Programa: Matem atica Orientador: Prof. Dr. Mikhailo Dokuchaev

Uma sequencia exata relacionada a umaextensao de aneis e uma representacao parcial

Josefa Itailma da Rocha

Tese apresentadaao

Instituto de Matematica e Estatısticada

Universidade de Sao Paulopara

obtencao do tıtulode

Doutor em Ciencias

Programa: MatematicaOrientador: Prof. Dr. Mikhailo Dokuchaev

Sao Paulo, dezembro de 2017

Uma sequencia exata relacionada a uma extensao de aneis euma representacao parcial

Esta versao da tese contem as correcoes e alteracoes sugeridaspela Comissao Julgadora durante a defesa da versao original do trabalho,

realizada em 27/02/2018. Uma copia da versao original esta disponıvel noInstituto de Matematica e Estatıstica da Universidade de Sao Paulo.

Comissao Julgadora:

• Profa. Dr Mikhailo Dokuchaev (orientador) - IME-USP

• Prof. Dr. Javier Sanchez Serda - IME-USP

• Prof. Dr. Fernando Raul Abadie Vicens - Universidad de la Republica

• Prof. Dr. Hector Edonis Pinedo Tapia - Universidad Industrial de Santander

• Prof. Dr. Mykola Khrypchenko - UFSC

Resumo

ROCHA, J. I. Uma sequencia exata relacionada a uma extensao de aneis e uma representacaoparcial. 2017. 114 f. Tese (Doutorado) - Instituto de Matematica e Estatıstica, Universidade de SaoPaulo, Sao Paulo, 2017.

Para uma extensao de Galois de aneis comutativos, Chase-Harrison-Rosenberg construıram umasequencia exata de sete termos que envolve o grupo de Picard, o grupo de Brauer relativo e gruposde cohomologias. Essa sequencia e vista como uma generalizacao de dois fatos importantes da teoriagaloisiana de corpos, a saber, o Teorema 90 de Hilbert e o isomorfismo de grupo de Brauer relativo como segundo grupo de cohomologia. A sequencia foi generalizada por Miyashita para o contexto de aneisnao comutativos com unidade. Mais tarde, El Kaoutit e Gomez-Torrencillas generalizaram o resultado deMiyashita para uma extensao de aneis nao comutativos e nao unitais, apenas com um conjunto de uni-dades locais. A sequencia de Chase-Harrison-Rosenberg tambem foi considerada para acoes parciais porDokuchaev, Paques e Pinedo, que construıram uma versao para uma extensao de Galois parcial de aneiscomutativos. Nesta tese, elaboramos uma versao da sequencia no contexto de acoes parciais para umaextensao de aneis nao comutativos com unidade. A sequencia apresentada aqui generaliza a sequenciadada por Miyashita.

Palavras-chave: acoes parciais, representacao parcial, produto cruzado generalizado parcial.

i

ii 2017

Abstract

ROCHA. J.I. An exact sequence related to an extension of rings and a partial representation. 2017. 114 f. Tese (Doutorado) - Instituto de Matematica e Estatıstica, Universidade de Sao Paulo, SaoPaulo, 2010.

For a Galois extension of commutative rings, Chase-Harrison-Rosenberg constructed a seven termsexact sequence which involves the Picard group, the relative Brauer group and cohomology groups. Thesequence can be viewed as a generalization of two important facts of Galois theory of fields: the Hilbert90 Theorem and the isomorphism of the relative Brauer group with the second cohomology group. Thesequence was generalized by Miyashita for the context of non-commutative unital rings. Later, El Kaoutitand Gomez-Torrencillas extended the result of Miyashita for an extension of non-unital non-commutativerings with local units. The Chase-Harrison-Rosenberg sequence was also considered for partial actionsby Dokuchaev, Paques e Pinedo, who constructed a version for a partial Galois extension of commu-tative rings. In this thesis, we elaborate a vesrion of the sequence in the context of partial actions foran extension of non-commutative unital rings. Our sequence generalizes the sequence given by Miyashita.

Keywords: partial actions, partial representations, partial generalized crossed products

iii

iv 2017

Sumario

1 Introducao 1

2 Conceitos Basicos 5

2.1 Modulos projetivos e o grupo de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 O semigrupo de Picard generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 R-bimodulos similares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 O grupo P(S/R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5 Uma sequencia exata auxiliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Fundamentos sobre acoes e representacoes parciais 31

3.1 Acoes parciais, representacoes parciais e cohomologia parcial. . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Representacao Parcial Unital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.1 Acao parcial sobre Z e sobre PicSZ(R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Produto cruzado generalizado parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.1 Representacoes parciais unitais em SR(S). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4 O grupo C(Θ/R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 A sequencia exata de sete termos 81

4.1 A primeira sequencia exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2 A segunda sequencia exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.3 O grupo B(Θ/R) e a terceira sequencia exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.4 O grupo H1(G,α∗,PicS0(R)) e a quarta sequencia exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.5 A quinta sequencia exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

v

vi SUMARIO

Capıtulo 1

Introducao

O conceito de extensao Galoisiana de aneis comutativos foi introduzido em 1960 por M. Auslander eO. Goldman no artigo [1], no qual eles estabeleceram os fundamentos de extensoes separaveis de aneiscomutativos e definiram o grupo de Brauer de um anel comutativo. Em 1965, S. U. Chase, D.K. Harrisone A. Rosenberg desenvolveram a teoria de Galois de aneis comutativos em [2]. Usando cohomologia deAmitsur e sequencias espectrais, Chase e Harrison construıram em [3] uma sequencia exata de sete termosa qual foi aplicada em [2] para uma extensao de Galois R ⊆ S de aneis comutativos com unidade e grupode Galois G obtendo a seguinte sequencia exata:

1 // H1(G,U(S)) // Pic(R) // Pic(S)G // H2(G,U(S)) // B(S/R)

// H1(G,Pic(S)) // H3(G,U(S)),

onde U(S) denota o grupo dos inversıveis do anel S, Pic(S) o grupo de Picard de S e B(S/R) o grupode Brauer relativo de S sobre R, ou seja, o grupo das R-algebras de Azumaya que cindem por S. Asequencia de Chase-Harrison-Rosenberg pode ser vista como uma generalizacao de dois fatos fundamentaisde cohomologia galoisiana de corpos, que sao o Teorema de Hilbert 90 e o Teorema do produto cruzado.O primeiro afirma que se R ⊆ S e uma extensao de corpos de Galois, entao H1(G,S) e trivial. Ja osegundo diz que existe um isomorfismo entre o segundo grupo de cohomologias e o grupo de Brauerrelativo da extensao R ⊆ S. A exatidao da sequencia de acima implica nas seguintes generalizacoes parauma extensao de aneis comutativos com unidade:

Teorema 90 de Hilbert: Seja R ⊆ S e uma extensao de Galois tal que Pic(R) = 1, entaoH1(G,U(S)) = 1.

Teorema do Produto cruzado: Seja R ⊆ S e uma extensao de Galois com Pic(S) = 1, entaoH2(G,U(S)) ' B(S/R).

Em 1968, no artigo [4], foi dada uma construcao da sequencia de Chase-Harrison-Rosenberg fazendouso de produtos cruzados generalizados. A sequencia de Chase-Harrison-Rosenberg tambem foi conside-rada no contexto de aneis nao comutativos. Em 1973, motivado por [4] e [2], Y. Miyashita construiu noartigo [5] uma sequencia exata de sete termos para uma extensao de aneis nao comutativos com unidadeque generaliza a sequencia em [3]. Em 2012 a sequencia de Miyashita foi generalizada por L. El. Koutite J. Gomez-Torrecillas em [6] e [7]. Nestes trabalhos foi construıda uma sequencia exata de sete termospara uma extensao de aneis nao comutativos e nao unitais, apenas com um conjunto de unidades locais.

1

2 CAPITULO 1. INTRODUCAO

Uma versao da sequencia de Chase-Harrison-Rosenberg no contexto analıtico/topologico foi elaboradapor D. Crocker, I. Raeburn and D. Williams em [8].

O conceito de acoes parciais surgiu na teoria de algebra de operadores. No artigo de R. Exel [9] eintroduzida a nocao de uma acao parcial torcida de um grupo localmente compacto em uma C∗-algebrae produto cruzado correspondente a essa acao e e estabelecida a associatividade desse produto cruzado.Em [10] e dada uma correspondencia biunıvoca entre as acoes parciais de um grupo G em conjunto e asacoes globais de um semigrupo inverso construıdo a partir do grupo G (ver [10]). Os trabalhos de Exelinspiraram diversos outros estudos em torno de acoes parciais. Em particular, na tese de F. Abadie [11](vide tambem o artigo [12]) foi iniciada a pesquisa do problema de globalizacao de uma acao parcial α, i.e.,a questao de existencia de uma acao (global) β de tal forma que α seja uma restricao de β. Uma tal acaoβ, com uma restricao natural que serve para garantir unicidade, e chamada de acao envolvente para α. Oestudo de acoes parciais em um contexto puramente algebrico foi iniciado em 2005 por M. Dokuchaev e R.Exel em [13]. Nesse trabalho e associado a uma acao parcial um produto cruzado algebrico e obtido umresultado sobre sua associatividade. Tambem e dado um criterio para existencia de uma acao envolventepara uma acao parcial de um grupo sobre uma algebra associativa com unidade (ver [13, Teorema 4.5]).Em 2007, M. Dokuchaev, A. Paques e M. Ferrero generalizaram em [14] a teoria de Galois de Chase,Harrison e Rosenberg [2]. Em [14] e assumido que a acao parcial admite uma acao envolvente. Nessetrabalho sao dadas definicoes equivalentes para uma extensao de Galois de aneis comutativos, relacaoentre a extensao galoisina parcial de aneis comutativos e a extensao galoisiana envolvente e um Teoremafundamental. Posteriormente, em 2015, M. Dokuchaev e M. Khrypchenko desenvolveram em [15] a teoriade cohomologia parcial de grupos.

A sequencia de Chase-Harrison-Rosenberg e considerada tambem no contexto de acoes parciais. Em2015, usando a teoria de Galois parcial e de cohomologia parcial, M. Dokuchaev, A. Paques e H. Pi-nedo construıram em [16] uma sequencia de sete termos para uma extensao de Galois parcial de aneiscomutativos. A exatidao da sequencia construıda em [16] foi provada em [17].

Neste trabalho, construımos uma versao no contexto de acoes parciais da sequencia exata de setetermos dada por Miyashita em [5] para uma extensao de aneis nao comutativos com unidade.

O trabalho esta organizado da seguinte forma. No Capıtulo 2 encontram-se os conceitos basicos parao desenvolvimento do trabalho. Na Secao 2.1 demonstramos alguns resultados sobre modulos projetivosfinitamente gerados e grupo de Picard sobre um anel nao comutativo. Esses fatos sao conhecidos e saousados em [18] e [5], por exemplo, mas suas demonstracoes nao sao encontradas com tanta facilidade.Para aneis comutativos, esses resultados e suas demonstracoes sao encontradas por exemplo em [19],[20] e [21]. Na Secao 2.2 definimos o semigrupo de Picard de um anel nao comutativo. Esse semigrupofoi definido em [16] para aneis comutativos. Nas secoes seguintes sao apresentados alguns resultados edefinicoes de [5]. Algumas demonstracoes tambem foram acrescentadas nessas secoes, pois em [5] saoomitidos varios detalhes que sao importantes para o desenvolvimento do nosso trabalho.

No Capıtulo 3 relembramos o conceito de acoes parciais e representacoes parciais. Na Proposicao3.1.3 construımos uma acao parcial a partir de uma representacao parcial de G sobre um monoide S.Na Secao 3.2 definimos representacao parcial unital de G sobre PicS(R) e mostramos suas propriedades.A partir de uma representacao parcial unital construımos uma acao parcial sobre o centro do anel R(Proposicao 3.2.4), e uma acao parcial sobre PicS(R) que e um caso particular da acao parcial construıdana Proposicao 3.1.3. Na Secao 3.3 definimos o produto cruzado generalizado parcial que e um anelassociativo com unidade e pode ser visto como uma extensao do anel R. Na Observacao 3.3.13 mostramoscomo construir um produto cruzado generalizado parcial a partir de uma extensao de aneis R ⊆ S e umarepresentacao parcial unital sobre o monoide dos R-subbmodulos de S (ver Proposicao 3.3.11). Na secaoseguinte definimos o grupo C(Θ/R), onde Θ : G −→ PicS(R) e uma representacao parcial unital fixada,que e formado por classes de isomorfismo de produtos cruzados generalizados parciais que satisfazemalgumas condicoes (ver Proposicao 3.4.1). Para encerrar a secao destacamos o subgrupo C0(Θ/R) emostramos, no Teorema 3.4.3, o isomorfismo desse grupo com um segundo grupo de cohomologia parcial.

3

No Capıtulo 4 construımos a sequencia exata de sete termos, no contexto parcial, que generaliza asequencia em [5, Teorema 2.12]. Usamos o produto cruzado generalizado parcial associado a uma extensaode aneis com mesma unidade e uma representacao parcial unital para construir os morfismos e os gruposque aparecem na sequencia. A exatidao da sequencia e provada diretamente.

4 CAPITULO 1. INTRODUCAO

Capıtulo 2

Conceitos Basicos

Neste Capıtulo vamos apresentar alguns resultados que serao usados no nosso trabalho. Em todo otexto R denotara um anel (nao comutativo) com unidade e Z o seu centro. Na primeira secao vamosdemostrar alguns resultados sobre modulos projetivos finitamente gerados e grupo de Picard sobre umanel nao comutativo. Esses resultados sao conhecidos e, para aneis comutativos, suas demonstracoes saofacilmente encontradas nos textos basicos sobre modulos como por exemplo [19], [22], [20] e [21]. Ja nocaso de aneis nao comutativos, essas demonstracoes nao sao encontradas com tanta facilidade. Na Secao2.2 definimos o semigrupo de Picard generalizado de um anel nao comutativo R. Esse semigrupo foiintroduzido em [16] para o contexto de aneis comutativos. Nas secoes seguintes apresentamos algumasdefinicoes e resultados de [5] que serao usados ao longo do texto.

2.1 Modulos projetivos e o grupo de Picard

Seja R um anel com unidade. Dizemos que um R-modulo a direita M e unital se m · 1 = m, paratodo m ∈ M . Neste caso, temos que MR = M e que a aplicacao M ⊗R R −→ M , dada pela acao deR em M , e um isomorfismo de R-modulos. Analogamente definimos R-modulos unitais a esquerda. Emtodo o trabalho, estamos considerando apenas R-modulos unitais.

Definicao 2.1.1. Um R-modulo a direita P e chamado projetivo se dado qualquer diagrama

P

f

L

g // N // 0

de R-modulos a direita, onde g e sobrejetivo, existe um homomorfismo de R-modulos f∗ : P −→ L talque o diagrama

P

f

f∗

L

g // N // 0

e comutativo.

Proposicao 2.1.2. Seja P um R-modulo a direita. Sao equivalentes:

(i) P e projetivo.

5

6 CAPITULO 2. CONCEITOS BASICOS

(ii) Qualquer sequencia exata 0 −→M −→ N −→ P −→ 0 cinde.

(iii) P e somando direto de um R-modulo livre.

Demonstracao. [22, Proposicao 3.10].

Uma caracterizacao importante dos modulos projetivos e dada no Lema a seguir:

Lema 2.1.3 (Lema da Base dual). Seja M um R-modulo a direita. Entao, M e projetivo se, e somentese, existem conjuntos mii∈I ⊂M e fii∈I ⊂ HomR(M,R) tais que para qualquer m ∈M , fi(m) = 0a menos de um numero finito de i ∈ I e ∑

i∈Imifi(m) = m.

A colecao fi,mii∈I e chamada base dual de M .

Demonstracao. [20, Lema 2.9].

No caso em que temos modulos finitamente gerados, o Lema da base tem a seguinte versao:

Corolario 2.1.4. Um R-modulo a direita M e projetivo e finitamente gerado se, e somente se, existemmi ∈M e fi ∈ HomR(M,R) i = 1, 2, ..., n, tais que para todo m ∈M

n∑i=1

mifi(m) = m.

Se R e comutativo, entao todo R-modulo M (a direita ou a esquerda) pode ser visto como um R-bimodulo (central) via a acao central: rm = mr, para todo r ∈ R e m ∈M . Para aneis nao comutativosessa construcao nao e possıvel, ou seja, um R-modulo a direita nem sempre pode ser visto tambem comoum R-modulo a esquerda. A partir daqui vamos trabalhar com R-bimodulos.

Sejam M e N dois R-bimodulos, entao Hom(MR, NR) e Hom(RM,RN) sao R-bimodulos via:

(r · f)(m) = rf(m) e (f · r)(m) = f(rm), f ∈ Hom(MR, NR),m ∈M, r ∈ R, (2.1)

e(r · g)(m) = g(mr) e (g · r)(m) = g(m)r, g ∈ Hom(RM,RN),m ∈M, r ∈ R. (2.2)

Para um R-bimodulo M , vamos denotar ∗M = Hom(MR, RR) e M∗ = Hom(RM,RR). Esses conjun-tos sao R-bimodulos com as estruturas definidas em (2.1) e (2.2).

Lema 2.1.5. Seja P um R-bimodulo.

(i) Se P e R-modulo a direita projetivo e finitamente gerado com base dua pi, fii=1,2,...,n, entao ∗P eR-modulo a esquerda projetivo e finitamente gerado com base dual fi,Φii=1,2,...,n onde

Φi : ∗P −→ Rf 7−→ f(pi)

.

(ii) Se P e R-modulo a esquerda projetivo e finitamente gerado com base dual gi, pii=1,2,...,n, entaoP ∗ e R-modulo a direita projetivo e finitamente gerado com base dual gi,Ψi, onde

Ψi : P ∗ −→ Rg 7−→ g(pi)

.

2.1. MODULOS PROJETIVOS E O GRUPO DE PICARD 7

Demonstracao. (i) Dado r ∈ R temos

Φi(r · f) = (r · f)(pi) = rf(pi) = rΦi(f).

Logo, Φi ∈ (∗P )∗ = Hom(R∗P ,RR). Alem disso, para todo f ∈ ∗P temos

n∑i=1

(Φi(f) · fi)(p) =

n∑i=1

Φi(f)fi(p) =

n∑i=1

f(pi)fi(p)

=

n∑i=1

f(pifi(p)) = f(p),

para todo p ∈ P . Portanto, Φi, fii=1,2,...,n e uma base dual de ∗P como R-modulo a esquerda.

(ii) Analogo ao item (i).

Lema 2.1.6. Seja P um R-bimodulo. Entao:

(i) Se P e um R-modulo a direita projetivo e finitamente gerado, entao

ϕ : P ⊗R ∗P −→ End(PR)p⊗ f −→ (p′ 7→ pf(p′)),

e um isomorfismo de R-bimodulos.

(ii) Se P e R-modulo a esquerda projetivo e finitamente gerado, entao

ϕ′ : P ∗ ⊗R P −→ End(RP )f ⊗ p 7−→ (p′ 7→ f(p′)p),


Demonstracao. (i) Claramente ϕ esta bem definida e e R-linear a esquerda. Por outro lado, dador ∈ R, temos

ϕ(p⊗ f · r)(p′) = p(f · r)(p′) = pf(rp′) = ϕ(p⊗ f)(rp′) = (ϕ(p⊗ f) · r)(p′),

para todo p′ ∈ P . Logo, ϕ e R-linear a direita e portanto R-bilinear. Seja pi, fii=1,2,...,n uma base dual

de P . Dado f ∈ End(PR), temos que

n∑i=1

f(piw)⊗ fi ∈ P ⊗R ∗P e

ϕ

(n∑i=1

f(pi)⊗ fi

)(p′) =

n∑i=1

f(pi)fi(p′) =

n∑i=1

f(pifi(p′)) = f(p′),

para todo p′ ∈ P . Logo, ϕ

(n∑i=1

f(pi)⊗ fi

)= f e portanto ϕ e sobrejetora.

Vejamos que ϕ e injetora. Sejam p′l ∈ P e f ′l ∈ ∗P , com l = 1, 2, ..., k, tais que

k∑l=1

p′lf′l (p) = 0, para

todo p ∈ P. Entao,k∑l=1

p′l ⊗ f ′l =∑l,i

pifi(p′l)⊗ f ′l =

∑l,i

pi ⊗ fi(p′l) · f ′l = 0,


pois (k∑l=1

fi(p′l) · f ′l

)(p) =

k∑l=1

fi(p′l)f′l (p) =

k∑l=1

fi(p′lf′l (p)) = 0,

para todo p ∈ P . Portanto, ϕ e um isomorfismo de R-bimodulos.


Lema 2.1.7. Sejam P e Q R-bimodulos. Se P e Q sao R-modulos projetivos finitamente gerados adireita (a esquerda), entao P ⊗R Q e um R-modulo projetivo finitamente gerado a direita (a esquerda).

Demonstracao. Sejam P e Q R-bimodulos que sao projetivos e finitamente gerados como R-modulos adireita. Vamos considerar fi, pii=1,2,...,n uma base dual para P e gj , qjj=1,2,...,m uma base dual paraQ. Defina

Fi,j : P ⊗R Q −→ Rp⊗ q 7−→ gj(fi(p)q).

Claramente Fi,j esta bem definida e e R-linear a direita, ou seja, Fi,j ∈ ∗(P ⊗R Q). Alem disso, temos

n,m∑i,j=1

(pi ⊗ qj)Fi,j(p⊗ q) =

n,m∑i,j=1

(pi ⊗ qj)gj(fi(p)q) =

n,m∑i,j=1

pi ⊗ qjgj(fi(p)q)

=

n∑i=1

pi ⊗ fi(p)q =

n∑i=1

pifi(p)⊗ q = p⊗ q,

para todo p ∈ P e q ∈ Q. Logo, Fi,j , pi ⊗ qji,j e uma base dual para P ⊗R Q. Portanto, P ⊗R Q e umR-modulo a direita projetivo e finitamente gerado.

Lema 2.1.8. Sejam P e Q R-bimodulos.

(i) Se P e Q sao projetivos e finitamente gerados como R-modulos a direita, entao

η : ∗P ⊗R ∗Q −→ ∗(Q⊗R P )f ⊗ g 7−→ (q ⊗ p 7→ f(g(q))p)


(ii) Se P e Q sao projetivos e finitamente gerados como R-modulos a esquerda, entao

η′ : P ∗ ⊗R Q∗ −→ (Q⊗R P )∗

f ⊗ g 7−→ (q ⊗ p 7→ g(qf(p)))


Demonstracao. (i) Vejamos primeiro que η e um morfismo de R-bimodulos bem definido. Dado r ∈ R,temos

η(f ⊗ g)(q ⊗ pr) = f(g(q)pr) = f(g(q)p)r = η(f ⊗ g)(q ⊗ p)r.

Ou seja, η(f ⊗ g) ∈ ∗(Q⊗R P ). Temos tambem

η(f · r ⊗ g)(q ⊗ p) = (f · r)(g(q)p) = f(rg(q)p) = η(f ⊗ r · g)(q ⊗ p),


para todo r ∈ R, p ∈ P e q ∈ Q. Logo, η e R-balanceada e portanto bem definida. Claramente, η eR-linear a esquerda. Por outro lado,

η(f ⊗ g · r)(q ⊗ p) = f((g · r)(q)p) = f(g(rq)p) = (η(f ⊗ g) · r)(q ⊗ p),

para r ∈ R. Assim, η e R-linear a direita. Portanto, η e um morfismo de R-bimodulos bem definido.

Sejam pi, fii=1,2,...,n base dual para P e qj , gjj=1,2,...,m base dual de Q. Vamos mostrar que

∗(Q⊗R P ) −→ ∗P ⊗R ∗QF 7−→

∑i,j

F (qj ⊗ pi) · fi ⊗ gj

e a inversa de η. De fato, dado F ∈ ∗(Q⊗R P ), temos

η

∑i,j

F (qj ⊗ pi) · fi ⊗ gj

(q ⊗ p) =∑i,j

F (qj ⊗ pi)fi(gj(q)p) =∑i,j

F (qj ⊗ pifi(gj(q)p))

=∑j

F (qj ⊗ gj(q)p) =∑j

F (qjgj(q)⊗ p) = F (q ⊗ p),

para todo p ∈ P e q ∈ Q.

Por outro lado, dados f ∈ ∗P e g ∈ ∗Q, temos

f ⊗ g 7−→ (q ⊗ p 7→ f(g(q)p)) 7−→∑i,j

f(g(qj)pi)fi ⊗ gj

=∑i,j

(f · g(qj))(pi)fi ⊗ gj =∑j

f · g(qj)⊗ gj

=∑j

f ⊗ g(qj) · gj = f ⊗ g.

Portanto, η e isomorfismo de R-bimodulos.


Um R-modulo M a direita e dito plano se para qualquer sequencia exata de R-modulos a esquerda

0 −→ N ′ −→ N −→ N ′′ −→ 0

temos que a sequencia

0 −→M ⊗R N ′ −→M ⊗R N −→M ⊗R N ′′ −→ 0

e exata. Em particular, se f : N ′ −→ N e um isomorfismo de R-modulos a esquerda, entao M ⊗ f :M ⊗R N ′ −→ M ⊗R N tambem e isomorfismo de grupos abelianos. Analogamente definimos R-moduloa esquerda plano.

Proposicao 2.1.9. Todo modulo projetivo e plano.



Os idempotentes centrais do anel R tem um papel importante nesse trabalho. Vamos destacar aquium isomorfismo trivial que sera usando no proximos Capıtulos. Sejam e um idempotente central em Re M um R-bimodulo. Denotamos eM = m ∈ M ; em = m. Como e e central em R, entao eM e umR-subbimodulo de M . Alem disso, temos o isomorfismo de R-bimodulos

Re⊗RM −→ eMr ⊗m 7−→ rm.

(2.3)

cujo o inverso e dado poreM −→ Re⊗RMm 7−→ e⊗m.

Analogamente, Me = m ∈ M ; me = m e um R-subbimodulo de M e temos o isomorfismo de R-bimodulos

M ⊗R Re −→ Mem⊗ re 7−→ mre

.

Sejam M e N R-bimodulos, F : M −→ N um isomorfismo de R-bimodulo e e um idempotente centralem R. A restricao de F ao R-subbimodulo eM tambem e um isomorfismo de R-bimodulos entre eM eeN . Por abuso de notacao, vamos denotar essa restricao tambem por F .

Vamos agora definir o grupo de Picard para um anel nao comutativo. Essa definicao e feita atravesde R-bimodulos inversıveis e pode ser encontrada em [23].

Definicao 2.1.10. Um R-bimodulo P e dito ser inversıvel se existem um R-bimodulo Q e isomorfismosR-bilineares

Q⊗R Pr−→ R

l←− P ⊗R Q (2.4)

O R-bimodulo Q e chamado de inverso de P .

A proxima proposicao, que esta feita em um contexto um pouco mais geral, mostra que podemosescolher os isomorfismos r e l acima de tal forma que l⊗P = P ⊗ r e r⊗Q = Q⊗ l, ou seja, de tal formaque (R,R, P,Q, l, r) forme um contexto de Morita.

Proposicao 2.1.11. Sejam R e S aneis, P um R-S-bimodulo e Q um S-R-bimodulo com

l : P ⊗S Q −→ R e r : Q⊗R P −→ S

isomorfismos de R-bimodulos e S-bimodulos, respectivamente. Entao, os funtores

−⊗R P : mod−R −→ mod− S

−⊗S Q : mod− S −→ mod−Rformam uma equivalencia de categorias. Alem disso, podemos escolher os isomorfismos l e r de tal formaque os diagramas abaixo sejam comutativos

P ⊗S Q⊗R Pl⊗P //

P⊗r

R⊗R P

P ⊗S S // P

Q⊗R P ⊗S Qr⊗Q //

Q⊗l

S ⊗S Q

Q⊗R R // Q

(2.5)

Ou seja, tal quel(p⊗ q)p′ = pr(q ⊗ p′) e r(q ⊗ p)q′ = ql(p⊗ q′), (2.6)

para todos p, p′ ∈ P e q, q′ ∈ Q.


Demonstracao. Sejam M,M ′ ∈ mod−R e φ ∈ HomR(M,M ′). E facil ver que o diagrama

M ⊗R P ⊗S QM⊗l //

φ⊗P⊗SQ

M

φ

M ′ ⊗R P ⊗S Q

M ′⊗l// M ′

e comutativo. Logo, −⊗R P ⊗S Q ' Idmod−R. Analogamente, mostra-se que −⊗S Q⊗R P ' Idmod−S .Portanto, temos uma equivalencia de categorias.

Em particular, como P ⊗S Q ∈ mod−R e Q⊗R P ∈ mod− S temos os diagramas comutativos

P ⊗S Q⊗R P ⊗S QP⊗SQ⊗Rl //

l⊗RP⊗SQ

P ⊗S Q

l

R⊗R P ⊗S Q

l// R

Q⊗R P ⊗S Q⊗R PQ⊗RP⊗Sr //

r⊗SQ⊗RP

Q⊗R P

r

S ⊗S Q⊗R P r

// S

Entao,

P ⊗S Q⊗ l = l⊗R P ⊗S Q e Q⊗R P ⊗S r = r⊗S Q⊗R P. (2.7)

Segue que:

(P ⊗S r) (P ⊗S Q⊗R l⊗R P ) = (l⊗R P ) (P ⊗S r⊗S Q⊗R P ), (2.8)

(r⊗S Q) (Q⊗R l⊗R P ⊗S Q) = (Q⊗R l) (r⊗S Q⊗R P ⊗S Q). (2.9)

De fato, vamos verificar que vale (2.8). Sejam p, p′, p′′ ∈ P e q, q′ ∈ Q. Entao,

(P ⊗S r) (P ⊗S Q⊗R l⊗R P )(p⊗ q ⊗ p′ ⊗ q′ ⊗ p′′)(2.7)= (P ⊗S r) (l⊗R P ⊗S Q⊗R P )(p⊗ q ⊗ p′ ⊗ q′ ⊗ p′′)= (P ⊗S r)(l(p⊗ q)p′ ⊗ q′ ⊗ p′′)= l(p⊗ q)p′r(q′ ⊗ p′′)= (l⊗R P )(p⊗ q ⊗ p′r(q′ ⊗ p′′))= (l⊗R P ) (P ⊗S Q⊗R P ⊗S r)(p⊗ q ⊗ p′ ⊗ q′ ⊗ p′′).

Analogamente, mostra-se que vale (2.9).

Considere

l = l (P ⊗S r⊗S Q) (P ⊗S Q⊗R l−1).


Vejamos que substituindo l por l os diagramas em (2.5) sao comutativos:

l⊗R P = (l (P ⊗S r⊗S Q) (P ⊗S Q⊗R l−1))⊗R P= (l⊗R P ) (P ⊗S r⊗S Q⊗R P ) (P ⊗S Q⊗R l−1 ⊗R P )

(2.8)= (P ⊗S r) (P ⊗S Q⊗R l⊗R P ) (P ⊗S Q⊗R l−1 ⊗R P )

= P ⊗S r.

Analogamente,

Q⊗R l = Q⊗R (l (P ⊗S r⊗S Q) (P ⊗S Q⊗R l−1))

= (Q⊗R l) (Q⊗R P ⊗S r⊗S Q) (Q⊗R P ⊗S Q⊗R l−1)

(2.7)= (Q⊗R l) (r⊗S Q⊗R P ⊗S Q) (Q⊗R P ⊗S Q⊗R l−1)

(2.9)= (r⊗S Q) (Q⊗R l⊗R P ⊗S Q) (Q⊗R P ⊗S Q⊗R l−1)

(2.7)= (r⊗S Q) (Q⊗R P ⊗S Q⊗R l) (Q⊗R P ⊗S Q⊗R l−1)

= r⊗S Q.

Portanto, os diagramas (2.5) sao comutativos.

Analogamente, considerando r = r (Q⊗R l⊗R P ) (Q⊗R P ⊗S r−1) temos que

l⊗R P = P ⊗S r e Q⊗R l = r⊗S Q.

Denotamos por Pic(R) o conjunto das classes de isomorfismo dos R-bimodulos inversıveis. Entao,Pic(R) e um grupo, com a operacao induzida pelo produto tensorial sobre R e elemento neutro [R],chamado grupo de Picard do anel R. Se R e uma K-algebra, onde K e um anel comutativo, entaodenotamos por PicK(R) o subgrupo formado pelos elementos de Pic(R) que sao centrais como K-modulos, ou seja,

PicK(R) = [P ] ∈ Pic(R); kp = pk para todo k ∈ K e p ∈ P.

O proximo resultado, que e citado em [23], caracteriza os elementos do grupo de Picard.

Proposicao 2.1.12. Seja P um R-bimodulo. Sao equivalentes:

(i) P e inversıvel.

(ii) P e um R-modulo a direita projetivo, finitamente gerado e gerador e R ' End(PR) e um isomorfismode aneis via a acao a esquerda de R sobre P .

(iii) P e um R-modulo a esquerda projetivo, finitamente gerado e gerador e R ' End(RP ) e umisomorfismo de aneis via a acao a direita de R sobre P .

Demonstracao. (i)⇒ (ii) Seja Q o inverso de P e

Q⊗R Pr−→ R

l←− P ⊗R Q


Como l e um isomorfismo, entao existem pi ∈ P e qi ∈ Q, com i = 1, 2, ..., n, tais que

l

(n∑i=1

pi ⊗ qi

)= 1. (2.10)

Definafi : P −→ R

p 7−→ r(qi ⊗ p)∈ Hom(PR, RR),

para i = 1, 2, ..., n. Entao, para todo p ∈ P temos

n∑i=1

pifi(p) =

n∑i=1

pir(qi ⊗ p)(2.6)=

n∑i=1

l(pi ⊗ qi)p(2.10)

= 1p = p.

Logo, PR e um R-modulo projetivo e finitamente gerado.

Por r ser isomorfismo existem q′j ∈ Q e p′j ∈ P , com j = 1, 2, ...,m, tais que

r

m∑j=1

q′j ⊗ p′j

= 1. (2.11)

Defina f ′j ∈ Hom(PR, RR) por

f ′j : P −→ Rp 7−→ r(q′j ⊗ p)

∈ Hom(PR, RR).

Entao,m∑j=1

f ′j(p′j) =

m∑j=1

r(q′j ⊗ p′j)(2.11)

= 1.

Portanto, PR e um gerador.

Considere agoraϕ : R −→ End(PR)

r 7−→ (p 7→ rp).

Claramente ϕ esta bem definida. Seja r ∈ ker(ϕ), entao rp = 0, para todo p ∈ P . Temos

r = r1(2.10)

= rl

(n∑i=1

pi ⊗ qi

)= l

(n∑i=1

rpi ⊗ qi

)= 0.

Logo, ϕ e injetora. Considere agora f ∈ End(PR), entao r =

n∑i=1

l(f(pi)⊗ qi) ∈ R e temos

ϕ(r)(p) =

n∑i=1

l(f(pi)⊗ qi)p(2.6)=

n∑i=1

f(pi)r(qi ⊗ p) =

n∑i=1

f(pir(qi ⊗ p))

(2.6)=

n∑i=1

f(l(pi ⊗ qi)p)(2.10)

= f(1p) = f(p),

para todo p ∈ P . Logo, ϕ(r) = f e portanto ϕ e um isomorfismo.

(ii) ⇒ (i) Considere o R-bimodulo ∗P = Hom(PR, RR). Como PR e projetivo e finitamente gerado,segue do Lema 2.1.6 que P ⊗R ∗P ' R como R-bimodulos. Basta entao construir um isomorfismo de∗P ⊗R P ' R.


Por PR ser um gerador, existem fi ∈ ∗P e pi ∈ P , com i = 1, 2, ..., n tais que

n∑i=1

fi(pi) = 1. (2.12)

A aplicacaor : ∗P ⊗R P −→ R

f ⊗ p 7−→ f(p).

esta bem definida e e R-bilinear. De fato, dado r ∈ R temos que

r(f · r ⊗ p) = (f · r)(p) = f(rp) = r(f ⊗ rp),

para todo r ∈ R, p ∈ P e f ∈ ∗P . Logo, r esta bem definida. Agora, para todo r ∈ R, p ∈ P e f ∈ ∗Ptemos

r(r · f ⊗ p) = (r · f)(p) = rf(p) = rr(f ⊗ p).

r(f ⊗ pr) = f(pr) = f(p)r = r(f ⊗ p)r.

Portanto, r e R-bilinear.

Dado r ∈ R, temos

r

(n∑i=1

fi ⊗ pir

)=

n∑i=1

fi(pir) =

n∑i=1

fi(pi)r(2.12)

= 1r = r.

Logo, r e sobrejetora. Vejamos que r e injetora. Sejam p′l ∈ P e f ′l ∈ ∗P , com l = 1, 2, ..., k, tais

que

k∑l=1

f ′l (p′l) = 0. Defina θl,i : PR −→ PR ∈ End(PR) por θl,i(p) = p′lfi(p), para todo p ∈ P , com

i = 1, 2, ..., n e l = 1, 2, ..., k. Como End(PR) ' R, via a acao a esquerda de R sobre P , entao existeal,i ∈ R tal que θl,i(p) = al,ip, para todo p ∈ P . Entao, temos

k∑l=1

f ′l ⊗ p′l =∑l=1

f ′l ⊗ p′l1 =∑l,i

f ′l ⊗ p′lfi(pi) =∑l,i

f ′l ⊗ θl,i(pi)

=∑l,i

f ′l ⊗ al,ipi =∑l,i

f ′l · al,i ⊗ pi = 0,

pois, para todo p ∈ P , temos(k∑l=1

f ′l · al,i

)(p) =

k∑l=1

f ′l (al,ip) =

k∑l=1

f ′l (θl,i(p))

=

k∑l=1

f ′l (p′lfi(p)) =

k∑l=1

f ′l (p′l)fi(p) = 0.

Portanto, r e um isomorfismo de R-bimodulos.

(i)⇔ (iii) e completamente analogo.

Para referencia futura, vamos destacar os isomorfismos construıdos na Proposicao 2.1.12:

Observacao 2.1.13. Segue da prova da Proposicao 2.1.12 que se [P ] ∈ Pic(R), entao existem isomor-fismos de R-bimodulos


∗P ⊗R Pr−→ R

f ⊗ p 7−→ f(p), P ⊗R ∗P

l−→ End(PR) ' Rp⊗ f 7−→ (p′ 7→ pf(p′))

,

P ⊗R P ∗l′−→ R

p⊗ f 7−→ f(p)e P ∗ ⊗R P

r′−→ End(RP ) ' Rf ⊗ p 7−→ (p′ 7→ f(p′)p)

.

Observacao 2.1.14. Se [P ] ∈ Pic(R), por [24, Teorema 1.1], ∗P ' P ∗ como R-bimodulos. Pelademonstracao da Proposicao 2.1.12, temos que [∗P ] = [P ∗] = [P ]−1 em Pic(R). Em geral, vamos

denotar [P ]−1 = [P−1] e vamos considerar os isomorfismos P ⊗R P−1 l−→ Rr←− P−1⊗R P satisfazendo

as igualdades em (2.6).

Observacao 2.1.15. Se R e comutativo e [P ] ∈ PicR(R), entao P e um R-modulo projetivo, finitamentegerado e fiel. Por [19, Lema I.5.1] a existencia do isomorfismo R ' End(P ) e equivalente a rankR(P ) = 1.Portanto,

PicR(R) = [P ]; P e R-modulo (central) projetivo e finitamente gerado com posto 1.

E bem conhecido (ver, por exemplo, [20, pagina 35]) que para uma extensao de aneis comutativosR ⊆ S, se [P ] ∈ Pic(R), entao [P ⊗RS] ∈ Pic(S). Nos proximos resultados vamos mostrar uma condicaopara que o mesmo tambem seja valido para extensao de aneis nao comutativos. O proximo Lema foiapresentado em [25] (ver Equacoes 5.1 e 5.2) e da uma condicao para construir estrutura de S-bimoduloa partir de um R-bimodulo P e um S-bimodulo M .

Lema 2.1.16. Sejam R ⊆ S uma extensao de aneis com mesma unidade e P um R-bimodulo. Denotepor µ a multiplicacao em S.

(i) Seja ρ : S ⊗R P −→ P ⊗R S uma aplicacao R-bilinear tal que

(P ⊗ µ) (ρ⊗ S) (S ⊗ ρ) = ρ (µ⊗ P ) (2.13)

ρ(1⊗ p) = p⊗ 1, para todo p ∈ P, (2.14)

Se M e um S-modulo unital a esquerda, entao P ⊗RM tem uma estrutura de S-modulo a esquerdadada por

s ∗ (p⊗m) =

n∑i=1

pi ⊗ sim,

onde ρ(s ⊗ p) =

n∑i=1

pi ⊗ si. Alem disso, se M e um S-bimodulo unital, entao P ⊗R M e um

S-bimodulo unital, onde a estrutura de S-modulo a direita e dada pela estrutura de M .

(ii) Seja ρ′ : P ⊗R S −→ S ⊗R P uma aplicacao R-bilinear tal que

(µ⊗ P ) (S ⊗ ρ1′) (ρ′ ⊗ S) = ρ′ (P ⊗ µ) (2.15)

ρ(p⊗ 1) = 1⊗ p, para todo p ∈ P, (2.16)

Se M e um S-modulo unital a direita, entao M ⊗R RP tem uma estrutura de S-modulo a direitadada por

(m⊗ p) ∗ s =

n∑i=1

msi ⊗ pi,

onde ρ′(p ⊗ s) =

n∑i=1

si ⊗ pi. Alem disso, se M e um S-bimodulo unital, entao M ⊗R P e um

S-bimodulo unital, onde a estrutura de S-modulo a direita e dada pela estrutura de M .


Demonstracao. (i) Dados p ∈ P e s, s′ ∈ S denote

ρ(s⊗ p) =

n∑i=1

pi ⊗ si e ρ(s′ ⊗ pi) =

m∑j=1

pi,j ⊗ s′j .

Entao,

s′ ∗ (s ∗ (p⊗m)) = s′ ∗

(n∑i=1

pi ⊗ sim

)=∑i,j

pi,j ⊗ s′j(sim).

Por (2.13) temos

ρ(s′s⊗ p) = ρ (µ⊗ P )(s′ ⊗ s⊗ p)= (P ⊗ µ) (ρ⊗ S) (S ⊗ ρ)(s′ ⊗ s⊗ p)

=

n∑i=1

(P ⊗ µ) (ρ⊗ S)(s′ ⊗ pi ⊗ si)

=∑i,j

(P ⊗ µ)(pi,j ⊗ s′j ⊗ si)

=∑i,j

pi,j ⊗ s′jsi.

Entao,

(s′s) ∗ (p⊗m) =∑i,j

pi,j ⊗ (s′jsi)m =∑i,j

pi,j ⊗ s′j(sim) = s′ ∗ (s ∗ (p⊗m)).

Alem disso, por (2.14) temos1 ∗ (p⊗m) = p⊗ 1m = p⊗m.

Logo, P ⊗RM e um S-modulo a esquerda.

Suponha que M seja um S-bimodulo e considere em P ⊗R M a acao a direita induzida pela de M ,ou seja, (p⊗m) ∗ s = p⊗ms, para todo m ∈M,p ∈ P e s ∈ S. Assim, dados s, s′ ∈ S, p ∈ P e m ∈M ,

denote ρ(s⊗ p) =

n∑i=1

pi ⊗ si, entao

(s ∗ (p⊗m)) ∗ s′ =

(n∑i=1

pi ⊗ sim

)∗ s′ =

n∑i=1

pi ⊗ (sim)s′

=

n∑i=1

pi ⊗ si(ms′) = s ∗ (p⊗ms′)

= s ∗ ((p⊗m) ∗ s′).

Portanto, P ⊗RM e um S-bimodulo unital.


Exemplo 2.1.17. Seja P e um Z-bimodulo central. Como R e um Z-bimodulo central, entao existeum isomorfismo de Z-bimodulos ρ : R ⊗Z P −→ P ⊗Z R definido por ρ(r ⊗ p) = p ⊗ r. Vejamos que ρsatisfaz as condicoes do Lema 2.1.16. Sejam r, r′ ∈ R e p ∈ P , entao:

(P ⊗m) (ρ⊗R) (R⊗ ρ)(r ⊗ r′ ⊗ p) = (P ⊗m) (ρ⊗R)(r ⊗ p⊗ r′)= (P ⊗m)(p⊗ r ⊗ r′)= p⊗ rr′

= ρ(rr′ ⊗ p)= ρ (m⊗ P )(r ⊗ r′ ⊗ p).


Logo, ρ satisfaz (2.13). A condicoes (2.14) segue diretamente da definicao de ρ. Pelo Lema 2.1.16, paraqualquer R-bimodulo M , o produto tensorial P ⊗Z M tem estrutura de R-bimodulo definida por

r1 ∗ (p⊗m) ∗ r2 = p⊗ r1mr2,

para todo p ∈ P,m ∈M e r1, r2 ∈ R.

Lema 2.1.18. Sejam R ⊆ S uma extensao de aneis com mesma unidade, P um R-bimodulo unital eρ : S ⊗R P −→ P ⊗R S um morfismo de R-bimodulos que satisfaz as condicoes (2.13) e (2.14). Seja Mum S-bimodulo, entao existe um isomorfismo de S-bimodulos

η : (P ⊗R S)⊗S M −→ P ⊗RM(p⊗R s)⊗S m 7−→ p⊗R sm

,

onde P ⊗R S e P ⊗RM sao S-bimodulos com as acoes dados no Lema 2.1.16.

Demonstracao. Claramente η esta bem definida e e S-linear a direita. Dados s, s′ ∈ S, p ∈ P e m ∈M ,

denote ρ(s′ ⊗R p) =

n∑i=1

pi ⊗R s′i. entao,

η(s′ ∗ ((p⊗R s)⊗S m)) = η

(n∑i=1

pi ⊗R s′is⊗S m

)=

n∑i=1

pi ⊗R (s′is)m

=

n∑i=1

pi ⊗R s′i(sm) = s′ ∗ (p⊗R sm)

= s′η((p⊗R s)⊗S m).

Logo, η e S-bilinear. Sua inversa e dada por:

η−1 : P ⊗RM −→ (P ⊗R S)⊗S Mp⊗R m 7−→ p⊗R 1⊗S m.

De fato, sejam p ∈ P,m ∈M e s ∈ S, entao

η−1(η(p⊗R s⊗S m)) = η−1(p⊗R sm) = p⊗R 1⊗S sm = p⊗R s⊗S m.

Por outro lado,η(η−1(p⊗R m)) = η(p⊗R 1⊗S m) = p⊗R 1m = p⊗R m.

Portanto, η e isomorfismo de S-bimodulos.

Lema 2.1.19. Sejam R ⊆ S uma extensao de aneis com mesma unidade, [P ] ∈ Pic(R) e ρ : S⊗RP −→P ⊗R S um isomorfismo de R-bimodulos tal que ρ satisfaz as condicoes do Lema 2.1.16. Denote [P−1] o

inverso de [P ] em Pic(R) e P ⊗R P−1 l−→ Rr←− P−1 ⊗R P isomorfismos de R-bimodulos.

(i) Considere o isomorfismo de R-bimodulos ρ : S⊗R P−1 −→ P−1⊗R S induzido por ρ = P−1⊗ ρ−1⊗P−1, ou seja,

S ⊗R P−1 //

ρ

,,

R⊗R S ⊗R P−1 // P−1 ⊗R P ⊗R S ⊗R P−1

P−1⊗ρ−1⊗P−1

P−1 ⊗R S ⊗R P ⊗R P−1

P−1 ⊗R S


Suponha que ρ satisfaz as condicoes do Lema 2.1.16 e considere P−1 ⊗R S com a estrutura deS-bimodulo definida por ρ como no Lema 2.1.16. Seja Ψ : P ⊗R (P−1 ⊗R S) −→ S o isomorfismodefinido por

Ψ : P ⊗R (P−1 ⊗R S)P⊗ρ−1

−→ P ⊗R (S ⊗R P−1)ρ−1⊗P−1

−→ S ⊗R P ⊗ P−1 S⊗l−→ S,

ou seja, Ψ = (S ⊗ l) (ρ−1 ⊗ P−1) (P ⊗ ρ−1), entao

Ψ(p⊗ p⊗ s) = l(p⊗ p)s,

para todo s ∈ S, p ∈ P e p ∈ P−1.

(ii) Sejam s ∈ S, p ∈ P e p ∈ P−1. Considere

l∑k=1

l(pk ⊗ pk) = 1 e denote ρ(s ⊗ p) =

n∑i=1

pi ⊗ si e

ρ−1(pk ⊗ si) =

m∑j=1

si,j ⊗ pk,j. Entao,

sl(p⊗ p) =∑i,j,k

l(pi ⊗ pk)si,j l(pk,j ⊗ p). (2.17)

(iii) Ψ e isomorfismo de S-bimodulos.

(iv) [P ⊗R S] ∈ Pic(S).

Demonstracao. Dados s ∈ S e p ∈ P−1. Considere pl ∈ P e pl ∈ P−1, com l = 1, 2, ..., n, tais quen∑l=1

r(pl ⊗ pl) = 1. Denotando ρ−1(pl ⊗ s) =

m∑i=1

si ⊗ pl,i, temos

ρ(s⊗ p) =∑l,i

pl ⊗ sil(pl,i ⊗ p).

Sua inversa e dada por

ρ−1(p⊗ s) =∑k,j

r(p⊗ pk,j)sj ⊗ pk,

onde

l∑k=1

l(pk ⊗ pk) = 1 e ρ(s⊗ pk) =

m∑j=1

pk,j ⊗ sj .

(i) Sejam s ∈ S, p ∈ P e p ∈ P−1. Considere

n∑k=1

l(pk ⊗ pk) = 1 e denote ρ(s ⊗ pk) =

m∑j=1

pk,j ⊗ sj .


Entao,

p⊗ p⊗ s P⊗ρ−1

7−→∑k,j

p⊗ r(p⊗ pk,j)sj ⊗ pk

ρ−1⊗P−1

7−→∑k,j

ρ−1(pr(p⊗ pk,j)⊗ sj)⊗ pk

=∑k,j

ρ−1(l(p⊗ p)pk,j ⊗ sj)⊗ pk

=∑k,j

l(p⊗ p)ρ−1(pk,j ⊗ sj)⊗ pk

=∑k

l(p⊗ p)s⊗ pk ⊗ pk

S⊗l7−→∑k

l(p⊗ p)sl(pk ⊗ pk)

= l(p⊗ p)s.

Logo,

Ψ(p⊗ p⊗ s) = (S ⊗ l) (ρ−1 ⊗ P−1) (P ⊗ ρ−1)(p⊗ p⊗ s) = l(p⊗ p)s.

(ii) Vamos calcular Ψ−1(sl(p ⊗ p)): observe que Ψ−1 = (P ⊗ ρ) (ρ ⊗ P−1) (S ⊗ l−1). Entao, sen∑k=1

l(pk ⊗ pk) = 1, temos

sl(p⊗ p) S⊗l−1

7−→l∑

k=1

sl(p⊗ p)⊗ pk ⊗ pk =

l∑k=1

s⊗ l(p⊗ p)pk ⊗ pk

=

l∑k=1

s⊗ pr(p⊗ pk)⊗ pk =

l∑k=1

s⊗ p⊗ r(p⊗ pk)pk

=

l∑k=1

s⊗ p⊗ pl(pk ⊗ pk) = s⊗ p⊗ p

ρ⊗P−1

7−→n∑i=1

pi ⊗ si ⊗ pP⊗ρ7−→

∑i,j,k

pi ⊗ pk ⊗ si,j l(pk,j ⊗ p).

Ou seja, Ψ−1(sl(p⊗ p)) =∑i,j,k

pi ⊗ pk ⊗ si,j l(pk,j ⊗ p). Portanto,

sl(p⊗ p) = ΨΨ−1(sl(p⊗ p)) = Ψ

∑i,j,k

pi ⊗ pk ⊗ si,j l(pk,j ⊗ p)

=

∑i,j,k

l(pi ⊗ pk)si,j l(pk,j ⊗ p).

(iii) Basta verificar que Ψ e S-linear a esquerda. Sejam s, s′ ∈ S, p ∈ P e p ∈ P−1. Sejam pk ∈ P

e pk ∈ P−1, tais que

l∑k=1

l(pk ⊗ pk) = 1 e denote ρ(s′ ⊗ p) =

n∑i=1

pi ⊗ s′i e ρ−1(pk ⊗ s′i) =

l∑j=1

s′i,j ⊗ pk,j .


Entao, ρ(s′i ⊗ p) =∑k,l

pk ⊗ s′i,j l(pk,j ⊗ p). Assim,

Ψ(s′ ∗ (p⊗ (p⊗ s))) = Ψ

(n∑i=1

pi ⊗ s′i ∗ (p⊗ s)

)

= Ψ

∑i,j,k

pi ⊗ pk ⊗ s′i,j l(pk,j ⊗ p)s

=

∑i,j,k

l(pi ⊗ pk)s′i,j l(pk,j ⊗ p)s

(2.17)= s′l(p⊗ p)s = s′Ψ(p⊗ p⊗ s).

(iv) Pelo Lema 2.1.18 e pelo item (iii) temos os isomorfismos de S-bimodulos

(P ⊗R S)⊗S (P−1 ⊗R S) ' P ⊗R (P−1 ⊗R S) ' S.

Analogamente, (P−1 ⊗R S)⊗S (P ⊗R S) ' S como S-bimodulos. Portanto, [P ⊗R S] ∈ Pic(S).

2.2 O semigrupo de Picard generalizado

Seja R um anel com unidade. Dizemos que um R-bimodulo P e parcialmente inversıvel se

(i) P e um R-modulo projetivo e finitamente gerado como modulo a direita e a esquerda;

(ii) As aplicacoes

R −→ End(PR)r 7−→ (p 7→ rp)

eR −→ End(RP )r 7−→ (p 7→ pr)

sao sobrejetoras.

Vamos denotar por PicS(R) o conjunto das classes de isomorfismo de R-bimodulos parcialmente in-versıveis, ou seja,

PicS(R) = [P ], P e um R-bimodulo parcialmente inversıvel..

Proposicao 2.2.1. PicS(R) e um monoide com o produto [P ][Q] = [P ⊗R Q].

Demonstracao. Pelo Lema 2.1.7, temos que P ⊗R Q e projetivo e finitamente gerado com R-modulo adireita e a esquerda.

2.2. O SEMIGRUPO DE PICARD GENERALIZADO 21

Considere ψ dado pela cadeia de morfismos de R-bimodulos

R //

ψ

00

End(PR)ϕ−1

P // P ⊗R ∗P // P ⊗R R⊗R ∗P // P ⊗R End(QR)⊗R ∗P

P⊗ϕ−1Q ⊗

∗P

P ⊗R Q⊗R ∗Q⊗R ∗P

P⊗Q⊗η

P ⊗R Q⊗R ∗(P ⊗Q)

ϕP⊗Q

End(P ⊗R Q)

onde o ϕP , ϕQ e ϕP⊗Q sao isomorfismos como no Lema 2.1.6 e η e isomorfismo dado no Lema 2.1.8.Entao ψ e sobrejetor e e dado por

ψ(r)(p⊗ q) = rp⊗ q.

De fato, sejam pi, fii=1,...,n base dual de P como R-modulo a direita e qj , gjj=1,...,m base dual de Qcomo R-modulo a direita. Dado r ∈ R, temos:

r 7−→ (p 7→ rp) 7−→n∑i=1

rpi ⊗ fi 7−→n∑i=1

rpi ⊗ 1⊗ fi

7−→n∑i=1

rpi ⊗ IdQ ⊗ fi 7−→∑i,j

rpi ⊗ qj ⊗ gj ⊗ fi

7−→∑i,j

rpi ⊗ qj ⊗ ((p⊗ q) 7→ gj(fi(p)q))

7−→

p⊗ q 7→∑i,j

rpi ⊗ qjgj(fi(p)q)

=

[p⊗ q 7→

n∑i=1

rpi ⊗ fi(p)q

]

=

[p⊗ q 7→

n∑i=1

rpifi(p)⊗ q

]= [p⊗ q 7→ rp⊗ q].

Analogamente, ψ′ : R −→ End(RP ⊗Q) definida por

ϕ′(r)(p⊗ q) = p⊗ qr.

e sobrejetor. Logo, [P ⊗R Q] ∈ PicS(R). Claramente, [R] e o elemento neutro de PicS(R). Portanto,PicS(R) e um monoide.

Observacao 2.2.2. U(PicS(R)) = Pic(R).

Se R e uma K-algebra, onde K e um anel comutativo, denotamos PicSK(R) o subsemigrupo formadopelos [P ] ∈ PicS(R) que sao centrais como K-bimodulos.


Se R e comutativo, entao PicS(R) = PicSR(R) consiste das classes de isomorfismo de R-bimoduloscentrais projetivos, finitamente gerados e de posto menor ou igual a 1 (ver [16, Proposicao 3.6]). Alemdisso, por [16, Proposicao 3.8], temos que PicS(R) e um semigrupo inverso onde [P ]∗ = [P ∗], para todo[P ] ∈ PicS(R).

2.3 R-bimodulos similares

Sejam M e N R-bimodulos. Vamos denotar M |N se M e isomorfo, como R-bimodulo, a um somandodireto de uma potencia de N , ou seja, se existe um R-bimodulo M ′ tal que N (n) 'M ⊕M ′, para algumn ∈ N.

Essa relacao satisfaz as seguintes propriedades:

(i) Reflexiva: M |M .

(ii) Transitiva: Se M |N e N |T , entao M |T .

(iii) Compatibilidade com o produto tensorial: Se M |N e Q e um R-bimodulo, entao

(M ⊗R Q)|(N ⊗R Q) e (Q⊗RM)|(Q⊗R N).

De fato, se M |N entao N (n) 'M ⊕ T , para algum R-bimodulo T e n ∈ N. Entao

(N ⊗R Q)(n) ' (N ⊗R Q)⊕ (N ⊗R Q)⊕ · · · ⊕ (N ⊗R Q)

' (N ⊕N ⊕ · · · ⊕N)⊗R Q ' N (n) ⊗R Q' (M ⊕ T )⊗R Q ' (M ⊗R Q)⊕ (T ⊗R Q).

Logo, (M ⊗R Q)|(N ⊗R Q). Analogamente, temos que (Q⊗RM)|(Q⊗R N).

Observacao 2.3.1. Sejam M e N dois R-bimodulos. Entao M |N se, e somente se, existem morfismos

de R-bimodulos fi : M −→ N e gi : N −→M , com i = 1, 2, ..., n, tais que

n∑i=1

gi fi = IdM . De fato, se

M |N , entao existem n ∈ N e um R-bimodulo T tal que N (n) = M ⊕ T . Considere

fi : Mι→ N (n) πi

N e gi : Nιi→ N (n) π

M,

para i = 1, 2, ..., n, onde πi e ιi sao as projecoes e injecoes canonicas. Entao, fi e gi sao R-bilineares e

n∑i=1

gi fi =

n∑i=1

(π ιi πi ι) = π n∑i=1

(ιi πi) ι

= π idN(n) ι = IdM .

Reciprocamente, suponha que existem fi : M −→ N e gi : N −→ M , com i = 1, 2, ..., n, tais quen∑i=1

gi fi = IdM . Considere a sequencia exata

1 // Mf // N (n) // N

(n)

Im(f)// 1 , (2.18)

2.3. R-BIMODULOS SIMILARES 23

onde f : M −→ N (n) e definida por f(m) = (f1(m), ..., fn(m)). Considerando g : N (n) −→ M definidapor

g(x1, ..., xn) =

n∑i=1

gi(xi).

Assim, temos

(g f)(m) = g(f1(m), ..., fn(m)) =

n∑i=1

gi(fi(m)) = m.

Logo, a sequencia (2.18) cinde e portanto M e um somando direto de N (n).

Exemplo 2.3.2. (i) Se MR|RR (como R-modulos a direita), entao M e somando direto de R(n), paraalgum n ∈ N. Entao, pela Proposicao 2.1.2, temos que M e um R-modulo projetivo e finitamentegerado a direita.

(ii) Se RR|MR, entao MR e um gerador da categoria dos R-modulos a direita.

Observacao 2.3.3. Se M e um R-bimodulo tal que M |R, entao M e Z-bimodulo central. De fato, pelaObservacao 2.3.1 existem fi : M −→ R e gi : R −→ M , com i = 1, 2, ..., n, aplicacoes R-bilineares comn∑i=1

gifi = IdM . Seja m ∈ P e r ∈ Z, entao

mr =

n∑i=1

gi(fi(m))r =

n∑i=1

gi(fi(m)︸︷︷︸∈R

r) =

n∑i=1

gi(rfi(m)) =

n∑i=1

rgi(fi(m)) = rm.

Portanto, M e Z-bimodulo central.

Dizemos que M e N sao similares, e denotamos M ∼ N , se M |N e N |M . Claramente, ∼ e umarelacao simetrica. Entao, por (i) e (ii) acima, temos que ∼ e uma relacao de equivalencia.

Dado um R-bimodulo M vamos denotar por CM (R) = m ∈M, rm = mr para todo r ∈ R. Entao,CM (R) e um Z-bimodulo central.

Sobre um anel comutativo R, dados quaisquer dois R-bimodulos M,N existe um isomorfismo de R-bimodulos M ⊗RN ' N ⊗RM dado simplesmente por m⊗n 7→ n⊗m. Para aneis nao comutativos esseisomorfismo pode nao existir para quaisquer R-bimodulos. Os proximos resultados, que se encontram em[5], nos dao uma condicao para existencia desse isomorfismo para R-bimodulos sobre um anel nao comu-tativo. Vamos acrescentar as demonstracoes desses resultados, pois em [5] as demonstracoes aparecemcom poucos detalhes e esses sao fundamentais para a construcao dos isomorfismos.

Lema 2.3.4. [5, Lema 2.4] Seja M um R-bimodulo tal que M |R (como bimodulos), entao existe umisomorfismo de R-bimodulos M ' R⊗Z CM (R), onde a estrutura de R-bimodulo de R⊗Z CM (R) e dadacomo no Exemplo 2.1.17.

Demonstracao. Sejam fi : M −→ R, gi : R −→ M R-bilineares, com i = 1, 2, ..., n, e

n∑i=1

gifi = IdM .

Como gi e R-bilinear, entao gi(1) ∈ CM (R), para todo i = 1, 2, ..., n. Defina

η : M −→ R⊗Z CM (R)

m 7−→n∑i=1

fi(m)⊗Z gi(1).

Claramente η esta bem definida e e R-bilinear. Vejamos que

θ : R⊗Z CM (R) −→ Mb⊗Z m 7−→ bm


e a inversa de η. Seja m ∈M , entao

(θ η)(m) = θ

(n∑i=1

fi(m)⊗Z gi(1)

)=

n∑i=1

fi(m)gi(1) =

n∑i=1

gi(fi(m)) = m.

Por outro lado, observe que se m ∈ CM (R), entao fi(m) ∈ Z, pois

rfi(m) = fi(rm) = fi(mr) = fi(m)r, para todo r ∈ R.

Assim, dado r ∈ R e m ∈ CM (R) temos

(η θ)(r ⊗Z m) =

n∑i=1

fi(rm)⊗Z gi(1) =

n∑i=1

rfi(m)⊗Z gi(1)

=

n∑i=1

r ⊗Z fi(m)gi(1) =

n∑i=1

r ⊗Z gi(fi(m)1)

= r ⊗Z m.

Portanto, η e um isomorfismo.

Proposicao 2.3.5. [5, Corolario 3] Sejam M e N R-bimodulos. Se M |R e N |R, entao existe umisomorfismo de R-bimodulos

TM,N : M ⊗R N −→ N ⊗RM

x⊗ y 7−→n∑i=1

fi(x)y ⊗ gi(1),

onde fi : M −→ R, gi : R −→ M , com i = 1, 2, ..., n, sao R-bilineares e satisfazem

n∑i=1

gifi = IdM .

Por outro lado, se considerarmos f ′j : N −→ R, g′j : R −→ N , com j = 1, 2, ...,m, R-bilineares tais quem∑j=1

g′jf′j = IdN , entao o isomorfismo TM,N tambem pode ser escrito por:


x⊗ y 7−→m∑j=1

g′j(1)⊗ xf ′j(y).

Demonstracao. O isomorfismo TM,N e dado pela composta

M ⊗R N //

TM,N

//

R⊗Z CM (R)⊗R R⊗Z CN (R) // R⊗Z CM (R)⊗Z CN (R)

R⊗Z CN (R)⊗Z CM (R)

R⊗Z CN (R)⊗R R⊗Z CM (R)

N ⊗RM

2.3. R-BIMODULOS SIMILARES 25

Pelo Lema 2.3.4 temos que o isomorfismo TM,N e dado por:

x⊗R y 7→n,m∑i,j=1

fi(x)⊗Z gi(1)⊗R f ′j(y)⊗Z g′j(1) 7→n,m∑i,j=1

fi(x)f ′j(y)⊗Z gi(1)⊗Z g′j(1)

7→n,m∑i,j=1

fi(x)f ′j(y)⊗Z g′j(1)⊗Z gi(1) 7→n,m∑i,j=1

fi(x)f ′j(y)⊗Z g′j(1)⊗R 1⊗Z gi(1)

?7→n,m∑i,j=1

fi(x)f ′j(y)g′j(1)⊗R gi(1) =

n,m∑i,j=1

fi(x)g′j(f′j(y))⊗R gi(1)

=

n∑i=1

fi(x)y ⊗R gi(1).

Temos portanto o isomorfismo de R-bimodulos


x⊗ y 7−→n∑i=1

fi(x)y ⊗ gi(1).

Para a segunda expressao de TM,N , basta seguir de (?) com as igualdades:

x⊗R y?7→

n,m∑i,j=1

fi(x)f ′j(y)g′j(1)⊗R gi(1)

=

n,m∑i,j=1

g′j(1)fi(x)f ′j(y)⊗R gi(1) =

n,m∑i,j=1

g′j(1)⊗R fi(x)f ′j(y)gi(1)

=

n,m∑i,j=1

g′j(1)⊗R fi(x)gi(1)f ′j(y) =

n,m∑i,j=1

g′j(1)⊗R gi(fi(x))f ′j(y)

=

m∑j=1

g′j(1)⊗R xf ′j(y).

Entao, temos que o isomorfismo TM,N tambem pode ser escrito como

TM,N (x⊗ y) =

m∑j=1

g′j(1)⊗R xf ′j(y).

Corolario 2.3.6. Sejam M e N R-bimodulos tais que M |R e N e Z-bimodulo central. Entao, existeum isomorfismo de R-bimodulos M ⊗R N ' N ⊗RM .

Demonstracao. Analogo a demonstracao do Lema 2.3.4 temos a cadeia de isomorfismos de R-bimodulos

N ⊗RM ' N ⊗R R⊗Z CM (R) ' N ⊗Z CM (R)

' CM (R)⊗Z N ' CM (R)⊗Z R⊗R N' M ⊗R N.

Analogo a demonstracao da Proposicao 2.3.5, esse isomorfismo e dado por

TN,M : N ⊗RM −→ M ⊗R N

⊗m 7−→n∑i=1

gi(1)⊗ nfi(m),


onde fi : M −→ R e gi : R −→M sao como na Observacao 2.3.1.

Nos proximos exemplos vamos construir o isomorfismo T−,− em alguns casos particulares que seraoutilizados nos proximos Capıtulos.

Exemplo 2.3.7. Seja e um idempotente central em R, entao Re e um somando direto de R, em particu-lar, Re|R. Se M e Z-bimodulo central, entao existe um isomorfismo de R-bimodulos Re⊗RM 'M⊗RRe.Observe que a inclusao e a projecao canonica i : Re −→ R e π : R −→ Re satisfazem as condicoes daObservacao 2.3.1, entao temos os isomorfismos

Re⊗RM −→ M ⊗R Rere⊗m −→ rm⊗ e e

M ⊗R Re −→ Re⊗RMm⊗ re −→ e⊗mr

Exemplo 2.3.8. Sejam M e N R-bimodulos tais que N |R e existe um isomorfismo de R-bimodulosf : M −→ R. Em particular, M |R. Observe que o isomorfismo de R-bimodulos f : M −→ R e suainversa f−1 : R −→ M satisfazem a condicao da Observacao 2.3.1, entao o isomorfismo TM,N pode serescrito como

TM,N : M ⊗R N −→ N ⊗RMm⊗ n 7−→ f(m)n⊗ f−1(1)

2.4 O grupo P(S/R)

Sejam R ⊆ S uma extensao de aneis com mesma unidade. Vamos denotar M(S/R) o conjunto dos

elementos P [φ] +3 X , onde P um R-bimodulo, X um S-bimodulo e φ : P −→ X uma aplicacaoR-bilinear tal que as aplicacoes

φr : P ⊗R S −→ Xp⊗R s −→ φ(p)s

eφl : S ⊗R P −→ X

s⊗R p −→ sφ(p)(2.19)

sao isomorfismos deR-S-bimodulos e S-R-bimodulos, respectivamente. Dados P [φ] +3 X e Q [ψ] +3 Y

em M(S/R), definimos o elemento P ⊗R Q [φ⊗ψ] +3 X ⊗S Y , onde

φ⊗ ψ : P ⊗R Q −→ X ⊗S Yp⊗ q 7−→ φ(p)⊗ ψ(q).

Afirmacao 2.4.1. [P ⊗R Q] [φ⊗ψ] +3 [X ⊗S Y ] ∈M(S/R).

De fato, temos o isomorfismo de S-R-bimodulos

S ⊗R P ⊗R Qφl⊗Q //

00

X ⊗R Qφ−1r ⊗Q // P ⊗R S ⊗R Q

P ⊗R S ⊗S S ⊗R Q

φr⊗ψr

X ⊗S Y

Observe agora que dado p ∈ P , q ∈ Q e s ∈ S, entao

s⊗ p⊗ q 7→ sφ(p)⊗ q 7→ φ−1r (sφ(p))⊗ q

7→ φ−1r (sφ(p))⊗S 1⊗ q 7→ sφ(p)⊗S ψ(q)

= (φ⊗ ψ)l(s⊗ p⊗ q).

2.4. O GRUPO P(S/R) 27

Logo, (φ⊗ ψ)l e isomorfismo de S-R-bimodulo. Analogamente mostra-se que (φ⊗ ψ)r e isomorfismo de

R-S-bimodulos. Essa operacao e claramente associativa e R [ι] +3 S , onde ι denota a inclusao de Rem S, e o elemento neutro.

Um morfismo entre P [φ] +3 X e Q [ψ] +3 Y e um par (α, β), onde α : P −→ Q e R-bilinear,β : X −→ Y e S-bilinear e o diagrama

Pφ //

α

X

β

Q

ψ// Y.

e comutativo. Se α e β sao isomorfismos de R-bimodulos e S-bimodulos, respectivamente, entao (α, β) e

um isomorfismo entre P [φ] +3 X e Q [ψ] +3 Y .

Vamos denotar por P(S/R) o conjunto das classes de isomorfismos dos elementos [P ] [φ] +3 [X] ,

onde [P ] ∈ Pic(R) e [X] ∈ Pic(S).

Proposicao 2.4.2. Seja R ⊆ S uma extensao de aneis com mesma unidade. Considere [P ] ∈ Pic(R),[X] ∈ Pic(S) e φ : P −→ X uma aplicacao R-bilinear. Suponha que φl e isomorfismo. Entao:

i) φr e isomorfismo.

ii) φ e injetora.

iii) [P ∗] [φ∗] +3 [X∗] ∈ P(S/R), onde φ∗(f)(sφ(p)) = sf(p), para s ∈ S e p ∈ P .

iv) [∗P ] [φ+] +3 [X∗] ∈ P(S/R), onde φ+(g)(φ(p)s) = g(p)s, para s ∈ S e p ∈ P .

v) ( [P ∗] [φ∗] +3 [X∗] ) = ( [∗P ] [φ+] +3 [∗X] ) em P(S/R).

Demonstracao. [18, Lema 3.1].

Observacao 2.4.3. (i) Na Proposicao 2.4.2, se supormos que φr e isomorfismo, ao inves de φl, tambemchega-se a conclusao que φl e isomorfismo e φ injetora.

(ii) Segue Proposicao 2.4.2 que se [P ] ∈ Pic(R) e [X] ∈ Pic(S), entao [P ] [φ] +3 [X] ∈ P(S/R) se

φl (ou φr) e isomorfismo.

Proposicao 2.4.4. P(S/R) e um grupo.

Demonstracao. Basta mostrar que cada elementos em P(S/R) possui um inverso. Dado [P ] [φ] +3 [X] ∈P(S/R), pela Proposicao 2.4.2, [P ∗] [φ∗] +3 [X∗] tambem pertence a P(S/R). E facil ver que o dia-


grama abaixo e comutativo

P ⊗R P ∗ //

X ⊗S X∗

R

ι// S

onde os isomorfismos na vertical sao dados como na Observacao 2.1.13. Logo, [P ∗] [φ∗] +3 [X∗] e o

inverso de [P ] [φ] +3 [X] em P(S/R).

Se R e um K-algebra definimos PK(S/R) = [P ] [φ] +3 [X] ∈ P(S/R); [P ] ∈ PicK(R). E facil

ver que PK(S/R) e um subgrupo de P(S/R). De fato, basta ver que se P e K-bimodulo central, entaoP ∗ tambem e. Sejam k ∈ K e f ∈ P ∗, entao

(f · k)(p) = f(p)k = kf(p) = f(kp) = f(pk) = (k · f)(p),

para todo p ∈ P . Portanto, [P ∗] ∈ PicK(R).

2.5 Uma sequencia exata auxiliar

Nesta secao vamos apresentar a sequencia exata que foi construıda em [5, Teorema 1.5]. Essa sequenciasera usada na construcao da nossa sequencia no Capıtulo 4. Vamos colocar a demonstracao completa daexatidao ja que na prova apresentada em [5] sao omitidos detalhes importantes que serao usados maisadiante.

Seja R ⊆ S uma extensao de aneis com mesma unidade. Vamos denotar por AutR−rings(S) o grupo

dos automorfismos do anel S que fixam cada elemento de R. Entao,

F : U(Z) −→ AutR−rings(S)

r 7−→ (s 7→ rsr−1)

e um morfismo de grupos.

Dado f ∈ AutR−rings(S), definimos o S-bimodulo Sf por: Sf = S, como grupos, e acoes dadas por:

s′ ∗ t = s′t e t ∗ s = tf(s), para s, s′ ∈ S, t ∈ Sf .

Entao,E : AutR−rings(S) −→ P(S/R)

f 7−→ ( [R] [ιf ] +3 [Sf ] ),

onde ιf : R −→ Sf e a inclusao, e um morfismo de grupos.

Teorema 2.5.1. A sequencia

U(Z)F−→ AutR−rings(S)

E−→ P(S/R)ϑ−→ Pic(R),

onde ϑ( [P ] [φ] +3 [X] ) = [P ], e exata.

2.5. UMA SEQUENCIA EXATA AUXILIAR 29

Demonstracao. Vejamos a exatidao em AutR-rings(S). Seja f ∈ AutR-rings(S) tal que ( [R] [ιf ] +3 [Sf ] ) =

( [R] [ι] +3 [S] ) em P(S/R). Temos entao o diagrama comutativo

Rι //

β

S

α

R

ιf// Sf

onde α e um isomorfismo de S-bimodulos. Pela comutatividade do diagrama, temos que R = α(R). Sejad = α−1(1) ∈ R. Por α ser isomorfismo de S-bimodulos e f(r) = r, para todo r ∈ R, temos que d ∈ U(Z).Alem disso,

df(s) = d ∗ s = α−1(1) ∗ s = α−1(s) = sα−1(1) = sd,

para todo s ∈ S. Logo, f(s) = d−1sd = F(d−1)(s), para todo s ∈ S. Ou seja, F(d−1) = f . Logo,f ∈ Im(F).

Seja f ∈ Im(F), entao existe r ∈ U(Z) tal que f(s) = rsr−1, para todo s ∈ S. Seja ω : S −→ Sfdefinido por ω(s) = sr−1. Claramente, ω e isomorfismo e S-linear a esquerda. Dados s, s′ ∈ S, temos

ω(ss′) = ss′r−1 = sr−1rs′r−1 = sr−1f(s′) = ω(s) ∗ s′.

Portanto, ω e isomorfismo de S-bimodulos. Considere o isomorfismo de R-bimodulos λ : R −→ R,definido por λ(x) = xr−1. Entao, o diagrama

Ri //

λ

S

ω

R

if// Sf

e comutativo. Logo, E(f) = ( [R] [ιf ] +3 [Sf ] ) = ( [R] [ι] +3 [S] ) em P(S/R). Portanto, f ∈ ker(E).

Para a exatidao em P(S/R), considere ( [P ] [φ] +3 [X] ) ∈ P(S/R) com [P ] = [R] em Pic(R).

Assim existe um isomorfismo R-bilinear γ : R −→ P . Entao, temos os seguintes isomorfismos de (R,S)-bimodulos e (S,R)-bimodulo

α : S'−→ R⊗R S

γ⊗RS−→ P ⊗R Sφr−→ X

β : S'−→ S ⊗R R

S⊗Rγ−→ S ⊗R Pφl−→ X

Observe que α(s) = φ(γ(1))s e β(s) = sφ(γ(1)), para s ∈ S. Defina f = β−1 α : S −→ S. Entao, pordefinicao temos

f(s)φ(γ(1)) = β(f(s)) = α(s) = φ(γ(1))s, (2.20)

para todo s ∈ S. Entao, para s, t ∈ S temos

α(st) = φ(γ(1))st(2.20)

= f(s)φ(γ(1))t

(2.20)= f(s)f(t)φ(γ(1))

= β(f(s)f(t)).


Aplicando β−1 temos que f(st) = f(s)f(t). Alem disso, como φ e γ sao R-bilineares temos que

α(r) = φ(γ(1))r = φ(γ(r)) = rφ(γ(1)) = β(r),

para todo r ∈ R. Aplicando β−1 temos que f(r) = r, para todo r ∈ R. Logo, f ∈ AutR-rings(S).

Considere β : Sf −→ X. Claramente β e S-linear a esquerda. Dado t ∈ S e s ∈ Sf temos

β(s ∗ t) = β(sf(t)) = sf(t)φ(γ(1))

(2.20)= sφ(γ(1))t = β(s)t.

Logo, β : Sf −→ X e um isomorfismo S-bilinear. Alem disso, por β(r) = (φ γ)(r), para todo r ∈ R,temos que o diagrama abaixo e comutativo

Rif //

γ

Sf

β

P

φ// X

Assim, E(f) = ( [R] [ιf ] +3 [Sf ] ) = ( [P ] [φ] +3 [X] ) em P(S/R). Logo, ker(ϑ) ⊆ Im(E). A inclusao

contraria e imediata.

Capıtulo 3

Fundamentos sobre acoes erepresentacoes parciais

Neste Capıtulo vamos construir as acoes parciais que serao usadas na construcao dos grupos dasequencia. Para cada representacao parcial unital (ver Secao 3.2 ) de G em PicS(R) temos uma acaoparcial sobre o centro do anel, que sera denotado por Z, e sobre PicSZ(R) (subsecao 3.2.1). Na Secao 3.3definimos o produto cruzado generalizado parcial que tambem e construıdo a partir de uma representacaoparcial unital de G em PicS(R). Esse conceito foi introduzido em [17] para uma extensao de Galois parcialde aneis comutativos. Na subsecao 3.3.1, relacionamos o produto cruzado generalizado parcial com umaextensao de aneis R ⊆ S com mesma unidade. Na ultima secao desse capıtulo, construımos o grupoC(Θ/R), para uma representacao parcial unital Θ : G −→ PicS(R) fixada, e o subgrupo C0(Θ/R).

Vamos comecar relembrando na Secao 3.1 o conceito de acoes parciais, representacoes parciais ecohomologia parcial que podem ser vistos com mais detalhes em [13], [26] e [15].

A menos de mencao contraria, todo os tensores serao tomados sobre o anel R.

3.1 Acoes parciais, representacoes parciais e cohomologia par-cial.

Definicao 3.1.1. Sejam G um grupo e S um semigrupo. Uma acao parcial de G sobre S e uma colecaode subsemigrupos Sx, com x ∈ G, e isomorfismos de semigrupos αx : Sx−1 −→ Sx que satisfazem ascondicoes:

(i) S1 = S e α1 = IdS,

(ii) α−1y (Sy ∩ Sx−1) ⊆ S(xy)−1 ,

(iii) αx αy(s) = αxy(s), para cada s ∈ α−1y (Sy ∩ Sx−1).

Vamos denotar por α = (Sx, αx) uma acao parcial de G sobre S, onde Sx sao os subsemigrupos eαx sao os isomorfismos. Como visto em [13], as condicoes (ii) e (iii) da definicao acima implicam queα−1x = αx−1 e

αx(Sx−1 ∩ Sy) = Sx ∩ Sxy, para todo x, y ∈ G. (3.1)

31

32 CAPITULO 3. FUNDAMENTOS SOBRE ACOES E REPRESENTACOES PARCIAIS

Se cada Sx e gerado por um idempotente central de S, ou seja, Sx = S1x, para todo x ∈ G, entaoSx ∩ Sy = S1x1y e por (3.1) temos αx(1y1x−1) = 1x1xy, para todo x, y ∈ G. Como uma consequenciadessa igualdade temos:

αxy(s1y−1x−1)1x = αx(αy(s1y−1)1x−1), para todo x, y ∈ G r s ∈ S.

De fato,

αx(αy(s1y−1)1x−1) = αx(αy(s1y−1)1y1x−1) = αx(αy(s1y−1)αy(1y−11y−1x−1))

= αx(αy(s1y−11y−11y−1x−1)) = αx(αy(s1y−11y−1x−1))

= αxy(s1y−11y−1x−1) = αxy(s1y−1x−11y−11y−1x−1)

= αxy(s1y−1x−1)αxy(1y−11y−1x−1)

= αxy(s1y−1x−1)1xy1x

= αxy(s1y−1x−1)1x.

O subconjunto dos invariantes de S sobre α e definido por

Sα = s ∈ S; αx(s1x−1) = s1x, para todo x ∈ G.

Definicao 3.1.2. Uma representacao parcial de G em um monoide S e uma aplicacao

θ : G −→ Sx 7−→ θx

que satisfaz as seguintes propriedades:

(i) θ1G= 1S,

(ii) θxθyθy−1 = θxyθy−1 , para todos x, y ∈ G.

(iii) θx−1θxθy = θx−1θxy, para todos x, y ∈ G.

Segue diretamente da definicao que θxθx−1θx = θx, para todo x ∈ G. Para cada x ∈ G denoteεx = θxθx−1 . Por [26] temos que ε′xs sao idempotentes que comutam e satisfazem

θxεy = εxyθx para todos x, y ∈ G. (3.2)

Em particular,

εxθx = θx e θxεx−1 = θx, para todo x ∈ G. (3.3)

Segue da definicao que

θxθy = θxθx−1θxθy = θxθx−1θxy = εxθxy, para todos x, y ∈ G. (3.4)

Aplicando (3.2) a (3.4) temos

θxθy = εxθxy = θxyεy−1 , para todos x, y ∈ G. (3.5)

Proposicao 3.1.3. Sejam S um monoide e θ : G −→ S uma representacao parcial. Considere osubsemigrupo Sx = εxSεx, para x ∈ G. Entao, temos uma acao parcial α∗ = (Sx, α

∗x), onde

α∗x : Sx−1 −→ Sxs 7−→ θxsθx−1 .

3.1. ACOES PARCIAIS, REPRESENTACOES PARCIAIS E COHOMOLOGIA PARCIAL. 33

Demonstracao. Claramente S1 = S e α∗1 = IdS . Observe que s ∈ Sx se, e somente se, εxsεx = s. Defato, claramente se s = εxsεx, entao s ∈ Sx. Por outro lado, se s ∈ Sx, entao s = εxs

′εx, para algums′ ∈ S, entao εxsεx = εxεxs

′εxεx = εxs′εx = s. O que mostra a afirmacao.

Por (3.3), temosα∗x(s) = θxsθx−1 = εxθxsθx−1εx = εxα

∗x(s)εx.

Assim, α∗x(s) ∈ Sx. Dados s, s′ ∈ Sx−1 , temos

α∗x(ss′) = θxss′θx−1 = θxsεx−1s′θx−1 = θxsθx−1θxs

′θx−1 = α∗x(s)α∗x(s′).

Logo, α∗x e um morfismo de semigrupos. Considere α∗x−1 : Sx −→ Sx−1 . Dado s ∈ Sx−1 temos

(α∗x−1 α∗x)(s) = α∗x−1(θxsθx−1) = θx−1θxsθx−1θx

= εx−1sεx−1 = s,

pois s ∈ Sx−1 . Analogamente, (α∗x α∗x−1)(s) = s, para todo s ∈ Sx. Entao, α∗x e isomorfismo com inversoα∗x−1 .

Seja s ∈ Sy ∩ Sx−1 , entao

α∗y−1(s) = θy−1sθys∈Sx−1

= θy−1εx−1sεx−1θy

(3.2)= ε(xy)−1θy−1sθyε(xy)−1 ∈ S(xy)−1 .

Logo, temos α∗y−1(Sy ∩ Sx−1) ⊆ S(xy)−1 . Seja s ∈ α∗y−1(Sy ∩ Sx−1) ⊆ S(xy)−1 ∩ Sy−1 , por (3.4) e (3.5)temos:

(α∗x α∗y)(s) = α∗x(θysθy−1) = θxθysθy−1θx−1

= θxyεy−1sεy−1θy−1x−1

= θxysθy−1x−1

= α∗xy(s).

Portanto, α∗ e uma acao parcial.

A nocao de cohomologia parcial foi introduzida em [15]. SejamK um anel (ou um monoide) comutativoe α = (Dx, αx) uma acao parcial unitaria de G sobre K, onde cada Dx e um ideal de K gerado por umidempotente central 1x. Uma n-cocadeia, com n ∈ N, de G com valores em K e uma funcao f : Gn −→ Ktal que f(x1, ..., xn) ∈ U(K1x1x1x2 ...1x1x2...xn). Uma 0-cocadeia e definida como sendo um elemento emU(K).

Seja Cn(G,α,K) o conjunto de todas as n-cocadeias deG com valores emK. Considere em Cn(G,α,K)a multiplicacao definida ponto a ponto, ou seja, se f, g ∈ Cn(G,α,K), entao

fg(x1, ..., xn) = f(x1, ..., xn)g(x1, ..., xn), para x1, ..., xn ∈ G.

Entao, Cn(G,α,K) e um grupo, onde o elemento neutro e I(x1, ..., xn) = 1x11x1x2 ...1x1x2...xn e f−1(x1, ..., xn) =f(x1, ..., xn)−1, para x1, ..., xn ∈ G.

Seja f ∈ Cn(G,α,K) e x1, ..., xn, xn+1 ∈ G. Defina

(δnf)(x1, ..., xn+1) = αx1(f(x2, ..., xn+1)1x−11

)

n∏i=1

f(x1, ..., xixi+1, ..., xn+1)(−1)i

f(x1, ..., xn)(−1)n+1

. (3.6)


Para n = 0 definimos(δ0k)(x) = αx(k1x−1)k−1, onde k ∈ U(K).

Proposicao 3.1.4. A aplicacao δn : Cn(G,α,K) −→ Cn+1(G,α,K) definida em (3.6) e um morfismode grupos tal que

(δn+1 δn)(f)(x1, ..., xn+2) = 1x11x1x2

...1x1x2...xn+2,

para todo f ∈ Cn(G,α,K) e x1, ..., xn+1 ∈ G.


Como no caso classico, vamos definir

Zn(G,α,K) = ker(δn) e Bn(G,α,K) = Im(δn−1)

que sao chamados de n-cociclos e n-cobordos parciais. Pela Proposicao 3.1.4, temos que Bn(G,α,K) ⊆Zn(G,α,K). Definimos entao o grupo n-cohomologia parcial por

Hn(G,α,K) =Zn(G,α,K)

Bn(G,α,K).

Para n = 0 definimos H0(G,α,K) = Z0(G,α,K) = ker(δ0).

No proximo exemplo vamos descrever o morfismo δn e os grupos Zn(G,α,K) e Bn(G,α,K), paran = 0, 1, 2.

Exemplo 3.1.5. Para n = 0 temos

H0(G,α,Z) = Z0(G,α,Z) = k ∈ U(K), αx(k1x−1) = k1x, ∀ x ∈ G

B1(G,α,K) = Im(δ0) = f ∈ C1(G,α,K);∃ k ∈ U(K) f(x) = αx(k1x−1)k−1, ∀ x ∈ G.

Para n = 1, temos (δ1f)(x, y) = αx(f(y)1x−1)f(xy)−1f(x), para f ∈ C1(G,α,K). Entao,

Z1(G,α,K) = f ∈ C1(G,α,K);αx(f(y)1x−1)f(x) = f(xy)1x, ∀ x, y ∈ G.

B2(G,α,K) = f ∈ C2(G,α,K);∃ σ ∈ C1(G,α,K), com f(x, y) = αx(σ(y)1x−1)σ(xy)−1σ(x), ∀ x, y ∈ G.

Para n = 2,(δ2f)(x, y, z) = αx(f(y, z)1x−1)f(xy, z)−1f(x, yz)f(x, y)−1,

para f ∈ C2(G,α,K) e x, y ∈ G. Entao,

Z2(G,α,G) = f ∈ C2(G,α,K);αx(f(y, z)1x−1)f(x, yz) = f(xy, z)f(x, y), ∀ x, y, z ∈ G.

Sejam f, f ′ ∈ Zn(G,α,K), dizemos que f e f ′ sao cohomologos se existe g ∈ Cn−1(G,α,K) tal quef = f ′(δng). Neste caso, temos que [f ] = [f ′] em Hn(G,α,K).

Um n-cociclo f e dito normalizado se

f(1, x1, ..., xn−1) = f(x1, 1, ..., xn−1) = ... = f(x1, ..., xn−1, 1) = 1x11x1x2

...1x1...xn−1.

Observacao 3.1.6. Todo 1-cociclo parcial σ e normalizado. De fato, para todo x, y ∈ G temos αx(σy1x−1)σ−1xy σx =

1x1xy. Em particular, para x = y = 1 temos σ21 = σ1. Isso implica que σ1 = 1. Portanto, σ e normali-

zado.

Por [15, Observacao 2.6] temos que se σ ∈ Z2(G,α,Z), entao existe σ ∈ Z2(G,α,Z) normalizado talque σ = σ(δ1β), para algum β ∈ C1(G,α,Z). Logo, σ e cohomologo a um 2-cociclo parcial normalizado.

3.2. REPRESENTACAO PARCIAL UNITAL 35

3.2 Representacao Parcial Unital

SejaΘ : G −→ PicS(R)

x 7−→ [Θx]

uma representacao parcial. Dizemos que Θ e unital se εx = Θx⊗RΘx−1 ' R1x, onde 1x e um idempotentecentral de R, para todo x ∈ G.

Lema 3.2.1. Seja Θ : G −→ PicS(R) uma representacao parcial unital com Θx ⊗R Θx−1 ' R1x, paratodo x ∈ G. Entao, para todo x, y ∈ G, temos:

(i) Θx ⊗R R1y ' R1xy ⊗R Θx. Em particular,

R1x ⊗R Θx ' Θx e Θx ⊗R R1x−1 ' Θx, para todo x ∈ G. (3.7)

(ii) Θx ⊗R Θy ' R1x ⊗R Θxy e Θx ⊗R Θy ' Θxy ⊗R R1y−1 ,

(iii) Θx ⊗R Θy ⊗R Θ(xy)−1 ' R1x1xy,

(iv) Θx ⊗R Θy ' Θx ⊗R Θy ⊗R R1y−1x−1 .

Demonstracao. O item (i) segue diretamente de (3.2) e o item (ii) segue de (3.4) e (3.5). Para (iii)temos

Θx ⊗R Θy ⊗R Θ(xy)−1

(ii)' R1x ⊗R Θxy ⊗R Θ(xy)−1

' R1x ⊗R R1xy ' R1x1xy.

Para (iv):

Θx ⊗R Θy ⊗R R1y−1x−1 ' Θx ⊗R Θy ⊗R Θ(xy)−1 ⊗R Θxy

' Θx ⊗R Θy ⊗R Θy−1 ⊗R Θx−1 ⊗R Θxy

' Θx ⊗R Θy ⊗R Θy−1 ⊗R Θx−1 ⊗R Θx ⊗R Θy

' Θx ⊗R R1y ⊗R R1x−1 ⊗R Θy

' Θx ⊗R R1x−1 ⊗R R1y ⊗R Θy

' Θx ⊗R Θy

Por (2.3) e pelos itens (i) e (ii) do Lema 3.2.1, temos os isomorfismos de R-bimodulos

1xyΘx ' Θx1y e Θx ⊗R Θy ' 1xΘxy, para todo x, y ∈ G. (3.8)

Observacao 3.2.2. Dados ux ∈ Θx, uy ∈ Θy e u(xy)−1 ∈ Θ(xy)−1 , entao

rux ⊗ uy ⊗ u(xy)−1 = ux ⊗ uy ⊗ u(xy)−1r, para todo r ∈ Z. (3.9)

De fato, por (iii) do Lema 3.2.1 existe um isomorfismo de R-bimodulos ϕ : Θx ⊗R Θy ⊗R Θ(xy)−1 −→R1x1xy. Entao, para todo r ∈ Z temos rϕ(ux ⊗ uy ⊗ u(xy)−1) = ϕ(ux ⊗ uy ⊗ u(xy)−1)r. Por ϕ serR-bilinear segue que

ϕ(rux ⊗ uy ⊗ u(xy)−1) = ϕ(ux ⊗ uy ⊗ u(xy)−1r),

e por ϕ ser isomorfismo, temos portanto que rux ⊗ uy ⊗ u(xy)−1 = ux ⊗ uy ⊗ u(xy)−1r, para todo r ∈ Z.


Lema 3.2.3. Seja Θ : G −→ PicS(R) uma representacao parcial unital com εx = Θx ⊗R Θx−1 ' R1x,onde Θ(x) = [Θx] para todo x ∈ G. Entao

ux1y = 1xyux1y = 1xyux, para todos x, y ∈ G e ux ∈ Θx. (3.10)

Em particular, 1xyΘx = Θx1y, para todos x, y ∈ G.

Demonstracao. Por (3.8) existe um isomorfismo de R-bimodulos κx,y : Θx1y −→ 1xyΘx. Dado ux ∈ Θx,existe vx ∈ Θx tal que κx,y(ux1y) = 1xyvx. Multiplicando a esquerda por 1xy temos

κx,y(1xyux1y) = 1xyvx = κx,y(ux1y).

Como κx,y e isomorfismo, temos que 1xyux1y = ux1y. Por outro lado, existe v′x ∈ Θx tal que κ−1x,y(1xyux) =

v′x1y. Multiplicando a direita por 1y temos

κ−1x,y(1xyux1y) = v′x1y = κ−1

x,y(1xyux).

O que implica 1xyux1y = 1xyux. Temos portanto que

ux1y = 1xyux1y = 1xyux, para todo ux ∈ Θx.

Segue, em particular, do Lema 3.2.3 que

1xux = ux e ux1x−1 = ux, para todo x ∈ G, ux ∈ Θx. (3.11)

Entao, as aplicacoes R1x ⊗R Θx ' Θx e Θx ⊗R R1x−1 ' Θx definidos pela acao a esquerda e acao adireita, respectivamente, sao isomorfismos de R-bimodulos. Logo, Θx e um R1x-R1x−1 -bimodulo unitale existem isomorfismos de R-bimodulos

τx : Θx ⊗R Θx−1 −→ R1x e τx−1 : Θx−1 ⊗R Θx −→ R1x−1 .

Note que os R1x-R1x−1-bimodulos Θx ⊗R Θx−1 e Θx ⊗R1x−1 Θx−1 coincidem, pois por (3.11) temos

uxr ⊗R1x−1 ux−1 = ux1x−1r ⊗R1x−1 ux−1 = ux ⊗R1x−1 r1x−1ux−1 = ux ⊗R1x−1 rux−1 ,

para todo ux ∈ Θx, ux−1 ∈ Θx−1 e r ∈ R. Pela Proposicao 2.1.11 podemos escolher os isomorfismosτx e τx−1 de tal forma que valem as igualdades em (2.6). Para simplificar a notacao, vamos denotarτx(ux ⊗ ux−1) = uxux−1 , para todo ux ∈ Θx e ux−1 ∈ Θx−1 . Entao, por (2.6) temos

(uxux−1)u′x = ux(ux−1u′x) e (ux−1ux)u′x−1 = ux−1(uxu′x−1), (3.12)

para todo ux, u′x ∈ Θx e ux−1 , u′x−1 ∈ Θx−1 .

3.2.1 Acao parcial sobre Z e sobre PicSZ(R).


x 7−→ [Θx]

uma representacao parcial unital com Θx ⊗R Θx−1 ' R1x, para todo x ∈ G.


Teorema 3.2.4. Considere Dx = Z1x e o ideal de Z gerado por 1x e

αx : Dx−1 −→ Dx

r 7−→∑(x)

ωxrωx−1 ,

onde ωx ∈ Θx e ωx−1 ∈ Θx−1 sao tais que 1x =∑(x)

ωxωx−1 . Entao, α = (Dx, αx)x∈G e uma acao parcial

de G sobre Z.

Demonstracao. Primeiramente, vejamos que αx nao depende da escolha dos representantes da decom-

posicao de 1x. Sejam ωx ∈ Θx e ωx−1 ∈ Θx−1 tais que∑(x)

ωxωx−1 = 1x. Entao,

αx(r1x−1) =∑(x)

ωxrωx−1

(3.11)=

∑(x)

ωxrωx−11x =∑

(x),(x)

ωxrωx−1(ωxωx−1)

(3.12)=

∑(x),(x)

ωxr(ωx−1 ωx)ωx−1r∈Z=

∑(x),(x)

ωx(ωx−1 ωx)rωx−1

(3.12)=

∑(x),(x)

(ωxωx−1)ωxrωx−1 =∑(x)

1xωxrωx−1

(3.11)=

∑(x)

ωxrωx−1 .

Dado r′ ∈ R temos

αx(r1x−1)r′ =∑(x)

(ωxrωx−1)r′ =∑(x)

ωxrωx−11xr′ =

∑(x),(x)

ωxrωx−1r′(ωxωx−1)

=∑

(x),(x)

ωxr(ωx−1r′ωx)ωx−1r∈Z=

∑(x),(x)

ωx(ωx−1r′ωx)rωx−1

=∑

(x),(x)

(ωxωx−1)r′ωxrωx−1 =∑(x)

1xr′ωxrωx−1

=∑(x)

r′ωxrωx−1 = r′αx(r1x−1)

Logo, αx(r1x−1) ∈ Dx = Z1x.

Vejamos agora αx e um isomorfismo com inverso αx−1 . Sejam ωx ∈ Θx e ωx−1 ∈ Θx−1 , tais que∑(x)

ωx−1ωx = 1x−1 . Entao, dado r ∈ Dx, temos

(αx αx−1)(r) = αx

∑(x)

ωx−1rωx

=∑

(x),(x)

ωx(ωx−1rωx)ωx−1

=∑

(x),(x)

(ωxωx−1)rωxωx−1r∈Z=

∑(x),(x)

r(ωxωx−1)ωxωx−1

=∑

(x),(x)

rωx(ωx−1ωx)ωx−1 =∑(x)

rωx1x−1ωx−1

=∑(x)

rωxωx−1 = r1x = r.


Analogamente, dado r ∈ Dx−1 , temos que (αx−1 αx)(r) = r. Portanto, α−1x = αx−1 . Dados r, s ∈ Dx

temos

αx(r)αx(s) =∑

(x),(x)

(ωxrωx−1)(ωxsωx−1)(3.12)

=∑

(x),(x)

ωxr(ωx−1 ωx)sωx−1

s∈Z=

∑(x),(x)

ωxrs(ωx−1 ωx)ωx−1

(3.12)=

∑(x),(x)

ωxrsωx−1(ωxωx−1)

=∑(x)

ωxrsωx−11x(3.11)

=∑(x)

ωxrsωx−1 = αx(rs).

Logo, αx e um isomorfismo de aneis.

Dado r ∈ Dy ∩Dx−1 e 1y−1 =∑(y)

ωy−1ωy, temos

αy−1(r) =∑(y)

ωy−1rωy =∑(y)

ωy−1r1x−1ωy =∑(y)

ωy−1rωy1(xy)−1 ∈ D(xy)−1 .

Logo, temos αy−1(Dy ∩Dx−1) ⊆ D(xy)−1 . Observe que

1x1xy =∑(x)

ωxωx−11xy =∑(x)

ωx1yωx−1 =∑

(x),(y)

ωx(ωyωy−1)ωx−1 . (3.13)

Entao, para r ∈ Dy−1 ∩D(xy)−1 temos

αxy(r) =∑(xy)

ωxyrω(xy)−1 , onde∑(xy)

ωxyω(xy)−1 = 1xy

r∈Dy−1

=∑(xy)

1xyωxy1y−1rω(xy)−1

(3.10)=

∑(xy)

1xy1xωxyrω(xy)−1

(3.13)=

∑(x),(y),

(xy)

(ωx(ωyωy−1)ωx−1)ωxyrω(xy)−1 .

Porem,

(ωx(ωyωy−1)ωx−1)ωxyrω(xy)−1 = τxy (τx ⊗Θxy ⊗Θ(xy)−1) (Θx ⊗ τy ⊗Θx−1 ⊗Θxy ⊗Θ(xy)−1)

(ωx ⊗ ωy ⊗ ωy−1 ⊗ ωx−1 ⊗ ωxyr ⊗ ω(xy)−1)

(3.9)= τxy (τx ⊗Θxy ⊗Θ(xy)−1) (Θx ⊗ τy ⊗Θx−1 ⊗Θxy ⊗Θ(xy)−1)

(ωx ⊗ ωy ⊗ rωy−1 ⊗ ωx−1 ⊗ ωxy ⊗ ω(xy)−1)

= (ωx(ωyrωy−1)ωx−1)ωxyω(xy)−1

Assim,

αxy(r) =∑

(x),(y),

(xy)

(ωx(ωyrωy−1)ωx−1)ωxyω(xy)−1

=∑

(x),(y)

(ωx(ωyrωy−1)ωx−1)1xy

(3.10)=

∑(x),(y)

(ωx(ωyrωy−1)1yωx−1)

=∑

(x),(y)

(ωx(ωyrωy−1)ωx−1)

= αx αy(r).


Portanto, α = (Dx, αx)x∈G e uma acao parcial de G sobre Z.

Lema 3.2.5. Seja α a acao parcial sobre Z construıda no Teorema 3.2.4. Entao:

(i) Para todo ux ∈ Θx e r ∈ Z temosαx(r1x−1)ux = uxr. (3.14)

(ii) Se M |Θx, entao para todo m ∈M e r ∈ Z temos

αx(r1x−1)m = mr. (3.15)

Demonstracao. (i) Dado r ∈ Z e ux ∈ Θx temos que

αx(r1x−1)ux =∑(x)

(ωxrωx−1)ux(3.12)

=∑(x)

ωxr(ωx−1ux)

r∈Z=

∑(x)

ωx(ωx−1ux)r(3.12)

=∑(x)

(ωxωx−1)uxr

= 1xuxr(3.11)

= uxr.

(ii) Sejam fi : M −→ Θx e gi : Θx −→ M , com i = 1, 2, ..., n morfismos de R-bimodulos tais quen∑i=1

gifi = IdM . Dados m ∈M e r ∈ Z temos

mr =

n∑i=1

gi(fi(m))r =

n∑i=1

gi(fi(m)︸︷︷︸∈Θx

r)

(3.14)=

n∑i=1

gi(αx(r1x−1)fi(m))

=

n∑i=1

αx(r1x−1)gi(fi(m))

= αx(r1x−1)m.

Observacao 3.2.6. Para cada representacao parcial unital Θ : G −→ PicS(R) construımos uma acaoparcial α de G sobre Z como em (3.2.4). Consequentemente, temos os grupos de cohomologias parciaisH∗Θ(G,α,Z) associados a essa acao. Seguindo o caso global, nas proximas secoes vamos fixar umarepresentacao parcial unital Θ e consequentemente a acao parcial sobre Z.

Lema 3.2.7. Seja Θ : G −→ PicS(R) uma representacao parcial unital com εx = Θx ⊗R Θx−1 ' R1x,onde Θ(x) = [Θx], para todo x ∈ G. Existe um isomorfismo de grupos

AutR−R(1yΘx)(−)−→ U(Z1x1y)

σ 7−→ σ,

ondeσ =

∑(x)

σ(1yωx)ωx−1 , (3.16)


com∑(x)

ωxωx−1 = 1x. Alem disso, temos

σ(1yux) = σux, para todo ux ∈ Θx. (3.17)

Demonstracao. Vejamos primeiro que σ nao depende da decomposicao de 1x. Sejam

1x =∑(x)

ωxωx−1 =∑(x)

ωxωx−1 ,

com ωx, ωx ∈ Θx e ωx−1 , ωx−1 ∈ Θx−1 . Entao,

σ =∑(x)

σ(1yωx)ωx−1 =∑(x)

σ(1yωx)ωx−11x =∑

(x),(x)

σ(1yωx)ωx−1(ωxωx−1)

=∑

(x),(x)

σ(1yωx)(ωx−1 ωx)ωx−1 =∑

(x),(x)

σ(1yωx(ωx−1 ωx))ωx−1

=∑

(x),(x)

σ(1y(ωxωx−1)ωx)ωx−1 =∑(x)

σ(1y1xωx)ωx−1

=∑(x)

σ(1yωx)ωx−1 .

Claramente σ ∈ R1x1y. Dado r ∈ R temos:

σr =∑(x)

σ(1yωx)ωx−1r =∑(x)

σ(1yωx)ωx−1r1x =∑

(x),(x)

σ(1yωx)ωx−1r(ωxωx−1)

=∑

(x),(x)

σ(1yωx)(ωx−1rωx)ωx−1 =∑

(x),(x)

σ(1yωx(ωx−1rωx))ωx−1

=∑

(x),(x)

σ(1y(ωxωx−1)rωx)ωx−1 =∑(x)

σ(1y1xrωx)ωx−1

=∑(x)

rσ(1yωx)ωx−1 = rσ.

Logo, σ ∈ Z1x1y. Resta ver que σ e inversıvel em Z1x1y. Como σ e isomorfismo, considere σ−1. Temos

σσ−1 =∑

(x),(x)

(σ(1yωx)ωx−1)(σ−1(1yωx)ωx−1)

=∑

(x),(x)

σ(1yωx)(ωx−1σ−1(1yωx))ωx−1

=∑

(x),(x)

σ(1yωxωx−1σ−1(1yωx))ωx−1

=∑(x)

σ(1y1xσ−1(1yωx))ωx−1

=∑(x)

σ(σ−1(1yωx))ωx−1

=∑(x)

1yωxωx−1 = 1y1x.

Analogamente, temos que σ−1σ = 1x1y. Logo, σ ∈ U(Z1x1y). Alem disso, dado ux ∈ Θx, temos:

σux =∑(x)

σ(1yωx)ωx−1ux =∑(x)

σ(1yωxωx−1ux) = σ(1y1xux) = σ(1yux).


Portanto, vale (3.17).

Considere agora r ∈ U(Z1x1y). Defina

σr : 1yΘx −→ 1yΘx

vx 7−→ rvx.

Claramente σr e R-linear a direita. Como r ∈ Z temos que σr e R-linear a esquerda. De fato, dador′ ∈ R temos

σr(r′vx) = rr′vx = r′rvx = r′σr(vx).

Seja r−1 o inverso de r em Z1x1y, entao rr−1 = r−1r = 1x1y. Entao, a inversa de σr e dada por

σ−1r : 1yΘx −→ 1yΘx

vx 7−→ r−1vx.

De fato, dado vx ∈ 1yΘx, temos

σ−1r (σr(vx)) = σ−1

r (rvx) = r−1(rvx) = (r−1r)vx = 1x1yvx = vx.

Analogamente, σr(σ−1r (vx)) = vx, para todo vx ∈ 1yΘx. Logo, σr ∈ AutR−R(1yΘx). Observe agora que

σr =∑(x)

σr(1yωx)ωx−1 =∑(x)

r1yωxωx−1 = r1y1x = r.

Por outro lado, dado σ ∈ AutR−R(1yΘx) considere

γ : 1yΘx −→ 1yΘx

vx 7−→ σvx.

Por (3.17) temos:γ(vx) = σvx = σ(1yvx) = σ(vx), para todo vx ∈ 1yΘx.

Logo, γ = σ e portanto (−) e um isomorfismo.

Resta verificar que (−) e um morfismo de grupos. Sejam σ, γ ∈ AutR−R(1yΘx), entao

σγ =∑

(x),(x)

(σ(1yωx)ωx−1)(γ(1yωx)ωx−1) =∑

(x),(x)

σ(1yωx)(ωx−1γ(1yωx))ωx−1

=∑

(x),(x)

σ(1yωxωx−1γ(1yωx))ωx−1 =∑(x)

σ(1y1xγ(1yωx))ωx−1

=∑(x)

σ(γ(1yωx))ωx−1 = σ γ.

Vamos agora construir uma acao parcial sobre PicS(R): Seja Xx = [R1x]PicS(R)[R1x] e

α∗x : Xx−1 −→ Xx[P ] 7−→ [Θx ⊗R P ⊗R Θx−1 ]

.

Pela Proposicao 3.1.3, temos que α∗ = (Xx, α∗x) e uma acao parcial sobre PicS(R). Observe que se[P ] ∈ PicSZ(R), entao pelo Corolario 2.3.6, temos que P ⊗R R1x ' R1x ⊗R P , como R-bimodulos, paratodo x ∈ G. Logo, [R1x] e um idempotente central em PicSZ(R). Alem disso, se [P ] ∈ PicSZ(R), entao[Θx ⊗R P ⊗R Θx−1 ] ∈ PicSZ(R). De fato, basta verificar que Θx ⊗R P ⊗R Θx−1 tambem e Z-bimodulo


central. Sejam p ∈ P , ux ∈ Θx, ux−1 ∈ Θx−1 e r ∈ Z, entao por P ser Z-bimodulo central e por (3.14)temos

ux ⊗ p⊗ ux−1r = ux ⊗ p⊗ αx−1(r1x)ux−1 = ux ⊗ pαx−1(r1x)⊗ ux−1

= ux ⊗ αx−1(r1x)p⊗ ux−1 = uxαx−1(r1x)⊗ p⊗ ux−1

= αx(αx−1(r1x))ux ⊗ p⊗ ux−1 = r1xux ⊗ p⊗ ux−1

= rux ⊗ p⊗ ux−1 .

Assim, restringindo a acao parcial acima a PicSZ(R), temos que Xx = PicSZ(R)[R1x] e o ideal dePicSZ(R) gerado pelo idempotente central [R1x] e

α∗x : PicSZ(R)[R1x−1 ] −→ PicSZ(R)[R1x][P ][R1x−1 ] 7−→ [Θx ⊗R P ⊗R Θx−1 ]

esta bem definido. Portanto, α∗ = (Xx, α∗x) e uma acao parcial sobre PicSZ(R).

O conjunto dos invariantes de PicSZ(R) e dado por

PicSZ(R)α∗

= [P ] ∈ PicSZ(R); Θx ⊗R P ' P ⊗R Θx, para todo x ∈ G. (3.18)

De fato, [P ] ∈ PicSZ(R)α∗

se, e somente se, α∗x([P ][R1x−1 ]) = [P ][R1x], para todo x ∈ G. Segue que:

[P ] ∈ PicSZ(R)α∗⇔ Θx ⊗R P ⊗R Θx−1 ' P ⊗R R1x, para todo x ∈ G;

⇔ Θx ⊗R P ⊗R Θx−1 ⊗R Θx ' P ⊗R R1x ⊗R Θx, para todo x ∈ G;

⇔ Θx ⊗R P ⊗R R1x−1 ' P ⊗R Θx, para todo x ∈ G;

⇔ Θx ⊗R R1x−1 ⊗R P ' P ⊗R Θx, para todo x ∈ G;

⇔ Θx ⊗R P ' P ⊗R Θx, para todo x ∈ G.

3.3 Produto cruzado generalizado parcial


x −→ [Θx]

uma representacao parcial unital com εx = Θx ⊗Θx−1 ' R1x, para todo x ∈ G. Pelo Lema 3.2.1 existeuma famılia de isomorfismos de R-bimodulos

fΘ = fΘx,y : Θx ⊗R Θy −→ 1xΘxy, x, y ∈ G. (3.19)

Dizemos que fΘ e um conjunto de fatores para Θ se o diagrama abaixo e comutativo

Θx ⊗R Θy ⊗R Θz

Θx⊗fΘy,z //

fΘx,y⊗Θz

Θx ⊗R 1yΘyz 1xyΘx ⊗R Θyz

fΘx,yz

1xΘxy ⊗R Θz

fΘxy,z

// 1x1xyΘxyz

(3.20)

3.3. PRODUTO CRUZADO GENERALIZADO PARCIAL 43

Observacao 3.3.1. Se x = 1, entao temos o isomorfismo de R-bimodulos fΘ1,x : Θ1⊗RΘy −→ RΘy ' Θy,

para todo y ∈ G. Se y = 1, entao fΘx,1 : Θx ⊗R Θ1 −→ 1xΘx ' Θx e um isomorfismo de R-bimodulos,

para todo x ∈ G.

Se fΘ = fΘx,y : Θx ⊗R Θy −→ 1xΘxy, x, y ∈ G e um conjunto de fatores para Θ, entao ∆(Θ) =⊕

x∈G Θx com a multiplicacao

uxΘ uy = fΘ

x,y(ux ⊗ uy) ∈ 1xΘxy, ux ∈ Θx, uy ∈ Θy, (3.21)

e chamado de produto cruzado generalizado parcial.

Proposicao 3.3.2. Sejam Θ : G −→ PicS(R) uma representacao parcial unital com εx = Θx⊗RΘx−1 'R1x, para todo x ∈ G, e fΘ = fΘ

x,y : Θx ⊗R Θy −→ 1xΘxy, x, y ∈ G, um conjunto de fatores para Θ.Entao, o produto cruzado generalizado parcial ∆(Θ) e um anel associativo com unidade que tem R ' Θ1

como subanel.

Demonstracao. Como fΘ1,1 : Θ1⊗RΘ1 −→ Θ1, entao Θ1 e um subanel de ∆(Θ). Por Θ ser representacao

parcial, temos [Θ1] = [R], assim existe j : R −→ Θ1 um isomorfismo de R-bimodulos. Denote v = j(1),entao Θ1 = j(R) = Rv = vR e temos

rv = rj(1) = j(r) = j(1)r = vr, para todo r ∈ R.

Seja c ∈ R tal que fΘ1,1(v ⊗ v) = cv.

Afirmacao 3.3.3. c ∈ U(Z).

De fato, seja r ∈ R tal que rv = 0, entao 0 = rv = rj(1) = j(r). Como j e isomorfismo devemos terr = 0. Seja r ∈ R qualquer, entao

rcv = rfΘ1,1(v ⊗ v) = fΘ

1,1(rv ⊗ v) = fΘ1,1(v ⊗ vr) = fΘ

1,1(v ⊗ v)r = vcr = crv,

assim, (rc− cr)v = 0 o que implica que rc = cr, para todo r ∈ R. Logo, c ∈ Z.

Como fΘ1,1 e isomorfismo, entao existe d ∈ R tal que (fΘ

1,1)−1(v) = dv ⊗ v. Entao,

dcv = dfΘ1,1(v ⊗ v) = fΘ

1,1(dv ⊗ v) = fΘ1,1(fΘ

1,1)−1(v) = v.

Logo, dc = cd = 1. Portanto, c ∈ U(Z).

Denote u = c−1v ∈ Θ1, entao ru = rc−1v = c−1vr = ur, para todo r ∈ R e temos

fΘ1,1(u⊗ u) = fΘ

1,1(c−1v ⊗ c−1v) = c−1f1,1(v ⊗ v)c−1 = c−1cvc−1 = vc−1 = u. (3.22)

Defina ι : R −→ Θ1, por ι(r) = ru. Entao ι e um isomorfismo de R-bimodulos. Alem disso, dadosr, r′ ∈ R temos

ι(r)Θ ι(r′) = fΘ

1,1(ru⊗ r′u) = rr′f1,1(u⊗ u)(3.22)

= rr′u = ι(rr′).

Logo, ι e isomorfismo de aneis.

Vejamos que ι(1) = u ∈ Θ1 e a unidade de ∆(Θ). Seja ux ∈ Θx, x ∈ G. Como fΘ1,x : Θ1⊗RΘx −→ Θx

e um isomorfismo de R-bimodulos, entao existe

n∑i=1

uri ⊗ uix = u⊗ ux ∈ Θ1 ⊗R Θx, onde ux =

n∑i=1

riuix,

tal que fΘ1,x(u⊗ ux) = ux. Entao,

(uΘ ux) = fΘ

1,x(u⊗ ux) = fΘ1,x(u⊗ fΘ

1,x(u⊗ ux))

= fΘ1,x(fΘ

1,1(u⊗ u)⊗ ux)

(3.22)= fΘ

1,x(u⊗ ux) = ux.


Analogamente, como fΘx,1 : Θx⊗RΘ1 −→ Θx e isomorfismo, entao existe ux ∈ Θx tal que fΘ

x,1(ux⊗u) = ux,entao

(uxΘ u) = fΘ

x,1(ux ⊗ u) = fΘx,1(fΘ

x,1(ux ⊗ u)⊗ u)

= fΘx,1(ux ⊗ fΘ

1,1(u⊗ u))

= fΘx,1(ux ⊗ u) = ux.

Portanto, u e unidade para ∆(Θ).

Observacao 3.3.4. Sejam ∆(Θ) um produto cruzado generalizado parcial e ι : R −→ Θ1 isomorfismo deR-bimodulos e de aneis tal que ι(1) = u ∈ Θ1 e unidade para ∆(Θ), como na proposicao acima. Entaoos diagramas

R⊗R Θx

ι⊗Θx &&

' // Θx

Θ1 ⊗R Θx

fΘ1,x

:: e Θx ⊗R R

Θx⊗ι &&

' // Θx

Θx ⊗R Θ1

fΘx,1

::

(3.23)

sao comutativos. De fato, dados r ∈ R e ux ∈ Θx temos

(fΘ1,x (ι⊗Θx))(r ⊗ ux) = fΘ

1,x(ι(r)⊗ ux) = rfΘ1,x(ι(1)⊗ ux) = rux.

Analogamente,

(fΘx,1 (Θx ⊗ ι))(ux ⊗ r) = fx,1(ux ⊗ ι(r)) = fx,1(ux ⊗ ι(1))r = uxr.

Vamos identificar R com Θ1, via o isomorfismo de aneis ι, e 1 com ι(1) = u ∈ Θ1. Entao, R ⊆ ∆(Θ)e uma extensao de aneis com mesma unidade.

A partir daqui vamos fixar uma representacao parcial unital

Θ : G −→ PicS(R)x −→ [Θx]

com εx = Θx ⊗R Θx−1 ' R1x, para todo x ∈ G. Dado uma famılia de isomorfismos de R-bimodulosfΘ = fΘ

x,y : Θx ⊗R Θy −→ 1xΘxy, x, y ∈ G, vamos estabelecer uma condicao para que fΘ seja um

conjunto de fatores para Θ. Para isso, vamos supor que fΘ satisfaz os diagramas comutativos (3.23).

Proposicao 3.3.5. Seja fΘ = fΘx,y : Θx ⊗R Θy −→ 1xΘxy, x, y ∈ G uma famılia de isomorfismos

de R-bimodulos que satisfaz os diagramas comutativos dados em (3.23). Dados x, y, z ∈ G defina oisomorfismo de R-bimodulos βx,y,z : 1x1xyΘxyz −→ 1x1xyΘxyz via o diagrama comutativo

Θx ⊗R Θy ⊗R Θz

fΘx,y⊗Θz //

Θx⊗fΘy,z

1xΘxy ⊗R Θz

fΘxy,z

1xyΘx ⊗R Θyz

fΘx,yz ((

1x1xyΘxyz

1x1xyΘxyz

βx,y,z

77


ou seja,βx,y,z fΘ

x,yz (Θx ⊗ fΘy,z) = fΘ

xy,z (fΘx,y ⊗Θz), ∀ x, y, z ∈ G. (3.24)

Entao,

β−,−,− : G×G×G −→ U(Z)

(x, y, z) 7−→ βx,y,z,

onde βx,y,z e definida como no Lema 3.2.7, e um elemento normalizado de Z3Θ(G,α,Z). Alem disso, se

β−,−,− ∈ B3Θ(G,α,Z), ou seja, se existe σ−,− : G×G −→ U(Z), com σx,y ∈ U(Z1x1xy) e

βx,y,z = αx(σy,z1x−1)σ−1xy,zσx,yzσ

−1x,y, para todo x, y, z ∈ G, (3.25)

entao a famılia de isomorfismos de R-bimodulos

fΘx,y : Θx ⊗R Θy −→ 1xΘx,y

ux ⊗ uy 7−→ σx,yfΘx,y(ux ⊗ uy)

e um conjunto de fatores para Θ.

Demonstracao. Como βx,y,z ∈ AutR−R(1x1xyΘxyz), entao pelo Lema 3.2.7, temos que βx,y,z ∈U(Z1x1xy1xyz), para todo x, y, z ∈ G. Vamos denotar fΘ

x,y(ux ⊗ uy) = (uxΘ uy). Por (3.24), temos

βx,y,z((uxΘ (uy

Θ uz))) = ((uxΘ uy)

Θ uz),

para todo ux ∈ Θx, uy ∈ Θy e uz ∈ Θz. Como (uxΘ (uy

Θ uz)) ∈ 1x1xyΘxyz, entao por (3.17)

βx,y,z(uxΘ (uy

Θ uz)) = ((uxΘ uy)

Θ uz). (3.26)

Sejam x, y, z, t ∈ G e ux ∈ Θx, uy ∈ Θy, uz ∈ Θz e ut ∈ Θz. Entao,

(((uxΘ uy)

Θ uz)Θ ut)

(3.26)= βx,y,z((ux

Θ (uyΘ uz))

Θ ut)(3.26)

= βx,y,zβx,yz,t(uxΘ ((uy

Θ uz)Θ ut))

(3.26)= βx,y,zβx,yz,t(ux

Θ βy,z,t(uyΘ (uz

Θ ut)))

= βx,y,zβx,yz,t(uxβy,z,tΘ (uy

Θ (uzΘ ut)))

(3.14)= βx,y,zβx,yz,tαx(βy,z,t1x−1)(ux

Θ (uyΘ (uz

Θ ut)))(3.26)

= βx,y,zβx,yz,tαx(βy,z,t1x−1)βx,y,zt−1

((uxΘ uy)

Θ (uzΘ ut))

(3.26)= βx,y,zβx,yz,tαx(βy,z,t1x−1)βx,y,zt

−1

βxy,z,t−1

(((uxΘ uy)

Θ uz)Θ ut)

Assim,

(((uxΘ uy)

Θ uz)Θ ut) = βx,y,zβx,yz,tαx(βy,z,t1x−1)βx,y,zt

−1

βxy,z,t−1

(((uxΘ uy)

Θ uz)Θ ut),

para todo ux ∈ Θx, uy ∈ Θy, uz ∈ Θz e ut ∈ Θz.

Considere

1x =∑(x)

(ωxΘ ωx−1), ωx ∈ Θx, ωx−1 ∈ Θx−1 ,


1y =∑(y)

(ωyΘ ωy−1), ωy ∈ Θy, ωy−1 ∈ Θy−1 ,

1z =∑(z

(ωzΘ ωz−1), ωz ∈ Θz, ωz−1 ∈ Θz−1 ,

1t =∑(t)

(ωtΘ ωt−1), ωt ∈ Θt, ωt−1 ∈ Θt−1 .

Entao,

(((ωxΘ ωy)

Θ ωz)Θ ωt) = βx,y,zβx,yz,tαx(βy,z,t1x−1)βx,y,zt

−1

βxy,z,t−1

(((ωxΘ ωy)

Θ ωz)Θ ωt),

Aplicando fΘxyzt,t−1 , temos:

((((ωxΘ ωy)

Θ ωz)Θ ωt)

Θ ωt−1) = βx,y,zβx,yz,tαx(βy,z,t1x−1)βx,y,zt−1

βxy,z,t−1

((((ωxΘ ωy)

Θ ωz)Θ ωt)

Θ ωt−1)

Por (3.26)

˜βxyz,t,t−1(((ωxΘ ωy)

Θ ωz)Θ (ωt

Θ ωt−1))


βxy,z,t−1 ˜βxyz,t,t−1(((ωx

Θ ωy)Θ ωz)

Θ (ωtΘ ωt−1))

Multiplicando por ˜βxyz,t,t−1

−1

:

1xyz1xyzt(((ωxΘ ωy)

Θ ωz)Θ (ωt

Θ ωt−1))


βxy,z,t−1


Θ ωz)Θ (ωt

Θ ωt−1))


βxy,z,t−1

(((ωxΘ ωy)

Θ ωz)Θ (ωt

Θ ωt−1))

Somando em (t) e usando que o diagrama (3.23) e comutativo:∑(t)


Θ ωz)Θ (ωt

Θ ωt−1))

=∑(t)

βx,y,zβx,yz,tαx(βy,z,t1x−1)βx,y,zt−1

βxy,z,t−1

(((ωxΘ ωy)

Θ ωz)Θ (ωt

Θ ωt−1))


Θ ωz))1t = βx,y,zβx,yz,tαx(βy,z,t1x−1)βx,y,zt−1

βxy,z,t−1

(((ωxΘ ωy)

Θ ωz))1t

1xyz1xyzt1xyzt(((ωxΘ ωy)

Θ ωz)) = βx,y,zβx,yz,tαx(βy,z,t1x−1)βx,y,zt−1

βxy,z,t−1

1xyzt(((ωxΘ ωy)

Θ ωz))


Θ ωz)) = βx,y,zβx,yz,tαx(βy,z,t1x−1)βx,y,zt−1

βxy,z,t−1

(((ωxΘ ωy)

Θ ωz))

Analogamente, aplicando fΘxyz,z−1 , multiplicando por ˜βxy,z,z−1 e somando em (t):

∑(z)

˜βxy,z,z−1

−1


Θ ωz)Θ ωz−1)

=∑(z)

˜βxy,z,z−1

−1


βxy,z,t−1

(((ωxΘ ωy)

Θ ωz)Θ ωz−1)


Por (3.26),∑(z)

˜βxy,z,z−1

−1

1xyz1xyzt ˜βxy,z,z−1((ωxΘ ωy)

Θ (ωzΘ ωz−1))

=∑(z)

˜βxy,z,z−1

−1


βxy,z,t−1 ˜βxy,z,z−1((ωx

Θ ωy)Θ (ωz

Θ ωz−1))

∑(z)

1xyz1xyzt1xy1xyz((ωxΘ ωy)

Θ (ωzΘ ωz−1))

=∑(z)


βxy,z,t−1

1xy1xyz((ωxΘ ωy)

Θ (ωzΘ ωz−1))

∑(z)

1xy1xyz1xyzt((ωxΘ ωy)

Θ (ωzΘ ωz−1))

=∑(z)


βxy,z,t−1

((ωxΘ ωy)

Θ (ωzΘ ωz−1))

1xy1xyz1xyzt(ωxΘ ωy)1z = βx,y,zβx,yz,tαx(βy,z,t1x−1)βx,y,zt

−1

βxy,z,t−1

(ωxΘ ωy)1z

1xy1xyz1xyzt1xyz(ωxΘ ωy) = βx,y,zβx,yz,tαx(βy,z,t1x−1)βx,y,zt

−1

βxy,z,t−1

1xyz(ωxΘ ωy)

1xy1xyz1xyzt(ωxΘ ωy) = βx,y,zβx,yz,tαx(βy,z,t1x−1)βx,y,zt

−1

βxy,z,t−1

(ωxΘ ωy)

Aplicando fΘxy,y−1 , multiplicando por ˜βx,y,y−1

−1

e somando em (y):

∑(y)

˜βx,y,y−1

−1

1xy1xyz1xyzt((ωxΘ ωy)

Θ ωy−1)

=∑(y)

˜βx,y,y−1

−1


βxy,z,t−1

((ωxΘ ωy)

Θ ωy−1)

Por (3.26), ∑(y)

˜βx,y,y−1

−1

1xy1xyz1xyzt ˜βx,y,y−1(ωxΘ (ωy

Θ ωy−1))

=∑(y)

˜βx,y,y−1

−1


βxy,z,t−1 ˜βx,y,y−1(ωx

Θ (ωyΘ ωy−1))

∑(y)

1xy1xyz1xyzt1x1xy(ωxΘ (ωy

Θ ωy−1))

=∑(y)


βxy,z,t−1

1x1xy(ωxΘ (ωy

Θ ωy−1))

1x1xy1xyz1xyztωx1y = βx,y,zβx,yz,tαx(βy,z,t1x−1)βx,y,zt−1

βxy,z,t−1

ωx1y

1x1xy1xyz1xyzt1xyωx = βx,y,zβx,yz,tαx(βy,z,t1x−1)βx,y,zt−1

βxy,z,t−1

1xyωx


1x1xy1xyz1xyztωx = βx,y,zβx,yz,tαx(βy,z,t1x−1)βx,y,zt−1

βxy,z,t−1

ωx

Por fim, apliando fΘx,x−1 e somando em (x):

∑(x)

1x1xy1xyz1xyzt(ωxΘ ωx−1) =

∑(x)


βxy,z,t−1

(ωxΘ ωx−1)

1x1xy1xyz1xyzt1x = βx,y,zβx,yz,tαx(βy,z,t1x−1)βx,y,zt−1

βxy,z,t−1

1x

1x1xy1xyz1xyzt = βx,y,zβx,yz,tαx(βy,z,t1x−1)βx,y,zt−1

βxy,z,t−1

, ∀ x, y, z, t ∈ G.

αx(βy,z,t1x−1)βx,y,zβx,yz,t = βx,y,ztβxy,z,t, ∀ x, y, z, t ∈ G.

Logo, β−,−,− ∈ Z3Θ(G,α,Z).

Vejamos que β−,−,− e normalizado. Seja x = 1, por (3.26) e pela comutatividade dos diagramas em

(3.23), temos β1,y,z(ruyΘ uz) = (ruy

Θ uz), para todo r ∈ R, ux ∈ Θx e uy ∈ Θy. Fazendo r = 1 e

seguindo o argumento acima, temos β1,y,z = 1y1yz. Analogamente, temos

βx,1,z = 1x1xz e βx,y,1 = 1x1xy, para todos x, y, z ∈ G.

Portanto, β−,−,− e um elemento normalizado em Z3Θ(G,α,Z).

Vamos verificar que fΘ = fΘx,y, x, y ∈ G e um conjunto de fatores para Θ. Sejam x, y, z ∈ G e

ux ∈ Θx, uy ∈ Θy, uz ∈ Θz, entao

fΘx,yz(ux ⊗ fΘ

y,z(uy ⊗ uz)) = σx,yz(uxΘ σy,z(uy

Θ uz))

= σx,yz(uxσy,zΘ (uy

Θ uz))(3.14)

= σx,yz(αx(σy,z1x−1)uxΘ (uy

Θ uz))

= σx,yzαx(σy,z1x−1)(uxΘ (uy

Θ uz))

= σx,yzαx(σy,z1x−1)βx,y,z((uxΘ uy)

Θ uz)(3.25)

= σxy,zσx,yz((uxΘ uy)

Θ uz)

= σxy,z(σx,yz(uxΘ uy)

Θ uz)= fΘ

xy,z(fΘx,y(ux ⊗ uy)⊗ uz).

Portanto, fΘ = fΘx,y, x, y ∈ G e um conjunto de fatores para Θ.

Corolario 3.3.6. Seja Γ : G −→ PicS(R) uma representacao parcial unital com Γx ⊗R Γx−1 ' R1x eΓx|Θx, para todo x ∈ G. Sejam fΓ = fΓ

x,y : Γx⊗Γy −→ 1xΓxy, ∈ x, y ∈ G uma famılia de isomorfismos

de R-bimodulos que satisfaz os diagramas comutativos em (3.23) e βΓx,y,z : 1x1xyΘxyz −→ 1x1xyΘxyz

isomorfismo de R-bimodulos que satisfaz

βΓx,y,z fΓ

x,yz (Θx ⊗ fΓy,z) = fΓ

xy,z (fΓx,y ⊗Θz), ∀ x, y, z ∈ G.

Entao βΓ−,−,− ∈ Z3

Θ(G,α,Z).


Demonstracao. Segue da demonstracao da Proposicao 3.3.5 e de (3.15).

O proximo resultado garante a unicidade da classe do 3-cociclo dado no Corolario 3.3.6 emH3Θ(G,α,Z).

Proposicao 3.3.7. Seja Γ : G −→ PicS(R) uma representacao parcial unital com Γx ⊗R Γx−1 ' R1x eΓx|Θx, para todo x ∈ G, e fΓ = fΓ

x,y : Γx ⊗R Γy −→ 1xΓxy, x, y ∈ G uma famılia de isomorfismos de

R-bimodulos que satisfaz os diagramas comutativos em (3.23). Entao a classe [βΓ−,−,−] em H3

Θ(G,α,Z)

nao depende da escolha de representante em [Γx] e nem da famılia de isomorfismos de R-bimodulos fΓ.

Demonstracao. Seja Ωx ∈ [Γx], entao existe um isomorfismo de R-bimodulos ax : Ωx −→ Γx, para todox ∈ G. Sejam

fΩ = fΩx,y : Ωx ⊗R Ωy −→ 1xΩxy, x, y ∈ G, fΓ = fΓ

x,y : Γx ⊗R Γy −→ 1xΓxy, x, y ∈ G

famılia de isomorfismos de R-bimodulos que satisfazem os diagramas comutativos em (3.23) e βΩ−,−,− e

βΓ−,−,− os 3-cociclos associados a fΩ e fΓ, respectivamente. Por definicao temos que

βΩx,y,z fΩ

x,yz (Ωx ⊗ fΩy,z) = fΩ

xy,z (fΩx,y ⊗ Ωz),

βΓx,y,z fΓ

x,yz (Γx ⊗ fΓy,z) = fΓ

xy,z (fΓx,y ⊗ Γz).

Seja bx,y : 1xΩxy −→ 1xΩxy o isomorfismo de R-bimodulos definido via o diagrama comutativo

Ωx ⊗R ΩyfΩx,y //

ax⊗ay

1xΩxy

bx,y

Γx ⊗R Γy

fΓx,y %%

1xΩxy

1xΓxy

a−1xy

::

ou seja,

axy bx,y fΩx,y = fΓ

x,y (ax ⊗ ay), ∀ x, y ∈ G.

Seja bx,y ∈ U(Z1x1xy) a imagem de bx,y via o isomorfismo do Lema 3.2.7. Por (3.17) temos bx,ytxy =

bx,y(1xtxy), para todo txy ∈ Ωxy. Denotando fΩx,y(tx ⊗ ty) = (tx

Ω ty) e fΓx,y(vx ⊗ vy) = (vx

Γ vy), temos

βΩx,y,z(tx

Ω (tyΩ tz)) = ((tx

Ω ty)Ω tz), (3.27)

βΓx,y,z(vx

Γ (gyΓ vz)) = ((vx

Γ vy)Γ vz), (3.28)

bx,yaxy(txΩ ty) = (ax(tx)

Γ ay(ty)). (3.29)


Dados x, y, z ∈ G e tx ∈ Ωx, ty ∈ Ωy, tz ∈ Ωz temos:

axyz((txΩ ty)

Ω tz)(3.29)

= b−1xy,z(axy(tx

Ω ty)Γ az(tz))

(3.29)= b−1

xy,z b−1x,y((ax(tx)

Γ ay(ty))Γ az(tz))

(3.28)= b−1

xy,z b−1x,yβΓ

x,y,z(ax(tx)Γ (ay(ty)

Γ az(tz)))(3.29)

= b−1xy,z b

−1x,yβΓ

x,y,z(ax(tx)Γ by,zayz(ty

Ω tz))(3.14)

= b−1xy,z b

−1x,yβΓ

x,y,zαx(by,z1x−1)(ax(tx)Γ ayz(ty

Ω tz))(3.29)

= b−1xy,z b

−1x,yβΓ

x,y,zαx(by,z1x−1)bx,yzaxyz(txΩ (ty

Ω tz))(3.27)

= b−1xy,z b

−1x,yβΓ

x,y,zαx(by,z1x−1)bx,yzβΩx,y,z

−1

axyz((txΩ ty)

Ω tz)

= axyz(b−1xy,z b

−1x,yβΓ


−1

((txΩ ty)

Ω tz)).

Como axyz e isomorfismo segue que

((txΩ ty)

Ω tz) = b−1xy,z b

−1x,yβΓ


−1

((txΩ ty)

Ω tz),

para todo tx ∈ Ωx, ty ∈ Ωy, tz ∈ Ωz. Usando o mesmo argumento da Proposicao 3.3.5 obtemos que:

b−1xy,z b

−1x,yβΓ


−1

= 1x1xy1xyz.

Logo,

βΩx,y,z = βΓ

x,y,z b−1xy,z b

−1x,yαx(by,z1x−1)bx,yz

= βΓx,y,z(δ

2b−,−)(x, y, z),

ondeb−,− : G×G −→ U(Z)

(x, y) 7−→ bx,y ∈ U(Z1x1xy).

Portanto, [βΩ−,−,−] = [βΓ

−,−,−] em H3Θ(G,α,Z).

O proximo lema e um resultado tecnico que mostra como construir uma representacao parcial unitala partir de outras dadas e como relacionar os 3-cociclos associados a essas representacoes. Em particular,mostramos como construir um produto cruzado generalizado parcial a partir de outros produtos dados.

Lema 3.3.8. Sejam Θ,Ω,Γ : G −→ PicS(R) representacoes parciais unitais com Γx|Θx, Ωx|Θx eΩx ⊗R Ωx−1 ' Γx ⊗R Γx−1 ' Θx ⊗R Θx−1 ' R1x, para todo x ∈ G. Seja fΘ = fΘ

x,y : Θx ⊗R Θy −→1xΘxy, x, y ∈ G um conjunto de fatores para Θ e

fΓ = fΓx,y : Γx ⊗R Γy −→ 1xΓxy, x, y ∈ G, fΩ = fΩ

x,y : Ωx ⊗R Ωy −→ 1xΩxy, x, y ∈ G

famılias de isomorfismos de R-bimodulos que satisfazem os diagramas comutativos em (3.23) e βΓ−,−,− e

βΩ−,−,− os 3-cociclos em Z3

Θ(G,α,Z) associados a fΓ e fΩ, respectivamente. Entao,

Λ : G −→ PicS(R)x 7−→ [Γx ⊗R Θx−1 ⊗R Ωx]


e uma representacao parcial unital com Λx ⊗R Λx−1 ' R1x e Λx|Θx, para todo x ∈ G. O 3-cocicloassociado a famılia de isomorfismos de R-bimodulos fΛ = fΛ

x,y : Λx ⊗R Λy −→ 1xΛxy, x, y ∈ Gdefinido por

Γx ⊗R Θx−1 ⊗R Ωx ⊗R Γy ⊗R Θy−1 ⊗R ΩyΓx⊗TΘ

x−1⊗Ωx,Γy⊗Θy−1⊗Ωy

,,

fΛx,y

,,

Γx ⊗R Γy ⊗R Θy−1 ⊗R Θx−1 ⊗R Ωx ⊗R Ωy

fΓx,y⊗f

Θy−1,x−1⊗fΩ

x,y

1xΓxy ⊗R 1y−1Θ(xy)−1 ⊗R 1xΩxy

1xΓxy ⊗R Θ(xy)−1 ⊗R Ωxy

onde T−,− e o isomorfismo da Proposicao 2.3.5, e dado por βΛ−,−,− = βΓ

−,−,−βΩ−,−,−. Se fΓ e fΩ sao

conjuntos de fatores para Γ e Ω, respectivamente, entao fΛ e um conjunto de fatores para Λ e temos que∆(Λ) e um produto cruzado generalizado parcial.

Demonstracao. Claramente Λ1 = R. Sejam x, y ∈ G entao

Λx−1 ⊗R Λx ⊗R Λy ' Γx−1 ⊗R Θx ⊗R Ωx−1 ⊗R R1x ⊗R Λxy

' Γx−1 ⊗R Θx ⊗R Ωx−1 ⊗R Λxy

= Λx−1 ⊗R Λxy.

Por outro lado,

Λx ⊗R Λy ⊗R Λy−1 ' R1x ⊗R Λxy ⊗R Λy−1

' R1x ⊗R Γxy ⊗R Θ(xy)−1 ⊗R Ωxy ⊗R Γy−1 ⊗R Θy ⊗R Ωy−1

' Γxy ⊗R R1y−1 ⊗R Θ(xy)−1 ⊗R Ωxy ⊗R Γy−1 ⊗R Θy ⊗R Ωy−1

' Γxy ⊗R Θ(xy)−1 ⊗R R1x ⊗R Ωxy ⊗R Γy−1 ⊗R Θy ⊗R Ωy−1

' Γxy ⊗R Θ(xy)−1 ⊗R Ωxy ⊗R R1y−1 ⊗R Γy−1 ⊗R Θy ⊗R Ωy−1

' Γxy ⊗R Θ(xy)−1 ⊗R Ωxy ⊗R Γy−1 ⊗R Θy ⊗R Ωy−1

= Λxy ⊗R Λy−1 .

Logo, Λ e uma representacao parcial. Observe agora que

Λx ⊗R Λx−1 = Γx ⊗R Θx−1 ⊗R Ωx ⊗R Γx−1 ⊗R Θx ⊗R Ωx−1

' Γx ⊗R Γx−1 ⊗R Θx ⊗R Θx−1 ⊗R Ωx ⊗R Ωx−1

' R1x ⊗R R1x ⊗R R1x ' R1x.

Portanto, Λ e unital. Como Γx|Θx e Ωx|Θx, entao Λx ' Γx ⊗Θx−1 ⊗ Ωx|Θx, para todo x ∈ G.

Por definicao temosβΓx,y,z fΓ

x,yz (Γx ⊗ fΓy,z) = fΓ

xy,z ⊗ (fΓx,y ⊗ Γz), (3.30)

βΩx,y,z fΩ

x,yz (Ωx ⊗ fΩy,z) = fΩ

xy,z ⊗ (fΩx,y ⊗ Ωz). (3.31)

Vamos mostrar que βΓx,y,zβ

Ωx,y,zf

Λx,yz (Λx ⊗ fΛ

y,z) = fΛxy,z (fΛ

x,y ⊗ Λz), para todos x, y, z ∈ G.


A composta fΛxy,z (fΛ

x,y ⊗ Λz) e dada por:

Γx ⊗R Θx−1 ⊗R Ωx ⊗R Γy ⊗R Θy−1 ⊗R Ωy ⊗R Γz ⊗R Θz−1 ⊗R Ωz

..

Γx⊗T1⊗Ωy⊗Λz

,,Γx ⊗R Γy ⊗R Θy−1 ⊗R Θx−1 ⊗R Ωx ⊗R Ωy ⊗R Γz ⊗R Θz−1 ⊗R Ωz

fΓx,y⊗f

Θy−1,x−1⊗fΩ

x,y⊗⊗Λz

1xΓxy ⊗R Θ(xy)−1 ⊗R Ωxy ⊗R Γz ⊗R Θz−1 ⊗R Ωz

1xΓxy⊗T2⊗Ωz

1xΓxy ⊗R Γz ⊗R Θz−1 ⊗R Θ(xy)−1 ⊗R Ωxy ⊗R Ωz

fΓxy,z⊗f

Θz−1,(xy)−1⊗fΩ

xy,z

1x1xyΓxyz ⊗R Θ(xyz)−1 ⊗R Ωxyz

onde T1 e T2 sao os isomorfismos

T1 : Θx−1 ⊗R Ωx ⊗R Γy ⊗R Θy−1 −→ Γy ⊗R Θy−1 ⊗R Θx−1 ⊗R Ωx,

T2 : Θ(xy)−1 ⊗R Ωxy ⊗R Γz ⊗R Θz−1 −→ Γz ⊗R Θz−1 ⊗R Θ(xy)−1 ⊗R Ωxy.

Por outro lado, fΛx,yz (Λx ⊗ fΛ

y,z) e dado por

Γx ⊗R Θx−1 ⊗R Ωx ⊗R Γy ⊗R Θy−1 ⊗R Ωy ⊗R Γz ⊗R Θz−1 ⊗R Ωz

..

Λx⊗Γy⊗T3⊗Ωz

,,Γx ⊗R Θx−1 ⊗R Ωx ⊗R Γy ⊗R Γz ⊗R Θz−1 ⊗R Θy−1 ⊗R Ωy ⊗R Ωz

Λx⊗fΓy,z⊗f

Θz−1,y−1⊗fΩ

y,z

Γx ⊗R Θx−1 ⊗R Ωx ⊗R 1yΓyz ⊗R Θ(yz)−1 ⊗R Ωyz

Γx⊗T4⊗Ωyz

1xyΓx ⊗R Γyz ⊗R Θ(yz)−1 ⊗R Θx−1 ⊗R Ωx ⊗R Ωyz

fΓx,yz⊗f

Θ(yz)−1,x−1⊗fΩ

x,yz

1x1xyΓxyz ⊗R Θ(xyz)−1 ⊗R Ωxyz


T3 : Θy−1 ⊗R Ωy ⊗R Γz ⊗R Θz−1 −→ Γz ⊗R Θz−1 ⊗R Θy−1 ⊗R Ωy,

T4 : Θx−1 ⊗R Ωx ⊗R Γyz ⊗R Θ(yz)−1 −→ Γyz ⊗R Θ(yz)−1 ⊗R Θx−1 ⊗R Ωx.

Vamos construir os isomorfismos Ti, com i = 1, 2, 3, 4. Para isso, considere as aplicacoes R-bilinear

ϕi : Θx−1 ⊗R Ωx → R e ψi : R → Θx−1 ⊗R Ωx, com i = 1, 2, ..., n, tais que

n∑i=1

ψiϕi = IdΘx−1⊗Ωxe

ϕ′j : Γz⊗RΘz−1 → R e ψ′j : R→ Γz⊗RΘz−1 , com j = 1, 2, ...,m, tais que

m∑j=1

ψ′jϕ′j = IdΓz⊗Θz−1 . Denote

ψi(1) =∑l

ui,lx−1 ⊗ ωi,lx e ψ′j(1) =∑k

vj,kz ⊗ uj,kz−1 .


Pelo Lema 2.3.5, temos:

T1 : Θx−1 ⊗R Ωx ⊗R Γy ⊗R Θy−1 → Γy ⊗R Θy−1 ⊗R Θx−1 ⊗R Ωx

ux−1 ⊗ ωx ⊗ vy ⊗ uy−1 7→∑i,l

ϕi(ux−1 ⊗ ωx)vy ⊗ uy−1 ⊗ ui,lx−1 ⊗ ωi,lx ,

T2 : Θ(xy)−1 ⊗R Ωxy ⊗R Γz ⊗R Θz−1 → Γz ⊗R Θz−1 ⊗R Θ(xy)−1 ⊗R Ωxy

u(xy)−1 ⊗ ωxy ⊗ vz ⊗ uz−1 7→∑j,k

vj,kz ⊗ uj,kz−1 ⊗ u(xy)−1 ⊗ ωxyϕ′j(vz ⊗ uz−1),

T3 : Θy−1 ⊗R Ωy ⊗R Γz ⊗R Θz−1 → Γz ⊗R Θz−1 ⊗R Θy−1 ⊗R Ωy

uy−1 ⊗ ωy ⊗ vz ⊗ uz−1 7→∑j,k

vj,kz ⊗ uj,kz−1 ⊗ uy−1 ⊗ ωyϕ′j(vz ⊗ uz−1),

T4 : Θx−1 ⊗R Ωx ⊗R Γyz ⊗R Θ(yz)−1 → Γyz ⊗R Θ(yz)−1 ⊗R Θx−1 ⊗R Ωx

ux−1 ⊗ ωx ⊗ vyz ⊗ u(yz)−1 7→∑i,l

ϕi(ux−1 ⊗ ωx)vyz ⊗ u(yz)−1 ⊗ ui,lx−1 ⊗ ωi,lx .

Entao, fΛx,yz (Λx ⊗ fΛ

y,z) e dado por:

vx ⊗ ux−1 ⊗ ωx ⊗ vy ⊗ uy−1 ⊗ ωy ⊗ vz ⊗ uz−1 ⊗ ωzT37→

∑j,k

vx ⊗ ux−1 ⊗ ωx ⊗ vy ⊗ vj,kz ⊗ uj,kz−1 ⊗ uy−1 ⊗ ωyϕ′j(vz ⊗ uz−1)⊗ ωz

7→∑j,k

vx ⊗ ux−1 ⊗ ωx ⊗ fΓy,z(vy ⊗ vj,kz )⊗ (uj,kz−1

Θ uy−1)⊗ fΩy,z(ωyϕ

′j(vz ⊗ uz−1)⊗ ωz)

T47→∑i,j,k,l

vx ⊗ ϕi(ux−1 ⊗ ωx)fΓy,z(vy ⊗ vj,kz )⊗ (uj,kz−1

Θ uy−1)⊗ ui,lx−1 ⊗ ωi,lx ⊗ fΩy,z(ωyϕ

′j(vz ⊗ uz−1)⊗ ωz)

7→∑i,j,k,l

fΓx,yz(vx ⊗ ϕi(ux−1 ⊗ ωx)fΓ

y,z(vy ⊗ vj,kz ))⊗ ((uj,kz−1

Θ uy−1)Θ ui,lx−1)

⊗fΩx,yz(ω

i,lx ⊗ fΩ

y,z(ωyϕ′j(vz ⊗ uz−1)⊗ ωz))

Por outro lado, fΛxy,z (fΛ

x,y ⊗ Λz) e dado por:

vx ⊗ ux−1 ⊗ ωx ⊗ vy ⊗ uy−1 ⊗ ωy ⊗ vz ⊗ uz−1 ⊗ ωzT17→

∑i,l

vx ⊗ ϕi(ux−1 ⊗ ωx)vy ⊗ uy−1 ⊗ ui,lx−1 ⊗ ωi,lx ⊗ ωy ⊗ vz ⊗ uz−1 ⊗ ωz

7→∑i,l

fΓx,y(vx ⊗ ϕi(ux−1 ⊗ ωx)vy)⊗ (uy−1

Θ ui,lx−1)⊗ fΩx,y(ωi,lx ⊗ ωy)⊗ vz ⊗ uz−1 ⊗ ωz

T27→∑i,j,k,l

fΓx,y(vx ⊗ ϕi(ux−1 ⊗ ωx)vy)⊗ vj,kz ⊗ u

j,kz−1 ⊗ (uy−1

Θ ui,lx−1)⊗ fΩx,y(ωi,lx ⊗ ωy)ϕ′j(vz ⊗ uz−1)⊗ ωz

7→∑i,j,k,l

fΓxy,z(f

Γx,y(vx ⊗ ϕi(ux−1 ⊗ ωx)vy)⊗ vj,kz )⊗ (uj,kz−1

Θ (uy−1

Θ ui,lx−1))

⊗fΩxy,z(f

Ωx,y(ωi,lx ⊗ ωyϕ′j(vz ⊗ uz−1))⊗ ωz)


(3.30),(3.31)=

∑i,j,k,l

βΓx,y,zf

Γx,yz(vx ⊗ ϕi(ux−1 ⊗ ωx)fΓ



⊗βΩx,y,zf

Ωx,yz(ω

i,lx ⊗ fΩ


(3.14)=

∑i,j,k,l

βΓx,y,zf


y,z(vy ⊗ vj,kz ))⊗ αz−1y−1x−1(βΩx,y,z1xyz)((u

j,kz−1


⊗fΩx,yz(ω

i,lx ⊗ fΩ


(3.15)=

∑i,j,k,l

βΓx,y,zβ

Ωx,y,zf




⊗fΩx,yz(ω

i,lx ⊗ fΩ


Entao,

βΓx,y,zβ

Ωx,y,zf

Λx,yz (Λx ⊗ fΛ

y,z) = fΛxy,z (fΛ

x,y ⊗ Λz), para todo x, y, z ∈ G.

Portanto, βΛ−,−,− = βΓ

−,−,−βΩ−,−,−.

Se fΓ e fΩ sao conjuntos de fatores, entao βΓ−,−,− e βΩ

−,−,− sao triviais. Assim, βΛ−,−,− tambem e

trivial. Logo, fΛ e um conjunto de fatores para Λ. Portanto, ∆(Λ) e um produto cruzado generalizadoparcial.

Definicao 3.3.9. Sejam ∆(Θ) e ∆(Γ) produtos cruzados generalizados parciais com isomorfismos deR-bimodulos e aneis i : R −→ Θ1 e j : R −→ Γ1 como na Observacao 3.3.4. Um morfismo de produtoscruzados generalizados parciais F : ∆(Θ) −→ ∆(Γ) e um conjunto de morfismos Fx : Θx −→ Γx, x ∈ Gtal que F1 i = j e o diagrama

Θx ⊗R Θy

fΘx,y //

Fx⊗Fy

1xΘxy

Fxy

Γx ⊗R Γy

fΓx,y

// 1xΓxy

(3.32)

seja comutativo. Um morfismo de produtos cruzados generalizados parciais F e dito um isomorfismo secada Fx : Θx −→ Γx e um isomorfismo de R-bimodulos.

E importante observar que se temos uma famılia de isomorfismos F = Fx : Θx −→ Γx, x ∈ G quesatisfazem o diagrama comutativo (3.32), entao F e um isomorfismo de produtos cruzados generalizadosparciais, ou seja, F1 i = j sera satisfeita automaticamente. De fato, a comutatividade do diagrama(3.32) e dos diagramas na Observacao 3.3.4 implicam que o diagrama abaixo e comutativo

R⊗R Θx

'

$$

i⊗Θx // Θ1 ⊗R ΘxF1⊗Fx //

fΘ1,x

Γ1 ⊗R Γx

fΓ1,x

R⊗R Γx

'

zz

j⊗Γxoo

ΘxFx

// Γx


Seja vx ∈ Γx, entao existe ux ∈ Θx tal que Fx(ux) = vx. Pela comutatividade do diagrama temos

(F1(i(1))Γ Fx(ux)) = Fx(ux), ou seja,

(F1(i(1))Γ vx) = vx, para todo vx ∈ Γx.

Por outro lado, a comutatividade do diagrama

Θx ⊗R R

'

$$

Θx⊗i // Θx ⊗R Θ1Fx⊗F1 //

fΘx,1

Γx ⊗R Γ1

fΓx,1

Γx ⊗R R

'

zz

Γx⊗joo

ΘxFx

// Γx

implica que (vxΓ F1(i(1))) = vx, para todo vx ∈ Γx. Logo, F (i(1)) = j(1) e a unidade de ∆(Γ). Portanto,

F i = j.

Observacao 3.3.10. Seja fΘ = fΘx,y : Θx ⊗R Θy −→ 1xΘxy, x, y ∈ G um conjunto de fatores para

Θ. Para cada x ∈ G temos um isomorfismo de R-bimodulos fΘx,x−1 : Θx ⊗Θx−1 −→ R1x, cujo inverso e

dada

(fΘx,x−1)−1 : R1x −→ Θx ⊗R Θx−1

r1x −→∑(x)

rωx ⊗ ωx−1 ,

onde∑(x)

(ωxΘ ωx−1) = 1x. Restringindo o isomorfismo fΘ

xy,(xy)−1 a 1xΘxy⊗R Θ(xy)−1 temos um isomor-

fismo de R-bimodulos 1xfΘxy,(xy)−1 : 1xΘxy ⊗R Θ(xy)−1 −→ R1x1xy. Sejam

1x =∑(x)

(ωxΘ ωx−1) e 1y =

∑(y)

(ωyΘ ωy−1).

Pela associatividade, temos

∑(x),(y)

((ωx

Θ ωy)Θ (ωy−1

Θ ωx−1))

=∑

(x),(y)

(ωx

Θ (ωyΘ ωy−1)

Θ ωx−1

)=

∑(x)

(ωx1yΘ ωx−1) =

∑(x)

1xy(ωxΘ ωx−1)

= 1xy1x.

Entao,

(1xfΘxy,y−1x−1)−1 : R1x1xy −→ 1xΘxy ⊗R Θ(xy)−1

r1x11xy 7−→∑

(x),(y)

r((ωxΘ ωy)⊗ (ωy−1

Θ ωx−1)).


De fato, seja r ∈ R1x1xy e ωxy ∈ Θxy, ω(xy)−1 ∈ Θ(xy)−1 com∑(xy)

ωxyΘ ω(xy)−1 = 1xy. Entao

∑(xy)

rωxy ⊗ ω(xy)−1 =∑(xy)

r1x1xyωxy ⊗ ω(xy)−1

=∑

(x),(y),(xy)

r(

(ωxΘ ωy)

Θ (ωy−1

Θ ωx−1))ωxy ⊗ ω(xy)−1

=∑

(x),(y),(xy)

r(

(ωxΘ ωy)

Θ (ωy−1

Θ ωx−1)Θ ωxy

)⊗ ω(xy)−1

=∑

(x),(y),(xy)

r(ωxΘ ωy)

((ωy−1

Θ ωx−1)Θ ωxy

)︸︷︷︸

∈R

⊗ω(xy)−1

=∑

(x),(y),(xy)

r(ωxΘ ωy)⊗

((ωy−1

Θ ωx−1)Θ ωxy

)ω(xy)−1

=∑

(x),(y),(xy)

r(ωxΘ ωy)⊗ (ωy−1

Θ ωx−1)(ωxy

Θ ω(xy)−1

)=

∑(x),(y)


Θ ωx−1)1xy

=∑

(x),(y)


Θ 1yωx−1)

=∑

(x),(y)


Θ ωx−1).

3.3.1 Representacoes parciais unitais em SR(S).

Nesta secao vamos relacionar um produto cruzado parcial generalizado com uma extensao de aneis commesma unidade. Ja vimos na Secao 3.3 que dada uma representacao parcial unital Θ : G −→ PicS(R) detal forma que tenhamos um produto cruzado generalizado parcial ∆(Θ), entao R ⊆ ∆(Θ) e uma extensaode aneis com mesma unidade. Vamos ver como obter um produto cruzado generalizado a partir de umaextensao de aneis R ⊆ S e uma representacao parcial.

Seja R ⊆ S uma extensao de aneis com mesma unidade e denote SR(S) o conjunto dos R-subbimodulosde S. Dados M,N ∈ SR(S) definindo o produto por

MN =

k∑i=1

mini; mi ∈M,ni ∈ N

.

Entao, SR(S) e monoide onde o elemento neutro e anel R.

Uma representacao parcialΘ : G −→ SR(S)

x 7−→ Θx

e dita unital se εx = ΘxΘx−1 = R1x, onde 1x e um idempotente central em R, para todo x ∈ G. De,ΘxΘx−1Θx = Θx, para todo x ∈ G, temos que R1xΘx = Θx e ΘxR1x−1 = Θx, logo 1xux = ux eux1x−1 = ux, para todo ux ∈ Θx e x ∈ G.

Proposicao 3.3.11. Seja Θ : G −→ SR(S) uma representacao parcial unital. Entao,


(i) [Θx] ∈ PicS(R).

(ii) Se M e um S-bimodulo, entao

ml : Θx ⊗RM −→ ΘxMux ⊗m 7−→ uxm

emr : M ⊗R Θx −→ MΘx

m⊗ ux 7−→ mux

sao isomorfismos de R-S-bimodulos e S-R-bimodulos, respectivamente.

(iii) Sejam M um S-bimodulo e N um R-subbimodulo de M . Entao, temos os seguintes isomorfismosde R-bimodulos:

Θx ⊗R N −→ ΘxNux ⊗ n 7−→ uxn

eN ⊗R Θx −→ NΘx

n⊗ ux−1 7−→ nux−1.

Demonstracao. (i) Sejam ωix ∈ Θx e ωix−1 ∈ Θx−1 tais que

m∑i=1

ωixωix−1 = 1x. Defina,

fi : Θx −→ Rux 7−→ ωix−1ux

.

Entao, fi e R-linear a direita e temos

n∑i=1

ωixfi(ux) =

n∑i=1

ωixωix−1ux = 1xux = ux,

para todo ux ∈ Θx. Logo, ωix, fi e base dual de Θx como R-modulo a direita.

Analogamente, sejam ωjx ∈ Θx e ωjx−1 ∈ Θx−1 , com j = 1, 2, ...,m, tais que

m∑j=1

ωjx−1ωjx = 1x−1 . Defina

gj : Θx −→ R

ux −→ uxωjx−1 .

Entao, gj e R-linear a esquerda e temos

m∑j=1

gj(ux)ωjx =

m∑j=1

uxωjx−1ω

jx = ux1x−1 = ux,

para todo ux ∈ Θx. Logo, ωjx, gj e base dual para Θx como R-modulo a esquerda.

Seja ϕ : Θx −→ Θx R-linear a direita. Entao, ϕ =

n∑i=1

ϕ(ωix)ωix−1 ∈ R1x e temos

ϕux =

n∑i=1

ϕ(ωix)ωix−1ux =

n∑i=1

ϕ(ωixωix−1ux) = ϕ(1xux) = ϕ(ux),

para todo ux ∈ Θx. Entao, a aplicacao R −→ End(ΘxR) definida por r 7−→ (ux 7→ rux) e sobrejetora.

Analogamente, se ψ : Θx −→ Θx e R-linear a esquerda, entao ψ =

m∑j=1

ωjx−1ψ(ωjx) ∈ R1x−1 e temos

uxψ =

m∑j=1

uxωjx−1ψ(ωjx) =

m∑j=1

ψ(uxωjx−1ω

jx) = ψ(ux1x−1) = ψ(ux),


para todo ux ∈ Θx. Logo, a aplicacao R −→ End(RΘx) definida por r 7−→ (ux 7→ uxr) e sobrejetora.Portanto, [Θx] ∈ PicS(R).

(ii) Claramente ml e bem definida e R-S-bilinear. Sua inversa e dada por

m−1l : ΘxM −→ Θx ⊗RM

m 7−→∑(x)

ωx ⊗ ωx−1m,

onde 1x =∑(x)

ωxωx−1 , com ωx ∈ Θx e ωx−1 ∈ Θx−1 . De fato, vejamos que m−1l esta bem definida. Seja

1x =∑x

ωxωx−1 outra decomposicao de 1x. Entao,

m−1l (m) =

∑(x)

ωx ⊗ ωx−1m =∑(x)

ωx ⊗ ωx−11xm =∑

(x),(x)

ωx ⊗ ωx−1 ωxωx−1m

=∑

(x),(x)

ωxωx−1 ωx ⊗ ωx−1m =∑(x)

1xωx ⊗ ωx−1m =∑(x)

ωx ⊗ ωx−1m.

Observe que ΘxM = 1xM = m ∈ M, 1xm = m. De fato, claramente ΘxM ⊆ 1xM . Seja m ∈ 1xM ,entao

m = 1xm =∑(x)

(ωxωx−1)m =∑(x)

ωx(ωx−1m) ∈ ΘxM.

Analogamente, MΘx = M1x−1 , para todo x ∈ G. Assim, dado m ∈ ΘxM , temos

(ml m−1l )(m) =

∑(x)

ωxωx−1m = 1xm = m.

Por outro lado, dados ux ∈ Θx e m ∈M , temos

(m−1l ml)(ux ⊗m) =

∑(x)

ωx ⊗ ωx−1uxm =∑(x)

ωxωx−1ux ⊗m

= 1xux ⊗m = ux ⊗m.

Portanto, ml e isomorfismo de R-S-bimodulos. Analogamente, temos que a inversa de mr e dada por

m−1r : MΘx −→ M ⊗R Θx

m 7−→∑(x)

mωx−1 ⊗ ωx,

onde 1x−1 =∑(x)

ωx−1ωx.

(iii) Observe que ΘxN ⊆M e um R-subbimodulo de M , tal que:

• 1xn = n, para todo n ∈ ΘxN .

• ux−1n ∈ N , para todo n ∈ ΘxN e ux−1 ∈ Θx−1 . De fato, se n ∈ ΘxN , entao n =

n∑i=1

uixni, com

uix ∈ Θx e ni ∈ N . Como N ⊆M e R-subbimodulo, temos

ux−1n =

n∑i=1

ux−1(uixni) =

n∑i=1

(ux−1uix︸︷︷︸∈R1x−1

)ni ∈ N.


Analogamente, NΘx e um R-subbimodulo de M que satisfaz:

• n′1x−1 = n, para todo n′ ∈ NΘx.

• n′ux−1 ∈ N , para todo n′ ∈ NΘx e ux−1 ∈ Θx−1 .

Logo, o isomorfismo segue como no item (ii).

Corolario 3.3.12. Seja N ∈ SR(S), entao Θx ⊗R N ' ΘxN , para todo x ∈ G. Em particular, Θx ⊗RΘy ' ΘxΘy, para todo x, y ∈ G.

Observacao 3.3.13. SejaΘ : G −→ SR(S)

x 7−→ Θx

uma representacao unital com ΘxΘx−1 = R1x. Pela Proposicao 3.3.11 e pelo Corolario 3.3.12 temos que

Θ : G −→ PicS(R)x 7−→ [Θx]

e uma representacao parcial unital com Θx ⊗ Θx−1 ' R1x, para todo x ∈ G. Seja fΘ a famılia deisomorfismos de R-bimodulos onde

fΘx,y : Θx ⊗R Θy −→ ΘxΘy = 1xΘxy

ux ⊗ uy 7−→ uxuy

e induzido pela multiplicacao em S. Entao, fΘ e um conjunto de fatores para Θ. Logo, temos um produtocruzado generalizado parcial ∆(Θ), onde cada Θx ⊆ S e um R-subbimodulo.

Reciprocamente, se temos uma representacao parcial unital Θ : G −→ PicS(R), com um conjunto defatores fΘ, o produto cruzado generalizado parcial ∆(Θ) e uma extensao do anel R com mesma unidade.Neste caso, cada Θx ⊆ ∆(Θ) e um R-subbimodulo. Pelo Corolario 3.3.12 temos que Θ : G −→ SR(∆(Θ))com Θ(x) = Θx, e uma representacao parcial unital.

Exemplo 3.3.14. (Produto cruzado parcial) Seja α = (Dxx∈G, αxx∈G, ωx,yx,y∈G) uma acao par-cial unitaria torcida (ver [27, Definicao 2.1] ) de G sobre R com Dx = R1x, para todo x ∈ G. Considereo produto cruzado parcial Roα,ω G =

⊕x∈GDxδx onde o produto e definido por

(uxδx)(uyδy) = uxαx(uy1x−1)ωx,yδxy.

Por [27, Teorema 2.4], Roα,ω G e associativo. Considere

Θ : G −→ SR(Roα,ω G)x 7−→ Dxδx

.

E facil ver que (Dxδx)(Dx−1δx−1)(Dxδx) ⊆ Dxδx, para todo x ∈ G. Por outro lado, seja uxδx ∈ Dxδx,entao

(uxδx)(1x−1δx−1)(ω−1x,x−1δx) = (uxωx,x−1δ1)(ω−1

x,x−1δx) = uxωx,x−1ω−1x,x−1δx = ux1xδx = uxδx.

Logo, temos a igualdade (Dxδx)(Dx−1δx−1)(Dxδx) = Dxδx, para todo x ∈ G. Por [27, Lema 5.3], temosque

(Dxδx)(Dyδy)(Dy−1δy−1) = (Dxyδxy)(Dy−1δy−1) e (D−1x δx)(Dxδx)(Dyδy) = (Dx−1δx−1)(Dxyδxy),


para todos x, y ∈ G. Logo, Θ e representacao parcial. Observe agora que (Dxδx)(Dx−1δx−1) = Dx,para todo x ∈ G. De fato, a inclusao (Dxδx)(Dx−1δx−1) ⊆ Dx e imediata. Dado ux ∈ Dx, temos(uxω

−1x,x−1δx)(1x−1δx) = uxω

−1x,x−1ωx,x−1δ1 = ux1xδ1 = uxδ1 ∈ Dx. Portanto, Θ e representacao parcial

unital. Pela Observacao 3.3.13, temos que

fΘx,y : (Dxδx)⊗ (Dyδy) −→ DxDxyδxy

uxδx ⊗ uyδy 7−→ uxαx(uy1x−1)ωx,yδxy,

e um conjunto de fatores para Θ. Portanto, ∆(Θ) =⊕

x∈GDxδx = R oα,ω G e um produto cruzadogeneralizado parcial.

3.4 O grupo C(Θ/R)

Vamos fixarΘ : G −→ PicS(R)

x 7−→ [Θx]

uma representacao parcial unital com εx = Θx ⊗R Θx−1 ' R1x, para todo x ∈ G, tal que exista umconjunto de fatores fΘ = fΘ

x,y : Θx⊗R Θy −→ 1xΘxy, x, y ∈ G para Θ, e seja ∆(Θ) o produto cruzadogeneralizado parcial.

DefinimosC(Θ/R) = [∆(Γ)]; Γx|Θx e Γx ⊗R Γx−1 ' R1x, para todo x ∈ G.

Proposicao 3.4.1. C(Θ/R) e um grupo abeliano com operacao definida por

[∆(Ω)][∆(Γ)] =

[⊕x∈G

Ωx ⊗R Θx−1 ⊗R Γx

].

com conjunto de fatores dados por:

Γx ⊗R Θx−1 ⊗R Ωx ⊗R Γy ⊗R Θy−1 ⊗R ΩyΓx⊗TΘ

x−1⊗Ωx,Γy⊗Θy−1⊗Ωy

,,

fΛx,y

,,

Γx ⊗R Γy ⊗R Θy−1 ⊗R Θx−1 ⊗R Ωx ⊗R Ωy

fΓx,y⊗f

Θy−1,x−1⊗fΩ

x,y

1xΓxy ⊗R 1y−1Θ(xy)−1 ⊗R 1xΩxy

1xΓxy ⊗R Θ(xy)−1 ⊗R Ωxy

onde T−,− e o isomorfismo da Proposicao 2.3.5.

Demonstracao. Por simplicidade de notacao, nessa demonstracao ⊗ denotara ⊗R. Pelo Lema 3.3.8,temos que

[∆(Ω)][∆(Γ)] =

[⊕x∈G


]∈ C(Θ/R).

3.4. O GRUPO C(Θ/R) 61

Vamos verificar que essa operacao esta bem definida, ou seja, nao depende da escolha do represen-tante da classe de isomorfismo. Sejam [∆(Γ)] = [∆(Σ)] e [∆(Ω)] = [∆(Λ)] em C(Θ/R), entao existemisomorfismos de R-bimodulos ax : Γx −→ Σx e bx : Ωx −→ Λx, tais que os diagramas

Γx ⊗ Γy

ax⊗ay

fΓx,y // 1xΓxy

axy

Σx ⊗ Σy

fΣx,y

// 1xΣxy

Ωx ⊗ Ωy

bx⊗by

fΩx,y // 1xΩxy

bxy

Λx ⊗ Λy

fΛx,y

// 1xΛxy

comutam, ou seja,

axy(vxΓ vy) = (ax(vx)

Σ ay(vy)) e bxy(ωxΩ ωy) = (bx(ωx)

Λ by(ωy)), (3.33)

para todo vx ∈ Γx, vy ∈ Γy, ωx ∈ Ωx e ωy ∈ Ωy. Por definicao temos

[∆(Γ)][∆(Ω)] =

[⊕x∈G

Γx ⊗Θx−1 ⊗ Ωx

]e [∆(Σ)][∆(Λ)] =

[⊕x∈G

Σx ⊗Θx−1 ⊗ Λx

]

Defina o isomorfismo

dxy : Γx ⊗Θx−1 ⊗ Ωx −→ Σx ⊗Θx−1 ⊗ Λxvx ⊗ ux−1 ⊗ ωx 7−→ ax(vx)⊗ ux−1 ⊗ bx(ωx)

Vejamos que o diagrama abaixo e comutativo

Γx ⊗Θx−1 ⊗ Ωx ⊗ Γy ⊗Θy−1 ⊗ Ωy

dx⊗dy

fΓΩx,y // 1xΓxy ⊗Θ(xy)−1 ⊗ Ωxy

dxy

Σx ⊗Θx−1 ⊗ Λx ⊗ Σy ⊗Θy−1 ⊗ Λy

fΣΛx,y

// 1xΣxy ⊗Θ(xy)−1 ⊗ Λxy

Por um lado, temos que

dxy fΓΩx,y = dxy (fΓ

x,y ⊗ fΘy−1,x−1 ⊗ fΩ

x,y) (Γx ⊗ T1 ⊗ Ωy),

onde T1 : Θx−1 ⊗ Ωx ⊗ Γy ⊗Θy−1 −→ Γy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗ Ωx. Por outro lado,

fΣΛx,y (dx ⊗ dy) = (fΣ

x,y ⊗ fΘy−1,x−1 ⊗ fΛ

x,y) (Σx ⊗ T2 ⊗ Λy) (dx ⊗ dy),

onde T2 : Θx−1 ⊗ Λx ⊗ Σy ⊗ Θy−1 −→ Σy ⊗ Θy−1 ⊗ Θx−1 ⊗ Λx. Vamos construir os isomorfismos T1 eT2 usando a Proposicao 2.3.5. Para isso, considere as aplicacoes R-bilineares fi : Θx−1 ⊗ Ωx −→ R e

gi : R −→ Θx−1 ⊗ Ωx, com i = 1, 2, ..., n, tais que

n∑i=1

gi fi = IdΘx−1⊗Ωx . Defina

f i : Θx−1 ⊗ ΛxΘx−1⊗b−1

x // Θx−1 ⊗ Ωxfi // R


gi : Rgi // Θx−1 ⊗ Ωx

Θx−1⊗bx // Θx−1 ⊗ Λx

para i = 1, 2, ..., n. Entao, f i e gi sao R-bilineares e temos

n∑i=1

gif i = IdΘx−1⊗Λ. Denotando, gi(1) =∑l

ui,lx−1 ⊗ ωi,lx , entao gi(1) =∑l

ui,lx−1 ⊗ bx(ωi,lx ). Assim,

T1 : Θx−1 ⊗ Ωx ⊗ Γy ⊗Θy−1 −→ Γy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗ Ωx

ux−1 ⊗ ωx ⊗ vy ⊗ uy−1 7−→∑i,l

fi(ux−1 ⊗ ωx)vy ⊗ uy−1 ⊗ ui,lx−1 ⊗ ωi,lx

T2 : Θx−1 ⊗ Λx ⊗ Σy ⊗Θy−1 −→ Σy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗ Λx

ux−1 ⊗ lx ⊗ ty ⊗ uy−1 7−→∑i,l

fi(ux−1 ⊗ b−1x (lx))ty ⊗ uy−1 ⊗ ui,lx−1 ⊗ bx(ωi,lx ).

Logo, fΣΛx,y (dx ⊗ dy) e dado por:

vx ⊗ ux−1 ⊗ ωx ⊗ vy ⊗ uy−1 ⊗ ωydx⊗dy7→ ax(vx)⊗ ux−1 ⊗ bx(ωx)⊗ ay(vy)⊗ uy−1 ⊗ by(ωy)

T27→∑i,l

ax(vx)⊗ fi(ux−1 ⊗ ωx)ay(vy)⊗ uy−1 ⊗ ui,lx−1 ⊗ bx(ωi,lx )⊗ by(ωy)

7→∑i,l

(ax(vx)Σ fi(ux−1 ⊗ ωx)ay(vy))⊗ (uy−1

Θ ui,lx−1)⊗ (bx(ωi,lx )Λ by(ωy)).

Por outro lado, dxy fΓΩx,y :

vx ⊗ ux−1 ⊗ ωx ⊗ vy ⊗ uy−1 ⊗ ωyT17→

∑i,l

vx ⊗ fi(ux−1 ⊗ ωx)vy ⊗ uy−1 ⊗ ui,lx−1 ⊗ ωi,lx ⊗ ωy

7→∑i,l

(vxΓ fi(ux−1 ⊗ ωx)vy)⊗ (uy−1

Θ ui,lx−1)⊗ (ωi,lxΩ ωy)

dxy7→∑i,l

axy(vxΓ fi(ux−1 ⊗ ωx)vy)⊗ (uy−1

Θ ui,lx−1)⊗ bxy(ωi,lxΩ ωy)

(3.33)=

∑i,l

(ax(vx)Σ fi(ux−1 ⊗ ωx)ay(vy))⊗ (uy−1

Θ ui,lx−1)⊗ (bx(ωi,lx )Λ by(ωy)).

Segue entao que dxy fΓΩx,y = fΣΛ

x,y (dx ⊗ dy), para todo x, y ∈ G. Isso implica que

[∆(Γ)][∆(Ω)] = [∆(Σ)][∆(Λ)] em C(Θ/R).

Portanto, a operacao esta bem definida.

Vejamos que, com essa operacao, C(Θ/R) e de fato um grupo.

Associatividade: Considere [∆(Γ)], [∆(Ω)], [∆(Σ)] ∈ C(Θ/R). Entao,

([∆(Γ)][∆(Ω)])[∆(Σ)] =

[⊕x∈G

Γx ⊗Θx−1 ⊗ Ωx ⊗Θx−1 ⊗ Σx

]e

[∆(Γ)]([∆(Ω)][∆(Σ)]) =

[⊕x∈G

Γx ⊗Θx−1 ⊗ Ωx ⊗Θx−1 ⊗ Σx

]


Vamos mostrar que f(ΓΩ)Σx,y = f

Γ(ΩΣ)x,y , para todo x, y ∈ G. Por um lado temos que f

(ΓΩ)Σx,y e dada pela

Γx ⊗Θx−1 ⊗ Ωx ⊗Θx−1 ⊗ Σx ⊗ Γy ⊗Θy−1 ⊗ Ωy ⊗Θy−1 ⊗ ΣyΓx⊗Θx−1⊗Ωx⊗T1⊗Σy

,,

f(ΓΩ)Σx,y

++

Γx ⊗Θx−1 ⊗ Ωx ⊗ Γy ⊗Θy−1 ⊗ Ωy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗ Σx ⊗ Σy

Γx⊗T2⊗Ωy⊗Θy−1⊗Θx−1⊗Σx⊗Σy

Γx ⊗ Γy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗ Ωx ⊗ Ωy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗ Σx ⊗ Σy

fΓx,y⊗f

Θy−1,x−1⊗fΩ

x,y⊗fΘy−1,x−1⊗fΣ

x,y

1xΓxy ⊗Θ(xy)−1 ⊗ Ωxy ⊗Θ(xy)−1 ⊗ Σxy


T1 : Θx−1 ⊗ Σx ⊗ Γy ⊗Θy−1 ⊗ Ωy ⊗Θy−1 −→ Γy ⊗Θy−1 ⊗ Ωy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗ Σx


Por outro lado, fΓ(ΩΣ)x,y e dado por

Γx ⊗Θx−1 ⊗ Ωx ⊗Θx−1 ⊗ Σx ⊗ Γy ⊗Θy−1 ⊗ Ωy ⊗Θy−1 ⊗ ΣyΓx⊗T3⊗Ωy⊗Θy−1⊗Σy

,,

fΓ(ΩΣ)x,y

++

Γx ⊗ Γy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗ Ωx ⊗Θx−1 ⊗ Σx ⊗ Ωy ⊗Θy−1 ⊗ Σy

Γx⊗Γy⊗Θy−1⊗Θx−1⊗Ωx⊗⊗T4⊗Σy

Γx ⊗ Γy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗ Ωx ⊗ Ωy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗ Σx ⊗ Σy

fΓx,y⊗f

Θy−1,x−1⊗fΩ

x,y⊗fΘy−1,x−1⊗fΣ

x,y

1xΓxy ⊗Θ(xy)−1 ⊗ Ωxy ⊗Θ(xy)−1 ⊗ Σxy

onde

T3 : Θx−1 ⊗ Ωx ⊗Θx−1 ⊗ Σx ⊗ Γy ⊗Θy−1 −→ Γy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗ Ωx ⊗Θx−1 ⊗ Σx

T4 : Θx−1 ⊗ Σx ⊗ Ωy ⊗Θy−1 −→ Ωy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗ Σx.

Vamos construir os isomorfismos T1, T2, T3 e T4: Sejam fi : Θx−1⊗Σx −→ R e gi : R −→ Θx−1⊗Σx, com

i = 1, 2, ..., n, aplicacoes R-bilineares que satisfazem

n∑i=1

gifi = IdΘx−1⊗Σx . Denote gi(1) =∑l

ui,lx−1⊗ti,lx ,


entao

T1 : Θx−1 ⊗ Σx ⊗ Γy ⊗Θy−1 ⊗ Ωy ⊗Θy−1 −→ Γy ⊗Θy−1 ⊗ Ωy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗ Σx

ux−1 ⊗ tx ⊗ vy ⊗ uy−1 ⊗ ωy ⊗ u′y−1 7−→∑i,l

fi(ux−1 ⊗ tx)vy ⊗ uy−1 ⊗ ωy ⊗ u′y−1 ⊗ ui,lx−1 ⊗ ti,lx ,

eT4 : Θx−1 ⊗ Σx ⊗ Ωy ⊗Θy−1 −→ Ωy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗ Σx

ux−1 ⊗ tx ⊗ ωy ⊗ uy−1 7−→∑i,l

fi(ux−1 ⊗ tx)ωy ⊗ uy−1 ⊗ ui,lx−1 ⊗ ti,lx .

Considere agora f ′j : Γy ⊗Θy−1 −→ R e g′j : R −→ Γy ⊗Θy−1 , com j = 1, 2, ...,m, aplicacoes R-bilinear

que satisfazem

m∑j=1

g′jf′j = IdΓy⊗Θy−1 . Denote gj(1) =

∑k

vj,ky ⊗ uj,ky−1 , entao


ux−1 ⊗ ωx ⊗ vy ⊗ uy−1 7−→∑j,k

vj,ky ⊗ uj,ky−1 ⊗ ux−1 ⊗ ωxf ′j(vy ⊗ uy−1)

e

T3 : Θx−1 ⊗ Ωx ⊗Θx−1 ⊗ Σx ⊗ Γy ⊗Θy−1 −→ Γy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗ Ωx ⊗Θx−1 ⊗ Σx

ux−1 ⊗ ωx ⊗ u′x−1 ⊗ tx ⊗ vy ⊗ uy−1 7−→∑j,k

vj,ky ⊗ uj,ky−1 ⊗ ux−1 ⊗ ωx ⊗ u′x−1 ⊗ txf ′j(vy ⊗ uy−1)

Vamos calcular f(ΓΩ)Σx,y :

vx ⊗ ux−1 ⊗ ωx ⊗ u′x−1 ⊗ tx ⊗ vy ⊗ uy−1 ⊗ ωy ⊗ u′y−1 ⊗ tyT17→

∑i,l

vx ⊗ ux−1 ⊗ ωx ⊗ fi(u′x−1 ⊗ tx)vy ⊗ uy−1 ⊗ ωy ⊗ u′y−1 ⊗ ui,lx−1 ⊗ ti,lx ⊗ ty

T27→∑i,j,l,k

vx ⊗ vj,ky ⊗ uj,ky−1 ⊗ ux−1 ⊗ ωxf ′j(fi(u′x−1 ⊗ tx)vy ⊗ uy−1)⊗ ωy ⊗ u′y−1 ⊗ ui,lx−1 ⊗ ti,lx ⊗ ty

7→∑i,j,l,k

(vxΓ vj,ky )⊗ (uj,ky−1

Θ ux−1)⊗ (ωxf′j(fi(u

′x−1 ⊗ tx)vy ⊗ uy−1)

Ω ωy)⊗ (u′y−1

Θ ui,lx−1)⊗ (ti,lxΘ ty).

Por outro lado, para fΓ(ΩΣ)x,y temos:

vx ⊗ ux−1 ⊗ ωx ⊗ u′x−1 ⊗ tx ⊗ vy ⊗ uy−1 ⊗ ωy ⊗ u′y−1 ⊗ tyT37→

∑j,k

vx ⊗ vj,ky ⊗ uj,ky−1 ⊗ ux−1 ⊗ ωx ⊗ u′x−1 ⊗ txf ′j(vy ⊗ uy−1)⊗ ωy ⊗ u′y−1 ⊗ ty

T47→∑i,j,k,l

vx ⊗ vj,ky ⊗ uj,ky−1 ⊗ ux−1 ⊗ ωx ⊗ fi(u′x−1 ⊗ txf ′j(vy ⊗ uy−1))ωy ⊗ u′y−1 ⊗ ui,lx−1 ⊗ ti,lx ⊗ ty

=∑i,j,k,l

vx ⊗ vj,ky ⊗ uj,ky−1 ⊗ ux−1 ⊗ ωx ⊗ fi(u′x−1 ⊗ tx)f ′j(vy ⊗ uy−1)ωy ⊗ u′y−1 ⊗ ui,lx−1 ⊗ ti,lx ⊗ ty

=∑i,j,k,l

vx ⊗ vj,ky ⊗ uj,ky−1 ⊗ ux−1 ⊗ ωx ⊗ f ′j(fi(u′x−1 ⊗ tx)vy ⊗ uy−1)ωy ⊗ u′y−1 ⊗ ui,lx−1 ⊗ ti,lx ⊗ ty

7→∑i,j,l,k

(vxΓ vj,ky )⊗ (uj,ky−1

Θ ux−1)⊗ (ωxf′j(fi(u

′x−1 ⊗ tx)vy ⊗ uy−1)

Ω ωy)⊗ (u′y−1

Θ ui,lx−1)⊗ (ti,lxΘ ty).

Logo, f(ΓΩ)Σx,y = f

Γ(ΩΣ)x,y . Portanto, temos a associatividade.


Elemento neutro: Vejamos agora que o elemento neutro e [∆(Θ)]. Dado [∆(Ω)] ∈ C(Θ/R), temos

[∆(Ω)][∆(Θ)] =

[⊕x∈G

Ωx ⊗R Θx−1 ⊗R Θx

].

Para cada x ∈ G considere o isomorfismo de R-bimodulos

ϕx : Ωx ⊗R Θx ⊗R Θx−1 −→ Ωx

ωx ⊗ ux ⊗ ux−1 7−→ ωx(uxΘ ux−1)

.

Entao, o temos o diagrama comutativo

Ωx ⊗R Θx−1 ⊗R Θx ⊗R Ωy ⊗R Θy−1 ⊗R Θy

ϕx⊗ϕy

fΩΘx,y // 1xΩxy ⊗R Θ(xy)−1 ⊗R Θxy

ϕxy

Ωx ⊗R Ωy

fΩx,y

// 1xΩxy

De fato, por um lado, temos:

fΩx,y (ϕx ⊗ ϕy)(ωx ⊗ ux−1 ⊗ ux ⊗ ωy ⊗ uy−1 ⊗ uy) = (ωx(ux−1

Θ ux)Ω ωy(uy−1

Θ uy)). (3.34)

Para o outro lado, observe que ϕxy fΩΘx,y e dado por

Ωx ⊗R Θx−1 ⊗R Θx ⊗R Ωy ⊗R Θy−1 ⊗R Θy

Ωx⊗T⊗Θy //

ϕxyfΩΘx,y

11

Ωx ⊗R Ωy ⊗R Θy−1 ⊗R Θx−1 ⊗R Θx ⊗R Θy

fΩx,y⊗f

Θy−1,x−1⊗fΘ

x,y

1xΩxy ⊗R Θ(xy)−1 ⊗R Θxy

ϕxy

1xΩxy

onde T : Θx−1 ⊗R Θx ⊗ Ωy ⊗R Θy−1 −→ Ωy ⊗R Θy−1 ⊗ Θx−1 ⊗R Θx e um isomorfismo de R-bimoduloscomo na Proposicao 2.3.5. Considere os isomorfismos de R-bimodulos

f : Θx−1 ⊗Θx

fΘx−1,x // R1x−1

// R

g : R // R1x−1

(fΘx−1,x

)−1

// Θx−1 ⊗Θx

E facil ver que gf = IdΘx−1⊗Θx. Entao, pelo Lema 2.3.5, o isomorfismo T e dado por

T : Θx−1 ⊗Θx ⊗ Ωy ⊗Θy−1 −→ Ωy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗Θx

ux−1 ⊗ ux ⊗ ωy ⊗ uy−1 7−→∑(x)

(ux−1

Θ ux)ωy ⊗ uy−1 ⊗ ux−1 ⊗ ux,


onde∑(x)

(ux−1

Θ ux) = 1x−1 .

Assim, ϕxy fΩΘx,y e dado por:

ωx ⊗ ux−1 ⊗ ux ⊗ ωy ⊗ uy−1 ⊗ uy 7→∑(x)

ωx ⊗ (ux−1

Θ ux)ωy ⊗ uy−1 ⊗ ux−1 ⊗ ux ⊗ uy

7→∑(x)

(ωxΩ (ux−1

Θ ux)ωy)⊗ (uy−1

Θ ux−1)⊗ (uxΘ uy)

7→∑(x)

(ωxΩ (ux−1

Θ ux)ωy)((uy−1

Θ ux−1)Θ (ux

Θ uy))

=∑(x)

(ωxΩ (ux−1

Θ ux)ωy)(uy−1

Θ (ux−1

Θ ux)Θ uy)

= (ωxΩ (ux−1

Θ ux)ωy)(uy−11x−1

Θ uy)

= (ωxΩ (ux−1

Θ ux)ωy(1(xy)−1uy−1

Θ uy))

= (ωxΩ (ux−1

Θ ux1x−1)ωy(uy−1

Θ uy))

= (ωx(ux−1

Θ ux)Ω ωy(uy−1

Θ uy)).

Logo, fΩx,y (ϕx⊗ϕy) = ϕxy fΩΘ

x,y . Portanto, temos a afirmacao. A comutatividade do diagrama implicaque

[∆(Ω)][∆(Θ)] = [∆(Ω)] em C(Θ/R).

Inverso: Dado [∆(Ω)] ∈ C(Θ/R) vamos mostrar que

[∆(Ω)]−1 =

[⊕x∈G

Θx ⊗R Ωx−1 ⊗R Θx

].

Pelo Lema 3.3.8 temos que [∆(Ω)]−1 ∈ C(Θ/R). Vamos verificar que

[∆(Ω)][∆(Ω)]−1 =

[⊕x∈G

Ωx ⊗R Θx−1 ⊗R Θx ⊗R Ωx−1 ⊗R Θx

]= [∆(Θ)]

Considere ψx o isomorfismo de R-bimodulos dado por

Ωx ⊗R Θx−1 ⊗R Θx ⊗R Ωx−1 ⊗R Θx//

ψx

--

Ωx ⊗R1x−1 ⊗R Ωx−1 ⊗R Θx

Ωx ⊗R Ωx−1 ⊗R Θx

R1x ⊗R Θx

Θx

ou seja,

ψx(ωx ⊗ ux−1 ⊗ ux ⊗ ωx−1 ⊗ u′x) = (ωx(ux−1

Θ ux)Ω ωx−1)u′x.


Denotando Πx = Ωx⊗RΘx−1⊗RΘx⊗RΩx−1⊗RΘx, para todo x ∈ G, vamos verificar que o diagrama

Πx ⊗R Πy

fΩΩ−1

x,y //

ψx⊗ψy

1xΠxy

ψxy

Θx ⊗R Θy

fΘx,y

// 1xΘxx

e comutativo. Por um lado, temos

(fΘx,y (ψx ⊗ ψy))(ωx ⊗ ux−1 ⊗ ux ⊗ ωx−1 ⊗ u′x ⊗ ωy ⊗ uy−1 ⊗ uy ⊗ ωy−1 ⊗ u′y)

=(

(ωx(ux−1

Θ ux)Ω ωx−1)u′x

Θ (ωy(uy−1

Θ uy)Ω ωy−1)u′y

). (3.35)

O outro lado do diagrama e dado pelas aplicacoes:

Ωx ⊗Θx−1 ⊗Θx ⊗ Ωx−1 ⊗Θx ⊗ Ωy ⊗Θy−1 ⊗Θy ⊗ Ωy−1 ⊗Θy

Ωx⊗T1⊗Θy⊗Ωy−1⊗Θy

,,

ψxyfΩΩ−1

x,y

//

Ωx ⊗ Ωy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗Θx ⊗ Ωx−1 ⊗Θx ⊗Θy ⊗ Ωy−1 ⊗Θy

Ωx⊗Ωy⊗Θy−1⊗Θx−1⊗Θx⊗⊗T2⊗Θy

Ωx ⊗ Ωy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗Θx ⊗Θy ⊗ Ωy−1 ⊗ Ωx−1 ⊗Θx ⊗Θy

fΩx,y⊗f

Θy−1,x−1⊗fΘ

x,y⊗fΩy−1,x−1⊗fΘ

x,y

1xΩxy ⊗Θ(xy)−1 ⊗Θxy ⊗ Ω(xy)−1 ⊗Θxy

ψxy

1xΘxy

onde T1 e T2 sao os isomorfismos:

T1 : Θx−1 ⊗Θx ⊗ Ωx−1 ⊗Θx ⊗ Ωy ⊗Θy−1 −→ Ωy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗Θx ⊗ Ωx−1 ⊗Θx,

T2 : Ωx−1 ⊗Θx ⊗Θy ⊗ Ωy−1 −→ Θy ⊗ Ωy−1 ⊗ Ωx−1 ⊗Θx.

Vamos construir os isomorfismos T1 e T2: Sejam fi : Ωx−1 ⊗ Θx −→ R e gi : R −→ Ωx−1 ⊗ Θx,

com i = 1, 2, ..., n, aplicacoes R-bilineares tais que

n∑i=1

gifi = IdΩx−1⊗RΘx . Como fi e gi sao R-bilineares,

entao fj(gi(1)) ∈ Z, para todo i, j = 1, ..., n. Vamos denotar gi(1) =∑l

ωi,lx−1 ⊗ ui,lx . Entao,

T2 : Ωx−1 ⊗R Θx ⊗R Θy ⊗R Ωy−1 −→ Θy ⊗R Ωy−1 ⊗R Ωx−1 ⊗R Θx

ωx−1 ⊗ ux ⊗ uy ⊗ ωy−1 7−→∑i,l

fi(ωx−1 ⊗ ux)uy ⊗ ωy−1 ⊗ ωi,lx−1 ⊗ ui,lx .


Para construir T2 vamos considerar as aplicacoes R-bilineares

fi : Θx−1 ⊗Θx ⊗ Ωx−1 ⊗Θx −→ R1x−1 ⊗ Ωx−1 ⊗Θx −→ Ωx−1 ⊗Θxfi−→ R,

gi : Rgi−→ Ωx−1 ⊗Θx −→ R1x−1 ⊗ Ωx−1 ⊗Θx −→ Θx−1 ⊗Θx ⊗ Ωx−1 ⊗Θx.

Entao,

fi(ux−1 ⊗ ux ⊗ ωx−1 ⊗ u′x) = fi((ux−1

Θ ux)ωx−1 ⊗ u′x),

gi(1) =∑j,l

ujx−1 ⊗ ujx ⊗ ωi,lx−1 ⊗ ui,lx ,

onde fΘx−1,x

m∑j=1

ujx−1 ⊗ ujx

= 1x−1 . E facil ver que

n∑i=1

gifi = IdΘx−1⊗Θx⊗RΩx−1⊗RΘx. Entao, podemos

escrever T1 em funcao de fi e gi da seguinte forma:

T1 : Θx−1 ⊗Θx ⊗ Ωx−1 ⊗Θx ⊗ Ωy ⊗Θy−1 → Ωy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗Θx ⊗ Ωx−1 ⊗Θx

ux−1 ⊗ ux ⊗ ωx−1 ⊗ u′x−1 ⊗ ωy ⊗ uy−1 7→∑i,j,l

fi((ux−1Θ ux)ωx−1 ⊗ u′x)ωy ⊗ uy−1 ⊗ uj

x−1 ⊗ ujx ⊗ ωi,l

x−1 ⊗ ui,lx .

Assim, o outro lado do diagrama e dado por:

ωx ⊗ ux−1 ⊗ ux ⊗ ωx−1 ⊗ u′x ⊗ ωy ⊗ uy−1 ⊗ uy ⊗ ωy−1 ⊗ u′yT17→

∑i,j

ωx ⊗ fi((ux−1

Θ ux)ωx−1 ⊗ u′x)ωy ⊗ uy−1 ⊗ ujx−1 ⊗ ujx ⊗ gi(1)⊗ uy ⊗ ωy−1 ⊗ u′y

T27→∑i,j,k,l′

ωx ⊗ fi((ux−1

Θ ux)ωx−1 ⊗ u′x)ωy ⊗ uy−1 ⊗ ujx−1 ⊗ ujx ⊗ fk(gi(1))︸︷︷︸∈Z

uy ⊗ ωy−1 ⊗ ωk,l′

x−1 ⊗ uk,l′

x ⊗ u′y

(3.15)=

∑i,j,k,l′

ωx ⊗ fi((ux−1

Θ ux)ωx−1 ⊗ u′x)fk(gi(1))ωy ⊗ uy−1 ⊗ ujx−1 ⊗ ujx ⊗ uy ⊗ ωy−1 ⊗ ωk,l′

x−1 ⊗ uk,l′

x ⊗ u′y

=∑

i,j,k,l,l′

ωx ⊗ fk(gi(fi((ux−1

Θ ux)ωx−1 ⊗ u′x)))ωy ⊗ uy−1 ⊗ ujx−1 ⊗ ujx ⊗ uy ⊗ ωy−1 ⊗ ωk,l′

x−1 ⊗ uk,l′

x ⊗ u′y

=∑j,k,l′

ωx ⊗ fk((ux−1

Θ ux)ωx−1 ⊗ u′x)ωy ⊗ uy−1 ⊗ ujx−1 ⊗ ujx ⊗ uy ⊗ ωy−1 ⊗ ωk,l′

x−1 ⊗ uk,l′

x ⊗ u′y

7→∑j,k,l′

(ωxΩ fk((ux−1

Θ ux)ωx−1 ⊗ u′x)ωy)⊗ (uy−1

Θ ujx−1)⊗ (ujxΘ uy)⊗ (ωy−1

Ω ωk,l′

x−1)⊗ (uk,l′

x

Θ u′y)

ψxy7→∑j,k,l′

((ωx

Ω fk((ux−1

Θ ux)ωx−1 ⊗ u′x)ωy)(uy−1

Θ ujx−1

Θ ujxΘ uy)

Ω (ωy−1

Ω ωk,l′

x−1))

(uk,l′

x

Θ u′y)

=∑k,l′

((ωx

Ω (ux−1

Θ ux)fk(ωx−1 ⊗ u′x)ωy)(uy−11x−1

Θ uy)Ω (ωy−1

Ω ωk,l′

x−1))

(uk,l′

x

Θ u′y)

(3.10)=

∑k,l′

((ωx(ux−1

Θ ux)Ω fk(ωx−1 ⊗ u′x1x−1)ωy)(uy−1

Θ uy)Ω (ωy−1

Ω ωk,l′

x−1))

(uk,l′

x

Θ u′y)


=∑k,l′

((ωx(ux−1

Θ ux)Ω fk(ωx−1 ⊗ u′x)ωy)(uy−1

Θ uy)Ω (ωy−1

Ω ωk,l′

x−1))

(uk,l′

x

Θ u′y)

=∑k,l′

(ωx(ux−1

Θ ux)Ω(fk(ωx−1 ⊗ u′x)ωy(uy−1

Θ uy)Ω ωy−1

)Ω ωk,l

′

x−1

)(uk,l

′

x

Θ u′y)

=∑k,l′

ωx(ux−1

Θ ux)Ω (fk(ωx−1 ⊗ u′x)ωy(uy−1

Θ uy)Ω ωy−1︸︷︷︸

=a∈R

)ωk,l′

x−1

(uk,l′

x

Θ u′y)

=∑k,l′

((ωx(ux−1

Θ ux)Ω aωk,l

′

x−1)uk,l′

x

Θ u′y)

=∑k,l′

(fΘx,y (fΩ

x,x−1 ⊗Θx ⊗Θy))

(ωx(ux−1

Θ ux)⊗ a ωk,l′

x−1 ⊗ uk,l′

x︸︷︷︸∈CΩ

x−1⊗Θx (R)

⊗u′y)

=∑k,l′

(fΘx,y (fΩ


(ωx(ux−1

Θ ux)⊗ ωk,l′

x−1 ⊗ uk,l′

x a⊗ u′y)

=∑k,l′

(fΘx,y (fΩ


(ωx(ux−1

Θ ux)⊗ ωk,l′

x−1 ⊗ uk,l′

x fk(ωx−1 ⊗ u′x)(ωy(uy−1

Θ uy)Ω ωy−1)⊗ u′y)

=∑k

(fΘx,y (fΩ


(ωx(ux−1

Θ ux)⊗ gk(1)fk(ωx−1 ⊗ u′x)⊗ (ωy(uy−1

Θ uy)Ω ωy−1)u′y)

=∑k

(fΘx,y (fΩ


(ωx(ux−1

Θ ux)⊗ gk(fk(ωx−1 ⊗ u′x))⊗ (ωy(uy−1


=(fΘx,y (fΩ

x,y ⊗Θx ⊗Θy))

(ωx(ux−1

Θ ux)⊗ ωx−1 ⊗ u′x ⊗ (ωy(uy−1


=(

(ωx(ux−1

Θ ux)Ω ωx−1)u′x

Θ (ωy(uy−1

Θ uy)Ω ωy−1)u′y

). (3.36)

Segue entao de (3.35) e (3.36) que o diagrama e comutativo. Portanto, [∆(Ω)][∆(Ω)]−1 = [∆(Θ)]

Comutatividade: Sejam [∆(Γ)], [∆(Ω)] ∈ C(Θ/R). Temos

[∆(Γ)][∆(Ω)] =

[⊕x∈G

Γx ⊗R Θx−1 ⊗R Ωx

]e [∆(Ω)][∆(Γ)] =

[⊕x∈G


].

Para cada x ∈ G, considere o isomorfismo λx definido por

Γx ⊗Θx−1 ⊗ Ωx //

λx

//

Γx ⊗Θx−1 ⊗ Ωx ⊗R1x−1 // Γx ⊗Θx−1 ⊗ Ωx ⊗Θx−1 ⊗Θx

T

Ωx ⊗Θx−1 ⊗ Γx ⊗Θx−1 ⊗Θx

Ωx ⊗Θx−1 ⊗ Γx ⊗R1x−1

Ωx ⊗Θx−1 ⊗ Γx

ou seja,λx = (Ωx ⊗Θx−1 ⊗ Γx ⊗ fΘ

x−1,x) (T ⊗Θx) (Γx ⊗Θx−1 ⊗ Ωx ⊗ (fΘx−1,x)−1),

onde T : Γx ⊗Θx−1 ⊗Ωx ⊗Θx−1 −→ Ωx ⊗Θx−1 ⊗ Γx ⊗Θx−1 e o isomorfismo dado na Proposicao 2.3.5.


Devemos mostrar que o diagrama abaixo e comutativo

Γx ⊗Θx−1 ⊗ Ωx ⊗ Γy ⊗Θy−1 ⊗ ΩyfΓΩx,y //

λx⊗λy

1xΓxy ⊗Θ(xy)−1 ⊗ Ωxy

1xλxy

Ωx ⊗Θx−1 ⊗ Γx ⊗ Ωy ⊗Θy−1 ⊗ Γy

fΩΓx,y

// 1xΩxy ⊗Θ(xy)−1 ⊗ Γxy

Sejam

T1 : Γx ⊗Θx−1 ⊗ Ωx ⊗Θx−1 −→ Ωx ⊗Θx−1 ⊗ Γx ⊗Θx−1

T2 : Γy ⊗Θy−1 ⊗ Ωy ⊗Θy−1 −→ Ωy ⊗Θy−1 ⊗ Γy ⊗Θy−1

T3 : Θx−1 ⊗ Γx ⊗ Ωy ⊗Θy−1 −→ Ωy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗ Γx

T4 : Θx−1 ⊗ Ωx ⊗ Γy ⊗Θy−1 → Γy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗ Ωx

T5 : Γxy ⊗Θ(xy)−1 ⊗ 1xΩxy ⊗ 1y−1Θ(xy)−1 → 1xΩxy ⊗ 1y−1Θ(xy)−1 ⊗ Γxy ⊗Θ(xy)−1

isomorfismos como na Proposicao 2.3.5, entao fΩΛx,y (λx ⊗ λy) e dado por:

Γx ⊗Θx−1 ⊗ Ωx ⊗ Γy ⊗Θy−1 ⊗ Ωy

ss

fΩΓx,y(λx⊗λy)

qq

Γx ⊗Θx−1 ⊗ Ωx ⊗Θx−1 ⊗Θx ⊗ Γy ⊗Θy−1 ⊗ Ωy ⊗Θy−1 ⊗Θy

T1⊗T2⊗Θy

Ωx ⊗Θx−1 ⊗ Γx ⊗Θx−1 ⊗Θx ⊗ Ωy ⊗Θy−1 ⊗ Γy ⊗Θy−1 ⊗Θy

Ωx ⊗Θx−1 ⊗ Γx ⊗ Ωy ⊗Θy−1 ⊗ Γy

Ωx⊗T3⊗Γy

Ωx ⊗ Ωy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗ Γx ⊗ Γy

fΩx,y⊗f

Θy−1,x−1⊗fΓ

x,y

1xΩxy ⊗Θ(xy)−1 ⊗ Γxy

Por outro lado, 1xλxy fΓΩx,y e dado por:


Γx ⊗Θx−1 ⊗ Ωx ⊗ Γy ⊗Θy−1 ⊗ ΩyΓx⊗T4⊗Ωy

,,

1xλxyfΓΩx,y

--

Γx ⊗ Γy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗ Ωx ⊗ Ωy

fΓx,y⊗f

Θy−1,x−1⊗fΩ

x,y

1xΓxy ⊗ 1y−1Θ(xy)−1 ⊗ 1xΩxy

1xΓxy ⊗Θ(xy)−11x ⊗ Ωxy1y−1

1xΓxy ⊗Θ(xy)−1 ⊗ 1xΩxy ⊗R1y−11(xy)−1

1xΓxy ⊗Θ(xy)−1 ⊗ 1xΩxy ⊗ 1y−1Θ(xy)−1 ⊗Θxy

T5⊗Θxy

1xΩxy ⊗ 1y−1Θ(xy)−1 ⊗ Γxy ⊗Θ(xy)−1 ⊗Θxy

1xΩxy ⊗Θ(xy)−1 ⊗ Γxy

Vamos construir os isomorfismos Ti’s: Para os isomorfismos T2 e T4 considere as aplicacoes R-bilineares

fl : Γy⊗RΩy−1 −→ R e gl : R −→ Γy⊗RΩy−1 , com l = 1, 2, ..., k, tais que

k∑l=1

glfl = IdΓy⊗RΩy−1 . Denote

gl(1) =∑l,t

vl,ty ⊗ ul,ty−1 . Entao,

T2 : Γy ⊗R Θy−1 ⊗R Ωy ⊗R Θy−1 → Ωy ⊗R Θy−1 ⊗R Γy ⊗R Θy−1

vy ⊗ uy−1 ⊗ ωy ⊗ u′y−1 7→∑l,t

fl(vy ⊗ uy−1)ωy ⊗ u′y−1 ⊗ vl,ty ⊗ ul,ty−1

T4 : Θx−1 ⊗R Ωx ⊗R Γy ⊗R Θy−1 → Γy ⊗R Θy−1 ⊗R Θx−1 ⊗R Ωx

ux−1 ⊗ ωx ⊗ vy ⊗ uy−1 7→∑l,t

vl,ty ⊗ ul,ty−1 ⊗ ux−1 ⊗ ωxfl(vy ⊗ uy−1)

Para T1 e T3 considere as aplicacoes R-bilineares fxi : Ωx ⊗R Θx−1 −→ R , gxi : R −→ Ωx ⊗R Θx−1 ,fyj : Ωy ⊗R Θy−1 −→ R e fyj : R −→ Ωy ⊗R Θy−1 , com i = 1, 2, ..., n e j = 1, 2, ...,m, tais quen∑i=1

gxi fxi = IdΩx⊗RΘx−1 e

m∑j=1

gyj fyj = IdΩy⊗RΘy−1 . Denote,

gxi (1) =∑i,p

ωi,px ⊗ ui,px−1 e gyj (1) =

∑j,q

ωj,qy ⊗ uj,qy−1 .


Entao,

T1 : Γx ⊗R Θx−1 ⊗R Ωx ⊗R Θx−1 → Ωx ⊗R Θx−1 ⊗R Γx ⊗R Θx−1

vx ⊗ ux−1 ⊗ ωx ⊗ u′x−1 7→∑i,p

ωi,px ⊗ ui,px−1 ⊗ vx ⊗ ux−1fxi (ωx ⊗ u′x−1).

T3 : Θx−1 ⊗R Γx ⊗R Ωy ⊗R Θy−1 → Ωy ⊗R Θy−1 ⊗R Θx−1 ⊗R Γx

ux−1 ⊗ vx ⊗ ωy ⊗ uy−1 7→∑j,q

ωj,qy ⊗ uj,qy−1 ⊗ ux−1 ⊗ vxfyj (ωy ⊗ u′y−1).

Para construir T5 considere

1xΩxy ⊗ 1y−1Θ(xy)−1

(fΩx,y)−1⊗(fΘ

x,y)−1

//

fxyi,j 11

Ωx ⊗R Ωy ⊗Θy−1 ⊗R Θx−1

Ωx⊗fyj ⊗Θx−1

Ωx ⊗Θx−1

fxi

R

Entao, fxyi,j e R-bilinear e

fxyi,j (ωxy ⊗ u(xy)−1) =∑

fxi (ωgxfyj (ωgy ⊗ uhy−1)⊗ uhx−1),

onde∑g

(ωgxΩ ωgy) = ωxy e

∑h

(uhy−1

Θ uhx−1) = u(xy)−1 . Analogamente, considere

Rgxi //

gxyi,j //

Ωx ⊗Θx−1 // Ωx ⊗R⊗Θx−1

gyj // Ωx ⊗R Ωy ⊗R Θy−1 ⊗Θx−1

fΩx,y⊗f

Θx,y

1xΩxy ⊗ 1y−1Θ(xy)−1

Entao, gxyi,j e R-bilinear e

gxyi,j (1) =∑i,j,p,q

(ωi,pxΩ ωj,qy )⊗ (ujqy−1

Θ ui,px−1).

E facil ver que

n,m∑i,j

gxyi,jfxyi,j = Id1xΩxy⊗1y−1Θ(xy)−1 . Entao,

T2 : Γxy ⊗Θ(xy)−1 ⊗ 1xΩxy ⊗ 1y−1Θ(xy)−1 → 1xΩxy ⊗ 1y−1Θ(xy)−1 ⊗ Γxy ⊗Θ(xy)−1

vxy ⊗ u(xy)−1 ⊗ ωxy ⊗ u′(xy)−1 7→∑

gxyi,j (1)⊗ vxy ⊗ u(xy)−1fxyi,j (ωxy ⊗ u′(xy)−1).

Vamos denotar ∑(x)

(ux−1

Θ ux) = 1x−1 e∑(y)

(uy−1

Θ uy) = 1y−1 .


Vamos agora mostrar que o diagrama e comutativo. Para 1xλxy fΓΩy,x , usando a Observacao 3.3.10

temos:

vx ⊗ ux−1 ⊗ ωx ⊗ vy ⊗ uy−1 ⊗ ωyT47→

∑l,t

vx ⊗ vl,ty ⊗ ul,ty−1 ⊗ ux−1 ⊗ ωxfl(vy ⊗ uy−1)⊗ ωy

7→∑l,t

(vxΓ vl,ty )⊗ (ul,ty−1

Θ ux−1)⊗ (ωxfl(vy ⊗ uy−1)Ω ωy)

7→∑l,t


Θ ux−1)⊗ (ωxfl(vy ⊗ uy−1)Ω ωy)⊗ 1y−11(xy)−1

7→∑l,t


Θ ux−1)⊗ (ωxfl(vy ⊗ uy−1)Ω ωy)⊗ (uy−1

Θ ux−1)⊗ (uxΘ uy)

T57→∑

(ωi,pxΩ ωj,qy )⊗ (uj,qy−1

Θ ui,px−1)⊗ (vxΓ vl,ty )⊗ (ul,ty−1

Θ ux−1)fxi (ωx fl(vy ⊗ uy−1)fyj (ωy ⊗ uy−1)︸︷︷︸=bl,j∈R

⊗ux−1)

⊗(uxΘ uy)

=∑



Θ ux−1)fxi (ωxbl,j ⊗ ux−1)⊗ (uxΘ uy)

=∑



Θ ux−1fxi (ωxbl,j ⊗ ux−1))⊗ (uxΘ uy)

7→∑


Θ ui,px−1)⊗ (vxΓ vl,ty )

((ul,ty−1

Θ ux−1fxi (ωxbl,j ⊗ ux−1))Θ (ux

Θ uy))

=∑



ul,ty−1

Θ (ux−1fxi (ωxbl,j ⊗ ux−1)Θ ux)︸︷︷︸

=ci,j,l∈R

uy

=

∑(ωi,px

Ω ωj,qy )⊗ (uj,qy−1


(ul,ty−1

Θ ci,j,luy)

=∑


Θ ui,px−1)⊗(vx

Γ vl,ty (ul,ty−1

Θ ci,j,luy))

︸︷︷︸(∗)

Vejamos que (∗) pode ser escrito da seguinte forma:(vx

Γ vl,ty (ul,ty−1

Θ ci,j,luy))

= (fΓx,y (Γx ⊗ Γy ⊗ fΘ

y−1,y))(vx ⊗ vl,ty ⊗ ul,ty−1︸︷︷︸

∈CΓy⊗Θy−1

(R)

ci,j,l ⊗ uy)

= (fΓx,y (Γx ⊗ Γy ⊗ fΘ

y−1,y))(vx ⊗ ci,j,lvl,ty ⊗ ul,ty−1 ⊗ uy)

=(vx

Γ ci,j,lvl,ty (ul,ty−1

Θ uy)).

Voltando, temos:

(1xλxy fΓΩy,x)(vx ⊗ ux−1 ⊗ ωx ⊗ vy ⊗ uy−1 ⊗ ωy)

=∑


Θ ui,px−1)⊗(vx

Γ ci,j,lvl,ty (ul,ty−1

Θ uy))

=∑


Θ ui,px−1)⊗(vx(ux−1fxi (ωxbl,j ⊗ ux−1)

Θ ux)Γ vl,ty (ul,ty−1

Θ uy))

(3.37)


Por fim, vamos calcular fΩΓx,y (λx ⊗ λy):

vx ⊗ ux−1 ⊗ ωx ⊗ vy ⊗ uy−1 ⊗ ωy7→ vx ⊗ ux−1 ⊗ ωx ⊗ 1x−1 ⊗ vy ⊗ uy−1 ⊗ ωy ⊗ 1y−1

7→∑

vx ⊗ ux−1 ⊗ ωx ⊗ ux−1 ⊗ ux ⊗ vy ⊗ uy−1 ⊗ ωy ⊗ uy−1 ⊗ uyT1,T27→

∑ωi,px ⊗ u

i,px−1 ⊗ vx ⊗ ux−1fxi (ωx ⊗ ux−1)⊗ ux ⊗ fl(vy ⊗ uy−1)ωy ⊗ uy−1 ⊗ vl,ty ⊗ u

l,ty−1 ⊗ uy

7→∑

ωi,px ⊗ ui,px−1 ⊗ vx(ux−1fxi (ωx ⊗ ux−1)

Θ ux)⊗ fl(vy ⊗ uy−1)ωy ⊗ uy−1 ⊗ vl,ty (ul,ty−1

Θ uy)

T37→∑

ωi,px ⊗ ωj,qy ⊗ uj,qy−1 ⊗ ui,px−1 ⊗ vx(ux−1fxi (ωx ⊗ ux−1)

Θ ux)fyj (fl(vy ⊗ uy−1)ωy ⊗ uy−1)⊗ vl,ty (ul,ty−1

Θ uy)

=∑

ωi,px ⊗ ωj,qy ⊗ uj,qy−1 ⊗ ui,px−1 ⊗ vx(ux−1fxi (ωx ⊗ ux−1)

Θ ux)bl,j ⊗ vl,ty (ul,ty−1

Θ uy)

7→∑


Θ ui,px−1)⊗

vx (ux−1fxi (ωx ⊗ ux−1)Θ ux)bl,j︸︷︷︸

(∗∗)

Γ vl,ty (ul,ty−1

Θ uy)

.

Vejamos que (∗∗) pode ser escrito da seguinte forma:

(ux−1fxi (ωx ⊗ ux−1)Θ uxblj) = (fΘ

x−1,x (Θx−1 ⊗ fxi ⊗Θx))(ux−1 ⊗ ωx ⊗ ux−1 ⊗ ux︸︷︷︸(fΘ

x−1,x)−1(1x−1 )

blj)

= (fΘx−1,x (Θx−1 ⊗ fxi ⊗Θx))(ux−1 ⊗ ωx ⊗ blj ux−1 ⊗ ux)

= (ux−1fxi (ωxblj ⊗ ux−1)Θ ux).

Voltando, temos:

(fΩΓx,y (Fx ⊗ Fy))(vx ⊗ ux−1 ⊗ ωx ⊗ vy ⊗ uy−1 ⊗ ωy)

=∑


Θ ui,px−1)⊗(vx(ux−1fxi (ωxbl,j ⊗ ux−1)

Θ ux)Γ vl,ty (ul,ty−1

Θ uy)).

Comparando com (3.37) temos que 1xλxy fΓΩy,x = fΩΓ

x,y (λx ⊗ λy). Logo o diagrama e comutativo etemos

[∆(Ω)][∆(Γ)] = [∆(Γ)][∆(Ω)] em C(Θ/R).

Portanto a multiplicacao em C(Θ/R) e comutativa.

ConsidereC0(Θ/R) = [∆(Γ)]; Γx ' Θx, para todo x ∈ G.

Dado [∆(Γ)] ∈ C0(Θ/R), entao Γx ' Θx, para todo x ∈ G. Em particular, Γx|Θx e

Γx ⊗R Γx−1 ' Θx ⊗R Θx−1 ' R1x, para todo x ∈ G.

Entao, [∆(Γ)] ∈ C(Θ/R). Sejam [∆(Γ)], [∆(Ω)] ∈ C0(Θ/R), temos

Γx ⊗R Θx−1 ⊗R Ωx ' Θx ⊗R Θx−1 ⊗R Θx ' Θx, para todo x ∈ G.

Assim, [∆(Γ)][∆(Ω)] =[⊕

x∈G Γx ⊗R Θx−1 ⊗R Ωx]∈ C0(Θ/R). Analogamente, se [∆(Γ)] ∈ C0(Θ/R),

entaoΘx ⊗R Γx−1 ⊗R Θx ' Θx ⊗R Θx−1 ⊗R Θx ' Θx, para todo x ∈ G.

Logo, [∆(Γ)]−1 =[⊕

x∈G Θx ⊗R Γx−1 ⊗R Θx

]∈ C0(Θ/R). Portanto, C0(Θ/R) e um subgrupo de

C(Θ/R).


Lema 3.4.2. Sejam [∆(Γ)] ∈ C0(Θ/R) e ax : Γx −→ Θx um isomorfismo de R-bimodulos, para todo x ∈G. Considere τx,y : 1xΘxy −→ 1xΘxy o isomorfismo de R-bimodulos definido pelo diagrama comutativo

Γx ⊗R ΓyfΓx,y //

ax⊗ay

1xΓxy

axy

Θx ⊗R Θy

fΘx,y %%

1xΘxy

1xΘxy

τx,y

::

ou seja,τx,y fΘ

x,y (ax ⊗ ay) = axy fΓx,y, para todos x, y ∈ G.

Entao, τ−,− e um elemento normalizado em Z2Θ(G,α,Z), onde τx,y e como no Lema 3.2.7.

Demonstracao. Pelo Lema 3.2.7 temos que τx,y ∈ U(Z1x1xy) e

τx,y(ax(vx)Θ ay(vy)) = axy(vx

Γ vy), (3.38)

para todo vx ∈ Γx e vy ∈ Γy,

Dados x, y, z ∈ G e vx ∈ Γx, vy ∈ Γy e vz ∈ Γz, temos

axyz((vxΓ vy)

Γ vz)(3.38)

= τxy,z(axy(vxΓ vy)

Θ az(vz))(3.38)

= τxy,z τx,y((ax(vx)Θ ay(vy))

Θ az(vz))

= τxy,z τx,y(ax(vx)Θ (ay(vy)

Θ az(vz)))(3.38)

= τxy,z τx,y(ax(vx)Θ τ−1

y,zayz(vyΓ vz))

= τxy,z τx,y(ax(vx)τ−1y,z

Θ ayz(vyΓ vz))

(3.14)= τxy,z τx,yαx(τ−1

y,z1x−1)(ax(vx)Θ ayz(vy

Γ vz))(3.38)

= τxy,z τx,yαx(τ−1y,z1x−1)τ−1

x,yzaxyz(vxΓ (vy

Γ vz))

= τxy,z τx,yαx(τ−1y,z1x−1)τ−1

x,yzaxyz((vxΓ vy)

Γ vz)

= axyz(τxy,z τx,yαx(τ−1y,z1x−1)τ−1

x,yz(vxΓ vy)

Γ vz).

Como axyz e isomorfismo de R-bimodulos, temos

((vxΓ vy)

Γ vz) = τxy,z τx,yαx(τ−1y,z1x−1)τ−1

x,yz((vxΓ vy)

Γ vz), (3.39)

para todo vx ∈ Γx, vy ∈ Γy e vz ∈ Γz. Segue analogo a demonstracao da Proposicao 3.3.5 que

αx(τ−1y,z1x−1)τxy,z τ

−1x,yz τx,y = 1x1xy1xyz, para todo x, y, z ∈ G.

Isso implica que τ−1−,− ∈ Z2

Θ(G,α,Z) e consequentemente, τ−,− ∈ Z2Θ(G,α,Z). Tambem analogo a

demonstracao da Proposicao 3.3.5, temos que τ−,− e normalizado.


Teorema 3.4.3. A aplicacao

ζ : C0(Θ/R) −→ H2Θ(G,α,Z)

[∆(Γ)] −→ [τ−,−],

onde τ−,− ∈ Z2(G,α,Z) e definido no Lema 3.4.2, e isomorfismo de grupos.

Demonstracao. Sejam [∆(Γ)], [∆(Ω)] em C0(Θ/R) com isomorfismos de R-bimodulos ax : Γx −→ Θx ebx : Ωx −→ Θx, para todo x ∈ G. Denote,

τx,y fΘx,y (ax ⊗ ay) = axy fΓ

x,y, ∀ x, y ∈ G, (3.40)

γx,y fΘx,y (bx ⊗ by) = bxy fΩ

x,y, ∀ x, y ∈ G. (3.41)

Vejamos primeiro que ζ esta bem definida. Suponha [∆(Γ)] = [∆(Ω)] em C0(Θ/R). Entao existemisomorfismos de R-bimodulos ξx : Γx −→ Ωx, para todo x ∈ G, tal que o digrama abaixo e comutativo


ξx⊗ξy

1xΓxy

ξxy

Ωx ⊗R Ωy

fΩx,y

// 1xΩxy

(3.42)

Para cada x ∈ G considere o isomorfismo de R-bimodulos definido por

βx : Θxa−1x−→ Γx

ξx−→ Ωxbx−→ Θx,

ou seja,βx = bx ξx a−1

x , ∀ x ∈ G. (3.43)

Afirmacao 3.4.4. βxy τx,y fΘx,y = γx,y fΘ

x,y (βx ⊗ βy), para todos x, y ∈ G.

De fato, por (3.40), (3.41) e pela comutatividade do diagrama (3.42), temos

γx,y fΘx,y (βx ⊗ βy) = γx,y fΘ

x,y ((bx ξx a−1x )⊗ (by ξy a−1

y ))

= γx,y fΘx,y (bx ⊗ by) (ξx ⊗ ξy) (a−1

x ⊗ a−1y )

(3.41)= bxy fΩ

x,y (ξx ⊗ ξy) (a−1x ⊗ a−1

y )

= bxy ξxy fΓx,y (a−1

x ⊗ a−1y )

(3.40)= bxy ξxy a−1

xy τx,y fΘx,y

= βxy τx,y fΘx,y.

Entao, para todos ux ∈ Θx, uy ∈ Θy, temos

βxy(τx,y(uxΘ uy)) = γx,y(βx(ux)

Θ βy(uy)).

Por um lado temos

βxy(τx,y(uxΘ u)) = βxy(τx,y(ux

Θ uy)) = βxy τx,y(uxΘ uy).


Por outro lado,

γx,y(βx(ux)Θ βy(uy)) = γx,y(βx(ux)

Θ βy(uy)) = γx,y(βxuxΘ βyuy)

= γx,y(βxuxβyΘ uy)

(3.14)= γx,y(βxαx(βy1x−1)ux

Θ uy)

= γx,yβxαx(βy1x−1)(uxΘ uy).

Entao,

βxy τx,y(uxΘ uy) = γx,yβxαx(βy1x−1)(ux

Θ uy),

para todos ux ∈ Θx e uy ∈ Θy. Aplicando o mesmo argumento da Proposicao 3.3.5 temos

βxy τx,y = γx,yβxαx(βy1x−1), para todos x, y ∈ G.

Definah : G −→ Z

x 7−→ βx,

entao hx ∈ U(Z1x), para todo x ∈ G e temos

τx,y = γx,yαx(hy1x−1)h−1xy hx = γx,y(δ1h)(x, y), ∀ x, y ∈ G.

Isso implica que [τ−,−] = [γ−,−] em H2Θ(G,α,Z). Portanto, ζ esta bem definida.

Para mostrar que ζ e injetora, suponha que ζ([∆(Γ)]) = ζ([∆(Ω)]) em H2Θ(G,α,Z). Entao, existe

h : G −→ Z, com hx ∈ U(Z1x), para todo x ∈ G, e

τx,y = γx,yαx(hy1x−1)h−1xy hx, ∀ x, y ∈ G.

Sejaβx : Θx −→ Θx

ux 7−→ hxux,

entao βx e isomorfismo de R-bimodulos e βx = hx, para todo x ∈ G (ver Lema 3.2.7). Assim,

τx,yβxy = γx,yαx(βy1x−1)βy, ∀ x, y ∈ G. (3.44)

Defina o isomorfismo ξx por

ξx : Γxax−→ Θx

βx−→ Θxb−1x−→ Ωx,

ou seja,ξx = b−1

x βx ax, para todo x ∈ G.

Vamos verificar que o diagrama abaixo e comutativo


ξx⊗ξy

1xΓxy

ξxy

Ωx ⊗R Ωy

fΩx,y

// 1xΩxy

(3.45)

Para isso, vamos precisar da seguinte observacao:

Afirmacao 3.4.5. βxy τx,y fΘx,y = γx,y fΘ

x,y (βx ⊗ βy), para todo x, y ∈ G.


De fato, para ux ∈ Θx e uy ∈ Θy, temos

βxy(τx,y(uxΘ uy)) = βx,y τx,y(ux

Θ uy). (3.46)

Por outro lado,

γx,y(βx(ux)Θ βy(uy)) = γx,y(βxux

Θ βyuy) = γx,y(βxuxβyΘ uy)

= γx,y(βxαx(βy1x−1)uxΘ uy)

= γx,yβxαx(βy1x−1)(uxΘ uy)

(3.44)= βx,y τx,y(ux

Θ uy)

(3.46)= βxy(τx,y(ux

Θ uy)).

Por (3.40), (3.41) e pela Afirmacao 3.4.5, temos:

ξxy fΓx,y = b−1

xy βxy axy fΓx,y

(3.40)= b−1

xy βxy τx,y fΘx,y (ax ⊗ ay)

= b−1xy γxy fΘ

x,y (βx ⊗ βy) (ax ⊗ ay)

(3.41)= b−1

xy bxy fΩx,y (b−1

x ⊗ b−1y ) (βx ⊗ βy) (ax ⊗ ay)

= fΩx,y ⊗ (ξx ⊗ ξy).

Logo o diagrama (3.45) e comutativo. Assim, temos um isomorfismo de produtos cruzados generalizadosparciais. Portanto, [∆(Γ)] = [∆(Ω)] em C0(Θ/R), mostrando que ζ e injetora.

Seja σ : G×G −→ Z um 2-cociclo normalizado em H2Θ(G,α,Z), entao σx,y ∈ U(Z1x1xy) e

αx(σy,z1x−1)σx,yz = σxy,zσx,y, ∀ x, y, z ∈ G. (3.47)

Considere o isomorfismo de R-bimodulos

ρx : Θx −→ Θx

ux 7−→ σx,xux

e defina Σx = Θx, como R-bimodulos. Entao, ρx : Σx −→ Θx e isomorfismo de R-bimodulos. Seja

fΣx,y : Σx ⊗R Σy −→ 1xΣxy

ux ⊗ uy 7−→ σx,yfΘx,y(ux ⊗ uy).

Como σ e um 2-cociclo, entao fΣx,y e um conjunto de fatores para Σ. De fato, sejam ux ∈ Σx, uy ∈ Σy

euz ∈ Σz, entao

fΣx,yz(ux ⊗ fΣ

y,z(uy ⊗ uz)) = σx,yzfΘx,yz(ux ⊗ σy,zfΘ

x,y(uy ⊗ uz))= σx,yzf

Θx,yz(uxσy,z ⊗ fΘ

x,y(uy ⊗ uz))(3.14)

= σx,yzαx(σy,z1x−1)fΘx,yz(ux ⊗ fΘ

x,y(uy ⊗ uz))(3.47)

= σxy,zσx,yfΘxy,z(f

Θx,y(ux ⊗ uy)⊗ uz)

= σxy,zfΘxy,z(σx,yf

Θx,y(ux ⊗ uy)⊗ uz)

= fΣxy,z(f

Σx,y(ux ⊗ uy)⊗ uz).


Assim, [∆(Σ)] ∈ C0(Θ/R). Defina

λ : G −→ Zx 7−→ λx = σ−1

x,x

Entao λx ∈ U(Z1x), para todo x ∈ G. Agora, observe que

ρxy(fΣx,y(ux ⊗ uy)) = ρxy(σx,yf

Θx,y(ux ⊗ uy))

= σx,yρxy(fΘx,y(ux ⊗ uy))

= σx,yσxy,xyfΘx,y(ux ⊗ uy)

= σx,yσxy,xyfΘx,y(σ−1

x,xρx(ux)⊗ σ−1y,yρy(uy))


x,xρx(ux)σ−1y,y ⊗ ρy(uy))


x,xαx(σ−1y,y1x−1)ρx(ux)⊗ ρy(uy))

= σx,yσxy,xyσ−1x,xαx(σ−1

y,y1x−1)fΘx,y(ρx(ux)⊗ ρy(uy))

= σx,y(δ1λ)(x, y)fΘx,y(ρx(ux)⊗ ρy(uy)).

Logo,

ζ([∆(Σ)]) = [σ(δ1λ)] = [σ] em H2Θ(G,α,Z).

Portanto, ζ e sobrejetora.

Por fim, vejamos que ζ e morfismo de grupos. Por definicao temos que [∆(Γ)][∆(Ω)] =[⊕

x∈G Γx ⊗Θx−1 ⊗ Ωx]

em C0(Θ/R). Considere o isomorfismo de R-bimodulos

dx : Γx ⊗R Θx−1 ⊗R Ωx −→ Θx

vx ⊗ ux−1 ⊗ ωx 7−→ ax(vx)(ux−1

Θ bx(ωx)).

Observe que dxy fΓΩx,y = dxy (fΓ

x,y ⊗ fΘy−1,x−1 ⊗ fΩ

xy) (Γx ⊗ T ⊗ Ωy), onde T e o isomorfismo

T : Θx−1 ⊗R Ωx ⊗R Γy ⊗R Θy−1 −→ Γy ⊗R Θy−1 ⊗R Θx−1 ⊗R Ωx.

Defina

fx : Θx−1 ⊗R ΩxΘx−1⊗bx−→ Θx−1 ⊗R Θx −→ R1x−1 → R,

gx : R −→ R1x−1 −→ Θx−1 ⊗R ΘxΘx−1⊗b−1

x−→ Θx−1 ⊗R Ωx.

E facil ver que gxfx = IdΘx−1⊗Ωx . Entao, podemos escrever o isomorfismo T em funcao de fx e gx.

Como fx(ux−1 ⊗ ωx) = (ux−1

Θ bx(ωx)) e gx(1) =∑(x)

ux−1 ⊗ b−1x (ux), onde

∑(x)

(ux−1

Θ ux) = 1x−1 , entao

T (ux−1 ⊗ ωx ⊗ vy ⊗ uy−1) =∑(x)

(ux−1

Θ bx(ωx))vy ⊗ uy−1 ⊗ ux−1 ⊗ b−1x (ux),


Assim, dxy fΓΩx,y :

vx ⊗ ux−1 ⊗ ωx ⊗ vy ⊗ uy−1 ⊗ ωyT7→

∑(x)

vx ⊗ (ux−1

Θ bx(ωx))vy ⊗ uy−1 ⊗ ux−1 ⊗ b−1x (ux)⊗ ωy

7→∑(x)

(vxΓ (ux−1

Θ bx(ωx))vy)⊗ (uy−1

Θ ux−1)⊗ (b−1x (ux)

Ω ωy)

dxy7→∑(x)

axy(vx(ux−1

Θ bx(ωx))Γ vy)

((uy−1

Θ ux−1)Θ bxy(b−1

x (ux)Ω ωy)

)=

∑(x)

τx,y(ax(vx)(ux−1

Θ bx(ωx))Θ ay(vy))

((uy−1

Θ ux−1)Θ γx,y(ux

Θ by(ωy)))

(3.14)=

∑(x)

τx,yγx,y(ax(vx)(ux−1


((uy−1

Θ ux−1)Θ (ux

Θ by(ωy)))

=∑(x)

τx,yγx,y(ax(vx)(ux−1


(uy−1(ux−1

Θ ux)Θ by(ωy)

)= τx,yγx,y(ax(vx)(ux−1


(uy−11x−1

Θ by(ωy))

(3.10)= τx,yγx,y

(ax(vx)(ux−1

Θ bx(ωx))Θ ay(vy)1(xy)−1(uy−1

Θ by(ωy)))

(3.10)= τx,yγx,y

(ax(vx)(ux−1

Θ bx(ωx)1x−1)Θ ay(vy)(uy−1

Θ by(ωy)))

= τx,yγx,y

(ax(vx)(ux−1

Θ bx(ωx))Θ ay(vy)(uy−1

Θ by(ωy)))

= τx,yγx,y

(dx(vx ⊗ ux−1 ⊗ ωx)

Θ dy(vy ⊗ uy−1 ⊗ ωy)).

Logo,τx,y γx,y fΘ

x,y (dx ⊗ dy) = dxy fΓΩx,y , ∀ x, y ∈ G.

Portanto, ζ([∆(Γ)][∆(Ω)]) = [τ−,−γ−,−] = ζ([∆(Γ)])ζ([∆(Ω)]).

Capıtulo 4

A sequencia exata de sete termos

Nesse Capıtulo vamos construir a versao parcial da sequencia de Miyashita para aneis nao comutativoscom unidade. A sequencia construıda nesse capıtulo generaliza a sequencia dada em [5, Teorema 2.12].Dados uma extensao de aneis com mesma unidade R ⊆ S e uma representacao parcial unital

Θ : G −→ SR(S)x 7−→ Θx

com εx = ΘxΘx−1 = R1x, para todo x ∈ G. Considere ∆(Θ) o produto cruzado generalizado parcialconstruıdo atraves de Θ como na Observacao 3.3.13. Denotamos fΘ = fΘ

x,y : Θx⊗Θy −→ 1xΘxy, x, y ∈G o conjunto de fatores de Θ e ι : R −→ Θ1 o isomorfismo de aneis como na Observacao 3.3.4.

Em todo o Capıtulo ⊗ significa ⊗R, a menos de mencao contraria.

4.1 A primeira sequencia exata

Seja PZ(S/R) o grupo definido na Secao 2.4. Definimos

PZ(S/R)(G) = ( [P ] [φ] +3 [X] ) ∈ PZ(S/R); Θxφ(P ) = φ(P )Θx para todo x ∈ G.

Observacao 4.1.1. Seja ( [P ] [φ] +3 [X] ) ∈ PZ(S/R). Entao,

Θxφ(P ) = φ(P )Θx se, e somente se, Θxφ(P )Θx−1 = φ(P )1x, para todo x ∈ G. (4.1)

De fato, como P e Z-bimodulo central, entao P1x = 1xP , para todo x ∈ G. Assim, pela R-bilinearidadede φ temos 1xφ(P ) = φ(P )1x, para todo x ∈ G. Se Θxφ(P ) = φ(P )Θx, para todo x ∈ G, entao

Θxφ(P )Θx−1 = φ(P )ΘxΘx−1 = φ(P )1x, para todo x ∈ G.

Por outro lado,

Θxφ(P )Θx−1 = φ(P )1x ⇒ Θxφ(P )Θx−1Θx = φ(P )1xΘx

⇒ Θxφ(P )1x−1 = φ(P )Θx

⇒ Θx1x−1φ(P ) = φ(P )Θx

⇒ Θxφ(P ) = φ(P )Θx.

81

82 CAPITULO 4. A SEQUENCIA EXATA DE SETE TERMOS

Lema 4.1.2. PZ(S/R)(G) e um subgrupo de PZ(S/R).

Demonstracao. E facil ver que PZ(S/R)(G) e fechado para o produto. Vejamos que e fechado para

o inverso. Seja [P ] [φ] +3 [X] ∈ PZ(S/R)(G). Pela Proposicao 2.4.4, seu inverso em PZ(S/R) e

dado por [P ∗] [φ∗] +3 [X∗] . Como φ e injetora podemos ver P ⊆ X e P ∗ ⊆ X∗. Observe que

P ∗ = f ∈ X∗; f(P ) ⊆ R. Assim, P ∗ · 1x = f ∈ X∗; f(P ) ⊆ R1x. De fato, seja f ∈ X∗, tal quef(P ) ⊆ R1x, entao f ∈ P ∗ e

(f · 1x)(p) = f(p)1x = f(p).

Logo, f ∈ P ∗ · 1x. Por outro lado, se f ∈ P ∗ · 1x, entao f = f ′ · 1x, para algum f ′ ∈ P ∗. Entao,

f(p) = (f ′ · 1x)(p) = f ′(p)1x ∈ R1x, para todo p ∈ P.

Portanto, vale a igualdade. Vejamos agora que Θx · P ∗ ·Θx−1 = P ∗ · 1x, para todo x ∈ G. Temos,

(Θx · P ∗ ·Θx−1)(P ) = (P ∗ ·Θx−1)(PΘx) = (P ∗ ·Θx−1)(ΘxP )

= Θx(P ∗ ·Θx−1)(P ) = Θx[P ∗(P )]Θx−1

⊆ ΘxRΘx−1 = R1x.

Logo, Θx · P ∗ ·Θx−1 ⊆ P ∗ ·R1x, para todo x ∈ G. Agora, observe que

P ∗ ·R1x = R1x · P ∗ ·R1x = (ΘxΘx−1) · P ∗ · (ΘxΘx−1)

= Θx · (Θx−1 · P ∗ ·Θx) ·Θx−1

⊆ Θx · (P ∗ ·R1x−1) ·Θx−1

= Θx · P ∗ · (R1x−1Θx−1)

= Θx · P ∗ ·Θx−1 .

Logo vale a igualdade. Portanto, [P ∗] [φ∗] +3 [X∗] ∈ PZ(S/R)(G).

Proposicao 4.1.3. A aplicacao

ϕ2 : PZ(S/R)(G) −→ PicZ(R) ∩PicSZ(R)α∗

( [P ] [φ] +3 [X] ) 7−→ [P ]

e um morfismo de grupos bem definido.

Demonstracao. Claramente ϕ2 e morfismo de grupos. Basta mostrar que se [P ] [φ] +3 [X] ∈PZ(S/R)(G), entao [P ] ∈ PicSZ(R)α

∗. Por (4.1) temos que Θxφ(P )Θx−1 = φ(PR1x), para todo x ∈ G.

Como φ e R-bilinear, entao φ(P ) e um R-subbimodulo de X. Pela Proposicao 3.3.11 e por φ ser injetora,temos que fx definida por

Θx ⊗ P ⊗Θx−1 //

fx 00

Θx ⊗ φ(P )⊗Θx−1 // Θxφ(P )Θx−1 = φ(P1x)

P1x

P ⊗R1x

ou seja,fx(ux ⊗ p⊗ ux−1) = p′ ⊗ 1x,

4.1. A PRIMEIRA SEQUENCIA EXATA 83

onde φ(p′) = uxφ(p)ux−1 , e um isomorfismo de R-bimodulos. Logo, [P ] ∈ PicSZ(R)α∗.

Vamos denotar

AutR-rings(S)(G) = f ∈ AutR-rings(S); f(Θx) = Θx, ∀ x ∈ G.

Claramente, AutR-rings(S)(G) e um subgrupo de AutR-rings(S).

Lema 4.1.4. O diagrama abaixo e comutativo com linhas exatas

U(Z)F // AutR-rings(S)

E // P(S/R)ϑ // Pic(R)

U(Z) // AutR-rings(S)(G) // ?

OO

PZ(S/R)(G) ϕ2 // ?

OO

PicZ(R) ∩PicSZ(R)α∗

?

OO

Demonstracao. A exatidao da primeira linha e dada no Teorema 2.5.1. A restricao de ϑ a PZ(S/R)(G)

e o morfismo ϕ2 definido em Proposicao 4.1.3. Seja r ∈ U(Z), como Θx e R-bimodulo, temos queF(r) ∈ AutR-rings(S)(G). Dado f ∈ AutR-rings(S)(G), entao

if (R) ·Θx = Rf(Θx) = RΘx = ΘxR = Θx · if (R), para todo x ∈ G.

Como R e Z-bimodulo central, entao E(f) = ( [R] [ιf ] +3 [Sf ] ) ∈ PZ(S/R)(G). Logo, os morfismos da

segunda linha estao bem definidas. Vejamos que a segunda linha e exata.

A exatidao no primeiro termo e a inclusao E(AutR-Rings(S)(G)) ⊆ ker(ϕ2) segue diretamente da

exatidao da primeira linha. Seja [P ] [φ] +3 [X] ∈ ker(ϕ2). Entao, existe f ∈ AutR-rings(S) tal

que E(f) = ( [R] [ιf ] +3 [Sf ] ) = ( [P ] [φ] +3 [X] ) em P(S/R). Pela demonstracao do Teorema 2.5.1

temos que se λ : R −→ P e um isomorfismo de R-bimodulos, definindo α e β por

α : S −→ R⊗R S −→ P ⊗R Sφr−→ X

β : S −→ S ⊗R R −→ S ⊗R Pφl−→ X

entao f = β−1 α e o diagrama

Rif //

λ

Sf

β

P

φ// X

e comutativo. Por [P ] [φ] +3 [X] ∈ PZ(S/R)(G), entao φ(P )Θx = Θxφ(P ), para todo x ∈ G. Vamos

verificar que f(Θx) = Θx, para todo x ∈ G.

Dado ux ∈ Θx, temos que φ(λ(1))ux ∈ φ(P )Θx = Θxφ(P ), assim existem uix ∈ Θx e pi ∈ P com

i = 1, 2, ..., n, tais que φ(λ(1))ux =

n∑i=1

uixφ(pi). Como λ e isomorfismo existem ri ∈ R tais que λ(ri) = pi,


para todo i = 1, 2, ..., n. Logo, temos

α(ux) = φ(λ(1))ux =

n∑i=1

uixφ(pi)

=

n∑i=1

uixφ(λ(ri)) =

n∑i=1

uixβ(if (ri))

=

n∑i=1

uixβ(ri) =

n∑i=1

β(uixri).

Assim,

f(ux) = (β−1 α)(ux) =

n∑i=1

uixri ∈ Θx.

Logo, f(Θx) ⊆ Θx, para todo x ∈ G.

Por outro lado, dado ux ∈ Θx temos uxφ(λ(1)) ∈ Θxφ(P ) e assim existem vjx ∈ Θx e pj ∈ P com

j = 1, ...,m, tais que uxφ(λ(1)) =

m∑j=1

φ(pj)vjx. Novamente por λ ser isomorfismo existem rj ∈ R tais que

λ(rj) = pj para j = 1, ...,m. Entao,

β(ux) = uxφ(λ(1)) =

m∑j=1

φ(pj)vjx =

m∑j=1

φ(λ(rj))vjx

=

m∑j=1

φ(λ(1))rjvjx = α

m∑j=1

rjvjx

.

Assim,

ux = (β−1 α)

m∑j=1

rjvjx

= f

m∑j=1

rjvjx

∈ f(Θx).

Logo, Θx ⊆ f(Θx) e portanto temos a igualdade. Segue entao f ∈ AutR-rings(S)(G) e portanto

[P ] [φ] +3 [X] ∈ E(AutR-rings(S)(G)).

Como R ⊆ ∆(Θ) e uma extensao de aneis com mesma unidade, aplicando o Lema 4.1.4 para essaextensao temos:

Teorema 4.1.5. Existe uma sequencia exata

1 // H1Θ(G,α,Z)

ϕ1 // PZ(∆(Θ)/R)(G) ϕ2 // PicZ(R) ∩PicSZ(R)α∗.

Demonstracao. Pelo Lema 4.1.4 a sequencia

U(Z)F // AutR-rings(∆(Θ))(G) // PZ(∆(Θ)/R)(G) ϕ2 // PicZ(R) ∩PicSZ(R)α

∗

e exata. Logo,

1 //AutR-rings(∆(Θ))(G)

Im(F)// PZ(∆(Θ)/R)(G) ϕ2 // PicZ(R) ∩PicSZ(R)α

∗

4.1. A PRIMEIRA SEQUENCIA EXATA 85

e exata. Basta entao mostrar que existe um isomorfismo de gruposAutR-rings(∆(Θ))(G)

Im(F)' H1

Θ(G,α,Z).

Seja f ∈ AutR-rings(∆(Θ))(G). Como f(Θx) = Θx, para todo x ∈ G e f fixa cada elemento de R,

entao restringindo f a Θx, temos isomorfismos de R-bimodulos fx : Θx −→ Θx, para cada x ∈ G. Seja

fx ∈ U(Z1x) como no Lema 3.2.7. Por f ser automorfismo de aneis temos f(uxΘ uy) = f(ux)

Θ f(uy),para todo ux ∈ Θx e uy ∈ Θy. Entao,

fxy(uxΘ uy) = fx(ux)

Θ fy(uy), ux ∈ Θx, uy ∈ Θy.

Por (3.17) temos

fxy(uxΘ uy) = fxy(ux

Θ uy),

fx(ux)Θ fy(uy) = fxux

Θ fyuy = fxuxfyΘ uy

(3.14)= fxαx(fy1x−1)(ux

Θ uy).

Logo, fxy(uxΘ uy) = fxαx(fy1x−1)(ux

Θ uy), para todo ux ∈ Θx e uy ∈ Θy. Seguindo o argumento daProposicao 3.3.5, temos

fxαx(fy1x−1) = fxy1x, para todos x, y ∈ G.

Entao,

f : G −→ Zx 7−→ fx,

pertence a Z1Θ(G,α,Z). Como f1 = f1(1) = 1 segue que f e um elemento normalizado em Z1

Θ(G,α,Z).Temos o morfismo de grupos

Ψ : AutR-rings(∆(Θ))(G) −→ Z1Θ(G,α,Z)

f 7−→ f.

Reciprocamente, seja σ ∈ Z1Θ(G,α,Z) um 1-cociclo normalizado, entao

αx(σy1y−1)σx = σxy1x, para todo x, y ∈ G. (4.2)

Para cada x ∈ G definagx : Θx −→ Θx

ux 7−→ σxux.

Como σx ∈ U(Z1x), segue do Lema 3.2.7 que gx e um isomorfismo R-bilinear e gx = σx, para todo x ∈ G.Considere

g :=⊕

x∈G gx : ∆(Θ) −→ ∆(Θ)ux −→ gx(ux)

.

Entao, gx(Θx) = Θx, para todo x ∈ G. Como σ e normalizado temos

g(r) = g1(r) = σ1r = 1r = r, ∀ r ∈ R.

Logo, g fixa cada elemento de R. Agora, dados ux ∈ Θx e uy ∈ Θy, temos

g(uxΘ uy) = σxy(ux

Θ uy)(4.2)= σxαx(σy1x−1)(ux

Θ uy)

= (σxαx(σy1x−1)uxΘ uy)

(3.14)= (σxuxσy

Θ uy)

= (σxuxΘ σyuy) = (gx(ux)

Θ gy(uy)).


Portanto, g ∈ AutR-rings(∆(Θ))(G) e temos a aplicacao

Φ : Z1Θ(G,α,Z) −→ AutR-rings(∆(Θ)/R)(G)

σ 7−→ g

Vejamos que Φ e a inversa de Ψ. Seja f ∈ AutR-rings(∆(Θ))(G), entao

Φ(Ψ(f)) = Φ(f) =⊕x∈G

gx,

onde gx(ux) = fxux = fx(ux), para todo ux ∈ Θx, x ∈ G. Logo, Ψ(Φ(f)) = f , para todo f ∈AutR-rings(∆(Θ))(G).

Por outro lado, seja σ ∈ Z1Θ(G,α,Z), entao

Ψ(Φ(σ)) = Ψ(g) = g,

onde gx(ux) = σxux, para todo x ∈ G. Assim, gx = σx, para todo x ∈ G. Logo Ψ(Φ(σ)) = σ, para todoσ ∈ Z1

Θ(G,α,Z). Portanto, Ψ : AutR-rings(∆(Θ))(G) −→ Z1Θ(G,α,Z) e um isomorfismo de grupos.

Afirmacao 4.1.6. Ψ(Im(F)) = B1Θ(G,α,Z).

De fato, seja r ∈ U(Z), entao

F(r)(ux) = r−1uxr = r−1αx(r1x−1)ux, para todo ux ∈ Θx.

Logo, Ψ(F(r)) = δ1r ∈ B1Θ(G,α,Z). Reciprocamente, se σ ∈ B1

Θ(G,α,Z), entao existe um r ∈ U(Z) talque δ1r = σ, ou seja,

σ(x) = αx(r1x−1)r−1.

Entao, F(r)(ux) = r−1uxr = r−1αx(r1x−1)ux, para todo ux ∈ Θx. Assim, F(r)x = σx, para todo x ∈ G.Logo, Ψ(F(r)) = σ. O que mostra a afirmacao.

Temos entao o isomorfismo

AutR-rings(∆(Θ))(G)

Im(F)' H1

Θ(G,α, ,Z).

4.2 A segunda sequencia exata

SejaPicZ(R)(G) = [P ] ∈ PicZ(R);P ⊗Θx ⊗ P−1|Θx, para todo x ∈ G.

Lema 4.2.1. PicZ(R)(G) e um subgrupo de PicZ(R) que contem PicZ(R) ∩PicSZ(R)α∗.

Demonstracao. Sejam [P ], [Q] ∈ PicZ(R)(G). Como Q⊗Θx ⊗Q−1|Θx, segue da compatibilidade como produto tensorial que P ⊗Q⊗Θx ⊗Q−1 ⊗R P−1|P ⊗Θx ⊗ P−1. Portanto, pela transitividade, temosque

P ⊗Q⊗Θx ⊗Q−1 ⊗ P−1|Θx, para todo x ∈ G.

4.2. A SEGUNDA SEQUENCIA EXATA 87

Logo, [P ⊗ Q] ∈ PicZ(R)(G). Vejamos que PicZ(R)(G) tambem e fechado para inverso. Seja [P ] ∈PicZ(R)(G). Temos

P−1 ⊗Θx ⊗ P ' P−1 ⊗Θx ⊗R1x−1 ⊗ P ' P−1 ⊗Θx ⊗ P ⊗R1x−1

' P−1 ⊗Θx ⊗ P ⊗Θx−1 ⊗Θx ' P−1 ⊗Θx ⊗ P ⊗Θx−1 ⊗R⊗Θx

' P−1 ⊗Θx ⊗ P ⊗Θx−1 ⊗ P−1 ⊗ P ⊗Θx.

Assim, como P ⊗Θx ⊗ P−1|Θx, para todo x ∈ G, temos

P−1 ⊗Θx ⊗ P ⊗Θx−1 ⊗ P−1 ⊗ P ⊗Θx|P−1 ⊗Θx ⊗Θx−1 ⊗ P ⊗Θx.

Porem,

P−1 ⊗Θx ⊗Θx−1 ⊗ P ⊗Θx ' P−1 ⊗R1x ⊗ P ⊗Θx ' P−1 ⊗ P ⊗R1x ⊗Θx ' Θx.

Logo, P−1 ⊗ Θx ⊗ P |Θx, para todo x ∈ G. Assim, [P−1] ∈ PicZ(R)(G). Portanto, PicZ(R)(G) e umsubgrupo de PicZ(R).

Seja [P ] ∈ PicZ(R) ∩PicSZ(R)α∗. Por (3.18) temos que Θx ⊗ P ' P ⊗Θx, para todo x ∈ G. Com

[P ] ∈ PicZ(R), segue que

P ⊗Θx ⊗ P−1 ' Θx, ∀ x ∈ G, [P ] ∈ PicZ(R) ∩PicSZ(R)α∗. (4.3)

Em particular, P ⊗Θx ⊗ P−1|Θx, para todo x ∈ G. Portanto, PicZ(R) ∩PicSZ(R)α∗ ⊆ PicZ(R)(G).

Nosso objetivo e construir um produto cruzado generalizado parcial a partir de um elemento [P ] ∈PicZ(R)(G). Vamos comecar construindo uma representacao parcial unital.

Lema 4.2.2. Seja [P ] ∈ PicZ(R)(G) e denote ΩPx = P ⊗Θx ⊗ P−1

, para todo x ∈ G. Entao

ΩP : G −→ PicS(R)x 7−→ [ΩPx ].

e uma representacao parcial unital com ΩPx ⊗ ΩPx−1 ' R1x e ΩPx |Θx, para todo x ∈ G.

Demonstracao. Claramente [ΩP1 ] = [R]. Dados x, y ∈ G temos

ΩPx ⊗ ΩPy ⊗ ΩPy−1 = P ⊗Θx ⊗ P−1 ⊗ P ⊗Θy ⊗ P−1 ⊗ P ⊗Θy−1 ⊗ P−1

' P ⊗Θx ⊗Θy ⊗Θy−1 ⊗ P−1

' P ⊗Θxy ⊗Θy−1 ⊗ P−1

' P ⊗Θxy ⊗ P−1 ⊗ P ⊗Θy−1 ⊗ P−1

= ΩPxy ⊗ ΩPy−1 .

Analogamente, temos que ΩPx−1 ⊗ ΩPx ⊗ ΩPy ' ΩPx−1 ⊗ ΩPxy, para todo x, y ∈ G.

Alem disso, temos

ΩPx ⊗ ΩPx−1 = P ⊗Θx ⊗ P−1

⊗ P ⊗Θx−1 ⊗ P−1

' P ⊗Θx ⊗Θx−1 ⊗ P−1

' P ⊗R1x ⊗ P−1

' R1x ⊗ P ⊗ P−1

' R1x ⊗R ' R1x, ∀ x ∈ G.


Portanto, ΩP e uma representacao parcial unital com ΩPx ⊗ ΩPx−1 ' R1x, para todo x ∈ G.

Dado [P ] ∈ PicZ(R)(G) denote P−1 ⊗ P r−→ Rl←− P ⊗ P−1 isomorfismo de R-bimodulos. Defina os

isomorfismos de R-bimodulos fPx,y : ΩPx ⊗ ΩPy −→ 1xΩPxy via

P ⊗Θx ⊗ P−1 ⊗ P ⊗Θy ⊗ P

−1 //

fPx,y ,,

P ⊗Θx ⊗Θy ⊗ P−1

P⊗fΘx,y⊗P

−1

P ⊗ 1xΘxy ⊗ P−1

1xP ⊗Θxy ⊗ P−1

onde o primeiro isomorfismo e induzido por r, ou seja,

fPx,y(p1 ⊗ ux ⊗ p1 ⊗ p2 ⊗ uy ⊗ p2) = p1 ⊗ (uxr(p1 ⊗ p2)Θ uy)⊗ p2,

para ux ∈ Θx, uy ∈ Θy, p1, p2 ∈ P e p1, p2 ∈ P−1.

Afirmacao 4.2.3. fP = fPx,y : ΩPx ⊗ ΩPy −→ 1xΩPxy, x, y ∈ G e um conjunto de fatores para ΩP .

De fato, dados x, y, z ∈ G, vejamos que o diagrama abaixo e comutativo

P ⊗Θx ⊗ P−1 ⊗ P ⊗Θy ⊗ P−1 ⊗ P ⊗Θz ⊗ P−1 //

1xP ⊗Θxy ⊗ P−1 ⊗ P ⊗Θz ⊗ P−1

P ⊗Θx ⊗ P−1 ⊗ 1yP ⊗Θyz ⊗ P−1 // 1x1xyP ⊗Θxyz ⊗ P−1

Considere ux ∈ Θx, uy ∈ Θy, uz ∈ Θz, p1, p2, p3 ∈ P e p1, p2, p3 ∈ P−1, entao

[fPxy,z (fPx,y ⊗ ΩPz )](p1 ⊗ ux ⊗ p1 ⊗ p2 ⊗ uy ⊗ p2 ⊗ p3 ⊗ uz ⊗ p3)

= fPxy,z(p1 ⊗ (uxr(p1 ⊗ p2)Θ uy)⊗ p2 ⊗ p3 ⊗ uz ⊗ p3)

= p1 ⊗(

(uxr(p1 ⊗ p2)Θ uy)r(p2 ⊗ p3)

Θ uz)⊗ p3

= p1 ⊗(uxr(p1 ⊗ p2)

Θ (uyr(p2 ⊗ p3)Θ uz)

)⊗ p3

= fPx,yz(p1 ⊗ ux ⊗ p1 ⊗ p2 ⊗ (uyr(p2 ⊗ p3)Θ uz)⊗ p3)

= [fPx,yz (ΩPx ⊗ fPy,z)](p1 ⊗ ux ⊗ p1 ⊗ p2 ⊗ uy ⊗ p2 ⊗ p3 ⊗ uz ⊗ p3).

Logo, fPxy,z(fPx,y⊗ΩPz ) = fPx,yz(ΩPx ⊗fPy,z) o que mostra a comutatividade do diagrama acima. Portanto,

fP = fPx,y : ΩPx ⊗ ΩPy −→ 1xΩPxy, x, y ∈ G e um conjunto de fatores para ΩP .

Temos entao um produto cruzado generalizado parcial

∆(ΩP ) =⊕x∈G

P ⊗Θx ⊗ P−1,

tal que P ⊗ Θx ⊗ P−1|Θx e ΩPx ⊗ ΩPx−1 ' R1x, para todo x ∈ G. Logo, [∆(ΩP )] ∈ C(Θ/R), para todo

[P ] ∈ PicZ(R)(G).


Observacao 4.2.4. E importante observar que a classe de isomorfismo de ∆(ΩP ) em C(Θ/R) naodepende da escolha do isomorfismo r usado para definir os isomorfismo fPx,y no conjunto de fatores de

ΩP . De fato, vamos considerar um novo isomorfismo de R-bimodulos r : P ⊗R P−1 −→ R, e denotefPx,y o isomorfismo definido a partir de r e ∆(ΩP ) o produto cruzado generalizado parcial com conjunto

de fatores fP . Como r r−1 ∈ AutR−R(R) ' U(Z), entao existe a ∈ U(Z) tal que r = ar. Considere oisomorfismo de R-bimodulos

ϕx : P ⊗Θx ⊗ P−1 −→ P ⊗Θx ⊗ P−1

p⊗ ux ⊗ p−1 7−→ p⊗ a−1ux ⊗ p−1.

Entao o diagrama abaixo e comutativo

P ⊗Θx ⊗ P−1 ⊗ P ⊗Θy ⊗ P−1fPx,y //

ϕx⊗ϕy

1xP ⊗Θxy ⊗ P−1

ϕxy

P ⊗Θx ⊗ P−1 ⊗ P ⊗Θy ⊗ P−1

fPx,y

// 1xP ⊗Θxy ⊗ P−1

De fato, sejam p1, p2 ∈ P, p1, p2 ∈ P−1, ux ∈ Θx e uy ∈ Θy. Por um lado,

ϕxy fPx,y(p1 ⊗ ux ⊗ p1 ⊗ p2 ⊗ uy ⊗ p2) = p1 ⊗ (a−1uxr(p1 ⊗ p2)Θ uy)⊗ p2.

Por outro lado,

fPx,y (ϕx ⊗ ϕy)(p1 ⊗ ux ⊗ p1 ⊗ p2 ⊗ uy ⊗ p2) = fPx,y(p1 ⊗ a−1ux ⊗ p1 ⊗ p2 ⊗ a−1uy ⊗ p2)

= p1 ⊗ (a−1uxr(p1 ⊗ p2)Θ a−1uy)⊗ p2

= p1 ⊗ (a−1uxar(p1 ⊗ p2)Θ a−1uy)⊗ p2

= p1 ⊗ (a−1uxr(p1 ⊗ p2)Θ aa−1uy)⊗ p2

= p1 ⊗ (a−1uxr(p1 ⊗ p2)Θ uy)⊗ p2.

Logo, o diagrama e comutativo. Portanto, [∆(ΩP )] = [∆(ΩP )] em C(Θ/R).

Sendo ∆(ΩP ) um produto cruzado generalizado parcial, pela Observacao 3.3.4, existe um isomorfismoνP : R −→ P ⊗Θ1⊗P−1 que satisfaz os diagramas comutativos como em (3.23). Na proxima observacaovamos definir esse isomorfismo. Ele sera usado na demonstracao de resultados mais a diante.

Observacao 4.2.5. Seja ι : R −→ Θ1 o isomorfismo de R-bimodulos que satisfaz os diagramas comuta-tivos em (3.23). Considere νP : R −→ P ⊗Θ1 ⊗ P−1 o isomorfismo definido por

νP (r) =

n∑k=1

rpk ⊗ ι(1)⊗ pk,

onde

n∑k=1

l(pk ⊗ pk) = 1. Entao, νP satisfaz os diagramas comutativos

R⊗ ΩPx' //

νP

ΩPx

ΩP1 ⊗ ΩPx

fP1,x

BBΩPx ⊗R

' //

νP

ΩPx

ΩPx ⊗ ΩP1

fPx,1

BB


De fato, dados r ∈ R, p ∈ P, ux ∈ Θx e p ∈ P−1 temos

fP1,x(νP (r)⊗ p⊗ ux ⊗ p) =

n∑k=1

fP1,x(rpk ⊗ ι(1)⊗ pk ⊗ p⊗ ux ⊗ p)

=

n∑i=1

rpk ⊗ fΘ1,x(ι(1)⊗ r(pk ⊗ p)ux)⊗ p

=

n∑i=1

rpk ⊗ r(pk ⊗ p)ux ⊗ p

=

n∑i=1

rpkr(pk ⊗ p)⊗ ux ⊗ p

=

n∑i=1

rl(pk ⊗ pk)p⊗ ux ⊗ p

= rp⊗ ux ⊗ p.

A comutatividade do segundo diagrama e analogo.

Teorema 4.2.6. A aplicacaoL : PicZ(R)(G) −→ C(Θ/R)

[P ] 7−→ [∆(ΩP )]

e um morfismo de grupos.

Demonstracao. Vejamos primeiro que L esta bem definida. Seja [P ] = [Q] em PicZ(R)(G), entaoexistem isomorfismos de R-bimodulos ϕ : Q −→ P e ϕ : Q−1 −→ P−1. Seja r : P−1 ⊗ P −→ R umisomorfismo de R-bimodulos, vamos considerar o isomorfismo de R-bimodulos r′ : Q−1⊗Q −→ R definidopor r′(q ⊗ q) = r(ϕ(q)⊗ ϕ(q)).

Para cada x ∈ G considere o isomorfismo de R-bimodulos

ϕx : Q⊗Θx ⊗Q−1 −→ P ⊗Θx ⊗ P−1

q ⊗ ux ⊗ q 7−→ ϕ(q)⊗ ux ⊗ ϕ(q).

Entao, o diagrama

Q⊗Θx ⊗Q−1 ⊗Q⊗Θy ⊗Q−1fQx,y //

ϕx⊗ϕy

1xQ⊗Θxy ⊗Q−1

ϕxy

P ⊗Θx ⊗ P−1 ⊗ P ⊗Θy ⊗ P−1

fPx,y

// 1xQ⊗Θxy ⊗ P−1

e comutativo. De fato, sejam ux ∈ Θx, uy ∈ Θy, q1, q2 ∈ Q e q1, q2 ∈ Q−1, entao

(ϕxy fQx,y)(q1 ⊗ ux ⊗ q1 ⊗ q2 ⊗ uy ⊗ q2) = ϕxy(q1 ⊗ (uxr′(q1 ⊗ q2)

Θ uy)⊗ q2)

= ϕxy(q1 ⊗ (uxr(ϕ(q1)⊗ ϕ(q2))Θ uy)⊗ q2)

= ϕ(q1)⊗ (uxr(ϕ(q1)⊗ ϕ(q2))Θ uy)⊗ ϕ(q2)

= fPx,y(ϕ(q1)⊗ ux ⊗ ϕ(q1)⊗ ϕ(q2)⊗ uy ⊗ ϕ(q2))

= (fPx,y (ϕx ⊗ ϕy))(q1 ⊗ ux ⊗ q1 ⊗ q2 ⊗ uy ⊗ q2).


Logo, [∆(ΩP )] = [∆(ΩQ)] em C(Θ/R) e portanto L esta bem definida.

Sejam [P ], [Q] ∈ PicZ(R)(G). Vamos considerar os isomorfismos de R-bimodulos

P ⊗ P−1 l−→ Rr←− P−1 ⊗ P e Q⊗Q−1 l′−→ R

r′←− Q−1 ⊗Q.

Entao,

L([P ⊗Q]) =

[⊕x∈G

P ⊗Q⊗Θx ⊗Q−1 ⊗ P−1

].

Por outro lado,

L([P ])L([Q]) =

[⊕x∈G

P ⊗Θx ⊗ P−1 ⊗Θx−1 ⊗Q⊗Θx ⊗Q−1

].

Como Q⊗Θx⊗Q−1|Θx, entao Θx−1 ⊗Q⊗Θx⊗Q−1|R. Por P−1 ser um Z-bimodulos central, seguedo Corolario 2.3.6, que existe um isomorfismo de R-bimodulos

T : P−1 ⊗Θx−1 ⊗Q⊗Θx ⊗Q−1 −→ Θx−1 ⊗Q⊗Θx ⊗Q−1 ⊗ P−1.

Analogamente, por Q ser Z-bimodulo central e R1x|R, temos o isomorfismo de R-bimodulos

T ′ : R1x ⊗Q −→ Q⊗R1x, para todo x ∈ G.

Vamos definir o isomorfismo de R-bimodulo Fx : ΩPx ⊗Θx−1 ⊗ ΩQx −→ ΩP⊗Qx via:

P ⊗Θx ⊗ P−1 ⊗Θx−1 ⊗Q⊗Θx ⊗Q−1 P⊗Θx⊗T //

Fx

++

P ⊗Θx ⊗Θx−1 ⊗Q⊗Θx ⊗Q−1 ⊗ P−1

P⊗fΘx,x−1⊗Q⊗Θx⊗Q−1⊗P−1

P ⊗R1x ⊗Q⊗Θx ⊗Q−1 ⊗ P−1

P⊗Q⊗T ′⊗Q−1⊗P−1

P ⊗Q⊗R1x ⊗Θx ⊗Q−1 ⊗ P−1

'

P ⊗Q⊗Θx ⊗Q−1 ⊗ P−1

Vamos verificar que o diagrama abaixo e comutativo

ΩPx ⊗Θx−1 ⊗ ΩQx ⊗ ΩPy ⊗Θy−1 ⊗ ΩQyfPQx,y //

Fx⊗Fy

1xΩPxy ⊗Θ(xy)−1 ⊗ ΩQxy

Fxy

ΩP⊗Qx ⊗ ΩP⊗Qy

fP⊗Qx,y

// 1xΩP⊗Qxy


Por um lado, temos que Fxy fPQx,y e dado pelal sequencia de isomorfismos

ΩPx ⊗Θx−1 ⊗ ΩQx ⊗ ΩPy ⊗Θy−1 ⊗ ΩQyΩP

x⊗T1⊗ΩQy

++

FxyfPQx,y

++

ΩPx ⊗ ΩPy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗ ΩQx ⊗ ΩQy

fPx,y⊗f

Θy−1,x−1⊗fQ

x,y

P ⊗Θxy ⊗ P−1 ⊗ 1y−1Θ(xy)−1 ⊗Q⊗ 1xΘxy ⊗Q−1

P⊗Θxy⊗T2

P ⊗Θxy ⊗ 1y−1Θ(xy)−1 ⊗Q⊗ 1xΘxy ⊗Q−1 ⊗ P−1

P ⊗Θxy ⊗Θ(xy)−1 ⊗Q⊗Θxy ⊗Q−1 ⊗ P−1

P ⊗R1xy ⊗Q⊗Θxy ⊗Q−1 ⊗ P−1

P⊗⊗T3⊗Θxy⊗Q−1⊗P−1

P ⊗Q⊗R1xy ⊗Θxy ⊗Q−1 ⊗ P−1

P ⊗Q⊗Θxy ⊗Q−1 ⊗ P−1

onde,

T1 : Θx−1 ⊗Q⊗Θx ⊗Q−1

⊗ P ⊗Θy ⊗ P−1 ⊗Θy−1 −→ P ⊗Θy ⊗ P−1 ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗Q⊗Θx ⊗Q−1

,

T2 : P−1 ⊗ 1y−1Θ(xy)−1 ⊗Q⊗ 1xΘxy ⊗Q−1 −→ Θ(xy)−1 ⊗Q⊗Θxy ⊗Q−1 ⊗ P−1

e

T3 : R1xy ⊗Q −→ Q⊗R1xy.

Por outro lado, fP⊗Qx,y (Fx ⊗ Fy) e dado por: Sejam

T4 : P−1 ⊗Θx−1 ⊗Q⊗Θx ⊗Q−1

−→ Θx−1 ⊗Q⊗Θx ⊗Q−1

⊗ P−1

T5 : P−1 ⊗Θy−1 ⊗Q⊗Θy ⊗Q−1

−→ Θy−1 ⊗Q⊗Θy ⊗Q−1

⊗ P−1

e

T6 : R1x ⊗Q −→ Q⊗R1x, T7 : R1y ⊗Q −→ Q⊗R1y.

Entao


ΩPx ⊗Θx−1 ⊗ ΩQx ⊗ ΩPy ⊗Θy−1 ⊗ ΩQy

P⊗Θx⊗T4⊗P⊗Θy⊗T5

ww

fP⊗Qx,y (Fx⊗Fy)

rr

P ⊗R1x ⊗Q⊗Θx ⊗Q−1 ⊗ P−1 ⊗ P ⊗R1y ⊗Q⊗Θy ⊗Q−1 ⊗ P−1

P⊗T6⊗Θx⊗Q−1⊗P−1⊗P⊗T7⊗Θy⊗Q−1⊗P−1

P ⊗Q⊗R1x ⊗Θx ⊗Q−1 ⊗ P−1 ⊗ P ⊗Q⊗R1y ⊗Θy ⊗Q−1 ⊗ P−1

P ⊗Q⊗Θx ⊗Q−1 ⊗ P−1 ⊗ P ⊗Q⊗Θy ⊗Q−1 ⊗ P−1

1xP ⊗Q⊗Θ(xy)−1 ⊗Q−1 ⊗ P−1

Vamos construir os isomorfismos: Considere as aplicacoes R-bilineares

fxi : Θx−1 ⊗Q⊗Θx ⊗Q−1 −→ R e gxi : R −→ Θx−1 ⊗Q⊗Θx ⊗Q−1, com i = 1, 2, ..., n

fyj : Θy−1 ⊗Q⊗Θy ⊗Q−1 −→ R e gyj : R −→ Θy−1 ⊗Q⊗Θy ⊗Q−1, com j = 1, 2, ...,m,

tais que

n∑i=1

gxi fxi = IdΘx−1⊗Q⊗Θx⊗Q−1 e

m∑j=1

gyj fyj = IdΘy−1⊗Q⊗Θy⊗Q−1 . Denote,

gxi (1) =∑l

ui,lx−1 ⊗ qi,lx ⊗ ui,lx ⊗ qi,lx−1 e gyj (1) =

∑k

uj,ky−1 ⊗ qj,ky ⊗ uj,ky ⊗ qj,ky−1 .

Entao,

T4 : P−1 ⊗Θx−1 ⊗Q⊗Θx ⊗Q−1 −→ Θx−1 ⊗Q⊗Θx ⊗Q

−1 ⊗ P−1

p⊗ ux−1 ⊗ q ⊗ ux ⊗ q 7−→∑

ui,lx−1 ⊗ qi,lx ⊗ ui,lx ⊗ qi,lx−1 ⊗ pfxi (ux−1 ⊗ q ⊗ ux ⊗ q)

T5 : P−1 ⊗Θy−1 ⊗Q⊗Θy ⊗Q−1 −→ Θy−1 ⊗Q⊗Θy ⊗Q

−1 ⊗ P−1

p⊗ uy−1 ⊗ q ⊗ uy ⊗ q 7−→∑

uj,ky−1 ⊗ qj,ky ⊗ uj,ky ⊗ qj,ky−1 ⊗ pfyj (uy−1 ⊗ q ⊗ uy ⊗ q),

e

T1 : Θx−1 ⊗Q⊗Θx ⊗Q−1

⊗ P ⊗Θy ⊗ P−1 ⊗Θy−1 → P ⊗Θy ⊗ P−1 ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗Q⊗Θx ⊗Q−1

ux−1 ⊗ q ⊗ ux ⊗ q ⊗ p⊗ uy ⊗ p⊗ uy−1 7→∑

fxi (ux−1 ⊗ q ⊗ ux ⊗ q)p⊗ uy ⊗ p⊗ uy−1 ⊗ gxi (1).

Para construir T2, vamos considerar as aplicacoes R-bilineares fxyi,j : 1y−1Θxy⊗Q⊗1xΘxy⊗Q−1 −→ R


e gxyi,j : R −→ 1y−1Θxy ⊗Q⊗ 1xΘxy ⊗Q−1 definidas da seguinte forma:

1y−1Θxy ⊗Q⊗ 1xΘxy ⊗Q−1(fΘ

y−1,x−1 )−1⊗Q⊗(fΘx,y)−1⊗Q−1

//

fxyi,j

//

Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗Q⊗Θx ⊗Θy ⊗Q−1

Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗Q⊗Θx ⊗Q⊗Q−1 ⊗Θy ⊗Q−1

Θy−1⊗fxi ⊗Q⊗Θy⊗Q

Θy−1 ⊗Q−1 ⊗Θy ⊗Q−1

fyj

R

Entao,

fxyi,j (u(xy)−1 ⊗ q ⊗ uxy ⊗ q) =∑

fyj (uy−1fxi (ux−1 ⊗ q ⊗ ux ⊗ qe)⊗ qe ⊗ uy ⊗ q), (4.4)

onde∑

(uy−1

Θ ux−1) = u(xy)−1 ,∑

(uxΘ uy) = uxy e

∑t

r′(qt ⊗ qt) = 1.

Rgyj //

gxyi,j

,,

Θy−1 ⊗Q⊗Θy ⊗Q−1 // Θy−1 ⊗R⊗Q⊗Θy ⊗Q−1

Θy−1⊗gxi ⊗Q⊗Θy⊗Q−1

Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗Q⊗Θx ⊗Q−1 ⊗Q⊗Θy ⊗Q−1

Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗Q⊗Θx ⊗Θy ⊗Q−1

fΘy−1,x−1⊗Q⊗fΘ

x,y⊗Q−1

1y−1Θ(xy)−1 ⊗Q⊗ 1xΘxy ⊗Q−1

Entao,

gxyi,j (1) =∑

(uj,ky−1

Θ ui,lx−1)⊗ qi,lx ⊗ (ui,lx r′(qi,lx−1 ⊗ qj,ky )Θ uj,ky )⊗ qj,ky−1 . (4.5)

E facil ver que∑i,j

gxyi,jfxyi,j = Id1y−1Θ(xy)−1⊗Q⊗1xΘxy⊗Q−1 . Entao, o isomorfismo T2 e dado por

T2 : P−1 ⊗Θ(xy)−1 ⊗Q⊗Θxy ⊗Q−1 −→ Θ(xy)−1 ⊗Q⊗Θxy ⊗Q−1 ⊗ P−1

p⊗ u(xy)−1 ⊗ q ⊗ uxy ⊗ q 7−→∑

gxyi,j (1)⊗ pfxyi,j (u(xy)−1 ⊗ q ⊗ uxy ⊗ q).

Pelo Exemplo 2.3.7, temos que os isomorfismos T3, T6 e T7 sao definidos por:

R1xy ⊗QT3−→ Q⊗R1xy

r ⊗ q 7−→ rq ⊗ 1xy, R1x ⊗Q

T6−→ Q⊗R1xr ⊗ q 7−→ rq ⊗ 1x

, R1y ⊗QT7−→ Q⊗R1y

r ⊗ q 7−→ rq ⊗ 1y.


Vamos calcular primeiro fP⊗Qx,y (Fx ⊗ Fy) :

p1 ⊗ ux ⊗ p1 ⊗ ux−1 ⊗ q1 ⊗ u′x ⊗ q1 ⊗ p2 ⊗ uy ⊗ p2 ⊗ uy−1 ⊗ q2 ⊗ u′y ⊗ q2

T4,T57→∑i,l,j,k

p1 ⊗ ux ⊗ ui,lx−1 ⊗ qi,lx ⊗ ui,lx ⊗ qi,lx−1 ⊗ p1 f

xi (ux−1 ⊗ q1 ⊗ u′x ⊗ q1)︸︷︷︸

=axi ∈R

⊗p2 ⊗ uy

⊗uj,ky−1 ⊗ qj,ky ⊗ uj,ky ⊗ qj,ky−1 ⊗ p2 f

yj (uy−1 ⊗ q2 ⊗ u′y ⊗ q2)︸︷︷︸

=ayj∈R

7→∑i,l,j,k

p1 ⊗ (uxΘ ui,lx−1)⊗ qi,lx ⊗ ui,lx ⊗ q

i,lx−1 ⊗ p1a

xi ⊗ p2 ⊗ (uy

Θ uj,ky−1)⊗ qj,ky ⊗ uj,ky ⊗ qj,ky−1 ⊗ p2a

yj

T6,T77→∑i,l,j,k

p1 ⊗ (uxΘ ui,lx−1)qi,lx ⊗ 1x ⊗ ui,lx ⊗ q

i,lx−1 ⊗ p1a

xi ⊗ p2 ⊗ (uy

Θ uj,ky−1)qj,ky ⊗ 1y ⊗ uj,ky ⊗ qj,ky−1 ⊗ p2a

yj

7→∑i,l,j,k

p1 ⊗ (uxΘ ui,lx−1)qi,lx ⊗ ui,lx ⊗ q

i,lx−1 ⊗ p1a

xi ⊗ p2 ⊗ (uy

Θ uj,ky−1)qj,ky ⊗ uj,ky ⊗ qj,ky−1 ⊗ p2a

yj

7→∑i,l,j,k

p1 ⊗ (uxΘ ui,lx−1)qi,lx ⊗

ui,lx r′(qi,lx−1r(p1axi ⊗ p2)⊗ (uy

Θ uj,ky−1)qj,ky )︸︷︷︸=a∈R

⊗ Θ uj,ky

⊗ qj,ky−1 ⊗ p2ayj

=∑i,l,j,k

p1 ⊗ (uxΘ ui,lx−1)qi,lx ⊗

(ui,lx a⊗

Θ uj,ky)⊗ qj,ky−1 ⊗ p2f

yj (uy−1 ⊗ q2 ⊗ u′y ⊗ q2),

Para Fxy fPQx,y , temos:

p1 ⊗ ux ⊗ p1 ⊗ ux−1 ⊗ q1 ⊗ u′x ⊗ q1 ⊗ p2 ⊗ uy ⊗ p2 ⊗ uy−1 ⊗ q2 ⊗ u′y ⊗ q2

T17→∑h,l′

p1 ⊗ ux ⊗ p1 ⊗ fxh (ux−1 ⊗ q1 ⊗ u′x ⊗ q1)p2 ⊗ uy ⊗ p2 ⊗ uy−1 ⊗ uh,l′

x−1 ⊗ qh,l′

x

⊗uh,l′

x ⊗ qh,l′

x−1 ⊗ q2 ⊗ u′y ⊗ q2

7→∑h,l′

p1 ⊗ (uxr(p1fxh (ux−1 ⊗ q1 ⊗ u′x ⊗ q1)⊗ p2)

Θ uy)⊗ p2 ⊗ (uy−1

Θ uh,l′

x−1)⊗ qh,l′

x

⊗(uh,l′

x r′(qh,l′

x−1 ⊗ q2)Θ u′y)⊗ q2

T27→∑

h,l′,i,l,j,k,t


Θ uy)⊗ (uj,ky−1

Θ uh,l′

x−1)⊗ qh,l′

x

⊗(uh,l′

x r′(qh,l′

x−1 ⊗ qj,ky )Θ uj,ky )⊗ qj,ky−1 ⊗ p2f

yj (uy−1fxi (uh,l

′

x−1 ⊗ qh,l′

x ⊗ uh,l′

x r′(qh,l′

x−1 ⊗ q2)⊗ qt)⊗qt ⊗ u′y ⊗ q2)

=∑

h,l′,i,l,j,k,t



Θ ui,lx−1)⊗ qi,lx

⊗(ui,lx r′(qi,lx−1 ⊗ qj,ky )Θ uj,ky )⊗ qj,ky−1 ⊗ p2f

yj (uy−1fxi (uh,l

′

x−1 ⊗ qh,l′

x ⊗ uh,l′

x ⊗ qh,l′

x−1 l′(q2 ⊗ qt))

⊗qt ⊗ u′y ⊗ q2)


=∑

h,l′,i,l,j,k,t





yj (uy−1fxi (uh,l

′

x−1 ⊗ qh,l′

x ⊗ uh,l′

x ⊗ qh,l′

x−1)

⊗l′(q2 ⊗ qt)qt ⊗ u′y ⊗ q2)

=∑

h,l′,i,l,j,k,t





yj (uy−1fxi (gxh(1))⊗ q2r

′(qe ⊗ qe)⊗ u′y ⊗ q2)

=∑

h,l′,i,l,j,k





yj (uy−1 fxi (gxh(1))︸︷︷︸

∈Z

⊗q2 ⊗ u′y ⊗ q2)

(3.14)=

∑h,l′,i,l,j,k

p1 ⊗ (uxr(p1fxh (ux−1 ⊗ q1 ⊗ u′x ⊗ q1)fxi (gxh(1))⊗ p2)




yj (uy−1 ⊗ q2 ⊗ u′y ⊗ q2)

=∑

h,l′,i,l,j,k

p1 ⊗ (uxr(p1fxi (gxh(fxh (ux−1 ⊗ q1 ⊗ u′x ⊗ q1)))⊗ p2)



⊗(ui,lx r′(qi,lx−1 ⊗ qj,ky )Θ uj,ky )⊗ qj,ky−1 ⊗ p2a

yj

=∑i,l,j,k

p1 ⊗ (uxr(p1fxi (ux−1 ⊗ q1 ⊗ u′x ⊗ q1)⊗ p2)



⊗(ui,lx r′(qi,lx−1 ⊗ qj,ky )Θ uj,ky )⊗ qj,ky−1 ⊗ p2a

yj

T77→∑i,l,j,k

p1 ⊗(

(uxr(p1axi ⊗ p2)

Θ uy)Θ (uj,ky−1

Θ ui,lx−1))qi,lx ⊗ (ui,lx r′(qi,lx−1 ⊗ qj,ky )

Θ uj,ky )⊗ qj,ky−1 ⊗ p2ayj

=∑i,l,j,k

p1 ⊗ (uxΘ r(p1a

xi ⊗ p2)(uy

Θ uj,ky−1)︸︷︷︸=b∈R

ui,lx−1)qi,lx ⊗ (ui,lx r′(qi,lx−1 ⊗ qj,ky )Θ uj,ky )⊗ qj,ky−1 ⊗ p2a

yj

=∑i,l,j,k

p1 ⊗ (uxΘ bui,lx−1)qi,lx ⊗ (ui,lx r′(qi,lx−1 ⊗ qj,ky )

Θ uj,ky )︸︷︷︸(∗)

⊗qj,ky−1 ⊗ p2ayj .

Observe que (∗) pode ser escrito como:

(uxΘ bui,lx−1)qi,lx ⊗ (ui,lx r′(qi,lx−1 ⊗ qj,ky )

Θ uj,ky )

= (Q⊗ fΘx,y) (fΘ

x,x−1 ⊗Q⊗Θxr′ ⊗Θy)(ux ⊗ b ui,lx−1 ⊗ qi,lx ⊗ ui,lx ⊗ q

i,lx−1︸︷︷︸

∈CΘx−1⊗Q⊗Θx⊗Q−1 (R)

⊗qj,ky ⊗ uj,ky )

= (Q⊗ fΘx,y) (fΘ

x,x−1 ⊗Q⊗Θxr′ ⊗Θy)(ux ⊗ ui,lx−1 ⊗ qi,lx ⊗ ui,lx ⊗ q

i,lx−1b⊗ qj,ky ⊗ uj,ky )

= (uxΘ ui,lx−1)qi,lx ⊗ (ui,lx r′(qi,lx−1r(p1a

xi ⊗ p2)(uy

Θ uj,ky−1)⊗ qj,ky )Θ uj,ky )

= (uxΘ ui,lx−1)qi,lx ⊗ (ui,lx r′(qi,lx−1r(p1a

xi ⊗ p2)⊗ (uy

Θ uj,ky−1)qj,ky )Θ uj,ky )

= (uxΘ ui,lx−1)qi,lx ⊗ (ui,lx a

Θ uj,ky )


Logo, temos que

(Fxy fPQx,y )(p1 ⊗ ux ⊗ p1 ⊗ ux−1 ⊗ q1 ⊗ u′x ⊗ q1 ⊗ p2 ⊗ uy ⊗ p2 ⊗ uy−1 ⊗ q2 ⊗ u′y ⊗ q2)

=∑i,l,j,k

p1 ⊗ (uxΘ ui,lx−1)qi,lx ⊗ (ui,lx a

Θ uj,ky )⊗ qj,ky−1 ⊗ p2fyj (uy−1 ⊗ q2 ⊗ u′y ⊗ q2)

Portanto L e um morfismo de grupos.

Por (4.3), temos que se [P ] ∈ PicZ(R) ∩ PicSZ(R)α∗, entao [∆(ΩP )] ∈ C0(Θ/R). Definimos o

morfismo ϕ3 : PicZ(R) ∩PicSZ(R)α∗ −→ C0(Θ/R) como sendo a restricao do morfismo L. Ou seja,

ϕ3 : PicZ(R) ∩PicSZ(R)α∗ −→ C0(Θ/R)

[P ] 7−→ [∆(ΩP )].


PZ(∆(Θ)/R)(G) ϕ2 // PicZ(R) ∩PicSZ(R)α∗ ϕ3 // C0(Θ/R)

e exata.

Demonstracao. Seja [Q] ∈ Im(ϕ2), entao existe [Q] [φ] +3 [X] ∈ PZ(∆(Θ)/R)(G). Pela Proposicao

4.1.3 existe um isomorfismo de R-bimodulos gx : Θx ⊗Q⊗Θx−1 −→ Q⊗R1x definido por

gx(ux ⊗ q ⊗ ux−1) = q′ ⊗ 1x, onde φ(q′) = uxφ(q)ux−1 .

Seja hx : Q⊗Θx −→ Θx ⊗Q o isomorfismo de R-bimodulos que faz o diagrama abaixo comutar

R1x ⊗Q⊗Θx// Θx ⊗Θx−1 ⊗Q⊗Θx

Θx⊗gx−1 // Θx ⊗Q⊗R1x−1

Q⊗R1x ⊗Θx

OO

Θx ⊗R1x−1 ⊗Q

Q⊗Θx

OO

hx

// Θx ⊗Q

ou seja,

hx(q ⊗ ux) =∑(x)

ωx ⊗ gx−1(ωx−1 ⊗ q ⊗ ux),

onde 1x =∑(x)

ωxΘ ωx−1 , com ωx ∈ Θx e ωx−1 ∈ Θx−1 .

Afirmacao 4.2.8. Os isomorfismos hx satisfazem o diagrama comutativo:


Q⊗Θx ⊗Θy

hx⊗Θy

tt

Q⊗fΘx,y

**Θx ⊗Q⊗Θy

Θx⊗hy

Q⊗ 1xΘxy

1xhxy

Θx ⊗Θy ⊗Q

fΘx,y⊗Q

// 1xΘxy ⊗Q

(4.6)

De fato, sejam 1x =∑(x)

(ωxΘ ωx−1) e 1y =

∑(y)

(ωyΘ ωy−1). Pela Observacao 3.3.10, a restricao do

isomorfismo 1xhxy : Q⊗ 1xΘxy −→ 1xΘxy ⊗Q e dado por

1xhxy(q ⊗ uxy) =∑

(x),(y)

(ωxΘ ωy)⊗ g(xy)−1((ωy−1

Θ ωx−1)⊗ q ⊗ uxy),

para todo uxy ∈ 1xΘxy. Assim, dados q ∈ Q, ux ∈ Θx e uy ∈ Θy, temos

1xhxy (Q⊗ fΘx,y)(q ⊗ ux ⊗ uy) = 1xhxy(q ⊗ (ux

Θ uy))

=∑

(x),(y)

(ωxΘ ωy)⊗ g(xy)−1((ωy−1

Θ ωx−1)⊗ q ⊗ (uxΘ uy))

=∑

(x),(y)

(ωxΘ ωy)⊗ qx,y, (4.7)

onde φ(qx,y) =∑

(x),(y)

(ωy−1

Θ ωx−1)φ(q)(uxΘ uy).

Por outro lado, aplicando (fΘx,y ⊗Q) (Θx ⊗ hy)⊗ (hx ⊗Θy) temos:

q ⊗ ux ⊗ uyhx⊗Θy7→

∑(x)

ωx ⊗ gx(ωx−1 ⊗ q ⊗ ux)⊗ uy

=∑(x)

ωx ⊗ q′x ⊗ uy, onde φ(q′x) =∑(x)

ωx−1φ(q)ux,

Θx⊗hy7→∑

(x),(y)

ωx ⊗ ωy ⊗ gy(ωy−1 ⊗ qx ⊗ uy)

=∑

(x),(y)

ωx ⊗ ωy ⊗ q′x,y,

fΘx,y⊗Q7→

∑(x),(y)

(ωxΘ ωy)⊗ q′x,y, (4.8)

onde

φ(q′x,y) =∑

(x),(y)

ωy−1φ(q′x)uy =∑

(x),(y)

ωy−1(ωx−1φ(q)ux)uy

=∑

(x),(y)

(ωy−1

Θ ωx−1)φ(q)(uxΘ uy) = φ(qx,y).


Como φ e injetora, temos que q′x,y = qx,y. Logo, de (4.7) e (4.8) temos que o diagrama e comutativo.

A comutatividade do diagrama (4.6) pode ser expressa na seguinte igualdade: dados q ∈ Q, ux ∈ Θx

e uy ∈ Θy, denote

hx(q ⊗ ux) =

n∑i=1

uix ⊗ qi e hy(qi ⊗ uy) =

m∑j=1

ui,jy ⊗ qi,j .

Entao,

hxy(q ⊗ (uxΘ uy)) =

∑i,j

(uixΘ ui,jy )⊗ qi,j . (4.9)

Considere agora o isomorfismo de R-bimodulos Fx : Q⊗Θx⊗Q−1 −→ Θx definido por Fx := hx⊗Q−1,

ou seja, dados q ∈ Q, ux ∈ Θx e q ∈ Q−1, denotando hx(q ⊗ ux) =

n∑i=1

uix ⊗ qi, entao

Fx(q ⊗ ux ⊗ q) =

n∑i=1

uixl(qi ⊗ q) ∈ Q.

onde Q⊗R Q−1 l−→ Rr←− Q−1 ⊗R Q sao isomorfismos de R-bimodulos.

Afirmacao 4.2.9. ϕ3([Q]) = [∆(Θ)] em C0(Θ/R).

De fato, basta verificar que o seguinte diagrama e comutativo

Q⊗Θx ⊗Q−1 ⊗Q⊗Θy ⊗Q−1fQx,y //

Fx⊗Fy

R1x ⊗Q⊗Θxy ⊗Q−1

Fxy

Θx ⊗Θy

fΘx,y

// R1x ⊗Θxy

Sejam q1, q2 ∈ Q, q1, q2 ∈ Q−1, ux ∈ Θx e uy ∈ Θy. Denote

hx(q1 ⊗ ux) =

n∑i=1

uix ⊗ qi e hy(qi ⊗ r(q1 ⊗ q2)uy) =

m∑j=1

ui,jy ⊗ qi,j .

Entao, por (4.9)

hxy(qi ⊗ (uxΘ r(q1 ⊗ q2)uy)) =

∑i,j

(uixΘ ui,jy )⊗ qi,j .

Assim,

(Fxy fQx,y)(q1 ⊗ ux ⊗ q1 ⊗ q2 ⊗ uy ⊗ q2) = Fxy(q1 ⊗ (uxΘ r(q1 ⊗ q2)uy)⊗ q2)

=∑i,j

(uixΘ ui,jy )l(qi,j ⊗ q2).


Por outro lado, aplicando fΘx,y (Fx ⊗ Fy) em q1 ⊗ ux ⊗ q1 ⊗ q2 ⊗ uy ⊗ q2, temos

(q1 ⊗ ux ⊗ q1 ⊗ q2 ⊗ uy ⊗ q2) 7→n∑i=1

uixl(qi ⊗ q1)⊗ hy(q2 ⊗ uy)⊗ q2

=

n∑i=1

uix ⊗ l(qi ⊗ q1)fy(q2 ⊗ uy)⊗ q2 =

n∑i=1

uix ⊗ hy(l(qi ⊗ q1)q2 ⊗ uy)⊗ q2

=

n∑i=1

uix ⊗ hy(qir(q1 ⊗ q2)⊗ uy)⊗ q2 =

n∑i=1

uix ⊗ hy(qi ⊗ r(q1 ⊗ q2)uy)⊗ q2

=∑i,j

uix ⊗ ui,jy ⊗ qi,j ⊗ q2 =∑i,j

uix ⊗ ui,jy l(qi,j ⊗ q2)

7→∑i,j

(uixΘ ui,jy )l(qi,j ⊗ q2).

Logo, Fx fQx,y = fΘx,y (Fx ⊗ Fy), para todo x, y ∈ G. Assim, ∆(ΩQ) ' ∆(Θ) como produtos cruzados

generalizados parciais. Isso implica que ϕ3([Q]) = [∆(ΩQ)] = [∆(Θ)] em C0(Θ/R) e portanto [Q] ∈ker(ϕ3).

Seja [P ] ∈ ker(ϕ3), entao existe j : ∆(ΩP ) −→ ∆(Θ) isomorfismo de produtos cruzados generalizadosparciais. Ou seja, para cada x ∈ G, existe isomorfismo de R-bimodulos jx : P ⊗ Θx ⊗ P−1 −→ Θx talque o diagrama

P ⊗Θx ⊗ P−1 ⊗ P ⊗Θy ⊗ P−1fPx,y //

jx⊗jy

R1x ⊗ P ⊗Θxy ⊗ P−1

jxy

Θx ⊗Θy

fΘx,y

// R1x ⊗Θxy

(4.10)

e comutativo. Dados ux ∈ Θx e uy ∈ Θy, denote

j−1x (ux) =

n∑i=1

pi ⊗ uix ⊗ pi e j−1y (uy) =

m∑j=1

pj ⊗ ujy ⊗ pj . (4.11)

Entao, pela comutatividade do diagrama, temos

j−1xy (ux

Θ uy) =∑i,j

pi ⊗ (uixr(pi ⊗ pj)Θ ujy)⊗ pj . (4.12)

Seja ix : Θx ⊗R P −→ P ⊗R Θx definida por

ix : Θx ⊗R Pj−1x ⊗P−→ P ⊗Θx ⊗ P−1 ⊗ P −→ P ⊗R Θx,

ou seja, dados p ∈ P e ux ∈ Θx, se j−1x (ux) =

n∑i=1

pi ⊗ uix ⊗ pi, entao

ix(ux ⊗ p) =

n∑i=1

pi ⊗ uixr(pi ⊗ p).


Defina i :=⊕

x∈G ix : ∆(Θ)⊗R P −→ P ⊗R∆(Θ). Vejamos que i satisfaz as condicoes (2.13) e (2.14)do Lema 2.1.16. A primeira condicao e:

(P ⊗ fΘx,y) (ix ⊗Θy) (Θx ⊗ iy) = ixy (fΘ

x,y ⊗ P ) ∀ x, y ∈ G.

Sejam p ∈ P, ux ∈ Θx, uy ∈ Θy usando a notacao em (4.11), entao ixy (fΘx,y ⊗ P ) e dado por:

ux ⊗ uy ⊗ p 7→ (uxΘ uy)⊗ p 7→ j−1

xy (uxΘ uy)⊗ p

(4.12)=

∑i,j

pi ⊗(uixr(pi ⊗ pj)

Θ ujy)⊗ pj ⊗ p

7→∑i,j


Θ ujy)r(pj ⊗ p).

Por outro lado, (P ⊗ fΘx,y) (ix ⊗Θy) (Θx ⊗ iy) e dado por:

ux ⊗ uy ⊗ pΘx⊗iy7−→

m∑j=1

ux ⊗ pj ⊗ ujyr(pj ⊗ p)

ix⊗Θy7−→∑i,j

pi ⊗ uixr(pi ⊗ pj)⊗ ujyr(pj ⊗ p)

P⊗fΘx,y7−→

∑i,j


Θ ujyr(pj ⊗ p))

=∑i,j


Θ ujy)r(pj ⊗ p).

Logo, i satisfaz a condicao (2.13). Como j e isomorfismo de produtos cruzados generalizados parciais,entao j1 νP = ι, onde νP e dado como na Observacao 4.2.5. Entao

j−11 (1) = j−1

1 (ι(1)) = νP (1) =

n∑k=1

pk ⊗ ι(1)⊗ pk,

onde

n∑k=1

l(pk ⊗ pk) = 1, para todo r ∈ R. Logo,

i1(1⊗ p) =

n∑k=1

pk ⊗ r(pk ⊗ p) =

n∑k=1

pkr(pk ⊗ p)⊗ 1

=

n∑k=1

l(pk ⊗ pk)p⊗ 1 = p⊗ 1.

Portanto, i tambem satisfaz a condicao (2.14). Segue do Lema 2.1.16 que P⊗R∆(Θ) e um ∆(Θ)-bimodulovia:

(p⊗ ux) ∗ uy = p⊗ (uxΘ uy)

uy ∗ (p⊗ ux) =

n∑i=1

pi ⊗ (uiyΘ ux), onde iy(uy ⊗ p) =

n∑i=1

pi ⊗ uiy.

Vamos construir o isomorfismo ix : Θx ⊗R P−1 −→ P−1 ⊗R Θx por:

ix : Θx ⊗R P−1 −→ P−1 ⊗R P ⊗R Θx ⊗R P−1 jx−→ P−1 ⊗R Θx,


ou seja,

ix(ux ⊗ p) =

n∑k=1

pk ⊗ jx(pk ⊗ ux ⊗ p),

onde

n∑k=1

r(px ⊗ pk) = 1. Considere i =⊕

x∈G ix : ∆(Θ) ⊗R P −→ P ⊗R ∆(Θ). Vamos verificar

que i tambem satisfaz as condicoes do Lema 2.1.16. Sejam ux ∈ Θx, uy ∈ Θy e p ∈ P−1. Consideren∑k=1

r(pk ⊗ pk) =

m∑l=1

r(pl ⊗ pl) = 1. Entao, (P ⊗ fΘx,y) (ix ⊗Θy) (Θx ⊗ iy) e dado por:

ux ⊗ uy ⊗ pΘx⊗iy7−→

m∑l=1

ux ⊗ pl ⊗ jy(pl ⊗ uy ⊗ p)

ix⊗Θy7−→∑k,l

pk ⊗ jx(pk ⊗ ux ⊗ pl)⊗ jy(pl ⊗ uy ⊗ p)

P⊗fΘx,y7−→

∑k,l

pk ⊗(jx(pk ⊗ ux ⊗ pl)

Θ jy(pl ⊗ uy ⊗ p))

(∗)=

∑k,l

pk ⊗ jxy(pk ⊗ (uxr(pl ⊗ pl)Θ uy)⊗ p)

=

n∑k=1

pk ⊗ jxy(pk ⊗ (uxΘ uy)⊗ p)

= ixy((uxΘ uy)⊗ p)

= ixy (fΘx,y ⊗ P−1)(ux ⊗ uy ⊗ p),

onde a igualdade (∗) vem da comutatividade do diagrama (4.10). Logo, temos (P ⊗ fΘx,y) (ix ⊗ Θy)

(Θx ⊗ iy) = ixy (fΘx,y ⊗ P−1). Para a segunda condicao temos

i1(1⊗ p) =

n∑k=1

pk ⊗ j1(pk ⊗ 1⊗ p) =

n∑k=1

pk ⊗ l(pk ⊗ p)

=

n∑k=1

pkl(pk ⊗ p)⊗ 1 =

n∑k=1

r(pk ⊗ pk)p⊗ 1

= p⊗ 1.

Segue do Lema 2.1.16 que P−1 ⊗R ∆(Θ) tem uma estrutura de ∆(Θ)-bimodulo dada por i.

Afirmacao 4.2.10. O isomorfismo i e dado por i = P−1 ⊗ i−1 ⊗ P−1, onde P−1 ⊗ i−1 ⊗ P−1 : ∆(Θ)⊗P−1 −→ P−1 ⊗∆(Θ) e definida como no item (i) Lema 2.1.19.

De fato, primeiramente observe que i−1x : P ⊗Θx −→ Θx ⊗ P e dado por

i−1x (p⊗ ux) =

m∑l=1

jx(p⊗ ux ⊗ pl)⊗ pl,

onde

m∑l=1

r(pl ⊗ pl) = 1. Agora, aplicando P−1 ⊗ i−1 ⊗ P−1 para ux ⊗ p temos:


ux ⊗ p 7→n∑k=1

pk ⊗ pk ⊗ ux ⊗ p 7→n∑k=1

pk ⊗ i−1(pk ⊗ ux)⊗ p

=∑k,l

pk ⊗ jx(pk ⊗ ux ⊗ pl)⊗ pl ⊗ p

7→∑k,l

pk ⊗ jx(pk ⊗ ux ⊗ pl)l(pl ⊗ p)

=∑k,l

pk ⊗ jx(pk ⊗ ux ⊗ pll(pl ⊗ p))

=∑k,l

pk ⊗ jx(pk ⊗ ux ⊗ r(pl ⊗ pl)p)

=∑k

pk ⊗ jx(pk ⊗ ux ⊗ p)

= ix(ux ⊗ p).

Pelo item (iv) do Lema 2.1.19, temos que [P ⊗R ∆(Θ)] ∈ Pic(∆(Θ)).

Vejamos que [P ] [φ] +3 [P ⊗R ∆(Θ)] ∈ PZ(∆(Θ)/R)(G), onde

φ : P −→ P ⊗R ∆(Θ)p 7−→ p⊗ 1.

Observe que

φr : P ⊗R ∆(Θ) −→ P ⊗R ∆(Θ)p⊗ ux −→ φ(p) ∗ ux

e a identidade, pois

φ(p) ∗ ux = (p⊗ 1) ∗ ux = p⊗ ux = p⊗ ux.

Assim, φr e um isomorfismo de R-∆(Θ)-bimodulos. Logo, [P ] [φ] +3 [P ⊗R ∆(Θ)] ∈ PZ(∆(Θ)/R).

Vejamos que φ(P ) ∗Θx = Θx ∗ φ(P ), para todo x ∈ G. Sejam p ∈ P e ux ∈ Θx. Denotando ix(ux ⊗ p) =n∑i=1

pi ⊗ uix, temos

ux ∗ φ(p) = ux ∗ (p⊗ 1) =

n∑i=1

pi ⊗ (uixΘ 1)

=

n∑i=1

pi ⊗ uix =

n∑i=1

(pi ⊗ 1) ∗ uix

=

n∑i=1

φ(pi) ∗ uix ∈ φ(P ) ∗Θx.

Logo, Θx ∗φ(P ) ⊆ φ(P )∗Θx. Por outro lado, como p⊗ux ∈ P ⊗R∆(Θ) e i : ∆(Θ)⊗R P −→ P ⊗R∆(Θ)e um isomorfismo, existem ujx ∈ Θx e pj ∈ P , com j = 1, 2, ...,m, tais que

ix

m∑j=1

ujx ⊗ pj

= p⊗ ux.


Entao,

φ(p) ∗ ux = p⊗ ux = ix

m∑j=1

ujx ⊗ pj

=

m∑j=1

ujx ∗ (pj ⊗ 1) =

m∑j=1

ujx ∗ φ(pj) ∈ Θx ∗ φ(P ).

Assim, φ(P )Θx ⊆ Θxφ(P ) e consequentemente temos a igualdade. Portanto,

[P ] [φ] +3 [P ⊗R ∆(Θ)] ∈ PZ(∆(Θ)/R)(G).

Claramente, ϕ2( [P ] [φ] +3 [P ⊗R ∆(Θ)] ) = [P ]. Portanto, [P ] ∈ Im(ϕ2).

4.3 O grupo B(Θ/R) e a terceira sequencia exata

Definimos o grupo B(Θ/R) via a sequencia exata

PicZ(R)(G) L // C(Θ/R) // B(Θ/R) // 1 ,

ou seja,

B(Θ/R) =C(Θ/R)

Im(L).

Notacao: Seja f : G1 −→ G2 um morfismo de grupos, vamos denotar por f c o cokernel de f , ou

seja, f c : G2 −→G2

Im(f).

Proposicao 4.3.1. A sequencia

PicZ(R) ∩PicSZ(R)α∗ ϕ3 // C0(Θ/R)

ϕ4 // B(Θ/R)

onde ϕ4 e Lc restrito a C0(Θ/R), e exata.

Demonstracao. Claramente Im(ϕ3) ⊆ ker(ϕ4). Seja [∆(Γ)] ∈ C0(Θ/R), tal que ϕ4([∆(Γ)]) = [1] emB(Θ/R). Entao existe [P ] ∈ PicZ(R)(G) tal que L([P ]) = [∆(Γ)]. Em particular, Γx ' P ⊗ Θx ⊗ P−1,para todo x ∈ G. Assim, temos

Θx ' Γx ' P ⊗Θx ⊗ P−1, para todo x ∈ G.

Entao, Θx ⊗ P ' P ⊗ Θx, para todo x ∈ G. Logo, [P ] ∈ PicZ(R) ∩ PicSZ(R)α∗. Portanto, [∆(Γ)] ∈

Im(ϕ3).

4.4 O grupo H1(G,α∗,PicS0(R)) e a quarta sequencia exata

DefinaPicS0(R) = [P ] ∈ PicS(R); P |R como bimodulos.

4.4. O GRUPO H1(G,α∗,PICS0(R)) E A QUARTA SEQUENCIA EXATA 105

Lema 4.4.1. (i) PicS0(R) e comutativo.

(ii) PicS0(R) ⊆ PicSZ(R).

(iii) Se [P ] ∈ PicS0(R), entao [Θx ⊗ P ⊗Θx−1 ] ∈ PicS0(R).

(iv) U(PicS0(R)) ⊆ PicZ(R)(G).

Demonstracao. (i) Segue diretamente da Proposicao 2.3.5.

(ii) Seja [P ] ∈ PicS0(R), pela Observacao 2.3.3 temos que P e um Z-bimodulo central. Portanto,PicS0(R) ⊆ PicSZ(R).

(iii) Se [P ] ∈ PicS0(R), entao P |R e pela compatibilidade com o produto tensorial, Θx ⊗ P ⊗Θx−1 |Θx ⊗ Θx−1 ' R1x. Segue entao pela transitividade que Θx ⊗ P ⊗ Θx−1 |R, para todo x ∈ G.Portanto, [Θx ⊗ P ⊗Θx−1 ] ∈ PicS0(R).

(iv) Se [P ] ∈ U(PicS0(R)), entao [P ] ∈ PicZ(R). Como P |R e P−1|R, entao P ⊗Θx⊗P−1|Θx, paratodo x ∈ G. Logo, [P ] ∈ PicZ(R)(G).

Segue dos itens (ii) e (iii) do Lema 4.4.1 que podemos restringir os isomorfismos α∗x : PicSZ(R)[R1x−1 ] −→PicSZ(R)[R1x], definido por α∗x([P ][R1x]) = [Θx ⊗ P ⊗Θx−1 ], para os ideais PicS0(R)[R1x−1 ] e temosuma acao parcial de G sobre PicS0(R).

Lema 4.4.2. A aplicacao

ζ : C(Θ/R) −→ Z1(G,α∗,PicS0(R))[∆(Γ)] 7−→ (x 7−→ [Γx][Θx−1 ])

e um morfismo de grupos cujo nucleo e C0(Θ/R).

Demonstracao. Dado [∆(Γ)] ∈ C(Θ/R), vamos denotar ζ([∆(Γ)]) = fΓ. Entao fΓ(x) = [Γx ⊗ Θx−1 ],para todo x ∈ G. Como Γx|Θx, entao Γx ⊗ Θx−1 |R, para todo x ∈ G. Assim, [Γx ⊗ Θx−1 ] ∈ PicS0(R).Alem disso, temos [Θx ⊗R Γx−1 ] ∈ PicS0(R)[R1x] e

[Γx ⊗Θx−1 ][Θx ⊗ Γx−1 ] = [Γx ⊗Θx−1 ⊗Θx ⊗ Γx−1 ]

= [Γx ⊗R1x−1 ⊗ Γx−1 ]

= [Γx ⊗ Γx−1 ] = [R1x].

Logo, fΓ(x) = [Γx ⊗R Θx−1 ] ∈ U(PicS0(R)[R1x]), para todo x ∈ G. Dados x, y ∈ G, por Lema 3.2.1item (iii) temos

α∗x(fΓ(y)[R1x−1 ])fΓ(xy)−1fΓ(x) = [Θx ⊗ Γy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ][Θxy ⊗ Γ(xy)−1 ][Γx ⊗Θx−1 ]

= [Θx ⊗ Γy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗Θxy ⊗ Γ(xy)−1 ⊗ Γx ⊗Θx−1 ]

= [Θx ⊗ Γy ⊗R1y−1 ⊗R1(xy)−1 ⊗ Γ(xy)−1 ⊗ Γy−1 ⊗Θx−1 ]

= [Θx ⊗ Γy ⊗ Γ(xy)−1 ⊗ Γy−1 ⊗Θx−1 ]

= [Θx ⊗R1y ⊗R1x−1 ⊗Θx−1 ]

= [R1xy ⊗Θx ⊗Θx−1 ]

= [R1xy ⊗R1x] = [R1x][R1xy].

Logo, fΓ ∈ Z1(G,α∗,PicS0(R)), para todo [∆(Γ)] ∈ C(Θ/R).


Se [∆(Γ)] = [∆(Ω)] em C(Θ/R), entao Γx ' Ωx, para todo x ∈ G. Entao, Γx ⊗ Θx−1 ' Ωx ⊗ Θx−1 ,para todo x ∈ G. Logo,

fΓ(x) = [Γx ⊗Θx−1 ] = [Ωx ⊗Θx−1 ] = fΩ(x), para todo x ∈ G.

Assim, fΓ = fΩ em Z1(G,α∗,PicS0(R)) e portanto ζ esta bem definida.

Sejam [∆(Γ)], [∆(Ω)] ∈ C(Θ/R). Como [∆(Γ)][∆(Ω)] =[⊕

x∈G Γx ⊗Θx−1 ⊗ Ωx]

em C(Θ/R), entao

fΓΩ(x) = [Γx ⊗Θx−1 ⊗ Ωx ⊗Θx−1 ]

= [Γx ⊗Θx−1 ][Ωx ⊗Θx−1 ] = fΓ(x)fΩ(x),

para todo x ∈ G. Logo, fΓΩ = fΓfΩ em Z1(G,α∗,PicS0(R)). Portanto ζ e morfismo de grupos.

Resta verificar que ker(ζ) = C0(Θ/R). Seja [∆(Γ)] ∈ C0(Θ/R), entao Γx ' Θx, para todo x ∈ G.Assim,

fΓ(x) = [Γx ⊗Θx−1 ] = [Θx ⊗Θx−1 ] = [R1x], para todo x ∈ G.Logo, [∆(Γ)] ∈ ker(ζ). Por outro lado, seja [∆(Γ)] ∈ ker(ζ). Entao, Γx ⊗Θx−1 ' R1x, para todo x ∈ G.Fazendo o produto tensorial com Θx, temos

Γx ⊗R1x−1 ' R1x ⊗Θx ⇒ Γx ' Θx, para todo x ∈ G.

Assim, [∆(Γ)] ∈ C0(Θ/R).

Definimos o grupo H1(G,α∗,PicS0(R)) pela sequencia exata

PicZ(R)(G) //

L &&

Z1(G,α∗,PicS0(R)) // H1(G,α∗,PicS0(R)) // 1

C(Θ/R)

ζ

66

ou seja,

H1(G,α∗,PicS0(R)) =Z1(G,α∗,PicS0(R))

(ζ L)(PicZ(R)(G)).

Observacao 4.4.3. Uma pergunta que surge naturalmente e: Qual a relacao entre B1(G,α∗,PicS0(R))e a imagem de ζ L? A inclusao B1(G,α∗,PicS0(R)) ⊆ Im(ζ L) e sempre verdadeira. De fato, sejaρ ∈ B1(G,α∗,PicS0(R)), entao existe [P ] ∈ U(PicS0(R)) ⊆ PicZ(R)(G) (ver Lema 4.4.1), tal que

ρ(x) = α∗x([P ][R1x−1 ])[P−1] = [Θx ⊗ P ⊗Θx−1 ][P−1]

= [Θx ⊗ P ⊗Θx−1 ⊗ P−1] = [P−1 ⊗Θx ⊗ P ⊗Θx−1 ]

= ζ(L([P−1]))(x),

para todo x ∈ G. Logo, B1(G,α∗,PicS0(R)) ⊆ Im(ζ L).

Vamos definir o morfismo ϕ5 : B(Θ/R) −→ H1(G,α∗,PicS0(R)) atraves do diagrama comutativo

C0(Θ/R)

ϕ4

**

_

PicZ(R)(G) L // C(Θ/R)

Lc//

ζ

B(Θ/R) //

ϕ5

1

Z1(G,α∗,PicS0(R))(ζL)c // H1(G,α∗,PicS0(R)) // 1

4.5. A QUINTA SEQUENCIA EXATA 107

Observacao 4.4.4. ϕ5 esta bem definida.

De fato, sejam [∆(Γ)] e [∆(Ω)] em C(Θ/R), tais que Lc([∆(Γ)]) = Lc([∆(Ω)]) em B(Θ/R). Entao,existe [P ] ∈ PicZ(R)(G), com [∆(Γ)] = [∆(Ω)]L([P ]). Pela comutatividade do diagrama, temos

ϕ5(Lc([∆(Γ)])) = ((ζL)c ζ)([∆(Γ)])

= ((ζL)c ζ)([∆(Ω)]L([P ]))

= (ζL)c(ζ([∆(Ω)]ζL([P ]))

= (ζL)c(ζ([∆(Ω)])

= ϕ5(Lc([∆(Ω)])).

Portanto, ϕ5 nao depende da escolha do representante da classe em B(Θ/R).


C0(Θ/R)ϕ4 // B(Θ/R)

ϕ5 // H1(G,α∗,PicS0(R))

e exata.

Demonstracao. Seja [∆(Γ)] ∈ C0(Θ/R). Pela comutatividade do diagrama temos que ϕ5(ϕ4([∆(Γ)])) =((ζL)c ζ)([∆(Γ)]). Pelo Lema 4.4.2, temos que ζ([∆(Γ)]) = [1]. Assim, ϕ5(ϕ4([∆(Γ)])) = [1]. Logo,Im(ϕ4) ⊆ ker(ϕ5).

Dado [∆(Γ)] ∈ C(Θ/R), denote [∆(Γ)] = Lc([∆(Γ)]) em B(Θ/R). Se ϕ5([∆(Γ)]) = [1], pela comuta-tividade do diagrama, temos

((ζL)c ζ)([∆(Γ)]) = [1] em H1(G,α∗,PicS0(R)).

Entao, ζ([∆(Γ)]) ∈ (ζL)(PicZ(R)(G)). Seja [P ] ∈ PicZ(R)(G), tal que ζ([∆(Γ)]) = ζ(L([P ])). Como ζ emorfismo de grupos, segue que [∆(Γ)]L[P ]−1 ∈ ker(ζ) = C0(Θ/R). Entao,

ϕ4([∆(Γ)]L([P ])−1) = ϕ4([∆(Γ)]L([P−1]))

= Lc([∆(Γ)])Lc(L([P−1]))

= Lc([∆(Γ)]) = [∆(Γ)].

Logo, ker(ϕ5) ⊆ Im(ϕ4). Portanto, a sequencia e exata.

4.5 A quinta sequencia exata

Seja g um 1-cociclo normalizado em Z1(G,α∗,PicS0(R)), ou seja,

g : G −→ PicS0(R)x −→ [∇x]

onde [∇x] ∈ U(PicS0(R)[R1x]), para todo x ∈ G e

α∗x(gy[R1x−1 ])g−1xy gx = [R1x][R1xy], para todo x, y ∈ G. (4.13)

Observe que temosα∗x(gy[R1x−1 ])[Θx] = [Θx]gy, para todo x, y ∈ G. (4.14)


De fato,

α∗x(gy[R1x−1 ])[Θx] = [Θx ⊗∇y ⊗Θx−1 ][Θx]

= [Θx ⊗∇y ⊗R1x−1 ]

= [Θx ⊗R1x−1 ⊗∇y]

= [Θx ⊗∇y]

= [Θx]gy.

Lema 4.5.1. Seja g um elemento normalizado em Z1(G,α∗,PicS0(R)). Entao,

U : G −→ PicS(R)x 7−→ gx[Θx]

e uma representacao parcial unital com Ux ⊗ Ux−1 ' R1x e Ux|Θx, para todo x ∈ G.

Demonstracao. Como g e normalizado, entao [U1] = g1[Θ1] = [R]. Dados x, y ∈ G temos

[Ux][Uy][Uy−1 ] = gx[Θx]gy[Θy]gy−1 [Θy−1 ]

(4.14)= gxα

∗x(gy[R1x−1 ])[Θx][Θy]gy−1 [Θy−1 ]

(4.13)= gxy[R1x][R1x][Θxy]gy−1 [Θy−1 ]

= gxy[R1x][Θxy]gy−1 [Θy−1 ]

= gxy[Θxy][R1y−1 ]gy−1 [Θy−1 ]

= gxy[Θxy]gy−1 [R1y−1 ][Θy−1 ]

= gxy[Θxy]gy−1 [Θy−1 ]

= [Uxy][Uy−1 ].

Analogamente,

[Ux−1 ][Ux][Uy] = gx−1 [Θx−1 ]gx[Θx]gy[Θy]

(4.14)= gx−1 [Θx−1 ]gxα

∗x(gy[R1x−1 ])[Θx][Θy]

(4.13)= gx−1 [Θx−1 ]gxy[R1x][R1x][Θxy]

= gx−1 [Θx−1 ]gxy[R1x][Θxy]

= gx−1 [Θx−1 ][R1x]gxy[Θxy]

= gx−1 [Θx−1 ]gxy[Θxy]

= [Ux−1 ][Uxy],

para todo x, y ∈ G. Novamente por g ser normalizado temos:

[Ux][Ux−1 ] = gx[Θx]gx−1 [Θx−1 ]

(4.14)= gxα

∗x(gx−1 [R1x−1 ])[Θx][Θx−1 ]

= [g1][R1x] = [R][R1x] = [R1x],

para todo x ∈ G. Alem disso, como gx = [∇x] ∈ PicS0(R), entao ∇x|R, para todo x ∈ G. AssimUx ' ∇x ⊗Θx|Θx, para todo x ∈ G.

Por U ser representacao parcial unital segue do Lema 3.2.1 que existe uma famılia de isomorfismosde R-bimodulos

fg = fgx,y : Ux ⊗R Uy −→ R1x ⊗ Uxy ' 1xUxy, ∀ x, y ∈ G. (4.15)


Como [U1] = [R], podemos escolher Uxx∈G uma famılia de representantes com U1 = R e fg umafamılia de isomorfismos de R-bimodulos com fgx,1 : Ux⊗R −→ Ux e fg1,x : R⊗Ux −→ Ux dados pela acaode R sobre Ux a direita e a esquerda, respectivamente. Entao, os diagramas comutativos em (3.23) sao

trivialmente satisfeitos. Logo, pelo Corolario 3.3.6, existe um 3-cociclo parcial βg−,−,− em Z3Θ(G,α,Z)

associado a fg. Pela Proposicao 3.3.7, [βg−,−,−] em H3Θ(G,α,Z) nao depende da escolha da famılia de

R-bimodulos Uxx∈G e nem da escolha da famılia de isomorfismos de R-bimodulos fg, entao temos umaaplicacao bem definido:

Lema 4.5.2. A aplicacao

δ : Z1(G,α∗,PicS0(R)) −→ H3Θ(G,α,Z)

g 7−→ [βg−,−,−]

e um morfismo de grupos. Alem disso,δ ζ = [1], (4.16)

onde ζ e o morfismo definido no Lema 4.4.2.

Demonstracao. Sejam g, h ∈ Z1(G,α∗,PicS0(R)). Denote [Ux] = gx[Θx] e [Vx] = hx[Θx], para todox ∈ G. Considere

fgx,y : Ux ⊗ Uy −→ 1xUxy e fhx,y : Vx ⊗ Vy −→ 1xVx,y x, y ∈ G,

famılias de isomorfismos de R-bimodulos e βg−,−,− e βh−,−,− os 3-cociclos em Z3Θ(G,α,Z) associados. Seja

[Wx] = gxhx[Θx], para todo x ∈ G. Entao,

[Wx] = gxhx[Θx] = gxhx[R1x][Θx]

= gx[R1x]hx[Θx] = gx[Θx][Θx−1 ]hx[Θx]

= [Ux ⊗Θx−1 ⊗ Vx],

para todo x ∈ G. Considere os isomorfismos de R-bimodulos fghx,y definidos por

Ux ⊗Θx−1 ⊗ Vx ⊗ Uy ⊗Θy−1 ⊗ VyT //

fghx,y ..

Ux ⊗ Uy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗ Vx ⊗ Vy

fgx,y⊗f

Θx,y⊗f

hx,y

1xUxy ⊗ 1y−1Θ(xy)−1 ⊗ 1xVxy

1xUxy ⊗Θ(xy)−1 ⊗ Vxy

onde T : Θx−1 ⊗ Vx ⊗ Uy ⊗Θy−1 −→ Uy ⊗Θy−1 ⊗Θx−1 ⊗ Vx e o isomorfismo da Proposicao 2.3.5. Pelo

Lema 3.3.8, temos que βgh−,−,− = βg−,−,−,βh−,−,−. Logo,

δ(gh) = [βgh−,−,−] = [βg−,−,−βh−,−,−] = [βg−,−,−][βh−,−,−] = δ(g)δ(h).

e portanto δ e um morfismo de grupos. Para a ultima afirmacao, seja [∆(Γ)] ∈ C(Θ/R) e denotefΓ = ζ([∆(Γ)]), ou seja, fΓ

x = [Γx][Θx−1 ], para todo x ∈ G. Assim,

[Ux] := fΓx [Θx] = [Γx][Θx−1 ][Θx] = [Γx][R1x−1 ] = [Γx], para todo x ∈ G.

Considerando a famılia de isomorfismos de R-bimodulos fΓ = fΓx,y : Γx ⊗ Γy −→ 1xΓxy, x, y ∈ G que

e um conjunto de fatores para ∆(Γ). Entao, βfΓ

−,−,− e trivial. Logo, δ(ζ([∆(Γ)])) = [1] em H3Θ(G,α,Z).


Vamos definir ϕ6 : H1(G,α∗,PicS0(R)) −→ H3Θ(G,α,Z) via o diagrama comutativo

PicZ(R)(G) ζL // Z1(G,α∗,PicS0(R))(ζL)c //

δ

H1(G,α∗,PicS0(R)) //

ϕ6tt

1

H3Θ(G,α,Z)

Vejamos que ϕ6 esta bem definida: Sejam h, g ∈ Z1(G,α∗,PicS0(R)) tais que [h] = [g] emH1(G,α∗,PicS0(R)),entao existe [P ] ∈ PicZ(R)(G) tal que h = gζ(L([P ])). Por (4.16), temos que

δ(ζ(L([P ]))) = (δ ζ)(L([P ])) = [1] em H3Θ(G,α,Z).

Pela comutatividade do diagrama, temos

ϕ6([h]) = (ϕ6 (ζL)c)(h)

= δ(h) = δ(gζ(L([P ])))

= δ(g)δ(ζ(L([P ])))

= δ(g) = (ϕ6 (ζL)c)(g)

= ϕ6([g]).

Portanto, ϕ6 esta bem definida.

Assim, temos o seguinte diagrama comutativo

PicZ ∩PicSZ(R)α∗ ϕ3 //

_

C0(Θ/R)

ϕ4

**

_


Lc//

ζ

B(Θ/R) //

ϕ5

1

PicZ(R)(G) ζL // Z1(G,α∗,PicS0(R))(ζL)c //

δ

H1(G,α∗,PicS0(R)) //

ϕ6tt

1

H3Θ(G,α,Z)


B(Θ/R)ϕ5 // H1(G,α∗,PicS0(R))

ϕ6 // H3Θ(G,α,Z)

e exata.

Demonstracao. Seja [h] ∈ H1(G,α∗,PicS0(R)), tal que existe [∆(Γ)] ∈ C0(Θ/R), com ϕ5(Lc([∆(Γ)])) =[h]. Pela comutatividade do diagrama e por (4.16) temos

ϕ6([h]) = ϕ6(ϕ5(Lc([∆(Γ)]))) = (δ ζ)([∆(Γ)]) = [1].

Logo, Im(ϕ5) ⊆ ker(ϕ6).

Seja [h] ∈ H1(G,α∗,PicS0(R)) tal que ϕ6([h]) = [1]. Pela comutatividade do diagrama temos queδ(h) = [1] em H3

Θ(G,α,Z). Denotando δ(h) = [β−,−,−] ∈ B3Θ(G,α,Z), entao existe σ−,− : G×G −→ Z,

com σx,y ∈ U(Z1x1xy), para todo x, y ∈ G, e

βx,y,z = αx(σy,z1x−1)σ−1xy,zσx,yzσ

−1x,y,


para todo x, y, z ∈ G. Defina [Ωx] := hx[Θx], para todo x ∈ G e considere a famılia de isomorfismos fh

associada como em (4.15). Entao, por definicao, temos que

βx,y,x fhx,yz (Ωx ⊗ fhy,z) = fhxy,z (fhx,y ⊗ Ωz),

para todo x, y, z ∈ G. Pelo Lema 4.5.1, temos que Ω : G −→ PicS(R) definida por [Ωx] = hx[Θx] e umarepresentacao parcial unital com Ωx ⊗ Ωx−1 ' R1x e Ωx|Θx, para todo x ∈ G. Pela Proposicao 3.3.5,temos que

fhx,y : Ωx ⊗ Ωy −→ 1xΩxyωx ⊗ ωy 7−→ σx,yf

hx,y(ωx ⊗ ωy)

e um conjunto de fatores para Ω. Logo, ∆(Ω) e um produto cruzado generalizado parcial com [∆(Ω)] ∈C(Θ/R). Alem disso, ζ([∆(Ω)]) = h. Entao, pela comutatividade do diagrama, temos

[h] = (ζL)c(h) = ((ζL)c ζ)([∆(Ω)]) = ϕ5(Lc([∆(Ω)])),

ou seja, [h] ∈ Im(ϕ5). Logo, ker(ϕ6) ⊆ Im(ϕ5) e portanto a sequencia e exata.

Resumimos no seguinte diagrama comutativo os resultados deste capıtulo:

H1Θ(G,α,Z)

ϕ1

PZ(∆(Θ)/R)

ϕ2

PicZ ∩PicSZ(R)α

∗ ϕ3 //_

C0(Θ/R)

ϕ4

**

_


Lc//

ζ

B(Θ/R)

ϕ5

PicZ(R)(G) ζL // Z1(G,α∗,PicS0(R))

(ζL)c //

δ

H1(G,α∗,PicS0(R))

ϕ6ttH3

Θ(G,α,Z)

Pelo Teorema 3.4.3 temos que C0(Θ/R) ' H2Θ(G,α,Z), entao pelos Teoremas 4.1.5 e 4.2.7 e pelas

Proposicoes 4.3.1, 4.4.5 e 4.5.3, temos o nosso resultado principal:


1 // H1Θ(G,α,Z)

ϕ1 // PZ(∆(Θ)/R)(G) ϕ2 // PicZ(R) ∩PicSZ(R)α∗ ϕ3 // H2

Θ(G,α,Z)

ϕ4 // B(Θ/R)ϕ5 // H

1(G,α∗,PicS0(R))

ϕ6 // H3Θ(G,α,Z)

e exata.


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Programa: Matem atica Orientador: Prof. Dr. Mikhailo Dokuchaev