Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci

Univerzita třetího věku

Mnohostěny

Rozcvička: Krychle má 9 různých rovin symetrie. Nakreslete je.

Řešení

Mnohostěn

je část prostoru ohraničeného konečným počtem rovinných mnohoúhelníků.

Geometrický útvar nazveme konvexní,právě když lze libovolné dva jeho body

spojit úsečkou, jejíž každý bod náležídanému geometrickému útvaru.

Eulerova charakteristika mnohostěnu Leonhard Euler

1707 - 1783

je číslo E = s + v – h

kde s je počet stěn, v počet vrcholů a h počet hran daného konvexníhomnohostěnu.

Eulerova věta

„ V každém konvexním mnohostěnu platí Eulerův vztah

s + v – h = 2

kde s je počet stěn, v počet vrcholů a h počet hran daného konvexníhomnohostěnu.“

Keplerův „Kosmický pohár“

- sféra Merkuru - opsán osmistěn, který je- vepsán do sféry Venuše- sféře Venuše opsán dvacetistěn - sféra Země - dvanáctistěn - sféra Marsu - čtyřstěn - sféra Jupitera- krychle- sféra Saturnu

Johannes Kepler1571 - 1630

Existuje právě pět Platónových těles

Princip duality PT

Deltatopy V definici PT vynecháme požadavek na stejnou

valenci vrcholů (q) a „mnohoúhelníky“ nahradíme „trojúhelníky“.

Existuje právě 8 deltatopů.

Název deltatopu v h s q = 3 q = 4 q = 5

1. čtyřstěn 4 6 4 4 0 0

2. dvojitý čtyřstěn 5 9 6 2 3 0

3. osmistěn 6 12 8 0 6 0

4. dvojitý pětiboký jehlan 7 15 10 0 5 2

5. siamský dvanáctistěn 8 18 12 0 4 4

6. 9 21 14 0 3 6

7. 10 24 16 0 2 8

8. dvacetistěn 12 30 20 0 0 12

Archimédova tělesa

- lze vytvořit z PT odříznutím vrcholů nebo hran tak, aby vznikly pravidelné konvexní mnohoúhelníky.

Archimédes ze Syrakus 287 – 212 př. n. l.

Hvězdicovité pravidelné mnohostěnyV definici PT jsou vynechány požadavky konvexnosti.

Pravidelné antihranoly mají dvě protilehlé stěny (podstavy) tvořené shodnými pravidelnými n–úhelníky a ostatní stěny jsou shodné rovnoramenné trojúhelníky.

pravidelný šestiúhelníkový antihranol (regular hexagonal antiprisma)

Platónova tělesa v biosféřeMřížovka červená Virus dětské obrny

Radiolaria (mřížovci)

Poincarého zobecnění Eulerovy věty Pro mnohostěny platí

s + v - h = 2 - 2r, kde r je (topologický) rod plochy. Zjednodušeně lze říci, že hodnota rodu plochy je rovna počtu v ní existujících „průchodů“.

11 pravidelných mnohostěnů rodu 2druh p g v s h

1. 3 7 12 28 42 Ikosaedr +2 tunely

2. 3 8 6 16 24 Oktaedr + 2 tunely

3. 4 5 8 10 20 Krychle + 2 tunely

4. 3 9 4 12 18 Tetraedr + 2 tun.

5. 4 6 4 6 12 Krychle + 1 tunel

6. 5 5 4 4 10 Otevřené pentagonální těleso, duální samo k sobě

7. 6 4 6 4 12 duální k 5.

8. 9 3 12 4 18 duální k 4.

9. 5 4 10 8 20 duální k 3.

10. 8 3 16 6 24 duální k 2.

11. 7 3 28 12 42 duální k 1.

Domácí úkol - rozmyslet1. Najděte nekonvexní mnohostěn, který nesplňuje

Eulerův vztah. 2.Najděte nekonvexní mnohostěn, který splňuje Eulerův

vztah.3.Je dán konvexní čtrnáctistěn s devíti vrcholy. Dokažte,

že na něm existuje vrchol, ze kterého vychází aspoň 5 hran.

4.Určete počty rovin souměrnosti všech Platonových těles.

5.Na kolik částí se rozpadnou, provedeme-li všechny tyto řezy současně?

6.Kolik prvků mají grupy zákrytových pohybů Platonových těles?

Literatura Březina, F. a kol.: Stereochemie a některé fyzikálně

chemické metody studia anorganických látek. UP, Olomouc 1994.

Huylebrouck, D.: Regular Polyhedral Lattices of Genus 2: 11 Platonic Equivalents? In: Bridges Conference Proceedings, Pécs 2010.

Molnár, J., Kobza, J.:Extremálne a kombinatorické úlohy z geometrie. SPN, Bratislava 1991.

Molnár, J., Kobza, J.: Extremálne a kombinatorické úlohy z geometrie. SPN, Bratislava 1991.

Vacík, J.: Obecná chemie. SPN, Praha 1986. Vacík, J. a kol.: Přehled středoškolské chemie. SPN,

Praha 1996. Zimák, J.: Mineralogie a petrografie. UP, Olomouc

1993