Profesor: Fernando Ureña Portero · Calcular los valores a y b, sabiendo que tiene una asíntota oblicua en y=2x+3. b) (3p) Para los valores encontrados, escribir las rectas tangente

MATEMÁTICAS 2º BACH CC. Y TECNOL.

ANÁLISIS: Ejercicios de Exámenes

Profesor: Fernando Ureña Portero

1

CURSO 13-14

1.-Dada la función ( ) (√

). Se pide:

a) (3p.) Dominio de f(x) b) (3 p.) Calcular ( ). ¿Es posible calcular ( )? ¿Por qué? c) (4p.) Calcular ( )

2.- Estudiar la continuidad de la función: ( ) {

3.-a) (5p.) Calcular el siguiente límite: (

)

, según los valores del

parámetro a.

b) (5p.) De la función ( )

, con a, b , sabemos que pasa por el punto (1,2) y que

tiene una asíntota oblicua de pendiente -6. Determinar a y b.

4.-Dada la función ( )

. Se pide:

a) (5p.) Calcular las asíntotas verticales y los límites laterales en caso de que los haya. b) (5p.) Estudiar si existen asíntotas horizontales y calcularlas en caso de que las haya.

5.-a) (5p.) Hallar el valor de k, sabiendo que la función ( )

posee una asíntota que

pasa por el punto (1,3).

b) (5p.) Calcular √

√

6.-Sabiendo que ( )

es discontinua en x=2, calcular b y justificar

razonadamente el comportamiento de la función en la proximidad de los puntos de discontinuidad.

7.-Se sabe que la recta y = 9 es una asíntota de la función ( )

. Calcular el valor de a.

Estudiar si para dicho valor del parámetro tiene otras asíntotas.

8.-a) Sea la función ( ) {

, se sabe que f(2)=3 y que es continua.

Obtener los valores de a y b.

b) Calcular √ ( )

.




2

9.-a) Calcular las asíntotas verticales y horizontales de la función ( )

√

b) Sea la función ( ) √

. Se pide:

b.1. Dominio de f(x) b.2. Calcular sus asíntotas verticales.

10. Hallar las dimensiones del rectángulo de área mayor inscrito en una circunferencia de radio 6.

11. a) (5 p.) Calcula el valor de k para que la función ( ) {

sea continua en

x=0

b) (5 p.) Determinar a y b para que ( ) {

sea derivable.

12. Sea ( )

. Hallar a, b y c sabiendo que tiene una asíntota horizontal en y=-1

y tiene un extremo relativo en el punto (0,1).

13. Sea la función ( )

( ) . Calcular:

a) (7 p.) Su dominio, asíntotas, extremos relativos y puntos de inflexión.

b) (3 p.)Esbozar su gráfica.

13. a) (5p.) Obtener las dimensiones de 3 campos cuadrados de modo que el perímetro del

primero de ellos es el triple del perímetro del segundo y que se necesitan 1664 m de alambre

para vallar los tres campos. La suma de las áreas de los tres campos ha de ser lo menor

posible.

b) (5p.) Calcular los valores de a tal que ( )




3

14. a) (5p.) Determinar a, b y c sabiendo que la función f(x)= x3+ax2+bx+c tiene extremos

relativos en x=1 y x=-3 y que corta a su función derivada en x=0. Determinar, asimismo, la

naturaleza de los extremos relativos.

b) (5p.) Hallar el valor de , para que la función ( ) {

sea continua.

15. Sea la función ( ) {

. Se pide:

a) (3p.) Calcular el valor de a para que la función sea continua.

b) (3p.) Para ese valor de a, estudiar la derivabilidad f(x).

c) (4p.) Hallar, si las tiene, sus asíntotas.

16. Dada la función ( )

{

( )

√

. Estudiar su derivabilidad

17. ) ( )

)

√

18.-Sean las funciones f, g: , definidas por f(x)=|x(x-2)| y g(x)=x+4. Se pide: a) (5p) Esboza sus gráficas sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas

gráficas. b) (5p) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.

19.-Sea la función: ( )

. Se pide:

a) (4p) Calcular sus asíntotas y estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función b) (6p) Dibujar el recinto comprendido entre f(x), el eje de abscisas y la recta x=0. Calcular

el área del recinto.

20.-Dada la función f(x)=(x-a)·cos (x), hallar el valor de a, sabiendo que ∫ ( )

.

21.- a) (5p) Calcular a para que ( )

⁄

b) (5p) ∫√




4

22.-Sea ( ) { √

. Hallar a, b y c, sabiendo que f(x) es continua en

su dominio y que la recta tangente por el punto de abscisas x=1/16 es paralela a la recta

y=-4x+3 y además se cumple que ∫ ( )

.

23.-Sea la función f(x)= x3-4x2+4x. Se pide:

a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus extremos relativos.

b) Intervalos de concavidad y convexidad. ¿Tiene algún punto de inflexión?

c) Gráfica del recinto delimitado por la gráfica de f(x) y la bisectriz del primer cuadrante.

d) Área del recinto anterior.

24.- Sea la función ( )

. Se pide:

a) (3p) Calcular los valores a y b, sabiendo que tiene una asíntota oblicua en y=2x+3.

b) (3p) Para los valores encontrados, escribir las rectas tangente y normal en el punto x=0.

c) (4p) Calcular ∫ ( ) para los valores calculados.

25.-a) (5p) ¿Cuál es el número que sumado con 25 veces su inverso da un valor mínimo?

b) (5p) ∫

26.- a) (5p) Sea ( )

para x>0 y x≠1. Estudiar y determinar las asíntotas de f(x).

b) (5p) Entre los rectángulos de área 8 m2, hallar las dimensiones del rectángulo para que el

producto de sus diagonales sea mínimo.

27.- a) (5p) Sea la función f: (-∞, 1) definida por ( ) {

√ .

Determinar a y b para f(x) sea derivable en todo su dominio. (AND)

b) (5p) El área del recinto de la función f(x) = a·(x2-2x), siendo a>0, y el eje OX es 12 u2.

Hallar a.

28-Resolver la integral: ∫

.

29.-Sea f(x)=(x+1)·e-x. Determinar:

a) (5p) Los extremos y si existen los puntos de inflexión y de dichas función y los

intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b) (3p) Las asíntotas

c) (2p) Representar gráficamente (CL)




5

31.- Resolver las siguientes integrales indefinidas quasi-inmediatas:

) ∫ √ ( ) ) ∫

) ∫

√ √ ) ∫

32.- Resolver las siguientes integrales indefinidas:

) ∫ ) ∫

) ∫ ( )




6

CURSO 12-13

1.-Calcular las asíntotas de las funciones:

) ( )

) ( )

2.-Estudiar los valores de a que hacen que la función ( ) {

( )

( ) sea

continua.

3.-Estudiar la continuidad de la función ( ) {| |

.

√

√

√

6.-Sea la función cx

bxaxxg

2

23 5)( .

a) Determinar a, b y c, sabiendo que x=2 e y=3x+2 son asíntotas.

b) ¿Tiene otras asíntotas? Justifica tu respuesta y, en caso afirmativo,

determínelas.

7.-Sea

8

4

32

80

)( 2

xsix

x

xsiax

xf . Se pide:

a) Dominio de la función

b) Hallar a para que sea continua en su todo su dominio

8.-Sea 2

3

1)(

x

xxf . Calcular las asíntotas

9.-Calcula los siguientes límites:

)

√

)

(

)

√

)

(

)

√

10. Se considera la función derivable f: , definida por ( ) {

√

.

Calcula los valores de a y b.

11.-Sea la función f: , definida por f(x)=ex(x2-x+1).

a. (3p.) Calcula ( ) ( ) b. (5p.) Halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se

alcanzan), determinando si son máximos o mínimos.

c. (2p.) Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de f.




7

12. Se pide: a) Dada la función f(x)=cos2 (3x). Hallar las rectas tangente y normal a la misma en el punto de abscisas π/12. b) Hallar los extremos relativos y puntos de inflexión, si existen, de la función g(x)=2x3-3x2-12x-5. 13. Se pide:

a) (5p.) Calcular las asíntotas de la función ( )

.

b) (5p.) Hallar k para que

14. Dada la función ( ) √

. Se pide:

a) (2p.)Dominio de la función f y puntos de corte con los ejes. b) (3p.)Estudiar las asíntotas de la función c) (3p.)Intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus extremos relativos si los tiene. d) (2p.)Gráfica de la función.

15.-Se pide:

a) (5p.)Dada la función: ( ) ( )

√ .Calcular su Dominio y ( ).

b) (5p.)Calcular a y b para que la función ( )

pase por el punto (2,2) y tenga una

asíntota oblicua de pendiente 1. 16.-Resolver las siguientes integrales indefinidas quasi-inmediatas:

) ∫ √

√ ) ∫

( )

) ∫

) ∫

√ (1 17.-

Resolver las siguientes integrales indefinidas:

) ∫ ( ) ) ∫

) ∫

18.-Sea la función f(x)=|x2-1|. Se pide:

a) (3 p.) Estudiar la derivabilidad. b) (2 p.) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) (5 p.) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de f(x), el eje de abscisas y las

rectas verticales x=-1 y x=1.




8

19.-Dada la función ( ) √

, se pide:

a) (2 p.) Dominio de f y puntos de corte con los ejes. b) (3 p.) Estudio de las asíntotas. c) (3 p.) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos. d) (2 p.) Gráfica de f(x).

20.-Se pide: a) (5 p.)De entre todos los números reales x, y que suman 15, encuentra aquellos para los

el producto x2·y sea máximo.

b) (5 p.) ∫ ( )

. Efectúa el cambio sen x =t.

21.-Sean las funciones: ( ) ( )

√ ( ) ( ). Se pide:

a) (5 p.) Hallar el dominio de f(x) y el ( ). b) (5 p.) Calcular, en el intervalo (0,2π), las coordenadas de los puntos de corte con el eje de

abscisas y las coordenadas de los extremos relativos de g(x)

22.-Sea la función ( ) {

. Determinar a y b, sabiendo que f(x) es

continua en todo y tiene un extremo relativo en x=0.

23.- Dada la función ( )

. Se pide:

a) Dominio de f(x) y puntos de corte con los ejes. b) Hallar las asíntotas. c) Determinar los intervalos de crecimiento y los extremos relativos. d) Representar gráficamente.

24.-Se pide:

a) ∫

b) Representar y calcular el área del recinto limitado por f(x)=3x-x2 y su recta normal en el punto (3,0).

25.-Sean f(x)=ex+1 y g(x)=e-x+5. Se pide:

a) Determinar los puntos de corte de las funciones f y g. b) Representar ambas funciones en los mismos ejes. c) Área limitada entre f(x) y g(x) y las rectas x=1 y x=3.


. Se pide:

a) Calcular a para que la pendiente de la recta tangente por x=0 valga 2. b) Para a=1, estudiar sus extremos y el crecimiento y decrecimiento de f(x). c) Para a=1, hallar sus asíntotas.




9

27.-Calcular: a) ∫

. b) ∫

28.-De todas las primitivas de la función ( )

, encontrar la que pasa por el punto (0,1).

29.-Calcule a para que ( )

( )

.

30.-Dada la función ( ) {

, se pide:

a) (3 p.) Determinar el valor de a que f sea continua en x=0. b) (3 p.) Para ese valor de a, estudiar la derivabilidad de f en x=0. c) (4 p.) Hallar, si las tiene, las asíntotas de la gráfica y=f(x).

31.-Dado la función P(x)= x3+ax2+bx+c, obtener los valores de a, b y c de modo que se verifiquen las condiciones siguientes:

a) La función P(x) tenga extremos relativos en los puntos de abscisas x=-1/3, x=-1. b) La recta tangente a la gráfica de p(x) en el punto de abscisas x=0 sea y=x+3.

32.-Se considera la función ( ) {

, se pide:

a) (5 p.) Calcular a y b para que f sea continua y derivable en todo . b) (5 p.) Para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior, calcular el área de la región acotada limitada por la gráfica de f, el eje horizontal y las rectas x=1 y x=3.




10

CURSO 11-12

1.- Calcula los siguientes límites:

) √ √

) (

)

⁄

2.-Se pide:

a) Sea la función ( )

. Calcular el valor de k para que la pendiente de la recta

tangente en el punto de abscisa x=0 valga 3.Para el valor calculado de k, calcular

los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b) Dada la función ( )

, determinar sus extremos relativos y puntos de inflexión.

3.-Sea f: (0,+) la función definida por f(x)=ln(x2+3x). a) (4 p.) Determina, si existen, los puntos de la gráfica f en los que la recta tangente a la gráfica

es paralela a la recta de ecuación x-2y+1=0. b) (3 p.) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto

de abscisa x=3. c) (3 p.) Calcula el dominio de la función y los puntos de corte con los ejes


. Se pide:

a) (4 p.) Determinar el valor de a para el que la función posee un mínimo relativo en x=1. Para

ese valor de a obtener los otros puntos en que f tiene extremos relativos. b) (4 p.) Obtener las asíntotas de la gráfica de f(x) para a=1. c) (2 p.) Esbozar la gráfica de la función para a=1.

5.-Dada la función f: definida por f(x)=ax3+bx2+cx, determina a, b y c sabiendo que su

gráfica tiene un punto de inflexión en (1,0), y que la recta normal en ese punto tiene por ecuación 3y-x+1=0.

6.-a) (5 p.) Se sabe que

es finito. Calcula el valor de m y hallar el límite.

b) (5 p.)

7.-Sea la función ( )

.

a) (7 p.) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas.

b) (3 p.) Esbozar su gráfica.

8.-Determina la primitiva de la función f(x)=x·(1-Ln(x)) cuya gráfica pasa por el punto (1,1)

9.-Determina la función f(x) sabiendo que f’(x)= Ln [(x+3)(x+1)] y que f(0)=Ln27.

10.-Calcular las siguientes integrales:

) ∫

) ∫

) ∫

√

) ∫ ( )

)∫

√ √

) ∫




11


Se pide:

a) Estudiar la continuidad. Representar la función f(x).

b) Hallar la recta normal que pase por el punto de abscisas x=0.

c) Calcular el área del recinto determinado por la recta x=-1, f(x), la recta tangente

por el punto de abscisas x=0.

12.-Calcular el área de la región limitada por la función f(x)=x3-x+1, el eje de ordenadas y

la recta tangente a la gráfica que pasa por el punto de abscisas x=1. (Esbozar la gráfica

previamente).

13.-Hallar los parámetros reales a y b para que la función ( ) { ( )

sea

continua en .

14.-Sea la función f(x)=x2·e-2x. Se pide:

a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos, si existen.

Esbozar su gráfica. b) ∫ ( )

15.- a) Hallar valores de m para que la función ( ) {

sea derivable en

toda la recta real. (Explicitar las condiciones que ha de cumplir una función para ser

derivable).

b) Dada la función g(x)=ax2+bx+c, determinar los valores a, b y c para que se

cumplan las siguientes condiciones: la gráfica de g(x) pasa por el punto (0, 4); la recta

y=-4x+7 sea tangente a la gráfica de g(x) en el punto de abscisa x=1.

16.-Resolver: a)∫

b)

( )

( )

17.-Sea ( ) ( )

. Determinar:

a) Dominio de la función

b) Asíntotas.

c) Extremos relativos y punto de inflexión. Esbozar su gráfica.

d) ∫ ( )

18.- Representar la región determinada en cada caso por las funciones y calcular el área

de dicho recinto: f(x)=x2-4 y g(x)=3x


. Se pide:

a) Determinar el valor de a para el que la función posee un mínimo relativo en x=1.

b) Para el valor obtenido en el apartado anterior, obtener los otros puntos en que f

tiene extremos relativos.

c) Obtener las asíntotas de la gráfica de f(x) para a=1.

d) Gráfica de f(x) para a=1.




12

20.-Sean f, g: , las funciones definidas por ( )

( ) .

a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=-2.

b) Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta y=x+5.

c) Calcular el área de dicho recinto.

21.-Calcular: ∫

( ) ( ) b) (

( )

)


. Determinar el valor de a para el que la función tiene un

mínimo en x=1. Para ese valor de a, obtener los otros puntos en que la función tiene

extremos relativos. Obtener las asíntotas para a=1 y esbozar si gráfica.


. Se pide:

a) Hallar los intervalos de Crecimiento y Decrecimiento. Hallar su punto de

inflexión.

b) Estudiar las asíntotas y representa gráficamente la función.

c) Calcular el área limitada por la función f(x), el eje OX y las rectas y=x+2 y x=1.




13

Curso 2010-11

1.-Calcula (

)

) √

) (

)

( )

) (

) )

√

2.- Dada la función ( ) | |

. Calcula su límite para los valores -∞, 0, 2.

3.-Calcular el valor de a, sabiendo que √ √


. Se pide:

a) Hallar b, sabiendo que la función es discontinua en x=2.

b) Estudiar las discontinuidades.

5.-Dada la función: ( ) | |

. Se pide:

a) El dominio de f(x) b) Define la función a trozos teniendo en cuenta su dominio. c) Averigua el valor que debe darse a f(2) para que f(x) sea continua en el intervalo [0,2].


{

( )

. Determina a y b para que sea continua para

todo valor de .

7.-Sea la función ( ) √

. Se pide:

a) Dominio de f(x).

b) ( ) c) Asíntotas y ramas parabólicas

8.-Calcula en las funciones siguientes las asíntotas:

a) Verticales en f(x)= log (x2-4)

b) Horizontales en ( )

c) Oblicuas en ( )

9.- Sea f la función definida como ( )

a) Calcula a y b para que la gráfica de f pase por el punto (2, 3) y tenga una asíntota oblicua con pendiente −4. b) Para el caso a = 2, b = 3, obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.

10.- Calcula:

11.- Considera la función f : [0, 4] definida por: ( ) {

a) Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica f(0) = f(4), determina los valores de a, b y c.

b) Para a = −3, b = 4 y c = 1 halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).




14

12.- Sea f: (0,+) la función definida por f(x) = ln(x2 + 3x), donde ln denota el logaritmo

neperiano. a) Determina, si existen, los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación x − 2y + 1 = 0. b) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 3.

13.- Sea la función f: dada por ( ) { ( )

. Calcula las constantes a,

b y c sabiendo que f es derivable y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1 tiene pendiente 3.

14.- Sea f: la función definida como ( ) ( )√

. Halla las ecuaciones de la recta

tangente y de la normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x=−5 y en el punto de abscisa x = 2.

15.-Sea f la función definida como ( )

.

(a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f. (b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. (c) Esboza la gráfica de f.

16.- Dada la función f: definida como f(x)=a sen (x)+ bx2 +cx + d, determina los valores

de las constantes a, b, c y d sabiendo que la gráfica de f tiene tangente horizontal en el punto (0, 4) y que la segunda derivada de f es f’’(x) = 3 sen(x) − 10.

17.- Considera la función f: definida por ( ) {

. Estudia su continuidad y

derivabilidad. Determina la función derivada de f.

18.-Sea la función f(x)=ax3+bx2+cx+d. Hallar a, b, c, d, sabiendo que el punto (0,1) es un punto de inflexión de su gráfica, además tiene un mínimo en x=1 y que la recta tangente por el punto de abscisa 2 es perpendicular a la recta y+x=3. 19.-Sea la función f(x)=x+e-x. Se pide: a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, indicar cuáles son los extremos relativos.

b) Intervalos de concavidad y convexidad. c) Asíntotas. d) Esboza la gráfica.

20.-Sea la función ( ) { ( )

( )

.

a) Calcular el valor de a sabiendo que f(x) es continua. b) Estudiar la existencia de asíntotas horizontales.

21.-Calcular “a” para que se verifique la siguiente igualdad: (

)

22.-Se considera la función ( ) {

, de dicha función se sabe que es

continua, que tiene un máximo en el punto de abscisas 1 y que la recta tangente por x=2 es paralela a la recta de ecuación y-2x=0. Calcular a, b y c.

23.-Sea la función ( ) √ . Se pide:

a) Dominio de f(x)

b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos. c) Intervalos de concavidad y convexidad. ¿Existe algún punto de inflexión? En caso afirmativo calcularlo. d) Esbozar su gráfica




15

24.-


Se pide:

a) Estudiar la continuidad. b) Representar la función f(x). c) Hallar la recta tangente que pase por x=0.

d) Calcular el área del recinto determinado por la recta x=-1, f(x), la recta tangente anterior.

26.- Sea la función ( )

Se pide:

a) Dominio de la función, puntos de corte con los ejes. b) Asíntotas. Puntos de corte con las mismas si existen. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Representación gráfica

e) Área del recinto delimitado por la función f(x), el eje OX y la recta x=1 27.-Calcula:

) ( ) ∫

√ )( ) ∫

√

28.- Sea la función ( ) { √

. Se pide:

b.1.Determinar a para que f(x) sea continua en .

b.2.Puntos de corte con los ejes.


. Se pide:

a) Hallar los intervalos de Crecimiento y Decrecimiento. Hallar su punto de inflexión. b) Estudiar las asíntotas y representa gráficamente la función. c) Calcular el área limitada por la función f(x), el eje OX y las rectas y=x+2 y x=1. 30.- a) Calcular el valor de a>0, sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola y=x2+ax y la recta y+x=0 vale 36 u2.

b)∫

31.-Sea ( )

, donde x≠a. Se pide:

a) Calcular a y b para que la gráfica de f(x) pase por el punto (2,3) y tenga una asíntota

oblicua de pendiente -4. b) Para el caso de a=2 y b=3, obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal por el punto de abscisa 1.

c) Para el caso de a=1 y b=1, calcular el área del recinto limitado por f(x), la recta y=x+1, x=-1 y x=0.

32.-Se pide:

a) Hallar el valor de a para que se verifique que (

)

b) ∫

33.- Se pide:

a) Dada la función ( ) {√

. Determinar k para que f(x) sea continua en .

b) ∫




16


. Se pide:

a) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b) Hallar el punto de inflexión de f(x) c) Hallar las asíntotas y dibujar la gráfica d) Hallar el área del recinto acotado que limitan la gráfica f(x), el eje de abscisas y las rectas y=x+2, x=1.

35.-De todas las primitivas de f(x)=x·(1-lnx), calcula la que pasa por el punto (1,3).




17

Curso 2009-2010 1.-Calcula los siguientes límites:

) √

) (

)√

) (

)√

2.-Se sabe que una función f(x) tiene una discontinuidad evitable en x=x0 si existe ( ) ,

aunque f(x) no exista o f(x0) ≠ L. Teniendo en cuenta lo anterior, calcular el valor del parámetro a,

sabiendo que la función ( )

tiene en x=- una discontinuidad evitable.

3.-Halla a y b para que esta función sea continua y represéntala: ( ) {

4.-.-En el Laboratorio de Biología de la UJA han determinado que el tamaño T de los ejemplares de una cierta bacteria (medido en micras) varía con el tiempo, siguiendo la ley (función):

( ) {√

√

El parámetro a es una variable biológica cuya interpretación trae de cabeza a los científicos, pero piensan que puede haber un valor para el cual el crecimiento se mantenga continuo en t=8.

a) Decide la cuestión b) Investiga cuál llegará a ser el tamaño de una bacteria si se la cultiva indefinidamente.

5.-Hallar a y b en la función ( ) {

√

√

sabiendo que es continua. Estudia la

derivabilidad de f(x).

6.-Hallar a y b en la función ( ) {

sabiendo que es continua. Estudia la

derivabilidad de f(x).

7.-Sea f: la función definida por ( ) {

a) Estudiar la continuidad y la derivabilidad b) Determinar sus asíntotas y sus extremos relativos c) Esboza la gráfica

8.-a) Calcular: ( ⁄ )

b) Sea f:[1,+∞], definida por ( ) √ . Determina la asíntota de f(x).

9.-Sea f: la función definida por ( ) . Se pide:

a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos o locales

b) Intervalos de Concavidad y convexidad c) Asíntotas de la gráfica

10.-Hallar a, b y c para los cuales la función ( )

tiene como asíntota horizontal la

recta y=-1 y un mínimo en (0,1).

11.-Dibujar la gráfica de la función ( ) | |

indicando su dominio, intervalos de crecimiento y

decrecimiento y asíntotas.




18

12.-Se considera la función real f(x)=x3+ax2+bx+c, donde a, b y c son parámetros reales.

a) Averiguar los valores de a y b para los que las rectas tangentes a la gráfica de f(x) en los puntos de abscisas x=2 y x=4 son paralelas al eje OX. b) Con los valores de a y b hallados anteriormente, obtener el valora de c para el que se

cumple que el punto de inflexión de la gráfica está en el eje OX.

13.-Calcular: (

) .

14.-Se sabe que la función f: definida por ( ) { ( )

( )

es derivable.

Determina m.

15.-Sea ( )

. Se pide:

a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos relativos y las asíntotas. Esbozar la gráfica. b) El área de la región limitada por f, el eje OX y las rectas x=-2 y x=2.

16.-Calcular una función de tercer grado f(x)=ax3+bx2+cx+d, sabiendo que: a) tiene un máximo relativo en x=1 b) tiene un punto de inflexión en el punto (0,1)

c) ∫ ( )

17.- Considera la parábola de ecuación y=x2+2x-3.

a) Hallar sus rectas tangentes por x=-1 y x=1. b) Calcular el mínimo de la función, razonadamente; escribe las coordenadas del vértice.

c) Representar la parábola y las rectas tangentes obtenidas y encuentra las intersecciones de la parábola con los ejes. d) Calcula el área comprendida entre la parábola y las rectas tangentes.

18.-Considera la función ( ) {

, donde a y b son números reales.

a) ¿Qué condición tiene que cumplir a y b para que la función f(x) sea continua en todo .

b) Halle los valores de a y b para los cuales f(x) sea continua pero no derivable.

c) Para a=1 y b=1, calcula ∫ ( )

19.-a) Determinar el valor de m para que la recta tangente a la función f(x)=x3+mx en el punto x=0

sea perpendicular a la recta y+x=3. b) Representar en los mismos ejes coordenados la función f(x) obtenida en el ap. a) y la función g(x)=x2+3x. c) Hallar el área del recinto acotado por ambas funciones f(x) y g(x).

20.-Sea ( )

con ( ) . Se pide:

a) Calcular los intervalos de Crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y asíntotas. Esbozar la gráfica.

b) Calcular ∫ ( ) .

21.-Sea f(x)=2x·|4-x|.

a) Estudiar su continuidad y derivabilidad. b) Dibujar su gráfica. c) Calcular el área del recinto acotado por la función f(x), las rectas x=0 y x=5 y el eje OX.

22.-Calcular:




19

a)

b)∫




20

CURSO 2008-2009

1.-Sea la función f:, definida por

2

2

2

3

3)(

ax

x

xxxf . Determinar “a” para que la gráfica de f

tenga una asíntota horizontal en la recta y=2.

2.-Sea la función cx

bxaxxg

2

23 5)( .

a) Determinar a, b y c, sabiendo que x=2 e y=3x+2 son asíntotas. b) ¿Tiene otras asíntotas? Justifica tu respuesta y, en caso afirmativo, determínelas.

3.-Dada la función

12

2)(

2

x

xLnxh . Determine el dominio de la función h(x) y los puntos de

corte con los ejes.

4.-Sea la función 4·)( xxxf , redefínala y represéntela gráficamente.

5.-Esboce la gráfica de la función cuyas principales características son:

a) Tiene asíntotas verticales en x=3

b) Si x∞, se cumple que f(x)0

c) f(-4)=f(4)=25/16 d) Es creciente: (-∞,-3) (-3,0)

e) Es decreciente: (0,3) (3, +∞)

f) Se sabe que f(0)=0, siendo un extremo relativo.

6.-Sea f(x)=e-x/2 la función. Hallar la recta tangente a dicha función por el punto cuya imagen es 1.

7.-Sea

8

4

32

80

)( 2

xsix

x

xsiax

xf . Se pide:

a) Dominio de la función b) Hallar a para que sea continua en su todo su dominio c) Hallar su derivada. ¿Es derivable en todos sus puntos?

8.-Calcular a y b para que la función ax

bxxf

)( tenga una asíntota vertical en x=2 y una

asíntota horizontal en y=3. Una vez calculados (a y b), hallar si existen extremos relativos.

9.-Sea 2

3

1)(

x

xxf . Se pide:

a) Calcular las asíntotas b) Determinar los intervalos de Crecimiento y Decrecimiento c) Máximos y mínimos relativos

d) Puntos de inflexión y la recta normal por ellos. e) Dibuja y/o esboza la función.

10.-Sea f: la función definida por f(x)=(3x-2x2)·ex.

a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Calcula los extremos relativos de f (abscisas que toman y valores que alcanzan).




21

11.-Dada la función f definida para x0 1

1)(

x

x

e

exf . Determina las asíntotas de su gráfica.

12.-Sean f: y g: las funciones f(x)=x2+ax+b y g(x)=c·e-(x+1). Se sabe que f y g se

cortan en el punto (-1,2) y tienen en ese punto la misma recta tangente. a) Calcula a, b y c. b) Halla la ecuación de dicha recta tangente.

13.-Sea f:[0,4] definida por

24

23)(

2

2

xsibxx

xsixaxxf

a) Determinar a y b, sabiendo que f derivable en .

b) Determinar las rectas tangente y normal en el punto abscisas 3. 14.-Sea f:[0,2], la función definida por f(x)=ex·(senx + cosx).

a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. b) Calcula los puntos de inflexión de la gráfica f.

15.-Sea la función definida para x0 por f(x)=x · ex. Determinar las asíntotas de la gráfica de f.

¿Tiene extremos relativos?, en caso afirmativo calcularlos.

16.-Calcula:

1

2 2 1· xxx

dx

17.-Sean f: y g: definidas por: f(x)=x2 -1; g(x)=2x+2.

a) Esboza la gráfica de f y g. b) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.

18.- Sean f: y g: definidas por: f(x)=x2; g(x)=a (con a>0). Se sabe que el área del

recinto limitado por las gráficas de las funciones f y g es . Calcular el valor de la constante a.

19.-Sean f: (0,/2) y g: (0,+) definidas por: x

xsenxf

3cos)( y g(x)=x3·Ln x.

a) Halla la primitiva de f que toma el valor 1 cuando x=/3.

b) Calcula 1

1)( dxxg .

20.- Dadas las funciones f y g: [0,+∞), definidas por: 3)()( xxgyxxf . Calcula el área

del recinto limitado por las gráficas de f y g, (esboza previamente las gráficas). 21.-Sea f: la función definida por: f(x)=ax3+bx2+cx+d. Se sabe que f tiene un máximo local

en x=1, que el punto (0,1) es un punto de inflexión de su gráfica y que 1

0 4

9)( dxxf . Calcula a, b,

c y d. 22.-Sea g:(0,+∞) la función dada por g(x)= lnx (ln denota logaritmo neperiano).

a) Justifica que la recta de ecuación xe

y1

es la recta tangente a la gráfica de g en el

punto de abscisa x=e. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g, el eje de abscisas y la recta

tangente del apartado anterior. 23.-Se desea construir una caja abierta de base cuadrada y de 108 litros de capacidad. Elegir las dimensiones, con objeto de que sea mínima la superficie empleada.




22

24.-Determina los valores de los parámetros a, b para que la función: f(x)=(ax2 +bx)·e-x,

tenga un extremo relativo en el punto de abscisa x=3 y además pase por el punto (1,-1/e). Halla la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto de abscisa x= 0.

25.-Calcula la integral definida

0)( dxxsene x

26.-Calcula el área determinada por la gráfica de la función f(x)=x3-9x y el eje de abscisas.

27.-a) Halla los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión de la función:

1

33)(

2

2

x

xxxf

b) Determinar una función F(x) tal que su derivada sea f(x) y además F(0)=4.

28.-Dadas las funciones f(x)=x2-ax-4 y g(x)= bx

2

2

. Se pide:

a) Calcula a y b de manera que las gráficas f(x) y g(x) sean tangentes en el punto de abscisas x=3, es decir, que tengan la misma recta tangente en ese punto. b) Halla la ecuación de la recta tangente encontrada en el apartado anterior. c) Para el valor de a obtenido en el primer apartado, calcula el valor del área de la región limitada por el eje de abscisas OX y la función f(x).

29.-Sea f: la función definida por:

013

01

1

)(2 xsixx

xsixxf

a) Estudia su continuidad y derivabilidad. b) Determina sus asíntotas y sus extremos relativos. c) Esboza la gráfica de f.




23

INTEGRALES INDEFINIDAS

1.-Resuelve las siguientes casi-inmediatas:

)∫

√ ) ∫( ) ) ∫

( )

) ∫

) ∫

√

) ∫√( )

)∫

√ ) ∫(

) ) ∫

) ∫

√ ) ∫

√

) ∫

2.-Resuelve utilizando el método más adecuado:

) ∫ )∫

) ∫

) ∫√ ( )

) ∫ )∫

( ) ( ) ) ∫

) ∫

√

Calcula: )1()( 2 xxx

dxa

dxsenxxsenddx

xtg

xtgcdx

x

xLnbdx

x

xa ·cos)

1)

1)

1)

22

4

208

)3

)cos))·32()22

22

xx

dxh

ee

dxgdxxfdxxLnxxe

xx

) ∫

) ∫

√ ) ∫ √

) ∫–

) ∫

√ ) ∫ ( )

) ∫ ( )

) ∫

√ ) ∫

( )

) ∫ –

) ∫

√ ) ∫ ( )




24

OTROS CURSOS

1.- Sea f : (0,+∞) la función definida por x

xxf

13)(

(a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). (b) Calcula el punto de inflexión de la gráfica de f.

2.- Sea f : R R la función definida por f(x) = x ·|x − 2|.

(a) Estudia la derivabilidad de f en x = 2. (b) Esboza la gráfica de f. (c) Calcula el área del recinto limitado por la grafica de f y el eje de abscisas.

3.-Sean f : R R y g : R R las funciones definidas mediante f(x) = x3 + 3x2 y g(x) = x + 3.

a) Esboza las gráficas de f y de g calculando sus puntos de corte. b) Calcula el área de cada uno de los dos recintos limitados entre las gráficas de f y g.

4.- Sea f: (0,+∞) R la función definida por f(x) = x2 · Ln (x) (Ln denota la función logaritmo

neperiano). a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa ex .

5.- Considera las funciones f: R R y g : R R definidas por f(x) = ex-1 y g(x) = e1-x .

a) Esboza las gráficas de f y de g y determina su punto de corte. b) Calcula el área del recinto limitado por el eje OY y las gráficas de f y g.

6.- Sea f: R R la función definida por f(x) = x(x − 3)2.

a) Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Haz un esbozo de la gráfica de f. c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas.

7.-Sea f: R R la función definida por f(x) = 2x3 + 12x2 + ax + b. Determina a y b sabiendo que

la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión es la recta y = 2x + 3. 8.-Dada la función f : R R definida por f(x) = Ln (1 + x2),

a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la función f (puntos donde se alcanzan y valor de la función).

b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de inflexión de abscisa negativa. c) Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas

9.-Determina una función f: R R sabiendo que su derivada viene dada por f′(x) = x2 +x−6 y que

el valor que alcanza f en su punto de máximo (relativo) es el triple del valor que alcanza en su punto de mínimo (relativo). 10.- Sea f : (−1,+∞) R la función definida por f(x) = Ln (x + 1) (Ln denota la función logaritmo

neperiano). a) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.

b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y la recta x = 1.

11.-Sea dx

eI

x2

2

a) Expresa haciendo el cambio de variable t = ex.

b) Calcula .




25

12.- Sea f: R → R la función definida por f(x) = (x − 3)· eX.

a) Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) [Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión.

13.- Sea f : R → R la función definida por

0

01)(

xsie

xsiaxxf

x

a) Determina el valor de a sabiendo que f es derivable. b) Haz un esbozo de la gráfica de f.

c) Calcula 1

1.)( dxxf

14.- Sea f la función definida, para x 2 y x −2, por 4

3)(

2

2

x

xxf .

a) Determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f

(puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). c) Esboza la gráfica de f.

15.-Calcula

(a)

dx

x

x

1

432

(b) 4

0.)2cos(

dxxx

16.- Determina la función f : R R sabiendo que f ’’(x) = x2 −1 y que la recta tangente a la gráfica

de f en el punto de abscisa x = 0 es la recta y = 1.

17.- Calcula > 0 para que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f: R R y

g: R R definidas por f(x) = x2 y g(x) = −x2 + 22 sea 72 (unidades de área).

18.- Sea f : R R la función definida por f(x) = x2.

(a) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. (b) Dibuja el recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y el eje OX. Calcula su área. 19.- Sea f : R R la función definida por f(x) = x2·e-x.

(a) Determina los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). (b)Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

20.- Sea f: (−2, 0) R la función definida mediante

012

12

)(2

xsix

xsix

xf

a) Determina y sabiendo que f es derivable.

b) Calcula

1

2)( dxxf .

21.-Sea f la función definida por

0

01)(

2

xsixe

xsiexf

x

x

a) Estudia la derivabilidad de f en x = 0 y, si es posible, calcula la derivada de f en dicho punto. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta x = -1.




26

22.-Calcula

1

11

1 xLnxLimx

siendo Ln la función logaritmo neperiano.

23. Sea f: R R la función definida por

11

1)(

2 xsix

xsix

a

xf

a) Halla el valor de a sabiendo que f es continua. b) Esboza la gráfica de f. c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas x+2=0 y x-2=0.

24.-Sea f : R R la función definida por f(x) = x2 - | x |.

a) Estudia la derivabilidad de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. c) Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se alcanzan y valor de la función).

25.- Calcula

.tan,3·32)(

25

1605)(

2

2

2

gentefunciónlatgsiendodxxxtgxb

dxx

xxa

26.-Halla la función f : R R sabiendo que f’’(x) = 12x -6 y que la recta tangente a la gráfica de f

en el punto de abscisa x = 2 tiene de ecuación 4x - y - 7 = 0.

27.- Determina un punto de la curva de ecuación 2

· xexy en el que la pendiente de la recta

tangente sea máxima.

28.-Sea

2

0 2

3

.1

dxx

xI

a) Expresa I aplicando el cambio de variable t = 1 + x2 .

b) Calcula el valor de I .

29.- Sea f la función definida por 0,3

)(4

xparax

xxf .

a) Halla, si existen, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la gráfica de f. b) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f.

c) Esboza la gráfica de f.

30.-El área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones ,2

axyea

xy con a > 0, vale 3.

Calcula el valor de a.

31.- a) Sea f: R R la función dada por f(x) = ax2+b: Halla los valores de a y b sabiendo que

6

06)( dxxf y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de

abscisa 3 vale -12. b) Sea f: R R la función dada por f(x) = x2 + p x + q: Calcula los valores de p y q sabiendo

que la función f tiene un extremo en x = -6 y su valor en él es -2.

32.- Sea f: R R la función definida por 1

1)(

2

2

xx

xxxf




27

a) Estudia si existen y calcula, cuando sea posible, las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y los valores que alcanza en ellos la función f. c) Esboza la gráfica de f.

33.- Calcula dxex x12

34.-Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función xsenxf )( y las rectas tangentes

a dicha gráfica en los puntos de abscisas x = 0 y x = .

35.-Sea f: (1,+∞) R la función dada por

2

2

1)(

x

xLnxxf . Estudia la existencia de asíntota

horizontal para la gráfica de esta función. En caso de que exista, hállala. 36.-Sea f: [0; 4] R una función tal que su función derivada viene dada por

4382

303

2

)(

xsix

xsixxf

a) Determina la expresión de f sabiendo que 3

16)( xf .

b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.

37.- Se sabe que la función f: [0; 5] R definida por

5214

20)(

2

xsix

xsibxaxxf es

derivable en el intervalo (0; 5). a) Calcula las constantes a y b.

b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2.

38.- Sean las funciones f y g: [0;+∞) R, dadas por xxgyxxf )()( 2, donde , es un

número real positivo fijo. Calcula el valor de , sabiendo que área del recinto limitado por las

gráficas de ambas funciones es . 39.-Sea f: R R la función definida por f (x) = x3 + a x2 + b x + 1. Se pide:

a) Determina a; b Є R sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (2, 2) y tiene un punto de inflexión de abscisa x = 0. b) Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de inflexión.

40.- Sea f : (0; 2) R la función definida por

212

10)(

xsixLn

xsixLnxf

a) Estudia la derivabilidad de f en el punto x = 1.

b) Calcula 5'1

1)( dxxf .

41.-Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto que tenga una superficie total de 200 cm2. Determina el radio de la base y la altura de la lata para que el volumen sea máximo.

42. a) Haz un esbozo del recinto limitado por las curvas 11

15 2

2

xye

xy

b) Calcula el área de dicho recinto.

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Profesor: Fernando Ureña Portero · Calcular los valores a y b, sabiendo que tiene una asíntota oblicua en y=2x+3. b) (3p) Para los valores encontrados, escribir las rectas tangente