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V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo Curso 2004-2005
Programa
• 15.1 Introducción
• 15.2 Las fuerzas en el campo electrostático
• 15.3 Las fuerzas en el campo magnetostático
• 15.4 El momento del campo electromagnético. Teorema de conservación
Lección 15Las fuerzas y el momento del campo electromagnético
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V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo Curso 2004-2005
Bibliografía
Griffiths Lección 7
Jackson Lección 6Pomer Lección 11
Reitz-Milford-Christy Lección 16
Lección 15Las fuerzas y el momento del campo electromagnético
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Las fuerzas en el campo electrostático
Las fuerzas y el momento del campo electromagnético
UEqF −∇== 00
rr
UF ii −∇=r
Sistema aislado
Sistema no aislado
Caso de un sistema de conductores a potencial fijo
dUdWdW g −=
jj
jg dQdW ∑= φ dUdWg 2= UF ii ∇=r
dUdWdWg +=∑=
jjjQU φ
21 ∑=
j
jjdQdU φ2
1
dUdW =
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Las fuerzas en el campo electrostático
Las fuerzas y el momento del campo electromagnético
Acción sobre un dipolo en un campo exterior uniforme
0EpUrr
−= ( ) ( ) 000 =∇=−−∇= EpEpFrrrrr
( ) θθθθ sincos 00 pEpEM −=−
∂∂
−=
0ExpMrrr
=
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Las fuerzas en el campo electrostático
Las fuerzas y el momento del campo electromagnético
Acción sobre un dipolo en un campo exterior no uniforme
−+ ≠ FFrr ( ) ( ) 00 EpEpF
rrrrr∇=−−∇=
( )( )( ) 00 ExpEpxrMrrrrrr
+∇=
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Las fuerzas en el campo electrostático
Las fuerzas y el momento del campo electromagnético
Fuerza sobre distribuciones de carga ( )dqEEFd p
rrr−=
Fuerza sobre una distribución volúmica de carga ρ
( ) dSEEFS
p∫ −= σrrr
uEp
rr
εσ2
=
uErr
εσ
= dSEdSuFSS∫∫ ==
rrrσ
εσ
2
1
2
1 2
Caso de un conductor cargado con densidad superficial σ
( ) dvEEFd p ρrrr
−= ( ) dvEFV∫ →−= ρ)0(
rr
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Las fuerzas en el campo magnetoestático
Las fuerzas y el momento del campo electromagnético
Fuerza y momento en circuitos rígidos
dUdWdW g −= jj
jdIdU φ∑=2
1j
jjg dIdW φ∑=
dUdWg 2=UF ii ∇=
r
ii
UM
∂∂
=θ
rdFdWrr
=
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Las fuerzas en el campo magnetoestático
Las fuerzas y el momento del campo electromagnético
Fuerza y momento sobre un dipolo magnético en un campo externo
BxmMrrr
=
( )BmFrrr
∇=
Campo uniforme
0=Fr
Campo no uniforme
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Las fuerzas y el momento del campo electromagnético
El momento del campo electromagnético.Teorema de conservación
( ) dvBxvEFdt
Pd
V
ρ∫ +==rrrr
r
( ) Bxt
DHxEDBxJE
rr
rrrrrr
∂∂
−∇+∇=+ρ
( )ExxDBxt
D
t
BxDBx
t
DBxD
t
rrrrr
rrr
rr∇−
∂∂
=∂∂
+∂∂
=∂∂
)(
( ) ( )ExxDBxDt
Bxt
D rrrrrr
∇+∂∂
=∂∂
( ) ( ) ( ) ( )BxDt
HxxBExxDEDBxJErrrrrrrrrrr
∂∂
−∇−∇−∇=+ρ
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Las fuerzas y el momento del campo electromagnético
El momento del campo electromagnético.Teorema de conservación
( ) =∇+∇+∇+∇=∇ EDDEExxDDxxEDErrrrrrrrrr
)()()()(
DEExxDrrrr
)(2)(2 ∇+∇=
)(2
1)()( DEDEExxD
rrrrrr∇−∇=∇−
)(2
1)()( HBHBHxxB
rrrrrr∇−∇=∇−
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Las fuerzas y el momento del campo electromagnético
El momento del campo electromagnético.Teorema de conservación
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )HBDEBxDt
HBHBDEDEBxJErrrrrrrrrrrrrrrrr
∇−∇−∂∂
−∇+∇+∇+∇=+2
1
2
1ρ
−+
−== jiijjijiijjiij BHBHEDEDTT δδ
2
1
2
1tN
tTBxJE
rtrrr
∂∂
−∇=+ εµρ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∇+∇+∇−∇−∇+∇=∇ jjjjjjj HBBHHBDEDEEDT
rrrrrrrrt
2
1
2
1
∫∫ +−= SdTdvNdt
d
dt
Pd
v
rtrr
εµ ( ) ∑=
=zyxi
ijij TdSTSd,,
tr
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( )∫∫∫ +=∂∂
−VVS
dvBxJEdvNtv
SdTrrrrrt
ρ2
1
( ) FdvBxJESdTVS
rrrrrt=+= ∫∫ ρ
dt
pdSdT mec
S
rrt=∫ dv
c
N
tdt
pdSdT
V
mec
S∫∫ ∂
∂+=
2
rrrt
2c
Ng
rr =
01
2=
∂∂
−∇t
N
cT
rt
0)( =+ emmec ppdt
d rr
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El momento del campo electromagnético.Teorema de conservación
