Programación Lineal

15/3/2015 ProgramacinlinealWikipedia,laenciclopedialibre

http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal 1/6

Cronologa1

Ao Acontecimiento

1826 JosephFourieranticipalaprogramacinlineal.CarlFriedrichGaussresuelveecuacioneslinealesporeliminacin"gaussiana".1902 GyulaFarkasconcibeunmtodopararesolversistemasdeinecuaciones.

1947GeorgeDantzigpublicaelalgoritmosimplexyJohnvonNeumanndesarrolllateoradeladualidad.SesabequeLeonidKantorvichtambinformullateoraenformaindependiente.

1984 NarendraKarmarkarintroduceelmtododelpuntointeriorpararesolverproblemasdeprogramacinlineal.

ProgramacinlinealDeWikipedia,laenciclopedialibre

Laprogramacinlinealesunprocedimientooalgoritmomatemticomedianteelcualseresuelveunproblema indeterminado, formulado a travs de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando lafuncinobjetivo,tambinlineal.

Consisteenoptimizar(minimizaromaximizar)unafuncinlineal,denominadafuncinobjetivo,detalforma que las variables de dicha funcin estn sujetas a una serie de restricciones que expresamosmedianteunsistemadeinecuacioneslineales.

ndice

1Historiadelaprogramacinlineal2Variables3Restricciones4FuncinObjetivo5Programacinentera6Aplicaciones7Ejemplo8Vasetambin9Referencias

9.1Bibliografa

Historiadelaprogramacinlineal

El problemade laresolucin deun sistemalineal deinecuacionesseremonta,almenos, aJosephFourier,despus dequien nace elmtodo deeliminacinde FourierMotzkin. La programacin lineal se plantea como un modelo matemtico desarrolladodurantelaSegundaGuerraMundialparaplanificarlosgastosylosretornos,afindereducirloscostosalejrcito y aumentar las prdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra,muchasindustriaslousaronensuplanificacindiaria.

LosfundadoresdelatcnicasonGeorgeDantzig,quienpublicelalgoritmosimplex,en1947,JohnvonNeumann,quedesarrolllateoradeladualidadenelmismoao,yLeonidKantorvich,unmatemticodeorigenruso,queutilizatcnicassimilaresenlaeconomaantesdeDantzigyganelpremioNobelen

http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttp://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonid_Kantor%C3%B3vichhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_inecuacioneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonid_Kantor%C3%B3vichhttp://es.wikipedia.org/wiki/George_Dantzighttp://es.wikipedia.org/wiki/1984http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_simplexhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Gyula_Farkas_(cient%C3%ADfico)&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Inecuaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumannhttp://es.wikipedia.org/wiki/George_Dantzighttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_primer_gradohttp://es.wikipedia.org/wiki/1902http://es.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumannhttp://es.wikipedia.org/wiki/1947http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_simplexhttp://es.wikipedia.org/wiki/Optimizaci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Segunda_Guerra_Mundialhttp://es.wikipedia.org/wiki/1826http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Narendra_Karmarkar&action=edit&redlink=1



economaen1975.En1979,otromatemticoruso,LeonidKhachiyan,diseelllamadoAlgoritmodelelipsoide,atravsdelcualdemostrqueelproblemadelaprogramacinlinealesresolubledemaneraeficiente,esdecir,entiempopolinomial.2Mstarde,en1984,NarendraKarmarkarintroduceunnuevomtododelpuntointeriorpararesolverproblemasdeprogramacinlineal,loqueconstituiraunenormeavanceenlosprincipiostericosyprcticosenelrea.

ElejemplooriginaldeDantzigdelabsquedadelamejorasignacinde70personasa70puestosdetrabajoesunejemplode lautilidadde laprogramacin lineal.Lapotenciadecomputacinnecesariaparaexaminartodaslaspermutacionesafindeseleccionarlamejorasignacinesinmensa(factorialde70, 70!) el nmero de posibles configuraciones excede al nmero de partculas en el universo. Sinembargo,tomaslounmomentoencontrarlasolucinptimamedianteelplanteamientodelproblemacomounaprogramacinlinealylaaplicacindelalgoritmosimplex.Lateoradelaprogramacinlinealreducedrsticamenteelnmerodeposiblessolucionesfactiblesquedebenserrevisadas.

Variables

Lasvariablessonnmerosrealesmayoresoigualesacero.

Encasoqueserequieraqueelvalorresultantedelasvariablesseaunnmeroentero,elprocedimientoderesolucinsedenominaProgramacinentera.

Restricciones

Lasrestriccionespuedenserdelaforma:

Tipo1:

Tipo2:

Tipo3:

Donde:

A=valorconocidoaserrespetadoestrictamenteB=valorconocidoquedebeserrespetadoopuedesersuperadoC=valorconocidoquenodebesersuperadoj=nmerodelaecuacin,variablede1aM(nmerototalderestricciones)aby,c=coeficientestcnicosconocidosX=Incgnitas,de1aNi=nmerodelaincgnita,variablede1aN.

EngeneralnohayrestriccionesencuantoalosvaloresdeNyM.PuedeserN=MN>M,N



FuncinObjetivo

Lafuncinobjetivopuedeser:

o

Donde:

=coeficientessonrelativamenteigualesacero.

Programacinentera

Enalgunoscasosserequierequelasolucinptimasecompongadevaloresenterosparaalgunasdelasvariables. La resolucin de este problema se obtiene analizando las posibles alternativas de valoresenteros de esas variables en un entorno alrededor de la solucin obtenida considerando las variablesreales.Muchasveceslasolucindelprogramalinealtruncadoestalejosdeserelptimoentero,porloquesehacenecesariousaralgnalgoritmoparahallarestasolucindeformaexacta.Elmsfamosoeselmtodode'RamificaryAcotar'oBranchandBoundporsunombreeningls.ElmtododeRamificaryAcotarpartede laadicindenuevasrestriccionesparacadavariablededecisin(acotar)quealserevaluadoindependientemente(ramificar)llevaalptimoentero.

Aplicaciones

Laprogramacinlinealconstituyeunimportantecampodelaoptimizacinporvariasrazones,muchosproblemas prcticos de la investigacin de operaciones pueden plantearse como problemas deprogramacin lineal. Algunos casos especiales de programacin lineal, tales como los problemas deflujoderedesyproblemasdeflujodemercancasseconsideraroneneldesarrollodelasmatemticaslosuficientemente importantes como para generar por simismosmucha investigacin sobre algoritmosespecializadosensusolucin.Unaseriedealgoritmosdiseadospararesolverotrostiposdeproblemasde optimizacin constituyen casos particulares de la ms amplia tcnica de la programacin lineal.Histricamente,lasideasdeprogramacinlinealhaninspiradomuchosdelosconceptoscentralesdelateoradeoptimizacin talescomoladualidad, ladescomposiciny la importanciade laconvexidadysusgeneralizaciones.Delmismomodo,laprogramacinlinealesmuyusadaenlamicroeconomaylaadministracindeempresas,yaseaparaaumentaralmximolosingresosoreduciralmnimoloscostosdeunsistemadeproduccin.Algunosejemplossonlamezcladealimentos,lagestindeinventarios,lacartera y la gestin de las finanzas, la asignacin de recursos humanos y recursos de mquinas, laplanificacindecampaasdepublicidad,etc.

Otrosson:

Optimizacindelacombinacindecifrascomercialesenunaredlinealdedistribucindeagua.

Aprovechamientoptimodelosrecursosdeunacuencahidrogrfica,paraunaoconafluencias



caracterizadasporcorresponderaunadeterminadafrecuencia.

Soporteparatomadedecisinentiemporeal,paraoperacindeunsistemadeobrashidrulicas

Solucindeproblemasdetransporte.

Ejemplo

Este es un caso curioso, con solo 6variables (un caso real de problemadetransporte puede tener fcilmentemsde1.000variables)enelcualseaprecia la utilidad de esteprocedimientodeclculo.

Existen tres minas de carbn cuyaproduccindiariaes:

La mina "a" produce 40toneladasdecarbnpordaLamina"b"produce40t/day,Lamina"c"produce20t/da.

Enlazonahaydoscentralestermoelctricasqueconsumen:

Lacentral"d"consume40t/dadecarbny,Lacentral"e"consume60t/da

Loscostosdemercado,detransporteportoneladason:

De"a"a"d"=2monedasDe"a"a"e"=11monedasDe"b"a"d"=12monedasDe"b"a"e"=24monedasDe"c"a"d"=13monedasDe"c"a"e"=18monedas

Sisepreguntasea lospobladoresde lazonacmoorganizarel transporte, talvez lamayoraopinaraque debe aprovecharse el precio ofrecido por el transportista que va de "a" a "d", porque es msconvenientequelosotros,debidoaqueeseldemsbajoprecio.

Enestecaso,elcostototaldeltransportees:

Transportede40tde"a"a"d"=80monedasTransportede20tde"c"a"e"=360monedasTransportede40tde"b"a"e"=960monedasTotal1.400monedas.

Sin embargo, formulando el problema para ser resuelto por la programacin lineal se tienen lassiguientesecuaciones:

Restriccionesdelaproduccin:

http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_transportehttp://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo_realhttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Progr_Lineal.PNG



Restriccionesdelconsumo:

Lafuncinobjetivoser:

Lasolucindecostomnimodetransportediarioresultaser:

Xbd=40resultandouncostode12x40=480monedasXae=40resultandouncostode11x40=440monedasXce=20resultandouncostode18x20=360monedasTotal1.280monedas.

120monedasmenosqueantes.

Vasetambin

PoliedroconvexoAlgoritmodepivoteAlgoritmosimplexConjeturadeHirschLeonidKantorvich

Referencias

Bibliografa

Crilly,Tony(2011).50cosasquehayquesabersobrematemticas.Ed.Ariel.ISBN9789871496099.Khachiyan,L.(1979).Apolynomialalgorithminlinearprogramming20.SovietMath.Doklady.Loomba,N.P.LinearProgramming:Anintroductoryanalysis.McGrawHill,NewYork,1964UniversidadPeruanaUninBibliotecaCentrallibronmero0.001245/f12Programacinlineal.

Obtenidodehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Programacin_lineal&oldid=80248505

Categoras: Optimizacin Investigacinoperativa

1. Crilly,2011.2. Khachiyan,1979,pp.191194.

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Hirschhttp://es.wikipedia.org/wiki/Poliedro_convexohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Programaci%C3%B3n_lineal&oldid=80248505http://es.wikipedia.org/wiki/Categor%C3%ADa:Investigaci%C3%B3n_operativahttp://es.wikipedia.org/wiki/Especial:Categor%C3%ADashttp://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_simplexhttp://es.wikipedia.org/wiki/ISBNhttp://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_pivotehttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonid_Kantor%C3%B3vichhttp://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-987-1496-09-9http://es.wikipedia.org/wiki/Categor%C3%ADa:Optimizaci%C3%B3n



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