeg clana je 324. Naci posljednji clan togniza.

Rjesenje. Zbogank am+k = an am

za k = 1 i m = 1 je an1 a2 = an a1 = 324, pa sistem iz pretpostavke zadatka

a1 + an = 164

a2 an1 = 324prelazi u

a1 + an = 164

a1 an = 324.Rjesavanjem posljednjeg sistema po an dobija se

an =164

2(

164

2

)2 324 = 82

(82)2 324 = 82

(82)2 324

= 826724 324 = 826400 = 82 80,

tj. an = 2 ili an = 162. Iz druge jednacine posljednjeg sistema tim vrijednostima redomodgovaraju vrijednosti a1 = 164, odnosno a1 = 2. Konacno je a1 = 2 i an = 162, jer je urastucoj progresiji a1 < an.

Rezultat: [a1 = 2 i an = 162]

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 29 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

4.5 Odrediti prvi clan geometrijskog niza kod koga je

a) S7 = 127, q = 2; b) S7 = 1638, q = 4;

Rjesenje. a) Na osnovu formule za sumu prvih n clanova geometrijskog niza

Sn = a1qn 1q 1

je

S7 = a1q7 1q 1

127 = a127 12 1 = a1 (2

7 1) = a1 = 12727 1 =

127

128 1 = 1

b) Slicno kao pod a) je

1638 = a1(4)7 1(4) 1 = a1

(4)7 15 = a1

16384 15 = a1

163855 = 3277 a1

tj.

a1 =1638

3277

Rezultat:

[a) a1 = 1, b) a1 =

1638

3277

]

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 30 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

4.6 Ako je u geometrijskom nizu :

a) a1 = 5, q = 3, an = 405, izracunati n i Sn,

b) a1 = 81, an = 1023, n = 6, izracunati q i Sn.

Rjesenje. Iz formule za opsti clana geometrijskog niza: an = a1qn1 je

405 = 5 3n1/ : 5 81 = 3n1 34 = 3n1 n 1 = 4 n = 5.Suma Sn se racuna po formuli

Sn = a1qn 1q 1

S5 = 5 35 13 1 = 5

243 12

= 5 2422

= 5 121 = 605.

b) Iz formule za opsti clana geometrijskog niza: an = a1qn1 je

1023= 81q61 32

3= 81q5/ 3 32 = 243q5/ : 243

32243

= q5 q = 532

243=

5

(23

)5= 2

3

i

S6 = 81

(23

)6 1

23 1

= 81 32

243 1

2 33

= 81 32 243

24353

= 81 21124353

=81 3 2115 243 =

211

5

Rezultat:[ a) n = 5, S5 = 605; b) q = 23 , S6 = 2115 ]

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 31 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

4.7 Za geometrijski niz kod koga je an = 250, q = 5 i Sn = 312 naci a1 i n.

Rjesenje. Iz formule za opsti clana geometrijskog niza an = a1qn1 je 250 = a1 5n1, a na

osnovu formule za sumu n clanova geometrijskog niza Sn = a1qn 1q 1 je 312 = a1

5n 15 1 .

Iz prve jednacine sistema250 = a1 5n1

312 = a15n 15 1 .

jea1 =

250

5n 51 tj. a1 =250

5n

5

=1250

5ni konacno a1 =

1250

5n.

a za a1 =1250

5niz druge je

312 =1250

5n 5

n 15 1 tj. 312 =

1250

5n 5

n 14

/ 4 5n ili 312 4 5n = 1250 (5n 1),

odnosno

1248 5n = 1250 5n 1250 tj. 1250 = 1248 5n 1250 5n

2 5n = 1250/ : (2) tj. 5n = 625 tj. 5n = 54 i konacno n = 4.

a1 cemo dobiti uvrstavanjem vrijednosti n u jednacinu

a1 =1250

5n=

1250

54=

1250

625= 2

Rezultat: [y]

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 32 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

4.8 Formurati geometrijski niz u kome je

a3 a1 = 12 i a1 a3 = 64

Rjesenje. Prema uslovu zadatka imamo sistem od dvije jendacine sa dvije nepoznate

a3 a1 = 12a1 a3 = 64

Iz druge jednacine sistema je a1 =64

a3, a iz prve

a3 64a3

= 12/ a3 tj. (a3)2 64 12a3 = 0,

pa je

(a3)1,2 =12

(12)2 4 1 (64)

2 1 =12144 + 256

2=

12 202

,

(a3)1 =12 + 20

2= 16 i (a3)2 =

12 202

= 4.

Za vrijednosti (a3)1 i (a3)2 iz a1 =64

a3je

(a1)1 =64

16= 4 i (a1)2 =

64

4 = 16.

Dakle, radi se o dva niza, nizu: a1 = 4 i a3 = 16 i nizu: a1 = 16 i a3 = 4. Za prvi odnjih je q

a3 = a1q2 tj. q2 =

a3

a1ili q2 =

16

4i konacno q2 = 4 = q = 2.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 33 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

Prema tome za imamo da su to nizovi: 4,8,16 i 4,-8,16drugi niz:

a3 = a1q2 = q2 = a3

a1

q2 =164

q2 = 4 = q = 2Prema tome imamo da su to nizovi: -16,-8,-4 i -16,8,-4

4.9 Izmedu 3 i 729 interpolirati cetri broja koji sa dva data cine geometrijskiniz.

Rjesenje. Prema uslovu zadatka je

a = 3, b = 729 i r = 4

Da bismo odrediti niz potrebno je jos da izracunamo diferenciju novog niza, a nju cemodobiti prema formuli

q1 =r+1

b

a

pa je za date vrijednosti

q1 =4+1

729

3= ... =

535 = 3

Prema tome to je niz: 3, 9, 27, 81, 243, 729.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 34 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

4.10 Izmedu brojeva 3 i 48 interpolirati geometrijski niz tako da zbir cjelokupnogniza iznosi 93.

Rjesenje.a = 3, b = 48 i Sn = 93

Ako je r broj umetnutih clanova, tada je broj svih clanova niza r + 2 (prvi 3 a zadnji48). Na osnovu formule za sumu prvih n clanova (u ovom zadataku je n = r + 2)

Sn = a1qn 1q 1 je 93 = 3

qr+2 1q 1

Iz formule za kolicnik interpoliranog niza q = r+1

b

aje b = a qr+1 odakle je a = 3 i b = 48

48 = 3qr+1/ : 3 tj. 16 = qr+1.Prema tome dobili smo sistem

93 = 3 qr+2 1q 1

16 = qr+1

Uvrstavanjem qr+1 iz druge jednacine u prvu dobit cemo

93 = 3 16q 1q 1 / (q 1)

s tim da je q 6= 193q 93 = 48q 393q 48q = 3 + 9345q = 90 = q = 2

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 35 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

Uvrstavanjem vrijednosti q = 2 u jednacinu 16 = qr+1 je

16 = 2r+1 tj. 24 = 2r+1 = 4 = r + 1 = r = 3.Trazeni niz je: 3,6,12,24,48.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 36 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

4.11 Izmedu 6 i 1536 interpolirati sedam clanova geometrijskog niza i odredisumu interpoliranih clanova.Rjesenje.

a = 6, b = 1536 i r = 7

Kolicnik interpoliranog niza cemo dobiti po formuli

q1 =r+1

b

a

pa prema tome je:

q1 =7+1

1536

6=

8256 = q1 =

828 = q1 = 2

Prema tome niz je: 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 786, 1356. Prvi interpolirani clan jea1 = 12, broj interpoliranih clanova je r = 7. Sumu racunamo po formuli

Sr = a1(q1)

r 1q1 1

S7 = 12 27 12 1 = 12 (128 1) = 1524

4.12 Dokazati da za svaki a, b, c N vrijedi nejednakosta+ b+ c

3 3abc.

Rjesenje.

4.13 Naci x ako je x 1 geometrijaka sredina od (x 3) i (x+ 4).

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 37 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

Rjesenje.

4.14 Naci x ako je 4x 1 je aritmeticka sredina od (6x+ 2) i (x+ 12).Rjesenje.

4.15 Izmedu brojeva 15 i 21 umetnuti pet brojeva tako da oni cine aritmetickiniz.Rjesenje.

4.16 Izmedu brojeva 43i 81

256umetnuti cetiri brojeva tako da oni cine geometrijski

niz.Rjesenje.

4.17 Ako se zna da je Sn je suma prvih n clanova niza

a+ (a+ d) + (a+ 2d) + ....

formirati niz kod koga je S10 = 175 i u3 + u9 = 38.Rjesenje.

4.18 Naci aritmeticku i geometrijsku sredinu sljedecih brojeva:

a) 4, 9; d)x yx+ y

,x+ y

x y ; g) ;b) 3, 27; e) (a+ b)2, (a b)2; h) ;c)

1

25 1 ,

1

25 + 1

; f) log2, log16; i) ;

Rjesenje.

4.19Rjesenje.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 38 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

5. Primjene aritmetickog i geometrijskog niza

Aritmeticke i geometrijske progresije imaju veoma interesantne i vazne primjene.Kada u bilo kojoj linearnoj funkciji nezavisna promjenljiva uzima cjelobrojne vri-jednosti, odgovarajuce vrijednosti funkcije cine aritmeticku progresiju i obrnuto.Ovo se moze ilustrovati kako graficki tako i numericki. Bez sumnje, najvaznijaopsta primjena geometrijske progresije je zakon slozenog interesa. Taj zakon sene odnosi samo na izracunavanje slozenog interesa vec i na vazne probleme izdrugih oblasti. Sljedeci problemi to ilustruju:

Hemija: problemi u vezi sa raspadom radioaktivnih supstanci Fizika: adijabatski zakon za gasove; brzina hladenja Biologija: problemi u vezi sa razvojem kolonija bakterija i nenormalni rasttkiva

Ekonimija: problemi investiranja, osiguranja, obracunavanja dugova, i ku-povanja na rate

Sociologija: problemi u vezi sa porastom stanovnistva

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 39 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

6. Legenda o nastanku saha

Sah2 je jedna od najstarijih igara. Igra se stotinama godina, pa zbog toga i nije cudo,da se ne moze provjeriti tacnost price u vezi sa njegovim nastankom. Ovdje ce bitiispricana legenda o nastanku saha.

Saha je izmisljen u Indiji, i kada se s njom upoznao car Seran, bio je odusevljennjenim ostroumljem i raznovrsnoscu mogucih pozicija. Saznavsi da ju je pronasao jedannjegov podanik, car naredi da se pronalazac pozove, da bi ga licno nagradio za sjajanizum. Pronalazac, po imenu Seta, pojavi se pred prijestoljem gospodara. Bio je skromnoobuceni naucnik, koji je sredstva za zivot dobijao od svojih ucenika. Zelim da te dostojnonagradim, Seta, za prekrasnu igru koju si izmislio, rekao je car. Mudrac se poklonio.Dovoljno sam bogat, da bi ispunio i najsmjeliju tvoju zelju, rece car. Ne plasi se, hrabrioga je car. Reci sta zelis za nagradu. Necu zaliti nista, da ti je ispunim. Velika je tvojadobrota, gospodaru. Daj mi rok da ja razmislim o odgovoru. Sutra, poslije studioznograzmisljanja, saopsticu ti moju zelju.

Kada se drugi dana Seta opet pojavio na stepenistu prestolja, iznenadio je carabeskrajnom skromnoscu svoje zelje. Gospodaru, rekao je Seta, naredite da mi se zaprvo polje sahovske table da jedno zrno psenice. Jednostavno jedno zrno psenice? -zacudi se car. Da, gospodaru. Za drugo polje, naredite da dadu 2 zrna, za trece 4,za cetvrto 8, za peto 16, za sesto 32 . . . . Dosta, prekinu ga ljutiti car. Po tvojojzelji, dobices svoja zrna za sva 64 polja sahovske table. Za svako polje dva puta viseod predhodnog. Ali znaj da je tvoja zelja nedostojna moje darezljivosti. Moleci takomizernu nagradu, neuctivo potcjenjujes moju naklonost. Zaista, kao ucitelj, mogao bipokazati bolji primjer postovanja prema dobroti svoga gospodara. Odlazi. Moje slugece ti spremiti tvoju vrecu s psenicom. Seta se osmjehnu, napusti dvoranu i osta da cekapored vrata na ulazu u dvorac.

2Tekst legende o sahu preuzet je iz knjige: J.I. Pereljman: Zanimljiva matenatika.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 40 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

Za vrijeme rucka, car se sjetio pronalazaca saha i pitao da li je naivni Seta odniosvoju jadnu nagradu. Gospodaru, bio je odgovor, tvoja se nagrada izvrsava. Dvorskimatematicari broje potrebna zrna. Car se namrstio. On nije navikao da se njegovanaredenja izvrsavaju tako sporo. Uvece, odlazeci na spavanje, car je jos jednom pitaoda li je Seta sa svojom vrecom psenice napustio dvorac. Gospodaru, odgovorise mu,tvoji matematicari se trude bez prestanka i nadaju se da ce do zore zavrsiti racun. Zastose odugovlaci sa tim racunom? Sutra, prije nego se probudim, hocu da do posljednjegzrna bude dato Seti. Dva puta ne naredujem.

Ujutro su caru javili, da starjesina dvorskih matematicara moli da se saslusa vazanizvjestaj. Car je naredio da ga uvedu. Prije nego sto ces kazati o svom predmetu, rekaoje Saron, zelim cuti da li je konacno Seti izdata ta skromna nagrada, koju je on sebiodredio. Radi toga sam se i usudio da se pojavim pred tobom tako rano, odgovorio jestarac. Savjesno smo izracunali cijelu kolicinu zrna koju Seta zeli da dobije. Taj broj jetako veliki ... . Ma kako bio veliki, oholo je prekinuo car, moji ambari ne oskudjevaju.Nagrada je obecana i ona mora biti izvrsena ... . Nije u tvojoj moci gospodaru, daispunis takvu zelju. U svim tvojim ambarima nema toliki broj zrna, koliko je zatrazioSeta. Nema ga ni u ambarima cijelog carstva. Nece se naci toliki broj zrna ni na cijelojzemljinoj kugli. Ako zelis dati obecanu nagradu, tada naredi, da pretvore sva zemaljskacarstva u polja oranica, da se isuse mora i okeani, naredi da se otopi led i snijeg, kojipokriva daleke sjeverne pustinje. Neka sva ta prostranstva budu zasijana psenicom. Isto bude rodilo na tim poljima, naredi da se da Seti. Tada ce on dobiti svoju nagradu.Car je zaprepasteno slusao rijeci starca. Reci mi taj strasano veliki broj, rekao je carneodlucno. Osamnaest kvintiliona, cetiri stotine cetrdeset i sest kvadriliona, sedamstotina cetrdeset i cetiri triliona, sedamdeset i tri biliona, sedam stotina i devet miliona,pet stotina pedeset i jedna hiljada, sestotina i petnaest, gospodaru.

Tako glasi legenda. Da li je to sto je ovdje ispricano zaista bilo ne zna se, ali dase nagrada o kojoj govori mora izraziti bas tim brojem, u to se mozete i sami uvjeritistrpljivim racunanjem pomocu racunara.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 41 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

Ovdje se naime radi o geometrijskom nizu kome je prvi clan a1 = 1, kolicnik q = 2,pa je

S64 =264 12 1 = 2

64 1.

Osim toga je 210 = 1024, pa je

S64 = 1024 1024 1024 1024 1024 1024 (16 1).Kako je

1024 1024 = 1048576,to je konacno

1048576 1048576 1048576 (16 1) = 18446744073709551615.Posljednji dvadesetocifreni broj, predstavlja broj psenicnih zrna koje je Seta trazio odcara kao nagradu. Da bi se saznala velicina ovod div-broja, treba zamisliti kakve bivelicine bio ambar da se smjeste sva zrna psenice koje izrazava ovaj div-broj. Poznatoje da kubni metar psenice sadrzi oko 15 miliona zrna. To znaci da bi nagrada pronalazacasaha imala zapreminu 12000000000000 km3. Uz visinu ambara od 4 m i sirinu 10 m,njegova duzina bi se prostirala na 300000000 km, tj. bila bi dva puta duza od udaljenostiZemlje od Sunca.

Indijski car nije bio u stanju dati dostojnu nagradu. On se lako mogao, jer je znaomatematiku, osloboditi tako teskog duga. Trebao je samo predloziti Seti da odbroji sebizrno po zrno svu psenicu koja mu je pripadala. Zaista, da se Seta prihvatio brojanja ibrojao neprekidno, dan i noc, brojeci po zrno u sekundi, on bi za 24 sata izbrojao svega86400 zrna. Da bi izbrojao milion zrna, trebalo bi mu ne manje od 10 dana neprekidnogbrojanja. Jedan kubni metar on bi izbrojao priblizno za pola godine. Brojeci neprekidnou toku 10 godina, on nebi sebi izbrojao vise od nekih 40hl. Da je Seta posvetio preostalidio zivota brojanju, dobio bi tek mali dio nagrade koju je trazio ... .

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 42 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

7. Metodsko uputstvo

Na casovima o aritmetickom i geometrijskom nizu prije svega treba stvoriti atmosferuda ucenici zaista osjete kako nastaju ti nizovi, tj. treba objasniti kako svaki naredni clannastaje iz predhodnog. To je moguce realizovati na dva nacina. Udzbenici uglavnompocinju sa definicijom tipa niza koji se analizira, obracajuci pri tome paznju na njihovebitne razlike (stalno je ista razlika izmedu dva susjedna clana ili je isti kolicnik izmedudva susjedna clana), navodenjem nekoliko jednostavnih numerickih primjera, prikazomnekoliko prvih clanova u simbolickom obliku, zati se pristupa izvodenju formule za n ticlan. U ovom pstupku definicija i pojam aritmetickog i geometrijskog niza cine polaznuosnovu, a numericki primjeri su samo ilustracije koje dopunjuju i obogacuju taj pojam.

Neki nastavnici, medutim, smatraju da se bolji rezultati mogu postici ako se takavred stvari okrene. Prema njihovom planu razne jednostavne matematicke ilustracijearitmetickog i geometrijskog niza treba izloziti u pocetku bez ikakvih konkretnih za-kona ili uslova koji bi odredivali odnose medu navedenim clanovima. Od ucenika senaprosto trazi da pokusaju naci nacin na koji je svaki od nizova izgraden ili da samiotkriju odnose koji postoje medu clanovima odredenog niza. Ovakav pristup ociglednonaglasava otkrivanje u uvodu u pojam, umjesto definicija. Posto ucenik otkrije odnosemedu clanovima za nekoliko nizova, od njega se trazi da formulise iskaz koji izrazava tajodnos za svaki tip niza i naizad da zakone tih odnosa izrazi simbolicki u obliku formuleza n ti clan. Drzi se da mnogi ucenici mogu ovo uraditi ako su ilustrativni nizovijednostavniji i zgodno odabrani.

Pristalice ovakvog pristupa obrazlazu da ce ucenici koji sami otkriju odnose bolje ra-zumjeti bitne zakone, duze ih pamtiti, i spretnije ih primjenjivati nego ucenici koji pocinjusa gotovim formulama i definicijama. Mozda je ovo obrazlozenje donekle i osnovano.Ne postoje, medutim, konkluzivni proofi da je bilo koji od ova dva pristupa izrazitosuperiorniji od drugog. U svakom od tih slucajeva numericki primjeri su neophodni, i usvakom od njih ce vjerovatno biti potrebno da nastavnik mnogim ucenicima pomogne uizvodenju simbolicke formule za n ti clan datog tipa niza. Izvodenje formula za sumu

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 43 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

prvih n clanova zahtjeva posebnu paznju. Neki udzbenici daju pojednostavljen proofkoji izbjegava eksplicitnu primjenu ali precutno pretpostavlja metod matematicke induk-cije. Nama se ne cini da se takva praksa moze opravdati. Umjesto toga, misljenja smoda proofi tih tvrdnji pruzaju jednostavno, a ipak vrlo efektivno, sredstvo da se uceniciuvedu u veoma vaznu tehniku proofa metodom matematicke indukcije. Proceduralnasema u primjeni metoda matematicke indukcije na izvodenje tih tvrdnji je jednostavnapo sadrzaju a ipak je dovoljno opsteg znacaja da pruza realne mogucnosti za razvijanjeosnovnog razumjevanja te vazne matematicke tehnike.

Najozbiljnija teskoca sa kojom se vecina ucenika susrece pri izracunavanju nizova jekako da se izmedu data dva broja umetne dati broj novih brojeva koji ce zajedno sa datadva broja ciniti aritmeticki ili geometrijski niz. Ova teskoca se moze lako eliminisati akose postigne da ucenici uoce cinjenicu da sve sto oni treba da urade je da nadu razlikuodnosno kolicnik niza i da to mogu postici ako uzmu formulu za n ti clan niza irijese je tako da razliku odnosno kolicnik izraze pomocu ostalih elemenata formule.Iz nekoliko razloga bolje je da se taj postupak primjeni kada je to potrebno nego dase pamte formule za razliku d odnosno kolicnik q. Pored toga sto smanjuje kolicinuonoga sto treba pamtiti, ovakav postupak pojacava ucenikovo razumjevanje tih formulai predstavlja izvanrednu praksu u rjesavanju jednacina sa opstim brojevima.

Izracunavanje harmonijskih progresija je poglavlje koje ima vazne ali krajnje specija-lizovane primjene, i ono se obicno predaje u vezi sa tim primjenama. Te progresije sumanje opste od aritmetickih i geometrijskih i cesto se izostavljaju cac i iz kursa algebrena fakultetu. Isto se moze reci u vezi sa konvergencijom poznatih beskonacnih geome-trijskih nizova. S obzirom na njihovu specijaliziranu primjenu, o njima ovdje nece biti nigovora.

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 44 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

Literatura

[1] M. R. Antonov, M. J. Vigodski, V. V. Nikitin, A. I. Sankin: Zbirka zadataka izelementarne matematike. Zavod za izdavanje udzbenika, Sarajevo. (1972).

[2] Marshall Hall, Jr.: Combinatorial Theory. Blaisdell Publishing Company, Wal-tham (Massachusetts)-Toronto-London. (1967).

[3] Paul R. Halmos: Naive Set Theory. Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin. (1974).

[4] Svetozar Kurepa: Uvod u matematiku. Skupovi, strukture, brojevi. Tehnickaknjiga, Zagreb. (1975).

[5] sKANAWI o b Pascal Triangle and Pascal Pyramid: Some properties andgeneralizations. SOZ v.5 (2000).

[6] Zlatko P. Mamuzic: Kombinatorika. Zavod za izdavanje udzbenika SR Srbije,Beograd. (1966).

[7] Harry I. Miller: Vjerovatnoca i statistika. Svjetlost, Sarajevo. (1985).

Home Page

Glavna

Sadrzaj

JJ IIJ I

Strana 45 od 45

Na predhodnu

Full Screen

Zatvori

Kraj

Indeks

Aritmeticka sredina, 5

Geometrijska sredina, 21

Literatura, 44

Nizaritmeticki, 3geometrijski, 20opsti clan, 3, 20

Aritmeticki nizVjezbeGeometrijski nizVjezbePrimjene aritmetickog i geometrijskog nizaLegenda o nastanku ahaMetodsko uputstvoLiteraturaIndeks

Documents

Progresija.pdf