MINISTERUL ¥NVźÅMÂNTULUI

Programul TEMPUS S_JEP 09781/95 GESTION ET PROTECTION DE LA

RESSOURCE EN EAU Florian ZAMFIRESCU

ELEMENTE DE BAZÅ

¥N DINAMICA

APELOR SUBTERANE

Serie coordonatå de:

Radu DROBOT - Universitatea Tehnicå

de Construc¡ii Bucure¿ti

Jean Pierre CARBONNEL

Universitatea Pierre et Marie Curie - Paris 6

EDITURA DIDACTICÅ ªI PEDAGOGICÅ, R.A. - BUCUREªTI, 1997

ISBN 973-30-5702-9

Redactor: Tincu¡a ANTON ¿i Iuliana ARHANGHELSCHI

Tehnoredactor: Magdalena COªEA

Grafician: Dumitru ªMALENIC

0

PREFAºÅ “ The science of hydrology∗ would be relatively simple if waters were unable to penetrate below the earth`s surface” . Harold E. Thomas Lucrarea de fa¡å reprezintå o adaptare a unei pår¡i a cursului de Hidrogeologie - predat de autor la Facultatea de Geologie ¿i Geofizicå din Universitatea Bucure¿ti - la necesitå¡ile ¿i echilibrele impuse de programa analiticå globalå a cursurilor postuniversitare din cadrul programului TEMPUS intitulat Sciences de l'Eau et Environnement. Obiectul de studiu al Hidrogeologiei îl reprezintå apele subterane (origine, condi¡ii de stocare, legile de curgere, calitate, råspândire, etc). Apele subterane sunt corpuri geologice complexe, ale cåror proprietå¡i derivå din interac¡iunea acestora, în timp ¿i spa¡iu, cu rocile care le cantoneazå, cu atmosfera ¿i cu apele superficiale. Studiile hidrogeologice vizeazå estimarea corectå a resurselor de ape subterane (potabile, minerale sau geotermale) ¿i optimizarea exploatårii acestora, precum ¿i combaterea efectelor acestora asupra exploatårilor miniere, la fundarea, execu¡ia si exploatarea construc¡iilor de toate tipurile ¿i în managementul terenurilor. Pornind de la imaginea de soliditate aparentå a crustei terestre, pentru multå lume este dificil de în¡eles faptul cå 14% din apa dulce existentå pe Påmânt este apå subteranå, cu o ratå de schimb de 280 de ani, în timp ce apa lacurilor naturale ¿i artificiale are o pondere de 0,5%, cu o ratå de schimb de 7 ani, iar apa râurilor reprezintå 0,004%, cu o ratå de schimb de 0,03 ani. Dacå ne referim la resursele de apå dulce lichidå ale Påmântului, atunci 94% din acestea sunt constituite din ape subterane cu o dinamicå lentå (cu viteze de ordinul zecilor sau sutelor de metri pe an). Se constatå deci cå rata medie de schimb (de reînnoire naturalå) a apelor subterane este de circa 9000 de ori mai micå fa¡å de cea a apei râurilor. De aici rezultå dificultå¡ile majore întâmpinate în constatarea, urmårirea ¿i remedierea fenomenelor de poluare a apelor subterane. Forma¡iunile geologice permeabile saturate par¡ial sau total cu apå gravita¡ionalå (cantonatå în goluri intergranulare sau fisurale suficient de mari ¿i în legåturå), care permit exploatarea (prin izvoare, fântâni, pu¡uri, drenuri, etc) unor debite suficiente pentru satisfacerea diverselor necesitå¡i umane ¿i, în primul rând, pe aceea de apå potabilå, în condi¡ii de eficien¡å economicå, acviferele se întâlnesc, de regulå, cu u¿urin¡å, la adâncimi convenabile. Prezen¡a acestora a reprezentat o condi¡ie esen¡ialå pentru dezvoltarea comunitå¡ilor umane. Acestea sunt câteva din argumentele care justificå constatarea, unanim acceptatå în ultimele decenii, cå apa, în general, ¿i apele subterane, în special, reprezintå cea mai importantå resurså naturalå a Påmântului. Deteriorarea gravå a calitå¡ii unei pår¡i importante a resurselor (limitate) disponibile de apå, cu implica¡ii directe majore asupra condi¡iilor de via¡å ale omului, reprezintå o problemå de mare actualitate a umanitå¡ii. Aceastå problemå ocupå constant un loc prioritar în programele de cercetare ¿i cooperare ¿tiin¡ificå interna¡ionalå. ¥n acest context se înscrie ¿i programul de cooperare ∗ ¥n terminologia americanå Hidrologia cuprinde ¿i studiul apelor subterane (Ground-Water Hydrology).

4

interna¡ionalå Sciences de l'Eau et Environnement, finan¡at de Comunitatea Europeanå, vizând restructurarea învå¡åmântului superior în ¡årile Europei de Est ¿i crearea unei noi genera¡ii de speciali¿ti, cu pregåtiri de bazå cât mai diferite, care så abordeze, în colective de cercetare interdisciplinare, problemele de mare complexitate ale rela¡iei apå - mediu. Lucrarea de fa¡å este structuratå pe trei capitole: Ipoteze si concepte de bazå - Capitolul 1, Dinamica apelor subterane în regim natural - Capitolul 2, Curgerea apelor subterane cåtre forajele de captare si drenaj - Capitolul 3. Spa¡iul tipografic limitat a determinat neincluderea capitolului intitulat Curgerea apelor subterane cåtre lucrårile orizontale de captare ¿i drenaj. Problemele tratate sunt accesibile pentru un spectru larg de studen¡i ¿i speciali¿ti, cercetåtori sau proiectan¡i din domeniul gospodåririi apelor ¿i protec¡iei calitå¡ii acesteia. ¥n¡elegerea elementelor de bazå ale dinamicii apelor subterane permite abordarea cu succes a diverselor domenii de activitate în ingineria apelor subterane: testarea hidrodinamicå a sistemelor acvifere, simularea numericå a dinamicii apelor subterane, dimensionarea lucrårilor de captare ¿i a zonelor de protec¡ie, calitatea ¿i protec¡ia apelor subterane, managementul apelor subterane etc. Pe aceastå bazå, vor putea fi rezolvate problemele de o deosebitå actualitate ¿i dificultate ale acestui domeniu de cercetare ¿tiin¡ificå, în continuå extindere ¿i diversificare, dintre care amintim: managementul resurselor de ape subterane, în general, ¿i al sistemelor acvifere de interes na¡ional, în special; reabilitarea ¿i extinderea majoritå¡ii captårilor existente, dimensionarea ¿i instituirea zonelor de protec¡ie ale acestora; studiul influen¡ei condi¡iilor naturale asupra proceselor de poluare a apelor subterane, evaluarea vulnerabilitå¡ii la poluare a sistemelor acvifere; gåsirea unor solu¡ii noi, neconven¡ionale, aplicabile în condi¡iile specifice din România, pentru remedierea calitå¡ii apelor subterane poluate; estimarea cantitativå ¿i calitativå a influen¡ei apelor subterane în managementul terenurilor (combaterea înmlå¿tinirilor ¿i fenomenelor de såråturare a solurilor, reabilitarea stabilitå¡ii ¿i calitå¡ii mediului în zonele carierelor ¿i exploatårilor miniere, amplasarea depozitelor de de¿euri, studierea ¿i combaterea alunecårilor de teren, etc); aplicarea unor metodologii ¿i tehnologii noi pentru înregistrarea ¿i monitorizarea fenomeneor de poluare. ¥n definirea condi¡iilor hidrogeologice ¿i alegerea modelelor sau metodelor de calcul ingineresc, se porne¿te de la premiza cå acviferele naturale sunt sisteme fizice unitare - reparti¡ia presiunilor, vitezelor ¿i debitelor în interiorul acestora este influen¡atå de structura geologicå, compozi¡ia litologicå ¿i permeabilitatea forma¡iunilor geologice, precum ¿i de condi¡iile hidraulice de margine - ¿i, ca urmare, pot fi modelate matematic. Corectitudinea cuno¿tin¡elor de care dispunem în legåturå cu aceste aspecte, precum ¿i schematizarea corespunzåtoare a acestora, influen¡eazå determinant exactitatea ¿i reprezentativitatea tuturor evaluårilor ulterioare. La tehnoredactarea lucrårii am fost ajutat de asist. Iulian Popa, asist. Roxana Popa ¿i operator Teodora David, cårora le mul¡umesc ¿i pe aceastå cale. De asemenea, mul¡umesc domnului profesor Jean-Pierre Carbonnel de la Universitatea Pierre et Marie Curie - Paris 6 ¿i domnului profesor Radu Drobot de la Universitatea Tehnicå de Construc¡ii Bucure¿ti, pentru sprijinul acordat la editarea acestei lucråri, în cadrul programului TEMPUS-DEA: Sciences de l'Eau et Environement.

Autorul

5

CUPRINS

1. IPOTEZE ªI CONCEPTE DE BAZÅ ......................................... 1.1. Tipuri de curen¡i acviferi .......................................................... 1.2. Elemente hidrodinamice principale ........................................... 1.3. Difuzivitatea hidraulicå ............................................................ 1.4. Spectrul hidrodinamic în terenuri permeabile omogene ¿i izotrope ................................................................................ 1.5. Schematizarea condi¡iilor hidrogeologice ................................. 2. DINAMICA APELOR SUBTERANE ÎN REGIM NATURAL ..

2.1. Acvifere cu regim sta¡ionar-conservativ .................................... 2.2. Acvifere cu regim sta¡ionar-conservativ .................................... 2.3. Acvifere cu regim nesta¡ionar-conservativ ................................ 2.4. Acvifere cu regim nesta¡ionar - neconservativ .......................... 3. CURGEREA APELOR SUBTERANE CÅTRE FORAJELE

DE CAPTARE ªI DRENAJ .........................................................

3.1. Dezvoltarea zonelor de influen¡å ¿i formarea debitelor forajelor 3.2. Curgerea apelor subterane în regim sta¡ionar - conservativ cåtre forajele de captare ¿i drenaj .............................................. 3.3. Curgerea în regim sta¡ionar-neconservativ ................................ 3.4. Curgerea în regim nesta¡ionar - conservativ ............................. 3.5. Curgerea în regim nesta¡ionar-neconservativ ............................ BIBLIOGRAFIE ...............................................................................

7

7 11 16

30 35

48

48 68 82 95

98

98

102 203 211 236

252

6

1. IPOTEZE ªI CONCEPTE DE BAZÅ 1.1. TIPURI DE CURENºI ACVIFERI Indiferent de natura lor, golurile din roci, intergranulare sau fisurale, pot fi izolate sau în comunica¡ie. Volumului total al golurilor (izolate ¿i în comunica¡ie) îi corespunde porozitatea totalå (n) sau absolutå, iar ansamblului golurilor în comunica¡ie, suficient de mari pentru a permite circula¡ia unui fluid sub ac¡iunea for¡elor gravita¡ionale (hidrostatice), îi corespunde porozitatea efectivå (ne). Rocile care au porozitate efectivå se considerå a fi permeabile. Acviferele naturale sunt cantonate în depozite permeabile cu grosime ¿i extindere spa¡ialå importante, limitate în culcu¿ - ¿i uneori ¿i în acoperi¿ - de forma¡iuni practic impermeabile sau cu permeabilitate reduså, saturate în parte sau în totalitate cu apå de regulå în stare dinamicå (curen¡i acviferi naturali). În func¡ie de regimul hidraulic acviferele pot fi cu nivel liber sau sub presiune. Suprafa¡a liberå (de depresiune), limiteazå în partea superioarå acviferele cu nivel liber, fiind descriså de moleculele de apå în mi¿care în echilibru cu presiunea atmosfericå (nulå în sistemul relativ pa=0). La acviferele sub presiune vorbim de suprafa¡a piezometricå. Suprafa¡a liberå existå fizic în naturå. Suprafa¡a piezometricå este expresia imaginarå a presiunii acviferului exprimatå în metri coloanå de apå; ea poate fi eviden¡iatå printr-un sistem de piezometre care deschid acviferele sub presiune. Prin intersectarea suprafe¡ei de depresiune, respectiv a celei piezometrice, cu un plan vertical, paralel cu direc¡ia principalå de curgere, se ob¡ine profilul de depresiune (curba de depresiune, fig. 1.1.) ¿i profilul piezometric (fig. 1.2). Curen¡ii acviferi cu nivel liber, cât ¿i cei sub presiune pot avea mi¿cåri sta¡ionare (permanente) uniforme sau neuniforme (gradual variate sau oarecare) ¿i mi¿cåri nesta¡ionare (nepermanente) ¿i neuniforme. Curgerea poate fi consideratå sta¡ionarå atunci când condi¡iile de margine ale acviferului (condi¡iile de alimentare ¿i descårcare) sunt constante cel pu¡in pentru o perioadå de timp. Pentru aceastå perioadå debitul acviferului este constant (.Q/.t = 0). În cazul mi¿cårilor nesta¡ionare debitul acviferului este variabil în timp (.Q/.t . 0). În func¡ie de condi¡iile de alimentare (sau descårcare) pe verticalå - din infiltrare de la suprafa¡a terenului sau prin drenan¡å din (sau spre) acviferele vecine, mi¿carea sta¡ionarå sau nesta¡ionarå, în acvifere cu nivel liber sau sub presiune, este consideratå conservativå sau neconservativå. La acviferele cu mi¿care sta¡ionarå ¿i uniformå liniile de curent sunt rectilinii ¿i paralele, viteza ¿i sec¡iunea de curgere råmânând constante (fig. 1.1,a ¿i 1.2,a).

7

Fig.1.1. Acvifere cu nivel liber, plan-verticale, cu mi¿care uniformå (a), respectiv neuniformå gradual variatå (b,c,d). P.D. - profil de depresiune.

8

Fig.1.2. Acvifere sub presiune cu mi¿care uniformå (a) ¿i neuniformå gradual variatå (b ¿i c). P.P. - profil piezometric.

În cazul mi¿cårilor neuniforme suprafa¡a de depresiune (sau piezometricå) este curbå (fig. 1.1,b, 1.1,c ¿i 1.2,b, 1.2,c); gradientul hidraulic este diferit de panta medie a patului impermeabil (I . i) ¿i, ca urmare, sec¡iunea de curgere este variabilå (../.x.0). În majoritatea situa¡iilor, prin schematizare atentå, curen¡ii acviferi naturali pot fi considera¡i cu mi¿care neuniformå gradual variatå. Mi¿carea neuniformå oarecare este asociatå acviferelor cu mare neuniformitate litologicå pe verticalå sau cu importante schimbåri de facies pe orizontalå (fig. 1.3).

În func¡ie de raportul dintre gradientul mediu al profilului de depresiune ¿i panta patului impermeabil, curen¡ii acviferi cu suprafa¡å liberå ¿i mi¿care neuniformå gradual variatå pot fi consecven¡i-descenden¡i, consecven¡i-ascenden¡i ¿i obsecven¡i (fig. 1.1,b, 1.1,c ¿i 1.1,d).

Curen¡ii acviferi naturali au - în marea majoritate a situa¡iilor - dezvoltare mare în plan orizontal ¿i extindere reduså pe verticalå, putând fi considera¡i plan-orizontali (liniile de curent sunt practic paralele în plane orizontale succesive). În situa¡iile în care liniile de curent sunt paralele între ele în plane verticale succesive paralele cu direc¡ia principalå de curgere, curen¡ii acviferi sunt considera¡i plan-verticali. Altfel spus, sec¡iunile hidrogeologice schematice prezentate în figurile 1.1 ¿i 1.2 råmân caracteristice în lungul axei y pentru tronsonul în care curgerea are caracter plan-vertical.

9

Fig.1.3. Acvifere sub presiune (a) ¿i cu nivel liber (b) cu mi¿care neuniformå oarecare. Spectrele hidrodinamice ale acviferelor naturale, exprimate (în planul x-y) prin hår¡i cu hidroizopieze, sunt de regulå o combina¡ie de curen¡i radiali ¿i curen¡i plan-verticali (fig. 1.4).

Fig.1.4. Exprimarea morfologiei suprafe¡elor piezometrice cu ajutorul hår¡ilor cu hidroizopieze;

a ¿i c-curen¡i radiali; b-curen¡i plan verticali.

10

1.2. ELEMENTELE HIDRODINAMICE PRINCIPALE 1.2.1. Viteza de filtrare, viteza efectivå ¿i viteza realå de curgere

Pornindu-se de la observa¡iile rezultate din experien¡a lui Darcy, în hidraulica subteranå curentul real - care circulå numai prin spa¡iile corespunzåtoare porozitå¡ii efective, urmând un traseu sinuos prin spa¡iile intergranulare (fig. 1.5) - este înlocuit cu un curent fictiv, de filtrare, cu debit identic cu cel real, care ocupå întreaga sec¡iune de curgere, liniile de curent fiind perfect rectilinii. Deoarece traiectoria realå a liniilor de curent - ¿i viteza realå (vr ) sunt greu de determinat, în practica inginereascå se determinå experimental o vitezå efectivå (ve ) corespunzåtoare unui traseu rectiliniu între punctele de måsurare.

Fig.1.5. Liniile de curent corespunzåtoare vitezelor reale (1) ¿i efective (2) de curgere Dacå se noteazå cu . suprafa¡a totalå a sec¡iunii de curgere (incluzând golurile ¿i scheletul mineral) ¿i cu .e = ne. (în care în care ne este porozitatea efectivå), debitul acviferului poate fi exprimat prin (vezi ec. C1.1-1):

Q v v n ve e e e= = =Ω Ω Ω ,

rezultând cå:

v n ve e= (1.1)

¿i

v v ve r< < (1.2)

Considerând I = 1%, k = 1 ..300 m/zi ¿i ne = 10..30%, se ajunge la concluzia cå ve.0.1.10m/zi. Având în vedere cå în marea majoritate a cazurilor I<1% ¿i k=1.100m/zi, rezultå cå viteza efectiv måsurabilå a frontului de apå este, de regulå, mai micå de 1 m/zi.

11

Legea lui Darcy; extensiuni ¿i limite de valabilitate.

Fundamentarea ecua¡iilor care guverneazå mi¿carea unui fluid printr-un mediu permeabil are la bazå legea stabilitå experimental de Darcy, conform cåreia debitul filtrat printr-o probå (fig. 1.6) este propor¡ional cu sec¡iunea acesteia . (incluzând golurile ¿i scheletul mineral), cu gradientul hidraulic (I) ¿i cu un coeficient constant (pentru un fluid dat ¿i pentru un anumit mediu permeabil) numit conductivitate hidraulicå (k):

Q kHL

kI= =Ω ∆ Ω (1.3)

Fig.1.6. Experien¡a lui Darcy. Raportul Q/. are dimensiunile unei viteze ¿i se nume¿te vitezå de filtrare (v), legea lui Darcy putând fi scriså sub forma cea mai cunoscutå:

v kI kH

s= = −

∂

∂ (1.4)

12

Vectorul de pozi¡ie ( ) al unei particule de apå hidrodinamic activå, asociatå unui punct P de coordonate x, y, z, într-un sistem de axe rectangular (cartezian), care

ocupå volumul n

→r

edV este definit prin , în care sunt versorii

axelor Ox, Oy ¿i Oz. ¥nmul¡ind ecua¡ia (1.4) cu versorul 0

r i x j y k→ → → →= + + z

r s→ →

= 0

z/

i j k→ → →

, ,

s→

al deplasårii

, dupå direc¡ia ¿i în sensul mi¿cårii, deoarece ¿i ∂ ∂s s v v→ →

=0

s H s H s s H r gradH→ → →

= = =0 0∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂/ / / , legea lui Darcy se scrie, în cazul depozitelor omogene ¿i izotrope, sub forma vectorialå:

v KgradH→

= − , (1.5) în care:

- este vectorul vitezå de filtrare; v→

K - este conductivitatea hidraulicå;

grad - este operatorul ( ); i x j y k→ → →

+ +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂/ / H - sarcina piezometricå. Componentele vitezei de filtrare dupå direc¡iile axelor de coordonate vor fi:

v KHxx = −

∂∂

; v KHyy = −

∂∂

; v KHzz = −

∂∂

(1.6)

În cazul general al depozitelor neomogene ¿i anizotrope, legea lui Darcy se scrie sub forma:

v K gradH→

= − , (1.7) unde |K| este tensorul conductivitå¡ii hidraulice ¿i are forma:

K

k k k

k k k

k k k

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

= (1.8)

Acest tensor fiind simetric, existå întotdeauna un sistem cartezian rectangular în care tensorul conductivitå¡ii are numai trei componente diferite de zero - cele care se gåsesc pe diagonala principalå a matricei (1.8) - legea lui Darcy scriindu-se dezvoltat sub forma:

13

v KHxx x= −

∂∂

; v KHyy y= −

∂∂

; v KHzz z= −

∂∂

(1.9)

Legea lui Darcy, stabilitå ini¡ial pentru nisipuri, a fost extinså ulterior ¿i la alte depozite permeabile ca pietri¿uri, bolovåni¿uri ¿i anrocamente, depozite argiloase-pråfoase, roci fisurate, etc. Experien¡a acumulatå în practica inginereascå conduce la concluzia cå aplicarea ecua¡iilor deduse folosind legea linearå de filtrare a lui Darcy trebuie fåcutå cu precau¡ie deoarece, în cazul depozitelor argiloase, filtrarea are loc numai dupå depå¿irea unei anumite valori a gradientului hidraulic (gradient ini¡ial), iar la rocile cu permeabilitate mare (pietri¿uri, bolovåni¿uri, anrocamente, masive puternic fisurate sau carstifiate) pierderea de sarcinå hidraulicå poate fi propor¡ionalå cu påtratul vitezei, regimul de curgere fiind turbulent. 1.2.2. Sarcina piezometricå (hidraulicå)

În orice punct al unui curent acvifer sarcina piezometricå, exprimatå în metri coloanå de apå, este datå de ecua¡ia lui Bernoulli, ilustratå în figura 1.7:

H zp v

gw

= + +γ

2

2, (1.10)

în care: H este înål¡imea piezometricå totalå fa¡å de un plan orizontal de referin¡å (exprimatå de obicei în metri fa¡å de nivelul mårii); p = hp .w, presiunea staticå corespunzåtoare punctului considerat

(presiunea apei din pori în punctul A); v2/2g - energia cineticå specificå. Pentru cazul curen¡ilor acviferi în regim natural, considerând I = 1%, ne =

30% ¿i k = 300 m/zi , rezultå ve = 10 m/zi≈10-4 m/s, ceea ce conduce la o energie cineticå specificå (v2/2g≈5x10-10m) neglijabilå. Acesta este motivul pentru care, în studiul dinamicii acviferelor în regim natural, ecua¡ia (1.10) se considerå sub forma:

H z p z hw p= + = +/ γ (1.11)

Local, în vecinåtatea centrilor de drenaj (cazul forajelor în care sunt realizate denivelåri mari ¿i în taluzele naturale ¿i artificiale), deoarece gradien¡ii hidraulici pot avea valori importante, spectrul hidrodinamic este puternic distorsionat, apårând diferen¡e semnificative între profilul de depresiune ¿i linia energeticå; energia cineticå specificå nu mai poate fi neglijatå, ecua¡ia (1.11) trebuind aplicatå cu precau¡ie.

14

Fig.1.7. Componentele sarcinii piezometrice în concordan¡å cu legea lui Bernoulli. P.D. - profil

de depresiune; LE - linie energeticå 1.2.3. Gradientul hidraulic

Gradientul hidraulic reprezintå pierderea de sarcinå piezometricå pe unitate de lungime, în lungul liniilor de curent (fig. 1.7):

IH

L= =∆

sinα , (1.12)

în care sarcina piezometricå este datå de rela¡ia (1.11). Deoarece pantele hidraulice ale curen¡ilor acviferi în regim natural sunt de regulå mai mici de 1% - ceea ce corespunde la unghiuri medii ale profilului de depresiune (sau piezometric) mai mici de 20 (sin. este practic egal cu tg.) - în practicå se folose¿te pentru calculul gradien¡ilor hidraulici rela¡ia:

IHl

tg= =∆ α (1.13)

în care (fig. 1.7):

DH - diferen¡a de sarcinå piezometricå între punctele considerate (diferen¡a

dintre valorile curbelor izopieze); l - distan¡a dintre puncte în plan orizontal (distan¡a dintre curbele izopieze

în lungul direc¡iei de curgere, la scara hår¡ii).

15

Expresia diferen¡ialå a gradientului hidraulic este:

IH

s= −

∂

∂, (1.14)

în care semnul minus exprimå faptul cå, în sensul de curgere, coordonatele punctelor plasate pe profilul piezometric (de depresiune) au varia¡ii inverse. Se face precizarea cå, deoarece filtrarea apei prin medii poroase (sau fisurate) se face datoritå diferen¡ei de sarcinå piezometricå (hidraulicå) ¿i nu datoritå diferen¡ei de presiune, gradientul hidraulic este egal cu gradientul de presiune numai în cazul acviferelor cu linii de curent orizontale. Dupå cum se sugereazå în figura 1.8, existå situa¡ii în care mi¿carea se face invers gradientului de presiune. Presiunea într-un punct oarecare al unui curent acvifer se stabile¿te cunoscând sarcina piezometricå (H) ¿i cota punctului (z), cu condi¡ia ca cele douå mårimi så fie exprimate în raport cu acela¿i plan de referin¡å. Rela¡ia de calcul derivå din rela¡ia (1.11):

( )p Hw z= −γ (1.15) Cu aceastå rela¡ie se pot determina diagramele de subpresiune la construc¡iile hidrotehnice precum ¿i diagramele de presiune pe elementele de construc¡ie necesare la verificarea stabilitå¡ii.

Fig.1.8. Ilustrarea diferen¡ei între gradientul hidraulic ¿i gradientul de presiune. 1.3. DIFUZIVITATEA HIDRAULICÅ

1.3.1. Deducerea ecua¡iei difuzivitå¡ii hidraulice

Propagarea din aproape în aproape a diferen¡ei de sarcinå piezometricå, prin interac¡iunea particulelor de apå hidrodinamic activå, este numitå difuzivitate hidraulicå prin medii poroase ¿i fisurate. Pentru descrierea matematicå a difuzivitå¡ii hidraulice, se considerå cazul general al acviferelor sub presiune cu mi¿care nesta¡ionarå, pentru care, în concordan¡å cu observa¡iile practice legate de comportarea acestora, trebuie så se ¡inå seama obligatoriu de compresibilitatea apei ¿i a mediului permeabil.

16

Ecua¡ia de continuitate în coordonate carteziene.

Exprimând principiul conservårii masei, ecua¡ia de continuitate se ob¡ine prin egalarea înmagazinårii de maså, pentru un fluid dat, într-un volum oarecare, cu varia¡ia, pentru aceea¿i perioadå de timp, a masei fluidului cantonat în volumul considerat. Dacå densitatea fluxului de maså al apei hidrodinamic active este .v în punctul P din centrul volumului elementar .x.y.z (fig.1.9), atunci înmagazinarea de maså pe direc¡ia axei Ox, în unitatea de timp, este:

( ) ( ) ( )ρ

∂ ρρ

∂ ρ ∂ ρv

v

x

xy z v

v

x

xy z

v

xx y zx

x

x

x x−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= −∆

∆∆ ∆

∆

∆∆ ∆

∆∆ ∆ ∆

2 2

Fig.1.9. Semnifica¡ia nota¡iilor folosite în deducerea ecua¡iei difuzivitå¡ii hidraulice.

Procedând la fel pe direc¡iile celorlalte douå axe, se ob¡ine:

( )−∂ ρv

yx y z

y

∆∆ ∆ ∆ , dupå direc¡ia axei Oy ;

( )−∂ ρv

zx y zz

∆∆ ∆ ∆ , dupå direc¡ia axei Oz,

17

rezultând, prin însumare, înmagazinarea de maså în volumul .x.y.z, care trebuie så fie identicå cu modificarea masei de apå cantonatå în acela¿i volum în unitatea de timp

: ( )[ ]∂ ρ∆ ∂n x y z t∆ ∆ /

( ) ( ) ( ) ( )∂ ρ∆

∂

∂ ρ

∂

∂ ρ

∂

∂ ρ

∂

n x y z∆ ∆∆ ∆ ∆

t

v

x

v

y

v

zx y z

x y z+ + +⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

= 0 (1.16)

sau, sub forma localå:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

∂ ρ

∂

∂ ρ

∂

∂ ρ

∂

∂ ρ

∂

∂ ρ

∂ρ

n

t

v

x

v

y

v

z

n

tdiv v

x y z+ + +⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ =

+⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ =

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

→

0

0

(1.17)

care, în cazul mi¿cårilor sta¡ionare devine:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

v

x

v

y

v

z

div v

x y z+ + =

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ =

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

→

0

0

(1.18)

În cazul general al depozitelor permeabile neomogene ¿i anizotrope, înlocuind componentele vitezei în concordan¡å cu legea lui Darcy (rel.1.9) în ecua¡ia de continuitate (rel.1.18) ¿i înmul¡ind ambii membri ai rela¡iei cu grosimea acviferului M, (fig.1.9), rezultå:

( )∂

∂ρ

∂

∂

∂

∂ρ

∂

∂

∂

∂ρ

∂

∂

∂ ρ

∂xT

H

x yT

H

y zT

H

z

M n

tx y z

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = , (1.19)

în care:

M n Me

eρ ρ=

+1 0

este masa apei cantonatå într-o prismå de depozite

permeabile cu porozitatea n (¿i indicele porilor e), având suprafa¡a bazei unitarå ¿i înål¡imea identicå cu grosimea (M) a acviferului; r- densitatea apei (masa specificå);

T MK T MK T MKx x y y z= = z=, , sunt transmisivitå¡ile dupå direc¡iile

principale (x, y, z).

18

Membrul drept al rel.(1.19) se scrie dupå derivare, considerând M constant, în forma:

( )∂ ρ

∂ρ∂

∂

∂ρ

∂ρ∂

∂

∂ρ

∂

M n

tM

n

tn

t

M

e

e

te

t= +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

++

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 0

, (1.20)

din care, deoarece deforma¡iile laterale sunt pu¡in semnificative, rezultå:

dndV

V

dV

V

V V

V

p f= = =−

0 0

0

0

( )V V V V e V V es p s s s0 001= + = + = + 0

V V V V e Vf s p s f sf

= + = +

( )V V V e e V def s f s0 0− = − =

dnde

e=

+1 0

S-au folosit nota¡iile: Vp - volumul porilor; V - volum total (fluid + schelet mineral); V0 ¿i Vf - volum total ini¡ial ¿i final; Vs - volumul scheletului mineral; n = Vg/V - porozitate; e = Vg/Vs - indicele porilor. Urmeazå a studia separat termenii care compun rela¡ia (1.20) ¿i anume :

- Primul termen: ρ∂

∂

e

t.

Compresibilitatea granulelor individuale este considerabil mai micå fa¡å de cea a ansamblului (determinatå de rearanjarea elementelor componente în cadrul edificiului structural). Deoarece deforma¡iile laterale de volum sunt nesemnificative fa¡å de cele verticale, reducerea porozitå¡ii ca urmare a modificårii efortului unitar efectiv pe verticalå (.') este:

dVV

dee

ds

s

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

+= −

1 0

β τ' (1.21)

unde: (dV/V)s - este modificarea (comprimarea sau detensia elasticå) unitå¡ii de volum a

acviferului datoratå compresibilitå¡ii (detensiei) ansamblului scheletului mineral - echivalentå mic¿orårii (cre¿terii) porozitå¡ii cu dn, când efortul unitar efectiv vertical la contactul dintre granule cre¿te (scade) cu dσ'; βs - coeficientul de compresibilitate (detensie) elasticå al scheletului

mineral [cm2/daN].

19

Sarcina geologicå totalå la o adâncime datå este :

.' constuz =+=σσ

în care u este presiunea apei din pori. De unde

dud −='σ ¿i înlocuind în (1.21) rezultå:

( ) ( )∂

∂β

∂

∂β γ

∂

∂

e

te

u

te

H

ts s w= + = +1 10 0 (1.22)

- Al doilea termen: et

∂ρ

∂.

Dacå se noteazå cu βa coeficientul de compresibilitate (elasticå) al apei, atunci,

prin defini¡ie :

dV

Vdu

aa

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −β sau

ddua

ρρ

β= , (1.23)

unde dVV a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ este modificarea (comprimarea sau detensia elasticå) unitå¡ii de

volum a acviferului datoratå compresibilitå¡ii (detensiei) apei din pori. Din (1.23) rezultå:

∂ρ

∂ρβ

∂

∂ρβ γ

∂

∂t

u

t

H

ta a w= = (1.24)

¥nlocuind (1.22) ¿i (1.24) în (1.20) se ob¡ine:

( ) ( )[ ] ( )∂ ρ

∂

ργβ β

∂

∂ργ β β

∂

∂

M n

t

M

ee e

H

tM n

H

tw

a s w s a=+

+ + = +1

10

0 . (1.25)

Membrul stâng al ecua¡iei (1.19) poate fi scris sub forma:

− + +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Mvx

v

yvz

vx

vy

vz

x y zx y zρ

∂∂

∂∂

∂∂

∂ρ∂

∂ρ∂

∂ρ∂ (1.26)

Pentru explicitarea termenului secund al rela¡iei(1.26) se folose¿te ecua¡ia energeticå a lui Bernoulli (1.11) scriså sub forma u = .g (H-z), din care rezultå:

20

∂

∂ρ

∂

∂

u

xg

H

x= ,

∂

∂ρ

∂

∂

u

yg

H

y= ,

∂

∂ρ

∂

∂

u

zg

H

z= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟1 (1.27)

¿i ecua¡ia de defini¡ie a coeficientului de compresibilitate al apei (dβ = rβa du) - vezi

ecua¡ia (1.23). - din care prin diferen¡iere ¿i ¡inând seama de (1.27), se ob¡ine:

∂ρ

∂ρ β

∂

∂

∂ρ

∂ρ β

∂

∂

∂ρ

∂ρ β

∂

∂

x x

y y

z z

=

=

= −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

2

2

2 1

a

a

a

gH

gH

gH

(1.28)þ

¥nlocuind componentele vitezei de filtrare în concordan¡å cu legea lui Darcy (rel.1.9) ¿i pe cele ale modificårii densitå¡ii apei dupå direc¡iile axelor de coordonate - (rel. 1.28), termenul secund al ecua¡iei (1.26) devine:

M g KH

KH

KH

KH

a x y z zρ β∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂2

2 2 2

x y z

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥z,

care, având în vedere valorile mici ale termenului )/( zHKz ∂∂ , poate fi neglijat, practic

fårå a introduce erori. Deoarece, dupå înlocuirea componentelor vitezei de filtrare (rel.1.9), primul termen al rela¡iei (1.26) devine :

M KH

KH

KH

x y zρ∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂x x y y z z

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥,

ecua¡ia (1.9) se scrie sub forma finalå (v.rel.1.25):

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂x x y y z zT

HT

HT

HS

Hx y z

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

t

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

sau

( )div TgradH SH

t=

∂

∂. (1.29)

21

Dacå terenul permeabil este omogen ¿i izotrop (Tx = Ty = Tz = T), rela¡ia (1.29) devine:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

2

2

2

2

2

2

H

x

H

y

H

z

S

T

H

t+ + =

sau

( )div gradHS

T

H

t

HS

T

H

t

=

∇ =

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

∂

∂

∂

∂2

(1.30)

care se mai poate scrie ¿i sub forma:

∂

∂

H

ta H= ∇2 , (1.31)

cunoscutå sub denumirea de ecua¡ia difuziunii a lui Fourier. Semnifica¡ia parametrilor ¿i nota¡iilor folosite este urmåtoarea:

∇ = + +22

2

2

2

2

2

∂

∂

∂

∂

∂

∂x y z este operatorul lui Laplace;

( ) [ ]S nsp w s a w= + = −γ β β γ β 1L (1.32)

este coeficientul de înmagazinare specificå, numeric egal cu cantitatea de apå înmagazinatå (cedatå) elastic dintr-o unitate de volum a acviferului la o cre¿tere (reducere) unitarå a presiunii apei din pori, calculat ca produs între greutatea specificå a apei (.w = g.) ¿i coeficientul capacitå¡ii elastice al complexului apå-rocå :

[ ]β β β= + −s an L F2 1 (1.33)

în care componentele .s ¿i .a sunt numeric egale cu compresibilitatea (detensia) volumicå

asociatå scheletului mineral ¿i, respectiv, apei din pori;

S= Ssp M = γw βM = γw ( βs + nβa ) M [ - ] (1.34)

este coeficientul de înmagazinare (adimensional), numeric egal cu cantitatea de apå înmagazinatå (cedatå) într-o prismå cu suprafa¡a bazei unitarå ¿i înål¡imea egalå cu grosimea acviferului, la o cre¿tere (reducere) unitarå a presiunii apei din pori;

22

[ ]T KM L T= −2 1

este transmisivitatea acviferului (resursa dinamicå a acviferului) printr-o sec¡iune M⋅1m,

normalå pe direc¡ia de curgere, la un gradient hidraulic unitar [ ]L L T L T3 1 1 2 1− − −= ;

( ) [aTS

Kn

L Tw s a

= =+

−

γ β β2 1 ] (1.35)

este coeficientul de difuzivitate hidraulicå, care caracterizeazå viteza de redistribuire a presiunii în acvifer. Observa¡ie : În demonstrarea ec. (1.18) s-a admis cå grosimea M a acviferului este constantå - (v.rel.1.20). Existå înså posibilitatea ca depozitele (de regulå semipermeabile) care delimiteazå acviferul så se comporte elastic - pentru un anumit domeniu al modificårii presiunii acviferului - rezultând o nouå componentå a coeficientului de înmagazinare. 1.3.2. Particularizåri ale ecua¡iei de difuzivitate hidraulicå

1.3.2.1. Cazul acviferelor cu mi¿care în regim sta¡ionar. Ipotezele de bazå în cazul acviferelor în regim sta¡ionar sunt: valabilitatea legii lui Darcy ¿i incompresibilitatea complexului apå-rocå. Dacå se egaleazå cu zero coeficientul de înmagazinare (elasticå) în ec. (1.29) ¿i (1.30), rezultå:

( )

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂x x y y z zT

HT

HT

H

sau

div TgradH

x y z

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

0

0

(1.36)

pentru cazul terenurilor neomogene ¿i anizotrope, ¿i:

23

( )

∂∂

∂∂

∂∂

2

2

2

2

2

2

2

0

0

0

Hx

Hy

Hz

sau

div gradH

H

+ + =

=

∇ =

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

(1.37)

când terenul permeabil este omogen ¿i izotrop. Rela¡iile (1.36) ¿i (1.37) caracterizeazå mi¿carea sta¡ionarå ¿i conservativå. Ecua¡ia (1.37) - ecua¡ia a lui Laplace-.permite constatarea cå varia¡ia sarcinii piezometrice în cadrul acviferelor cu mi¿carea sta¡ionarå se conformeazå unei func¡ii armonice. Deoarece în ecua¡ia (1.37) nu intervine conductivitatea hidraulicå, rezultå cå distribu¡ia sarcinii piezometrice, în cazul mediului omogen ¿i izotrop, depinde de geometria acviferului ¿i de condi¡iile hidraulice pe contur. Mi¿cårile tridimensionale în acviferele naturale au loc pe domenii întinse în planul orizontal ¿i cu dimensiuni reduse pe verticalå, putând fi reduse la o mi¿care plan-orizontalå (în planul x-y) pentru care, în concordan¡å cu ipotezele Dupuit, liniile de curent sunt considerate orizontale. Dacå un acvifer cu mi¿care plan-orizontalå, cu nivel liber sau sub presiune, este alimentat prin infiltrare sau drenan¡å cu debitul uniform distribuit w (mi¿care sta¡ionarå neconservativå - fig. 1.10) atunci, adåugând la ecua¡ia de continuitate (1.16) termenul w .x.y, rela¡ia (1.36) devine:

( )∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂xT

H

x yT

H

yw x yx y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + =, 0 , (1.38)

x ¿i y fiind direc¡iile principale de anizotropie.

Fig. 1.10. Curen¡i acviferi plan-orizontali. a-sub presiune; b-cu nivel liber ¿i pat impermeabil oarecare; c-cu nivel liber ¿i pat impermeabil orizontal; P.P.-profil piezometric; P.D.- profil de

depresiune.

24

Dacå terenul permeabil este omogen ¿i izotrop (Tx=Ty=T), ecua¡ia (1.38) se particularizeazå în formele: pentru acvifere sub presiune (fig. 1.10,a):

∂

∂

∂

∂

2

2

2

20

H

x

H

y

w

T+ + = , (1.39)

în care T = KM = const. este transmisivitatea acviferului. pentru acvifere cu nivel liber (fig. 1.10,b):

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂x

hHx y

hHy

wK

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + = 0 , (1.40)

în care T = Kh, h - fiind grosimea acviferului ¿i K = const. Dacå patul impermeabil este orizontal (fig. 1.10,c) atunci el poate fi considerat plan de referin¡å pentru H, deci H = h, rela¡ia(1.40) devenind:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂x

hx y

hy

wK

12

12

02 2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + =

sau

∂

∂

∂

∂

2 2

2

2 2

2

2 2

2 0

2 0

h

x

h

y

w

K

hw

K

+ + =

∇ + =

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

(1.41)

care este o ecua¡ie de tip Poisson. Când W = 0, mi¿care sta¡ionarå conservativå plan-orizontalå, ecua¡ia(1.41) devine:

∇ =2 2 0h (1.42) Observa¡ie: Admiterea ipotezelor Dupuit presupune cå: liniile de curent sunt practic orizontale (liniile echipoten¡iale pot fi considerate verticale) ¿i viteza de filtrare, uniformå pe întreaga adâncime a acviferului, poate fi calculatå - în cazul terenurilor permeabile omogene ¿i izotrope - cu rela¡ia:

v Kh

S= −

∂

∂. (1.43)

25

1.3.2.2. Cazul acviferelor cu nivel liber cu mi¿care în regim nesta¡ionar. Se fac urmåtoarele ipoteze de lucru (confirmate de concordan¡a calculelor cu observa¡iile din naturå): valabilitatea, în fiecare moment, a legii lui Darcy ¿i incompresibilitatea complexului apå-rocå. Deoarece ipotezele amintite coincid cu cele folosite în cazul regimului sta¡ionar, rezultå cå ecua¡iile stabilite anterior, (1.36) ¿i (1.37), sunt valabile ¿i în cazul regimului nesta¡ionar, mi¿carea în regim nepermanent urmând a fi studiatå ca o succesiune de ståri permanente. Pentru cazul terenurilor permeabile omogene ¿i izotrope, de exemplu, ecua¡ia lui Laplace (1.37) este valabilå în fiecare punct al acviferului ¿i la un moment dat. Dacå se cunosc, la un moment dat, forma ¿i pozi¡ia suprafe¡ei libere (în mi¿care) este posibil, rezolvând ecua¡ia Laplace, în concordan¡å cu condi¡iile la limitå impuse, så se determine - pentru momentul considerat - câmpul sarcinii piezometrice în tot domeniul mi¿cårii. Pentru a calcula, în continuare, viteza de ridicare (sau coborâre) a suprafe¡ei de depresiune , în scopul precizårii pozi¡iei suprafe¡ei de depresiune

la momentul t+.t, se folose¿te ecua¡ia suprafe¡ei de depresiune în mi¿carea nesta¡ionarå.

)/( th ∂∂

Ecua¡ia suprafe¡ei de depresiune în mi¿carea nesta¡ionarå [40] •Acvifere cu mi¿carea nesta¡ionarå conservativå. În figura 1.11 sunt considerate douå pozi¡ii succesive ale suprafe¡ei de depresiune corespunzåtoare, respectiv, momentelor t ¿i t+dt. Modificarea pozi¡iei suprafe¡ei de depresiune se datore¿te debitului vn1 care o traverseazå (vn este componenta vitezei de filtrare v dupå

normalå pe suprafa¡a elementarå ds1). Cantitatea de apå care traverseazå suprafa¡a ds1, în timpul dt, trebuie så fie identicå cu cantitatea de apå cantonatå în volumul ds dn1, cu porozitatea efectivå ne:

vn ds dt = ne ds dn sau ne dn = vn dt. (1.44) Deoarece:

dn dhh

tdt= =cos cosα

∂

∂α ,

iar vn, în func¡ie de componentele lui v dupå x ¿i z (fig.1.11,c), este:

ανανν cossin zxn +=

rela¡ia (1.44) devine:

nh

tv tg ve x z

∂

∂α= + ,

26

în care, înlocuind:

v KH

xv K

H

zx z= − = −

∂

∂

∂

∂, ¿i tg

hx

α ∂∂

= − ,

se ob¡ine ecua¡ia suprafe¡ei de depresiune în mi¿carea nesta¡ionarå plan-verticalå conservativå:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

h

t

K

n

H

x

h

x

H

ze

= −⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥ (1.45)

Fig.1.11. Deducerea ecua¡iei suprafe¡ei de depresiune în mi¿carea nesta¡ionarå plan verticalå. a-profilul de depresiune la momentele t ¿i t+dt; b-detaliu; c-descompunerea vitezei de filtrare

Dacå intereseazå varia¡ia suprafe¡ei libere dupå orizontala (.l/.t) sau dupå normala la suprafa¡a liberå (.n/.t), procedând similar se ob¡ine:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

l

t

K

n

H

z

l

z

H

x

n

t

K

n

H

x

l

s

H

z

l

s

e

e

= −⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

= +⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

. (1.45)

27

În cazul mai general al mi¿cårii tridimensionale, ec. suprafe¡ei de depresiune are forma:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

h

t

K

n

H

x

h

x

H

y

h

y

H

ze

= + −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥, ý (1.46)

în care: H = H(x,y,z,t) este sarcina piezometricå; h = h(x,y,t) este grosimea acviferului. •Acvifere cu mi¿care nesta¡ionarå neconservativå. Dacå acviferul este alimentat prin infiltrare cu debitul uniform distribuit w, ecua¡ia de continuitate (1.44) devine:

vn ds dt + w ds dt cos. = ne ds dn. Folosind metodologia de mai sus, se ob¡ine ecua¡ia suprafe¡ei de depresiune în mi¿carea plan-verticalå:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

h

t

K

n

H

x

h

x

H

z

w

ne e

= +⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥+ (1.47)

¿i în cea tridimensionalå:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

h

t

K

n

H

x

h

x

H

y

h

y

H

z

w

ne e

= + −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + (1.48)

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

h

t

K

n

H

x

h

x

H

y

h

y

H

ze

= + −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥, (1.49)

în cazul mi¿cårii nesta¡ionare-conservative, ¿i:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

h

t

K

n

H

x

h

x

H

y

h

y

H

z

w

ne e

= + −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + , (1.50)

în cazul mi¿cårii nesta¡ionare-neconservative. Deoarece în deducerea ecua¡iilor (1.49) ¿i (1.50) nu s-au pus nici un fel de condi¡ii în legaturå cu structura acviferului, acestea au aplicabilitate generalå. În cazul acviferelor freatice cu dezvoltare spa¡ialå importantå ¿i pat impermeabil practic orizontal, mi¿carea poate fi consideratå plan-orizontalå. În consecin¡å, sarcina hidraulicå este constantå pe verticalå:

H(x,z,t)≅ h(x,t) (1.51)

28

Condi¡ia (1.51) este, în general, valabilå numai pe suprafa¡a de depresiune, dar, în condi¡iile valabilitå¡ii ipotezelor Dupuit, se poate extinde pe toatå grosimea acviferului, deci:

∂∂

∂∂

Hz

Hz

dzh= ∫2

20 ,

în care, înlocuind, rezultå:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

2

2

2

2

2

2

H

z

H

x

H

y= − +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

¿i în conformitate cu ecua¡ia lui Laplace (1.37), se ob¡ine:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

H

z

H

x

H

ydz h

H

x

H

y

h

= − +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ∫ = − +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

2

2

20

2

2

2

2. (1.52)

¥nlocuind (1.52) în ecua¡ia suprafe¡ei de depresiune scriså pentru cazul mai general al mi¿cårii nesta¡ionare-neconservative (1.50), se ob¡ine:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

h

t

K

n

H

x

h

x

H

y

h

yh

H

xh

H

y

w

ne e

= + + +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

2

2

2

2,

din care, dacå se are în vedere cå:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂xh

H

x

H

x

h

xh

H

x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = +

2

2,

rezultå cunoscuta ecua¡ie a lui Boussinesq:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

H

t

K

n xh

H

x yh

H

y

w

ne e

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥+ . (1.53)

În cazul terenurilor neomogene ¿i anizotrope ecua¡ia (1.53) se scrie sub forma:

nH

t xT

H

x yT

H

ywe x y

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + . (1.54)

Ecua¡ia (1.53) este dificil de integrat, cele mai multe solu¡ii practice fiind stabilite pornind de la ecua¡ia lui Boussinesq linearizatå. Dacå se noteazå cu h = hm grosimea medie a acviferului, atunci ecua¡ia (1.53) se scrie sub forma:

29

∂

∂

∂

∂

∂

∂

H

ta

H

x

H

y

w

ne

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +~

2

2

2

2, (1.55)

iar în cazul mi¿cårii nesta¡ionare-conservative:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

H

ta

H

x

H

y

sau

H

ta

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= ∇

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

~

~

2

2

2

2

2

(1.56)

care este identicå cu ecua¡ia difuziunii a lui Fourier - (v. 1.31), în care:

~aKh

n

T

nm

e e

= = (1.57)

este coeficientul varia¡iei de nivel.

1.4. SPECTRUL HIDRODINAMIC ÎN TERENURI PERMEABILE OMOGENE ªI IZOTROPE

În cazul terenurilor permeabile omogene ¿i izotrope, legea lui Darcy se scrie vectorial în forma - (v.1.5):

v KgradH→

= − , care, în situa¡ia când complexul apå-rocå poate fi considerat incompresibil, iar mi¿cårile sunt poten¡iale - plane, devine:

v Kgrad→

= − Φ, (1.58) unde:

Φ= = +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = +KH K z

pKh C

wγ (1.59)

este poten¡ialul vitezelor [L2 T-1]; C este o constantå pentru un acvifer dat, depinzând de pozi¡ia planului orizontal de referin¡å fa¡å de care s-a måsurat înål¡imea (cota)

30

piezometricå. Rezultå cå aceste componente ale vitezelor dupå direc¡iile axelor de coordonate pot fi exprimate prin - (v.rel.1.6):

v KH

x x

v KH

y y

v KH

z z

x

y

z

= − = −

= − = −

= − = −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

∂

∂

∂Φ

∂

∂

∂

∂Φ

∂

∂

∂

∂Φ

∂

(1.60)

În figura (1.12) se considerå o familie de linii echipoten¡iale ale cåror ecua¡ii sunt . = C1,C2,C3,... (este considerat cazul mi¿cårii poten¡iale plan-verticale, dar problema este similarå ¿i în planul x-y). Tangenta la oricare linie Φ = C are panta (dz/dx).., care se poate explicita scriind diferen¡iala totalå a func¡iei Φ = C ¿i tinând seama de ec. (1.43):

dx

dxz

dz

sau

dz

dxx

z

v

vx

z

Φ

Φ

= + =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = − = −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

∂Φ

∂

∂Φ

∂

∂Φ

∂∂Φ

∂

0

(1.61)

Fig.1.12. Linii de curent ¿i linii echipoten¡iale.

31

Debitul tubului de curent delimitat de douå linii de curent adiacente (dq) traverseazå sec¡iunea 1-2 (cu lå¡imea dx) cu viteza vz ¿i sec¡iunea 2-3 (cu lå¡imea dz) cu

viteza vx, dx ¿i dz sunt proiec¡iile coardei arcului elementar de lungime ds (1-3), deci:

dq = vz dx = vx dz;

vz dx - vx dx = 0. (1.62) Pe de altå parte, ecua¡ia de continuitate în mi¿carea plan-verticalå pentru un fir de curent - rela¡ia (1.18), se scrie sub forma:

∂

∂

∂

∂

v

x

v

zx z+ = 0. (1.63)

Valorile lui vx ¿i vz care satisfac ecua¡ia (1.63) sunt:

vx

z =∂Ψ

∂ , v

zx = −∂Ψ∂ , (1.64)

care, înlocuite în (1.62), conduc la:

∂Ψ

∂

∂Ψ

∂xdx

zdz d+ = =Ψ 0 , (1.65)

deci:

Ψ( , ) .x z const= (1.66) reprezentând func¡ia de curent (familia de curbe ψ = const. reprezintå liniile de curent). Tangenta în orice punct la liniile ψ = C are panta (dz/dx)ψ , care se poate explicita ¡inând seama de ecua¡iile (1.65) ¿i (1.66):

∂

∂

z

x

v

vz

x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =Ψ

(1.67)

Comparând rela¡iile (1.61) ¿i (1.67) se deduce cå liniile echipoten¡iale sunt ortogonale cu liniile de curent. Comparând rela¡iile (1.60) ¿i (1.64), rezultå :

∂Φ

∂

∂Ψ

∂x z= ¿i

∂Φ∂

∂Ψ∂z x

= − (1.68)

32

cunoscute sub denumirea de ecua¡iile Cauchy-Riemann, care aratå cå poten¡ialul complex al mi¿cårii (în mi¿cårile plane) poate fi exprimat printr-o func¡ie analiticå (f) de variabilå complexå.

Ψ+Φ= iZf )( , (1.69)

unde variabila complexå Z se exprimå prin:

Z= x + iz , în mi¿cårile plan-verticale,

Z= x +iy , în mi¿cårile plan-orizontale, (1.70) iar i are semnifica¡ia unitå¡ii imaginare (i = −1 ). Prin anularea rotorului vitezei - condi¡ia de mi¿care poten¡ialå plan-verticalå:

*rot v iv

y

v

yj

v

z

v

xk

v

x

v

yz y x z y x

→ → → →

= −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

rezultå:

∂

∂

∂

∂

v

z

v

xx z− = 0,

¿i înlocuind vx ¿i vz conform (1.64) se ob¡ine:

∂

∂

∂

∂

2

2

2

20

Ψ Ψ

x z+ = . (1.71)

Pe de altå parte, înlocuind vx ¿i vz conform (1.60) în ecua¡ia de continuitate (1.63), rezultå cå ¿i poten¡ialul vitezelor satisface ecua¡ia Laplace:

∂

∂

∂

∂

2

2

2

20

Φ Φ

x z+ = , (1.72)

deci func¡iile Φ ¿i Ψ sunt armonic conjugate. Separând la func¡ia analiticå de variabilå complexå f(Z) partea realå de cea imaginarå , cele douå func¡ii

ΦΨ Φ ¿i Ψ armonic conjugate reprezintå o mi¿care

poten¡ialå. Spectrul hidrodinamic este deci reprezentarea în planul (x-z) sau (x-y) a celor douå familii de curbe Φ= const. ¿i Ψ = const. Dacå:

.1 constii =∆Φ=Φ−Φ + ¿i .1 constii =Ψ−Ψ + ,

33

se ob¡ine o re¡ea de dreptunghiuri curbilinii, având raportul celor douå laturi .s/.n = ../.. = const.

Fig.1.13. Exemple de spectre hidrodinamice cu re¡ele dreptunghiulare curbilinii. Dacå ∆Ψ=∆Φ se ob¡ine o re¡ea de påtrate curbilinii. Din cele de mai sus, rezultå cå, în medii permeabile omogene ¿i izotrope, proprietå¡ile spectrului hidrodinamic sunt urmåtoarele: - liniile echipoten¡iale ¿i de curent se intersecteazå sub unghiuri drepte; - atât liniile echipoten¡iale, cât ¿i cele de curent nu se pot intersecta între ele; - spectrul hidrodinamic nu depinde de valoarea absolutå a conductivitå¡ii hidraulice dar este influen¡at de modificårile acesteia în diferite zone ale acviferului. Cu ajutorul spectrului hidrodinamic se pot calcula: - Gradientul hidraulic ¿i viteza de filtrare medie rezultate din legea lui Darcy scriså în diferen¡e finite (fig.1.13):

IH

S=∆

∆, (1.73)

¿i

vS

KH

Sm = =

∆Φ

∆

∆

∆. (1.74)

- Debitul curentului acvifer ca sumå a debitelor filtrate prin cele m tuburi de curent în care a fost separat conven¡ional. Pentru curen¡i plan-verticali, de exemplu:

[ ]q q L Tmi= ∑ −

12 1 , (1.75)

în care:

( )q n v Kn

sHi i i

i

= =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟∆

∆

∆∆ . (1.76)

34

1.5. SCHEMATIZAREA CONDIºIILOR HIDROGEOLOGICE Condi¡iile în care are loc curgerea apelor subterane, în cadrul acviferelor naturale, sunt de regulå complicate ¿i diferen¡iate de la un caz la altul. Pentru realizarea calculelor inginere¿ti, este obligatorie schematizarea condi¡iilor hidrogeologice astfel încât så poatå fi aplicate modelele de analizå cantitativå de care dispunem. Gradul de cunoa¿tere, la un moment dat, al condi¡iilor naturale, în legaturå cu fenomenul care ne intereseazå, se exprimå printr-o schemå care, în func¡ie de scopul analizei, trebuie så asigure o aproxima¡ie admisibilå. Schematizarea se referå atât la condi¡iile geologice ¿i structurale ale depozitelor permeabile, cât ¿i la cauzele care determinå mi¿carea apei. În definirea condi¡iilor hidrogeologice ¿i alegerea modelelor de calcul aplicabile, se porne¿te de la premiza cå acviferele naturale reprezintå sisteme fizice unitare în interiorul cårora reparti¡ia presiunilor, vitezelor ¿i debitelor este determinatå de structura (pozi¡ia spa¡ialå ¿i geometricå a acviferului), proprietå¡ile litologice ¿i de granulozitate - respectiv gradul de fisura¡ie al masivului - , ¿i de condi¡iile (hidraulice) de margine ale acestuia. 1.5.1. Schematizarea structurii acviferelor

Reprezentarea corectå a structurii ¿i condi¡iilor geologice ale acviferelor presupune executarea de studii geologice-structurale ¿i hidrogeologice regionale din care så rezulte: localizarea ¿i dezvoltarea acviferelor în cadrul marilor unitå¡i geologice-structurale ale zonei, rela¡iile reciproce posibile ¿i legåtura acestora cu apele de suprafa¡å. Pe aceastå bazå urmeazå så se precizeze, pentru un anumit acvifer: contextul geologic-structural în care existå, interdependen¡a (poten¡ialå) cu acviferele vecine, morfologia ¿i structura patului impermeabil (sau semiimpermeabil), morfologia ¿i structura acoperi¿ului (pentru acviferele captive), grosimea ¿i dezvoltarea spa¡ialå, prezen¡a ¿i efectul probabil al accidentelor tectonice. Exactitatea ¿i eficien¡a tuturor evaluårilor ulterioare sunt influen¡ate determinant de corectitudinea rezultatelor acestei etape de studiu. 1.5.2. Schematizarea terenurilor permeabile

Terenurile permeabile pot fi considerate omogene atunci când, spa¡ial, compozi¡ia litologicå a acestora råmâne practic constantå. Dacå permeabilitatea råmâne de asemenea aceea¿i, indiferent de direc¡ia de curgere, atunci pot fi considerate ¿i izotrope. Caracterizarea forma¡iunilor permeabile ca omogene (sau neomogene) ¿i izotrope (sau anizotrope) este influen¡atå determinant de scara la care este privit fenomenul. La scara unor volume de ordinul centimetrilor sau decimetrilor cubi, majoritatea forma¡iunilor sunt neomogene ¿i anizotrope. ¥ncepând de la o anumitå scarå, constan¡a relativå a caracteristicilor medii permite schematizarea mediilor permeabile ca omogene ¿i izotrope, în întreg domeniul sau pe por¡iuni, calculele inginere¿ti conducând la rezultate satisfåcåtoare.

35

În numeroase situa¡ii, anizotropia este determinatå de particularitå¡ile structurale care, de regulå, au caracter direc¡ional. Mediile anizotrope cu permeabilitatea constantå dupå douå direc¡ii ortogonale - de exemplu, kx/kz = constant, - se numesc ortotrope. Forma¡iunile stratificate, la scarå micå, sunt neomogene (eventual zonate).

Fig.1.14. Exemple de acvifere cantonate în terenuri permeabile schematizate ca omogene ¿i izotrope (Kx=Kz=K). 1-aluviuni; 2-nisipuri; 3-calcare.

Dacå un complex litologic stratificat ¿i permeabil este privit în ansamblu, existå posibilitatea så fie considerat omogen ¿i izotrop (fig.1.14,c), omogen ¿i ortotrop (fig.1.15,b) sau neomogen ¿i izotrop (fig.1.18).

Fig.1.15. Exemple de acvifere cantonate în terenuri permeabile schematizate ca omogene ¿i ortotrope: 1-loessuri; 2-gresii stratificate.

Rezultå cå, în func¡ie de condi¡iile geologice, sedimentologice ¿i structurale, terenurile permeabile care cantoneazå acvifere naturale pot fi încadrate, prin schematizare, în una din urmåtoarele categorii: omogene - izotrope (fig. 1.14), omogene - ortotrope (fig. 1.15), neomogene-zonate, fiecare zonå fiind izotropå (fig.1.16),

36

neomogene-zonate, cu zone izotrope ¿i ortotrope (fig. 1.17) ¿i neomogene-izotrope (fig. 1.18).

Fig.1.16. Exemple de acvifere cantonate în terenuri permeabile schematizate ca neomogene zonate, fiecare zona fiind izotropå: 1-nisipuri argiloase-pråfoase; 2-aluviuni grosiere; 3-¿isturi

cristaline; 4-calcare; 5-nisipuri; 6-nisipuri argiloase.

Fig.1.17. Exemple de acvifere cantonate în terenuri permeabile schematizate ca neomogene zonate, cu zone izotrope ¿i ortotrope: 1-nisipuri; 2-conglomerate stratificate; 3-loessuri.

37

Fig.1.18. Exemple de acvifere cantonate în terenuri permeabile neomogene schematizate ca izotrope: 1-gresii; conglomerate ¿i microconglomerate; 2-¿isturi cristaline fisurate

Fig.1.19. Schematizarea aceluia¿i acvifer, în moduri diferite, în func¡ie de scop. a-canal de drenare; b-dren orizontal tubular; c-linie de foraje. 1-depozite acoperitoare nisipoase-argiloase-

pråfoase – slab permeabile; 2-nisipuri; 3-aluviuni grosiere; 4-strat permeabil achivalent.

În unele situa¡ii, în func¡ie de scop, schematizarea depozitelor permeabile care cantoneazå în acvifer se face în moduri diferite. Astfel, în figura 1.19 este prezentat cazul unui acvifer freatic cantonat în depozite permeabile neomogene zonate, fiecare zonå fiind izotropå. În proiectarea canalului de drenare ¿i drenurilor orizontale, trebuie consideratå influen¡a anizotropiei verticale în formarea debitelor, deci se iau în considerare toate cele trei pachete litologice. Pentru dimensionarea liniei de foraje, întrucât liniile de curent sunt practic paralele cu liniile litologice, la denivelåri mici stratele 2 ¿i 3 pot fi înlocuite cu un strat 4 cu conductivitate hidraulicå orizontalå echivalentå (determinatå prin pompåri experimentale).

38

1.5.3. Schematizarea condi¡iilor de margine

Acviferele naturale pot fi sub presiune sau cu nivel liber (fig. 1.20).

Fig.1.20. Schematizarea condi¡iilor de margine la acviferele în regim natural.

Presiunea în orice punct se deduce dupå legea hidrostaticii. ¥nål¡imea (sarcina) piezometricå în orice punct: H = p/.w +z = hp+z

a. Acvifere cu nivel liber : 1- profil de depresiune (PC=0, HC = ZC , Q = .H/.n = 0); 2 - zona de izvorâre (HB = ZB); 3 - apå capilarå mobilå (HD = ZD - hC); 4 - nivelul apei din râu (HA = hA P + ZA = const.); 5 - limita lateralå impermeabilå (Qn = 0, .H/.n =0); 6 - pat semipermeabil (HE = hE

P + ZE); debitul de alimentare prin drenan¡å, pe unitatea de suprafa¡å este WD = k'. H / M' = kD.H (kD=k'/M' - coeficient de drenan¡å). b. Acvifere sub presiune : 7 - profil piezometric (HG = hG

P); 8 - pat impermeabil (Qn = 0, .H/.n = 0); 9 - acoperi¿ semipermeabil (HF = HG); debitul pierdut prin drenan¡å pe unitatea de suprafa¡å, este WD = k'.H/M' = kD.H; 9' - acoperi¿ impermeabil (HF = HG; Qn = 0; .H/.n = 0); 10 - direc¡ia drenan¡ei. Acviferele sub presiune sunt limitate de douå tipuri de suprafe¡e: a) Suprafe¡e impermeabile: culcu¿ul ¿i acoperi¿ul stratului permeabil ¿i eventualele limite laterale (schimbåri de facies, accidente tectonice, etc). Impermeabilitatea acestor suprafe¡e impune condi¡ia de egalare cu zero a debitelor care le traverseazå, deci componenta vitezei de filtrare normalå pe aceasta este nulå:

39

Qn = vn. = 0 sau v KH

nn = − =

∂

∂0 ,

deci:

∂

∂

H

n= 0 , (1.77)

ceea ce înseamnå cå liniile echipoten¡iale (H = const.) intersecteazå suprafe¡ele impermeabile sub un unghi drept, adicå suprafe¡ele impermeabile se identificå cu liniile de curent. b) Suprafe¡ele filtrante (suprafe¡ele de aflorare ale stratului permeabil, prin care se realizeazå alimentarea acestuia) sunt suprafe¡e orizontale ale acviferului, în echilibru cu presiunea atmosfericå, cu sarcina piezometricå constantå - vezi rel. 1.4):

H = z + hp = const. (1.78) ¥n cazul acviferelor cu dezvoltare mare în plan orizontal (fig. 1.22), suprafe¡ele filtrante (suprafe¡ele echipoten¡iale limitå) se considerå cå se gåsesc la o distan¡å infinit de mare. Acviferele cu nivel liber se caracterizeazå prin prezen¡a unei suprafe¡e libere, în echilibru cu presiunea atmosfericå, care le limiteazå în partea superioarå. ¥n regim sta¡ionar (permanent), pozi¡ia suprafe¡ei libere se considerå constantå. Imobilitatea acesteia implicå egalarea cu zero a debitului care o traverseazå, deci condi¡ia (1.60) este îndeplinitå ¿i pe suprafa¡a liberå. Rezultå cå profilul de depresiune este o linie de curent. Pe de altå parte, deoarece pe suprafa¡a liberå moleculele de apå în mi¿care sunt în echilibru cu presiunea atmosfericå (nulå în sistemul relativ Patm = 0) - ¿i neglijând efectul capilaritå¡ii -, din (1.60) rezultå o a doua condi¡ie (vezi punctul C în fig. 1.20):

H = Z (1.79) ¥n fapt, în majoritatea situa¡iilor, delimitarea în partea superioarå a acviferelor cu nivel liber este fåcutå de suprafa¡a zonei cu apå capilarå mobilå. Coloana de apå de înål¡ime hc este sus¡inutå de tensiunea superficialå care se dezvoltå pe circumferin¡a meniscului care se formeazå la contactul între apå ¿i peretele tubului capilar de razå r (hC = 2T/r ; T . 0,075 g/cm). Deci, deasupra curbei de depresiune se dezvoltå pe înål¡imea hc zona apei capilare mobile, la partea superioarå a acesteia presiunea capilarå fiind pC = -hC.w. Rezultå cå la suprafa¡a zonei capilare, condi¡iile (1.60) ¿i (1.62) devin - vezi punctul D în figura 1.20:

∂

∂

H

n= 0 ¿i H = z - hC. (1.80)

Suprafa¡a zonei de apå capilarå mobilå are douå pozi¡ii extreme: una de maxim, dacå se stabilizeazå dupå coborârea nivelului apelor subterane, ¿i una de minim, dupå ridicarea nivelului acestora.

40

Din cele prezentate au rezultat condi¡iile de margine pentru limitele impermeabile (k = 0) ¿i pentru cele cu poten¡ial dat (k = .). Limitele cu poten¡ial dat sunt malurile (sub oglinda apei) ¿i fundul lacurilor sau râurilor. Cum nivelele acestora sunt variabile, este de a¿teptat ca ¿i regimul acviferelor în legåturå hidraulicå cu acestea så fie nesta¡ionar (nepermanent). Regimul nesta¡ionar al majoritå¡ii acviferelor cu nivel liber este accentuat ¿i de caracterul neuniform în timp al alimentårii (din precipita¡ii, sisteme de iriga¡ii, etc) ¿i evaporåri. Totu¿i, pentru marea majoritate a problemelor întâlnite în practicå, dupå o studiere atentå, modificarea condi¡iilor de margine poate fi schematizatå convenabil, regimul nesta¡ionar fiind întocmit cu o succesiune de ståri sta¡ionare (fig. 1.21).

Fig. 1.21. Schematizarea condi¡iilor de margine în cazul unei zone irigate din vecinåtatea unui râu. a- Sec¡iunea hidrologicå caracteristicå; b- Schematizarea varia¡iilor nivelului în râu; c-

schematizarea modelului de infiltrare eficace; d- schematizarea evapora¡iei poten¡iale. Descrierea matematicå a mi¿cårii apelor subterane cåtre lucrårile de captare ¿i drenaj presupune obligativitatea precizårii condi¡iilor de margine (laterale ¿i pe verticalå) ale zonei de alimentare a acestora. Folosind principiile stabilite anterior, este necesarå precizarea condi¡iilor de margine, în func¡ie de caracteristicile ini¡iale ale acviferului ¿i de modificårile impuse acestora de func¡ionarea lucrårilor de drenaj.

41

Fig.1.22. Schematizarea condi¡iilor de margine laterale la acviferele cu regim influen¡at. F.A. - frontierå de alimentare (H = const.); F1- frontierå impermeabilå (Q = 0; ∂H/∂n = 0); acvifere

infinite(a); acvifere limitate de frontiere de alimentare (b) sau impermeabile (c); acvifere tip bandå limitate de frontiere de alimentare (d ¿i g), frontiere impermeabile (f) sau o frontierå

impermeabilå ¿i una de alimentare (e); bazin acvifer (h)

42

Astfel, pe baza schematizårii condi¡iilor de margine laterale (fig. 1.22), care au rol determinant în formarea debitului lucrårilor de captare ¿i drenaj, rezultå tipurile de acvifere prezentate în figura 1.23.

Fig.1.23. Tipuri de acvifere în func¡ie de condi¡iile de margine.

Caracterul conservativ sau neconservativ al mi¿cårii apelor subterane spre lucrårile de captare ¿i drenaj rezultå din condi¡iile de margine pe verticalå, prezentate schematic în figura 1.24.

Tratarea matematicå a fiecåruia din cele cinci tipuri de acvifere rezultate din considerarea condi¡iilor de margine laterale, precizând, pentru fiecare din ele, condi¡iile de margine pe verticalå - adesea influen¡ate de valoarea denivelårilor impuse în lucrårile de drenare - se face diferen¡iat, rezultând solu¡ii cu aplicabilitate specificå.

43

Fig.1.24. Schematizarea condi¡iilor de margine verticale la acviferele cu regim influen¡at; acvifere cu nivel liber (a) ¿i sub presiune (d) conservative; acvifere cu nivel liber (b ¿i c) ¿i sub

presiune (e, f, g, h, i) neconservative; P.D. - profil de depresiune; P.P. - profil piezometric; Wi[m

3/m2.zi] - modul de infiltrare eficace; W'd ¿i W"d [m3/m2.zi] - module de alimentare (sau

descårcare) prin drenan¡å (prin acoperi¿, respectiv, prin culcu¿).

44

1.5.4. Condi¡ii de margine particulare

Un caz particular de suprafa¡å liberå (de depresiune) îl constituie zona de izvorâre (fig. 1.25,a).

Fig. 1.25. Cazuri particulare ale suprafe¡ei de depresiune: a - zona de exfiltrare (izvorâre); b -

infiltra¡ii din canale; c - acvifer cu nivel liber neconservativ în interfluvii. Liniile de curent 3, 4, 5 ¿i 6 trebuie så traverseze linia CD (care este echipoten¡ialå) sub unghiuri drepte. Dacå am admite cå profilul de depresiune (care este o linie de curent) ar ajunge în punctul C, ar însemna cå în acest punct s-ar întâlni douå linii de curent, ceea ce echivaleazå cu atingerea unei viteze de filtrare infinit de mare. Acest lucru nefiind fizic posibil, se deduce cå profilul de depresiune trebuie så intersecteze suprafa¡a terenului într-un punct plasat deasupra lui C, de exemplu B, suprafa¡a BC numindu-se zonå de izvorâre, de prelingere sau exfiltrare. Segmentul de taluz BC nu este linie de curent ¿i nici linie echipoten¡ialå, dar moleculele de apå se mi¿cå pe aceastå suprafa¡å în echilibru cu presiunea atmosfericå (pa = 0, deci H = z). Viteza de filtrare în lungul profilului de depresiune este v = kI = k sin ., atingând valoarea maximå în punctul B (în care . are valoarea identicå cu unghiul de taluz). Rezultå cå în zona de izvorâre vitezele sunt maxime, impunându-se måsuri pentru combaterea fenomenelor de antrenare hidrodinamicå a terenurilor permeabile granulare. Deoarece precizarea zonei de izvorâre se face cu aproxima¡ie, în rezolvarea problemelor practice de acest tip se întâmpinå dificultå¡i suplimentare. ¥n situa¡ia când un acvifer cu nivel liber este alimentat prin infiltrare (din precipita¡ii, re¡eaua de iriga¡ii, râuri ¿i lacuri, fig. 1.25,b ¿i c), profilul de depresiune nu este o linie de curent, chiar în condi¡iile unui regim sta¡ionar (modulul de infiltrare are o valoare constantå, pentru un anumit interval de timp). Se vor studia condi¡iile existente pe suprafa¡a de depresiune într-o asemenea situa¡ie (fig.1.26).

45

Considerând cå dinamica acviferului este determinatå de regimul alimentårii prin infiltrare, se pune condi¡ia de continuitate pe elementul diferen¡ial ABD de adâncime unitarå (AB este profilul de depresiune, AD este o linie de curent ¿i BD o linie echipoten¡ialå):

q KH

sdn Wdx= +

∂

∂. (1.81)

Deoarece:

dn AB dx= =sinsin

cosβ

β

α

¿i:

ds AB dx= =coscos

cosβ

β

α,

rela¡ia (1.81) devine:

∂

∂β

H

x

W

Kctg= (1.82)

Fig.1.26. Stabilirea condi¡iilor de margine pe suprafa¡a de depresiune.

46

Când alimentarea prin infiltrare este nulå WK

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0 , pentru a exista mi¿care

∂∂Hx≠⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

0 , trebuie ca ctg. = .., deci . = 0, ceea ce înseamnå cå profilul de depresiune

devine o linie de curent. Observând cå:

dm AE AB ctg dxctg

= = =ββ

αcos ,

derivata sarcinii piezometrice în raport cu normala la suprafa¡a de depresiune are forma:

∂

∂

∂

∂β α

H

m

H

xtg= cos ,

de unde, ¡inând seama de (1.82), rezultå:

∂

∂α

H

m

W

K= cos . (1.83)

Procedând la fel, se ob¡ine derivata sarcinii piezometrice în raport cu tangenta la suprafa¡a liberå:

∂

∂α

H

l

W

K= sin (1.84)

¥n cazul unei suprafe¡e libere orizontale (punctul D în fig.1.25,c) α = 0, deci derivatele sarcinii piezometrice în raport cu normala ¿i tangenta la profilul de depresiune (rel.1.65 ¿i 1.67), sunt:

∂

∂

∂

∂

H

m

W

Ksi

H

l= ≠ =0 0 (1.85)

ceea ce înseamnå cå în punctul D (punctul de cumpånå hidrogeologicå) profilul de depresiune este o linie echipoten¡ialå, deci verticala DE este o linie de curent. Dacå suprafa¡a liberå este verticalå (por¡iunea B-C, în fig.1.25,b), punând condi¡ia α = 90° în rela¡iile (1.66) ¿i (1.67), se ob¡ine:

∂

∂

H

m= 0 , (1.86)

ceea ce înseamnå cå profilul de depresiune este o linie de curent, deci H = Z, ¿i: ∂

∂

H

l

W

K= = 1, (1.87)

deoarece H Z l BC= = = .

47

2. DINAMICA APELOR SUBTERANE ÎN REGIM NATURAL

2.1. ACVIFERE CU REGIM STAºIONAR-CONSERVATIV Ecua¡ia difuzivitå¡ii hidraulice în cazul acviferelor cu curgere sta¡ionar-conservativå, cantonate în depozite anizotrope, are forma - (v. rel. 1.36):

div (Kh grad H) = 0, (2.1) în care h < M pentru acviferele cu suprafa¡å liberå ¿i h = M pentru acviferele sub presiune. Când terenurile permeabile sunt izotrope rela¡ia (2.1) se reduce la ecua¡ia lui Laplace - (v. rel. 1.26):

div (grad H) = 0. (2.2) ¥n cazul acviferelor cu nivel liber, cantonate în depozite izotrope, dacå patul impermeabil este orizontal, adicå Z0 = constant, (v. fig. 2.1,a), atunci h = H, ¿i deoarece h grad h = grad h2/2, din (2.1) rezultå ecua¡ia lui Forcheimmer - (v.rel.(1.42):

div (grad h2) = 0 (2.3)

Fig. 2.1. Semnifica¡ia înål¡imii (sarcinii) piezometrice pentru acvifere cu nivel liber (a) ¿i sub presiune (b)

48

2.1.1. Curen¡i acviferi plan-verticali în depozite izotrope cu mi¿care uniformå

Deoarece pentru asemenea tipuri de curen¡i geometria acviferelor råmâne neschimbatå în lungul axei Oy, pentru tronsonul în care acestea î¿i påstreazå caracterul plan-vertical, este mai comod så se calculeze debitul unitar q (debitul care traverseazå o sec¡iune cu înål¡imea egalå cu grosimea acviferului ¿i lå¡imea unitarå, normalå pe direc¡ia de curgere). Resursa dinamicå a acviferului pentru un format oarecare se ob¡ine prin multiplicarea debitului unitar q cu lå¡imea L a frontului (Q=qL). ¥n cazul mi¿cårilor uniforme liniile de curent sunt rectilinii ¿i paralele ¿i, în consecin¡å, viteza ¿i sec¡iunea de curgere råmân constante. La acviferele sub presiune acoperi¿ul impermeabil este paralel cu culcu¿ul impermeabil, iar la acviferele cu nivel liber, profilul de depresiune este paralel cu patul impermeabil.

Fig. 2.2 Acvifer plan-vertical cu nivel liber ¿i mi¿care uniformå. Deoarece panta patului impermeabil i = tg β, este identicå cu panta profilului de depresiune I = sin α ≅ tg α (pentru unghiuri mici), problema se reduce la determinarea debitului unitar care, în concordan¡å cu legea lui Darcy, are forma:

q = Kh0 i , (2.4) în care: K - este conductivitatea hidraulicå [m/zi]; h0 - grosimea acviferului normalå pe direc¡ia de curgere; pentru α < 100 grosimea normalå este practic identicå cu cea verticalå.

49

Fig. 2.3. Acvifer plan-vertical sub presiune cu mi¿care uniformå. •Pentru acviferele sub presiune (fig.2.3) ecua¡ia (2.1) se particularizeazå în forma:

( )d

dxKM

dH

dx− 0= , (2.5)

în care:

−KMdH

dxq= , (2.6)

rezultând dq

dx= 0 , deci q = const.

Pentru acvifere sub presiune cantonate în structuri monoclinale, indiferent de înclinarea acestora, rela¡ia (2.6) reprezintå ecua¡ia diferen¡ialå a debitului unitar care prin integrare, mai întâi între x=0 ¿i x=l, iar apoi între 0 ¿i x, se ob¡ine respectiv, expresia debitului unitar:

q KMH H

LKMlm=

−=1 2 (2.7)

¿i ecua¡ia profilului piezometric:

(H Hq )

KMx H

x

LH Hx = − = − −1 1 1 2 , (2.8)

care este ecua¡ia unei drepte.

50

Rezultå cå pentru calcularea debitului unitar ¿i trasarea liniei piezometrice, este necesarå executarea a douå foraje, aliniate dupå direc¡ia principalå de curgere. Pentru acviferele sub presiune cantonate în structuri monoclinale înclinate, profilul piezometric la culcu¿ul acviferului diferå de cel corespunzåtor acoperi¿ului - (v.fig.1.2), pe sec¡iunile hidrogeologice trecându-se, de regulå, profilul piezometric mediu (corespunzåtor mijlocului acviferului). 2.1.2. Curen¡i acviferi plan - verticali în depozite izotrope cu mi¿care

neuniformå

Ecua¡ia (2.1.) se particularizeazå în forma:

( )d

dxKh

dH

dx− 0= , (2.9)

în care:

−KhdH

dxq= , (2.10)

rezultând dq / dx = 0 , deci q = const. 2.1.2.1. Acvifere cu nivel liber cu patul impermeabil orizontal (fig. 2.4.). Integrând ecua¡ia (2.10) între x = 0 ¿i x = L, (H = h1 ¿i H = h2) iar apoi între 0 ¿i x (H = h1 ¿i H = hx), se ob¡ine expresia debitului unitar:

( )qKL

h h Kh h h h

LKh Im m= − =

−⋅

−=

2 212

22 1 2 1 2 (2.11)

¿i ecua¡ia profilului de depresiune:

(h hq )

Kx h

x

Lh hx

212

12

12

222

= − = − − , (2.12)

care este o parabolå (a lui Dupuit). Ecua¡iile (2.11) ¿i (2.12) indicå faptul cå determinarea debitului unitar ¿i trasarea profilului de depresiune necesitå executarea a douå foraje în lungul direc¡iei principale de curgere.

51

Fig. 2.4 Acvifer cu nivel liber cu patul impermeabil orizontal ¿i mi¿care neuniformå. 2.1.2.2. Acvifere cu nivel liber cu patul impermeabil înclinat. Deoarece în cazul acviferelor cu nivel liber se dispune de rela¡ia suplimentarå - (v. rel. 1.11 ¿i fig. 2.1):

H zP

z hw

= + = +γ 0 , (2.13)

rela¡ia (2.1) se particularizeazå în forma:

d

dxKh

dz

dx

dh

dx− +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =0 0 , (2.14)

în care:

− +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =Kh

dz

dx

dh

dxq0 , (2.15)

rezultând dq / dx = 0 , deci q = const. ¥n ecua¡ia (2.15) panta patului impermeabil dz0/dx = const. (fig. 2.5) se noteazå cu:

dzdx

i la curenti con venti

i la curenti ob venti0 =

−+

⎧⎨⎩

sec

sec (2.16)

52

Fig. 2.5. Acvifer cu nivel liber si cu pat impermeabil inclinat si miscare neuniforma.

a.consecvent-ascendent; b.consecvent-descendent; c.consecvent Principiul de rezolvare (Pavlovski) constå în înlocuirea curentului acvifer real, cu mi¿care neuniformå, cu un curent acvifer imaginar, cu mi¿care uniformå, de grosime h0 , echivalent din punct de vedere hidrodinamic:

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=Kh idhhx

Kh im 0 ,

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=hh

idhhx

i0

m (2.17)

53

Dacå se introduce variabila numitå grosime relativå:

η =h

h0

(2.18)

din (2.17) rezultå: - pentru curen¡ii consecven¡i (fig. 2.5, a,b)

dhdx

i= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

1η

(2.19)

- ¿i pentru curen¡ii obsecven¡i (fig. 2.5, c)

dhdx

i= − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

1η

(2.20)

Pentru curen¡ii consecven¡i ascenden¡i (fig. 2.5, a) , h > h0 (η > 1) , din rela¡ia

(2.19) rezultå dh

dx> 0 , deci grosimea acviferului cre¿te în sensul de curgere. La curen¡ii

consecven¡i-descenden¡i (fig. 2.5, b) , h < h0 (h < 1) , dh / dx < 0 , deci grosimea acviferului scade în lungul curentului. În cazul curen¡ilor obsecven¡i (fig.2.5,c), h <

h0(η < 1), din rela¡ia (2.20) rezultå dh

dx< 0 , deci grosimea acviferului scade în sensul

de curgere. ¥nlocuind dh = h0d η , ob¡inut prin introducerea rela¡iei (2.18) - în (2.19) ¿i (2.20), rezultå: - pentru curen¡ii consecven¡i:

i

hdx d

0 1=

−

η

ηη (2.21)

- pentru curen¡ii obsecven¡i

i

hdx d

0 1= −

+

η

ηη (2.22)

¿i integrând în intervalul cuprins între x h h= = =0 1 1 0( / )η η ¿i

x L h= = h=( / )η η2 2 0 se ob¡in ecua¡iile profilelor de depresiune:

- din ecua¡ia (2.21):

( )[ ] ( )[ ]i

hL

0

2 2 1 11= + − − + −η η η ηln ln 1 , (2.23)

pentru curen¡ii consecven¡i ascenden¡i (i0 < 0, h > 1) ¿i

54

( )[ ] ( )[ ]i

hL

0

2 11= + − − + −η η η ηln ln 11 (2.26)

pentru curen¡ii consecven¡i descenden¡i (i0 = 0, h < 1) - ¿i din ecua¡ia (2.24):

( )[ ] ( )[ ]i

hL

0

2 2 11= −η + + − −η + +ln lnη 11 η , (2.25)

pentru curen¡ii obsecven¡i (i0 > 0, h < 1). Folosind datele rezultate din douå foraje aliniate în lungul direc¡iei principale de curgere (h1, h2, L ¿i i), se determinå mai întâi grosimea h0 a curentului cu mi¿care uniformå echivalent din punct de vedere hidrodinamic. În acest scop, ecua¡iile (2.23), (2.24), (2.25) se scriu sub forma:

( ) ( )[ ] ( )iL h f f f h= − =0 2 1 0η η , (2.26)

care este o ecua¡ie implicitå cu o singurå necunoscutå (h0). Se calculeazå f(h0) pentru diferite valori ale lui h0 (alese în concordan¡å cu tipul de curent). În graficul h0=f(h0) se pune condi¡ia iL = f(h0), rezultând valoarea lui h0 care satisface ecua¡ia (2.26). Cunoscând valoarea lui h0 , se calculeazå debitul unitar al acviferului cu ecua¡ia (2.4). Pentru trasarea profilului de depresiune, se scrie ecua¡ia (2.26) pentru un interval cuprins între sec¡iunea x = 0 (h =h1) ¿i o sec¡iune oarecare (x, hx):

( ) ( )[ ]xh

if fx= −0

1η η , (2.27)

în care ηxxh

h=

0

. Dând valori lui hx (cuprinse între h1 ¿i h2), rezultå x

corespunzåtor, deci coordonatele punctelor al cåror loc geometric este profilul de depresiune. 2.1.2.3. Acvifere sub presiune. Ecua¡ia diferen¡ialå a debitului unitar este identicå cu cea folositå la mi¿carea uniformå (v. rel. 2.6):

q KMdH

dxx= − ,

dar în cazul mi¿cårii neuniforme grosimea acviferului este variabilå M = M(x) - (fig.2.6,a respectiv b) ¿i anume:

55

(M Mx

LM MX = + −1 2 )1 , când M1 < M2 (2.28)

¿i:

(M Mx

LM MX = − −1 1 )2 , când M1 > M2 (2.29)

Fig. 2.6. Acvifere sub presiune cu grosime (liniar) variabilå: a - crescåtoare ¿i b - descrescåtoare.

¥nlocuind pe Mx în expresia debitului unitar - de exemplu pentru cazul când M1<M2, separând variabilele ¿i integrând pe intervalul 1-2, rezultå succesiv:

− = ⋅+

− = ⋅+

dHq

K

dx

MM M

Lx

q

K

dx

a cx1

2 1

(în care a = M1 ¿i cM M

L=

−2 1 )

− ∫ =+

∫dHqK c

cdxa cxH

H L

1

2 1

0,

H Hq

K c

a cL

a

q

K

L

M M

M

M1 2

2 1

2

1

1− =

+=

−ln ln

q KH H

LM MM M

Kl Mm m=− −

−=1 2 2 1

2 1ln ln. (2.30)

56

Procedând la fel, pentru cazul când M1 > M2 , se ob¡ine:

q KH H

LM MM M

=− −

−1 2 1 2

1 2ln ln (2.31)

Egalând expresiile debitului unitar, scrise pentru intervalul 1-2 ¿i 1-x , se ob¡in ecua¡iile profilelor piezometrice. 2.1.2.4. Acvifere cu regim hidraulic mixt. Acviferul captiv schematizat în figura 2.8 este sub presiune pe distan¡a L1 ¿i cu nivel liber pe intervalul L1-L , debitele unitare pentru cele douå zone trebuind så fie identice:

( )q KMH M

LqL KM H M=

−→ = −1

11 1 ,

( ) ( )q KMM h

L LqL qL

KM h=

−−

→ − = −2

22

11

222

2 2.

Adunând membru cu membru cele douå ecua¡ii, se ob¡ine expresia debitului unitar în func¡ie de elementele geometrice cunoscute din douå foraje executate în apropierea celor douå râuri:

(qK

LH M M h= − )−

22 1

222 (2.32)

Dacå se egaleazå expresiile debitelor unitare pentru cele douå zone, se ob¡ine abscisa sec¡iunii de la care se schimbå regimul de curgere:

( )KMH M

LK

M hL L

12

22

12−

=−−

,

( )L

ML H M

H M M h1

1

12

22

2

2=

−

− −. (2.33)

Din rela¡ia (2.33) se deduce cå regimul acviferului este influen¡at de grosimea acestuia ¿i de condi¡iile de pe contur ¿i nu depinde de conductivitatea hidraulicå. Dacå se cunoa¿te valoarea lui L1 se poate trasa profilul piezometric (liniar - v. rel.2.8), pentru tronsonul sub presiune. Coordonatele punctelor al cåror loc geometric este profilul de depresiune, pentru zona cu nivel liber, se ob¡in dând valori lui x (L1 < x < L, pentru care h2 < h < M) în ecua¡ia acestuia - (v. rel. 2.12):

57

Fig.2.7. Acvifer cu regim hidraulic mixt. 2.1.3. Curen¡i acviferi radiali în depozite izotrope

¥n unele situa¡ii, curen¡ii acviferi cu nivel liber sau sub presiune, limita¡i lateral de depozite practic impermeabile, pot fi schematiza¡i, în plan orizontal, sub forma de curen¡i radiali divergen¡i sau convergen¡i (fig. 2.8,a ¿i b). Deoarece curen¡ii acviferi radiali nu pot fi ¿i plan verticali (debitul unitar este variabil în sensul de curgere), trebuie considerat debitul total al acviferului, ecua¡ia (2.10) scriindu-se în acest caz sub forma:

Q qb KhbdH

dx= = − (2.34)

2.1.3.1. Acvifere cu nivel liber cu patul impermeabil orizontal. Lå¡imea curentului acvifer (în plan orizontal) într-o sec¡iune oarecare este:

(b bx

Lb bx = + −1 2 )1 , când b1 < b2 (fig. 2.8,a) (2.35)

¿i

(b bx

Lb bx = − −1 1 )2 , când b1 > b2 (fig. 2.8,b). (2.36)

¥nlocuind bx în rela¡ia (2.34), separând variabilele ¿i integrând pe intervalul 1-2 (x=0, h = h1 ¿i x = L, h = h2), se ob¡in expresiile debitului:

Q Kh h

Lb bb b

=− −

−12

22

2 1

2 12 ln ln, când b1 < b2 (2.37)

¿i

Q Kh h

Lb bb b

=− −

−12

12

1 2

1 22 ln ln, când b1 > b2 . (2.38)

58

Fig.2.8. Acvifere radiale.

59

Rela¡iile (2.46) ¿i (2.47) pot fi scrise condensat în forma:

Q v Kl h bm m m m m= =Ω , (2.39)

Egalând expresiile debitului, scrise pentru intervalul 1-2 ¿i 1-x, se ob¡in ecua¡iile profilului de depresiune. 2.1.3.2. Acvifere cu nivel liber cu patul impermeabil înclinat. Debitul acviferului, convergent sau divergent, consecvent sau obsecvent, poate fi calculat cu rela¡ia:

Q v KH H

L

h b h bm m= =

− +Ω 1 2 1 1 2 2

2, (2.40)

care poate fi rescriså sub forma:

Q Kh h il

L

h b h b=

− + +1 2 1 1 2 2

2,când i < 0 (fig. 2.9,d) (2.41)

¿i

Q Kh h iL

L

h b h b=

− − +1 2 1 1 2 2

2,când i > 0 (fig. 2.9,e) (2.42)

i fiind panta medie a patului impermeabil. Egalând expresiile debitului, scrise pentru intervalul 1-2 ¿i 1-x, se ob¡in ecua¡iile profilelor de depresiune. Pentru trasarea profilului de depresiune, se dau valori lui x, cuprinse între 0 ¿i L, se calculeazå bx corespunzåtor cu (2.35) sau (2.36). 2.1.3.3. Acvifere sub presiune •Grosimea acviferului este constantå (fig. 2.8,a, b ¿i f) Ecua¡ia diferen¡ialå a debitului (2.34) se scrie sub formå:

Q KMbdH

dx= . (2.43)

¥nlocuind pe b cu expresiile (2.44) ¿i (2.45) ¿i integrând pentru intervalul 1-2 (x=0, H = Hl ¿i x = L, H = H2), rezultå:

Q KMH H

L

b b

b b=

− −

−1 2 2 1

2 1ln ln,când b1 < b2, (2.44)

¿i

Q KMH H

L

b b

b b=

− −

−1 2 1 2

1 2ln ln,când b1 > b2. (2.45)

60

Egalând expresiile debitului, scrise pentru intervalul 1-2 ¿i 1-x, se ob¡in ecua¡iile profilelor piezometrice. •Grosimea acviferului este variabilå (fig. 2.8a, b, h ¿i e). Debitul acviferului, convergent sau divergent, cu grosimea (linear) crescåtoare sau descrescåtoare în sensul de curgere, poate fi calculat cu rela¡ia:

Q v KH H

L

M b M bm m= =

− +Ω 1 2 1 1 2 2

2, (2.46)

iar ecua¡ia profilului piezometric prin egalarea expresiilor debitului scrise pentru intervalele 1-2 ¿i 1-x. 2.1.4. Curen¡i acviferi cantona¡i în depozite ortotrope

Mediile ortotrope au permeabilitatea constantå dupå douå direc¡ii ortogonale (de exemplu, kx / kZ = const.). Acviferele cantonate în depozitele ortotrope pot fi transformate în acvifere imaginare, echivalente din punct de vedere hidrodinamic, cantonate în depozite izotrope, prin distorsionåri geometrice corespunzatoare. Spre exemplu, în cazul unui curent acvifer plan vertical, dacå direc¡iile principale de anizotropie sunt x ¿i z (kx/kZ=const. ¿i > 1), se distorsioneazå geometria acviferului real dupå direc¡ia lui x astfel încât så rezulte un acvifer cantonat într-un mediu permeabil izotrop cu conductivitatea hidraulicå k = kx =kZ , care så transporte acela¿i debit cu cel real în condi¡iile men¡inerii sarcinii hidraulice ini¡iale pe limitele laterale. Dacå, în condi¡ii reale, coordonatele unui punct sunt x ¿i z, în condi¡ii distorsionate coordonatele aceluia¿i punct vor fi X ¿i Z, astfel încât:

Xx

=α

¿i Z = z. (2.47)

Fig.2.9. Transformarea unui mediu permeabil ortotrop (a) într-un mediu imaginar izotrop (b)

prin distorsionare geometricå pe direc¡ia x.

61

Se scriu expresiile debitelor unitare pentru elementul de volum cu grosime unitarå considerat în fig. 2.9. în cele douå sisteme de coordonate:

q KH

xzx x

x=∆

∆∆ ¿i q K

H

xxz z

z=∆

∆∆ ,

q KHX

ZXX=

∆∆ ∆ ¿i q K

H

ZXZ

Z=∆

∆∆

qx = qX ; qz = qZ ; Hx = HX ; (∆Hx = ∆HX) ¿i Hz = HZ ; (∆Hz = ∆HZ) ¿i ¡inând seama de (2.47), rezultå:

α =K

Kx

z

(2.48)

K K Kx z= . (2.49)

Rela¡ii similare se pot ob¡ine ¿i în cazul curen¡ilor plan-orizontali. Cunoscând geometria acviferului distorsionat cu conductivitatea hidraulicå echivalentå K, se pot calcula debitele ¿i se traseazå profilele de depresiune (sau piezometrice) folosind modelele de calcul deduse în § 2.1.1 ¿i 2.1.2 pentru depozite izotrope. 2.1.5. Curen¡i acviferi în depozite neomogene ¿i anizotrope

2.1.5.1. Spectrul hidrodinamic. ¥n cazul terenurilor permeabile neomogene ¿i anizotrope, este evident cå cele douå familii de curbe nu mai sunt ortogonale ¿i nici nu formeazå o re¡ea de dreptunghiuri curbilinii. ¥n lungul unui tub de curent debitul råmâne înså constant. La traversarea limitei litologice dintre douå forma¡iuni, fiecare dintre acestea fiind omogenå ¿i izotropå, liniile de curent suferå un fenomen de refrac¡ie, similar cu refrac¡ia luminii, exprimat prin rela¡ia (fig. 2.11):

tg

tg

K

K

β

β1

2

1

2

= . (2.50)

62

Fig.2.10. Refrac¡ia liniilor de curent la traversarea unei limite litologice

Graficul prezentat în figura 2.11, construit cu rela¡ia (2.50), permite deducerea dependen¡ei dintre unghiurile β1 ¿i β2 pentru diferite valori ale raportului conductivitå- ¡ilor hidraulice ale celor douå medii permeabile. ¥n figura 2.12 sunt prezentate trei situa¡ii interesante din punct de vedere practic:

a) K K tg1 2 1 10 02

≠ = → = ∞ → =; β βπ

, (2.51)

deci liniile de curent sunt paralele cu limita impermeabilå (limita impermeabilå este spålatå de o linie de curent) - concluzie identicå cu cea exprimatå de rela¡ia (1.77).

b) ( )K K tg deci tg1 2 1 1 2 20 02

<< → → → ∞ →⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟, ,β β β β

π (2.52)

adicå în zona cu permeabilitate micå liniile de curent sunt apropiate de verticalå, iar în zona cu permeabilitate mult mai mare, liniile de curent sunt practic orizontale.

c) K K deci tg1 2 2 20 0= ∞ 0≠ = → =; , β β (2.53)

rezultând cå suprafe¡ele filtrante (de aflorare) prin care se realizeazå alimentarea (sau descårcarea) acviferului din (sau spre) re¡eaua hidrogeograficå, canale, lacuri, etc., sunt suprafe¡e echipoten¡iale - vezi fig. 1.22, a.

¥n medii anizotrope, liniile de curent se intersecteazå cu liniile echipoten¡iale sub un unghi α variabil (fig. 2.13):

αβ β

=+

−arctg

K tg K ctg

K Kz x

z x

63

Fig.2.11. Modificarea unghiurilor de refrac¡ie în func¡ie de valoarea raportului conductivitå¡ilor

hidraulice [32].

Fig. 2.12. Cazuri particulare de refrac¡ie a liniilor de curent: a - limita acvifer-pat impermeabil; b - limita litologicå dintre douå strate permeabile; c - limita acvifer-frontierå de descårcare (râu). ¥n cazul terenurilor permeabile stratificate, liniile de curent nu sunt deviate atunci când curgerea este paralelå cu stratifica¡ia sau când este normalå pe aceasta. ¥n prima situa¡ie conductivitatea hidraulicå a ansamblului este maximå, iar în cea de a doua este minimå. ¥ntre cele douå cazuri limitå existå o multitudine de situa¡ii intermediare (pentru 0 < β1 < 900).

64

Fig. 2.13. Spectrul hidrodinamic în medii anizotrope. Φ - echipoten¡iale, Ψ - linii de curent. 2.1.5.2 Curgerea este paralelå cu stratifica¡ia (fig. 2.14). Atât la acviferele cu nivel liber cât ¿i la cele sub presiune, mi¿carea poate fi consideratå uniformå. Debitul acviferului este suma debitelor filtrate prin stratele permeabile componente. Astfel, pentru acvifere cu nivel liber (fig. 2.14,a - v. rel. 2.4):

( ) ( )( )( )q q q q i K h K h K h

i K h K h K h h h h

h h h= + + = + + =

+ + + +

+ +1 2 3 1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3 1 2 3

1 2 3

(2.54)

în care:

KK h

hM

i in

in

=∑

∑1

1

(2.55)

este conductivitatea hidraulicå echivalentå (maximå) a acviferului, pentru situa¡ia în care curgerea este paralelå cu stratifica¡ia.

Fig. 2.14. Acvifere cu nivel liber (a) ¿i sub presiune (b) în care curgerea este paralelå cu stratifica¡ia.

65

Procedând la fel pentru acviferele sub presiune (fig. 2.14b), se obtine:

KK M

MM

i in

in

=∑

∑1

1

(2.56)

2.1.5.3. Curgerea este normalå pe limitele litologice (fig. 2.15). Atât la acviferele cu nivel liber cât ¿i la cele sub presiune, mi¿carea este neuniformå. Debitul unitar al acviferului fiind conservativ, modificårile de permeabilitate, în sensul de curgere determinå schimbåri ale gradien¡ilor hidraulici (gradien¡ii hidraulici sunt invers propor¡ionali cu conductivitatea hidraulicå).

Fig. 2.15. Acvifere cu nivel liber (a) ¿i sub presiune (b) in care curgerea este normala pe limitele litologice.

Pentru acvifere cu nivel liber (fig. 2.15,a) expresia debitului pentru cele douå zone este:

q Kh h

Lh h q

L

K=

−→ − =−

−112

1 22

1

12

1 22 1

122 ,

q Kh h

Lh h q

L

K=

−→ − =−

−21 22

22

1

1 22

22 2

222 ,

¿i adunând membru cu membru, rezultå:

h h qL

K

L

K12

22 1

1

2

2

2− = +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟,

66

qh h h h

L LL LLk

Lk

=+ −

++

+

1 2 1 2

1 2

1 2

1

1

2

2

2 (2.57)

în care conductivitatea hidraulicå echivalentå (minimå) este:

KLLK

mi

n

i

i

n

= ∑

∑

1

1

(2.58)

valabilå ¿i pentru acviferele sub presiune (fig.2.15,b). Dacå liniile de curent formeazå un unghi oarecare α cu planele de stratifica¡ie, atunci, aplicând principiul energiei cheltuite minime, conductivitatea hidraulicå echivalentå a acviferului se determinå cu rela¡ia:

KK K

K KM m

M m

α α α=

+sin cos2 2, (2.59)

KM ¿i Km având expresiile ¿i semnifica¡iile stabilite anterior. 2.1.5.4. Permeabilitatea variazå pe verticalå.

Acviferul neomogen ¿i anizotrop prezentat în figura 2.16. poate fi separat în douå fragmente cu acela¿i nivel piezometric - unul inferior sub presiune ¿i altul superior cu nivel liber, - debitul total rezultând din însumarea debitelor acestora:

q Kh h

LK M

h h

L=

−+

−1

12

22

21 2

2 (2.60)

Fig.2.16. Acvifer cu nivel liber în care permeabilitatea variazå pe verticalå.

67

Ecua¡ia profilului de depresiune rezultå din egalarea expresiilor debitului unitar scrise pentru intervalul 1-2 ¿i 1-x :

Kh h

LK M

h h

LK

h h

xK M

h h

xx x

112

22

21 2

112 2

21

2 2

−+

−=

−+

− ,

( ) ( )[ ]( ) ( )x

K h h K M h h L

K h h K M h h

x=

− + −

− + −

1 12 2

2 1

1 12

22

2 1 2

2

2

x , (2.61)

din care, dând valori lui hx (cuprinse între h1 ¿i h2 ) se ob¡ine x corespunzåtor. 2.2. ACVIFERE CU REGIM STAºIONAR - NECONSERVATIV.

Ecua¡ia difuzivitå¡ii hidraulice pentru acviferele cu regim sta¡ionar - neconservativ, cantonate în depozite anizotrope, are forma - (v. rel. 1.38):

div (-T grad H) = W, (2.62) în care T este transmisivitatea acviferului ¿i W - debitul uniform distribuit de alimentare (sau descårcare) prin infiltrare (sau evaporare) sau prin drenan¡å. Pentru acviferele cu nivel liber plan-orizontale cantonate în depozite izotrope ecua¡ia (2.62) devine - (v. rel. 1.40):

div h grad HW

Ki( )− = (2.63)

iar dacå patul impermeabil este orizontal (h = H), se ajunge la o ecua¡ie de tip Poisson:

div grad hW

Ki( )− =2 2. (2.64)

¥n ecua¡iile (2.63) ¿i (2.64), Wi reprezintå modulul de alimentare prin infiltrare (modul de infiltrare eficace). Pentru acvifere sub presiune plan-orizontale, cantonate în depozite izotrope, debitul uniform distribuit de alimentare (sau descårcare) prin drenan¡å, în concordan¡å cu legea lui Darcy, are expresia (fig. 2.17 ¿i 2.18):

[W KH ]

MK H L L T LTd

xd x= = →− − −'

'

∆∆ 3 2 1 1 , (2.65)

în care: K'[LT-1] - este conductivitatea hidraulicå verticalå a culcu¿ului sau acoperi¿ului semipermeabil; M' [L] - grosimea culcu¿ului sau acoperi¿ului semipermeabil;

68

∆HX[L]- diferen¡a dintre sarcina piezometricå (consideratå constantå) a acviferului din care este alimentat sau spre care se descarcå, prin drenan¡å, acviferul studiat ¿i sarcina piezometricå (variabila) a acestuia, într-un punct oarecare;

KK

MTd = −'

'[ 1 ] , (2.66)

este coeficientul de drenan¡å, numeric egal cu debitul de alimentare (sau descarcåre) prin drenan¡å (Wd ) la o diferen¡å de sarcinå piezometricå (∆HX) unitarå. Dacå se introduce nota¡ia:

B TM

K

T

Kd

2 = ='

' , (2.67)

în care B[L] este factorul de drenan¡å ¿i T = k M este transmisivitatea acviferului studiat, expresia debitului distribuit de alimentare (sau descårcare) prin drenan¡å (2.65) devine:

W THBd

x=∆

2 , (2.68)

iar ecua¡ia difuzivitå¡ii hidraulice (2.62) - în care T = const. ¿i W = Wd , se particularizeazå în forma:

div grad HH

Bx+ =

∆2

0 , (2.69)

unde ∆Hx = H1 - H (fig. 2.17a), respectiv ∆Hx = H2 - H=-( H - H2 ) (fig. 2.17b), dupå cum acviferul studiat recep¡ioneazå sau pierde apa transferatå prin culcu¿ul sau acoperi¿ul såu semipermeabil.

Fig. 2.17. Acvifere sub presiune, cu dezvoltare mare în plan orizontal ¿i regim sta¡ionar - neconservativ, alimentate (a) ¿i cu descårcare (b) prin drenan¡å.

69

Fig. 2.18. Acvifere sub presiune cu dezvoltare limitatå în plan orizontal ¿i regim sta¡ionar - neconservativ.

2.2.1. Curen¡i acviferi cu nivel liber, plan-verticali, cantona¡i în interfluvii.

Dinamica acviferelor cu nivel liber freatice este puternic influen¡atå de alimentarea prin infiltra¡ii de la suprafa¡a terenului. Deoarece principalele surse ale infiltra¡iilor (precipita¡iile, apa pierdutå din sistemele hidrotehnice ¿i de irigat, precum ¿i în zonele platformelor industriale, etc) au caracter variabil, este clar cå, la scara unui an, regimul curen¡ilor acviferi alimenta¡i din acestea este nesta¡ionar ¿i neconservativ. ¥n toate situa¡iile înså, dupå un studiu atent al varia¡iilor modulului de infiltrare, se pot realiza schematizåri ale condi¡iilor de margine, admi¡ându-se valori medii caracteristice pentru modulul de infiltrare eficace, astfel încât se poate admite cå regimul de curgere - hidrodinamic echivalent celui real, la scara unei perioade lungi de timp-, este sta¡ionar - neconservativ. ¥n majoritatea situa¡iilor practice, este indicat så se calculeze, mai întâi, pozi¡ia finalå a profilului de depresiune în regim sta¡ionar - care se face mai rapid ¿i mai simplu - ¿i numai când se impune precizarea pozi¡iei suprafe¡ei de depresiune la diverse momente intermediare (sau când se cere determinarea timpului necesar pentru atingerea diverselor pozi¡ii), så se recurgå la prognozå în regim nesta¡ionar - mai laborioaså ¿i necesitând un timp mai mare de lucru. ¥n func¡ie de sursa ¿i de felul în care se realizeazå alimentarea, se deosebesc douå situa¡ii caracteristice: alimentarea poate fi consideratå practic uniformå la scara întregului interfluviu - în special datoritå precipita¡iilor - ¿i alimentarea se face în benzi - în special datoritå iriga¡iilor. Alimentarea datoritå iriga¡iilor se suprapune peste cea determinatå de precipita¡ii. Definirea din punct de vedere hidrodinamic a curentului acvifer în regim sta¡ionar presupune cunoa¿terea debitului unitar în orice sec¡iune, trasarea profilului de depresiune ¿i precizarea pozi¡iei cumpenei hidrogeologice (dacå este cazul).

70

2.2.1.1. Efectul alimentårii uniforme, la scara întregului interfluviu, din

precipita¡ii. Pentru determinarea expresiei debitului unitar în orice sec¡iune a interfluviului, se scrie ecua¡ia difuzivitå¡ii hidraulice pentru cazul curen¡ilor plan-verticali (fig. 2.19,a):

Fig. 2.19. Acvifere cu nivel liber cu regim sta¡ionar-neconservativ (a); b - necesitatea coborârii

suprafe¡ei libere; c - acvifer simetric; d - dimensionarea drenajului orizontal.

d

dxKh

dh

dxWi−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = , (2.70)

care, deoarece -Kh(dh/dx) = q , mai poate fi scriså în forma:

dq = Wi dx. (2.71) Integrând ecua¡ia (2.71) de la x = 0 la x, respectiv de la q1 la qx , rezultå:

q Khdh

dxq W xx = − = +1 i , (2.72)

71

sau:

− = +hdhq

Kdx

W

Kx dxi1 ,

care, prin integrare de la x = 0 la x = L , respectiv de la h = h1 la h = h2 (rezultate din douå foraje executate la limitele interfluviului), conduce la expresia debitului în sec¡iunea ini¡ialå:

( )qKL

h h WL

i1 12

22

2= − −

2. (2.73)

¥nlocuind expresia ob¡inutå pentru q1 în (2.72) , se ob¡ine ecua¡ia debitului unitar într-o sec¡iune oarecare x:

( )qK

Lh h W

Lxx = − − −i

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2 212

22 , (2.74)

cu care se poate calcula valoarea debitului unitar în orice sec¡iune a interfluviului, dând lui x valori corespunzåtoare (0 < x < L). De exemplu, pentru x = 0 rezultå q1 - (rela¡ia 2.73), iar pentru x = L , expresia debitului în sec¡iunea 2:

( )qKL

h h WL

i2 12

22

2 2= − + . (2.75)

¥n § 1.5.3, s-a demonstrat cå în punctul de cumpånå hidrogeologicå (punctul A în fig. 2.19,a), profilul de depresiune este o echipoten¡ialå - verticala AB fiind o linie de curent - deci în sec¡iunea de cumpånå q = 0. ¥n zona din stânga sec¡iunii de cumpånå, debitul unitar este negativ (curgerea se face invers sensului lui x) ¿i are valoarea maximå în sec¡iunea l - (rel.2.73). ¥n zona din dreapta sec¡iunii de cumpånå debitul unitar este pozitiv ¿i are valoarea maximå în sec¡iunea 2 - (rel. 2.75). Dacå, cotele la oglinda apei în cele douå våi (canale sau drenuri orizontale) sunt identice (h1 = h2- v.fig. 2.19,c ¿i d), atunci:

q WL

si q WL

1 22 2

= − = .

Când alimentarea prin infiltrare dispare (sau este imposibilå), regimul acviferului devine sta¡ionar ¿i conservativ, debitul unitar fiind constant indiferent de sec¡iunea de curgere, din (2.74) rezultând o rela¡ie identicå cu (2.13):

( )qK

Lh h= −

212

22 .

72

¥n sec¡iunea de cumpånå (x = xc) debitul acviferului este nul, deci rela¡ia (2.74) se scrie sub forma:

( )K

Lh h W

Lxi c

2 201

222− − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ,

din care rezultå abscisa punctului de cumpånå hidrogeologicå:

xL K

W

h h

Lc

i

= −−

2 212

22

. (2.76)

Rela¡ia (2.76) permite deducerea urmåtoarelor observa¡ii: - Când cotele la oglinda apei în cele douå våi sunt egale (h1 = h2) , xc = L /2, deci cumpånå hidrogeologicå este plasatå la jumåtatea lå¡imii interfluviului (fig. 2.19,c). - Dacå h1 > h2 → xc < L /2 ; când h2 > h1 → xc > L /2 . Rezultå cå cumpåna hidrogeologicå se deplaseazå spre valea cu cota mai ridicatå. Punând condi¡iile xc = 0 ¿i xc = L , din rela¡ia (2.76) rezultå raportul dintre h1 ¿i h2 pentru care cumpåna hidrogeologicå se gåse¿te în sec¡iunea ini¡ialå ¿i, respectiv, în cea finalå. Când diferen¡a dintre cotele nivelelor celor douå våi depåse¿te valorile rezultate din condi¡ia anterioarå, atunci xc devine negativ sau mai mare decât L, deci nu existå cumpånå hidrogeologicå (gradien¡ii hidraulici între cele douå våi depå¿esc valoarea începând de la care nu mai poate exista cumpånå hidrogeologicå). Egalând expresiile debitului unitar scrise pentru intervalul 1-2 ¿i 1-x , se ob¡ine ecua¡ia profilului de depresiune:

( ) ( )K

Lh h W

L K

xh h W

xi x i

2 2 2 212

22

12 2− − = − − ,

( ) ( )h hx

Lh h

W

Kx L xx x

i= − − + −12

12 2 . (2.77)

Pentru trasarea profilului de depresiune, se dau valori lui x (0 < x < L), ¿i se calculeazå hx corespunzåtor. Pentru x = xc calculat cu rela¡ia (2.76), se determinå ordonata punctului de cumpånå hidrogeologicå (hc). Dacå în cadrul interfluviului apar zone depresionare în care suprafa¡a de depresiune intersecteazå suprafa¡a morfologicå (fig. 2.19,b), este necesarå executarea unui dren orizontal care så asigure coborârea corespunzåtoare a suprafe¡ei apelor subterane. Când patul impermeabil, practic orizontal, este plasat deasupra talvegului celor douå våi (h1 = h2 = 0) , acviferul se descarcå simetric prin intermediul a douå linii de izvoare (fig. 2.19a). ¥n aceste condi¡ii, ecua¡ia profilului de depresiune (2.77) devine:

73

(hW

)K

x L xxi2 = − . (2.79)

Mutarea originii sistemului de coordonate la mijlocul interfluviului impune substitu¡iile (fig. 2.19,c): x = xc - x' ¿i L = 2xc , care înlocuite în (2.78) conduc la:

(hW )K

x xxi

c2 2= − 2 . (2.79)

Deoarece pentru x' = 0 → hx = hc, rezultå W/K = hc

2 / xc

2, care, înlocuit în (2.79), conduce la o altå formå a ecua¡iei profilului de depresiune:

h

h

x

xx

c c

2

2

2

21+ = , (2.80)

care este o elipså cu semiaxele hc ¿i xc (coordonatele punctului de cumpånå hidrogeologicå). Se remarcå faptul cå, în asemenea situa¡ii simple, pentru trasarea profilului de depresiune sunt suficiente datele ob¡inute dintr-un singur foraj executat indiferent unde în interiorul interfluviului: x este abscisa forajului, hx este grosimea acviferului interceptatå în foraj, xc = L /2, putându-se deduce valoarea lui hc din rela¡ia (2.80). Pentru deducerea distan¡ei dintre drenurile (perfecte) prezentate în figura 2.19,d astfel încât hc så råmânå sub nivelul impus de diverse folosin¡e, se scrie ecua¡ia (2.78) pentru punctul de cumpånå (x = xc = L /2 , hx = hc):

hL W

Kc

i=2

. (2.81)

Se constatå cå toate ecua¡iile (stabilite anterior) care permit determinarea elementelor hidrodinamice ale acviferelor freatice cantonate în interfluvii (debitul unitar, profilul de depresiune ¿i abscisa cumpenei) îl con¡in pe Wi. ¥ntrucât valoarea modulului de infiltrare (eficace) este greu de determinat direct (experimental), în majoritatea situa¡iilor se preferå deducerea acestuia pe baza måsuråtorilor sistematice ale acviferelor freatice într-un sistem de piezometre. Explicitând pe Wi din ecua¡ia profilului de depresiune (2.77) se ob¡ine:

( ) ( )W K

h h

L L x

h h

x L xi

x=−

−−

−

−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥1

222

12 2

. (2.82)

Rezultå cå pentru a putea determina elementele hidrodinamice ale unui curent acvifer freatic dintr-un interfluviu, este necesarå executarea a minimum trei foraje, aproximativ coliniare, plasate în lungul direc¡iei principale de curgere, din care douå în sec¡iunile laterale (în apropierea centrilor de drenaj) ¿i unul în interiorul interfluviului, indiferent unde.

74

2.2.1.2. Efectul alimentårii în bandå, din iriga¡ii sau lucråri hidrotehnice. Se considerå cazul în care suprafa¡a irigatå are forma unei benzi paralele cu râul (fig.2.20).

Fig. 2.20. Efectul alimentårii în banda de iriga¡ii: Pentru intervalul 0-l , expresia debitului unitar este - (v. rel. 2.72):

q Khdh

dxq W xx x

xi= − = +1 (2.83)

sau

h dhq

Kx

W

Kx dxx x

i= − −1 ,

care dupå integrare conduce la:

hq

Kx

W

Kx Cx

i2 1 22= − − + .

Pentru determinarea constantei C, se pune condi¡ia de margine:

x L h hx= → = 2 ,

rezultând:

C hq

KL

W

KLi= + +2

2 1 22

¿i

( ) (h hq )K

L xW

KL xx

i222 1 2 22

= + − + − . (2.84)

75

¥n intervalul dintre sec¡iunea 2 ¿i râu, mi¿carea poate fi consideratå sta¡ionarå-conservativå, deci ecua¡ia lui Dupuit este valabilå:

( )( )

q WlK h h

L li

r

1

22 2

2+ =

−

−,

( )( )h h

q W l L l

Kr

i

22 2 12

= ++ −

,

care înlocuit în (2.84), conduce la:

( ) (h hq )K

L xW

KLl l xx

i222 1 2 22

2= + − + − − . (2.85)

Dacå se admite cå în situa¡ia ini¡ialå debitul acviferului, în intervalul dintre por¡iunea 1 ¿i râu, era pu¡in influentat de alimentarea din precipita¡ii, atunci se poate admite valabilitatea ecua¡iei lui Dupuit (regim sta¡ionar conservativ):

( ) ( ) ( )( )

( )( )

qK h h

l

K h h

L

K h h

L l

K h h

L x

r r x r

112

22

12 2

22 2 2 2

2 2 2 2=

−=

−=

−

−=

−

−.

¥nlocuind pe q1 în (2.85) cu ultima din expresiile de mai sus, se ob¡ine:

( )h hW

KLl l xx x

i= + − −2 22 2 , (2.86)

în care:

( )h hx

lh hx = − +1

212

22 . (2.87)

Dând valori lui x în intervalul 0-l , se calculeazå mai întâi hx dupå care din rela¡ia (2.86) rezultå hx .

Dacå alimentarea din precipita¡ii în zona studiatå nu poate fi neglijatå, atunci pozi¡ia finalå a profilului de depresiune se determinå cu ecua¡ia(2.85) în care q1 se calculeazå cu ecua¡ia (2.74), iar în valoarea lui Wi se cumuleazå alimentarea din precipita¡ii cu cea localå din suprafa¡a irigatå. Se pot face urmåtoarele observa¡ii: - Pentru trasarea pozi¡iei finale a profilului de depresiune în zona irigatå, trebuiesc cunoscute urmåtoarele elemente: grosimile ini¡iale ale acviferului în sec¡iunile 1 ¿i 2 (douå foraje), conductivitatea hidraulicå medie ¿i valorile modulului de infiltrare eficace corespunzåtor variantelor de lucru luate în considerare.

76

- Dacå se dispune de încå un piezometru plasat între sec¡iunile 1 ¿i 2, în care se înregistreazå varia¡ia suprafe¡ei libere (modificarea în timp a lui hx , pentru un x dat),

din rela¡ia (2.85) rezultå - pentru pozi¡ia finalå a profilului de depresiune - valoarea medie realå a modului de infiltrare eficace. - Construirea profilului de depresiune între sec¡iunea 2 ¿i râu se face cu ajutorul ecua¡iei lui Dupuit (2.87). 2.2.2. Curen¡i acviferi plan-orizontali alimenta¡i prin infiltrare în zona

platformelor industriale

Se admite cå suprafa¡a circularå echivalentå celei reale (de alimentare a acviferului) are raza r0. ¥n interiorul incintei, debitul care traverseazå suprafa¡a lateralå a cilindrului de razå r < r0 ¿i înål¡ime hr, provenit în întregime din infiltrare, este:

Q r W rhdh

drKr i r

r= = −π π2 2 ,

rezultând ecua¡ia:

h dhW

Kr drr r

i= −1

2 ,

care, dupå integrare, ia forma:

hW

Kr Cr

i2 21

1

2= − + (2.88)

Fig.2.21. Efectul alimentårii prin infiltrare în zona platformelor industriale: a-sec¡iune transversalå, b-situa¡ia în plan orizontal.

77

Punând condi¡ia de margine r = r0 → hr = hr0 se ob¡ine valoarea constantei C1

C hW

Krr

i1

202

0

1

2= + ,

care înlocuitå în (2.88) conduce la :

(h hW )K

r rr ri2 2

02 2

0

1

2= + − (2.89)

Valoarea lui hr , necunoscutå, rezultå din expresia debitului la distan¡a r > r

0 0 :

Q r W rhdh

drKr i r

r= = −π π02 2 ,

h dhr W

K

dr

rr r

i= − 02

2 ,

care, dupå integrare, conduce la:

h rW

Kr Cr

i202

2= − +ln , (2.90)

Punând condi¡ia de margine r = R (raza de alimentare) → hr = h0 (grosimea ini¡ialå a aviferului), rezultå:

C h rW

KRi

2 02

02= + ln

¿i înlocuind în (2.90) se ob¡ine:

h h rW

K

R

rr

i202

02= + ln , (2.91)

în care punând condi¡ia r = r0 → hr = hr0 ¿i înlocuind pe hr0 în (2.89) , rezultå ecua¡ia finalå a profilului de depresiune:

(h hW

Kr

R

rr rr

i

0

202

02

0

02 21

2= + + − )

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

ln . (2.92)

Grosimea maximå a acviferului se ob¡ine din (2.92) punând condi¡ia r=0→hr=hmax:

h hW

Kr

R

ri

max ln .= + +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟0

202

0

0 5 (2.93)

Dacå incinta se aflå în apropierea unui râu sau lac la distan¡a L< R , se va considera R = 2L.

78

2.2.3. Curen¡i acviferi plan-verticali sub presiune cantona¡i în depozite izotrope

¥n cazul curgerii sta¡ionare-neconservative în acvifere sub presiune, plan-verticale, caracterizatå printr-un factor de drenan¡å B = (T/Kd )

1/2 constant (în care Kd =K'/M' este coeficientul de drenan¡å, v. figura 2.17 ¿i rela¡iile 2.66 ¿i 2.67), în care sarcina piezometricå este func¡ie numai de coordonata cartezianå x , ecua¡ia (2.69) devine:

d H

dx

H H

B

2

21

20+

−= , (2.94)

pentru situa¡ia când acviferul este alimentat prin drenan¡å (fig. 2.17,a), ¿i:

d H

dx

H H

B

2

22

20+

−= , (2.95)

pentru situa¡ia când acviferul se descarcå prin drenan¡å (fig. 2.17,b). Ecua¡iile diferen¡iale (2.94) ¿i (2.95) sunt lineare ¿i omogene, integralele lor fiind de forma:

H H C e C ex

B

x

B1 1 2− = +

− (2.96)

¿i:

H H C e C ex

B

x

B− = +−

2 3 4 (2.97)

Constantele C1, C2, C3 ¿i C4 se determinå din condi¡iile de margine corespunzåtoare situa¡iei studiate. În continuare se prezintå câteva exemple. 2.2.3.1. Acvifere cu dezvoltare mare în plan orizontal alimentate prin drenan¡å. Pentru simplificare, în figura 2.17,a este schematizatå situa¡ia în care alimentarea se face dintr-un lac. Situa¡ia este identicå în condi¡iile în care alimentarea se face dintr-un acvifer cu nivel liber sau sub presiune cu nivelul piezometric constant (H1), considerat practic orizontal. Impunând condi¡iile de margine corespunzåtoare, din rela¡ia (2.96) rezultå:

x = 0 , H = H0 → H1 - H0 = C1 + C2, ¿i

x = - ∞ , H = H1 → 0 = C1 e- ∞ + C2 e

+ ∞ → C2 = 0, deci

C1 = H1 - H2.

79

¥nlocuind constantele C1 ¿i C2 în rela¡ia (2.96) se ob¡ine:

H = H1 - (H1 - H0 )ex

B , (2.98) care este ecua¡ia profilului piezometric al acviferului studiat. Debitul unitar al acviferului în sec¡iunea x = 0 este:

q TdH

dxT

H H

Be T

H H

Bx

x

B

x

= − =−

=−

= =0

1 0

0

1 0 . (2.99)

Formula (2.99) indicå faptul cå debitul unitar se poate ob¡ine considerând cå mi¿carea are loc numai în acviferul sub presiune (fårå alimentare prin drenan¡å), întreaga pierdere de sarcinå realizându-se pe lungimea echivalentå ∆L = B. În aceastå premizå, profilul piezometric echivalent este o dreaptå, desenatå cu linie întreruptå în figura 2.17,a. 2.2.3.2. Acvifere cu dezvoltare mare în plan orizontal cu descårcare prin drenantå. Punând condi¡iile de margine în concordan¡å cu sistemul de coordonate ales - fig.2.17,b, din rela¡ia (2.97) rezultå:

x = 0 , H = H0 → H0 - H2 = C3 + C4

¿i x = ∞ → , H = H2 → 0 = C3e

+∞ + C4e- ∞ → C3 = 0,

deci: C4 = H0 - H2

¥nlocuind constantele C3 ¿i C4 în (2.97) , se ob¡ine:

H = H2 + (H0 - H2 )ex

B−

, (2.100) care este ecua¡ia profilului piezometric. Debitul acviferului în sec¡iunea x = 0 este:

q TdH

dxT

H H

Be T

H H

Bx

x

B

x

= − =−

=−

=

−

=0

0 2

0

0 2 , (2.101)

identic cu debitul aceluia¿i acvifer cu mi¿care sta¡ionarå - conservativå, astfel încât pe lungimea echivalentå ∆L = B pierderea de sarcinå så fie H0 - H2.

80

2.2.3.3. Acvifere cu devoltare limitatå în plan orizontal alimentate prin drenan¡å. Punând condi¡iile de margine în concordan¡å cu situa¡ia schematizatå în figura 2.18, din ecua¡ia (2.96) rezultå:

x = 0 , H = H1 → C1 + C2 = 0 → C2 = - C1,

x x H H H H C e C ex x

x

B

x

B= = → − = +−

, 1 1 2 ,

x L H H H H C e C eL L

L

B

L

B= = → − = +−

, 1 1 2 deci

H H

H H

e e

e e

x

L

x

B

x

B

L

B

L

B

1

1

−

−=

−

−

−

−

( )H H H H

Shx

B

ShL

B

x L= − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 1 , (2.102)

care este ecua¡ia profilului piezometric, în care Shx

B

e ex

B

x

B⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−−

2.

Debitul acviferului în sec¡iunea x = L este:

q TdHdx

TH H

BShLB

e eT

H H

BthLB

x

L

xB

xB

x

L= − =−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

−

=0

1

0

1

2, (2.103)

identic cu debitul aceluia¿i acvifer cu mi¿care sta¡ionarå - conservativå, astfel încât pe lungimea echivalentå ∆L = Bth (L/B) pierderea de sarcinå så fie H1 - HL . Observa¡ii: Lungimea echivalentå ∆L, indiferent de situa¡ie, depinde de transmisivitatea acviferului ¿i de coeficientul de drenan¡å al depozitelor semipermeabile, nefiind influen¡atå de diferen¡a de sarcinå dintre cele douå acvifere. Dacå L/B ≥ 2 atunci ∆L = B, deci acviferele cu dezvoltare limitatå în plan orizontal cu L ≥ 2B pot fi considerate cå au dezvoltare practic infinitå. Punând condi¡iile de margine corespunzåtoare în ecua¡iile (2.96) sau (2.97), dupå sistemul prezentat în exemplele anterioare, pot fi rezolvate oricare alte situa¡ii practice.

81

2.3. ACVIFERE CU REGIM NESTAºIONAR-CONSERVATIV ¥n cazul mi¿cårii nesta¡ionare, legea lui Darcy are forma:

vK

gn

v

tKgrad H

e

→→

+ = −∂

∂, (2.104)

în care: g - este accelera¡ia gravitationalå; ne - este porozitatea efectivå; K - conductivitatea hidraulicå.

Termenul care con¡ine ∂

∂

v

t

→

exprimå influen¡a iner¡iei ¿i poate fi neglijat, în

majoritatea problemelor practice, având în vedere valorile mici ale vitezei de filtrare. Rezultå cå, legea lui Darcy, în forma stabilitå pentru regimul sta¡ionar, råmâne valabilå ¿i în cazul regimului nesta¡ionar. În plus, la mi¿cårile cu nivel liber, se va admite cå complexul apå-rocå este incompresibil, iar la cele sub presiune se va lua în considerare compresibilitatea acestuia. 2.3.1. Curen¡i acviferi plan-verticali, cu nivel liber cantona¡i în depozite

omogene ¿i izotrope.

Deoarece ipotezele de lucru (valabilitatea în fiecare moment a legii lui Darcy ¿i incompresibilitatea complexului apå-rocå) sunt identice cu cele folosite la studiul regimului sta¡ionar, rezultå cå ecua¡iile (1.36) ¿i (1.37) sunt valabile ¿i în cazul regimului nesta¡ionar, mi¿carea în regim nepermanent urmând a fi studiatå ca o succesiune de ståri permanente. Se deduce cå, în fiecare punct al acviferului ¿i în orice moment, înål¡imile piezometrice (cotele suprafe¡ei libere) sunt în concordan¡å cu ecua¡ia lui Laplace - (v. rel. 1.37):

∂

∂

∂

∂

2

2

2

20

H

x

H

z+ = . (2.105)

Viteza de ridicare (sau coborâre) a suprafe¡ei libere rezultå din ecua¡ia suprafe¡ei de depresiune - (v.rel. 1.44):

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

h

t

K

n

H

t

h

t

H

ze

= −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ (2.106)

82

Integrarea ecua¡iei lui Laplace se face cu condi¡ii de margine valabile în timp. Spre exemplu, acviferul prezentat în figura 2.23 - presupunând cå regimul nesta¡ionar al acviferului este determinat de modificarea nivelelor în cele douå râuri, trebuie så cunoa¿tem varia¡ia lui H1 ¿i H2 în timp (care, de regulå se poate schematiza în trepte) ¿i pozi¡ia suprafe¡ei libere la momentul t = 0, conven¡ional ales. Se re¡ine faptul cå, în mi¿carea nesta¡ionarå, profilul de depresiune nu mai este o linie de curent.

Fig. 2.22. Condi¡iile de margine în cazul acviferelor cu nivel liber, plan-verticale, cu regim nesta¡ionar.

Din cele de mai sus, se deduce cå precizarea evolu¡iei suprafe¡ei libere a acviferelor cu regim nesta¡ionar presupune urmåtoarele etape de lucru (metoda are aplicabilitate generalå):

• Precizarea pozi¡iei suprafe¡ei de depresiune ¿i condi¡ia de margine la momentul ini¡ial.

• Determinarea sarcinii piezometrice în fiecare punct al re¡elei de lucru, în concordan¡å cu ecua¡ia lui Laplace (2.105).

• Se calculeazå (grafo-analitic) derivatele: ∂

∂

∂

∂

∂

∂

H

x

H

x

H

z

H

z

h

x

h

x≅ ≅

∆≅

∆

∆

∆

∆

∆; ; , (2.107)

în fiecare punct al re¡elei.

• Se calculeazå ∂

∂

h

t folosind ecua¡ia suprafe¡ei libere (2.106).

• Se determinå coordonatele suprafe¡ei libere, în fiecare punct al re¡elei, dupå intervalul ∆t (la momentul t0 + ∆t):

∆hh

tt= ∆

∂

∂ (2.108)

83

Etapele de calcul reprezintå un ciclu (iterativ) care se reia, momentul t0 + ∆t considerându-se moment ini¡ial. Se continuå calculul, în func¡ie de necesitåti, pânå la momentul t0 + n ∆t, sau pânå când ∆h devine foarte mic, adicå se intrå în regim sta¡ionar (vn tinde cåtre zero ¿i profilul de depresiune devine o linie de curent). ¥n cazul acviferelor cantonate în depozite anizotrope sistemul de lucru råmâne acela¿i, dar în locul ecua¡iei lui Laplace se considerå ecua¡ia (1.25); ecua¡ia suprafe¡ei de depresiune råmâne aceea¿i (2.106) cu observa¡ia cå, K = K(x, z). Pentru acviferele freatice bine dezvoltate în plan orizontal (acvifere plan-orizontale), cu pat impermeabil orizontal, pentru care ipoteza lui Dupuit este aplicabilå, înlocuind

∂∂Hz

din ecua¡ia lui Laplace - pentru condi¡ia H(x, z, t) ≅ h(x, t) -∂∂

∂∂

Hz

Hz

dzh

= ∫⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

20

, în

ecua¡ia suprafe¡ei libere, se ob¡ine ecua¡ia lui Boussinesq - (v.rel.1.53), care pentru acviferele plan-verticale cu regim nesta¡ionar-conservativ, se scrie sub forma particularå-(v. rel. 1.56):

∂

∂

∂

∂

h

t

K

n

h

xe

=2

2 2

2 (2.109)

care ar fi putut fi integratå numai pentru unele cazuri particulare. 2.3.1.1. Acvifere simetrice cantonate în interfluvii Boussinesq a gåsit o solu¡ie particularå a ecua¡iei cu derivate par¡iale (2.109), folosind metoda separårii variabilelor. Se construieste o ecua¡ie h = h(x, t) = X(x) T(t), care satisface ecua¡ia (2.109), de forma:

20

2 2

2

2n

KX

dT

dt

d X

dxTe − = ,

sau 1

2

12

2 2

2T

dT

dt

K

n X

d X

dxe

= .

Deoarece membrul stâng nu depinde de x, iar membrul drept nu depinde de t, rezultå cå ei au o valoare comunå:

1

2

12

2 2

2

2

T

dT

dt

K

n X

d X

dxe

= = −λ ,

84

rezultând ecua¡iile diferen¡iale ordinare

− = =dT

Tdt si

d X

dx

n

KXe

2

22 2

2

22λ λ (2.110)

prin a cåror integrare se ob¡ine:

hh

Kh

n L

x t

x

c

e

( )

( )

( ),

=+

0

0

21 4 46

(2.111)

în care: - hx(t)este ordonata profilului de depresiune la distan¡a x ¿i timpul t; - hx(0) grosimea acviferului la distan¡a x în momentul ini¡ial; - hc(0) ordonata cumpenei hidrogeologice la momentul ini¡ial (abscisa cumpenei hidrogeologice xc = L/2); - L lå¡imea interfluviului. ¥n deducerea rela¡iei (2.111) L/2 are semnifica¡ia distan¡ei fatå de punctul de drenaj (linia de izvoare) la care se gåse¿te o limitå impermeabilå verticalå (în cazul de fa¡å planul de cumpånå în care q = 0). Ordonata profilului de depresiune (hx) la orice distan¡å x în momentul ini¡ial sau la alt moment se deduce din ecua¡ia curbei de depresiune, care este o elipså, scriså în concordantå cu sistemul de coordonate folosit în fig. 2.24 - vezi ec. (2.80):

( )h

h

x x

xx

c

c

c

2

2

2

21+

−= ,

h hx

x

x

xx c

c c

2 2 2= −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

¿i deoarece xL

c =2

, rezultå:

h hx

L

x

xh F

x

Lx c

c

c= −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

22

2 , (2.112)

func¡ia Fx

L

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟putând fi întabelatå pentru valori ale raportului 2x/L cuprinse între 0

¿i 1.

85

Fig.2.23. Modificarea în timp a pozi¡iei suprafe¡ei de depresiune pentru un acvifer cu nivel liber simetric cu regim nesta¡ionar-conservativ.

Ordonata cumpenei hidrogeologice în orice moment se deduce din rela¡ia (2.111) scriså sub forma:

hh

Kh

n Lt

c t

c

c

e

( )

( )

( ),

=+

0

0

21 4 46

. (2.113)

Observa¡ii: - Pentru precizarea pozi¡iei profilului de depresiune dupå o perioadå de înmagazinare prin infiltrare, sunt necesare datele de observa¡ie dintr-un singur piezometru, amplasat indiferent unde în cadrul interfluviului - vezi comentariile rela¡iei (2.80). - Ecua¡iile (2.111) ¿i (2.113) pot fi folosite ¿i pentru dimensionarea sistemelor de drenuri orizontale plasate pe patul impermeabil (fig. 2.20,d). ¥n asemenea situa¡ii, pentru o coborâre impuså a suprafe¡ei libere (în planul de cumpånå) se determinå dependen¡a dintre distan¡a L (dintre drenuri) ¿i timpul necesar pentru realizarea coborârii. 2.3.1.2. Influen¡a varia¡iilor periodice ale nivelului piezometric într-un rezervor limitrof. Studierea influen¡ei varia¡iilor de nivel din rezervoarele vecine asupra regimului acviferelor în legåturå hidrodinamicå cu acestea presupune: - Urmårirea oscila¡iilor suprafe¡ei de depresiune în foraje de observa¡ie, pe un interval de timp suficient de mare pentru a pune în eviden¡å caracterul acestora ¿i întocmirea graficelor h = f(t).

86

- ¥nregistrarea sistematicå a modificårilor de nivel în rezervoarele vecine (re¡ea hidrograficå, lacuri, canale, etc), în aceea¿i perioadå de timp ¿i întocmirea graficelor hr=f(t). - Stabilirea corela¡iilor existente între cele douå grafice. Precizarea legilor de varia¡ie hr = f(t) ¿i h = f(t). ¥n continuare sunt prezentate posibilitå¡ile de exprimare cantitativå a dependen¡ei dintre hr(t) ¿i h(x, t) pentru câteva situa¡ii mai des întâlnite în activitatea practicå. Dacå varia¡iile de nivel din bazin pot fi considerate ca sinusoidale (fig. 2.24b), atunci condi¡ia de margine are forma (nemaifiind necesarå o condi¡ie ini¡ialå):

hx=0 = hm + h0 sin ωt, (2.114)

în care ωπ

=2

Tp

este frecven¡a varia¡iei nivelului, Tp fiind perioada de oscila¡ie.

Mi¿carea induså în masa acviferului va fi tot periodicå, cu aceea¿i perioadå Tp , amplitudinea scåzând cu distan¡a (fig. 2.24,a).

Fig. 2.25. Schematizarea influentei varia¡iilor periodice ale nivelului într-un bazin limitrof. a-oscilatiile induse în acvifer; b-condi¡ia de margine; 1,2-înfå¿uråtoarea oscila¡iilor induse

(maximelor-1 ¿i minimelor-2) [40]. Integrala ecua¡iei (2.114) este de forma:

h h c hT

t cm

p

= + −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟1 0 2

2sin

π, (2.115)

unde: C1 este un coeficient de atenuare; C2 este un coeficient de întârziere.

87

Dupå determinarea constantelor C1 ¿i C2 din condi¡ia ca ecua¡ia (2.115) så verifice simultan ecua¡iile 2.109 ¿i 2.114, se ob¡ine expresia ordonatei profilului de depresiune în func¡ie de distan¡a x ¿i timpul t (ecua¡ia lui Forcheimmer):

( )h h h e t xmx p

p= + −−0

β ω βsin , (2.116)

în care:

βω π

pe

m pa

n

Kh T= =

2~ .

Relatia (2.116) este aplicabilå pentru situa¡iile în care grosimea medie a acviferului (hm) este suficient de mare (în raport cu valorile oscila¡iilor) pentru a putea fi consideratå practic constantå. Din rela¡ia (2.116) se deduce cå valoarea maximå a lui h(x, t) se înregistreazå când

( )sin ω βt x p− = 1 , (2.117)

deci h h h em

x pmax = + −

0β (2.118)

Din condi¡ia (2.117) se poate deduce momentul t când ordonata profilului de depresiune devine maximå, la diferite distan¡e x, dacå se cunoa¿te valoarea coeficientului βp. Dacå, din observa¡iile efectuate în douå piezometre (fig. 2.24,a), se cunosc valorile maxime (h1 ¿i h2) ale grosimii acviferului urmare a unei oscila¡ii în rezervorul vecin, de perioadå ¿i amplitudine cunoscute, scriind rela¡ia (2.118) în fiecare din acestea, logaritmând ¿i împår¡ind membru cu membru, rezultå valoarea coeficientului βp.

ln

ln

h x

h x

p

p

1 1

2 2

1+

+=

β

β ,

βπ

pe

m p

n

Kh T

h h

x x= =

−

−

ln ln1

2 1

2 . (2.119)

Dacå se cunoa¿te conductivitatea hidraulicå ¿i grosimea medie a acviferului, din ecua¡ia (2.119) rezultå porozitatea efectivå medie (ne ) în zona de influen¡å a fluctua¡iilor din rezervor. Cu valoarea coeficientului βp cunoscutå, se poate calcula cu (2.116) pozi¡ia profilului de depresiune la orice distan¡å x, dupå diferite perioade de timp. Deoarece o oscila¡ie în rezervor cu amplitudinea h0 induce în cadrul acviferului, la distan¡a x, o oscila¡ie cu amplitudine maximå - (v. rel. 2.118):

h0(x) = h0e-xβp ,

88

rezultå

h x

hx

ax

aTp

0

0 2

( )exp ~ exp ~= −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = −

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

ω π, (2.120)

ceea ce înseamnå cå atenuarea oscila¡iilor induse în acvifer este cu atât mai puternicå cu cât oscila¡iile din rezervor au frecven¡a mai mare sau perioada de oscila¡ie mai micå. Defazajul dintre oscila¡iile din rezervor ¿i cele induse în acvifer:

τω πx

px

a

x T

a= =

2 2~ ~ (2.121)

este direct propor¡ional cu distan¡a de la rezervor ¿i cu perioada oscila¡iilor ¿i invers propor¡ional cu frecven¡a acestora. Cu cât difuzivitatea hidraulicå a acviferului ~a este mai mare, cu atât atenuarea ¿i defazajul sunt mai mici. Dacå varia¡iile de nivel în rezervor sunt periodice oarecare, atunci solu¡ia prezentatå anterior poate fi generalizatå folosind proprietå¡ile seriilor Fourier. Varia¡ia periodicå a oricårui parametru, în cazul de fatå h = h(t), cu perioada Tp, poate fi reprezentatå printr-o serie Fourier.

(h t a a K t b K tK KK

( ) cos sin= + +∑=

∞1 )2

01

ω ω , (2.122)

uniform convergentå, deci integrabilå termen cu termen într-un interval, dacå în acel interval este continuå ¿i satisface condi¡iile lui Dirichlet (h este finit, are un numår finit de maxime ¿i minime, are o singurå valoare pentru o valoare a lui t, are un numår finit de discontinuitå¡i). Coeficien¡ii seriei Fourier sunt constante reale ¿i se pot determina cu formulele lui Euler ¿i Fourier:

aT

h tp

Tp

0

2= ∫

+

( )dtα

α

aT

h t K tdtKp

Tp

= ∫+2

( )cos ωα

α

(2.123)

bT

h t K tdtkp

Tp= ∫ +2( ) sin ωα

α ,

în care K = 1, 2, 3, ....

89

Se împarte intervalul Tp în n pår¡i egale notate cu ti = i(T/n) (i = 0, 1, 2, ..., n) cårora le corespund ordonatele h(ti) = hi.

∆t t tT

ni i i

p= − =+1 .

Pentru aceastå situa¡ie, coeficien¡ii seriei lui Fourier se pot exprima astfel:

aT

h t tn

h hp

i ii

n

ii

n

m00

1

0

12 22≅ =∑ ∑ =

=

−

=

−

( )∆ (2.124)

Valoarea 1/2 a0 = hm reprezentând media aritmeticå a ordonatelor h0, h1, ..., hn-1 ;

an

h iK ii

n

≅ ∑=

−2

0

1

cos αK (2.125)

bn

h iK ii

n

≅ ∑=

−2

0

1

sin αK

unde

α ω∆π π

K i

p

pK t K

T

T

nK

n= = =

2 2.

Cu coeficien¡ii astfel calcula¡i, se construie¿te polinomul trigonometric care aproximeazå func¡ia h(t):

( )h t a a K t b K tK KK

n

( ) cos sin≅ + +∑=

1

20

1ω ω

Cunoscând Tp ¿i n (ales) rezultå ∆ti Tp/n. Dând valori lui K(1, 2, 3, ..., n) rezultå αK. Valorile ordonatelor h0, h1, ..., hn-1 se måsoarå direct pe grafic. 2.3.2. Descårcarea acviferelor prin izvoare.

Dupå perioadele de reîncårcare, descårcarea acviferelor corespunde, în majoritatea situa¡iilor, unei mi¿cåri nesta¡ionare-conservative, descriså de ecua¡ia generalå (1.30), care se poate rescrie în forma [1]:

(− = −∂

∂

H

t

K

Sdiv h grad H) , (2.126)

90

valabilå atât pentru acviferele sub presiune - când S este coeficientul de înmagazinare (cedare) în regim elastic ¿i h = M, cât ¿i pentru cele cu nivel liber - când S = ne este capacitatea de cedare gravita¡ionalå ¿i h < M. Aplicând operatorul gradient ¿i multiplicând ambii membrii ai ecua¡iei (2.126) cu conductivitatea hidraulicå, presupuså constantå ¿i independentå de timp, în condi¡iile

valabilitå¡ii legii lui Darcy ( = - K grad H), rezultå: v→

∂

∂

v

tKgrad

K

Sdiv

h v

K

→ →

= − −⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ (2.127)

¥nmul¡ind ecua¡ia (2.127) cu elementul dΩ→

al suprafe¡ei Ω a curentului acvifer ¿i integrînd pe aceastå sec¡iune, se ob¡ine:

∂

∂

v

td Kgrad

K

Sdiv

h v

Kd

→→

→→

∫ = − −⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪∫Ω Ω

Ω Ω (2.128)

Membrul stâng al ecua¡iei (2.128) se poate scrie sub forma:

∂

∂

v

td

d

dtv d

dQ

dt

→→ → →

∫ = ∫ =Ω ΩΩ Ω

,

exprimând varia¡ia în timp a debitului de descårcare a acviferului, iar membrul drept se retranscrie în forma:

− − −⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪∫ = −α = −α∫

→→ → →

KgradK

Sdiv

h v

Kd v d

Ω ΩΩ Ω Q ,

ecua¡ia (2.128) reducându-se la ecua¡ia diferen¡ialå

dQ

dtQ= −α (2.129)

în care α este un coeficient care caracterizeazå reducerea debitelor de descårcare în timp. Pentru acviferele cu nivel liber la care fluctua¡iile de nivel de la un anotimp la altul sunt pu¡in importante comparativ cu grosimea acestuia, coeficientul α poate fi considerat constant, adicå

α = α0 = const. , (2.130)

91

ecua¡ia (2.129) devenind

dQ

dtQ= −α0 ,

sau dQ

Qdt= −α0 , (2.131)

care prin integrare pe intervalul de timp cuprins între momentul t = 0 al începerii descårcårii, când debitul are valoarea maximå Q0 ¿i un moment oarecare t, când debitul are valoarea Qt, conduce la formula Maillet-Horn:

lnQQ

t Q Q ett

t

00 0

0= − → = −α α (2.132)

care este ecua¡ia unei drepte în coordonate t - lnQt (fig.2.25).

Fig.2.25. Reprezentarea grafica a ecua¡iei Maillet-Horn Pentru un acvifer la care descårcårea se face prin izvoare bine individualizate, dependen¡a Qt = f(t) se poate preciza prin måsuråtori succesive ale debitelor acestora. Dupå trasarea dreptei din figura 2.26, rezultå Q0 (lnQ0 este ordonata la origine) ¿i α0 (panta dreptei, determinatå grafoanalitic). Dacå se scrie ecua¡ia (2.132) sub forma:

α0

00

1=

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=ln lnQ

Q

e

t t∆ ∆ , (2.133)

rezultå cå α0 este egal cu inversul duratei necesare ca debitul de descårcare al acviferului så scadå de la valoarea Q0 la valoarea Q0 /e ≅ 0.368 Q0.

92

Volumul de apå eliberat de acvifer, din rezerva temporarå a acestuia, între momentele t = 0 ¿i t este:

v Q dt

t

= ∫0

t , (2.134)

din care, ¡inând seama de (2.132) rezultå:

( )v Q e dtQ

eQ

eQ Qt

tt t t= ∫ = − = − =

−− − −0

0

0

00

0

0

0

0

0 0 0 1α α α

α α α1 (2.135)

Dacå fluctua¡iile de nivel ale acviferului sunt importante comparativ cu grosimea acestuia (grosimea acviferului suferå modificåri importante de la un anotimp la altul), atunci coeficientul α se poate exprima printr-o func¡ie de forma:

αα

α=

+

2

11

1t (2.136)

ecua¡ia (2.129) devenind:

dQ

dt tQ=

+

2

11

1

α

α ,

sau dQQ

dtt

=+

21

1

1

αα

(2.137)

Integrând ecua¡ia (2.137) în intervalul t = 0 ¿i t, pentru care debitul de descårcare este Q0 ¿i Qt , se ob¡ine ecua¡ia:

( )ln lnQ

Qtt

0

12 1= − + α ,

din care rezultå formula lui Tisou:

( )Q

Q

tt =

+0

1

21 α

(2.138)

sau: 1 1

0

1

0Q Q Qt

= +α

,

care este ecua¡ia unei drepte în coordonate t t− 1 / Q , cu ordonata la origine

1 0Q ¿i panta α1 0/ Q .

93

Volumul de apå eliberatå din rezerva temporarå a acviferului în intervalul dintre momentele t = 0 ¿i t este:

( ) ( )v Q dt

Q dt

t

Q dt

t

Qtt

t tt

t

= ∫ =+

∫ = −−

+= −

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =∫

0

0

1

20

0

1

1

1

20

1 1 001 1

11α α

αα α α

= −+

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

+

Q

t

Q t

t0

1 1

0

1

1

11

1α α α. (2.139)

¥n cazul acviferelor cantonate în depozite neomogene ¿i anizotrope la scara masivului, s-a propus pentru coeficientul α expresia:

αα

= 2 2

2Q

ecua¡ia (2.129) scriindu-se sub forma:

dQ

dtQ= −

α2 3

2 ,

sau

dQ

dt1

2 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = α . (2.140)

Integrând ecua¡ia (2.140) pe intervalul dintre t = 0, când debitul are valoarea maximå Q0 ¿i un moment t oarecare, când debitul de descårcare are valoarea Q1 , se ob¡ine formula Forkasiewicz-Paloc:

1 1 1

1202 2

02 2

Q Qt Q

Qtt

t− = → =

+

α

α

, (2.141)

care este ecua¡ia unei drepte în coordonatele t - 1 /Q2

t, cu ordonata la origine 1/Q2

0 ¿i panta α2. Volumul de apå eliberatå din rezerva temporarå a acviferului în intervalul dintre momentele t = 0 ¿i t este:

v Q dtdt

Qt

dt

Qt

Qtt

tt tt= = ∫∫

+= ∫

+= +

00

02 2

0 0

02 2

2 02 2 0

1

2

1

2 1

αα

α

αα

α =

= + −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2 1 1 2 1 1

2 02 2

02

2 0αα

αQt

Q Qt Q. (2.142)

94

¥n situa¡iile în care se dispune de cel pu¡in trei perechi de valori Qt - t, fårå a se cunoa¿te suficient de bine particularitå¡ile structurale ¿i de evolu¡ie a nivelelor pentru acviferul din care provin, se pot reprezenta datele experimentale în cele trei tipuri de coordonate rezultate din linearizarea formulelor lui Maillet-Horn, Tisou ¿i Forkasiewicz-Paloc, alegându-se tipul de corela¡ie pentru care datele de observa¡ie sunt mai bine interpolate de o dreaptå. 2.4. ACVIFERE CU REGIM NESTAºIONAR-NECONSERVATIV Pentru acviferele cu nivel liber ¿i dezvoltare mare în plan orizontal, regimul nesta¡ionar ¿i neconservativ poate fi imprimat de caracterul neuniform al alimentårii din precipita¡ii ¿i din suprafe¡ele irigate sau de pierderile de apå, variabile în timp, din canale. ¥n cazul acviferelor cu nivel liber limitate de unul sau douå rezervoare, caracterul nesta¡ionar ¿i neconservativ al mi¿cårii, dat de regimul neuniform al alimentårii prin infiltrare poate fi accentuat de modificårile de nivel în rezervoare. În asemenea situa¡ii, având în vedere proprietatea de însumare a solu¡iilor particulare (pentru ecua¡iile lineare, suma a douå sau mai multe solu¡ii este de asemenea o solu¡ie), se calculeazå separat efectele varia¡iilor de nivel în rezervoare ¿i cele datorate modificårii alimentårii prin infiltrare, urmând a cumula efectele în diverse puncte ale acviferului ¿i la diferite perioade de timp. Metoda însumårii solu¡iilor particulare este aplicabilå ¿i la acviferele sub presiune limitate de unul sau douå rezervoare cu nivele variabile, care sunt alimentate (sau se descarcå) prin drenan¡å din (sau spre) acviferele vecine. Determinarea influen¡ei varia¡iilor nivelului dintr-un rezervor limitrof se face folosind solu¡iile prezentate în § 2.3.1.2. Posibilitå¡i de folosire a ecua¡iei Boussinesq scriså în diferen¡e finite. Pentru acviferele freatice cu dezvoltare mare în plan orizontal, mi¿carea nesta¡ionarå ¿i neconservativå este guvernatå de ecua¡ia lui Boussinesq (1.36), care, pentru acviferele plan-verticale, devine:

nH

tK

xh

H

xWe

∂

∂

∂

∂

∂

∂= i

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + . (2.143)

¥n figura 2.26 se prezintå o sec¡iune hidrogeologicå schematicå printr-un acvifer freatic cu mi¿care nesta¡ionarå-neconservativå, ob¡inutå prin executarea a trei foraje, aliniate pe cât posibil în lungul direc¡iei principale de curgere, în care s-a urmårit sistematic varia¡ia în timp a suprafe¡ei libere. Folosind nota¡iile din aceastå figurå, ecua¡ia (2.143) se scrie în diferen¡e finite sub forma:

95

nH

tK

h h H H

l

h h H H

ll l We i

∆

∆=

+ −−

+ −

+

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

+− −

− −

1 2 1 2

1 2

2 3 2 3

2 3

1 2 2 3

2 2

2

sau

nH

t

K

l l

h h H H

l

h h H H

lWe i

∆

∆=

+

+ −−

+ −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

− − − −

2

2 21 2 2 3

1 2 1 2

1 2

2 3 2 3

2 3

, (2.144)

în care: - ∆H este cre¿terea (sau descre¿terea) cotei suprafe¡ei de depresiune în forajul din centru (F2) în intervalul de timp ∆t; - h1, h2, h3 ¿i H1, H2, H3 grosimile acviferului, respectiv cotele suprafe¡ei libere în cele trei foraje la momentul tm (mijlocul intervalului ∆t). Pentru a se întelege mai bine semnifica¡ia fizicå a ecua¡iei (2.144) ¿i posibilitå¡ile de folosire, se prezintå deducerea acesteia pornind de la sec¡iunea schematicå din fig.2.26. ¥n acest scop, se realizeazå o mediere a geometriei acviferului pe orizontalå ¿i verticalå: - Se considerå douå sec¡iuni verticale, de grosime unitarå, plasate la jumåtatea distan¡ei dintre foraje, cu înål¡imile identice cu grosimile medii ale acviferului în cele douå intervale; de asemenea, gradien¡ii hidraulici ai curentului acvifer la traversarea celor douå sec¡iuni sunt gradien¡ii medii ai celor douå intervale. - Cotele profilului de depresiune ¿i grosimile acviferului, sunt cele înregistrate în cele trei foraje la momentul tm , plasat la mijlocul intervalului ∆t = t2 - t1. Se scrie ecua¡ia de continuitate pentru elementul de volum delimitat de cele douå sec¡iuni medii. ¥n intervalul de timp ∆t, ca urmare a ridicårii suprafe¡ei libere (de exemplu) cu valoarea ∆H - înregistratå în forajul F2, volumul suplimentar de apå, cantonat în elementul de volum de lå¡ime ∆x, ¿i anume ∆H ∆x ne, trebuie så fie compensat de alimentarea din acvifer (q1 - q2) ∆t ¿i de aportul din precipita¡ii Wi ∆x ∆t, rezultând:

( )nH

tx q q We i x

∆

∆∆ ∆= − +1 2

sau

nH

t

K

l l

h h H H

l

h h H H

lWe i

∆

∆=

+

+ −−

+ −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

− − − −

2

2 21 2 2 3

1 2 1 2

1 2

2 3 2 3

2 3

,

care este identicå cu ecua¡ia (2.144). Dacå se cunoa¿te valoarea medie a conductivitå¡ii hidraulice în zona celor trei foraje (se determinå prin pompåri experimentale adecvate), în ecua¡ia (2.144) existå douå necunoscute: porozitatea efectivå medie (ne ) a acviferului în zona dintre cele trei foraje ¿i modulul de infiltrare eficace (Wi).

96

Fig.2.27. Sec¡iune hidrogeologicå schematicå folositå pentru deducerea ecua¡iei în diferen¡e finite

Când se dispune de måsuråtori de nivel sistematice în cele trei foraje, se procedeazå în felul urmåtor: - Se alege în perioada de iarnå un interval ∆t în care solul este înghe¡at (deci Wi=0), precizând valoarea lui ∆H (negativ) din måsuråtorile de nivel fåcute în forajul din centru (F2). - Se fixeazå momentul tm (mijlocul intervalului ∆t) pentru care se extrag valorile h1, h2, h3 ¿i H1, H2, H3 (v. fig 2.27). - Se calculeazå valoarea lui ne cu rela¡ia (2.144), fåcând Wi = 0. Cunoscând valoarea lui ne, folosind acela¿i sistem de lucru, se poate calcula valoarea medie a modulului de infiltrare eficace pentru orice altå perioadå a anului. Observa¡ie: Pentru a putea folosi valoarea medie a lui ne , determinatå pentru o perioadå de iarnå, în oricare altå perioadå a anului, trebuie så fie îndeplinitå una din urmåtoarele condi¡ii: amplitudinea oscila¡iilor profilului de depresiune (∆H), de la un anotimp la altul, este mult mai micå decât grosimea medie a acviferului, sau se poate considera cå acviferul este cantonat în acela¿i tip litologic (depozite omogene ¿i izotrope) indiferent de anotimp.

97

3. CURGEREA APELOR SUBTERANE CÅTRE FORAJELE DE

CAPTARE ªI DE DRENAJ.

Progresele tehnologice remarcabile fåcute în ultimele decenii în forarea sondelor (pu¡urilor) cu diametre într-o gamå foarte largå (între 0.15 ¿i 5m), pânå la adâncimi care acoperå cerin¡ele impuse de practica inginereascå, au determinat extinderea folosirii forajelor de captare ¿i de drenaj în numeroase domenii de activitate: alimentåri cu apå, construc¡ii civile, industriale ¿i hidrotehnice, amenajåri funciare, exploatåri miniere la zi ¿i în subteran, exploatarea apelor minerale ¿i termale, determinarea parametrilor hidraulici ai acviferelor, etc. Determinarea parametrilor hidraulici ai acviferelor ¿i dimensionarea corespunzåtoare a diverselor sisteme de foraje destinate captårii ¿i drenajului apelor subterane se bazeazå pe aplicarea diferen¡iatå, în func¡ie de condi¡iile geologice, structurale ¿i hidrogeologice a unor modele de calcul corect fundamentate fizic ¿i matematic. 3.1. DEZVOLTAREA ZONELOR DE INFLUENºÅ ªI FORMAREA DEBITELOR FORAJELOR 3.1.1. Elementele care influen¡eazå formarea debitelor forajelor

¥n principiu, principalele elemente care influen¡eazå formarea debitelor forajelor de captare ¿i drenaj (¿i implicit, alegerea schemei de calcul corespunzåtoare) sunt: - Caracterul hidraulic al acviferului. Acviferele naturale, cu nivel liber sau sub presiune, pot fi constituite din curen¡i acviferi - situa¡ie întâlnitå în majoritatea cazurilor practice, sau pot fi lipsite de dinamicå ini¡ialå. - Condi¡iile de margine ale acviferului în situa¡ia ini¡ialå ¿i dupå intrarea în func¡iune a forajelor. Mi¿carea ini¡ialå sta¡ionarå sau nesta¡ionarå a curen¡ilor acviferi cu nivel liber sau sub presiune, în func¡ie de condi¡iile de alimentare (sau descårcare) pe verticalå - din infiltrare de la suprafa¡a terenului sau prin drenan¡å din (sau spre) acviferele vecine - poate avea caracter conservativ sau neconservativ. Intrarea în func¡iune a forajelor de captare ¿i drenaj poate determina, în cadrul zonei de influen¡å a acestora, schimbåri importante ale dinamicii ini¡iale ¿i ale condi¡iilor de alimentare din bazinele acvifere de suprafa¡å (re¡eaua hidrograficå, lacuri, etc.) sau prin drenan¡å. - Regimul filtrårii (laminar sau turbulent) în condi¡iile ini¡iale ¿i dupå intrarea în func¡iune a forajelor de captare sau drenaj. - Condi¡iile de interac¡iune reciprocå. Dacå în timpul func¡ionårii zona de alimentare a unui foraj nu se interfereazå cu zona de alimentare a altui foraj, se spune cå acesta lucreazå independent; în caz contrar forajele lucreazå în interferen¡å. - Felul în care filtrul forajului deserve¿te acviferul deschis. În func¡ie de gradul ¿i modul de deschidere al acviferului forajele pot fi perfecte ¿i imperfecte.

98

Forajele sunt perfecte dupå gradul de deschidere atunci când acviferul este deschis practic pe toatå grosimea. Dacå suprafa¡a activå a filtrului ¿i a zonei din imediata vecinåtate a acestuia este capabilå så capteze debitul pe care-l poate da acviferul - pentru o denivelare impuså, în condi¡iile în care viteza de admisie a apei în filtru nu depå¿e¿te o anumitå valoare (admisibilå) - se spune cå forajul este perfect ¿i dupå modul de deschidere. Forajele sunt imperfecte dupå gradul de deschidere când lungimea activå a filtrului este mai micå decât grosimea acviferului. Forajele perfecte sau imperfecte dupå gradul de deschidere sunt imperfecte dupå modul de deschidere atunci când posibilitå¡ile de admisie ale filtrului nu satisfac - în condi¡ii normale de func¡ionare - poten¡ialul de debitare al acviferului. 3.1.2. Mecanismul dezvoltårii zonelor de influen¡å

Se considerå, mai întâi, un foraj care deschide pe toatå grosimea un acvifer cu nivel liber fårå dinamicå ini¡ialå (fig.3.1).

Fig.3.1. Dezvoltarea zonei de influen¡å în cazul unui acvifer cu nivel liber fårå dinamicå ini¡ialå Imediat dupå începerea pompårii, nivelul înregistrat ini¡ial în foraj, va coborî rapid (nivel dinamic) ¿i, ca urmare, apa liberå cantonatå în depozitele din vecinåtatea forajului va curge cåtre acesta. Suprafa¡a acviferului va forma în jurul forajului o pâlnie de depresiune simetricå. Dacå pomparea continuå, nivelul dinamic continuå så coboare în foraj, zona de influen¡å a acestuia dezvoltându-se continuu. La momentul t1 profilul de depresiune are pozi¡ia PD-1., iar la momentul t2 are pozi¡ia PD-2. Volumul de apå extras din foraj în intervalul de timp t2 - t1 este identic cu volumul de apå cedat gravita¡ional din depozitele (ini¡ial saturate) cuprinse între suprafe¡ele PD-1 ¿i PD-2. Dacå acviferul nu este realimentat ¿i pomparea continuå cu debitul constant Q, zona de influen¡å se va dezvolta în timp pânå la limita acviferulului, mi¿carea apei în zona de influen¡å fiind nesta¡ionarå ¿i întregul debit extras provenind din interiorul zonei de influen¡å, din resursa staticå a acviferului.

99

¥n cazul acviferelor alimentate pe contur (prin infiltra¡ii de la suprafa¡a terenului, din re¡eaua hidrograficå sau prin drenan¡å), precum ¿i în cel al acviferelor cu dinamicå ini¡ialå (fig.3.2), perioada în care curgerea apei spre foraj are caracter nesta¡ionar este mai reduså în comparatie cu situa¡ia precedentå, din cauza posibilitå¡ii compensårii debitului extras prin alimentarea din exteriorul acviferului sau din resursa dinamicå.

Fig. 3.2. Domeniu de alimentare ¿i domeniu de influen¡å în cazul unui acvifer sub presiune cu dinamicå ini¡ialå

100

Momentul în care, pentru un debit constant de pompare, denivelarea în forajul experimental, sau denivelårile înregistrate în forajele de observa¡ie, råmân practic constante, marcheazå începutul regimului sta¡ionar de func¡ionare a forajului. Rezultå cå în perioada de func¡ionare în regim sta¡ionar, apa pompatå din forajul experimental provine în totalitate din exteriorul zonei de depresiune. Domeniul de alimentare al forajelor care deschid acvifere cu dinamicå ini¡ialå - situa¡ie foarte des întâlnitå în practicå, este delimitat de un contur alungit (linie de cumpånå) deschis (fig.3.2). Spectrul hidrodinamic rezultå din combinarea mi¿cårii ini¡iale a acviferului cu cea radialå spre foraj. ¥ncepând din momentul intrårii în regim sta¡ionar a forajului, debitul pompat este compensat în întregime din resursa dinamicå a acviferului corespunzåtor frontului de lå¡ime b. ¥n cazul acviferelor sub presiune, fårå dinamicå ini¡ialå, în timpul pompårii stratul permeabil råmâne saturat cu apå înså suferå modificåri suprafa¡a piezometricå a cårei evolu¡ie este similarå cu cea a suprafe¡ei libere. Reducerea sarcinii piezometrice a acviferului, datoratå pompårii apei din foraj, determinå eviden¡ierea resurselor (poten¡iale) elastice ale acestuia. Diminuarea presiunii din pori în imediata vecinåtate a filtrului forajului determinå, pe de o parte, detensia elasticå a apei care se transmite din aproape în aproape, ¿i, pe de altå parte, cre¿terea eforturilor efective la contactul dintre granulele scheletului mineral ¿i consolidarea corespunzåtoare noii ståri de eforturi efective, care are ca efect reducerea porozitå¡ii ini¡iale ¿i, ca urmare, expulzarea unei cantitå¡i de apå corespunzåtoare. Dacå acviferul nu are dinamicå ini¡ialå ¿i nu poate fi realimentat în timpul pompårii, debitul extras provine în totalitate din interiorul zonei de influen¡å prin eliberarea resurselor elastice ale complexului apå-rocå (fig.3.3).

Fig.3.3. Eviden¡ierea resurselor elastice ale unui acvifer sub presiune exploatate printr-un foraj din care se pompeazå debitul Q: a - semnifica¡ia sarcinii (înål¡imii) piezometrice; b - semnifica¡ia

denivelårii medii sm.

101

Zona de influen¡å se dezvoltå în timp pânå la limita acviferului, mi¿carea spre foraj având caracter nesta¡ionar. Dacå acviferul sub presiune are dinamicå ini¡ialå, sau dacå existå condi¡ii pentru alimentarea verticalå, prin drenan¡å, pe måsura avansårii pâlniei de depresiune o parte din ce în ce mai mare din debitul extras provine din resursa dinamicå a acestuia sau prin drenan¡å. Atunci când lå¡imea frontului de alimentare (fig.3.2) permite compensarea în întregime a debitului pompat din resursa dinamicå a acviferului, forajul intrå în regim sta¡ionar. În perioada regimului sta¡ionar, alimentarea forajului se face în exclusivitate din exteriorul zonei de influen¡å. 3.2. CURGEREA APELOR SUBTERANE ÎN REGIM STAºIONAR- CONSERVATIV CÅTRE FORAJELE DE CAPTARE ªI DRENAJ 3.2.1. Foraje perfecte izolate care deschid acvifere omogene ¿i izotrope, cu

extindere orizontalå mare, fårå dinamicå ini¡ialå.

Teoria hidraulicå a forajelor perfecte se bazeazå pe ipotezele ¿i ecua¡iile deduse de Dupuit încå din anul 1863. Aceastå teorie a cunoscut o continuå dezvoltare ajungând aståzi la un stadiu care permite abordarea cu succes a majoritå¡ii problemelor întâlnite în practica inginereascå. 3.2.1.1. Ipoteze de bazå. Deducerea ecua¡iilor mi¿cårii sta¡ionare a apelor subterane cåtre forajele de captare ¿i drenaj se bazeazå pe ipotezele simplificatoare, admise implicit sau explicit de Dupuit, care pot fi formulate astfel: •Acviferele nu au dinamicå ini¡ialå. •Debitul pompat este compensat în întregime de alimentarea uniformå pe conturul cilindric al domeniului de alimentare de razå R. Deci debitul forajului provine în exclusivitate din exteriorul domeniului de alimentare. •Deoarece suprafa¡a de depresiune creatå în jurul forajului are înclinare micå fa¡å de orizontalå, componentele verticale ale vitezei de filtrate sunt neglijabile; liniile de curent sunt considerate orizontale iar suprafe¡ele echipoten¡iale sunt asimilate cu suprafe¡e cilindrice verticale; vitezele de filtrare sunt propor¡ionale cu panta suprafe¡ei de depresiune, fiind independente de adâncime. •Suprafa¡a de depresiune nu suferå discontinuitå¡i în zona din vecinåtatea forajului experimental ¿i nici la traversarea filtrului. •Acviferele sunt omogene ¿i izotrope. •Legea liniarå de filtrare a lui Darcy este aplicabilå în tot domeniul de alimentare al forajului. Având în vedere mecanismul real de formare a fluxului de apå cåtre foraje, discutat în subcapitolul anterior, se impun urmåtoarele observa¡ii:

102

- Modelul Dupuit (ipoteza 2), conform cåruia debitul forajului este în întregime compensat din alimentarea uniformå pe conturul cilindric al domeniului de alimentare, din exteriorul acestuia, în condi¡iile unor acvifere fårå dinamicå ini¡ialå, este imaginar (în mod real, în asemenea situa¡ii, apa extraså din foraj provine din interiorul zonei de influen¡å). - În cazul acviferului cu dinamicå ini¡ialå, deoarece conturul real al pâlniei de depresiune este deschis, alimentarea din exterior fåcându-se numai pe o parte a acestuia, folosirea ecua¡iilor Dupuit presupune înlocuirea spectrului hidrodinamic real cu unul echivalent imaginar, în concordan¡å cu ipoteza 2. Se deduce cå, în condi¡iile acceptårii ipotezelor lui Dupuit, mi¿carea apelor subterane cåtre forajele perfecte care deschid acvifere omogene ¿i izotrope, cu dezvoltare mare în plan orizontal, este axial-simetricå (parametrii hidrodinamici ai mi¿cårii variazå numai în func¡ie de distan¡a fa¡å de foraj). 3.2.1.2. Ecua¡iile debitului ¿i ale profilului de depresiune (piezometric). ¥n condi¡iile mi¿cårii sta¡ionar-conservative axial-simetrice, conform ipotezelor lui Dupuit, viteza de filtrare radialå, indiferent de adâncime, este:

v Kl Kdh

dr= = , (3.1)

în care h este sarcina piezometricå la distan¡a r fa¡å de axul forajului. Debitul pompat, identic cu debitul de alimentare uniformå pe conturul cilindrului de razå R, este acela¿i în orice altå sec¡iune cilindricå de razå (r0 < r < R).

Fig.3.4. Curgerea axial-simetricå, sta¡ionarå conservativå, cu suprafa¡å liberå, spre un foraj perfect

103

•Acvifere cu suprafa¡å liberå (fig.3.4). Egalând debitul pompat cu cel care traverseazå o sec¡iune cilindricå oarecare de raza r ¿i înål¡ime h - viteza de filtrare în acea sec¡iune fiind datå de (3.1), se ob¡ine ecua¡ia diferen¡ialå a mi¿cårii:

Q Krhdh

drsau hdh

Q

K

dr

r= 2 =

2π

π , (3.2)

valabilå în interiorul conturului de alimentare al forajului (r0 < r < R ¿i h0 < h < H), stabilit în concordan¡å cu ipotezele lui Dupuit. Se integreazå ecua¡ia (3.2.) pe urmåtoarele intervale: - între peretele filtrului forajului din care se efectueazå pomparea ¿i limita zonei de alimentare.

H h Q

K

R

r

202

02 2

−=

πln ; (3.3)

- între peretele filtrului forajului pompat ¿i un foraj (piezometru) de observa¡ie

h h Q

K

r

r12

02

1

02 2

−=

πln ; (3.4)

- între forajele de observa¡ie: h h Q

K

r

r12

22

2

12 2

−=

πln ; (3.5)

- între peretele filtrului forajului pompat ¿i o sec¡iune oarecare:

h h Q

K

r

r

202

02 2

−=

πln . (3.6)

Rezultå urmåtoarele posibilitå¡i de exprimare a debitului forajului experimental: - când nu se dispune de foraje de observa¡ie, din rela¡ia (3.3) rezultå:

( ) ( )Q

K H h

R

r

Ks H s

R

r

=−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

π π202

0

0

0

2

ln ln

0 ; (3.7)

- când se dispune de un singur foraj de observa¡ie, din rela¡ia (3.4) se ob¡ine:

( ) ( )( )Q

K h h

r

r

K s s H s s

r

r

=−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=− − −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

π π12

02

1

0

0 1 0 1

1

0

2

ln ln

; (3.8)

104

- când se dispune de douå foraje de observa¡ie, din rela¡ia (3.5) rezultå:

( ) ( )( )Q

K h h

rr

K s s H s s

rr

=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=− − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

π π22

12

2

1

1 2 1 2

2

1

2

ln ln

, (3.9)

în care s0 = H - h0 , s1 = H - h1 , s2 = H - h2 sunt denivelårile înregistrate în forajul experimental ¿i în cele de observa¡ie. Rezultå cå debitul forajului din care s-a efectuat pomparea în regim sta¡ionar-conservativ, poate fi exprimat prin formula generalå:

( )( )Q

K s s H s s

r

r

i j i j

j

i

=− − −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

π 2

ln

, (3.10)

unde i ¿i j au urmåtoarele semnifica¡ii:

Tabelul 3.1.

Intervalul F0-CA* F0-F1 F0-F2 F1-F2

(si, sj ) (s0-0) (s0-s1) (s0-s2) (s1-s2) (ri, rj ) (r0-R) (r0-r1) (r0-r2) (r1-r2)

CA* - contur de alimentare Ecua¡ia profilului de depresiune rezultå din (3.6) sau eliminând termenul Q/πk din ecua¡iile (3.4), (3.5) ¿i respectiv (3.6):

( ) ( )h hQ

K

r

rh H h

r

rR

r

h h h

r

rr

r

202

0

02 2

02 0

0

02

12

22 0

2

1

= + = + − = + −π

ln

ln

ln

ln

ln, (3.11)

care s-a dovedit a fi corectå pentru cea mai mare parte a domeniului de mi¿care, exceptând zona din vecinåtatea filtrului. Acest lucru a fost eviden¡iat atunci când s-a descoperit existen¡a zonei de izvorâre. •Acvifere sub presiune (fig.3.5). ¥n cazul acviferelor sub presiune cu grosime relativ constantå, h = M = const., ecua¡ia diferen¡ialå (3.2) se scrie în forma:

Q KMrdh

drsau dh

Q

T

dr

r= 2 =

2π

π; (3.12)

valabilå în interiorul conturului de alimentare al forajului (r0 < r < R ¿i h0 < h < H).

105

Fig.3.5. Curgerea axial-simetricå, sta¡ionarå-conservativå, sub presiune, spre un foraj perfect. Prin integrarea ecua¡ia (3.12) rezultå: - între peretele filtrului forajului experimental ¿i limita zonei de alimentare:

H hQ

T

R

r− =0

02πln ; (3.13)

- între peretele filtrului forajului experimental ¿i un foraj de observa¡ie:

h hQ

T

r

r1 0

1

02− =

πln ; (3.14)

- între forajele de observa¡ie:

h hQ

T

r

r1 2

2

12− =

πln ; (3.15)

- între peretele filtrului forajului pompat ¿i o sec¡iune oarecare:

h hQ

T

r

r− =0

02πln . (3.16)

Se deduc urmåtoarele posibilitå¡i de exprimare a debitului forajului experimental: - când nu se dispune de foraje de observa¡ie, din (3.13) rezultå:

106

( )Q

T H h

R

r

Ts

R

r

=−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2 20

0

0

0

π π

ln ln

; (3.17)

- când se dispune de un singur foraj de observa¡ie, din (3.14) se ob¡ine:

( ) ( )Q

T h h

r

r

T s s

r

r

=−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2 21 0

1

0

0 1

1

0

π π

ln ln

; (3.18)

- când se dispune de douå foraje de observa¡ie, din (3.15) rezultå:

( ) ( )Q

T h h

r

r

T s s

r

r

=−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2 22 1

2

1

1 2

2

1

π π

ln ln

. (3.19)

în care s0 = H - h0 , s1 = H - h1 , s2 = H - h2 sunt denivelårile înregistrate în forajul experimental ¿i în cele de observa¡ie. Debitul forajelor din care s-a efectuat pomparea în regim sta¡ionar-conservativ poate fi exprimat în forma generalå:

( )Q

T s s

r

r

i j

j

i

=−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2π

ln

, (3.20)

indicii i ¿i j având semnifica¡ia de la rela¡ia (3.10). Se observå cå din ec.(3.20) rezultå (3.7), dacå se face înlocuirea:

T KH h

Khm=+

=0

2, (3.21)

ceea ce înseamnå cå în acviferele cu nivel liber transmisivitatea este egalå cu produsul dintre conductivitatea hidraulicå orizontalå ¿i grosimea medie a acviferului. Rezultå cå expresiile debitului forajului, pentru un acvifer cu nivel liber, se pot ob¡ine din cele corespunzåtoare pentru un acvifer sub presiune în care se înlocuie¿te transmisivitatea cu expresia (3.21). Ecua¡ia profilului piezometric rezultå din (3.16) sau eliminând termenul Q/2πT din ecua¡iile (3.13), (3.15) ¿i respectiv (3.16):

107

( ) ( )h hQ

T

r

rh H h

r

rR

r

h h h

r

rr

r

= + = + − = + −0

0

0 00

0

0 1 20

2

1

2πln

ln

ln

ln

ln. (3.22)

Fig. 3.6. Curgerea axial-simetricå, sta¡ionarå-conservativå, în regim hidraulic mixt (cu presiune

¿i cu suprafa¡å liberå), spre un foraj perfect. •Acvifere cu regim hidraulic mixt (fig.3.6). Debitul extras din foraj, identic cu cel de alimentare uniformå pe conturul cilindrului de razå R ¿i înål¡ime M, se regåse¿te ¿i în sec¡iunea de raza x necunoscutå, începând de la care acviferul î¿i schimbå regimul hidraulic. Egalând debitul forajului de razå r0 , având raza de alimentare x - pentru un acvifer cu nivel liber, cu cel al unui foraj imaginar cu raza x ¿i raza de alimentare R - pentru un acvifer sub presiune, rezultå:

( ) ( )Q

K M h

x r

KM H M

R x=

−

−=

−

−

π π2

02

0

2

ln ln ln ln , (3.23)

din care, prin transformåri succesive, se ob¡ine:

( )( )( )

ln lnln ln

x rM h R r

M H M h− =

− −

− −0

202

0

022

(3.24)

108

( )( )( )

ln lnln ln

x rM h R r

M H M h= +

− −

− −0

202

0

022

(3.25)

¥nlocuind (ln x - ln r0) conform rela¡iei (3.24) în (3.23), se ob¡ine ecua¡ia explicitå a debitului forajului:

( )[ ]Q

K M H M h

R r=

− −

−

π 2 02

0ln ln. (3.26)

Dupå determinarea lui x, cu rela¡ia (3.25), se poate trasa profilul de depresiune în cele douå zone ale domeniului de alimentare folosind (3.11) în por¡iunea cu nivel liber ¿i (3.22) în cea sub presiune. 3.2.1.3. Raza de influen¡å ¿i raza de alimentare. Dupå cum s-a mai aråtat, în condi¡iile unor acvifere fårå dinamicå ini¡ialå, zona de influen¡å a forajelor se dezvoltå continuu în timp, curgerea apei spre forajul pompat având caracter nesta¡ionar. Dupå o perioadå lungå de pompare, avansarea zonei de influen¡å se face foarte lent (pentru un debit constant de pompare modificarea denivelårilor este greu de înregistrat practic). Raza pâlniei de depresiune simetricå, corespunzåtoare acestei situa¡ii de stabilizare relativå a nivelelor, poate fi numitå razå de influen¡å reduså (practic înregistrabilå). Deoarece, în condi¡ii reale, compensarea debitului pompat se face din interiorul zonei de influen¡å, prin procese complicate (¿i nelineare) de cedare a apei gravita¡ionale ¿i a unei pår¡i din apa capilarå, raza de influen¡å reduså, în fapt variabilå în timp, are o altå semnifica¡ie decât raza de alimentare, care are sens fizic numai în contextul ipotezelor lui Dupuit. Acestea sunt motivele pentru care folosirea valorilor razei de alimentare, deduse din ecua¡iile lui Dupuit în dimensionarea sistemelor de captare ¿i de drenaj trebuie fåcutå cu precau¡ie întrucât acest parametru are, în fapt, o semnifica¡ie imaginarå pentru marea majoritate a situa¡iilor practice. Când se dispune de cel pu¡in douå foraje de observa¡ie, raza de alimentare se poate deduce prin una din urmåtoarele metode: a. - În condi¡iile func¡ionårii sta¡ionare a forajului experimental, debitul acestuia trebuie så fie identic cu debitul unor foraje imaginare de razå r1 ¿i r2, în care denivelårile sunt s1 ¿i s2. Pentru acvifere cu nivel liber:

( ) ( )Q

Ks H s

R

r

Ks H s

R

r

=−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

π π1 1

1

2 2

2

2 2

ln ln

,

din care se ob¡ine:

( ) ( )( )( )ln

ln lnR

s H s r s H s r

s s H s s=

− − −

− − −1 1 2 2 2

1 2 1 2

2 2

2

1. (3.27)

109

Pentru acvifere sub presiune:

QTs

R

r

Ts

R

r

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2 21

1

2

2

π π

ln ln

,

rezultând:

( )lnln ln

Rs r s r

s s=

−

−1 2 2 1

1 2

. (3.28)

b). Trasând grafic profilul de depresiune sau profilul piezometric în coordonate h2 - ln r, respectiv h - ln r - vezi ec. (3.11) ¿i (3.22), ¿i intersectând dreptele rezultate cu orizontalele având ordonatele H2 (fig. 3.7a) ¿i respectiv H (fig. 3.7b). Aceastå metodå se bazeazå pe observa¡ia cå fåcând r = R în ecua¡ia profilului de depresiune ¿i, respectiv, în cea a profilului piezometric, rezultå h2 = H2 (pentru acvifere cu nivel liber) ¿i h = H (pentru acvifere sub presiune).

Fig. 3.7. Determinarea graficå a razelor de alimentare. a-acvifere cu nivel liber; b-acvifere sub

presiune. Pentru calcule preliminare, raza de alimentare poate fi estimatå cu urmåtoarele rela¡ii empirice: rela¡ia I.P.Kusakin:

R s KH= 2 0 ,pentru acvifere cu nivel liber (3.29)

rela¡ia W.Sichardt:

R s= 10 0 K ,pentru acvifere sub presiune. (3.30)

Pentru ambele rela¡ii, se ob¡ine R în m, introducând s0 ¿i H în m ¿i K în m/zi.

110

3.2.2. Foraje perfecte izolate care deschid acvifere neomogene ¿i anizotrope,

cu extindere orizontalå mare, fårå dinamicå ini¡ialå

3.2.2.1. Suprafe¡ele de discontinuitate litologicå normale pe liniile de curent. Se disting douå cazuri: •¥n cazul acviferului sub presiune considerat în figura 3.8,a, în concordan¡å cu ipotezele Dupuit, se poate scrie:

Fig. 3.8. Mi¿carea radial-planå sub presiune spre un foraj perfect în acvifer cu varia¡ii discontinue de permeabilitate. a-dupå o suprafa¡å cilindricå dispuså simetric fa¡å de foraj; b-dupå

suprafe¡e de stratifica¡ie.

( )( )

( )( )Q

K h h

r r

K M H h

R r=

−=

−2 21 1 2 0

1 2 0

2 1

1 2

π π/

/

/

/ln ln /

2,

de unde rezultå ordonata profilului piezometric pe verticala limitei litologice:

h hQ

K M

r

rH

Q

K M

R

r1 2 0

1

1 2

0 22 2/

/

/

ln ln= + = −π π 1 2

, (3.31)

din care se ob¡ine expresia debitului în func¡ie de conductivitå¡ile hidraulice ale celor douå zone:

( ) ( )Q

M H h

K

r

r K

R

r

K M H hR

r

e=−

+=

−21 1

20

1

1 2

0 2 1 2

10

0

π π

ln ln ln/

/

, (3.32)

111

unde conductivitatea hidraulicå echivalentå (K1

e ) se calculeazå cu rela¡ia:

K

R

r

K

r

r K

R

r

e1 0

1

1 2

0 2 1

1 1=+

ln

ln ln/

/2

. (3.33)

•Pentru acvifere cu nivel liber, procedând la fel, se ob¡ine:

h hQ

K

r

rH

Q

K

R

r1 2 0

2

1

1 2

0

2

2 1

//

/

ln ln= + = −π π 2

, (3.34)

( )Q

K H hR

r

e=−π 1 2

02

0

ln , (3.35)

în care conductivitatea hidraulicå echivalentå (K1

e ) are expresia (3.33), deduså anterior pentru acvifere sub presiune. 3.2.2.2. Suprafe¡ele de discontinuitate litologicå sunt paralele cu liniile de curent. Se disting douå cazuri: •Acviferul sub presiune prezentat în fig. 3.8,b, poate fi împår¡it în douå subdomenii suprapuse având aceea¿i linie piezometricå, debitul total rezultând din însumarea debitelor par¡iale ale acestora:

Q Q QK M K M H h

R r

K M H h

R re= + =

+ −=

−1 2

1 1 2 2 0

0

0

0

2 2π π( )( )

ln( / )

( )

ln( / )

"

, (3.36)

în care conductivitatea hidraulicå echivalentå Ke

" se calculeaza ca medie ponderatå a conductivitå¡ilor hidraulice ale celor douå subdomenii cu grosimile acestora

KK M K M

M Me" =

+

+1 1 2 2

1 2

(3.37)

•Pentru acviferul cu nivel liber prezentat în figura3.9, cantonat în douå forma¡iuni cu permeabilitå¡i diferite.

[ ( ) ( ) ]Q

K h h h hRr

e=

+ − +π "

ln

1 2

2

1 02

0

, (3.38)

112

în care conductivitatea hidraulicå echivalentå - ecua¡ia (3.37), se scrie în forma:

( )K

K h K h K h K hh h h h

K h K h h

h h he" =

+ + ++ + +

=+ ++ +

1 1 2 0 1 1 2 2

1 0 1 2

1 1 2 0 2

1 0 2

2

2 . (3.39)

Fig. 3.9. Foraj perfect într-un acvifer cu nivel liber cantonat în douå forma¡iuni cu permeabilitate diferitå

Aceea¿i expresie a debitului forajului se ob¡ine dacå se admite cå fragmentul inferior corespunde unui acvifer sub presiune având profilul piezometric identic cu cel al acviferului în ansamblu. Debitul total rezultå din însumarea debitelor par¡iale. ¥n mod similar, se pot rezolva situa¡iile în care acviferul, sub presiune sau cu nivel liber, este constituit din mai mult de douå forma¡iuni cu permeabilitå¡i diferite. 3.2.3. Foraje perfecte izolate în acvifere omogene ¿i izotrope, limitate în plan

orizontal, fårå dinamicå ini¡ialå

3.2.3.1. Foraj amplasat în apropierea unei frontiere de alimentare. Dacå în domeniul de influen¡å al unui foraj perfect din care se pompeazå debitul constant Q, se resimte influen¡a realimentårii acviferului deschis de foraj dintr-un râu sau dintr-un lac, printr-o frontierå practic rectilinie ¿i infinitå, atunci curgerea rezultantå poate fi exprimatå cu ajutorul metodei imaginilor, ca ¿i când ar proveni prin suprapunerea curgerii axial-simetrice spre forajul real cu curgerea, de asemenea axial-simetricå, dinspre imaginea inverså (negativå) a forajului (în raport cu frontiera de alimentare), dintr-un acvifer practic infinit.

113

•¥n cazul acviferelor sub presiune cu grosime relativ constantå, ecua¡ia diferen¡ialå a mi¿cårii radial-plane, într-un acvifer practic infinit, deduså în concordan¡å cu ipotezele Dupuit (v.rel.3.12), este:

dhQ

T

dr

r=

2π ,

prin integrarea cåreia rezultå:

hQ

Tr const= +

2πln ,

valabilå în interiorul conturului de alimentare al forajului (r0< r< R ¿i h0< h< H), în care h reprezintå ordonata profilului piezometric într-un punct oarecare P aflat în interiorul zonei de alimentare a forajului (fig. 3.10,b). Ordonata profilului piezometric determinat de func¡ionarea forajului imagine (în care se introduce debitul Q) în acela¿i punct P va fi:

hQ

Tr const' 'ln= +

2π .

Pozi¡ia profilului piezometric în punctul P este determinatå de însumarea celor douå efecte:

hQ

T

r

rCp = +

2πln

' , (3.40)

constanta C urmând a fi determinatå din condi¡iile de margine. Pe linia de alimentare, care este o echipoten¡ialå, r = r' ¿i hp = H, deci C = H, din rela¡ia (3.40) rezultând ecua¡ia profilului piezometric:

hQ

T

r

rp =

2πln

'

. (3.41)

Dacå se considerå cå punctul P coincide cu forajul experimental (hp=h0, r=r0, r=2L), din rela¡ia (3.41) se ob¡ine expresia debitului acestuia în condi¡iile func¡ionårii în vecinåtatea unei limite de alimentare:

( )( ) ( )QT H h

L r

Ts

L r=

−=

2

2

2

2

0

0

0

0

π π

ln / ln / , (3.42)

care are semnifica¡ie numai când 2L < R.

114

Fig. 3.10. Foraj amplasat în apropierea unei frontiere de alimentare. a-sec¡iune; b-în plan

orizontal.

•¥n cazul acviferelor cu nivel liber, ecua¡ia diferen¡ialå a mi¿cårii - (v.rel.3.2), este:

h dhQ

K

dr

r=

2π ,

prin integrarea cåreia rezultå ordonatele profilului de depresiune într-un punct oarecare P, determinate de func¡ionarea independentå a forajului real (h) ¿i a celui imaginar (h'):

hQ

Kr const2 = +

πln .,

hQ

Kr const' 'ln2 = +

π;

115

Prin însumarea efectelor rezultå:

hQ

K

r

rCP

'

'ln2 = +

π. (3.43)

Pe linia de alimentare, r = r' ¿i hP = H, deci C = H2, ¿i din (3.43) se ob¡ine ecua¡ia profilului de depresiune:

h HQ

K

r

rp2 2= −

πln

'. (3.44)

Dacå punctul P corespunde cu forajul experimental (hP=h0, r=r0 ¿i r'=2L), din rela¡ia (3.44) rezultå ecua¡ia debitului acestuia:

( )( )

( )( )Q

T H h

L r

Ks H s

L r=

−=

−2

2

2

2

202

0

0

0

π π

ln / ln /

0. (3.45)

3.2.3.2. Foraj amplasat în apropierea unei limite impermeabile. ¥n aceastå situa¡ie, se suprapune efectul forajului real cu cel al unui foraj imaginar simetric, în raport cu limita impermeabilå, care func¡ioneazå într-un acvifer practic infinit (forajul real lucreazå într-o situa¡ie hidrodinamic echivalentå) - (fig. 3.11). •¥n cazul acviferelor sub presiune:

hQ

Trr Cp = +

2πln ' , (3.46,a)

în care hp = H, pentru r = R ¿i r' = 2L + R, rezultând:

( )C HQ

TR R= − +

22L

πln ,

¿i înlocuind în rela¡ia (3.46,a) se ob¡ine ecua¡ia profilului piezomeric:

( )h H

Q

T

R R

rrp = −

+

2

2L

πln

'.

Dacå punctul P coincide cu forajul experimental (hp = h0, r = r0, r' = 2L), din (3.46,a) se ob¡ine expresia debitului acestuia:

( )( )QT H h

R R

r

=−

+2

1 2L0

0

π

ln/

(3.46,b)

116

Fig. 3.11. Foraj amplasat în apropierea unei limite impermeabile. a-sec¡iune; b-în plan orizontal. Se observå cå limita impermeabilå are o influen¡å neglijabilå dacå L > R. •¥n cazul acviferelor cu nivel liber, procedând la fel, se ob¡ine ecua¡ia profilului piezometric:

( )h H

Q

K

R R

rrp2 2 2L

= −+

πln

' (3.47)

¿i expresia debitului forajului:

( )( )Q

K H h

R R

r

=−

+π 2

02

0

1 2Lln

/. (3.48)

117

3.2.4. Foraje perfecte izolate care deschid acvifere omogene ¿i izotrope cu

extindere orizontalå mare, cu dinamicå ini¡ialå

Se considerå situa¡ia simplå în care acviferul are, ini¡ial, o mi¿care uniformå. Poten¡ialul complex al mi¿cårii cåtre foraj se ob¡ine prin însumarea poten¡ialului mi¿cårii uniforme (a acviferului) cu mi¿carea de asemenea poten¡ialå, radial planå, cåtre foraj. Exprimarea mi¿cårilor poten¡iale plane cu ajutorul func¡iilor analitice de

variabilå complexå. Mi¿carea poten¡ialå planå poate fi reduså la studiul unui strat sub¡ire de fluid situat pe un plan. ¥n planul x - y, viteza de filtrare în orice punct este datå de legea lui Darcy:

v Kgrad H grad→

= − = − Φ , (3.49) iar componentele acesteia sunt:

vX

vY

X Y= − = −∂Φ

∂

∂Φ

∂, , (3.50)

v v vx y= +2 2 ,

în care Φ este poten¡ialul vitezelor. ¥n § 1.4 s-a demonstrat cå, pentru mi¿cårile poten¡iale plane, existå o func¡ie Ψ(x,y) = const., numitå func¡ie de curent, definitå prin:

vx

vy

X Y= − = −∂Ψ

∂

∂Ψ

∂, , (3.51)

De asemenea s-a demonstrat cå func¡ia de curent ca ¿i cea de poten¡ial verificå ecua¡ia lui Laplace (sunt armonic conjugate) ¿i cå liniile de curent ¿i cele echipoten¡iale sunt ortogonale. Legåtura dintre Φ ¿i Ψ rezultå din compararea rela¡iilor (3.50) ¿i (3.51), fiind exprimatå prin ecua¡iile (criteriul) Cauchy - Riemann:

∂Φ∂

∂Ψ∂

∂Φ∂

∂Ψ∂x y y x

= =, − (3.52)

Func¡ia f de variabilå complexå Z = x + iy se nume¿te analiticå atunci când are derivate unice ¿i continue în orice punct, independent de raportul dy/dx. Func¡ia f(z)=Φ +iΨ este derivabilå în condi¡iile amintite atunci când sunt respectate condi¡iile Cauchy -

118

Riemann (3.52). Aceastå observa¡ie se poate demonstra dacå se considerå cre¿terea df a func¡iei f(z) = Φ +iΨ în raport cu cre¿terea lui Z = x + iy :

dfdZ

xdx

ydy i

xdx

ydy

dx i dy=

+ + +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+

∂Φ∂

∂Φ∂

∂Ψ∂

∂Ψ∂

;

dfdZ

xi

ydx i

x i ydy

dx i dy=

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+

∂Φ∂

∂Ψ∂

∂Ψ∂

∂Φ∂

1

.

Pentru ca derivata så fie independentå de dx ¿i dy este evident cå termenii din parantezele de la numåråtor trebuie så fie identici, de unde rezultå condi¡iile Cauchy - Riemann - (v.rel.3.52). Rezultå cå separând la o func¡ie analiticå de variabilå complexå f partea realå Φ de partea imaginarå Ψ, cele douå func¡ii Φ ¿i Ψ, armonic conjugate, reprezintå o mi¿care poten¡ialå. Reciproca este ¿i ea adevåratå: orice mi¿care poten¡ialå poate fi exprimatå printr-o func¡ie analiticå de variabilå complexå. Dacå se însumeazå poten¡ialele complexe a douå mi¿cåri elementare poten¡iale se ob¡ine o nouå mi¿care poten¡ialå cu poten¡ialul complex:

f(Z) = f1(Z) + f2(Z) = Φ + iΨ, (3.53) în care poten¡ialul vitezelor este:

Φ = Φ 1 + Φ 2 (3.54) iar func¡ia de curent:

Ψ = Ψ 1 + Ψ 2 (3.55) deoarece ¿i func¡iile nou ob¡inute îndeplinesc condi¡iile Cauchy - Riemann. De asemenea, prin înmul¡irea lui f(z) cu constanta complexå A + iB se ob¡ine tot o mi¿care poten¡ialå. ¥n literatura de specialitate sunt prezentate numeroase func¡ii analitice de variabilå complexå ¿i mi¿cårile poten¡iale corespunzåtoare. Se considerå douå exemple: •Curen¡ii acviferi cu mi¿care uniformå (fig. 3.12) pot fi reprezenta¡i prin func¡ia:

f = CZ , (3.56) unde constanta C este un numår complex (C = A + iB), iar Z este variabila complexå (Z = x + iy), deci:

f = Φ + iΨ = (A + iB) (x + iy) = Ax - By + i(Bx + Ay) ,

119

Φ = Ax - By , Ψ = Bx + Ay (3.57)

Fig. 3.12. Spectrul hidrodinamic al unui acvifer cu mi¿care uniformå

Liniile de curent Ψ = const. sunt paralele ¿i au ecua¡ia yBA

x const= − + ., deci

unghiul β format cu abscisa rezultå din tgBA

β = − .

Dacå B = 0 (liniile de curent sunt paralele cu axa absciselor) atunci vx

A= =∂Φ∂

, deci

Φ = vx , Ψ = vy . (3.58)

•Curen¡i acviferi cu mi¿care radialå (cåtre un punct) ¿i grosime unitarå. Se considerå func¡ia:

f(Z) = C lnZ, (3.59) la care urmeazå så se separe partea realå de cea imaginarå. ¥n acest scop, este mai comod så se foloseascå exprimarea exponen¡ialå a variabilei complexe (fig. 3.13):

Z rei= θ (3.60) în care:

r x y si arctg y= + =2 2 θ / x (3.61)

120

¥nlocuind (3.60) în (3.59), rezultå:

f Z C re C r iCi( ) ln ln= = +θ θ deci:

Φ = C ln r ¿i Ψ = Cθ (3.62)

Fig. 3.13 Exprimarea exponen¡ialå a variabilei complexe. Deoarece viteza de filtrare este radialå ¿i are aceea¿i valoare pe conturul de razå r, debitul care traverseazå acest contur (de înål¡ime unitarå) este:

Q rv vQ

r= → =2

2π

π.

Pe de altå parte:

vr

c

r= =

∂Φ

∂

¿i comparând cu exprimarea anterioarå, se ob¡ine:

CQ

=2π

,

care înlocuitå în (3.63) conduce la:

121

Φ

Ψ

= = +

= =

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

Qr

Qx y

Q Qarctg y x

2 2

2 2

2 2

π π

πθ

π

ln ln

/

(3.63)

Pentru Q constant, rezultå Φ = const. ,când r = const., - deci liniile echipoten¡iale sunt cercuri cu centrul în originea axelor ¿i Ψ = const., când y/x = const., - deci liniile de curent sunt raze drepte convergente în origine. 3.2.4.1. Acvifere sub presiune. Dacå acviferul natural, cu mi¿care uniformå, are viteza ini¡ialå v0 = KI0 , sistemul de coordonate fiind astfel ales încât liniile de curent sunt paralele cu abscisa (fig. 3.2), poten¡ialul complex al acestuia este:

( )f Z v Z v x iv y

v x v y

1 0 0 0

1 0 1 0

= = +

= =

⎫⎬⎪

⎭⎪Φ Ψ; (3.64)

Mi¿carea radialå spre foraj, în acviferul sub presiune de grosime M, fårå dinamicå ini¡ialå este reprezentatå de poten¡ialul complex.

f ZQ

MZ

Q

Mr i

Q

M

Q

Mr

Q

M

2

2 2

2 2 2

2 2

( ) ln ln

ln ;

= − = − −

= − = −

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

π π πθ

π πθΦ Ψ

(3.65)

Poten¡ialul mi¿cårii spre foraj, în condi¡iile în care acviferul deschis are dinamicå ini¡ialå, se ob¡ine prin însumarea poten¡ialelor celor douå mi¿cåri elementare care se suprapun.

f Z f Z f Z v ZQ

MZ

v xQ

Mr

v yQ

M

( ) ( ) ( ) ln

ln

= + = −

= + = −

= + = −

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

1 2 0

1 2 0

1 2 0

2

2

2

π

π

πθ

Φ Φ Φ

Ψ Ψ Ψ

(3.66)

Spectrul hidrodinamic al mi¿cårii rezultante este prezentat în figura 3.2. Domeniul de alimentare al forajului (suprafa¡a în interiorul cåreia toate liniile de curent sunt captate de foraj) este delimitat de o linie de cumpånå (Ψ = 0) care descrie un contur deschis în amonte. Debitul extras din foraj este compensat în întregime din resursa

122

dinamicå a acviferului corespunzåtoare frontului de alimentare de lungime b. Valoarea lui b se ob¡ine punând condi¡iile:

Ψ = 0 , y=b/2 ¿i θ = π , când x = - ∞ ;

vb Q

Mb

Qv M

QI T0

0 02 20− = → = =

ππ , (3.67)

deci curba Ψ = 0 este asimtotå la dreapta y = b/2 spre x = - ∞. Ordonata punctului B rezultå din condi¡iile:

Ψ = 0 , x = 0 , θ = π/2 , y = yB ;

v yQM

yQI T

bB B0

02 20

4 4− = → = =π

π. (3.68)

Pozi¡ia punctului A (de stagnare) se stabile¿te punând condi¡ia ca viteza de filtrare så fie zero (deci vx = 0 ¿i vy = 0):

( )vx

vQ

M xx y v

Q

M

x

x yx = = − +

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥= −

+=

∂Φ

∂ π

∂

∂ π02 2

0 2 22

1

2 20ln

vy

Q

M

y

x yy = = −

+=

∂Φ

∂ π20

2 2

De unde rezultå:

y

vQM x

xQTI

bA

AA

=

− = → = =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

0

21

02 20

0π π π. (3.69)

Pentru acela¿i debit extras din acvifere diferite, lå¡imea frontului de alimentare b ¿i distan¡a OA = xA sunt mai mari cu cât viteza ini¡ialå a curentului acvifer ¿i grosimea acestuia sunt mai mici. Deoarece viteza de filtrare radialå, la o distan¡å oarecare r, în conformitate cu legea lui Darcy, este:

v KI Kdhdr

ddr

= = =Φ

,

rezultå:

Φ = -Kh + C , (3.70)

123

care egalatå cu cealaltå formå de exprimare a poten¡ialului vitezelor - (v.rel.3.66), conduce la:

Φ = − + = − +v xQ

Mx y Kh C0

2 2

2πln , (3.71)

din care, prin eliminarea constantei C, se ob¡ine succesiv: - Ecua¡ia profilului piezometric în lungul axei x, în amonte ¿i în aval de forajul experimental. La peretele filtrului forajului experimental, pentru x r= m 0 , y=0 ¿i h=h0,

ecua¡ia (3.71) devine:

− − = − +v rQM

r Kh0 0 0 02π ln C .

La o distan¡å oarecare r ( x r= − , spre amonte ¿i x = r, spre aval), y = 0 ¿i h = h(x), din ecua¡ia (3.71) rezultå:

− − = − +v rQM

r Kh C0 2π ln .

Scåzând între ele cele douå rela¡ii, se ob¡ine ecua¡ia profilului piezometric:

(h hQ

Trr

I r r= + ± −00

0 02πln ) . (3.72)

- Ecua¡ia profilului piezometric (simetric) pe direc¡ia axei y. Punând condi¡iile x=0 , y = r0 , h = h0 ¿i x = 0 , y = r , h = h(y) ¿i procedând ca mai sus, rezultå:

h hQ

T

r

r= +0

02πln , (3.73)

identicå cu rela¡ia (3.22) ob¡inutå pentru situa¡ia când acviferul deschis nu are dinamicå ini¡ialå. - Debitul forajului experimental în func¡ie de måsuråtorile de nivel efectuate în douå piezometre plasate în lungul axei x în amonte sau în aval de forajul experimental:

( ) ( )Q

T h h I r r

r r=

− −−

2 2 1 0 2 1

2 1

π m

ln ln. (3.74)

Rela¡ii similare se pot scrie între forajul experimental ¿i oricare dintre piezometre.

124

Spectrul hidrodinamic al unui foraj din care se extrage debitul Q dintr-un acvifer cu vitezå medie ini¡ialå v0 se poate desena calculând coordonatele punctelor al cåror loc geometric sunt liniile echipoten¡iale Φ ¿i liniile de curent Ψ (fig. 3.2):

Ψ Ψ

x y ctg

yb

v

=

= +

⎧

⎨⎪

⎩⎪

θ

πθ

2 0

Φ

Φx

br

v

y r x

= +

= +

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

2 0

2 2

πln

(3.75)

dând valori lui Ψ , Φ ¿i θ . 3.2.4.2. Acvifere cu nivel liber. Poten¡ialul vitezelor ¿i func¡ia de curent, în cazul miscårii radiale spre foraj, se poate ob¡ine din (3.50) înlocuind Q/M - debitul corespunzåtor unui contur cilindric de razå oarecare r ¿i înål¡ime unitarå, constant pentru acviferele sub presiune, prin Q - debitul care traverseazå întreaga înål¡ime h(r) a acviferului:

Φ Ψ2 22 2

= − = −Q

rQ

π πθln ; , (3.76)

deci:

f ZQ

ZQ

r iQ

22 2 2

( ) ln ln= − = − −π π π

θ, (3.77)

Dacå se noteazå cu hm grosimea medie a acviferului cu nivel liber ¿i mi¿care uniformå, poten¡ialul complex al acesteia este:

f Z h v Z h v x i h v y

h v x h v y

m m m

m m

1 0 0

1 0 1 0

( )

;

= = +

= =

⎫⎬⎪

⎭⎪Φ Ψ

0 (3.78)

Rezultå cå poten¡ialul mi¿cårii spre foraj, atunci când acviferul cu nivel liber deschis are dinamicå ini¡ialå, este:

f Z h v ZQ

Z

h v xQ

rZ

h v yQ

m

m

m

( ) ln

ln

= −

= −

= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

0

0

0

2

2

2

π

π

πθ

Φ

Ψ

(3.79)

125

Pe de altå parte, pentru a putea aplica poten¡ialul Φ pe întreaga înål¡ime h(r), viteza

Kdhdr

trebuie înmul¡itå cu h. Func¡ia care îndepline¿te aceastå condi¡ie ¿i, totodatå,

satisface ecua¡ia lui Laplace, este:

Φ = − +1

22Kh C (3.80)

Procedând ca în cazul acviferelor sub presiune, se ob¡ine lå¡imea frontului de alimentare a forajului, ordonata punctului B ¿i abscisa punctului A (fig. 3.2):

bQ

I Ty

bx

bB A= = =

0 4 2; ; π , (3.81)

în care transmisivitatea T = khm . Egalând expresiile poten¡ialului vitezelor (3.80) ¿i (3.81), rezultå:

Φ = = + = − +h v xQ

x y Kh Cm 02 2 2

2

1

2πln ,

din care, prin eliminarea constantei C, se ob¡in succesiv: - Ecua¡ia profilului de depresiune, în lungul axei x, în amonte ¿i în aval de forajul experimental:

(h hQK

rr

h I r rm2

02

00 02= + ± −π ln ) ; (3.82)

- Ecua¡ia profilului de depresiune (simetric) pe direc¡ia axei y:

h hQ

K

r

r2

02

0

= +π

ln ; (3.83)

- Debitul forajului experimental în func¡ie de måsuråtorile de nivel efectuate în douå foraje de observa¡ie plasate în lungul axei x, în amonte sau în aval de forajul experimental:

( ) ( )[ ]Q

K h h h I r r

r rm

=− −

−

π 22

12

0 2 1

2 1

2m

ln ln. (3.84)

Spectrul hidrodinamic al mi¿cårii se poate desena calculând coordonatele punctelor al cåror loc geometric sunt liniile Φ ¿i Ψ , dând valori lui Φ, Ψ ¿i θ în rela¡iile:

126

Ψ Ψx y ctg

yb

h vm

=

= +

⎧

⎨⎪

⎩⎪

θ

πθ

2 0

Φx

br

h v

y r x

m

= +

= −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

2 0

2 2

π

θln

(3.85)

Observa¡ie. Pentru I0 = 0 (acvifere fårå dinamicå ini¡ialå), rela¡iile de mai sus devin identice cu cele deduse în subcapitolul 3.2.1. pornind de la ipotezele lui Dupuit. 3.2.5. Foraje imperfecte dupå gradul de deschidere

Expresia debitului unui foraj care deschide par¡ial un acvifer sub presiune a fost datå încå din 1946 de M. Muskat (fig. 3.14), [38].

Fig. 3.14. Spectrul hidrodinamic al unui foraj imperfect dupå gradul de deschidere.

( )Q

K H h

M

rf

l

M

l

M

M

R

=−

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−

2

1

22

4 4

0

0

π

ln ln

, (3.86)

în care:

127

( ) ( )( ) ( )f

lM

l M l M

l M l M⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=− −

ln, / , /

, / , /

Γ ΓΓ Γ

0 875 0 125

1 0 875 1 0 125, (3.87)

Γ fiind func¡ia gama, ale cårei valori sunt date în tabele de func¡ii. Valorile func¡iei f(l/M) se dau în figura 3.15.

Fig. 3.15. Valorile func¡iei f(l/M). Studiile efectuate de numero¿i cercetåtori au confirmat valabilitatea rela¡iei (3.86). Din examinarea spectrului hidrodinamic de principiu prezentat în figura 3.14, rezultå cå liniile de curent au o curburå pronun¡atå într-o zonå restrânså din jurul forajului - pe o razå aproximativ egalå cu grosimea acviferului - dupå care pot fi considerate practic orizontale (în intervalul M < r < R formulele lui Dupuit sunt aplicabile). ¥n condi¡iile regimului sta¡ionar de func¡ionare a forajului, în concordan¡å cu ipotezele lui Dupuit, debitul extras trebuie så fie identic cu cel care traverseazå suprafe¡ele cilindrice de razå r = M ¿i R. Rezultå cå denivelårile într-un foraj imaginar de razå r = M ¿i în forajul experimental sunt

H hQ

TRM

h hQ

TMr

− =

− = +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

'

'

ln

ln

2

200

1

π

πζ

(3.88)

în care, prin intermediul coeficientului adimensional ζ1 se compenseazå pierderea de sarcinå (denivelarea) determinatå de rezistentele hidraulice suplimentare din cadrul zonei cu spectru hidrodinamic distorsionat. Eliminând pe h' din rela¡iile (3.88), se ob¡ine:

128

H hQ

TRr

QT

Rre

− = +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =0

012 2π

ζπ

ln ln , (3.89)

în care:

r r ee = −0

1ς. (3.90)

Rezultå cå dacå se cunoa¿te valoarea coeficientului ζ1 , forajul imperfect (dupå gradul de deschidere) poate fi înlocuit printr-un foraj perfect, de razå re < r0 , hidrodinamic echivalent (pentru o denivelare datå, extrage acela¿i debit cu cel real). Egalând debitul dat de rela¡ia Muskat (3.86) cu expresia rezultatå din (3.89), pentru un foraj de razå oarecare r, se ob¡ine:

12

24 4

1

Ml

Mr

fl

MMR

Mr

ln ln ln− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − = + ζ4

(ζ1

11

4 12

1= −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

l MMr l M

f l M/

ln/

/ ) . (3.91)

Deci, coeficientul ζ1 , care caracterizeazå rezisten¡ele hidraulice suplimentare introduse de imperfec¡iunea dupå gradul de deschidere, este o func¡ie explicitå de l/M ¿i M/r. Dând valori rapoartelor l/M ¿i M/r în (3.91), ¿i determinând f(l/M) din figura 3.15, s-a construit graficul din figura 3.16, care eviden¡iazå o observa¡ie importantå din punct de vedere practic: piezometrele plasate la distante r ≤ M(M/r ≤ 1) de forajul experimental pot fi considerate practic perfecte dupå gradul de deschidere, chiar dacå au filtre de lungimi reduse. Raportul dintre debitul extras dintr-un foraj imperfect Q (3.73) ¿i debitul maxim ob¡inut dintr-un foraj perfect dupå gradul de deschidere(QD - corespunzåtor rela¡iilor lui Dupuit), pentru aceea¿i denivelare înregistratå în cele douå foraje, este:

QQ

Rr

Rr

RrRr

D

e

=+

=ln

ln

ln

ln

0

01

0

ζ, (3.92)

în care r r . ee = −0

1ζ

¥n legåturå cu determinarea valorilor lui ζ1 , pentru diverse pozi¡ii ale filtrului în cadrul acviferului, se fac urmåtoarele observa¡ii: - Când filtrul este plasat practic în contact cu culcu¿ul sau acoperi¿ul impermeabil al acviferului (filtru neinundat) se folosesc valorile ζ1 , deduse din figura 3.16 în func¡ie de rapoartele l/M ¿i M/r. - Când filtrul este plasat spre mijlocul acviferului (filtru inundat), valorile lui ζ 1 se

deduc în func¡ie de rapoartele l

Msi

M

r

/

/

/2

2

2 (v. fig. 3.16,c).

129

Fig. 3.16. Diagrama de calcul a coeficientului ζ1 ¿i figuri explicative pentru cazurile când filtrul este plasat lângå acoperi¿ (a), lângå culcu¿ (b) sau în mijlocul acviferului (c).

Debitul unui foraj imperfect care deschide un acvifer cu nivel liber, similar cu (3.89), se scrie sub forma:

( ) ( )Q

K H h

Rr

K H h

Rre

=−

+=

−π

ζ

π2 02

01

202

ln ln, (3.93)

în care re are expresia (3.90), iar ζ1 se determinå tot din figura 3.16, transformând acviferul cu nivel liber în unul sub presiune al cårui acoperi¿ impermeabil conven¡ional are cota plasatå la media dintre nivelul hidrostatic (ini¡ial) ¿i cel dinamic din forajul experimental. Se vor considera:

MH h

Hs

l lH h

ls

=+

= −

= −+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

0 0

00

00

2 2

2 2

. (3.94)

130

Erorile introduse de acest sistem de lucru cresc odatå cu mårimea denivelårii în forajul experimental, råmânând înså, pentru majoritatea situa¡iilor practice, în limite admisibile. Debitele forajelor imperfecte, care deschid acvifere cu nivel liber, pot fi determinate cu ajutorul metodei fragmentelor (fig. 3.17): se împarte acviferul în douå zone printr-un plan orizontal care trece prin mijlocul filtrului activ. ¥n zona superioarå, cu nivel liber, forajul este perfect, având debitul Q1 , iar în zona inferioarå sub presiune forajul este imperfect având debitul Q2 . Debitul forajului va rezulta din însumarea debitelor corespunzåtoare celor douå zone:

( )Q Q Q

QKs h s

R r

QKMs

R r

= +

=−

=+

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

1 2

10

10 1

2

2

π

πζ

ln /

ln /

, (3.95)

în care ζ1 se calculeazå cu rela¡ia (3.91) sau se determinå din figura 3.16.

Fig. 3.17. Aplicarea metodei fragmentelor în cazul acviferelor cu nivel liber. Raportul dintre debitul extras dintr-un foraj imperfect (Q) ¿i debitul maxim corespunzåtor unui foraj perfect dupå gradul de deschidere (QD), pentru aceea¿i valoare a denivelårii, este dat de rela¡ia (3.92). ¥n cazul forajelor imperfecte dupå gradul de deschidere, se accentueazå influen¡a anizotropiei acviferului deschis (dacå KX > KZ), având ca efect cre¿terea rezisten¡elor hidraulice suplimentare în zona cu spectru hidrodinamic distorsionat. Dacå liniile de curent ar fi practic orizontale (foraj perfect), sau dacå depozitele permeabile sunt izotrope, în calculul debitului se ia K = KX. ¥n cazul forajelor imperfecte,

131

conductivitatea hidraulicå echivalentå este K K Kx z= 23 , ceea ce conduce la urmåtoarele

reduceri de debite fa¡å de cazul mediului izotrop.

Tabelul 3.2.

KX/KZ 1 2 5 10 100 Qanizotrop Qizotrop

1 0,8 0,6 0,5 0,2

¥n acela¿i timp, în cazul mediilor anizotrope, raza zonei în care spectrul hidrodinamic este distorsionat cre¿te de la r = M la r M K Kx z= / .

3.2.6. Grupuri ¿i linii de foraje în interferen¡å

Forajele izolate, studiate în paragrafele anterioare, se folosesc pentru testarea hidrodinamicå a acviferelor sau pentru captåri izolate. ¥n practica inginereascå, captarea apelor subterane pentru alimentåri cu apå ¿i coborîrea nivelului ini¡ial al acestora, pentru diverse scopuri, se realizeazå cu ajutorul sistemelor de foraje, care, dupå felul în care sunt a¿ezate, pot fi clasificate în: - grupuri de foraje, a¿ezate pe contururi mai mult sau mai pu¡in regulate, distan¡a între forajele cele mai depårtate fiind mai micå decât raza de alimentare, ¿i - foraje a¿ezate pe una sau mai multe linii. 3.2.6.1. Grupuri de foraje în acvifere cu extinderea orizontalå mare, fårå

dinamicå ini¡ialå. Cazul general al dispunerii forajelor pe contururi de formå oarecare se trateazå prin metoda suprapunerii (însumårii) efectelor. ¥n cazul acviferelor sub presiune, denivelarea determinatå (induså) într-un punct oarecare P de un foraj perfect (si-p) din care se pompeazå în regim sta¡ionar debitul Qi este (figura 3.18).

sQ

TR

ri pi

i p−

−=

2π ln , pentru R > ri-p (3.96)

Denivelarea creatå în acela¿i punct de func¡ionarea a n foraje este:

s sT

QRrp i p

i

n

ii

ni

i p

= ∑ = ∑−= = −1 1

12π ln (3.97)

Considerând R1 = R2 = ... =Rn = R (cunoscut), din sistemul (3.103) se pot determina debitele ce trebuie extrase din fiecare foraj pentru a realiza în punctul P o denivelare impuså. Dacå forajele urmeazå så func¡ioneze cu debite egale, rela¡ia (3.97) se simplificå:

132

sT

QR

rnQ

TR

r r rp ii

n

i p p p n pn

= ∑ == − − − −

12 21

1 2π πln ln

... (3.98)

sau:

Q nQTs

R rp

p

p

= =2π

ln / (3.99)

în care: r r r rp p p n

n= − − −1 2 ... p . (3.100)

Rela¡ia (3.99) aratå cå grupul de foraje poate fi înlocuit cu un "pu¡ mare"- echivalent din punct de vedere hidrodinamic - de razå rp , în care denivelarea este sp pentru un debit extras egal cu Qp = nQ.

Fig. 3.18. Grup de foraje în interferen¡å. Pentru determinarea denivelårii în centrul incintelor de diferite forme, raza pu¡ului mare echivalent se poate calcula cu urmåtoarele rela¡ii simplificate: - incintå circularå de razå rc : rp = rc; - incintå dreptunghiularå cu lå¡imea B:

BL

r L

BL

rL B

BL

r L

p

p

p

≤ → =

> → =+

< < → = =

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

0 1 0 25

0 33

0 1 0 33

. ,

,

, , / ;

π

πΩ Ω B

(3.101)

133

- contur poligonal de formå oarecare cu forajele în col¡urile poligonului (fig. 3.19)

r r rpn= 1 2

2 , ...rn , (3.102)

în care r1, r2,...,rn sunt distan¡ele de la jumåtatea fiecårei laturi ¿i de la fiecare foraj la centrul de greutate al poligonului.

Fig. 3.19. Foraje în interferen¡å pe contur poligonal de formå oarecare. Pentru o valoare impuså a denivelårii în centrul unei incinte, indiferent de forma acesteia, se calculeazå debitul pu¡ului mare echivalent. Cunoscând debitul maxim admisibil al unui foraj (Qf), rezultå numårul forajelor ce urmeazå så fie amplasate echidistant pe contur (n = Qp/Qf). Pentru a stabili condi¡iile de func¡ionare ale fiecårui foraj (efectul interferen¡ei grupului în fiecare din forajele componente), se mutå punctul P în fiecare din acestea, din (3.97) rezultând:

QRr

QRr

QRr

Ts

QRr

QRr

QRr

Ts

QRr

QRr

nn

n

nn

n

n n

11

0 12

2

1 2 101

11

2 12

2

0 2 202

11

12

2

2

2

ln ln ... ln

ln ln ... ln

... ..... ..... ..... ..... .... ..... ..... ..... .... ..... ..... ...

ln ln

− − −

− − −

−

+ + + =

+ + + =

+

π

π

− −+ + =

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

2 002... lnQ

Rr

Tsnn

nnπ

(3.103)

Considerând R1 = R2 = ... = Rn = R (cunoscut), se pot determina denivelårile în fiecare foraj, pentru debite impuse, sau se pot calcula debitele pentru denivelåri date. Dacå forajele urmeazå så func¡ioneze cu debite egale (debite maxime admisibile pentru un anumit tip de filtru), sistemul de ecua¡ii (3.103) devine explicit, rezultând denivelarea în fiecare foraj.

134

Dacå forajele, cu debite egale, de acela¿i tip constructiv (r0-1 = r0-2 = ... = r0-n = r0) sunt amplasate echidistant pe un contur circular, denivelårile în fiecare din acestea vor fi identice (s01 = s02 = ... = s0n = s0), iar sistemul de ecua¡ii (3.103) se reduce la:

QTs

Rr r r

n

n

=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

− −

2 0

0 1 2 1

π

ln...

. (3.104)

Deoarece distan¡ele de la unul din foraje la celelalte sunt func¡ie de raza conturului (rc=rp), rela¡ia (3.104) se poate scrie în forma simplificatå:

QTs

Rnr r

n

cn

=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥−

2 0

01

0

π

ln

, (3.105)

în care R0 = R + rc , iar n este numårul forajelor. Rela¡ia (3.105) poate fi aplicatå ¿i pentru contururi dreptunghiulare cu L/B < 2,5, înlocuind rc cu rp (raza pu¡ului mare echivalent) calculatå conform rela¡iei (3.109) - (v.fig.3.20).

Fig.3.20. Foraje în interferen¡å a¿ezate pe un contur dreptunghiular. ¥n situa¡ia în care forajele, în totalitate sau numai o parte din acestea, sunt imperfecte dupå gradul lor de deschidere, rela¡iile (3.97) ¿i (3.98) devin:

sT

QRrp

i

n

ii

i pi= ∑ +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= −

12 1

1πζln ( ) , (3.106)

¿i respectiv:

135

snQ

TRrp

i

i pi

n

i

n

i= ∑ + ∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−= =2 1 11π

ζln ( ) , (3.107)

iar în sistemul (3.103) se vor înlocui razele forajelor (r0-i) prin razele echivalente re(i)=r0(i)e

−ζ1(i) - (v. rel. 3.90). Coeficientul de corec¡ie ζ 1(i) - (v. rel. 3.91 ¿i fig. 3.16), - are valori semnificative numai atunci când ri-p < M (M/ri-p > 1). ¥n cazul acviferelor cu nivel liber, folosind acela¿i sistem de lucru, rezultå succesiv: - denivelarea într-un punct oarecare P:

( )s H sK

QR

rp p i

i

ni

i p

21

1− = ∑

=−π

ln pentru R < ri-p , (3.108)

pentru situa¡ia când debitele forajelor sunt diferite, ¿i:

( )s H snQ

K

R

rp p

p

2 − =π

ln (3.109)

când debitele forajelor sunt egale. - efectul func¡ionårii grupului în fiecare din forajele componente rezultå folosind sistemul de ecua¡ii (3.103) ¿i înlocuind în membrul drept termenii 2πTsi prin πTsi (2H-si). Aceea¿i înlocuire se face ¿i în rela¡iile (3.104 ¿i 3.105). Considerarea imperfec¡iunii forajelor se face la fel ca la acviferele sub presiune, valorile coeficientului ζ1, urmând a fi determinate în concordan¡å cu cele discutate în § 3.2.5. Atât la acviferele sub presiune cât ¿i la cele cu nivel liber, modificându-se pozi¡ia punctului P, se poate determina nivelul dinamic în orice punct al incintei. Din ecua¡iile scrise anterior fåcând sp = H-hp se ob¡in ecua¡iile profilelor piezometrice (de depresiune). Observa¡ie. Rela¡ia (3.104) poate fi scriså - pentru foraje imperfecte care deschid acvifere sub presiune, în forma generalå:

QTs

Rr r r

TsN

TsN Nn

n

=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

=+

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −

2 2 210

0 1 2 11

0

1

0 1π

ζ

πζ

π ζ

ln...

, (3.110)

în care N este un coeficient care depinde de schema de amplasare a forajelor ¿i de condi¡iile de margine. Spre exemplu, pentru contururi circulare sau dreptunghiulare (cu L/B < 2,5) valoarea lui N este datå de numitorul rela¡iei (3.105): Se observå cå multiplicând debitul forajului perfect cu factorul (1+ζ1/Ν) se ob¡ine debitul forajului imperfect dupå gradul de deschidere.

136

Rela¡ia (3.110) este valabilå ¿i pentru acviferele cu nivel liber, numåråtorul având în acest caz forma πKs0(2H - s0).

3.2.6.2. Grupuri de foraje în acvifere cu extindere orizontalå mare, cu dinamicå

ini¡ialå (fig. 3.21). ¥n cazul acviferelor sub presiune, poten¡ialul complex al mi¿cårii se ob¡ine prin însumarea poten¡ialelor celor n foraje cu poten¡ialul mi¿cårii ini¡iale a acviferului - (v.rel. 3.66):

f Z v ZM

Q Z

v xM

Q r

v yM

Q

ii

n

ii

n

i

ii

n

i

( ) ln

ln

= − ∑

= − ∑

= − ∑

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

=

=

=

01

01

01

12

12

12

π

π

π θ

Φ

Ψ

(3.111)

Fig. 3.21. Grup de foraje în interferen¡å într-un curent acvifer.

Egalând poten¡ialul vitezelor dat de rela¡ia (3.111) cu cealaltå formå de exprimare rezultatå din legea lui Darcy (v. rel. 3.71) Φ = -Kh + C, se ob¡ine înål¡imea nivelului dinamic într-un punct oarecare P determinatå de func¡ionarea celor n foraje în condi¡iile unui curent acvifer:

hT

Q r I x Cp ii

n

p i p= ∑ − +=

−1

2 10π

ln (3.112)

137

Prin eliminarea constantei C, se poate determina debitul fiecårui foraj, sau în oricare alt punct, pentru valori impuse ale debitelor. Pentru acviferele cu nivel liber poten¡ialul complex al mi¿cårii are forma - (v.rel.3.79):

f Z h v Z Q Z

h v x Q r

h v y Q

m ii

n

m ii

n

i

m ii

n

i

( ) ln

ln

= − ∑

= − ∑

= − ∑

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

=

=

=

01

01

01

12

121

2

π

π

π θ

Φ

Ψ

(3.113)

Egalând poten¡ialul vitezelor dat de rela¡ia (3.113) cu cealaltå formå de exprimare -

(v.rel.3.80) - Φ = − +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1

22Kh C , rezultå:

h Q r h I xp ii

n

p i m p2

10

12

2= ∑ −=

−π ln C+ . (3.114)

3.2.6.3. Grupuri de foraje în acvifere limitate. Dacå grupul de foraje este plasat în vecinåtatea unei limite de alimentare (fig. 3.22 ¿i 3.10), aplicând metoda imaginilor ¿i însumând efectele (§3.2.3), pentru acviferele sub presiune fårå dinamicå ini¡ialå, expresia înål¡imii nivelului dinamic într-un punct oarecare P se ob¡ine prin însumarea termen cu termen a ecua¡iei (3.40):

hT

Qr

rCp i

i

ni

i

= ∑ +=

1

2 1πln

'. (3.115)

¥n cazul acviferelor sub presiune cu dinamicå ini¡ialå trebuie luat în considerare efectul curentului acvifer, ecua¡ia (3.115) luând forma:

hT

Qr

rI x Cp i

i

ni

ip= ∑ − +

=

12 1

0πln ' . (3.116)

Pe linia de alimentare, care este o echipoten¡ialå, pentru ri = ri', xp = 0 ¿i hp = H (cota nivelului apei în rezervorul vecin), rezultå C = H ¿i rela¡iile (3.115) ¿i (3.116) devin:

s H hT

Qr

rp p i

i

ni

i

= − = ∑=

1

2 1πln

'

(3.117)

138

H hT

Qrr

I xp ii

ni

ip− = ∑ +

=

12 1

0πln

'

. (3.118)

¥n cazul acviferelor cu nivel liber - (v.rel. 3.43):

hk

Qr

rCp i

i

ni

i

2

1

1= ∑ +

=π ln ' , (3.119)

când acestea nu au dinamicå ini¡ialå ¿i:

hk

Qr

rh I x Cp i

i

ni

im p

2

10

12= ∑ −

=π ln ' + , (3.120)

pentru acviferele cu dinamicå ini¡ialå.

Fig. 3.22. Grup de foraje în interferen¡å într-un curent acvifer, plasate în apropierea unui contur de alimentare.

139

Pe linia de alimentare, ri = ri', xp=0 ¿i hp = H, deci C=H2, din rela¡iile (3.119) ¿i (3.120) rezultå ecua¡iile profilelor de depresiune:

h HK

Qr

rp

i

ni

i

2 2

1

1= − ∑

=πln

'

i (3.121)

h HK

Qrr

h I xp ii

ni

im

2 2

10

12= − ∑ −

=π ln'

p (3.122)

Dacå grupul de foraje este amplasat în apropierea unei limite impermeabile (fig.3.11) ¿i acviferul sub presiune nu are dinamicå ini¡ialå, din (3.46) se ob¡ine, prin însumare:

hT

Q r r Cp ii

n

i i= ∑ +=

1

2 1πln ' (3.123)

Dacå acviferul are dinamicå ini¡ialå, înål¡imea nivelului dinamic într-un punct oarecare P este:

hT

Q r r I x Cp ii

n

i i p= ∑ − +=

12 1

0πln ' (3.124)

Similar, pentru acviferele cu nivel liber rezultå:

hk

Q r r Cp ii

n

i i2

1

1= ∑ +

=π ln ' (3.125)

¿i respectiv:

hk

Q r r h I x Cp ii

n

i i m p2

10

12= ∑ −

=πln ' + (3.126)

3.2.6.4. Sistem liniar de foraje în acvifere cu dezvoltare orizontalå mare, fårå

dinamicå ini¡ialå. Liniile de foraje în interferen¡å (fig. 3.23) pot fi studiate fie prin metoda suprapunerii efectelor (în special în situa¡iile când au lungime limitatå), situa¡ie prezentatå în paragraful anterior, fie folosind proprietatea de simetrie ¿i periodicitate a mi¿cårii, atunci când ¿irul de foraje este alimentat simetric (pe ambele pår¡i) ¿i are lungime mare (fig. 3.24). ¥n continuare se va folosi cea de-a doua posibilitate de lucru. Pentru acviferele sub presiune, în condi¡iile func¡ionårii forajelor cu debite egale, se poate considera cå fiecare din acestea este amplasat în mijlocul unei fâ¿ii cu lå¡imea 2σ, limitatå de doi pere¡i impermeabili (fig. 3.24). Pentru a putea folosi elementele deja

140

cunoscute ale mi¿cårii radial plane (într-un plan infinit), este convenabil så se realizeze transformarea conformå a unui plan infinit într-o fâ¿ie infinitå cu lå¡imea 2σ.

Fig.3.23. ªir de foraje în interferen¡å.

Fig. 3.24. Schematizarea spectrului hidrodinamic indus de un ¿ir de foraje în interferen¡å. Metoda transformårilor conforme. ¥n § 3.2.4 s-a demonstrat cå studiul mi¿cårilor poten¡iale plane se poate face cu ajutorul func¡iilor analitice de variabilå complexå. O metodå deosebit de eficientå în teoria func¡iilor analitice de variabilå complexå este aceea a transformårilor conforme. Prin aceastå metodå, pornind de la o mi¿care cunoscutå, se ob¡ine exprimarea analiticå a unor mi¿cåri noi.

141

Un domeniu plan D' este reprezentarea conformå a altui domeniu D, dacå la orice punct din D corespunde un punct în D', astfel cå unghiurile a douå elemente curbilinii omoloage (duse prin puncte omoloage) sunt egale ¿i cu sensul de parcurgere acela¿i. ¥n acela¿i timp, prin transformare conformå, se modificå dimensiunile în jurul unui punct (dilatându-le sau contractându-le în acela¿i raport). Spre exemplu, dacå în planul ζ se cunoa¿te spectrul hidrodinamic al unei mi¿cåri (re¡ea ortogonalå - påtraticå), dupå transformarea conformå în planul Z ea råmâne tot ortogonalå (liniile echipoten¡iale råmân echipoten¡iale ¿i liniile de curent råmân linii de curent) ¿i påtraticå. Dacå se då poten¡ialul complex al mi¿cårii în planul ζ = ξ + i η:

f1 = f1(ζ) = Φ(ξ,η)+i ψ(ξ,η) ¿i se cunoa¿te rela¡ia (func¡ia) de transformare din planul ζ în planul Z(Z = x + iy):

ζ = f2(Z), eliminând pe ζ, se ob¡ine poten¡ialul complex în planul Z:

f(Z) = f1[f2(Z)], (3.127) care este tot o func¡ie analiticå. Ecua¡ia urmåtoare:

ζπ

σ= sin

Z

2 (3.128)

este func¡ia de transformare conformå a unui plan infinit într-o fâ¿ie infinitå cu lå¡imea 2σ limitatå de doi pereti impermeabili. Un foraj singular din planul ζ se transformå, în planul Z, într-un foraj plasat pe axa de simetrie dintre cei doi pere¡i impermeabili. Dacå forajul în planul ζ = ξ + i η este plasat în originea axelor (fig. 3.25), poten¡ialul complex al mi¿cårii este cel corespunzåtor unei surse - (v.§ 3.2.4):

( ) ( )f iQ

Tz1

2= + =Φ Ψξ η ξ η

π, , ln . (3.129)

Poten¡ialul complex în planul Z = x + iy se ob¡ine din (3.129) înlocuind pe ζ conform (3.128):

( ) ( )f Z x y i x yQ

T

Z( ) , , ln sin= + =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟Φ Ψ

2 2π

π

σ. (3.130)

142

Fig. 3.25. Transformarea conformå a planului ζ în planul Z.

Pentru valori mici ale lui Z = x + iy, în vecinåtatea forajului, sinπ

σ

π

σ

Z Z

2 2= ,

poten¡ialul complex ia forma:

f ZQ

T

Z( ) ln=

2 2π

π

σ. (3.131)

Dacå se scrie variabila complexå sub forma exponen¡ialå:

Z = reiθ, rela¡ia (3.131) devine:

f ZQ

Ter

Q

Tr i

Q

Ti( ) ln ln=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = +

2 2 2 2 2π

π

σ π

π

σ πθθ , (3.132)

în care r x y= +2 2 ¿i θ = arctgy

x.

Rezultå cå, în vecinåtatea forajului, mi¿carea este radialå ¿i se påstreazå caracteristicile mi¿cårii poten¡iale spre o surså. Separând partea realå de partea imaginarå în rela¡ia (3.130), se ob¡in expresiile poten¡ialului vitezelor ¿i func¡iei de curent. ¥n acest scop, din rela¡ia (3.130) rezultå:

143

f ZQ

Tx y( ) ln sin= +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

2 2 2π

π

σ

π

σ

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Q

Tx ch y i x sh y

2 2 2 2 2π

π

σ

π

σ

π

σ

π

σln sin cos =

= f ZQ

T

ch y xi

Q

Tarctg

th y

tg x( ) ln

cos=

−⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

+

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

4 2 22

2π

π

σ

π

σπ

π

σπ

σ

. (3.133)

Pentru puncte aflate la distan¡å de ¿irul de foraje, adicå pentru y > σ ¿i y<-σ:

ch y e e ey yπ

σ

πσ

πσ

πσ= +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=−1

212

y, (3.134)

astfel cå poten¡ialul vitezelor din (3.133), independent de valoarea lui x, devine:

ΦDPE

yQ

Te

Q

T

y=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

4

1

4 41 386

π π

π

σ

π

σln , . (3.135)

Poten¡ialul vitezelor dat de rela¡ia (3.135) corespunde unei mi¿cåri plan-verticale, cu liniile de curent paralele cu axa y, spre un dren perfect echivalent (DPE) care ar înlocui linia de foraje. Drenul perfect echivalent capteazå acela¿i debit cu linia de foraje pe unitatea de front ¿i - exceptând zona din apropierea liniei de foraj (fig.3.24) - are acela¿i efect asupra sarcinii piezometrice. Pentru a eviden¡ia echivalen¡a dintre linia de foraje ¿i drenul perfect echivalent, se scrie expresia poten¡ialului vitezelor (sarcina piezometricå) din (3.133) sub forma adimensionalå:

ΦΦ

= =−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

Q T

chy x

/ln

cos

2

1

2 2π

πσ

πσ , (3.136)

care, în continuare, se particularizeazå pentru câteva sec¡iuni caracteristice: - de-a lungul axei y, prin unul din foraje:

xch

y

= → =−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

01

2

1

2Φ ln

πσ ; (3.137)

144

- într-o sec¡iune paralelå cu axa y care trece prin mijlocul distan¡ei dintre cele douå foraje:

xch

y

= ±σ → =+

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

Φ1

2

1

2ln

πσ ; (3.138)

- în lungul liniei de foraje:

y

x

= → =−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

01

2

1

2Φ ln

cos πσ . (3.139)

Poten¡ialul vitezelor (sarcina hidraulicå) corespunzåtor mi¿cårii spre drenul perfect echivalent, scris tot în forma adimensionalå, rezultå din (3.135):

ΦΦ

DPEQ T

y= = −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

/,

2

1

21 386

ππ

σ. (3.140)

Dând valori rapoartelor y/σ ¿i x/σ , cu rela¡iile (3.137)-(3.140) s-au construit profilele piezometrice prezentate în figura 3.26.

Rezultå urmåtoarele observa¡ii importante din punct de vedere practic: - Diferen¡a dintre înål¡imea piezometricå la mijlocul distan¡ei dintre foraje ¿i nivelul apei în drenul perfect echivalent rezultå fåcând diferen¡a între sarcina piezometricå datå de formulele (3.133) ¿i (3.135), pentru x = ±σ ¿i y = 0:

∆sQ

T

Q

T2 0

1 386

40 11= −

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

,,

π; (3.141)

- Diferen¡a dintre nivelul apei în drenul perfect echivalent ¿i nivelul apei în foraj se ob¡ine fåcând diferen¡a între sarcinile piezometrice date de rela¡iile (3.135) ¿i (3.133), pentru x = 0 ¿i y = r0 (r0 este raza forajului):

∆sQ

T

r chr

10

0

2 2

1

2

1

4

1

2

1

2= + −

−⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

π

π

σ

π

σln ln ,

din care, re¡inând din dezvoltarea în serie:

chxx x x

= + + + +12 4 6

2 4 6

! ! !...,

145

primii doi termeni, se ob¡ine:

∆sQ

T

r r1

0 0

2

2 2

1

2

1

2 2= + −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

π

π

σ

π

σln ln

∆sQ

T r

r1

0

0

2 2= +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥π

σ

π

π

σln . (3.142)

Fig. 3.26 Profilul piezometric în sec¡iuni caracteristice pentru un ¿ir de foraje în interferen¡å: a-sec¡iune transversalå prin axul unui foraj ¿i prin mijlocul distan¡ei dintre douå foraje; b - sec¡iune

longitudinalå; c - în plan orizontal; D.P.E. - profilul piezometric indus de un dren perfect echivalent.

146

- Deoarece, practic, în toate situa¡iile r0 / σ < 0,05 , rezultå cå, pentru erori de maxim 5%, rela¡ia (3.142) devine:

∆sQ

T r1

02=

π

σ

πln . (3.143)

- Distan¡a de la care suprafa¡a piezometricå determinatå de func¡ionarea liniei de foraje este practic identicå cu cea determinatå de drenul perfect echivalent este de ±σ cu eroare maximå de 5% din valoarea poten¡ialului (vezi condi¡ia puså pentru deducerea rela¡iei 3.134). - Distan¡a måsuratå de la fiecare foraj, în lungul liniei de drenaj (fig.3.24,b), pânå la punctele în care poten¡ialul drenului perfect echivalent devine identic cu cel al forajelor se ob¡ine egalând rela¡iile (3.139) ¿i (3.140) pentru y = 0:

1

2

1

2

1

2

1

4ln

cosln

−⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=π

σ

x

;

cos ;πσ

πσ

πx x

= =1

2

1

3 ;

x =1

3σ. (3.144)

Egalând poten¡ialul vitezelor din rela¡ia (3.135) cu cel dat de ec. (3.71) rezultå:

Q

T

chy x

C h2

1

2 2π

πσ

πσln

cos−⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

+ = , (3.145

din care, punând condi¡iile de margine corespunzåtoare (fig.3.27)se ob¡ine: •Expresia debitului unui foraj din ¿ir: - la peretele filtrului:

( )x y r h hQ

T

chr

C h= = = →−

+ =02

1

20 0

0

0, , lnπ

π

σ ;

- la limita zonei de influen¡å:

147

( )x y B h HQ

T

chB

C H= = = →−

+ =02

1

20 0, , ln

π

π

σ .

Fig. 3.27 ªir de foraje în interferen¡å cu alimentare simetricå. - Scåzând cele douå ecua¡ii rezultå:

Q

Tsh

Bsh

rH h s

2 2 20

0 0π

π

σ

π

σln ln−

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥= − = 0 ,

QTs

rsh

B=+

22

2

0

0

πσ

π

π

σln ln

, (3.146)

deoarece pentru π

σ σ

r r0 0

20 5 0 3< <

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟, , - condi¡ie îndeplinitå practic întotdeauna,

shr rπ

σ

π

σ0 0

2 2= . Dacå

B

21

σ> , atunci sh

Be

Bπ

σ

π

σ

2

1

22= ¿i expresia debitului devine:

QTs

r

B=+

2

2

0

0

πσ

π

π

σln

. (3.147)

148

•- Ecua¡iile profilelor piezometrice dupå diverse direc¡ii paralele cu axa y: - Pentru y > σ, profilul piezometric este acela¿i indiferent de valoarea lui x, deoarece efectul func¡ionårii liniei de foraje este identic cu acela al unui dren perfect echivalent. Mi¿carea în aceastå zonå este plan-verticalå cu liniile de curent paralele cu axa y, având poten¡ialul vitezelor dat de rela¡ia (3.135). Egalând cele douå forme de exprimare a poten¡ialului vitezelor ¿i punând condi¡iile de margine corespunzåtoare rezultå:

Q

Te C

y

4

1

4h

π

π

σln + = ,

( )

( )y B h H

QT

e C H

y y h HQ

Te C H

B

y

y

y

= = → + =

= = → + =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

, ln

, ln

0 0414

414

π

π

πσ

πσ

Scåzând cele douå ecua¡ii ¿i înlocuind valoarea raportului Q/2πT cu expresia deduså din 3.146 se ob¡ine succesiv:

H HQ

T

B yy0

4− = −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

π

π

σ

π

σ

H HQ

T

B y

BH

sB y

B

shB r H

sB y

B

ery B= − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−= −

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−0 0

0

00

0

2 04 21 2

1

2 2

21

1

2 2

π

π

σ

π

σπ

σ

π

σ

π

σπ

σ

π

σln ln ln ln

,

H H

sy

B

B r

y = −−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+0

0

0

1

12σ

π

σ

πln

. (3.148)

- Pentru y < σ , profilul piezometric este diferit în func¡ie de valoarea lui x, ecua¡iile corespunzåtoare rezultând din 3.145:

( )

( )

y r h hQ

T

chr x

C h

y y h HQ

T

chy x

C Hy y

= = →−

+ =

= = →−

+ =

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

0 0

0

02 2

2 2

, lncos

, lncos

π

πσ

πσ

π

πσ

πσ

.

149

H hQ

T

chy x

chry = +

−

−0

02π

π

σ

π

σπ x

σ

π

σ

lncos

cos. (3.149)

Ecua¡ia (3.149) valabilå pentru orice valoare a lui x se particularizeazå pentru douå sec¡iuni caracteristice: - în lungul axei x, prin unul din foraje:

( )x H hQ

T

chy

chr h

Q

T

shy

shry= → = +

−

−= +0

2

1

1 20

00

0π

π

σπ

σπ

π

σπ

σ

ln ln ,

H hQ

T rsh

yy = +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥0

02

2

2π

σ π

σln ; (3.150)

- într-o sec¡iune paralelå cu axa y care trece prin mijlocul distan¡ei dintre douå foraje:

( )x H hQ

T

chy

chry= ±σ → = +

+

+0

02

1

1π

π

σπ

σ

ln . (3.151)

Expresia (3.149) este ecua¡ia generalå a profilului piezometric indiferent de valoarea lui x pentru r0 < y < B. Prin particularizarea acesteia, pentru y > σ , se ob¡ine (3.148). •Ecua¡ia profilului piezometric în lungul liniei de foraje:

( )

( )

y x r h hQ

T

r

C h

y x x h HQ

T

x

C Hx x

= = = →−

+ =

= = = →−

+ =

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

02

1

2

02

1

2

0 0

0

0, , lncos

, , lncos

π

πσ

π

πσ

Scåzând cele douå rela¡ii, rezultå:

150

H hQ

T

x

rx = +

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

0022

2π

π

σπ

σ

lnsin

(3.152)

•Sarcina piezometricå în drenul perfect echivalent care înlocuie¿te linia de foraje (HDPE) se ob¡ine egalând ecua¡iile (3.135) ¿i (3.70) ¿i punând condi¡iile de margine corespunzåtoare:

Q

Te C

y

4

1

4h

π

π

σln + =

( )

( )

y h HQ

TC H

y B h HQ

Te C H

DPE DPE

B

= = → + =

= ± = → + =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

04

14

4140 0

, ln

, ln

π

π

πσ

Eliminând constanta C ¿i înlocuind valoarea raportului Q/2πT cu expresia deduså din (3.146) se ob¡ine:

H HQ

T

BH

sB

B

B

rDPE = − = −−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

0 0

0

02 22

21

2π

π

σ

π

σπ

σ

σ

π

π

σln

,

H Hs

B r

DPE = −+

00

0

12σ

π

σ

πln

(3.153)

•¥nåltimea piezometricå (Ha ) la jumåtatea distan¡ei dintre douå foraje (punctul A în fig.3.27) se ob¡ine adunând la HDPE (rel.3.153), ∆s2 (rel.3.141):

Ha = HDPE + ∆s2

H Hs

B r

Q

TH

s

B r

s

B

B r

a = −+

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

= −+

−

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

00

0

00

0

0

0

12 2

1 386

2 12

0 693

21

2σ

π

σ

ππ σ

π

σ

ππ

σ

σ

π

σ

πln

,

ln

,

ln

,

151

H H

sB

B r

a = −−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+0

0

0

1 0 222

12

,

ln

σ

σ

π

σ

π

. (3.154)

¥n cazul forajelor imperfecte dupå gradul de deschidere expresiile debitului ¿i ecua¡iile profilelor piezometrice se corecteazå folosind sistemul de lucru prezentat în § 3.2.5. Astfel, se ob¡ine: •Expresia debitului unui foraj din ¿ir (rel.3.146):

QTs

N

Ts

N=

+=

2 20

1

0π

ζ

πβ , (3.155)

Nr

sh= +ln ln2

20

σ

π

π (3.156)

βζ

= +1 1

N, (3.157)

unde ζ1 este un coeficient adimensional prin intermediul cåruia se iau în considerare imperfec¡iunile dupå gradul de deschidere - (v.rel.3.91 ¿i fig.3.16). •Ecua¡iile profilelor piezometrice dupå diverse direc¡ii paralele cu axa y: - Pentru y > σ - (rel.3.148)

H H sy

By = − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟0 0 1 αγ , (3.158)

în care:

α σ

π

σ

π

=+

1

12

0B rln

, (3.159)

γσ

παζ= +1

21

B. (3.160)

- Pentru y < σ, råmâne valabilå rel.(3.149) în care debitul se calculeazå cu rela¡ia (3.155). •Ecua¡ia profilului piezometric în lungul liniei de foraje este (3.152) în care Q se calculeazå cu (3.155). •Sarcina piezometricå în drenul perfect echivalent (rel. 3.153):

HDPE = H0 - s0 α γ (3.161)

152

•¥nåltimea piezometricå la mijlocul distan¡ei dintre douå foraje (rel. 3.154):

H H sB

a = − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟0 0 1 0 22

2,

σαγ . (3.162)

¥n rela¡iile (3.161) ¿i (3.162), α ¿i γ se calculeazå cu (3.159) ¿i (3.160). Pentru acviferele cu nivel liber, rel. (3.145) se scrie în forma:

Q

K

chy x

C hπ

π

σ

π

σ1

2 22ln

cos−⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

+ = (3.163)

Punând condi¡iile de margine corespunzåtoare - dupå sistemul de lucru folosit la acviferele sub presiune, se obtine: •Expresia debitului unui foraj din ¿ir - vezi condi¡iile de margine puse la deducerea rel. (3.146):

( )Q

Ksh

Bsh

rH h s H h

π

π

σ

π

σln ln

2 20

02

02

0 0 0−⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥= − = + .

( ) ( )Q

Ks H h

rsh

BKs H h

rsh

B=+

+=

−

+

πσ

π

π

σ

πσ

π

π

σ

0 0 0

0

0 0 0

0

2

2

22

2ln ln ln ln

. (3.164)

Se observå cå rela¡ia (3.164) se poate ob¡ine din (3.146), dacå în calculul transmisivitå¡ii T se considerå în locul lui M grosimea medie a acviferului cu nivel liber

hH h

m =+0 0

2.

•Ecua¡iile profilelor de depresiune dupå diverse direc¡ii paralele cu axa y: - Pentru y >σ - (vezi condi¡iile de margine ¿i sistemul de lucru folosite la deducerea ecua¡iei 3.129):

Q

Ke C h

y

2

1

42

π

π

σln + = ,

H HQ

K

B y

By0

2 2

21− = −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

π

π

σ ,

153

( )H H

s H hy

B

B r

y2

02

0 0 0

0

1

12= −+ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+σ

π

σ

πln

. (3.165)

- Pentru y < σ - (vezi condi¡iile de margine puse la deducerea rela¡iei 3.149):

H hQ

K

chy x

chry

202

0= +

−

−π

π

σ

π

σπ x

σ

π

σ

lncos

cos ; (3.166)

- de-a lungul axei y, prin unul din foraje (x = 0):

H hQ

K rsh

yy2

02

0

2

2= +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟π

σ

π

π

σln ; (3.167)

- într-o sec¡iune paralelå cu axa y care trece prin mijlocul distan¡ei dintre douå foraje (x = ±σ ):

H hQ

K

chy

chry

202

0

1

1= +

+

+π

π

σπ

σ

ln ; (3.168)

•Ecua¡ia profilului de depresiune în lungul liniei de foraje - (vezi ecua¡ia 3.152):

H hQ

K

x

rx2

02

0

2

2

= +

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

π

π

σπ

σ

lnsin

; (3.169)

•Sarcina piezometricå în drenul perfect echivalent - (vezi rela¡ia 3.153):

( )H H

s H h

B r

DPE2

02 0 0 0

0

12= −

+

+σ

π

σ

πln

; (3.170)

•¥nål¡imea piezometricå la jumåtatea distan¡ei dintre douå foraje - (vezi rela¡ia 3.154):

154

( )H H

s H hB

B r

a2

02

0 0 0

0

1 0 222

12= −

+ −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+

,

ln

σ

σ

π

σ

π

. (3.171)

¥n cazul forajelor imperfecte dupå gradul de deschidere, în acvifere cu nivel liber, se corecteazå ecua¡iile prezentate mai sus folosind sistemul de lucru folosit pentru acviferele sub presiune - (v.rel. 3.155-3.162). 3.2.6.5. Sistem liniar de foraje în acvifere cu dezvoltare orizontalå mare, cu dinamicå ini¡ialå. Egalând cele douå forme de exprimare a poten¡ialului vitezelor, pentru situa¡ia în care direc¡ia de curgere a acviferului în regim natural este paralelå cu axa y (fig.3.28), pentru cazul acviferelor sub presiune, se ob¡ine:

Q

T

chy x

I y C h2

1

2 20π

π

σ

π

σlncos−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

− + = , (3.172)

care cumuleazå în membrul stâng poten¡ialele vitezelor celor douå mi¿cåri elementare care se suprapun. •Debitul unui foraj din ¿ir se poate determina din condi¡iile hidrogeologice naturale ale acviferului sau punând condi¡iile de margine corespunzåtoare în rela¡ia (3.68) - (fig 3.28): - spre amonte:

( )

( )

x y r h hQ

T

chr

I r C h

x y B h HQ

T

chB

I B C H

= = − = →−

+ + =

= = − = →−

+ + =

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

02

1

2

02

1

2

0 0

0

0 0 0

1 1

1

0 1 1

, , ln

, , ln

π

πσ

π

πσ

;

( )H hQ

Tsh

Bsh

rI B r1 0

1 00 1 0

2 2 2− = −

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥+ −

π

π

σ

π

σln ln ;

( ) ( )Q

T H h I B r

rsh

B=− − −

+

22

2

1 0 0 1 0

0

1

πσ

π

π

σln ln

; (3.173)

155

Fig.3.28. ªir de foraje în interferen¡å în acvifere practic infinite, cu dinamicå ini¡ialå. - spre aval:

( )x y r h hQ

T

chr

I r C h= = = →−

+ + =02

1

20 0

0

0 0 0, , lnπ

π

σ ;

( )x y B h HQ

T

chB

I B C H= = = →−

+ + =02

1

22 2

2

0 2 2, , lnπ

πσ ;

( ) ( )Q

T H h I B r

rsh

B=− + −

+

22

2

2 0 0 2 0

0

2

πσ

π

π

σln ln

. (3.174)

156

Observând cå termenii din parantezele mari de la numåråtorul rela¡iilor (3.173) ¿i (3.174) reprezintå denivelarea în foraj (s

0) în condi¡iile considerårii dinamicii ini¡iale a

acviferului, acestea devin identice dacå se considerå la numitor în loc de B1 ¿i B2 valoarea Bm = (B1 + B2)/2:

QTs

rsh

Bm=

+

22

2

0

0

πσ

π

π

σln ln

, (3.175)

rela¡ie care este identicå cu rela¡ia (3.146). •Ecua¡iile profilelor piezometrice dupå diverse direc¡ii paralele cu axa y, rezultå din rela¡ia (3.172):

( )y r h hQ

T

chr x

I r C h= = →−

± + =0 0

0

0 0 02 2

, lncos

π

π

σ

π

σ ;

( )y y h HQ

T

chy x

I y C Hy y= = →−

± + =, lncos

2 20π

π

σ

π

σ ;

(H hQ

T

chy x

chr x I y ry = +

−

−± −0

00

2π

π

σ

π

σπ )0

σ

π

σ

lncos

cos. (3.176)

care este similarå cu rela¡ia (3.149). Adaugând termenul ± I

0(y - r

0) în membrul drept al rela¡iilor (3.150) ¿i (3.151) se

obtin ecua¡iile profilelor piezometrice de-a lungul axei y, prin unul din foraje (x = 0) ¿i într-o sec¡iune care trece prin mijlocul distan¡ei dintre douå foraje (x = ± σ). Pentru y > ± σ , forma profilului piezometric este independentå de valoarea lui x (efectul liniei de foraje este identic cu acela al unui dren perfect echivalent), rela¡ia (3.172) devenind - (v.rel. 3.135):

Q

Te I y C

y

4

1

40π

π

σln − + = h . (3.177)

Punând condi¡iile de margine spre amonte (y = - B1 , h = H1 ; y = -y, h = Hy ) ¿i spre aval (y = B2 , h = H2 ; y = y , h = Hy ), rezultå:

157

(H H

sy

B

B r

I B yy = −

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

+− −1

0

1

1 0

0 1

1

12σ

π

σ

πln

) , (3.178)

¿i:

(H H

sy

B

B r

I B yy = −

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

++ −2

0

2

2 0

0 2

1

12σ

π

σ

πln

) , (3.179)

rela¡ii similare cu ecua¡ia (3.148). •Ecua¡ia profilului piezometric în lungul liniei de foraje este identicå cu (3.133); •Sarcina piezometricå în drenul perfect echivalent se ob¡ine din (3.158):

( )

( )

( )

y h HQ

TC H

y B h HQ

Te I B C H

y B h HQ

Te I B C H

DPE DPE

B

B

= = → + =

= − = → + + =

= = → + + =

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

02

12

14

212

14

212

14

1 1 0 1

2 2 0 2

1

2

, ln

, ln

, ln

π

π

π

πσ

πσ

1

2

Eliminând constanta C ¿i înlocuind raportul Q

T2π cu expresiile deduse din (3.154) ¿i

(3.155) , rezultå:

H HQ

T

BI B H

Q

T

BI BDPE = − − = − +1

10 1 2

20 2

2 2 2 2π

π

σ π

π

σ

H Hs

B r

I B Hs

B r

I BDPE = −+

− = −+

+10

1 0

0 1 20

2 0

0 2

12

12σ

π

σ

π

σ

π

σ

πln ln

(3.180)

Observând cå :

H1 - I

0B

1 = H

2 + I

0B

2 = H

0 (3.181)

158

în care H0 are semnifica¡ia din fig. 3.28, rela¡ia (3.180) devine identicå cu (3.134),

înlocuind B1 ¿i B

2 cu B

B Bm =

+1 2

2 .

•¥nål¡imea piezometricå la jumåtatea distan¡ei dintre douå foraje. Folosind sistemul de lucru prezentat la deducerea rela¡iei (3.154), rezultå:

H H

sB

B r

a

m

m

= −

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

+0

0

0

1 0 222

12

,

ln

σ

σ

π

σ

π

, (3.182)

în care H

0 este dat de (3.181) - (v. fig. 3.28).

Pentru acviferele cu nivel liber, ecua¡ia (3.172) devine:

Q

T

chy x

I h y C hm2

1

2 22 0

2

π

π

σ

π

σlncos−

− + = ,

din care, punând condi¡iile de margine ca la acviferele sub presiune, se ob¡in ecua¡iile debitului ¿i profilului de depresiune (similare cu cele de la acviferele fårå dinamicå ini¡ialå). Pentru forajele imperfecte dupå gradul de deschidere, atât pentru acvifere sub presiune, cât ¿i pentru cele cu nivel liber, corectarea ecua¡iilor debitului ¿i ale profilelor piezometrice se face dupå sistemul folosit la acviferele fårå dinamicå ini¡ialå. 3.2.6.6. Sistem liniar de foraje paralel cu o linie de alimentare. Dacå frontul de captare are lungime limitatå (fig.3.27), pentru a determina influen¡a func¡ionårii acestuia într-un punct oarecare P, se însumeazå efectele celor n foraje ¿i ale imaginilor acestora în raport cu linia de alimentare, rezultând rela¡ii identice cu cele ob¡inute la grupurile de foraje în interferen¡å. Astfel, pentru acvifere sub presiune fårå dinamicå ini¡ialå, denivelarea induså în punctul P este - (v. rel. 3.117):

s H hT

Qr

rp p i

i

ni

i

= − = ∑=

1

2 1πln

'

. (3.183)

Dacå debitele forajelor sunt identice, rela¡ia (3.183) devine:

s H hQ

T

r

rp p

i

ni

i

= − = ∑=2 1π

ln'

. (3.184)

159

Mutând punctul P în fiecare din forajele ¿irului, se ob¡ine înål¡imea nivelului dinamic în acestea. Astfel, pentru forajul Fm , distan¡ele ri' ¿i ri au valorile:

( ) ( ) ( )r l m r mm m− −= + − = −12 2 2

12 2 1 2' ; ;σ σ 1

( ) ( ) ( )r l m r mm m− −= + − = −2

2 2 2

22 2 2 2' ; ;σ σ 2

.........................................................................

( ) ( ) ( )r l m i r mm i m i− −= + − = −' ; ;2 2 22 2 2σ σ i

.........................................................................

( ) ( ) ( )r l m n r mm n m n− −= + − = −' ; ;2 2 22 2 2σ σ n

deci:

( )h H

Q

T

l m i

r m im

i

n

= − ∑+ −

+ −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=2

2

21

2 2 2

0π

σ

σln (3.185)

Procedând la fel, de exemplu, înål¡imea nivelului dinamic la mijlocul distan¡ei dintre forajele Fm ¿i Fm+1:

( )h H

Q

T

l m i

m im i

n

+ == − ∑

+ − +

− +

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥1

21

2 2 2

2

0 5

0 5π

σ

σln

,

,. (3.186)

Pentru acviferele cu nivel liber, denivelarea induså în punctul P este - (v.rel. 3.121).

( )s H s H hK

r

rp p p

i

ii

n

212 2

1− = − = ∑

=πln

'

, (3.187)

care poate fi particularizatå folosind sistemul de lucru prezentat la acviferele sub presiune. La acviferele sub presiune sau cu nivel liber, cu dinamicå ini¡ialå, råmân valabile rela¡iile scrise pentru grupurile de foraje în interferen¡å - (v.rel.3.118 ¿i 3.120). Dacå linia de foraje are lungime infinitå ¿i exploateazå acvifere sub presiune cu dinamicå ini¡ialå (fig.3.30), însumând poten¡ialele vitezelor mi¿cårilor elementare care se suprapun, rezultå:

( ) ( )Q

T

chy x

Q

T

chy x

I y C hp4

1

2 4

1

20π

π

σ

π

σπ

π

σ

π

σlncos

lncos

+−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

−

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

− + = (3.188)

hp fiind înål¡imea nivelului dinamic indus într-un punct oarecare P(x, y).

160

Fig.3.29. ªir finit de foraje paralel cu o frontierå de alimentare, în acvifere fårå dinamicå ini¡ialå.

161

Deoarece pentru (cota nivelului în rezervorul

vecin), C = H, (rel.3.188) devine:

( )x n n y hp= ± = = =2 1 2 3 0σ , , ,... , , H

( )

( )H hQ

T

chy x

chy x

I yp= =

−−

+−

+4

1

1 0π

π

σ

π

σπ

σ

π

σ

lncos

cos

. (3.189)

Fig.3.30. ªir (practic) infinit de foraje paralel cu o frontierå de alimentare, în acvifere cu dinamicå ini¡ialå.

Din rela¡ia (3.189), dând valori corespunzatoare lui x ¿i y, se ob¡ine sarcina piezometricå în orice punct al liniei de foraje sau din exteriorul acesteia. Spre exemplu, mutând punctul P în unul din foraje:

( )x n n y l r hp= ± = = − + =2 1 2 3 0 0σ , , ,... , , h ,

din rela¡ia (3.189) se ob¡ine:

( )( )H h

Q

T

chl r

chr I l r= =

−−

−− −0

0

00 0

4

21

1π

π

σπ

σ

ln ,

162

( )( )

s H h I l rQ

T

shl r

shr0 0 0 0

0

02

2

2= − + − =

−⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

π

π

σπ

σ

ln ,

care, pentru r

0 << 2 l ¿i r

0 << 2σ , devine:

sQ

T rsh

l0

02

2=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥π

σ

π

π

σln . (3.190)

Când l >σ , denivelarea în fiecare din forajele ¿irului se poate calcula cu rela¡ia simplificatå.

sQ

T

l

r0

02= +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥π

π

σ

σ

πln ln (3.191)

Rela¡ia (3.191) are semnifica¡ie numai când 2l < R - (v.rel. 3.147). Când acviferul nu are dinamicå ini¡ialå, rela¡ia (3.191), råmâne valabilå, dar în acest caz, s

0 = H - h

0 ¿i

termenul I (1 - r ) dispare deoarece I0 0

Pentru linii de foraje practic infinite în acvifere cu nivel liber, rela¡ia (3.188) se scrie în forma:

0.

( ) ( )Q

T

chy x

Q

T

chy x

h I y C hm p4

1

2 4

1

22 0

2

π

π

σ

π

σπ

π

σ

π

σlncos

lncos

+−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

−

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

− + = (3.192)

Procedând ca la acviferele sub presiune, rezultå succesiv: - ecua¡iile profilelor de depresiune în diverse sec¡iuni paralele cu axa y sau în lungul liniei de foraje:

( )

( )h HQ

T

chy x

chy x

h Ip m2 2

0

1

12= −

−−

+−

−π

π

σ

π

σπ

σ

π

σ

lncos

cos

. (3.193)

- înål¡imea nivelului dinamic în fiecare din forajele ¿irului:

163

(h HQ

T rsh

lh I l rm0

2 2

0

0 0

22= − )

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− −π

σ

π

π

σln , (3.194)

în care ( )

hH h

m =+ 0

2.

Corectarea imperfec¡iunii forajelor dupå gradul de deschidere, atât pentru acviferele sub presiune cât ¿i la cele cu nivel liber, se face dupå sistemul prezentat în §3.2.6.4. Observa¡ie. În cazul ¿irului de foraje cu lungime limitatå, pentru aceea¿i valoare a debitului pe foraj, denivelårile sunt mai mari la forajele centrale ¿i mai mici la cele de margine (fig. 3.29). În acela¿i timp, pe ansamblu, denivelårile la toate forajele sunt mai mici la ¿irurile cu lungime limitatå decât în cazul ¿irului infinit.

Fig.3.31. ªir (practic) infinit de foraje într-un interfluviu 3.2.6.7. Sistem liniar de foraje într-un interfluviu. Dacå linia de foraje are lungime practic infinitå, (fig.3.31) atunci se poate considera cå fiecare foraj este amplasat în mijlocul unei fâ¿ii cu lå¡imea 2σ limitatå de doi pere¡i impermeabili ¿i de cele douå contururi de alimentare. Efectul celor douå contururi de alimentare se poate înlocui prin imaginile succesive ale forajului real fa¡å de cele douå linii de alimentare (fig.3.32). Rezultå un model hidrodinamic echivalent celui real, constituit dintr-o bandå limitatå de doi pere¡i impermeabili cu dezvoltare infinitå în lungul axei y. Efectul func¡ionårii forajului real în orice punct, rezultå din însumarea efectelor ¿irului infinit de foraje imaginare de care se dezvoltå în lungul axei y, constituit din surse negative ¿i pozitive.

164

Fig.3.32. Aplicarea metodei imaginilor pentru un foraj care deschide un acvifer dintr-un interfluviu limitat lateral de douå frontiere impermeabile simetrice

165

Detaliul prezentat în figura 3.32 permite constatarea cå distan¡ele surselor pozitive ¿i a celor negative fa¡å de un punct oarecare P(x,y), pot fi scrise în formele condensate (y+2nL+l) ¿i respectiv (y + 2nL - l), în care n variazå între - ∞ ¿i + ∞ . ¥nsumând efectele ¿i egalând cele douå forme de exprimare a poten¡ialului vitezelor, (direc¡ia de curgere a curentului acvifer din interfluviu este paralelå cu axa y), pentru cazul acviferelor sub presiune, se ob¡ine expresia înål¡imii piezometrice în punctul P(x,y):

( )

( )hQ

T

chy nL x

chy nL x

I Cpn

n

=

+ +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−

+ −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−

− +∑=−∞

=+∞

4

2 1

2 10π

πσ

πσ

πσ

πσ

ln

cos

cos

(3.195)

Observând cå gradientul hidraulic natural este I0 = (H1 - H2)/L ¿i punând condi¡iile de margine pe cele douå contururi de alimentare

(1 - 1) y = 0, hp = H1 , C = H1 ,

(2 - 2) y = L , hp = H2 , C = H2 + (H2 - H1), rezultå:

( )

( )hQ

T

chy nL x

chy nL x

H H HyLp

n

n

=

+ +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−

+ −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−

+ − −∑=−∞

=+∞

4

2 1

2 11 2 1π

πσ

πσ

πσ

πσ

ln

cos

cos

( ) . (3.196)

Dacå se mutå punctul P în forajul F

0 (forajul real), x = 0 ¿i y = - (l - r

0), din rela¡ia

(3.196) rezultå sarcina piezometricå la peretele filtrului acestuia:

( )

( ) ( )hQ

T

chnL r

chnL l r

H H Hl r

Ln

n

0

0

0

1 2 10

4

21

2 21

= ∑

+−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− −−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ + −−

=−∞

=+∞

π

π

σ

π

σ

ln ;

166

( )

( ) ( )hQ

T

shnL r

shnL l r

H H Hl r

Ln

n

0

0

0

1 2 10

2

2

22 2

21

= ∑

+

− −−

+ − −−

=−∞

=+∞

π

π

σπ

σ

ln ; (3.197)

deoarece ch

shα α−

=1

2 22 .

Observând cå denivelarea în forajul real este s0 = H1 - (H1 - H2)

l r

Lh

−−0

0 , din

rela¡ia (3.197) se poate deduce expresia debitului acestuia:

( )

( )

QTs

shnL l r

shnL rn

n

00

0

0

2

2 2

22

2

π

π

σπ

σ

ln=−∞

=+∞∑

− −

+

. (3.198)

Ecua¡ia profilului piezometric în lungul liniei de cumpånå (1- 2) dintre forajele

¿irului ∂

∂

h

x=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟0 rezultå din (3.196) pentru x = ± σ.

Ecua¡iile profilului piezometric ¿i ale debitului unui foraj din ¿ir pot fi substan¡ial simplificate dacå se foloseste sistemul de coordonate prezentat în figura 3.33.

Fig.3.33. ªir (practic) infinit de foraje într-un interfluviu.

167

Fig 3.34. Dren perfect hidrodinamic echivalent ¿irului de foraje din fig. 3.33. ªirul de foraje poate fi înlocuit cu un dren orizontal perfect echivalent, din care se extrage acela¿i debit când denivelarea este s

DPE (fig.3.34). Debitul unui foraj, identic cu

debitul drenului pentru un front egal cu 2σ , este Q0 = q

02σ = Q

1 + Q2 în care q

0 este

debitul drenului pentru un front egal cu 1m: - debitul provenit din valea din stângå este:

Q TS

H

Ll

l

DPE

1

1

1

2=+

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

σ

∆

; (3.199)

- debitul provenit din valea din dreapta este:

Q TS

H

Ll

l

DPE

2

2

2

2=−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

σ

∆

. (3.200)

Deci:

Q Q Q TsL

l lDPE0 1 2

1 2

2= + = σ ; (3.201)

168

sQ

T

l l

LDPE =

2

1 2

σ

¿i înlocuind în rela¡iile (3.199) ¿i (3.200) , rezultå:

Q THL

QlL

Q THL

QlL

1 02

2 01

2

2

= +

= −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

σ

σ

∆

∆ . (3.202)

În aceastå situa¡ie, curgerea spre linia de foraje rezultå din însumarea urmåtoarelor mi¿cåri componente: - mi¿carea naturalå în interfuviu de la stânga la dreapta, în lungul ¿i în sensul axei x,

cu gradientul hidraulic IH H

L0

1 2=−

;

- mi¿carea dinspre valea din dreapta spre linia de foraje, în lungul axei x ¿i în sens invers acesteia. Deoarece debitul cu care este alimentat un foraj din valea din dreapta

este Ql

L0

1 , vezi rela¡ia (3.202), gradientul mediu al mi¿cårii are valoarea Q

T

l

L0 1

2σ.

Considerarea separatå a acestei mi¿cåri echivaleazå cu eliminarea conturului de alimentare din dreapta. - mi¿carea spre forajul F

0 , amplasat în mijlocul unei fâ¿ii cu lå¡imea 2σ , limitatå în stânga de un contur de alimentare. Prezen¡a conturului de alimentare se ia în considerare prin intermediul forajului imagine F'(v. fig. 3.35).

Fig. 3.35. Model hidrodinamic echivalent pentru condi¡iile de alimentare ale unui foraj din ¿ir.

¥nsumând poten¡ialele vitezelor celor trei mi¿cåri ¿i egalând cu cealaltå formå de exprimare a lui Φ (rel. 3.70), rezultå expresia înål¡imii piezometrice într-un punct oarecare P(x,y):

169

( )

( )[ ]hQ

T

chx x y

chL x x y

I xQ l

TLCp

x=

−−

+ +−

− + +0

0

0

00 1

4 2π

π

σ

π

σπ

σ

π

σ

σln

cos

cos

(3.203)

Din condi¡iile de margine pe conturul de alimentare din dreapta (x = L/2, hp = H2) rezultå:

C H IL Q Ll

TL

Q

T

ch

Lx

y

ch

LL

xy

= + − −

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

+ +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−

2 00 1 0

0

0

2 4 4

2

2

π π

π

σ

π

σ

π

σ

π

σ

lncos

cos

, (3.204)

care, înlocuitå în rela¡ia (3.203), conduce la ecua¡ia profilului piezometric în lungul axei x(y = 0).

( )

( )hQ

T

e

e chx x

HH H

L

Lx

Q l

TL

Lxx

x x

L=

−

−+

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

+ +−

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

− −

−0

0

21 2 0 1

2

1

1 22 2 2

0

π π

σ

σ

π

σ

π

σ

ln − (3.205)

Observând cå termenul ( )

20

e chx xL

− +π

σπ

σ are valori neglijabile, rela¡ia (3.205)

devine:

( )( )h

Q

Te H H H

l x

L

Q l

T

l x

Lx

x x

= −⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

+ + − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

− −

02 1 2

0 1

21

2 2 2

0

π σ

π

σln (3.206)

Valoarea expresiei

( )ln 1

0

−⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

− −

e

x xπ

σ se då în graficul din fig.3.36.

Pentru N ≥ 3 , ln(1 - eN ) = N; când N < -3 , ln(1 - eN) ≈ 0. Din rela¡ia (3.204), pentru x = x

0 - r

0 ¿i hx = h

0 (înål¡imea piezometricå la peretele

filtrului), rezultå:

170

s HH H

L

Lx h0 2

1 20 0

2= +

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − =

=−

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

+ − +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

−

Q

T

e chx r

e

l

L

Lx r

L

r0

0 0

10 0

2

1 22

120π

π π

σ π

σ

π

σ

π

σ

ln (3.207)

din care, observând cå termenii π

σ

r0 ¿i π

σ

l r

L1 0 au valori neglijabie, iar 1

0

0− ≈er

rπ

σπ

σ

¿i înlocuind xL

l0 22

= − , se ob¡ine expresia debitului unui foraj:

( )Q

Ts

re ch

l l l l

L

L00

0

1 2 1 2

2

1 2

=

−−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+−

π

σ

π

π

σ

π

σ

π

σln

, (3.208)

care poate fi în continuare simplificatå deoarece termenul ( )

2 1 2e chl lL

− −π

σπ

σ are, de

asemenea , valori neglijabile:

QTs

r

l l

L

00

0

1 2

2=

+

πσ

π

π

σln

. (3.209)

În cazul acviferelor cu nivel liber (fig.3.37) rela¡ia (3.203) se scrie în forma:

( )

( )[ ]hQ

T

chx x y

chL x x y

h I xh Q l

h Lp m

m

K m

2 0

0

0

00 1

42=

−−

+ +−

− +π

π

σ

π

σπ

x

σ

π

σ

σln

cos

cos

, (3.210)

(în care hH H

m =+1 2

2 este grosimea medie a acviferului), din care rezultå:

- Ecua¡ia profilului de depresiune în lungul axei x:

( )( )h

Q

Ke H H H

l x

L

Q l

K

l x

Lx

x x

2 022

12

22 0 11

2 2

0

= −⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

+ + − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

− −

π σ

π

σln . (3.211)

171

Fig. 3.36. Graficul functiei ln(1- eN), [22]. - Expresia debitului unui foraj din ¿ir, observând cå denivelarea în aceasta este:

( ) ( )s h s H H Hl x

Lh H h

H H

L

Lx hm m0 0 2

212

22 0

02

22 1 2

0 022

22

2− = + − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − = +

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − ,

( )Q

Ks h sl l

L

m

0

0

0

1 2

2=

−

+

πσ

π

π

σln

0 (3.212)

Dacå sistemul liniar de foraje este constituit din foraje imperfecte dupå gradul de deschidere, în cazul acviferelor sub presiune, rela¡ia (3.209) se scrie în forma:

QTs

N0

0

1

2=

+

π

ζ, (3.213)

în care Nl l

L= +ln

σ

π

π

σ0

1 2 .

172

Fig.3.37. Sec¡iune transversalå pe un sistem liniar de drenaj care exploateazå un acvifer cu nivel

liber dintr-un interfluviu. Rela¡ia (3.213) este valabilå ¿i pentru acviferele cu nivel liber, numåråtorul în acest caz având forma πKs

0 (2hm - s

0).

În cazul acviferelor cu nivel liber, debitul unui foraj al sistemului de drenaj imperfect dupå gradul de deschidere, se poate calcula ¿i prin folosirea metodei fragmentelor. În acest scop, se împarte acviferul în douå fragmente printr-un plan orizontal dus prin mijlocul lungimii active a filtrului, rezultând o zonå superioarå cu nivel liber (în care forajul este perfect) ¿i alta inferioarå sub presiune (în care forajul este imperfect dupå gradul de deschidere). Debitul forajului rezultå din însumarea debitelor aferente celor douå zone (fig.3.38):

Q Ksh s

N

M

Nm

0 00

1

2 2=

−+

+

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

πζ

, (3.214)

în care N are semnifica¡ia din rela¡ia (3.213), grosimea medie a zonei cu nivel liber

hh h h

m =+ +1 2 0

3, în care h0

1s0

2= + , iar grosimea zonei sub presiune M = H0 - h0 .

Dacå nivelele în cele douå râuri (canale, etc) care delimiteazå interfluviul sunt egale (H1 = H2= H), atunci expresiile debitului unui foraj din ¿ir råmân valabile, cu observa¡ia cå, la acviferele sub presiune s0 = H - h0 , iar la cele cu nivel liber hm = H ¿i s0 (2H - s0) =H2 - h0

2 . Ecua¡iile profilelor piezometrice råmân de asemenea valabile.

173

Fig.3.38. Aplicarea metodei fragmentelor pentru un sistem liniar de drenaj imperfect dupå gradul de deschidere.

Observa¡ii: •Este interesant de comparat debitele unui foraj din ¿ir, pentru aceea¿i valoare a denivelårii (s0 ) , în situa¡ia când acesta este plasat - într-un interfluviu - (rela¡ia 3.206):

QTs

r

l l

L

00

0

1 2

2=

+

πσ

π

πln

, (3.215)

-într-un acvifer infinit fårå dinamicå ini¡ialå - (rela¡ia 3.147):

QTs

r

B00

0

2

2

=+

πσ

π

π

σln

; (3.216)

-într-un acvifer infinit cu dinamicå ini¡ialå - (rela¡ia 3.175):

QTs

r

Bm0

0

0

2

2

=+

πσ

π

π

σln

; (3.217)

-în vecinatatea unei limite de alimentare - (rela¡ia 3.191):

QTs

r

l00

0

2=

+

πσ

π

π

σln

. (3.218)

174

Având în vedere semnifica¡ia nota¡iilor folosite în deducerea acestor rela¡ii - (v.fig.3.33, 3.27, 3.28, ¿i 3.29), rezultå cå: rela¡iile (3.216) ¿i (3.217) sunt valabile pentru 2σ < B; B = Bm = L/2; l = l1 ¿i 2l < B. - Dacå în (3.215) se face l1 = l2 = L/2 (¿irul de foraje este plasat la mijlocul interfluviului), atunci rezultå o rela¡ie identicå cu rela¡ia (3.216) în care B = L/2. Pentru cå, într-un acvifer infinit l1 = l2 = L/2 = B , trebuie ca profilul piezometric så fie simetric (de o parte ¿i de alta a liniei de foraje), situa¡ie existentå numai dacå acviferul are nivelul ini¡ial practic orizontal. - Dacå l1 ≠ l2 , eroarea de calcul a debitului unui foraj din ¿ir folosind rela¡ia (3.215) în loc de (3.217) este datå de raportul celor douå rela¡ii:

ε

σ

π

π

σσ

π

π

σ

=

+

+

ln

ln

r

L

r

l l

L

0

0

1 2

4 (3.219)

În figura 3.39 se prezintå varia¡ia lui ε, în procente, pentru diverse valori ale raportului l1/l2 ¿i ale lui σ , considerând pentru L valori cuprinse în domeniul practic uzual.

Fig.3.39. Compararea expresiilor debitului unui foraj amplasat în diverse condi¡ii hidrogeologice

[54].

175

Din studierea acestor grafice rezultå cå erorile sunt pu¡in influen¡ate de valoarea lui L ¿i sunt maxime pentru valori mici ale lui σ ¿i ale raportului l1/l2. Pentru valori ale raportului l1/l2 < 0,2 debitele calculate cu rela¡ia (3.215) sunt de 1,5 pânå la de 2,75 ori mai mari decât cele ob¡inute cu rela¡ia (3.217) ; valorile lui ε cresc odatå cu mic¿orarea distan¡ei dintre forajele ¿irului. Din punct de vedere practic se poate admite cå rela¡ia (3.214) este aplicabilå ¿i pentru acvifere infinite cu dinamicå ini¡ialå cu erori maxime de 7% pentru σ > 10m , mai mici de 5%, pentru l1/l2 ≥ 0,6. Aceastå ultimå constatare este cu atât mai mult valabilå pentru forajele din vecinatatea unei limite de alimentare -

rela¡ia (3.218), deoarece l < 2B , deci π

σ

π

σ

l Bm<2

.

Observa¡iile de mai sus sunt valabile pentru foraje perfecte sau imperfecte dupå gradul de deschidere executate atât în acviferele sub presiune cât ¿i în cele cu nivel liber. ªi în dimensionarea ¿irurilor de foraje plasate în interfluviu sau în vecinatatea unei linii de alimentare se pot folosi drenurile frontale (perfecte sau imperfecte) echivalente din punct de vedere hidrodinamic. În cazul unui dren frontal perfect executat într-un interfluviu debitul acestuia pe un front de un metru rezultå din însumarea debitelor unitare ale acviferului pe cele douå pår¡i (fig.3.40):

Fig.3.40. Dren frontal perfect într-un interfluviu.

q q q

q KH H

lT

H Hl

q KH H

lT

H Hl

0 1 2

11 0

1

1 0

1

22 0

2

2 0

2

= +

=−

=−

=−

=−

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

(3.220)

Ecua¡iile profilelor piezometrice în lungul axei x sunt:

176

( )

( )

H HH H

lx x pentru x x

H HH H

lx x pentru x x

x

x

= +−

− ≤

= +−

− ≥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

01 0

10 0

02 0

20 0

,

,. (3.221)

În cazul unui dren frontal perfect executat în vecinatatea unei limite de alimentare, debitul unitar al drenului este (fig.3.41):

Fig.3.41. Dren frontal perfect paralel cu o linie de alimentare.

( )q q q

q TH H

l

a0

1 0

1

= +

=−

⎧

⎨⎪

⎩⎪

(3.222)

iar qa (debitul unitar al acviferului în regim natural) rezultå din condi¡iile hidrogeologice ale zonei. Ecua¡iile profilelor piezometrice în lungul axei x sunt:

( )

( )

H HH H

lx x pentru x x

H HqT

x x pentru x x

x

xa

= +−

− ≤

= + − ≥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

01 0

10 0

0 0 0

,

,

. (3.223)

177

3.2.7. Limite de valabilitate ale formulelor deduse pe baza ipotezelor lui

Dupuit. Posibilitå¡i de corectare.

3.2.7.1. Considera¡ii generale. Deoarece toate ipotezele lui Dupuit au caracter simplificator - ¿i în unele cazuri imaginar-, este de a¿teptat ca ecua¡iile deduse pe baza acestora så aibå aplicabilitate limitatå. În scopul precizårii posibilitåtilor de aplicare - ¿i a eventualelor corec¡ii care trebuie aduse acestora pentru a putea fi aplicate în practica inginereascå, s-au efectuat numeroase studii teoretice ¿i experimentale.

Ecua¡ia difuzivitå¡ii hidraulice în coordonatele cilindrice. Se considerå cazul general al acviferelor sub presiune cu mi¿care nesta¡ionarå, pentru care trebuie så se ¡inå seama de compresibilitatea apei ¿i a mediului permeabil.

Fig.3.42. Vitezele masice într-un element cilindric. Pentru elementul infinitesimal cilindric din figura 3.42 înmagazinårile de maså pe cele trei direc¡ii sunt:

( )( ) ( )

r v rd dz v rd dzr v

rdr d dz

r v

rdr d dzr r

r r: ;ρ φ ρ φ∂ ρ

∂φ

∂ ρ

∂φ− +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= −

( )( ) ( )

φ ρ ρ∂ ρ

∂φφ

∂ ρ

∂φφφ φ

φ φ: ;v dr dz v dr dz

vd dr dz

vd dr dz− +

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

= −

( )( ) ( )

z v rd dr v rd drv

zdzr d dr

v

zdzr d drz z

z z: ;ρ φ ρ φ∂ ρ

∂φ

∂ ρ

∂φ− +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= −

178

Prin însumare se ob¡ine înmagazinarea de maså în volumul dr r dφ dz, care trebuie så fie identicå cu modificarea masei de apå cantonatå în acela¿i volum în unitatea de timp ∂(n ρ dr r dφ dz)/ ∂t:

( ) ( ) ( ) ( )∂ ρ

∂

∂ ρ

∂

∂ ρ

∂

∂ ρ

∂φn

t r

r v

r r

v

r

v

z

r+ + +1 1

0z = , (3.224)

care este ecua¡ia de continuitate în coordonate cilindrice. În cazul mi¿cårii axial-simetrice (vφ= 0), înlocuind componentele vitezei în concordan¡å cu legea lui Darcy:

v v Kh

rv K

h

zx r r z z= = − = −

∂

∂

∂

∂; . (3.225)

¥nmul¡ind ecua¡ia (3.225) cu grosimea M a acviferului ¿i explicând termenul

( )∂ ρ∂

M n

t

⋅ ⋅ - vezi cap.2.1.2, se ob¡ine ecua¡ia difuzivitå¡ii hidraulice:

Mr r

K rh

rK

h

zS

h

tr z

1 2

2

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = , (3.226)

în care S este coeficientul de înmagazinare elasticå ¿i h = H este sarcina piezometricå în raport cu patul impermeabil al acviferului, considerat orizontal. Dacå acviferul este constituit din depozite omogene ¿i izotrope (Kr = Kz) , ecua¡ia difuzivitå¡ii hidraulice devine:

1 2

2r rr

h

r

h

z

S

T

h

t

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + = . (3.227)

În cazul mi¿cårilor axial-simetrice, sta¡ionare ¿i conservative dacå se neglijeazå componenta verticalå a vitezei, din ecua¡ia (3.227) se deduce cå ecua¡ia difuzivitå¡ii hidraulice se reduce la:

10

r

d

drrK M

dh

drr

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = , (3.228)

în care q K Mdh

drr= este debitul unitar. Rezultå:

( )d rq

drq r

dq

drsau q r

dq

dr= + = = −0 . (3.229)

179

Deoarece în mi¿carea axial-simetricå sta¡ionarå-conservativå debitul curentului acvifer la o distan¡å oarecare r(r

0 < r < R), identic cu debitul forajului, este Q = 2πrq ,

¿i re¡inând cå pentru acviferul cu nivel liber M = h (variabil), rezultå ecua¡iile diferen¡iale ale debitului.

Q rK Mdh

drr= 2π , (3.230)

pentru acvifere sub presiune, ¿i:

Q rK hdh

drr= 2π , (3.231)

pentru acvifere cu nivel liber. Se constatå cå ecua¡iile (3.230) ¿i (3.231) sunt identice cu (3.12) ¿i respectiv (3.2) - pe baza cårora s-au dedus ecua¡iile debitului forajelor, cu observa¡ia cå în ecua¡iile lui Dupuit trebuie folositå conductivitatea hidraulicå orizontalå a acviferelor. Neglijarea componentei verticale a vitezei la stabilirea formulelor pentru calculul debitului forajelor perfecte, în special în cazul acviferelor cu nivel liber, a determinat pe unii cercetåtori så punå la îndoialå exactitatea acestor formule. Cercetårile teoretice ¿i experimentale efectuate de numero¿i cercetåtori, în special în ultimele trei decenii, au condus la urmåtoarele concluzii: - debitele forajelor perfecte sunt influen¡ate determinant de conductivitatea hidraulicå orizontalå a acviferelor. Ca urmare, se poate aprecia cå formulele lui Dupuit pentru debite (în cazul forajelor perfecte dupå gradul de deschidere) sunt corecte chiar în situa¡ia în care conductivitatea hidraulicå verticalå diferå în mod esen¡ial de cea orizontalå. Aceastå ultimå observa¡ie conduce la concluzia cå ipoteza lui Dupuit referitoare la necesitatea izotropiei acviferului nu este obligatorie. - ipoteza lui Dupuit conform cåreia suprafa¡a de depresiune (sau piezometricå) nu suferå discontinuitå¡i în zona din imediata vecinatate a forajului experimental ¿i nici la traversarea filtrului este îndeplinitå practic numai în situa¡ii particulare (cazul forajelor perfecte, echipate cu filtre corect dimensionate, care lucreazå la denivelåri mici în acvifere sub presiune). Existen¡a zonei de izvorâre - în cazul acviferelor cu nivel liber - , ¿i pierderile de sarcinå datorate rezistentelor hidraulice suplimentare introduse de filtru ¿i de zona din vecinåtatea acestuia, ¿i în unele situa¡ii, de devierea de la legea linearå de filtrare, determinå atât la acviferele sub presiune (mai ales) cât ¿i la cele cu nivel liber, apari¡ia unor diferen¡e, adesea importante, între nivelele înregistrate în forajul experimental ¿i cele existente în acvifer la limita exterioarå a zonei adiacente forajului, cu conductivitatea hidraulicå modificatå (care determinå de fapt curgerea spre foraj). Din cele de mai sus se deduce cå rela¡iile lui Dupuit ar putea fi folosite practic fårå erori dacå se folose¿te conductivitatea hidraulicå orizontalå a acviferelor ¿i dacå s-ar cunoa¿te valoarea denivelårii (sau a sarcinii piezometrice) la limita exterioarå a zonei adiacente filtrului, cu permeabilitate modificatå. Deoarece cea de-a doua condi¡ie este imposibil de îndeplinit din punct de vedere practic, rezultå ca obligatorie necesitatea

180

corectårii denivelårii înregistrate în forajul experimental. Pentru rezolvarea acestei probleme este necesarå explicitarea rezisten¡elor hidraulice suplimentare ale forajelor reale, acestea reprezentând cauza pierderilor de sarcinå suplimentarå fa¡å de modelul teoretic Dupuit. 3.2.7.2. Rezisten¡ele hidraulice ale forajelor. Luând în considerare, pe de o parte, raportul dintre lungimea filtrului ¿i grosimea acviferului ¿i, de altå parte, filtrul, zona adiacentå acestuia ¿i posibilitatea abaterii de la legea linearå de filtrare, se poate exprima rezisten¡a hidraulicå a unui foraj prin expresia:

ζ0 = ζ

1 + ζ2 = ζ

1 + ζf + ζ

cf + ζa + ζ

n (3.232)

ζ

1 este rezisten¡a hidraulicå determinatå de imperfec¡iunea dupå gradul de

deschidere ¿i ζ2 - rezisten¡a hidraulicå suplimentarå determinatå de modul în care filtrul

¿i zona adiacentå acestuia faciliteazå exploatarea acviferului. Rezisten¡a hidraulicå determinatå de modul de deschidere are, în principiu, urmåtoarele componente: ζ

f - rezisten¡a hidraulicå determinatå de particularitå¡ile constructive ale filtrului,

suprafa¡a activå a acestuia având un rol determinant; ζ

cf - rezisten¡a hidraulicå în coloana forajului la curgerea ascendentå a apei;

ζa - rezisten¡a hidraulicå suplimentarå datoritå modificårii structurii ¿i proprietå¡ilor

filtrante ale zonei adiacente forajului ; ζ

n - rezisten¡a hidraulicå suplimentarå datoratå abaterii regimului de filtrare de la

legea linearå, de regulå într-o zonå limitatå în jurul forajului. Realizarea unor foraje experimentale sau de exploatare cu ζ

2=0 nu este posibilå,

datoritå, în primul rând, existen¡ei filtrului. Rezisten¡a hidraulicå ζ

f poate fi mult diminuatå prin folosirea unor filtre cu suprafa¡å

activå mare. Rezisten¡a hidraulicå datoratå modificårii în timp a structurii ¿i proprietå¡ilor filtrante în zona adiacentå forajului de asemenea nu poate fi eliminatå ci numai reduså prin folosirea unor metode corespunzåtoare de såpare ¿i printr-o dimensionare corectå a filtrului. Când se lucreazå cu denivelåri mari, ζa poate avea valori importante, neglijarea lor conducând la erori apreciabile în determinarea proprietå¡ilor filtrante ¿i estimarea capacitå¡ii de debitare a forajului. Acesta este motivul pentru care, crearea prin deznisipare a zonei adiacente cu permeabilitate måritå este o necesitate tehnologicå pentru toate forajele de captare ¿i drenaj. Schimbarea proprietå¡ilor filtrante ale coloanei filtrante ¿i ale zonei adiacente se datore¿te mai multor procese care variazå în timp : colmatarea fizico-mecanicå, colmatarea chimicå, coroziunea electrochimicå ¿i coroziunea biologicå. În timp, procesul de colmatare poate afecta fe¡ele interioare ¿i exterioare ale coloanei filtrante, coroana din pietri¿ mårgåritar din jurul forajului, precum ¿i o zonå, mai mult sau mai pu¡in dezvoltatå din acvifer.

181

La denivelåri mari, în acvifere cu granulozitate ridicatå, regimul de filtrare în jurul forajului, într-o zonå mai mult sau mai pu¡in limitatå, se poate abate de la legea linearå Darcy ( ζ

n > 0 ).

Expresia dimensionalå a rezisten¡ei hidraulice este saltul piezometric, fiecåruia din rezisten¡ele amintite corespunzându-i o pierdere suplimentarå de sarcinå hidraulicå. Având în vedere cele discutate mai sus, se ajunge la concluzia cå la toate forajele experimentale sau de exploatare existå o diferen¡å, uneori importantå, între denivelårile måsurate în acestea ¿i cele reale, care determinå curgerea spre foraj, de la limita exterioarå a zonei adiacente filtrului, cu structurå ¿i permeabilitate modificate. Pentru acviferele cu nivel liber, la cele de mai sus se mai adaugå pierdera de sarcinå impuså de prezen¡a zonei de izvorâre. 3.2.7.3. Foraje executate în acvifere cu extindere orizontalå mare, fårå dinamicå ini¡ialå. Pentru acvifere sub presiune, denivelarea înregistratå în forajul experimental, s0 , poate fi scriså sub forma - (v. fig. 3.43 ¿i rela¡ia 3.l7):

sQ

T

R

rsD0

0

02

= + s0

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = +

πζln ∆ , (3.233)

în care:

sQ

T

R

rD =

2 0πln (3.234)

este denivelarea teoreticå, în concordan¡å cu ipotezele Dupuit ¿i:

∆sQ

T

Q

T

Q

T0 0 1 2

2 2 2= = +

πζ

πζ

πζ (3.235)

este saltul piezometric total, expresie dimensionalå directå a factorului de corec¡ie ζ

0

al rezisten¡elor hidraulice totale ale forajului. Dacå se cunoa¿te valoarea corectå a transmisivitå¡ii, denivelarea într-un foraj imaginar de razå r1 din care se extrage acela¿i debit cu cel din forajul experimental, este:

sQ

T

R

r1

1

02

= +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟π

ζln ' . (3.236)

¥ntrucât de regulå, r

1 > M (grosimea acviferului), cele douå componente ale lui ζ0,

rezisten¡ele hidraulice dupå gradul ¿i dupå modul de deschidere sunt evident nule. Scåzând (3.236) din (3.232), rezultå:

( )ζ

π0

0 1 1

0

2=

−−

T s s

Q

r

rln . (3.237)

182

Fig.3.43. Profilul piezometric real în vecinåtatea forajelor de captare ¿i drenaj. sD-denivelare

teoreticå (Dupuit); s0-denivelare realå (måsuratå): sc-denivelare la limita exterioarå a zonei cu permeabilitate modificatå.

183

Rela¡ii similare se pot scrie pentru oricare alt foraj de observa¡ie. Cunoscând valoarea lui ζ

0 din rela¡ia (3.235) rezultå valoarea saltului piezometric

total. Deoarece rela¡ia (3.233) mai poate fi scriså ¿i sub forma:

sQ

T

R

re

02

=π

ln , (3.238)

în care:

r r ee = −0

0ζ (3.239)

este raza echivalentå a forajului, rezultå cå imperfec¡iunea forajelor poate fi luatå în considerare prin reducerea sau dilatarea razei reale a acestora, în func¡ie de valoarea ¿i semnul lui ζ

0. De regulå ζ

0 este pozitiv ¿i ca urmare, re < r

0.

Separând din ζ0 calculat cu rela¡ia (3.237), rezisten¡a hidraulicå determinatå de

imperfec¡iunea dupå gradul de deschidere, ζ1 care are o rezolvare teoreticå exactå (vezi

§ 3.2.5.), rezultå ζ2. Cunoscând ζ

1 ¿i ζ

2 , din (3.235) rezultå componentele

corespunzåtoare ale saltului piezometric total. Datå fiind diversitatea ¿i varia¡ia în timp a factorilor care determinå rezisten¡a dupå modul de deschidere, separarea acesteia în cele trei componente este, de regulå, greu de realizat. ¥n cazul forajelor perfecte dupå gradul de deschidere (ζ

1 = 0, deci ζ

0= ζ

2) ¿i ∆s

0=∆sc

se pot ob¡ine informa¡ii adi¡ionale importante în legåturå cu dezvoltarea ¿i permeabilitatea zonei adiacente filtrului. Dacå regimul de filtrare în toatå zona de influen¡å a forajului este linear - acest lucru poate fi verificat pe baza datelor ob¡inute prin pompåri experimentale -, atunci în valoarea lui ζ

2 = ζ

0 , calculatå cu rela¡ia (3.237), råmâne suma dintre ζ

f , ζ

cf ¿i ζ

a.

¥ntrucât rezisten¡a hidraulicå la curgerea ascendentå a apei în coloana forajului poate fi estimatå separat, fiind de regulå pu¡in semnificativå, este convenabil så se foloseascå nota¡ia:

ζc = ζ

f + ζ

a (3.240)

deoarece, pe de o parte ζ

f ¿i ζ

a sunt greu de separat ¿i, pe de alta parte, ζ

c este o

expresie directå a proprietå¡ilor filtrante ale filtrului propriu-zis ¿i ale zonei adiacente acestuia (efectul colmatårii fizice, chimice ¿i biologice). Deoarece zona adiacentå forajului, cu conductivitate hidraulicå diferitå de cea a acviferului, nu afecteazå caracterul radial al mi¿cårii spre foraj, folosind nota¡iile din fig. 3.43, pentru cazul mi¿cårii sta¡ionare ¿i conservative, rezultå:

( ) ( )Q

K M h hr

r

KM h hr

r

c c

c

c

c

=−

=−2 20

0

π π

ln ln

184

din care, eliminând hc , se ob¡ine ecua¡ia profilului piezometric.

h hQ

T

r

r

K

K

r

rc c

c− = +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥0

02πln ln (3.241)

în care T =KM este transmisivitatea acviferului. Punând condi¡iile la limitå, în concordan¡å cu ipotezele Dupuit (r=R, h=H), din rela¡ia (3.241) se ob¡ine expresia denivelårii reale (înregistrate) în foraj:

s H hQ

T

r

r

K

K

r

rc c

c0 0

02= − = +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥π

ln ln ,

care mai poate fi scriså în forma:

sQ

T

R

r

K

K

r

rs

c

cD s0

0 021= + −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ c

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= +π

ln ln ∆ , (3.242)

în care:

sQ

T

R

rD =

2 0πln (3.243)

este denivelarea teoreticå, Dupuit, ¿i:

∆sQ

T

K

K

r

rc

c

c= −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟2

10π

ln (3.244)

este pierderea de sarcinå hidraulicå (saltul piezometric) datoratå modificårii permeabilitåtii filtrului ¿i în special zonei adiacente acestuia, expresia (dimensionalå) directå a lui ζ

c.

Comparând rela¡ia (3.217) cu (3.208), rezultå:

ζc

c

cK

K

r

r= −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟1

0

ln (3.245)

¿i tinând seama de (3.244), se ob¡ine:

∆sQ

Tc = c

2πζ , (3.246)

care permite calcularea lui ∆s

c, ζ

c fiind cunoscut.

185

Din rela¡ia (3.245) rezultå expresia conductivitå¡ii hidraulice medii a zonei adiacente colmatate:

K

Kr

rr

r

c

c

cc

=+

ln

ln

0

0

ζ. (3.247)

Limita exterioarå a zonei cu structura ¿i permeabilitatea modificate adiacentå forajului func¡ioneazå ca o suprafa¡å de discontinuitate normalå pe liniile de curent. Pentru o asemenea situa¡ie, conductivitatea hidraulicå medie (echivalentå) între forajul experimental ¿i un piezometru de observa¡ie este - (v.rel. 3.33):

K

R

r

K

r

r K

r

r

m

c

c

c

=+

ln

ln ln

0

0

11 1 , (3.248)

în care introducând kc, conform (3.247) rezultå:

K

r

rr

r

Kr

r

r

r K

r

r

m

cc

c

c

c

=+

+

ln

ln

lnln ln

1

0

0

0

0

11ζ

. (3.249)

¥ntrucât conductivitatea hidraulicå medie între forajul central ¿i oricare foraj de observa¡ie rezultå în urma pompårilor experimentale, rezolvând prin aproxima¡ii succesive rela¡ia (3.249) se ob¡ine valoarea lui rc. Cunoscând rc se calculeazå ¿i valoarea lui Kc din rela¡ia (3.247). Dacå se noteazå cu re raza unui foraj fictiv echivalent din punct de vedere al rezisten¡elor hidraulice cu cel real, atunci profilul piezometric are ecua¡ia:

h hQ

T

r

re

− =02π

ln . (3.250)

Comparând rela¡iile (3.250) ¿i (3.241) se ob¡ine:

ln lnr

r

K

K

r

rc

e c

c=0

,

186

din care rezultå rela¡ia de calcul a razei forajului (fictiv) echivalent (v.rel.3.239):

r rr

rr ee c

c

K

Kc

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = −0

00ζ. (3.251)

¥nlocuind raza forajului real r

0 prin re , toate rela¡iile deduse pornind de la ipotezele

Dupuit råmân valabile. Dacå zona adiacentå forajului este colmatatå, adicå Kc< K, atunci ζc este pozitiv, re < r

0 iar ∆s0 are semnifica¡ia din figura 3.43,a. Efectul colmatårii asupra denivelårii din

foraj poate fi u¿or eviden¡iat prin raportul ∆sc /sD determinat de rela¡iile (3.244) ¿i

(3.243).

∆s

s

K

K

r

rR

r

c

D c

c

= −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟1 0

0

ln

ln. (3.252)

¥n func¡ie de valoarea raportului K/Kc ¿i de grosimea zonei colmatate, din graficul prezentat în figura 3.44 se deduce ca ∆sc poate lua valori importante, putând depå¿i de mai multe ori denivelarea teoreticå (Dupuit) în foraj.

Fig.3.44. Varia¡ia denivelårii în foraj în func¡ie de proprietå¡ile filtrante ale zonei adiacente [32].

187

Dacå Kc >K , efect al filtrelor bine dimensionate ¿i al deznisipårii eficiente, atunci cel pu¡in temporar, ζc este negativ, re>r0, iar ∆s0 are semnifica¡ia din figura 3.43,b. Pentru a eviden¡ia influen¡a colmatårii zonei adiacente asupra debitului extras, pentru aceea¿i valoare a denivelårii ( de exemplu sD - cea corespunzåtoare ipotezelor Dupuit), se scriu expresiile debitului real - (v.rel.3.242):

QTs

R

r

K

K

r

r

TsR

r

cD

c

c

D

c

=

+ −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=+

2

1

2

0 00

π π

ζln ln ln

¿i a celui teoretic (Dupuit) - (v.rel.3.243):

QTsR

r

D=2

0

π

ln.

Fåcând raportul celor douå rela¡ii, se ob¡ine:

Q

QK

K

r

rR

r

c

c

c0

0

0

1

1 1

=

+ −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

ln

ln

. (3.253)

¥n figura 3.45 se prezintå reprezentarea graficå a rela¡iei (3.253). Rezultå o reducere importantå a debitului pompat în situa¡ia când în foraj se men¡ine denivelarea corespunzåtoare situa¡iei în care zona adiacentå este necolmatatå. De asemenea, studierea rela¡iei (3.253) permite constatarea cå influen¡a maximå asupra debitului o au modificårile de permeabilitate în zona imediat apropiatå de peretele forajului (zona din imediatå vecinåtate a filtrului) unde gradien¡ii hidraulici sunt maximi ¿i sec¡iunea de curgere este minimå. Pentru acvifere cu nivel liber, procedând ca la acviferele sub presiune, rezultå (fig.3.46) dupå cum urmeazå: Expresia denivelårii reale înregistrate în forajul experimental:

( )s H s H hQ

K

R

r0 0

202

0

02 − = − = +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟π

ζln . (3.254)

Expresia rezisten¡ei hidraulice totale:

( )( )ζ

π0

0 1 0 1 1

0

2=

− − −−

K s s H s s

Q

r

rln . (3.255)

188

Fig.3.45. Varia¡ia debitului pompat în func¡ie de proprietå¡ile filtrante ale zonei adiacente [32].

Expresia saltului de nivel total se poate deduce dacå se porne¿te de la ecua¡ia debitului scriså între forajul central ¿i un foraj de observa¡ie - (v.rel.3.8) ¿i notårile din figura 3.46:

( ) ( )[ ]Q

K h hr

r

K h h s

r

r

D=−

=− +π π

12 2

1

0

12

0 0

2

1

0

ln ln

∆,

din care rezultå:

∆s h h hQ

K

r

rho p= − = − −0 1

2 1

0

0πln . (3.256)

Folosirea rela¡iei (3.256) presupune cunoa¿terea conductivitå¡ii hidraulice reale a acviferului. De asemenea, trebuie subliniat faptul cå în valoarea lui ∆s0 intrå, în afara componentelor existente la acviferele sub presiune, ¿i pierderea de sarcinå datoratå existen¡ei zonei de izvorâre. Raza echivalentå a forajului. Deoarece rela¡ia (3.254) mai poate fi scriså ¿i în forma:

s H sQ

K

R

re

0 02( ) ln− =π

, (3.257)

în care:

re=r0e-ζ0

189

identicå cu rela¡ia (3.239), rezultå cå ¿i în cazul acviferelor cu nivel liber, dupå înlocuirea lui r0 cu re , råmân valabile toate ecua¡iile deduse în concordan¡å cu ipotezele Dupuit.

Fig.3.46. Pozitia teoreticå ¿i cea realå a profilului de depresiune.

Dacå forajul este perfect în raport cu gradul de deschidere (ζ0 = ζ2) ¿i regimul de filtrare este în concordan¡å cu ecua¡ia liniarå Darcy(ζn = 0), atunci ¿i în cazul acviferelor cu nivel liber, se pot ob¡ine informa¡ii importante în legaturå cu zona adiacentå forajului (cu structurå ¿i permeabilitate modificate). Pentru cazul mi¿cårii radiale, sta¡ionare ¿i conservative spre foraj, folosind nota¡iile din figura 3.46, se poate scrie:

QK h h

r

r

K h hr

r

c c

c

c

c

=−

=−π π( )

ln

( )

ln

202

0

2 2

(3.258)

190

din care eliminând pe hc

2 se ob¡ine ecua¡ia profilului de depresiune:

h hQ

K

r

r

K

K

r

rc c

c202

0

− = +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥π

ln ln (3.259)

Punând condi¡iile la limitå în concordan¡å cu ipotezele Dupuit (r = R, h = H), din rela¡ia (3.259) rezultå:

( ) ( ) ln lnH h s H sQ

K

R

r

K

K

r

rc c

c202

0 0

0

2− = − = +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥π (3.260)

din care rezultå înål¡imea nivelului real din foraj fa¡å de patul impermeabil:

h HQ

K

R

r

K

K

r

rc c

c0

2

0

= − +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥π

ln ln (3.261)

¿i denivelarea înregistratå în foraj:

s H h H HQ

K

R

r

K

K

r

r

H HQ

K

R

r

K

K

r

r

c c

c

c c

c

0 02

0

2

0

1

= − = − − +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

= − − + −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

π

π

ln ln

ln ln

(3.262)

Deoarece:

∆sc = s0 - sD. în care s0 este dat de expresia (3.262), iar sD (denivelarea teoreticå) rezultå din rela¡ia (3.7):

H hQ

K

R

r

h HQ

K

R

r

D

D

2 2

0

2

0

− =

= −

π

π

ln

ln

s H h H HQ

K

R

rD D= − = − −2

0πln , (3.263)

191

scåzând (3.263) din (3.262) se ob¡ine:

∆sQ

KKK

rr

HQK

Rr

cc

c= − − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= −

απ α

απ

1 1 120

2

0

( ) ln

ln

(3.264)

Se observå cå valorile lui α sunt influen¡ate direct de condi¡iile la limitå ale acviferului. Efectul colmatårii zonei adiacente asupra denivelårii din foraj poate fi eviden¡iatå prin raportul ∆sc /sD

determinat de rela¡iile (3.264) ¿i (3.263):

∆s

s H

Q

K

K

K

r

rc

D c

c=−

− − −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

α

α π α1 1 1

20

ln . (3.265)

Debitul real al forajului când kc ≠ K , pentru o denivelare identicå cu sD (denivelare teoreticå Dupuit) este:

( ) ( )Q

K H h

R

r

K

K

r

r

K H hR

r

c

D

c

c

D

c

=−

+ −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=−

+

π π

ζ

2 2

0 0

2 2

01ln ln ln

, (3.266)

iar cel teoretic este:

( )Q

K H hR

r

cD=

−π 2 2

0

ln. (3.267)

Raportul Qc /Q , care eviden¡iazå efectul modificårii proprietå¡ilor filtrante ale zonei adiacente asupra debitului forajului, este identic cu cel stabilit anterior pentru acviferul sub presiune - v.rel. (3.253). Asa dupå cum s-a mai amintit, pentru acviferele cu nivel liber, saltul de nivel total cuprinde ¿i înål¡imea de izvorâre (hi ). ¥nål¡imea de izvorâre (hi ) are o bazå fizicå clarå - (v. fig. 3.47), dacå se observå cå volumul de apå existent între echipoten¡iala DC ¿i peretele filtrului nu poate curge spre foraj dacå între punctele C ¿i B nu existå o diferen¡å de nivel. Aceastå comportare råmâne valabilå ¿i pentru situa¡iile în care forajul nu este prevåzut cu filtru (nu este necesarå sus¡inerea pere¡ilor gåurii de sondå).

192

Fig. 3.47. Semnifica¡ia înål¡imii de izvorâre [40]. Numeroase experien¡e de laborator, cercetåri analitice ¿i calcule numerice au dus la concluzia cå existå o rela¡ie de forma:

( )h h hQK

frQK

i i2 0 02+

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

π π

log . (3.268)

Dreapta construitå pe baza a numeroase date experimentale care exprimå grafic ecua¡ia (3.268) este prezentatå în figura 3.48 ¿i are ecua¡ia:

( )h h hQ

K

Q

Kr

i i21 01 0 41

0

02

+= −

π

π, log , . (3.269)

Pentru debite mici, înål¡imea de izvorâre este pu¡in semnificativå ¿i se poate neglija

pentru Q/πK<2,5 . r02

193

Rela¡ia (3.269) este aplicabilå pentru debite care respectå condi¡ia:

Q/πK ≥ 2,5 (3.270) r02

Fig. 3.48. Corela¡ia experimentalå pentru înål¡imea de izvorâre (folosind nota¡iile din fig. 3.47)

[40]. Diferen¡a dintre suprafa¡a liberå realå ¿i cea teoreticå este maximå în vecinåtatea forajului ¿i scade rapid pe direc¡ia lui r. La nivelul cuno¿tin¡elor actuale, se acceptå cå formula Dupuit este aplicabilå începând de la o distan¡å r de la care panta suprafe¡ei

libere dh

dr≤ 0 2, . ¥n condi¡iile mi¿cårii radiale sta¡ionare ¿i conservative, în concordan¡å

cu ipotezele Dupuit, se scriu: - ecua¡ia diferen¡ialå a debitului:

Q Krhdh

dr= 2π ; (3.271)

- expresia debitului ob¡inutå prin integrarea acesteia între peretele filtrului ¿i o sec¡iune oarecare - (v.rel.3.6):

( )Q

K h hr

r

=−π 2

02

0

ln. (3.272)

194

Din (3.271) rezultå:

dh

dr

Q K

rh=

/ π

2,

din care, înlocuind pe h din (3.272), se ob¡ine expresia cu care se poate calcula panta suprafe¡ei libere:

dh

dr

Q K

r hQ

K

r

r

=

+

/

ln

π

π2 0

2

0

(3.273)

la diverse distan¡e r de forajul experimental. Racordarea profilului de depresiune Dupuit cu nivelul din foraj, dupå determinarea lui hi ¿i r' , se face cu mâna liberå. A¿a dupå cum s-a mai aråtat, în cazul acviferelor cantonate în depozite anizotrope, formulele debitului deduse în concordan¡å cu ipotezele Dupuit råmân valabile cu condi¡ia ca så fie folositå conductivitatea hidraulicå orizontalå. Forma ¿i pozi¡ia profilului de depresiune precum ¿i înål¡imea de izvorâre sunt puternic influen¡ate de anizotropie. ¥n cazul mediilor ortotrope în care Kx = Ky = K

H ; Kz = Kv ¿i K

H /Kv > 1, poate fi

folositå mi¿carea echivalentå într-un mediu izotrop, distorsionat geometric dupå regula care, pentru probleme tridimensionale, constå în reducerea dimensiunii pe orizontalå în propor¡ia α = K KH / v , având conductivitatea hidraulicå:

K K K KH v H= =−

23

2

3/ α (3.274)

¥n aceastå situa¡ie, expresia stabilitå anterior pentru înål¡imea de izvorâre - (v.rel.3.269), devine:

( )h h h

Q K

Q K

r

i i

H

H2

1 01 0 410

02 2 3

+=

/, log

/

/,

/π

π

α− . (3.275)

¥n figura 3.49 se prezintå pozi¡ia profilului de depresiune pentru trei valori ale raportului K

H/Kv . Schimbårile semnificative ale pozi¡iei suprafe¡ei libere în jurul

forajului în func¡ie de valoarea raportului KH /Kv , atrag aten¡ia asupra necesitå¡ii

considerårii anizotropiei în dimensionarea forajelor de captare ¿i drenaj.

195

Fig.3.49.Influen¡a anizotropiei asupra pozi¡iei si formei profilului de depresiune [40]. 3.2.7.4. Considerarea influen¡ei regimului neliniar de filtrare. Una din ipotezele (Dupuit) care stau la baza deducerii rela¡iilor prezentate în paragrafele anterioare admite cå mi¿carea apei subterane spre forajele de captare ¿i drenaj se face în concordan¡å cu legea liniarå de filtrare Darcy. În general, se admite cå dependen¡å liniarå între viteza de filtrare ¿i gradientul hidraulic este valabilå atât timp cât influen¡a for¡elor de iner¡ie poate fi neglijatå, practic fårå erori. Experien¡a existentå, bazatå pe numeroase studii teoretice ¿i experimentale, confirmå faptul cå legea liniarå de filtrare Darcy este respectatå în marea majoritate a situa¡iilor practice. În cazul forajelor de captare ¿i drenaj care deschid acvifere sub presiune cantonate în depozite cu permeabilitå¡i mari, în condi¡iile unor denivelåri importante, existå posibilitatea abaterii de la legea liniarå de filtrare. Pentru asemenea situa¡ii, forma generalå de exprimare a legii neliniare de filtrare apar¡inând lui Dupuit este:

I = av + bv2 (3.276) Aceastå expresie exprimå condi¡iile limitå ale regimului de mi¿care: în condi¡iile regimului liniar termenul bv2 este neglijabil în compara¡ie cu av; în cazul regimului turbulent termenul liniar este pu¡in semnificativ în raport cu cel påtratic. În încercarea de exprimare a semnifica¡iei coeficien¡ilor a ¿i b, numero¿i cercetåtori au prezentat variante ale ecua¡iei (3.276).

196

•Ecua¡ia stabilitå experimental de F.Lindquist:

Cf Re = A + BRe, (3.277) în care:

Re = vd

ν este numårul Reynolds;

Cf = gdI

ν2 - coeficientul rezisten¡elor hidraulice;

v - viteza de filtrare; d - diametrul mediu caracteristic al spa¡iilor poroase; I - gradientul hidraulic; g - accelera¡ia gravita¡ionalå; ν - vâscozitatea cinematicå a apei. Pentru medii granulare, ideal omogene din punct de vedere granulometric, Lindquist a ob¡inut pentru constantele A ¿i B valorile: A = 1270 ¿i B = 20. Având în vedere cå expresia numårului Reynolds pentru mi¿carea apei prin medii poroase este scriså prin analogie cu mi¿carea apei prin conducte, d ar trebui så reprezinte diametrul caracteristic al spa¡iilor poroase prin care se face curgerea. Numai par¡ial justificat, în numeroase lucråri se folose¿te diametrul reprezentativ al granulelor - d10 de pe curba granulometricå cumulativå. Mult mai logicå pare propunerea lui G. Szilagy care considerå cå d reprezintå diametrul unor tuburi capilare care, înlocuind spa¡iile poroase reale, asigurå curgerea unui debit identic cu cel real, la aceea¿i vitezå ¿i la acela¿i gradient hidraulic. Dacå se scrie expresia vitezei prin conducte în concordan¡å cu legea Hagen-Poiseuille:

vgd I

=2

32ν, (3.278)

rezultå:

dg

v

nI=

32ν. (3.279)

Dacå în rela¡ia (3.277) se înlocuiesc expresiile care definesc parametrii Cf ¿i Re , se ob¡ine o rela¡ie similarå cu (3.276):

Il

Kv

dB

K Av= +

ν2, (3.280)

care mai poate fi scriså în forma:

v dI

A BRK I

e

=+

=γ

µ2 ' , (3.281)

197

unde:

K dI

A BRe

' =+

γ

µ2 (3.282)

este conductivitatea hidraulicå generalizatå, variabilå în func¡ie de valoarea numårului Reynolds; γ - greutatea specificå; µ - vîscozitatea dinamicå a apei. Pentru valori ale numårului Reynolds foarte mici, A>>Bre , K' tinde cåtre conductivitatea hidraulicå Darcy:

lim .'

Re

K KdA

const→

= = =0

2γµ , (3.283)

rela¡ia (3.282) putându-se retranscrie în forma:

KKB

AR

K

Re

e

' =+

≈+1 1 0,0158

(3.284)

Pentru Re → 0 , K'→ K , legea liniarå de filtrare Darcy este aplicabilå. Odatå cu cre¿terea lui Re , rela¡ia (3.284) descrie o trecere continuå de la legea liniarå la cea påtraticå. Din (3.283) rezultå o nouå posibilitate de exprimare a diametrului mediu caracteristic al spa¡iilor poroase:

d A K Ag

K= =µ

γ

ν (3.285)

Dacå se considerå K în cm/s, g = 981 cm/s2, A = 1270, ν= 0,0131 cm2/s (la 10°C), rezultå:

d = 0,13 K , (d în cm). (3.286) •Rela¡ia lui F. Engelund:

Il

Kv

Kv= +

α 2 (3.287)

care are aceea¿i structurå cu ec. generalizatå (3.250), în care:

αα

ν= 0

n

K

g (3.288)

198

Parametrul α

0 este func¡ie de conductivitatea hidraulicå, având urmåtoarele valori

indicative: α0 = 0,11 pentru K > 1 cm/s; α

0 = 0,18 pentru K > 0,5 cm/s; α

0 = 0,30

pentru K < 0,5 cm/s. Comparând rela¡iile (3.254) ¿i (3.287), rezultå:

αν ν

= ≈d B

A

d0,0158 ; (3.289)

α0 0,0158= ≈B

An A n A . (3.290)

Admi¡ând cå ¿i în cazul regimului neliniar de filtrare mi¿carea spre foraj este tot axial simetricå, pentru acviferele sub presiune cantonate în depozite omogene ¿i izotrope, viteza de filtrare radialå are expresia:

vQ

Mr=

2π. (3.291)

În aceste condi¡ii, rela¡ia (3.287) se poate scrie în forma:

dh

dr

Q

T r

Q

TK

r= +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

1

2

12

2π πα

dhQ

T

dr

r

Q

TK

dr

r= +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2 2

2

2π πα , (3.292)

prin integrarea cåreia rezultå:

hQ

Tr

Q

TK

rC= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

2 2

12

π παln . (3.293)

Constanta C se determinå punând condi¡iile de margine în concordan¡å cu ipotezele Dupuit (r = R → h = H).

C HQ

TR

Q

TK

R= − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2 2

12

π παln .

¥nlocuind pe C în (3.293), se ob¡ine ecua¡ia profilului piezometric:

h HQ

T

R

r

Q

TK

r R= − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2 2

1 12

π παln , (3.294)

199

care se poate simplifica, observând cå termenul 1/R este neglijabil:

h HQ

T

R

rK

Q

K r= − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2 2

12

πα

πln . (3.295)

Pentru r = r

0 → h = h

0, deci denivelarea realå în foraje are expresia:

s H hQ

T

R

r

K

r

Q

TsD s0 0

0

2

2 2= − = +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = +

π

α

πln ∆ n (3.296)

sau:

sQ

T

R

rn0

02= +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟π

ζln , (3.297)

în care: - sD este denivelarea teoreticå (în ipoteza valabilitå¡ii legii liniare de filtrare, Dupuit):

sQ

T

R

rD =

2 0πln ; (3.298)

- ∆sn este denivelarea suplimentarå (saltul piezometric) datoritå neliniaritå¡ii legii de filtrare:

∆sK

r

Q

T

Q

Tn =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

α

π πζ

0

2

2 2n ; (3.299)

- ζn este coeficientul care exprimå rezisten¡a hidraulicå suplimentarå datoritå neliniaritå¡ii legii de filtrare:

ζα

πn

K

r

Q

T=

2

0 2. (3.300)

Dacå se înlocuie¿te α prin expresia (3.289), rela¡iile (3.292)-(3.300) se pot rescrie folosind sistemul de lucru propus de Lindquist. Ecua¡ia (3.296) se poate rescrie în forma:

s AQ BQ A

R

r

TB

K

T r0

2 0

2 202 4

= + = =;

ln

;π

α

π (3.301)

ceea ce înseamnå cå, în condi¡iile apari¡iei regimului neliniar de filtrare, func¡ia s

0=f(Q) este de tip parabolic.

200

¥ntrucât, în marea majoritate a situa¡iilor, regimul neliniar de filtrare apare pe o zonå limitatå din vecinåtatea forajului experimental, dacå se dispune de måsuråtori efectuate într-un piezometru plasat la distan¡a r1 de forajul experimental, atunci:

sQ

T

R

r1

12=

πln . (3.302)

Scåzând din rela¡ia (3.296) pe (3.302) rezultå:

s s

Q

R

r

T

K

T rQ A BQ0 1 0

2 202 4

−= + = +

ln

π

α

π. (3.303)

Când se dispune de cel pu¡in trei trepte de pompare, se verificå mai întâi dacå datele experimentale respectå ecua¡ia (3.303) - punctele trebuie så fie colineare în coordonate (s

0-s

1)/Q -, dupå care se determinå ordonata la origine A ¿i panta B (v.fig.3.50). Din

expresia lui A rezultå transmisivitatea acviferului, iar din cea a lui B coeficientul α care permite explicitarea legii de filtrare neliniare.

Fig.3.50. Verificarea experimentalå a apari¡iei regimului neliniar de filtrare. În deducerea rela¡iei (3.296) s-a considerat cå forajul este perfect dupå gradul de deschidere iar imperfec¡iunea dupå modul de deschidere se datore¿te numai apari¡iei regimului neliniar de filtrare. În concluzie, într-un caz general, se determinå mai întâi coeficientul rezisten¡elor hidraulice totale ζ

0 ¿i saltul piezometric corespunzåtor ∆s0. Separând din ζ

0 rezisten¡a

hidraulicå determinatå de imperfec¡iunea dupå gradul de deschidere, ζ1 , care are o

rezolvare teoreticå exactå, rezultå ζ2. Cunoscând ζ

1 ¿i ζ

2 , se calculeazå ¿i componentele

corespunzåtoare ale lui ∆s0 (∆s

1 ¿i ∆s

2). Dacå acviferul este cu nivel liber, se determinå

valoarea înål¡imii de izvorâre (hi).

201

În cazul forajelor cu adâncimi ¿i debite importante, se calculeazå pierderea de sarcinå hidraulicå datoratå curgerii ascendente în coloana filtrantå:

∆sv

g

Q

gdcf cf cf

c

= =ζ ζπ

2 2

2 42

8, (3.304)

în care v = 4Q / πdc

2 este viteza medie într-o sec¡iune a coloanei cu diametrul dc ¿i ζ

cf este coeficientul rezisten¡elor hidraulice ale coloanei filtrante care poate fi calculat cu

rela¡ia:

ζλ

cfc

c

l

d= , (3.305)

lc fiind lungimea coloanei filtrante måsuratå de la mijlocul filtrului pânå la nivelul dinamic. ¥nlocuind ζ

cf în rela¡ia (3.304) rezultå:

∆sl

gdQcf

c

c

=82 5

2λ

π, (3.306)

în care coeficientul λ se evalueazå cu formula:

λ =0,02

0 3

l

dc,

. (3.307)

Dacå forajul este tubat telescopic, rela¡ia (3.304) se scrie în forma:

∆sQg

l

d

l

d

l

dcf

c

c

c

c

c

c

n

n

= + + +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

8 2

2 5 5 51

1

2

2

λπ

... . (3.308)

Scåzând din ∆s

0 pe ∆s

1, ∆s

cf rezultå ∆s

2, expresie a rezisten¡elor hidraulice

determinate de particularitå¡ile constructive ale filtrului, modificårii proprietå¡ilor filtrante ale zonei adiacente filtrului ¿i abaterii regimului de filtrare de la legea liniarå. Pentru a putea aprecia ponderea acestor cauze poten¡iale în formarea rezisten¡elor suplimentare dupå modul de deschidere (ζ

2), se traseazå graficul din figura 3.50 care

indicå necesitatea considerårii rezistentelor hidraulice determinate de neliniaritatea legii de filtrare (ζ ) în zona de influen¡å a forajului.

n

În cazul forajelor perfecte dupå gradul de deschidere la care filtrarea în zona de influen¡å respectå legea liniarå Darcy (condi¡ie îndeplinitå în majoritatea situa¡iilor practice), prin prelucrarea atentå a datelor experimentale, se pot ob¡ine informa¡ii adi¡ionale importante în legåturå cu permeabilitatea ¿i extinderea zonei cu structurå modificatå din vecinåtatea filtrului.

202

3.3. CURGEREA ÎN REGIM STAºIONAR-NECONSERVATIV Deducerea ecua¡iilor mi¿cårii se bazeazå pe acceptarea valabilitå¡ii ipotezelor lui Dupuit prezentate în § 3.2.1.1. În plus, se acceptå alimentarea acviferelor cu nivel liber prin infiltrarea de la suprafa¡a terenului ¿i a celor sub presiune prin drenan¡å, prin acoperi¿ul sau culcu¿ul semipermeabile de grosime constantå. Adåugând la ecua¡ia de continuitate, scriså în coordonate cilindrice (3.224) aportul pe verticalå din infiltrare sau din drenan¡å, ecua¡ia difuzivitå¡ii hidraulice (3.226), în cazul incompresibilitå¡ii complexului apå - rocå (mi¿carea fiind axial simetricå grosimea acviferului ¿i sarcina piezometricå depind numai de coordonata cilindricå r) ¿i neglijând componenta verticalå a vitezei de filtrare, devine:

10

r rrKh

Hr

W∂∂

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ = , (3.309)

în care: K este conductivitatea hidraulicå orizontalå a acviferului deschis; h-grosimea acviferului cu nivel liber (în cazul acviferelor sub presiune h=M); H sarcina piezometricå; W debitul de alimentare verticalå pe unitatea de suprafa¡å. 3.3.1. Foraje perfecte executate în acvifere cu suprafa¡å liberå.

În cazul forajelor, care deschid acvifere cu nivel liber cu dezvoltare mare în plan orizontal alimentate prin infiltrare, cantonate în depozite omogene ¿i izotrope, cu patul impermeabil practic orizontal, h = H, deci:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂r

h h

r r

h

r

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

2,

ecua¡ia (3.283) devine:

1 22

r

d

dr

rdh

dr

W

Ki

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ; (3.310)

aceasta este o ecua¡ie de tip Poisson, unde:

limr

rdh

dr

Q

K→−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −

0

2

π. (3.311)

Pentru Wi = const., rescriind (3.311) în forma:

203

( )drdh

dr

W

Kd ri−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

22

¿i integrând de la r = 0 la r ¿i, respectiv, de la la - Q/πk la -r dh2/dr, rezultå:

− − =rdh

dr

Q

K

W

Kri

22

π. (3.312)

Prin integrarea ecua¡iei (3.312), scriså sub forma:

− = +dhQ

K

dr

r

W

Krdri2

π, (3.313)

între peretele filtrului (r = r

0 ¿i h = h

0) ¿i o sec¡iune oarecare situatå la distan¡a r în

care grosimea acviferului este h (fig.3.51) - sau între o sec¡iune oarecare ¿i limita zonei de alimentare (r = R ¿i h = H

0) - , rezultå ecua¡ia profilului de depresiune:

Fig.3.51. Curgerea sta¡ionarå neconservativå.

( ) (h hQ

K

r

r

W

Kr r H

Q

K

R

r

W

KR ri i2

02

0

202

02

02

2 2= + − − = − − −

π πln ln )2 . (3.314)

204

Integrând ecua¡ia (3.287) între peretele filtrului ¿i limita zonei de alimentare, sau între oricare alte sec¡iuni cuprinse între acestea - cum sunt cele corespunzåtoare forajelor de observa¡ie F1 ¿i F2 - rezultå ecua¡iile debitului:

( ) ( ) ( ) ( )Q

K H hW

R r

Rr

K h hW

r r

rr

i i

=− + −

=− + −π

ππ

π02

02 2

02

0

22

12

22

12

2

1

2

ln ln

2 . (3.315)

Rela¡iile (3.315) pot fi scrise ¿i în func¡ie de denivelårile înregistrate în forajul

central ¿i în cele de observa¡ie, observând cå: ( )H h s H s02

02

0 0 02− = − ¿i

. ( )(h h s s H s s22

12

1 2 1 22− = − − − ) 3.3.2. Foraje perfecte executate în acvifere sub presiune

În cazul acviferelor sub presiune cantonate în depozite omogene ¿i izotrope, ecua¡ia (3.309) devine:

10

r rrT

h

rWd

∂

∂

∂

∂

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + = ;

1

0r r

rh

r

W

Td∂

∂

∂

∂

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + = . (3.316)

Fig.3.52. Curgerea sta¡ionarå neconservativå axial-simetricå într-un acvifer sub presiune: a - semnifica¡ia nota¡iilor folosite; b - semnifica¡ia lui Qr ¿i Qd.

205

Dacå se admite cå sarcina piezometricå a acviferului inferior (H

0), cu transmisivitate

mai mare, råmâne constantå în timpul pompårii - (fig. 3.52), atunci debitul de alimentare prin drenan¡å pe unitatea de suprafa¡å a culcu¿ului semipermeabil (modul de alimentare prin drenan¡å) este:

WK s

MK sd = =

'

' d , (3.317)

în care K' este conductivitatea hidraulicå verticalå a stratului semipermeabil din culcu¿ de grosime M ¿i:

KK

MTd = −

'

'[ 1 ] (3.318)

este coeficientul de drenan¡å, numeric egal cu modulul de alimentare prin drenan¡å, pentru s = 1. Pentru un factor de drenan¡å constant:

BT

KL

d

= [ ] , (3.319)

rezultå cå:

KT

Bd =

2 ¿i W

T sBd =

⋅2 , (3.320)

Deoarece s = H

0-h ¿i ¡inând seama de ecua¡ia (3.320), rezultå cå (3.316) se poate

rescrie în forma:

100

2r

d

drr

dh

dr

h H

B

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

−=

sau:

d h

dr r

dh

dr

h H

B

2

20

2

10+ −

−= ; (3.321)

( ) ( )( )r

B

d h

d r B

r

B

dh

d r B

r

Bh H

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − =

2 2

2

2

0 0/ /

, (3.322)

care este o ecua¡ie de tip Bessel modificatå, având solu¡ia generalå:

206

h C Ir

BC K

r

BH=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +1 0 2 0 0 , (3.323)

unde I

0 ¿i K

0 sunt func¡ii Bessel modificate de spe¡a întâia, respectiv spe¡a a doua, de

ordin zero. Deoarece pentru r → ∞ , I

0 (r/B) → ∞, rezultå C

1 = 0 pentru ca h så tindå spre o

valoare finitå. Pentru a determina constanta C2 se scrie expresia debitului care intrå într-

un cilindru de razå r:

Q MKdhdr

rTdhdrr = =2 2π π . (3.324)

Diferen¡iind rela¡ia (3.323) rezultå:

dh

dr

C

BK

r

B= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2

1 ,

K1 (r/B) fiind func¡ia Bessel modificatå de ordinul 1. ¥nlocuind expresia lui dh/dr în ecua¡ia (3.324) se ob¡ine:

QTr

BC K

r

Br = −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2 2 1π . (3.325)

Debitul care intrå în foraj rezultå din ecua¡ia (3.325) pentru r = r

0

QTr

BC K

r

B= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2 0

2 10π , (3.326)

din care se ob¡ine constanta C

2:

CQ

Tr

BK

r

B

20

002

= − ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟π

, (3.327)

care introduså în ecua¡ia (3.323) împreunå cu C

1=0, conduce la ecua¡ia profilului

piezometric:

( )( )

( )h HQ

T r B

K r B

K r B= −0

0

0

0 02π /

/

/. (3.328)

Valorile func¡iei K

0 (r/B) sunt prezentate în tabelul (3.3):

207

Tabelul 3.3

¥nlocuind constanta C

2 în rela¡ia (3.325) se ob¡ine expresia debitului care intrå în

cilindrul de razå r > r0:

( ) ( )( ) ( )Q Q

r B K r B

r B K r Br =

/ /

/ /1

0 1 0

. (3.329)

Rela¡iile de mai sus pot fi simplificate ¡inând seama de proprietå¡ile func¡iilor Bessel modificate:

- Pentru argumente mici r

B≤

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟0 3, :

K0

r

B

B

r

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≈

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ln ,1 12 ; (3.330)

Kr

B

B

r1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≈ ; (3.331)

208

- Pentru argumente mari r

B≥

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2 :

( )K

r

Be r B

01 12⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≈ − , / . (3.332)

Deoarece r

0 < 0,5 ¿i B >100 m, pentru forajul din care se pompeazå, condi¡ia

r0/B<0,3 este practic îndeplinitå întotdeauna, rezultând:

r

BK

r

Bsi K

r

B

B

r0

10

00

0

11 12⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ln

,,

deci ecua¡ia profilului piezometric (3.328) devine:

h HQ

TK

r

B= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟0 0

2π, pentru

r

B0 0 3< , , (3.333)

care, pentru r = r

0 , conduce la expresia denivelårii la peretele exterior al filtrului:

s H hQ

T

B

r0 0 0

02

1 12= − =

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟π

ln,

. (3.334)

Comparând rela¡ia (3.334) cu ecua¡ia lui Dupuit pentru un foraj singular (regim sta¡ionar - conservativ, v. rel. 3.13), rezultå:

R = 1, l2 B, (3.335) în care R este raza de alimentare a forajului în acviferul deschis. Când realimentarea prin drenan¡å a acviferului deschis este importantå debitul provenit din acesta (Qr, v. fig.3.52), este mic deci ¿i raza de alimentare este mai micå comparativ cu cea corespunzåtoare regimului sta¡ionar - conservativ. Deoarece între R ¿i B existå o rela¡ie de propor¡ionalitate, se poate aprecia cå valori ale factorului de drenan¡å mai mici de 1000 m indicå existen¡a unei realimentåri importante prin drenan¡å. Proprietå¡ile amintite ale func¡iilor Bessel modificate permit ¿i simplificarea rela¡iei (3.329):

Q Qr

BK

r

Br =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟1 . (3.336)

Rela¡iile deduse mai sus råmân valabile ¿i în cazul când acviferul captat este cel inferior realimentat prin drenan¡å dintr-un acvifer superior cu nivel liber puternic

209

transmisiv (sarcina piezometricå a acviferului cu nivel liber råmâne practic constantå în timpul pompårii, v. fig. 3.53).

Fig. 3.53. Forajul în acviferul inferior alimentat prin drenan¡å din stratul superior cu nivel liber,

puternic transmisiv

Fig. 3.54. Curgerea sta¡ionarå - neconservativå axial-simetricå într-un acvifer bistrat. Dacå douå strate permeabile, cu transmisivitate de acela¿i ordin de mårime, sunt separate de un strat semipermeabil (acvifer bistrat) atunci, folosind nota¡iile din figura 3.54, ecua¡iile mi¿cårii au forma:

210

d h

dr r

dh

dr

h H

B

2

2

122

0+ −−

= ; (3.337)

d h

dr r

dH

dr

h H

B

2

2

122

+ −−

= 0, (3.338)

în care:

- BK

T T

T T2 1 2

1 2

1

2=

+, este factorul de drenan¡å;

- KK

Md =

'

', este coeficientul de drenan¡å;

- T1 ¿i T2 sunt transmisivitå¡ile celor douå strate. Scåzând ecua¡iile (3.337) ¿i (3.338) membru cu membru ¿i observând cå s = H - h, rezultå:

d s

dr r

ds

dr

s

B

2

2 2

10+ − =

identicå cu ecua¡ia (3.321). Rezultå cå toate ecua¡iile deduse anterior råmân valabile ¿i în acest caz cu observa¡ia cå s are semnifica¡ia din figura 3.54. 3.4. CURGEREA ÎN REGIM NESTAºIONAR - CONSERVATIV. Dezvoltarea teoriei regimului nesta¡ionar a reprezentat o etapå importantå în exprimarea ¿i interpretarea mai corectå a mi¿cårii apelor subterane cåtre forajele de captare ¿i drenaj. Cu toate cå existå încå probleme insuficient abordate ¿i în unele situa¡ii se întâmpinå dificultå¡i în aplicarea dezvoltårilor teoretice la condi¡iile concrete din naturå, procedeele de analizå ¿i interpretare bazate pe teoria regimului nesta¡ionar sunt folosite din ce în ce mai mult în practica inginereascå. Este unanim acceptat cå, în majoritatea cazurilor, ecua¡iile deduse pe baza teoriei regimului nesta¡ionar descriu mai corect condi¡iile reale de func¡ionare a forajelor de captare ¿i drenaj. 3.4.1. Foraje perfecte izolate executate în acvifere sub presiune cu extindere

orizontalå mare.

3.4.1.1. Ipoteze de lucru. Ecua¡ia diferen¡ialå a mi¿cårii. În deducerea ecua¡iei diferen¡iale a difuzivitå¡ii hidraulice în coordonate cilindrice (vezi explicitarea termenului din ecua¡ia 1.10) ¿i în procesul de integrare a acesteia, se admit, implicit sau explicit, urmåtoarele ipoteze:

( )∂ ρ ∂M n t/

1. Acviferele cu grosime constantå, sunt practic orizontale, au dezvoltare mare în plan orizontal ¿i nu au dinamicå ini¡ialå, fiind cantonate în depozite permeabile omogene ¿i izotrope.

211

2. Debitul pompat din foraj provine în exclusivitate, din resursa poten¡ialå elasticå a complexului apå-rocå din interiorul zonei de influen¡å a forajului. - Compresibilitatea scheletului mineral este determinatå esen¡ial de deforma¡iile elastice pe verticalå, apårute ca urmare a rearanjårii elementelor edificiului structural odatå cu cre¿terea eforturilor efective la contactul dintre granule; - Compresibilitatea fluidului din pori variazå liniar cu modificarea presiunii. 3. Legea liniarå de filtrare Darcy este valabilå în toatå zona de influen¡å a forajului. 4. Curgerea spre foraj este axial-simetricå, debitul pompat fiind uniform distribuit pe suprafa¡a filtrului. 5. Suprafa¡a piezometricå creatå în jurul forajului are panta foarte micå, componentele verticale ale vitezei de filtrare putând fi neglijate. 6. Suprafa¡a piezometricå nu suferå discontinuitå¡i în zona din vecinåtatea forajului ¿i nici la traversarea filtrului. În cazul mi¿cårilor axial-simetrice, nesta¡ionare ¿i conservative, dacå se neglijeazå componenta verticalå a vitezei de filtrare - (v. ec. 3.227) - ecua¡ia difuzivitå¡ii hidraulice se reduce la forma:

1

r rr

h

r

S

T

h

r

∂

∂

∂

∂

∂

∂

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = (3.339)

sau:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

h

t

a

r rr

h

r=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟, (3.340)

în care: h - este sarcina piezometricå; S - coeficientul de înmagazinare; a - difuzivitatea hidraulicå ; T = KM este transmisivitatea (K este conductivitatea hidraulicå orizontalå); M - este grosimea acviferului. 3.4.1.2. Solu¡ia analiticå pentru cazul unui foraj pompat cu debit constant. În condi¡iile unui acvifer sub presiune fårå dinamicå ini¡ialå, ecua¡ia (3.340) poate fi integratå folosind urmåtoarele condi¡ii ini¡iale ¿i la limitå [1]:

( ) ( )h r H h t H, ; ,0 0= ∞ = 0 (3.341)

H

0 fiind sarcina piezometricå ini¡ialå a acviferului.

Condi¡ia de margine la peretele filtrului este aceea de debit constant. Se admite cå debitul cre¿te brusc, la momentul t = 0, de la 0 la Q, råmânând constant în tot timpul pompårii. Se presupune cå admisia apei pe suprafa¡a filtrului este uniformå, volumul de apå existent în coloana forajului este neglijabil ¿i cå raza forajului este micå.

212

În condi¡iile unei curgeri axial-simetrice determinatå de pomparea debitului Q, viteza de filtrare radialå (efectivå) la o distan¡å r, este:

ndr

dt

Q

rMe = −

2π

sau:

2rdrQ

Mndt

e

= −π

. (3.342)

Presupunând cå dupå o perioadå t de pompare resursa elasticå eliberatå la distan¡a r

ajunge în foraj (r = 0), atunci integrând ecua¡ia (3.342) pe intervalul ( ) ( )[ ]r, , ,0 0 t , se

ob¡ine:

2 0 rdtQMn

dtr

e

t∫ = − ∫π 0 . (3.343)

Comparând rela¡iile (3.342) ¿i (3.343), rezultå urmåtoarea expresie pentru componenta radialå a vitezei efective:

∂

∂

r

t

r

t= −

2. (3.344)

În aceste condi¡ii, deoarece:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

h

t

h

r

r

t

h

r

r

t= = −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2,

ecua¡ia difuzivitå¡ii hidraulice (3.340) se poate scrie sub forma:

− =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

r

t

h

r

a

r r

r h

r2

∂

∂

∂

∂

∂

∂

sau: ∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂r

rh

r

rh

r

rr

h

r

r

at

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = −ln

2, (3.345)

care poate fi integratå prin r, pentru t fix, pe intervalul r = 0 la r ¿i, respectiv, de la

lim /r

rh

rQ T la r

h

r→−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = − −

02

∂

∂π

∂

∂, rezultând:

213

ln ln ln−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

= −rh

r

Q

T

rh

rQ

T

r

at

∂

∂ π

∂

∂

π2

24

2

sau:

∂

∂ π

h

r

Q

Tre

r

at=−

2

2

4 , (3.346)

Pe de altå parte, ¡inând seama de (3.344) , se poate scrie cå:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂ π

h

r

h

t

t

r

h

t

t

r

Q

Tre

r

at= = −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−2

2

2

4 ,

deci:

∂

∂ π

h

t

Q

Tte

r

at=− −

2

2

4 . (3.347)

Deoarece:

dhh

rdr

h

tdt

Q

Te

dr

r

dt

t

r

at= + = −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−∂

∂

∂

∂ π4

22

4 , (3.348)

dacå se foloseste nota¡ia:

r

atu

2

4= (3.349)

¿i se observå cå:

duur

drut

dtrat

drrat

dtrat

drr

dtt

udrr

dtt

= + = − = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∂∂

∂∂

24 4 4

2 22

2 ,

rezultå:

2dr

r

dt

r

du

u− = ,

Deci ecua¡ia (3.349) poate fi rescriså în forma:

dhQ

T

e

udu

u

=−

4π, (3.350)

214

care urmeazå a fi integratå pe intervalul u ¿i u = ∞, ¡inând seama cå lui u îi corespunde h = h(u) = h(r,t), iar lui u = ∞ îi corespunde, potrivit condi¡iei ini¡iale h(r,0) = H0) ¿i condi¡iei la limitå h(∞ ,t) = H0 (v.ec. 3.350):

dhQ

T

e

udu

h

H u

u

0

4∫ = ∫

−∞

π

rezultå solu¡ia (datå de Theis încå din 1935):

( )H h sQ

T

e

udu

Q

TW u

u

u0

4 4− = = =∫

−∞

π π, (3.351)

în care: s este denivelarea înregistratå la timpul t ¿i la distan¡a r de forajul experimental; T este transmisivitatea acviferului; W o func¡ie exponen¡ialå integralå, denumitå ¿i func¡ia caracteristicå a forajului:

( ) ( )W u E ue

udui

u

u= − − = ∫

−∞

, (3.352)

care poate fi explicitatå prin dezvoltarea:

( ) ( )e

udu

u

u

ndu

u

u

ndu

u

uu

n

n u

n

n

− ∞∞

=

∞ ∞ −

=

∞= ∫∫ +

−∑

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = ∫ −

−∑

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

11

1

1

1

1! !

=( ) ( ) ( )

ln!

lim ln!

ln!

uu

n nu

un n

uu

n n

n

nu

n

n

n

n

n+

−∑

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= +−

∑⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− +−

∑⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

∞∞

→∞ =

∞

=

∞

1 1 1

Deoarece:

( )− +

−∑

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

→∞ =

∞

lim ln!

, ..n

n

nu

u

nn10 5772 .,

reprezintå constantå lui Euler , solu¡ia (3.351) se mai poate scrie în forma:

( )s

Q

Tu

u

nn

n

n= − − −

−∑

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

=

∞

40 5772

1π, ln

!

= + − + + +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Q

T uu

u u u u

4

1

178 4 18 96 600

2 3 4 5

πln

,...− . (3.353)

215

În tabelul (3.3) se prezintå valorile func¡iei W(u).

Pentru valori ale argumentului ur

at= ≤

2

40 1, , func¡ia integralå exponen¡ialå poate fi

aproximatå numai prin primii doi termeni ai dezvoltårii în serie, cu erori de maxim 6%, rezultând formula de aproximare logaritmicå Jacob:

sQ

T

at

r=

4

2 252π

ln,

, (3.354)

care reprezintå ecua¡ia unei drepte în coodonate s-lnt, având panta Q/4πT ¿i

ordonatå la origine Q

T

a

r42 25

2πln , .

Solu¡ia lui Theis, ecua¡ia (3.351), nu satisface cu exactitate condi¡ia la limitå la peretele filtrului (la integrarea ec. 3.342 s-a admis cå raza forajului experimental este zero), este aproximativå. Debitul care traverseazå suprafa¡a lateralå a unui cilindru de razå r este:

Q Trh

rr = −2π

∂

∂, (3.355)

în care h este dat de ecua¡ia (3.351), deci:

( )[ ] ( )[ ]Q Tr

Q

T

W u

dr

Qr

u

r

W u

du

Qr

r

at

e

uQ

r

at

e

ur

u u

= − = = =− −

24 2 2

2

4 4

2

ππ

∂ ∂

∂

∂.

Pentru r = r

0 se ob¡ine expresia debitului forajului:

Q Qe ur

at

u0 0

02

0

4= − ; = (3.356)

Rezultå cå debitul calculat cu rela¡ia Theis (Q) devine identic cu debitul teoretic Q

0 pentru t → ∞ , când u → 0. Erorile introduse de rela¡ia Theis sunt pu¡in semnificative din punct de vedere practic deoarece valoarea debitului calculatå cu rela¡ia (3.351) tinde rapid cåtre valoarea ei limita Q

0. Astfel, cu erori de maxim 1% (pentru valori ale argumentului u

0 ≤ 0,01)

timpul dupå care Q = Q0 este:

r

att

r

ar

S

T

2 2

02

40 01 25 25≤ → ≥ ≥, . (3.357)

Deoarece T>10m2/zi ¿i S<10-2, rezultå a>103m2/zi > 10-2m2/s. Pentru r

0 ≤ 0,5m, se

deduce cå timpul måsurat de la începutul pompårii, dupå care rela¡ia (3.351) poate fi aplicatå, practic fårå erori, este de maxim 10 minute.

216

3.4.1.3. Faze ¿i zone în evolu¡ia denivelårilor în zona de influen¡a a forajelor pompate cu debit constant. Regimul cvasista¡ionar. Pentru stabilirea fazelor ¿i zonelor de evolu¡ie a sarcinii piezometrice în cadrul zonei de influen¡å a forajelor pompate cu debit constant, se folosesc urmåtoarele aproximåri pentru func¡ia caracteristicå a forajului:

( )W u u pentru u( ) ln , , ,≈ − ≤178 0 1; (3.358)

W u pentru u( ) ≈ ≥0 3. (3.359)

Rezultå cå la o distan¡a oarecare r de forajul pompat, în evolu¡ia sarcinii piezometrice în timp se disting trei faze (fig.3.55,a): - Faza I, în care nu se resimte efectul pompårii, pentru:

ur

att

r

a= ≥ → ≤

2 2

43 0 08, ; (3.360)

- Faza II, în care denivelårile cresc relativ rapid, pentru:

0 1 3 0 08 2 52 2

, ,< < → < <ur

at

r

a, (3.361)

- Faza III, în care denivelårile cresc cu vitezå din ce în ce mai micå ¿i se apropie asimetric de denivelarea maximå, pentru:

u tr

a≤ → ≥0 1 2 5

2

, , , (3.362)

în cadrul cåreia este aplicatå formula de aproximare logaritmicå Jacob (3.354). Dupå o perioadå de timp t de la începerea pompårii, în evolu¡ia sarcinii piezometrice cu distan¡a, fa¡å de forajul pompat, se disting trei zone (fig. 3.55,b): - Zona I (u < 0,1) cu limitele:

0 0 6≤ ≤r , at (3.363) în care denivelårile au varia¡ii importante, în cadrul cåreia este aplicatå rela¡ia de aproximare logaritmicå (ec. 354);

- Zona II (0,1 < u < 3), cu limitele: -

0 6 3 4, ,at r at< < , (3.364) în care denivelårile sunt din ce în ce mai mici; - Zona III (u ≥³3), cu limita

r ≥ 3 4, at , (3.365) în care nu se mai resimte efectul pompårii.

217

Fig. 3.55. Modificarea denivelårii în func¡ie de timp la o distan¡å datå (a) ¿i în fun¡ie de

dista¡a dupå un timp dat (b) – [40]

218

Rela¡ia de aproximare logaritmicå (3.354) permite exprimarea denivelårilor înregistrate în forajul experimental (s0 ) ¿i într-un piezometru plasat în cadrul zonei I(s1) dupå aceea¿i perioadå de timp t:

sQ

T

at

r0

024

2 25=

πln

,;

sQ

T

at

r1

124

2 25=

πln

,,

care scåzute membru cu membru conduc la:

s sQ

T

r

r0 1

1

04− =

πln ,

ecua¡ie identicå cu formula lui Dupuit (3.14) stabilitå pentru regimul sta¡ionar. Rezultå cå, în cadrul zonei I (u < 0,1), în care este aplicabilå rela¡ia de aproximare logaritmicå, sarcina piezometricå scade cu acela¿i ritm (profilul piezometric coboarå paralel cu el însu¿i - (v. fig. 3.56); iar graficul s = f(log t) din fig. 3.55,a, devine liniar.

Fig.3.56. Evolu¡ia denivelårii în func¡ie de timp ¿i de distan¡a fa¡å de forajul experimental. Definirea regimului cvasista¡ionar.

219

Regimul corespunzåtor acestei zone se spune ca este cvasista¡ionar. Extinderea zonei cu regim cvasista¡ionar corespunde condi¡iei (3.363):

rcs = 0 6, at (3.366)

Comparând rela¡ia de aproximare logaritmica a lui Jacob (3.354) scriså în forma:

sQ

Tat

r002

1 5= π ln

,, (3.367)

cu formula lui Dupuit (3.13), stabilitå pentru regimul sta¡ionar, rezultå expresia razei de alimentare, în concordan¡å cu ipotezele lui Dupuit, valabilå în condi¡iile regimului cvasista¡ionar:

R = 1 5, at . (3.368) Raza de influen¡å a forajului (distan¡a pânå la care se resimte efectul pompårii) rezultå din condi¡ia (3.365):

R = 3 4, at . (3.369) 3.4.1.4. Foraje pompate în trepte de debit constant. În numeroase situa¡ii, condi¡iile tehnice de efectuare a pompårilor experimentale determinå modificarea debitului extras în timp. Dacå varia¡ia debitului în timp poate fi schematizatå (aproximatå) în trepte (fig. 3.57), atunci, folosind rela¡iile deduse anterior pentru fiecare treaptå de debit constant ¿i însumând efectele, rezultå expresia denivelårii totale sn într-un punct (piezometru) plasat la distan¡a r de forajul experimental, dupå timpul total de pompare t:

( ) ( ) ( ) ( )sQ

TW u

Q

TW u

Q

TW u

Q

TW un

nn= + + + +

∆ ∆ ∆ ∆00

11

22

4 4 4 4π π π π... , (3.370)

în care:

( ) ( )ur

atu

r

a t tu

r

a t tn

n

= =−

=−

2

1

2

1

2

4 4 4; ; ... ; ;

t

1, t

2, ..., t

n fiind perioadele de timp, måsurate de la începutul pompårii, dupå care

debitul pompat cre¿te cu ∆Q1 , ∆Q2 , ... , ∆Qn (fig. 3.58).

220

Fig. 3.57. Dependen¡a s=f(t) în cazul unei pompåri în trepte de debit constant.

Fig.3.58 Pompare efectuatå în trepte de debit constant.

221

Dacå pentru fiecare treaptå de pompare, la distan¡a r, s-a intrat în regim cvasistationar, deci, conform criteriului (3.362):

t tr

ai i− ≥−1

2

2 5, , (3.371)

expresia (3.370) devine:

( ) ( )s

TQ

at

rQ

a t t

rQ

a t t

rn

n= +−

+ +−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=1

4

2 25 2 25 2 250 2 1

1

2 1 2π∆ ∆ ∆ln

,ln

,... ln

,

( ) ( ) ( )= + + + + + − + +⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥1

4

2 252 0 1 0 1 1π

−T

a

rQ Q Q Q t Q t t Q t tn nln

,... ln ln ... ln∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ n ;

(sT

Qa )

rQ t tn n i

i

n

= + ∑i−

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥=

1

4

2 252

0πln

,ln∆ (3.372)

unde Qn = ∆Q0 + ∆Q1 +.....+ ∆Qn este debitul final (maxim) de pompare. Ecua¡ia (3.372) scriså în forma:

(sQ

T

a

r TQ t tn

i

n

i= + ∑ −=4

2 25 1

420π

)iπln

,ln∆ (3.373)

se reprezintå grafic printr-o dreaptå în coordonate sn ¿i ( )∆Q t tii

n

−∑i

=0, cu ordonata la

origine:

AQ

T

a

rn=

4

2 252π

ln,

(3.374)

¿i panta:

BT

=1

4π, (3.375)

determinând grafo-analitic (sau prin metoda celor mai mici påtrate) panta B, se calculeazå transmisivitatea acviferului, dupå care, cunoscând ordonata la origine A, rezultå difuzivitatea hidraulicå a ¿i coeficientul de înmagazinare S = T/a. Rela¡ia (3.372) scriså pentru cazul a douå trepte de debit constant se particularizeazå în forma (fig. 3.57):

( ) ( )sT

Q Qa

rQ t Q t t= + + +

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

14

2 250 1 2 0 1π ∆ ∆ ∆ ∆ln

,ln − 1 ;

222

( )[ ]sQ

Ta

r TQ t Q t t= + +1

2 0 142 25 1

4π πln,

ln∆ ∆ − 1 , (3.376)

care se rezolvå grafo-analitic dupå sistemul prezentat pentru cazul general. 3.4.1.5. Distribu¡ia sarcinii piezometrice dupå întreruperea pompårii efectuate cu debit constant. Dupå întreruperea bruscå a unei pompåri, se intrå în perioada de revenire, în cadrul cåreia nivelul dinamic impus de pompare are tendin¡a så revinå, în timp, la starea corespunzåtoare sarcinii piezometrice ini¡iale a acviferului. Mi¿carea apei subterane în cadrul zonei de influen¡å a forajului în perioada de revenire are caracter nesta¡ionar - conservativ, deci este guvernatå tot de ecua¡ia (3.340). În perioada pompårii propriu-zise (t

0, v.fig.3.59), forajul experimental func¡ioneazå

ca surså realå cu debitul Q (extras din acvifer).

Fig. 3.59. Semnifica¡ia nota¡iilor folosite la interpretarea diagramelor de revenire. Se admite, imaginar, cå se continuå extragerea debitului Q ¿i dupå oprirea pompårii (în perioada de revenire a nivelului piezometric t') ¿i cå se introduce, în forajul experimental, în acela¿i timp debitul Q. ¥n acest fel se respectå starea de inactivitate a

223

forajului experimental în perioada de revenire. Rezultå cå se poate admite cå forajul func¡ioneazå în regim de pompare cu debitul Q, în perioada t=t

0+t' ¿i ca surså

absorbantå, cu debitul Q, în perioada t'. ¥n consecin¡å, denivelarea s, la distan¡a r, dupå timpul t de la începerea pompårii (st) este datå de rela¡ia (3.370) scriså pentru douå trepte considerând ∆Q

0 = Q, ∆Q1 = -Q ¿i t1 = t0 (fig. 3.59):

( ) ( )[ ]s s sQ

TW u W ut t= − = −0

4∆ ' '

π (3.377)

ur

atu

r

at= =

2 2

4 4; '

',

în care: st - este denivelarea remanentå la timpul t = t

0 + t';

s0 - denivelarea la sfâr¿itul pompårii (dupå perioada t

0);

∆ - reducerea denivelårii în perioada t'; st'

r - distan¡a punctului de înregistrare fa¡a de forajul experimental (r = r0 pentru

forajul experimental); T ¿i a - transmisivitatea ¿i difuzivitatea hidraulicå ale acviferului testat. Pentru valori ale argumentului r2/4at ≤ 0,1 adicå pentru t ≥ 2,5(r2/a) - (v.rel.3.362), explicitând func¡ia caracteristicå a forajului în concordan¡å cu formula de aproximare logaritmicå Jacob (3.354), rela¡ia (3.377) se scrie în forma:

sQ

T

at

r

at

rt = −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

4

2 25 2 252 2π

ln,

ln, '

;

sQ

T

t

tt =

4πln

', (3.378)

care este ecua¡ia unei drepte care trece prin originea sistemului de coordonate st-ln(t/t'). ¥ntrucât în perioada ini¡ialå aceastå varia¡ie este influen¡atå de volumul de apå acumulatå în coloana pu¡ului, se traseazå graficul st = f(ln(t/t')) ¿i se eliminå punctele care nu pot fi interpolate cu o dreaptå care trece prin origine. Dupå determinarea grafo-analiticå (sau folosind metoda celor mai mici påtrate) a pantei acesteia (B=Q/4πT), rezultå transmisivitatea acviferului. Deoarece procesul de refacere a sarcinii piezometrice a acviferului nu este influen¡at de elementele constructive ale forajului (în perioada de revenire forajul experimental este pasiv), rela¡ia (3.378) poate fi aplicatå ¿i în cazul forajelor imperfecte. În situa¡iile în care testul de revenire se efectueazå dupå o perioadå îndelungatå de

pompare, atunci t0>>t', deci t este practic egal cu t

0 (deci ( )s

Q

TW u0

4≈

π) rela¡ia (3.377)

se reduce la forma:

224

( )∆sQ

TW u

Q

T

at

rt '

''

ln,

= =4 4

2 252π π

, (3.379)

care este structural identicå cu formula de aproximare logaritmicå Jacob (3.354). Folosind aceastå rela¡ie se pot determina to¡i parametrii hidraulici ai acviferului. 3.4.1.6. Forajele imperfecte pompate cu debit constant. Considerarea regimului neliniar de filtrare. Deoarece în zona din vecinåtatea forajului activ (experimental) regimul cvasista¡ionar se realizeazå rapid, influen¡a rezisten¡elor hidraulice suplimentare datorate modificårii permeabilitå¡ii zonei adiacente forajului, în condi¡iile unui regim liniar de filtrare, se poate stabili, ca ¿i în cazul regimului permanent, pornind de la formula de aproximare logaritmicå a lui Jacob, scriså în forma (3.367):

sQ

T

at

r0

0

22

1 5= +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟π

ζln,

, (3.380)

în care coeficientul rezisten¡elor hidraulice ζ2 se poate determina dupå sistemul de lucru folosit la regimul sta¡ionar - (v.§ 3.2.8.2). Rela¡ia (3.380) se mai poate scrie în forma:

s A Q BQ s st acv0 f= + = + , (3.381)

în care:

AT

atr

BTt =

14

2 2520

22

πζπln

,; = , (3.382)

ceea ce înseamnå cå denivelarea realå înregistratå în forajul experimental este suma a douå componente: - sacv , care este expresia pierderilor de sarcinå hidraulicå la traversarea acviferului în cadrul zonei de influen¡å. Aceastå componentå a denivelårii totale este denivelarea teoreticå datå de rela¡iile stabilite anterior, putându-se calcula ca produs între debitul (constant) de pompare ¿i factorul pierderilor hidraulice At , care depinde de parametrii hidraulici ai acviferului, diametrul forajului ¿i de timp (variabil în cazul pompårilor în regim nesta¡ionar). Dependen¡a At = f(ln t) este o dreaptå care trece prin originea sistemului, având panta (1/4πT) ln 2,25a / r0

2. - sf, care este expresia pierderilor de sarcini suplimentare determinate de imperfec¡iunile forajului experimental ¿i ale zonei adiacente acestuia ¿i se calculeazå ca produs între debitul de pompare ¿i factorul B, functia directa de ζ2.

225

Dacå pomparea se face cu mai multe trepte de debit constant (fig. 3.57) atunci regimul de filtrare este liniar atât timp cât este respectatå dependen¡a liniarå s

0=f(lnt)

datå de ecua¡ia (3.381). Denivelarea înregistratå în foraj în timpul primei trepte de pompare este:

( ) ( )s s Q A Q Bt t0 1 1 1 1= = + 1 (3.383)

care poate fi rescriså în una din urmåtoarele forme:

( )s

QA Bt

0 1

11= + (3.384)

sau:

( )sQ

T

Q

T

a

rQ B0 1

1 1

02 1 1

4 4

2 25= + +

πτ

πln ln

,, (3.385)

în care τ sunt valori arbitrar alese ale timpului cuprinse între zero ¿i t

1. Ordonata la

origine a dreptei construita în coordonate s0/Q = f(Aτ) este factorul B

1. Pe graficul de

asemånare liniar s0 = f(ln τ), produsul Q1 B1 , reprezinta cre¿terea ordonatei la origine fata de cazul forajului perfect. Denivelarea inregistrata în foraj în perioada celei de-a doua trepte de pompare este:

( ) ( )s s s s Q B Q B0 2 1 2 1 2 2= + = + +τ τ 2 (3.386)

sau:

( )s

QA B

s

Q

0 2

2

21

2

= + +τ (3.387)

( )sQ

T

Q

T

a

rQ B0 2

02 2 2

4 4

2 25= + +

πτ

πln ln

,, (3.388)

în care s1 este denivelarea la sfâr¿itul primei trepte de pompare, la momentul t1 , iar τ reprezintå valori ale timpului måsurate de la începutul treptei a doua de pompare (când debitul de pompare devine Q2=Q1+∆Q2 ), acelea¿i cu cele considerate în treapta anterioarå. Pentru o treaptå oarecare de pompare, denivelarea întegistratå în foraj este:

( ) ( )s s s s Q A Q Bi i i i i i0 1 1= + = + +− −τ τ i (3.389)

în care Q

i = Q

i-1 + ∆Qi.

226

Determinarea parametrului B (sau a lui ζ2 ) dupå metodologia de mai sus presupune calcularea prealabilå a parametrilor hidraulici ai acviferului. Punctul începând de la care dependen¡a s

0 = f(lnτ) nu mai este liniarå marcheazå

momentul dupå care regimul de filtrare devine neliniar. ¥ncepând din acest moment, expresia denivelårii înregistratå în foraj devine:

( )s A Q BQi i

p0 = +τ i (3.390)

în care (s0)i este denivelarea înregistratå în foraj la sfâr¿itul fiecårei trepte de debit constant Q

i. Rela¡ia (3.390) mai poate fi scriså sub forma:

( ) ( )log log logs

QA p Qi

ii

01−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ = − +τ B , (3.391)

care se reprezintå grafic printr-o dreaptå în coordonate ( )

logs

QAi

i

0−

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥τ - (log Qi) ,

cu panta (p-1) ¿i ordonata la origine log B. Trasarea acestei drepte presupune gåsirea, prin aproximåri succesive a valorii constantei Aτ. Dacå în cadrul fiecårei trepte se pompeazå pânå la intrarea în regim sta¡ionar, atunci, în condi¡iile unui regim liniar de filtrare, denivelarea înregistratå în foraj va fi:

( )sQ

T

R

rAQ BQ a s

i

i ii i acv0

0

22

= + f

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = + = +

πζln ; (3.392)

AT

R

rB

Ti=

1

2 20

2

π=

ζ

πln ; . (3.393)

Respectarea ecua¡iei (3.392) presupune cå dependen¡a s = f(Q) så fie liniarå, deci A+B=const. Dacå se cunoa¿te transmisivitatea acviferului, ζ2 se poate calcula pentru fiecare treaptå de pompare rezultând ¿i valorile lui B. Determinând grafo-analitic panta dreptei s = f(Q), egalå cu A+B, rezultå valoarea factorului A. Valoarea lui A , de regulå, se modificå pu¡in de la o treaptå de pompare la alta deoarece raza de alimentare, care cre¿te odatå cu mårirea denivelårii, intrå sub logaritm. Valorile lui B (sau ζ2 ) exprimå rezisten¡ele hidraulice suplimentare (fa¡å de cazul forajului perfect în raport cu modul de deschidere) ale filtrului ¿i zonei adiacente acestuia. Dacå diferen¡ele între denivelårile înregistrate în regim stationar sunt mici, valorile lui B pot suferi modificåri pu¡in semnificative (proprietå¡ile filtrante ale filtrului ¿i zonei adiacente råmân practic acelea¿i). ¥n caz contrar, valorile lui B cresc, dependen¡a s0=f(Q) nu mai este liniarå, desi regimul de filtrare råmâne liniar. La forajele de exploatare valoarea lui B se måreste în timp datoritå fenomenelor de colmatare fizico-chimicå ¿i coroziune electrochimicå ¿i biologicå.

227

Apari¡ia regimului neliniar de filtrare presupune existen¡a unei dependen¡e s0=f(Q) de tipul:

(s0)

i = AQi + BQi

p , (3.394)

sau:

(s0)i /Qi = A + BQip-1 (3.395)

Dacå se dispune de måsuråtori fåcute într-un piezometru plasat la distan¡a r>M (grosimea acviferului), atunci denivelarea în acesta rezultå din ecua¡ia lui Dupuit (pentru o treaptå de pompare oarecare):

( )sQ

T

R

ri

i1

12=

πln i , (3.396)

scåzând din (3.394) pe (3.396) rezultå:

( ) ( )s sQ

T

r

rBQ

i i

iip

0 11

02− = +

πln (3.397)

sau:

( ) ( )s s

QA BQi i

i

ip0 1 1

−= + − , (3.398)

în care AT

r

r=

1

21

0πln poate fi calculat.

Prin logaritmarea rela¡iei (3.398), în forma:

( ) ( )( )log log log

s s

QA p Qi i

ii

0 11

−+

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ = − + B , (3.399)

rezultå ecuatia unei drepte în coordonate ( ) ( )

log logs s

QAi i

i

i

0 1−+

⎛

⎝

⎜⎜ Q

⎞

⎠

⎟⎟ − cu panta (p-

1) ¿i ordonata la origine log B.

228

3.4.2. Foraje perfecte izolate executate în acvifere sub presiune cu extindere

orizontalå limitatå.

Pentru a putea determina efectul func¡ionårii cu debit constant al unui foraj singular într-un punct oarecare P(x,y) al unui acvifer limitat în plan orizontal (de o limitå de alimentare sau de o limitå impermeabilå) folosind rela¡iile deduse anterior, valabile pentru un acvifer infinit, se transformå imaginar acviferul limitat în unul infinit, hidrodinamic echivalent cu cel în care func¡ioneazå forajul. - În cazul prezen¡ei unei limite de alimentare (fig. 3.13), se considerå forajul real, din care se extrage debitul Q, care determinå la distan¡a r, dupå timpul t, denivelarea:

sQ

TW

ratr =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

4 4

2

π ,

¿i un foraj imaginar (imaginea inverså a celui real în raport cu frontiera de alimentare) în care se introduce debitul Q, care determinå la distan¡a r', dupå timpul t, denivelarea:

sQT

Wratr'

'

=− ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

4 4

2

π ,

denivelarea în punctul P rezultând din însumarea efectelor celor douå foraje:

s s sQ

TW

rat

Wratp r r= + =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥'

'

4 4 4

2 2

π , (3.400)

Când valorile argumentelor r

at

2

4 ¿i

r

at

'2

4 sunt mai mici de 0,1 , denivelårile induse de

cele douå foraje pot fi exprimate prin formula de aproximare logaritmicå Jacob (3.354), deci:

Wrat

Wrat

atr

atr

rr

2 2

2 2

2

24 42 25 2 25⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = − =

'

'

'

ln,

ln,

ln ,

rela¡ia (3.400) devenind:

sQ

T

r

r

Q

T

r

r= =

4 4

2

2π πln ln

' '

, (3.401)

rela¡ie identicå cu solu¡ia ob¡inutå pentru regimul sta¡ionar de func¡ionare al forajelor - (v. rel. 3.41). Aceastå ultimå observa¡ie se explicå prin faptul cå rela¡ia (3.401) este aplicabilå dupå instalarea regimului cvasista¡ionar.

229

- În cazul prezen¡ei unei limite impermeabile, se considerå forajul real ¿i altul imaginar, simetric cu cel real în raport cu frontiera impermeabilå (fig.3.11), denivelarea în punctul P rezultând din însumarea efectelor celor douå foraje:

sQ

TW

rat

Wratp =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥4 4 4

2 2

π

'

, (3.402)

care, pentru situa¡iile în care r

at

2

4 ¿i

r

at

'2

4 ≤ 0,1, devine:

sQ

T

at

rrp =

4

2 25

πln

,

'. (3.403)

Dacå forajul este amplasat între douå frontiere de alimentare (într-un interfluviu), efectul acestora poate fi înlocuit prin imaginile succesive ale forajului real, ¿i ale imaginilor acestuia, fa¡å de limitele acviferului. Rezultå un model hidrodinamic echivalent celui real (fig. 3.30). Efectul func¡ionårii forajului real în orice punct, dupå o perioadå de timp t, rezultå din însumarea efectelor forajelor din ¿irul constituit din perechi de surse negative ¿i pozitive, care, dupå timpul t, au raza de influen¡å egalå sau mai mare decât distan¡a pânå la acel punct. Dacå forajul este amplasat într-un acvifer tip bandå, limitat de douå frontiere impermeabile, modelul hidrodinamic echivalent constå dintr-un acvifer infinit în care lucreazå o linie infinitå de surse pozitive, imagini succesive fa¡å de cele douå limite, care intrå în functiune odatå cu forajul real; influen¡a acestora într-un punct dat, dupå o anumitå perioadå de timp de la începerea pompårii, rezultå din cumularea efectelor forajelor a cåror razå de influen¡å este egalå sau mai mare decât distan¡a pânå la acel punct. 3.4.3. Grupuri de foraje, pompate cu debit constant, executate în acvifere sub

presiune.

Efectul func¡ionårii unui grup de foraje în interferen¡å, pompate cu debite constante, într-un punct oarecare, rezultå din însumarea denivelårilor induse în acel punct de func¡ionare a fiecårui foraj în parte.

( ) ( ) ( )sQ

TW u

QT

W uQ

TW un

n= + + +11

224 4 4π π π

... , (3.404)

în care r

1 , r2 , ... ,rn sunt distan¡ele de la fiecare foraj pânå la punctul de calcul, iar t

1 , t

2 , ... ,tn sunt perioadele de timp dupå care începe pomparea în fiecare foraj cu debitele

constante Q1 , Q2 , ... ,Qn .

230

Dupå intrarea în regim cvasista¡ionar a tuturor forajelor (pentru ultimul foraj intrat în func¡iune este îndeplinitå condi¡ia u ≤ 0,1), rela¡ia (3.404) se scrie în forma:

( ) ( ) ( )s

QT

a t t

rQ

T

a t t

rQ

T

a t t

rn

n

=−

+−

+ +−

1 1

12

1 2

22

124

2 25

4

2 25

4

2 25

π π πln

,ln

,... ln

,, (3.405)

care, dacå se folose¿te nota¡ia α ii

ii

n

Q

Q=

∑=1

, devine:

( )[ ] ( )sT

Q a t tii

n

n= ∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + + + − +

=

14

2 251

1 1π α α αln , ... ln ...1

( ) ( )... ln ln ... ln+ − − + +α α αn n nt t r r2 1 1 n ;

sT

Qat

rii

n

= ∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

14

2 251

0

02π ln

,, (3.406)

în care:

( ) ( )α α α

α α

α α

1 2

1 1

1 1 0

1+ + + =

− + + − =

+ + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

...

... ln

ln ... ln ln

n

n n

n n

t t t t t

r r r

(3.407)

ceea ce înseamnå cå grupul de foraje în interferentå poate fi înlocuit cu un pu¡ mare

, hidrodinamic echivalent, de razå r0 , care func¡ioneazå în timpul t

0 , cu debitul . Qii

h

=∑

1

Dacå forajele sunt pompate cu debite egale (Q1 = Q2 =...= Qn = Q ), atunci:

( )( ) ( )Q nQ

n

t t t t t t t

r r r r

ii

n

i

nn

nn

=∑ = =

= − − −

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

=1

0 1 2

0 1 2

1;

...

...

α α

; (3.408)

În cazul în care pomparea tuturor forajelor începe în acelasi timp, atunci t1=t2=...=tn = 0, deci t0=t. Se observå cå expresia razei pu¡ului mare este identicå cu cea ob¡inutå la regimul sta¡ionar - (v. rel. 3.102). Corectarea imperfec¡iunii forajelor se face dupå sistemul de lucru prezentat la forajele izolate.

231

3.4.4. Foraje perfecte izolate executate în acvifere cu suprafa¡å liberå, cu

extindere orizontalå mare.

În cazul mi¿cårii axial-simetrice, nesta¡ionare ¿i conservative, în acvifere cu suprafa¡å liberå ¿i extindere orizontalå mare, patul impermeabil fiind practic orizontal (h = H), dacå se neglijeazå componenta verticalå a vitezei de filtrare - (v. ec. 3.226), înlocuind pe M cu h (h < M) ¿i coeficientul de înmagazinare (în regim elastic) S cu porozitatea efectivå ne (practic identicå cu capacitatea de cedare gravita¡ionalå), ecua¡ia difuzivitå¡ii hidraulice devine:

1

r rrh

h

r

n

K

h

te∂

∂

∂

∂

∂

∂

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = , (3.409)

în care: h este sarcina piezometricå (identicå cu grosimea acviferului) în raport cu patul impermeabil, practic orizontal, iar K este conductivitatea hidraulicå orizontalå.

Deoarece hh

r

h

r

∂

∂

∂

∂=

1

2

2

, ecua¡ia (3.409) se rescrie sub forma:

2 10

2n

K

h

r r rr

h

re ∂

∂

∂

∂

∂

∂−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = , (3.410)

care este cunoscuta ecua¡ie a lui Boussinesq. În condi¡iile unui acvifer cu suprafa¡å liberå, fårå dinamicå ini¡ialå, ecua¡ia (3.410) se poate integra în acelea¿i condi¡ii ini¡iale ¿i la limitå, folosite pentru acviferele sub presiune - (v.rel. 3.341), la care se adaugå condi¡ia limr→∞(-r∂H2/∂r)=-Q/πK. Se admite cå: debitul cre¿te brusc, la momentul t = 0, de la zero la Q, råmânând constant în tot timpul pompårii; admisia apei pe suprafa¡a filtrului este uniformå; raza forajului este neglijabilå. Folosind rela¡ia (3.344), se poate scrie [1]:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ht

hr

rt

rt

hr

= = −2

,

ecua¡ia (3.410) devenind:

;02

;01

22

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

rhr

rrhr

hr

Ktn

rhr

rrrh

Ktrn

e

e

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

232

hr

Ktn

rhr

r

hr

Ktn

rhr

rr

hr

e

e

2ln

;2

1

2

2

2

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

care poate fi integratå, pentru t fix, pe intervalul r=0 la r ¿i, respectiv, de la

limr

rh

r

Q

k→∞−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −

∂

∂ π

∂

∂ la - r

h

r, rezultând:

ln ln−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ∫r

h

r

Q

k

dr

h

r∂

∂ π

2

0= -

n

2Kte ;

lnr

hr

Qk

drh

r

∂∂

π

2

0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

∫= -n

2Kte . (3.411)

Pentru a putea rezolva integrala din membrul drept, se înlocuie¿te h cu hm (grosimea medie a acviferului):

h (r, t) = hm (3.412) Observând cå:

~aKh

n

T

nm

e e

= = (3.413)

reprezintå difuzivitatea hidraulicå (coeficientul varia¡iei de nivel) pentru acviferele cu nivel liber, din (3.411), se ob¡ine expresia derivatei par¡iale a functiei h2 în raport cu r:

∂

∂ π

h

r

Q

Kre

r

at

2

4

2

=−

. (3.414)

Pe de altå parte, ¡inând seama de (3.344), se poate ob¡ine derivata par¡ialå a func¡iei h2 în raport cu t:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂ π

h

r

h

t

t

r

h

t

t

r

Q

Kre

r

at

2 2 2

42

2

= = −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−;

233

∂

∂ π

h

t

Q

Kte

r

at

2

4

2

=−

. (3.415)

Deoarece:

dhh

rdr

h

tdt

Q

Ke

dr

r

dt

t

r

at22 2

4

2

22

= + = −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−∂

∂

∂

∂ π, (3.416)

dacå se folose¿te nota¡ia:

r

atu

2

4~~= (3.417)

¿i se observå cå:

duu

r

u

tdt

r

atdr

r

atdt u

dr

r

dt

t~

~ ~~= + = − = −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

∂

∂

∂

∂

2

4 4

22

2,

rezultå:

du

u

dr

r

dt

r

~

~ = −2

. (3.418)

Deci ecua¡ia (3.416) poate fi rescriså în forma:

dhQ

K

e

udu

u2

2=

−

π

~

~~ , (3.419)

care urmeazå a fi integratå pe intervalul ¿i ~u ~u = ∞ , ¡inând seama cå lui ~u îi corespunde , iar lui ( ) ( )h h u h r t2 2 2= =~ , ~u = ∞ îi corespunde, potrivit condi¡iei ini¡iale

h(r,0)=H0 ¿i condi¡iei la limitå ( )h t H∞ =, 0 , deci:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]h h u h rt h rt

u r t

2 2 2

0

20= = =

→∞ →∞ →lim ~ lim lim~

H=

dhQ

K

e

udu

h

H u

u

2

2

02

2∫ = ∫

−∞

π

~

~ ~~ ,

rezultând:

( )H hQ

K

e

udu

Q

KW u

u

u02 2

2 2− = ∫ =

−∞

π π

~

~ ~~ ~ , (3.420)

234

în care func¡ia caracteristicå a forajului, ( )W u~ are aceea¿i dezvoltare ca la

acviferele sub presiune, fåcând înlocuirea ( ) ( )u r t u r t, ~ ,= .

Pentru valori ale argumentului ~~ ,uQ

at= ≤

40 1, func¡ia integralå exponen¡ialå poate fi

aproximatå numai prin primii doi termeni ai dezvoltårii în serie (3.353), rezultând formula de aproximare logaritmicå:

( )s h sQ

K

at

rm2

2

2 252

− =π

ln, ~

. (3.421)

În legåturå cu ipotezele care stau la baza deducerii rela¡iilor de mai sus, în compara¡ie cu cele folosite la acviferele sub presiune - (v.§ 3.4.1.1), se fac urmåtoarele observa¡ii: - Ipotezele 3, 4, 5 ¿i 6 råmân valabile ¿i pentru acviferele cu nivel liber. Având în vedere mecanismul deosebit de complex al cedårii apei în acviferele cu nivel liber, în cadrul cåruia cedarea gravita¡ionalå a apei libere ¿i a unei pår¡i din cea capilarå are un rol preponderent, anularea componentei verticale a vitezei de filtrare (ipoteza 5) reprezintå o primå surså de erori. - Ipoteza 1 este de asemenea acceptatå, cu toate cå în zona de alimentare a forajelor, grosimea acviferelor cu nivel liber se mic¿oreazå. Pentru a rezolva integrala din membrul drept al rela¡iei (3.411), s-a admis h(r, t) = hm - (v.rel 3.412). Pentru ca supozi¡ia acceptatå så nu conducå la erori semnificative, este indicat ca denivelårile de lucru så fie mici. Aceastå concluzie este subliniatå ¿i de observa¡ia cå rela¡ia (3.411) devine identicå cu solu¡ia Theis (pentru acviferele sub presiune), numai dacå h+H0≅2H0 (reducerile de nivel sunt pu¡in semnificative în compara¡ie cu grosimea ini¡ialå a acviferului). - Ipoteza 2, conform cåreia debitul pompat este compensat în întregime din resursa elasticå a acviferului, este valabilå numai pentru acviferele sub presiune; depozitele permeabile care cantoneazå acviferul, råmân saturate în timpul pompårii, eviden¡ierea resurselor elastice din interiorul zonei de alimentare fåcându-se rapid, printr-un proces relativ uniform la scara întregului complex apå-rocå, detensionat. În cazul acviferelor cu nivel liber, fårå dinamicå ini¡ialå, compensarea debitului pompat se face, în principal, pe seama apei libere, cedatå gravitational, din depozitele, ini¡ial saturate de deasupra suprafe¡ei dinamice (depresionate) din cadrul zonei de alimentare. Procesul este deosebit de complex, implicând ¿i schimbarea stårii de eforturi atât în zona ini¡ial saturatå, de sub nivelul hidrostatic, cât ¿i în cea de deasupra acestuia, ocupatå de apa capilarå mobilå, fiind puternic influen¡at de compozi¡ia mineralogicå ¿i de granulozitatea depozitelor. ¥ntrucât cedarea apei gravita¡ionale (libere) ¿i a unei pår¡i din apa capilarå este un proces lent ¿i neuniform, este de a¿teptat ca ¿i coborârea suprafe¡ei libere, urmare a unei pompåri cu debit constant, så traverseze mai multe etape, expresie cumulatå a proceselor amintite. La nivelul cuno¿tin¡elor actuale, pot fi delimitate urmåtoarele faze în desfå¿urarea unei pompåri în regim nesta¡ionar în acvifere cu nivel liber:

235

Imediat dupå începerea pompårii denivelårile cresc rapid, apa extraså provenind, în cea mai mare parte, din resursele elastice ale complexului apå-rocå, eliberatå printr-un proces similar cu cel descris la acviferele sub presiune (faza regimului gravita¡ional - elastic). Faza regimului sta¡ionar fals, marcatå de o inflexiune pe diagrama denivelare - timp (denivelårile au tendin¡a de stabilitate temporarå), este expresia cedårii intârziate a apei libere ¿i a unei pår¡i din apa capilarå mobilå, urmare a depresionårii create în faza anterioarå. Faza regimului gravita¡ional propriu-zis - în cadrul cåreia sarcina hidraulicå se egalizeazå pe verticalå, apa extraså provenind, printr-un proces relativ continuu, din rezerva staticå (gravita¡ionalå), a acviferului. Rela¡iile (3.420) ¿i (3.421) se pot deduce direct din cele deduse pentru acviferele sub presiune - (3.351) ¿i (3.354) - dacå se înlocuie¿te transmisivitatea T cu expresia valabilå pentru acviferele cu nivel liber:

T=Khm=K(h+H)/2 Fåcând aceasta înlocuire, în principiu, pot fi folosite pentru cazul acviferelor cu nivel liber, toate rela¡iile deduse în paragrafele anterioare pentru acviferele sub presiune. 3.5. CURGEREA ¥N REGIM NESTAºIONAR - NECONSERVATIV Adaugând la ecua¡ia de continuitate scriså în coordonate cilindrice (3.224), aportul pe verticalå din infiltrare sau din drenan¡å ¿i neglijând componenta verticalå a vitezei de filtrare, ecua¡ia difuzivitå¡ii hidraulice (3.226) devine:

SH

t r rrKh

H

rW

∂

∂

∂

∂

∂

∂=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

1, (3.422)

în care: S - este coeficientul de înmagazinare elasticå pentru acviferele sub presiune, respectiv porozitatea efectivå (ne), pentru cele cu nivel liber; K - conductivitatea hidraulicå orizontalå a acviferului deschis; h - grosimea acviferului cu nivel liber (în cazul acviferelor sub presiune h=M); H - sarcina piezometricå (dacå patul impermeabil este orizontal H = h); W - debitul de alimentare verticalå pe unitatea de suprafa¡å, din infiltrare (Wi) sau prin drenan¡å (Wd).

236

3.5.1. Foraje perfecte executate în acvifere sub presiune

În cazul acviferelor sub presiune cantonate în depozite omogene ¿i izotrope cu grosime relativ uniformå, practic orizontale, ecua¡ia (3.422) se scrie sub forma:

Sh

t r rrKM

h

rW

a

h

t r rr

h

r

W

T

d

d

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

1

1 1, (3.423)

în care a = T/S este difuzivitatea hidraulicå, T = kM fiind transmisiviatea acviferului. Dacå se admite cå sarcina piezometricå a acviferului inferior H0 , cu transmisivitatea mai mare, råmâne practic constantå în timpul pompårii (modelul lui Hantush) - (v. fig. 3.52,a), atunci debitul de alimentare prin drenan¡å pe unitatea de suprafa¡å a culcu¿ului semipermeabil (modul de alimentare prin drenan¡å) la o distan¡å oarecare r de forajul experimental (unde diferen¡a dintre sarcina piezometricå a celor douå acvifere este s), este:

W Ks

MK s

T

Bsd d= = ='

' 2, (3.424)

în care: K' este conductivitatea hidraulicå verticalå a stratului semipermeabil de grosime M';

KK

MTd = −

'

'[ 1 ] este coeficientul de drenan¡å;

BT

Kconst

d

= = . [L] este factorul de drenan¡å.

Deoarece s = H0 - h ¿i ¡inând seama de (3.424), rezultå cå (3.423) se poate rescrie în forma:

− = − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

− − = −

1 1

1 1

2

2

2 2

ast r r

rsr

sB

ast r

sr

sr

sB

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

;

,

(3.425)

cu condi¡ia ini¡ialå s(r, 0) = 0 pentru 0 < r < ∞ ¿i condi¡iile la limitå s(0, t) = s0 (t) ¿i s(∞, t) = 0 , precum ¿i lim ( / ) /r r s r Q T→∞ = −∂ ∂ π2 pentru t > 0.

237

Ecua¡ia (3.425) poate fi integratå prin metoda transformatei lui Laplace, operând în raport cu variabila t, folosind urmåtoarele rela¡ii de transformare [1]:

L

Lst

s r t s r t e dt r p

p r t s r

pt( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

= ∫ = ℘

= ℘ −

∞ −

0

0∂∂

unde s(r, 0) = 0 , prin condi¡ia ini¡ialå;

L

L

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

s

r

s

re dt

d

dr

s

r

s

re dt

d

dr

pt

pt

= ∫ =℘

= ∫ =℘

∞ −

∞ −

0

2

2

2

20

2

2

;

Tabelul 3.5.

Transformarea Laplace [1]

Func¡ia original Func¡ia imagine

f t Fi

F e dpp ppt

ii( ) ( ) ( )= = ∫−

− ∞+ ∞L 1 1

2 0

0

πσσ F f t f e dtp t

pt( ) ( )= = ∫ −∞L ( ) 0

- de variabilå realå t ; - satisface condi¡iile: f(t) = 0 pentru t < 0 ; f(t) derivabilå pe por¡iuni ;

Λe tλ0 pentru t≥0, Λ>0 ¿i λo≥0 .

-de variabilå complexå p=σ+iτ, - satisface condi¡iile: F(p) este analiticå în planul complex p = s + it

lim ( ) ( )p

p pF→∞

= <−

00

si FΛ

σ σ

Coresponden¡e folosite în text 1. d f(t) dt pF(p) - f(0) 2. tn-1/(n-1) pentru n întreg ¿i pozitiv 1/pn

3. (1/λ)(1 - e-λt) 1/[p(p + λ)] 4. tn-1 eλt pentru n > 0 (n-1)! (p-λn)=Γ(n)/(p-λ)n

5. 20

pK pα− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

= = ∫∞ − −

Et

Wt

F xx

e dx

i

tx x

α α

αλ

4 4

14

42

( ) //

6. 20

2

pK pα λ+W

tF x

xe dxt

x x

αλ λ

αλ

4

14

42

, ( , )

//

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = =

= ∫∞ − −

238

prin intermediul cårora din (3.425) se ob¡ine ecua¡ia opera¡ionalå:

pa r

ddr

ddr B

rddr

rddr

pa B

r

℘−℘

−℘

= − ℘

℘+

℘− +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

℘ =

1 1

10

2

2 2

22

2 22

(3.426)

având condi¡iile la limitå:

℘(0,p)=℘0(p) , ℘(∞, p)=0 ¿i:

lim ( / ) /r prd dr Q T→ ℘ = −0 2π

Dacå se noteazå cu x expresia (variabila) r p a B( / ) ( / )+ 1 2 , ecua¡ia (3.426) poate

fi scriså sub forma:

xd

drx

d

drx2

2

2

2 0℘

+℘

− ℘= ,

care este de tip Bessel modificatå, având solu¡ia:

℘(r,p)=C1I

o(x)+C

2K

0(x),

unde I0(x) ¿i K0(x) sunt func¡ii Bessel modificate de ordinul zero ¿i spe¡a întâia ¿i, respectiv, a doua. Deoarece pentru r→∞, I0(x)→∞ , rezultå C1 = 0 pentru ca ℘(r,p) så tindå spre o valoare finitå. Pe de alta parte, deoarece limr→∞ [rdK0(x)/dr]=limr→∞ [-rK1(x)]=1, rezultå C2 = Q / 2πTp . Deci solu¡ia ecua¡iei opera¡ionale (3.426) este datå prin func¡ia imagine:

℘ = +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟( , )r p

Q

TpK r

p

a B2

10 2π

, (3.427)

cåreia îi corespunde func¡ia original:

s r tQ

T pK r

p

a B( , ) = +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥2

1 10 2π

L- 1 ,

care mai poate fi scriså sub forma:

239

s r tQ

T pK

r

ap

r

B( , ) =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪2

20

2 2

πL- 1 . (3.428)

Deoarece expresiei 2

0

2 2

pK

r

ap

r

B

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ îi corespunde func¡ia - (v. tab. 3.5,

coresponden¡a 5):

W ur

B xx

r

B xdxu, exp

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ∫ − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟∞ 1

4

2

2, (3.429)

urat

xu

atr

= = =2

241 4

; ,

din ecua¡ia (3.428) rezultå solu¡ia stabilitå de Hantush ¿i Jacob (1955):

sQ

tW u

r

Br( ,t ) ( , )=

4π, (3.430)

în care W(u,r/B), func¡ia generalizatå a forajului are urmåtoarele aproximåri:

W ur

BW

r

Bu( , ) ( )( )≅ pentru u 2≥ , (3.431)

W ur

B

B

r

r

B

r

B( , ) ln( , ) , ( ) ,≅ ≤2 1 12 0 1 0 32 pentru u si ≤ . (3.432)

Justificarea aproximårii principalelor func¡ii ale forajului rezultå din graficele prezentate în figura 3.60. Modelul de lucru prezentat este aplicabil ¿i pentru situa¡iile în care acviferul studiat este alimentat prin acoperi¿ dintr-un acvifer sub presiune sau cu nivel liber care î¿i men¡ine sarcina piezometricå practic constantå în timpul pompårii. Curgerea nesta¡ionarå - neconservativå radial planå sub presiune, într-un acvifer omogen înså anizotrop, nu este axial simetricå, dar se poate asimila acesteia scriind ecua¡ia (3.430) în forma:

sQT

W ur

Ber

r

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

4π, , (3.433)

în care s-a introdus transmisivitatea echivalentå Te

240

Fig. 3.60. Justificarea aproximårii principalelor func¡ii ale forajului Dacå transmisivitatea acviferului variazå elipsoidal, conform rela¡iei:

( cos ) ( sin )T

T

T

Tr

x

r

y

Φ Φ2

2

2

21 0+ − = (3.434)

în care Tx ¿i Ty sunt valorile maximå ¿i respectiv minimå ale transmisivitå¡ii dupå direc¡iile principale de anizotropie, iar Φ este unghiul direc¡iei de transmisivitate Tr fa¡å

241

de direc¡ia cu transmisivitatea maximå (fig. 3.61), atunci transmisivitatea echivalentå rezultå din condi¡ia ca aria cercului de razå Te så fie egalå cu aria elipsei cu semiaxele Tx ¿i Ty'(πTe

2=πTxTy):

T T Te x= y (3.435)

Fig.3.61. Reprezentarea anizotropiei unui acvifer [1] Expresia lui Tr rezultå direct din (3.434) iar argumentul ur ¿i factorul de drenan¡å Br, dependen¡i de direc¡ie, se calculeazå cu rela¡iile:

ura t

TS

T M Krr

rr

er r= = =

2

4; ; '/ a B ' (3.436)

Se fiind coeficientul de înmagazinare eficace. Acest sistem de lucru este aplicabil ¿i la celelalte tipuri de mi¿cåri radial - plane, prezentate în subcapitolele anterioare. Rela¡iile stabilite pentru curgerea nesta¡ionarå - neconservativå radial planå, pot fi folosite ¿i în cazul forajelor experimentale imperfecte dupå gradul de deschidere, dacå piezometrul în care sunt efectuate måsuråtorile este plasat la o distan¡a r, astfel încât:

r M K Kz r≥ 1 5, / , (3.437)

Kz ¿i Kr fiind conductivitå¡ile hidraulice verticale ¿i respectiv orizontale ale acviferului.

242

Dacå acviferul sub presiune studiat este în contact, în acoperi¿ cu un acvifer cu suprafa¡a liberå subordonat din punct de vedere hidraulic, care î¿i diminueazå sarcina piezometricå prin propagarea întârziatå a scåderii sarcinii piezometrice a acviferului principal (modelul este aplicabil ¿i în cazul unui acvifer cu nivel liber bistrate, stratul

inferior deschis fiind mult mai permeabil), astfel încât unei varia¡ii ∂∂

τst

d⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a diferen¡ei

de sarcinå piezometricå dintre cele douå acvifere la un moment τ, anterior momentului t, îi corespunde, cu întârzierea (t-τ), o varia¡ie S'gla(t-t)[∂s/∂t]tdt a modulului de alimentare prin drenan¡å, unde [1]:

γ τα

λ τλ α

λλ α τ

,( )( )

( )( )t t e t− = − − − −

Γ1

reprezintå o familie de func¡ii cu parametrii α ¿i λ , ob¡inute prin derivarea integralelor euleriene de spe¡a a doua incomplete, în care:

Γ( )( )( ) (λ

λ λ ττ τ= ∫ = −∫ −−∞ − −∞ − −t e dt t e d tt t10

10 )

este func¡ia Euler de spe¡a a doua definitå pentru λ>0 , atunci modulul de alimentare prin drenan¡å la momentul t se exprimå, pentru λ≠1 (conform schemei propuse de Canceill et al. 1974), sub forma:

W Sst

t ed

tt= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟∫ − − − −' ( )

( )

( )α ∂∂

τλ

λ τ

λ α τ

Γ 0

1 dτ . (3.438)

Dacå λ = 1 ¿i implicit Γ(λ) = 1, (schema Boulton 1954), ecua¡ia (3.438) ia forma particularå:

W Sst

e dd

tt= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟∫ − −' ( )α ∂

∂τ

τ

α τ

0. (3.439)

Pentru cazul acviferelor sub presiune omogene ¿i izotrope, (T = kM = const.) cu pat impermeabil orizontal (H = h) , deoarece s = H0 - h (în care H0 = const.), ecua¡ia difuzivitå¡ii hidraulice (3.422) se scrie în forma:

ST

st r

st

sr

ST

st

t et

t∂∂

∂∂

∂∂

αλ

∂∂ τ

α

τ

λ α τ− − = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫ − − − −1 2

20

1'( )

( ) ( )

Γ dτ , (3.440)

care poate fi integratå prin metoda transformatei lui Laplace, cu condi¡ia ini¡ialå s(r, 0) = 0 pentru 0 < r < ∞ ¿i cu condi¡iile la limitå s(0, t) = s0 (t) ¿i s(∞, t) = 0, precum ¿i

lim( / )r

r s rQ

T→=

−0 2

∂ ∂π

pentru t > 0, operând în raport cu variabila t potrivit rela¡iilor de

transformare:

243

( )Ls(r,t) s(r,t)e dt r, p ;

Lsr

p (r, p) s(r,o) ,

0pt= ∫ = ℘

= ℘ −

∞ −

∂∂

în care s(r, 0) = 0 prin condi¡ia ini¡ialå

L

L

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

s

r

s

re dt

d

dr

s

r

s

re dt

d

dr

pt

pt

= ∫ =℘

= ∫ =℘

∞ −

∞ −

0

2

2

2

20

2

2

;

Corespunzåtor teoremei lui Borel (a produsului de convolu¡ie al originalelor):

f f f f t F p F pt1 2 10 2 1* ( ) ( )d ( )= ∫ − =τ τ τ 2( )

¿i ¡inând seama de coresponden¡ele 1 ¿i 4 din tabelul 3.5, rezultå cå:

L L L( ) ( ) ( )

[ ]( )

( )( , )

( )( )

( )

( , ) ( , )

∂∂

τ τ ∂∂

λα

λα

τλ α τ λ α

λ λ

sr

t e dst

t e

p sp

p r pp

t t t

r p r

01 1

0

∫ − =

= ℘ −+

= ℘+

− − − − −

Γ Γ

=

Ca urmare a acestor transformåri, din (3.440) , se ob¡ine ecua¡ia opera¡ionalå:

ST

pr

ddr

ddr

ST

pp

℘ −℘

−℘

=+

℘1 2

2

'( )

αα

λ ,

care se mai poate scrie în forma:

r d

dr

rd

dr

r p

TS S

p

x d

dx

xd

dxx

2 2

2

2

2 2

2

2

0

0

℘+

℘− +

+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥℘=

℘+

℘− ℘=

'( )α

αλ

(3.441)

în care s-a notat cu x expresia (variabila) rp

TS S

p( ) '( )+

+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

α

αλ , care este o ecua¡ie

de tip Bessel modificatå, cu condi¡iile la limitå:

244

℘ = ℘ ℘ = ℘ = −∞ ∞

→∞( , ) ( , ) ( , ), lim( / )o p p p

rrd dr

Q

T0 0

2 si

π,

având solu¡ia:

℘(r,p)=C1I0(x) + C2 K0(x), unde I0(x) ¿i K0(x) sunt func¡iile Bessel modificate de ordinul zero ¿i spe¡a întâia ¿i, respectiv, a douå. Deoarece pentru r→∞, I0(x)→∞, rezultå C1 = 0 pentru ca ℘(r,p) så tindå spre o valoare finitå. Pe de alta parte, deoarece:

lim r→∞[rdKo(x)/dr]=limr→∞[-rK1(x)]=-1, rezultå C2=Q/2πTp. Deci solu¡ia ecua¡iei opera¡ionale (3.414) se exprimå prin func¡ia imagine:

℘ = ++

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥( , ) ( ) '( )r p

Q

TpK r

p

TS S

p20π

α

αλ (3.442)

cåreia îi corespunde func¡ia "original":

( )s r tQ

T pK

r pT

S Spr t, '( , )= ℘ = +

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪L L-1 -1

42

0

2

πα

αλ( ) , (3.443)

Fig. 3.62. Realimentarea prin drenan¡å dintr-un acvifer cu suprafa¡a liberå (modelul Boulton)

245

În cazul particular al modelului lui Boulton - (fig. 3.62), λ = 1 ¿i Γ(λ) = 1, Wd este dat de rela¡ia (3.439), deci ecua¡ia diferen¡ialå a mi¿cårii (3.413) se particularizeazå în forma:

ST

st r

st

sr

ST

st

e do

tt∂

∂∂∂

∂∂

α∂∂ τ

τ

α τ− − = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫ − −1 2

2

' ( ) , (3.444)

care, integratå în sistemul prezentat anterior, în acelea¿i conditii ini¡iale ¿i la limitå, conduce la:

( )s r tQ

TK

pK

r pT

S Sp

, '= ++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪4

20 0

2

πα

αL-1 ,

care mai poate fi scriså ¿i în forma:

( )s r tQ

TK

r ST

pp

p S SS

,'

=+

++⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪4 0

2

πα

α αL-1 . (3.445)

Pentru valori mici ale distan¡ei r (raza forajului experimental sau distan¡a pânå la piezometrul în care se întegistreazå varia¡ia denivelårilor în timp), solu¡ia (3.445) poate fi aproximatå în forma (Boulton, 1954):

sQ

TF

atr

S SS

Ft

FS

S S t= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−+

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥4

4 12π α

ln'

( ' )α, (3.446)

în care:

F x Wx

Exi( ) = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 1.

Dacå timpul de pompare t are valori mici (orientativ , t < 15 minute), atunci func¡iile F(1/at) ¿i F[S/(S+Se)αt] pot fi aproximate prin logaritmii naturali ai argumentelor lor, deci:

Ft

FS

S S tW t W

S S tS

tS

S S tS S

S

( )( ' )

( )( ' )

ln ln( ' )

ln'

1

1

α αα α

α α

−+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = −

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

≈

≈ −+

=+

¿i solu¡ia (3.439) se reduce la:

246

sQ

TF

atr

Qat

Wrat

≈ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

44

4 42

2

π, (3.447)

identicå cu solu¡ia lui Theis pentru cazul mi¿cårii axial - simetrice, nesta¡ionare - conservative. Altfel spus, pentru perioade de pompare mici efectul alimentårii prin drenan¡å este pu¡in semnificativ.

Dacå perioada de pompare este mare, astfel încât: rat

ra

2 2

40 1 2 5≤ ≥

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟, , sau t ,

atunci (v.rel. 3.357):

Ft

FS

S S t( )

( ')

10

α α≈

+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ≈ , (3.448)

iar func¡ia Fat

rW

rat

442

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ se poate aproxima prin primii doi termeni ai

dezvoltårii (3.357):

Fat

rW

rat

rat

( ) ( ) , ln4

40 5772

42

2 2

= ≈ − − , (3.449)

atunci solu¡ia (3.446) se rescrie în forma:

sQ

Trat

S SS

QT

r S Sat

QT

atr S S

≈ − − −+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

= − −+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

+

40 5772

4

4178

4 42 25

2

2

2

π

π π

, ln ln'

ln , ln( ' )

ln,

( ' )

, (3.450)

care, în concordan¡å cu formula de aproximare logaritmicå a lui Jacob - (v.rel. 3.354), exprimå curgerea axial - simetricå nesta¡ionarå - conservativå, într-un acvifer cu transmisivitatea T ¿i coeficientul de înmagazinare (S+S'). Rezultå cå în prima fazå a pompårii, pânå la momentul tst - (fig.3.63), curgerea spre foraj practic nu este influen¡atå de prezen¡a acviferului cu nivel liber din acoperi¿, fiind guvernatå de ecua¡ia (3.445), în concordan¡å cu modelul lui Theis. Dupå momentul tα curgerea poate fi, de asemenea, consideratå nesta¡ionarå - conservativå într-un acvifer hidrodinamic echivalent cu coeficientul de înmagazinare (S+S') - ecua¡ia (3.450). ¥ntre momentul tst ¿i tα intervine un palier-efect al alimentårii întârziate, prin drenan¡å, din acviferul cu nivel liber subordonat - în care denivelarea are varia¡ii mici (tinde så devinå sta¡ionarå). Denivelarea corespunzåtoare acestui palier (sst) poate fi aproximatå cu rela¡ia (3.447) pentru t = tst, folosind formula de aproximare logaritmicå Jacob:

247

sQ

TW

r Sat

QT

at

r SQ

Tat

rstst

st st≈ ≈ ≈4 4 4

2 254

2 252

2 2π π π( ) ln,

ln,

.

sau cu rela¡ia (3.448), în care t = tα , deci:

sQ

Tat

r SQ

Tat

r S Sstst st≈ ≈

+42 25

42 25

2 2π πln,

ln,

( ' ),

de unde rezultå:

ln ln ln'

t tS S

Sstα − =+

(3.451)

Fig.3.63. Dependen¡a s=f(t) în concordan¡å cu modelul Boulton Momentul tα rezultå din intersec¡ia palierului practic orizontal cu curba reprezentând dependen¡a s = f(t), pentru valori mari ale timpului t. Din condi¡ia (3.449), scriså pentru t = tα, rezultå legåtura dintre momentul t ¿i coeficientul α:

Ft

W t t( ) ( ) , ln( )1

0 5772 0α α αα

α α= = − − =

sau:

ln.

ln( ),

,

1

178

0 561

=

=

α

α

α

α

t

t

(3.452)

248

3.5.2. Foraje perfecte executate în acvifere cu nivel liber

În cazul curgerii radial plane nesta¡ionare-neconservative cu suprafa¡å liberå spre un foraj perfect (fig. 3.51), într-un acvifer omogen ¿i izotrop cu pat impermeabil orizontal ¿i întindere practic infinitå, ecua¡ia (3.422) se scrie în forma:

2 1 22n

K

h

t r rr

h

r KW r te

i

∂

∂

∂

∂

∂

∂= +( ) ( , )

sau:

n

Kh

h

t r

h

r

h

r KWe

i

∂

∂

∂

∂

∂

∂

2 2 2 21 2= − + , (3.453)

în care sarcina piezometricå h = h(r, t) , identicå cu grosimea acviferului, satisface condi¡ia ini¡ialå h(r, 0)=H0, pentru r>0 ¿i condi¡ia la limitå h(0, t)=h0(t) ¿i h(∞,t)=H0,

precum ¿i pentru t >0. lim( / ) /r

r h r Q T→

− = −0

2∂ ∂ π

¥nlocuind în membrul stâng al ecua¡iei (3.453), h(r, t) cu hm = const. (grosimea medie a acviferului), observând cå Kh n am e/ ~= (coeficientul varia¡iei de nivel) ¿i

admi¡ând cå H0 este constant, (3.453) poate fi rescriså în forma:

1 1 200

2 202 2

2

2 02 2

~ ( ) ( ) ( )a t

H hr r

H hr

H hK

W i

∂∂

∂∂

∂∂

− − ⋅ − − − + = (3.454)

cu condi¡ia ini¡ialå (H0

2-h2)t=0= 0 pentru r >0, ¿i condi¡iile la limitå (H0

2-h0

2)r=0=(H0

2-h0

2)t ¿i (H0

2- h2)r→∞ = 0, precum ¿i:

lim [ ( ) / /r r H h dr Q K→∞ − = −∂ π02 2 , pentru t > 0.

Dacå ~a const= ., ecua¡ia (3.454) poate fi integratå prin metoda transformatei lui Laplace, operând în raport cu variabila t potrivit rela¡iilor de transformare:

( )L( - ) ( - )

L ( - ) ( - )

r,t r,t

t=0

H h H h e dt r p

H ht

P r p H h

pt02 2

02 2

0

02 2

02 2

= ∫ = ℘

= ℘ −

∞ −∗

∗

; ;

( , )∂

∂

,

în care (H0

2- h2)t=0 = 0 prin condi¡ia ini¡ialå:

249

L

L

L

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

( ) ( );

( ) ( )

( , ) ( , ) ( , )

H h

r

H h

re dt

d

dr

H h

r

H h

re dt

d

dr

W r t W r t e dt W r p

pt

pt

i ipt

02 2

02 2

0

202 2

2

202 2

20

2

2

0

−=

−∫ =

℘

−=

−∫ =

℘

= ∫ =

∞ − ∗

∞ − ∗

∞ −∗

în conformitate cu care, din (3.454) rezultå ecua¡ia opera¡ionalå:

p

ã r

d

dr

d

dr KW℘ −

℘−

℘+ =∗

∗ ∗∗

1 20

2

2,

care se mai poate scrie în forma:

rd

drr

d

dr

p

ãr

Kr W2

2

2

2 220

℘+

℘− ℘ − =∗ ∗

∗ ∗ , (3.455)

cu condi¡iile la limitå ℘

*(0,p)=℘*0 (p), ℘*(∞,p) = 0 ¿i limr→∞(rd℘*/dr)=-Q/πKp

pentru Wi = const., W*= Wi/p , ecua¡ia (3.455) se rescrie în formele:

rd

drr

d

dr

p

ãr

W

Kpri2

2

2

2 220

℘+

℘− ℘ − =∗ ∗

∗ (3.456)

rpã

d ãW Kp

d rpã

rpã

d ãW Kp

d rpã

rpã

ãW

Kp

i i

i

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

℘ +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

℘ +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ℘ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

∗ ∗

∗

22 2

2

2

2

2

2 2

20

( / ) ( / )

, (3.457)

care este o ecua¡ie tip Bessel modificatå, având solu¡ia:

℘ + =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟∗

22 1 0 2 0

ãW

KpC I r

p

ãC K r

p

ãi ,

în care I rp

ãr

p

ã0 0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ si K sunt func¡iile Bessel modificate de ordin zero ¿i de

spe¡a întâi ¿i respectiv a doua. Pentru ca limita func¡iei

250

℘ =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −∗ ( , )r p C I r

p

ãC K r

p

ã

ãW

Kpi

1 0 2 0 2

2 så fie finitå pentru r→∞, adicå pentru

I rp

ã0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ → ∞ , rezultå cå C1 = 0. Pe de altå parte, deoarece:

lim limr r

rdK rp

ãdr rK r

p

ã→ →

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= −0

00

1 1,

rezultå C2=Q/πKp. Deci, solu¡ia ecua¡iei opera¡ionale (3.457) se exprimå prin func¡ia imagine:

℘ =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −∗ ( , )r p

Q

KpK r

p

ã

ãW

Kpi

π 0 2

2, (3.458)

cåreia îi corespunde func¡ia original:

H h r pQ

K pK r

p

ã

ãW

K pi

02 2 1 1

01

22

2 2− = ℘ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟−

∗− −L L( , )

πL . (3.459)

Deoarece conform corespondentei 2 din tabelul 3.5, L−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =1

2

1

pt ¿i întrucât, pentru

Wi = 0, solu¡ia (3.459) trebuie så devinå identicå cu (3.393) - deci transformarea inverså:

L−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= = − −10

2

pK r

p

ãW u E ui(~) ( ~);

prin intermediul unei transformåri de tipul celei înscrise la numårul 6 în tabelul 3.5, rezultå:

H h s H sQ

KW u

aW

Ki

02 2

0 02

2− = − = −( ) (~)

~

π (3.460)

251

BIBLIOGRAFIE

1. ALBU, M., Mecanica apelor subterane, Editura Tehnicå, Bucure¿ti, 1981. 2. BEAR, J., Dynamics of fluids in porous media, American Publishing Company Inc., New York, London, Amsterdam, 1972. 3. BINDEMAN, N.N., Otenca exploatationîh zapasov podzemnîh vod. Gosgheoltehizdat, Moscova, 1963. 4. BOCEVER, F.M., Ghidrogheologhiceskie rascetî vodozaborov podzemnîh vod i vodoponizitelnîh ustanovok, Gosstroizdat, Moscova, 1963. 5. BOULTON, N.S., The flow pattern near a gravity well in a uniform water-bearing medium, In: Journal of the Institution of Civil Engineers, vol. 36, p.534-500, 1951. 6. BOUSSINESQ, M.J., Recherches théoriques sur l'écoulement des nappes d'eau infiltrées dans le sol et sur le débit des sources, In: J. Math. Pures Appl., nr. 10, p. 5-78, 1904. 7. CASTANY, G., Traité pratique des eaux souterraines, Dunod, Paris, 1967. 8. CASTANY, G., Prospectiunea ¿i exploatarea apelor subterane trad. din l. franceza, Editura Tehnicå, Bucure¿ti, 1972. 9. CEDERGREN, H.R., Seepage, drainage and flow nets, John Wiley, New York, Londra, Sydney, Toronto, 1977. 10. CIARNÎI, I.A., Podzemnaia ghidrogazodinamika, Gostoptehizdat, Moscova, 1963. 11. CRISTEA, N., Hidraulica subteranå, Editura Tehnicå, Bucure¿ti, 1956. 12. DAGAN, G., Linearized solution of unsteady deep flow toward an array of horizontal drains, In: Journal of Geophysical Research, vol. 69, nr. 16, p. 3361-3369, 1964. 13. DAGAN, G., The general solution of the linearized equation of free-surface flow in porous media, Technion, Israel Institute of Technology, Hydraulics Laboratory, Publication nr. 67, Haifa, 1965. 14. DAGAN, G., The generalization of Darcy's law for nonuniform flows, In: Water Resources Research, vol. 15, nr.1, p. 1-7, 1979.

252

15. DARCY, H., Les fontaines publiques de la ville de Dijon, Victor Dalmont, Paris, 647 p, 1856. 16. DE WIEST, R.J.M., Free-surface in a homogeneous porous medium, In: Journal of the Hydraulics Division, Proc., A.S.C.E., vol. 87, HY 4, p. 181-220, 1961. 17. DE WIEST, R.J.M., Geohydrology, John Wiley & Sons, New York, 1965. 18. DOMENICO, P.A. ¿i SCHWARTZ., Physical and Chemical Hydrogeology, John Wiley & Sons, New York, Brisbane, Toronto, Singapore, 1990. 19. DUPUIT, J., Etudes theoretique et pratiques sur le mouvement des eaux, Dunod, Paris, p.364, 1963. 20. FETTER, C.W., Applied Hydrogeology, Macmillan Publishing Company, New York, 1994. 21. GHEORGHE, AL., Prelucrarea ¿i sinteza datelor hidrogeologice, Editura Tehnicå, Bucure¿ti, 1973. 22. GHEORGHE, AL. ¿i BOMBOE, P., Hidrogeologie minierå, Editura Tehnicå, Bucure¿ti, 1963. 23. GHEORGHI¡A, ST.I., Metode matematice în hidrogazodinamica subteranå, Editura Academiei R.S.R., Bucure¿ti, 1966. 24. GLOVER, R.E., Application of the Dupuit-Forchheimer assumption in ground-water hydraulics, In: Transactions, A.S.A.E., vol. 8, p. 510-512, 1965. 25. GRAY, W.G., ¿i O'NILL, K., On the generalequations for the flow in porous media and their reduction to Darcy'law, In: Water Resources Research, vol.12, nr.2, p.148-154, 1976. 26. HANTUSH, M.S., On the validity of the Dupuit-Forchheimer well-dischatge formula, In: Journal of Geophysical Research, vol.67, nr.6, p. 2417-2420; vol. 68, nr.2, p.593-595, 1962. 27. HANTUSH, M.S., Hydraulics of wells, In: Advances in Hydroscience, edited by V.T. Chow, Academic Press, New York, vol.1, p. 281-442, 1964. 28. HANTUSH, M.S., Analysis of data from pumping tests in anizotropic aquifers, In: Journal of Geophysical Research, vol.71, nr.2, p. 421-426, 1966.

253

29. HANTUSH, M.S., Wells in homogeneous anisotropic aquifers, In: Water Resources Research, vol. 2, nr. 2, p. 273-279, 1966. 30. HANTUSH, M.S. ¿i JACOB, C.E., Non-steady radial flow in an infinite leaky aquifer, In: Transactions of the American Geophysical Union, vol. 36, nr.1, p. 95-100, 1955. 31. IVAN, C., Modele de calcul analogic în hidraulica subteranå, Editura Tehnicå, Bucure¿ti, 1975. 32. IVAN, C., Calculul sistemelor de drenaj, Volumul I, Editura Tehnicå, Bucure¿ti, 1985. 33. JACOB, C.E., On the flow of water in an elastic artezian aquifer, In: Transactions of the American Geophysical Union, vol. 21, p. 574-586, 1940. 34. JACOB, C.E., Radial flow in a leaky artesian aquifer, In: Transactions of the American Geophysical Union, vol. 27, nr.2, p. 198-208, 1946. 35. KAZDA, I., Finite Element Techniques in Groudwater Flow Studies, Elsevier, Amsterdam, Qxford, New York, Tokyo, 1990. 36. LINDQUIST, E., On the flow of water through porous soils, In: Premier Congres des Grands Barrages, Stockholm, vol.5, p.81-101, 1933. 37. MATEESCU, CR., Hidraulica, Editura de Stat Didactica ¿i Pedagogica, Bucure¿ti, 1963. 38. MUSKAT, M., The flow of homogeneous fluids through porous media, McGraw-Hill Book Company, Inc., U.S.A, 1946. 39. NEUMAN, S.P. ¿i WITHERSPOON, P.A., Analysis of nonsteady flow with a free surface using the finite element method, In: Water Resources Research, vol. 7, nr. 3, p. 611-623, 1971. 40. PIETRARU, V., Calculul infiltra¡iilor, Editura Ceres, Bucure¿ti, 1977. 41. SCHEIDEGGER, A.E., The physics of flow through porous media, University of Toronto Press, 1960. 42. SCHNEEBELI, G., Hydraulique souterraine, Eryolles, Paris, 1966. 43. SCHOELLER, H., Les eaux souterraines, Masson. Paris, 1962.

254

44. SESTAKOV, V.M., Dinamika podzemnîh vod, Izd. Moskovskovo Universiteta, 1973. 45. TAYLOR, B.S. ¿i BROWN, C.D., Darcy flow solution with a free surface, In: Journal of the Hydraulics Division, Proc., A.S.C.E., vol. 93, HY 2, p. 25-33, 1967. 46. THEIS, C.V., The relation between the lowering of the piezometric surface and the rate and duration of discharge of a well using ground water storage, In: Transactions of the American Geophysical Union, Washington, D.C., vol. 16, p. 519-524, 1935. 47. TODD, D.K., Ground water hydrology, John Wiley & Sons, New York, Londra, Sydney, 1967. 48. TROFIN, E., Zona de izvorâre la captårile de apå subteranå, In: Hidrotehnica, gospodårirea apelor, meteorologia, vol.3, nr.2, Bucure¿ti, p. 57-65, 1968. 49. TROFIN, E., Alimentåri cu apå, Editura Didacticå ¿i Pedagogicå, Bucure¿ti, 1972. 50. VLADIMIRESCU, I., Bazele hidrologiei tehnice, Editura Tehnicå, Bucure¿ti, 1984. 51. WALTON, W.C., Ground-water resources evaluation, McGraw-Hill Book Company, New York, 1970. 52. WARD, J.C., Turbulent flow in porous media, In: Journal of the Hydraulics Division, Proc., A.S.C.E., vol. 90, HY 5, p. 1-12, 1964. 53. ZAHARESCU, E., IVAN, C. ¿i ANASTASIU, TH., Construc¡ii hidrotehnice, Fascicola I: Calculul ¿i modelarea infiltra¡iilor pentru construc¡iile hidrotehnice din îmbunåtå¡iri funciare, Institutul Agronomic "N. Bålcescu", Bucure¿ti, 1975. 54. ZAMFIRESCU, Fl., Linii de foraje în interferen¡å ¿i drenuri orizontale hidrodinamic echivalente, Universitatea Bucure¿ti, 1987.

255