PROGRAMACION MULTIOBJETIVO II

8/3/2019 PROGRAMACION MULTIOBJETIVO II

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Decisin Multiobjetivo - Mtodo de optimizacin multiobjetivo

Estos mtodos buscan optimizar los objetivos satisfaciendo unas restricciones rgidas que

determinan la regin factible. El planteamiento del problema sera:

Donde Zi(x) es la funcin matemtica que describe el atributo i-simo, x Rn es el vector de

variables de decisin y F es el conjunto de restricciones que definen las posibles soluciones.

Dentro de los mtodos de optimizacin multiobjetivo existen mtodos para generar el

conjunto eficiente en su totalidad y mtodos para dar una solucin compromiso. Antes de ver

estas tcnicas se van a presentar dos conceptos que sern de gran utilidad para comprender e

interpretar el problema planteado: La matriz de pagos y las tasas de intercambio.

La matriz de pagos es una matriz donde se representan por filas el valor ptimo de un objetivo

sin considerar el resto de objetivos (resolviendo el problema independientemente), y los

valores que resultaran para los dems objetivos con esa solucin. Esta matriz representa el

grado de conflicto que hay entre los objetivos propuestos.

Por otra parte, las tasas de intercambio (trade-offs o costes de oportunidad) entre los

atributos representan lo que se est dispuesto a empeorar de un objetivo por mejorar en una

unidad otro objetivo. Seran las pendientes de los segmentos que forman el conjunto eficiente.

A manera de ilustrar de manera eficiente estos conceptos plantearemos el siguiente ejercicio:

Problema 1.-Cierta empresa de viajes terrestres tiene dos buses a su disposicin bus A y bus

B para satisfacer cierta ruta establecida. El bus A debe hacer ms veces la ruta que el bus B

pero no puede sobrepasar los 120 viajes. Entre los dos buses deben hacer ms de 60 viajes

pero no ms de 200. En cada recorrido el bus A consume 600 litros de combustible y B 400

litros. Por cada viaje del bus A la empresa gana 300 soles y 200 soles por cada viaje de B.

Los objetivos de la empresa de transporte son: maximizar las utilidades y minimizar el

consumo de combustible.

Se tendra entonces dos objetivos contrapuestos: maximizar las utilidades y minimizar el

consumo de combustible. Por lo tanto, la matriz de pagos sera:

Donde m11 es el mnimo consumo de combustible que se puede lograr con las restricciones

impuestas en el problema y m12 es la utilidad obtenida minimizando el consumo de

combustible; en la siguiente fila sera al revs, es decir, m22 sera la mxima utilidad que se

puede lograr, y m21 sera el consumo de combustible hecho ante una maximizacin de las

utilidades.

Combustible Utilidades

Combustible m11 m12

Utilidades m21 m22


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Procedemos a plantear el ejercicio:

-Datos del enunciado

BUS A B

Consumo (L) 600 400Beneficios (s/.) 300 200

-Expresamos con ecuaciones e inecuaciones lineales la informacin descrita.

Sea

x: el nmero de viajes del bus A

y: el nmero de viajes de bus B

Funciones objetivo:

Max 300x + 200y

Min 500x + 300y

Restricciones

x>y A debe hacer mas viajes que B

x=60 Entre los 2 deben hacer mas de 60 viajes x+ y =0 No negatividad

Grfico


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Teniendo el grfico podemos proceder a determinar los puntos:

BENEFICIO MAXIMO Max 300x + 200y

A(60,0) el beneficio total seria : 18000 soles

B(30,30) el beneficio total seria :15000 soles

C(100,100) el beneficio total seria : 50000 soles

D(120,80) el beneficio total seria :52000 soles

E(120,0) el beneficio total seria : 36000 soles

Se obtiene el mximo beneficio haciendo 120 viajes con el bus A y 80 con el bus B

CONSUMO MINIMO Min 600x + 400y

A(60,0) el consumo total seria : 36000 L

B(30,30) el consumo total seria :30000 L

C(100,100) el consumo total seria : 100000 L

D(120,80) el consumo total seria :104000 L

E(120,0) el consumo total seria : 72000 L

Se hace un minino de consumo de combustible con la combinacin de 30 viajes con A

y 30 con B.

A manera de facilitar la comprensin realizaremos un grfico adicional en donde se muestre la

relacin entre utilidad y uso de combustible:

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

18000 15000 50000 52000 36000

COMBUSTIBLE

UTILIDAD


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Con estos datos podemos completar nuestra matriz de pagos:

Por otra parte, las tasas de intercambio entre los atributos representan lo que se est

dispuesto a empeorar de un objetivo por mejorar en una unidad otro objetivo. Seran las

pendientes de los segmentos que forman el conjunto eficiente. As, en el segmento BC la tasa

de intercambio entre el consumo de combustible y las utilidades ser

Es decir, en ese segmento por cada dlar adicional en la utilidad se emplearn 2 litros decombustible

De manera similar, para el segmento CD:

En este segmento tambin por cada dlar adicional de utilidad, se emplearn 2 litros de

combustible.

Ahora bien, es precisamente en esta parte en donde se aplicaran los mtodoscorrespondientes para la resolucin de este ejercicio. Entre estos mtodos tenemos:

Mtodo de las ponderaciones

Este mtodo consiste en multiplicar cada objetivo por un peso o factor no negativo y

agregarlos en una nica funcin. Variando los pesos se puede obtener todo el conjunto

eficiente, resolviendo los distintos problemas planteados mediante programacin paramtrica.

Uno de los resultados en que se fundamenta este mtodo dice que si i > 0 i, entonces

cualquier solucin ptima del problema P() es eficiente. El recproco es cierto slo bajo ciertas

condiciones (por ejemplo, si todas las funciones objetivo y las restricciones son lineales). En

cualquier caso, hay que tener en cuenta que para aplicar este mtodo es conveniente haber

normalizado previamente los criterios (para que no influya la diferencia de unidades de los

criterios).

Combustible Utilidades

Combustible 3000 L S/. 15.000,00

Utilidades 10400 L S/. 52.000,00


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Mtodo de las restricciones

Consiste en optimizar uno de los objetivos e incorporar el resto como restricciones

paramtricas, resolviendo el problema resultante mediante programacin paramtrica

(variando los trminos de la derecha se obtiene todo el conjunto eficiente).

El fundamento de este procedimiento se recoge en los dos resultados siguientes:

*Como se mencion en un inicio centraremos nuestra atencin en los siguientes mtodos:

Mtodo de las Jerarquas

-Quien toma la decisin debe clasificar los objetivos del problema en orden de importancia.

Minimizar G1=p1 (mxima prioridad)

.

.

.

Minimizar G2=p2 (mnima prioridad)

-El procedimiento de solucin considera una meta cada vez, comenzando con la mxima

prioridad G1 y terminando con la mnima, Gn.

- Cumplindose que la solucin obtenida con una meta de menor prioridad nunca degradara a

una solucin de mayor prioridad.

*Para ilustrar de manera ms didctica este mtodo procederemos a resolver un problema de

multiobjetivos de la agencia de publicidad Topad.


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Problema 2.-TOPAD es una nueva agencia de publicidad, con 10 empleados, ha recibido un

contrato para promover un producto nuevo. La agencia puede anunciarlo por radio y por tv. La

tabla siguiente contiene datos sobre la cantidad de personas a las que llega cada tipo de

anuncio y sus requisitos de costo y mano de obra.

El contrato prohbe a TOPAD que use ms de 6 minutos en anuncios por radio. Adems, los

anuncios por radio y tv deben llegar cuando menos a 45 millones de personas. Todad ha

establecido para el proyecto una meta de presupuesto de 100000 dlares. Cuntos minutos

de anuncios de radio y tv debe programar TOPAD?

Sean x1 y x2 los minutos asignados a los anuncios por radio y por la tv.

Pasos a seguir para la resolucin del problema

PASO1: Identificar las metas del modelo y clasificarlas en orden de prioridad (subjetivo):

PRIORIDAD 1: Maximizar exposicin (p1) P1=4X1+8X2

PRIORIDAD 2: Minimizar costo (p2) P2=8X1+24X2

St (sujeta a)

X1+2X2=0

Radio Televisin

1 2

Datos/ minutos de anuncio

Exposicin (millones de

personas)

Costo (miles de dlares)

Empleados asignados

4 8

8 24


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PASO 2: Resolver el programa lineal 1.

Maximizar P1=4X1+8X2

St (sujeta a)

X1+2X2=40 para asegurar que no se degrade la meta G1.

Minimizar P2=8X1+24X2

St (sujeta a)

4X1+8X2>=40

X1+2X2=0

La solucin optima del P2, obtenida por LINDO, es P2=96000, X1=6 minutos y X2=2 minutos.


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A continuacin resolveremos el mismo problema aplicando el mtodo con SIMPLEX:

Mtodo SIMPLEX

X2 = 2

X1 = 6

x1 x2 s1 s2 b

p1 4 8 0 0 0

p2 8 24 0 0 0

s1 1 2 1 0 10

s2 1 0 0 1 6

Zj 0 0 0 0 0

Cj-Zj 4 8 0 0

p1 4 8 0 0 -40

p2 -4 0 -12 0 -120

(8)x2 0,50 1 0,5 0 5

(0)s2 1 0 0 1 6

Zj 4 8 4 0 40

Cj-Zj 0 0 -4 0

p1 4 8 0 0

p2 -4 0 0 -120

(8)x2 0,5 1 0 5

(0)s2 1 0 1 6Zj 4 8 0 40

Cj-Zj -8 -8 0

p1 4 8 0

p2 8 24 0 0

(24)x2 0 1 -0,5 2

(8)x1 1 0 1 6

Zj 8 24 -4 96

Cj-Zj 0 0 4

Plantear las 2 funciones objetivo

p2 acompaa la interacion , mas no es objetivo

elegimos la columna x2 con s1(menor valor 10/2)

buscamos maximizar p2(exposicion)

Aplicamos la regla de eliminacion de la columna:

la cual dice que borramos la variable no basica con Zj-Cj 0, antes de optimizar la segunda funcion

la razon , es que si dejamos esa variable , podria volverse positiva y degradar la solucion de mayor prioridad

solucion eficiente,porque no sera optima con respecto a todos los objetivos

Solucion Eficiente

MINIMIZAMOS COSTO

Solucion eficiente,porque no sera optima con respecto a todos los objetivos

Buscamos positivos

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