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Prof. Marcos Custódio
Matemática Financeira
Matemática Financeira 2
Conceitos Importantes
Matemática Financeira
– É a matemática das transações financeiras.
– As transações financeiras são caracterizadas pelos seus aspectos intertemporais.
– A Matemática Financeira trata da mensuração do dinheiro no tempo.
Matemática Financeira 3
Conceitos ImportantesMatemática Financeira
– A razão entre o futuro “F” e o presente “P” de uma operação, mede a variação do capital final por unidade de capital inicial; de outra maneira, a razão F/P mede também a prosperidade da operação, ou seja:
F/P = 1 Capital inicial permaneceu inalterado
F/P > 1 Valor futuro maior que capital inicial
F/P < 1 Valor futuro menor que capital inicial
– Os valores possíveis, para a razão F/P numa operação financeira, estão no intervalo:
0 F/P < +
Matemática Financeira 4
Capitalização Simples• No regime de juros simples, os juros de cada período
de capitalização são calculados sempre em função do capital inicial aplicado.
Ex: Considere um capital de $1.000,00 remunerado à taxa de juros simples de 2% a.m., durante o período de 2 meses.
$
1.040
20 = 1000 x 0,02
1.020
20 = 1000 x 0,02
1.000
1 2 n
Matemática Financeira 5
Capitalização Simples
• Conceito Financeiro de Juros
– Juros “J” são a remuneração do capital. Podem ser entendidos, de forma simplificada, como o valor do aluguel pago pelo uso do dinheiro.
J = P . i . n
Matemática Financeira 6
Capitalização Simples
CONVENÇÕES ADOTADAS:
• Juros Exatos
• Juros Comerciais
365
n i. P.J
360
n i. P.J
Matemática Financeira 7
Capitalização Simples
• Capital Inicial — “P”– Qualquer valor expresso em moeda e
disponível em determinada época.
• Capital Acumulado (Montante) — “S”– É a soma do capital inicial com os juros.
S = P + J S = P + (P . i . n)
S = P (1 + i . n)
Matemática Financeira 8
Capitalização Simples
• Valor Atual — VA– Corresponde ao valor de um compromisso, de
débito ou de crédito, em uma determinada data entre o início e o término do compromisso.
• Valor Nominal — VN– É o valor de “face” do título;– É o valor do título, em sua data de vencimento.
Matemática Financeira 9
Capitalização Simples VN
VA
P
0 nt n
Matemática Financeira 10
Capitalização Simples• Taxa de Juros — i– É a unidade de medida de remuneração do
capital no tempo.– É o juro de uma unidade monetária durante um
período.– É a razão entre os juros e o capital por unidade
de tempo.
forma unitária forma percentual
P
Ji 100
P
Ji%
Matemática Financeira 11
Capitalização Simples• Diagrama de Fluxo de Caixa– Os problemas financeiros dependem do fluxo
(entradas e saídas) de dinheiro no tempo, podendo ser representado do seguinte modo:
400
300
150
100
0 3 Entradas (+)
1 2 4 5 Saídas (-)
300
500
Matemática Financeira 12
Capitalização Simples
• Taxas Equivalentes– Taxa de juros e o período de capitalização
devem estar sempre na mesma unidade de tempo.
– Quando duas taxas aplicadas à um mesmo capital, pelo mesmo prazo, produzirem os mesmos juros, elas serão denominadas de taxas equivalentes.
– Ex: Qual a taxa mensal equivalente à taxa anual de 15%?
.a.m 1,25%12
15%i
Matemática Financeira 13
Capitalização Simples• Desconto — D– Operação típica de antecipação de recebíveis.– Consiste na diferença entre um valor nominal,
com seu valor atual na data da operação.
• Racional — Dr
– O valor do desconto é obtido com base no cálculo sobre o valor atual “n” períodos antes de seu vencimento.
• Irracional, Comercial ou Bancário — Dc
– É o valor que se obtém com base no cálculo sobre o valor nominal “n” períodos antes de seu vencimento.
Matemática Financeira 14
Capitalização Simples• Desconto Racional — Dr (Exemplo)
– Uma pessoa pretende saldar um título no valor de $5.500,00, 3 meses antes de seu vencim. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% a.a., qual o desconto e quanto vai obter.
N
Dr{
V
n = 3 meses
Matemática Financeira 15
Capitalização Simples• Desconto Comercial — Dc (Exemplo)
– Uma duplicata no valor de $4.500,00, cujo vencimento era para 7 meses foi resgatada 2 meses antes de seu vencimento a uma taxa de desconto comercial de 4% a.m. Calcular o desconto e o valor descontado.
N
Dr{
V
n = 2 meses
Matemática Financeira 16
Capitalização Composta• No regime de juros compostos, os juros de cada
período de capitalização são calculados sempre em função do montante do período anterior.Ex: Suponhamos um capital de $1.000,00 remunerado à
taxa i = 2%a.m., durante o período de 2 meses.
S
1.040,40 20,40
1.020 20
1.000
1 2 n
Matemática Financeira 17
Capitalização Composta• Montante– Imaginemos um capital de $100,00 aplicado à
taxa de 1% a.m. por um período de 3 meses.– Isto implica em resolver as equações:
S1 = 100 (1 + 0,01) = 101
S2 = 101 (1 + 0,01) = 102,01
S3 = 102,01 (1 + 0,01) = 103,03
– Se substituirmos, por exemplo, em S2 o valor de 101 por 100(1 + 0,01), teremos:
S2 = 100(1 + 0,01) (1 + 0,01) = 100(1+0,01)2 = 102,01
Generalizando Sn = P (1+i)n
Matemática Financeira 18
Capitalização Composta• Equivalência de Taxas
• Taxa Nominal– É a taxa de montagem da operação, nominalmente
contratada. A unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. É normalmente expressa em termos anuais. Exemplo: 10%a.a., capitalizados mensalmente – 15%a.a, capitalizados trimestralmente.
11 12/1.. aama ii 1112
.. aama ii
Matemática Financeira 19
Capitalização Composta• Taxa Efetiva ou Capitalizada– É aquela que nos fornece o total dos juros
produzidos durante o prazo de capitalização.
• Taxa Real– É a taxa calculada com base na taxa efetiva da
aplicação ou empréstimo, corrigida pela taxa de inflação do período, contado desde o dia da aplicação ou do empréstimo até o dia do seu resgate ou vencimento.
1P
Sief
11
1
inf
i
ii ef
R
Matemática Financeira 20
Capitalização Composta• Exemplo:
– Uma empresa obtém um empréstimo de $100.000,00 para ser liquidado por $110.000,00 no final de 30 dias. Entretanto, o banco solicita a esse cliente que mantenha durante a vida do contrato um saldo médio correspondente a 20% do valor emprestado. Supondo que nesse mesmo período a taxa de inflação tivesse sido de 2%, calcular as taxas nominal, efetiva e real.
Matemática Financeira 21
Capitalização Composta• Equivalência de Capitais– O conceito de equivalência permite
transformar formas de pagamentos ou recebimentos em outras, equivalentes e consequentemente efetuar comparações entre alternativas de investimentos ou empréstimos.
– Tais questões dizem respeito, de modo geral, à comparação de valores diferentes referidos a datas diferentes, considerando-se uma dada taxa de juros.
– Data Focal — é a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes.
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Capitalização Composta• Taxa Interna de Retorno (TIR)
– É através de uma equivalência Financeira, ou de capitais que podemos determinar o que se conhece como Taxa Interna de Retorno.
– A taxa interna de retorno é a taxa que equaliza o valor atual de um ou mais pagamentos com o valor atual de um ou mais recebimentos.
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Capitalização Composta• Valor Presente Líquido
– Trata-se de uma técnica de análise de fluxos de caixa que consiste em calcular o valor presente de uma série de pagamentos, a uma taxa conhecida, e deduzir deste o valor do fluxo inicial (valor do empréstimo, do financiamento ou do investimento)
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Capitalizações• Juros Simples X Juros Compostos S
S = juros Comp.
S = juros simples
S1
P
0 1º período de Períodos
capitalização
Matemática Financeira 25
Anuidades• Rendas Certas ou Anuidades– É uma sucessão de pagamentos ou
recebimentos, exigíveis em épocas predeterminadas, destinadas a extinguir uma dívida ou construir um capital
• Classificação das Anuidades– Rendas certas ou determinísticas — São
aquelas cuja duração e pagamentos são predeterminados.
– Rendas aleatórias ou probabilísticas — Os valores e/ou datas de pagamentos ou recebimentos podem ser variáveis aleatórias.
Matemática Financeira 26
Anuidades• Classificação das Anuidades– Quanto ao prazo:
• Temporárias e perpétuas
– Quanto ao valor dos termos:• Constante e variável
– Quanto à forma de pagamento ou recebimento• Imediatas: postecipadas e antecipadas• Diferidas: postecipadas e antecipadas
– Quanto à periodicidade:• Periódicas e não-periódicas
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Anuidades• Modelo Básico de Anuidade– São as anuidades que são simultaneamente:
Temporárias — duração limitada. Constantes — termos iguais. Imediatas e postecipadas — exigíveis a partir
do 1º período e no fim de cada um deles. Períódicas — os períodos são iguais. E que a taxa de juros ( i ) seja referida ao
mesmo período dos termos.
Matemática Financeira 28
Anuidades• Valor Atual do Modelo Básico P
R R R R R
0 1 2 3 n-1 n• A soma do valor atual dos termos na data zero é dada por:
P = R/(1+i)1 + R/(1+i)2 + R/(1+i)3 + ... + R/(1+i)n
P = R [ 1/(1+i)1 + 1/(1+i)2 + 1/(1+i)3 + ... + 1/(1+i)n ]• Colocando-se a soma entre colchetes como sendo:
a n i = [ 1/(1+i)1 + 1/(1+i)2 + 1/(1+i)3 + ... + 1/(1+i)n ]
Temos:
P = R . a n i
Matemática Financeira 29
Anuidades• Cálculo do Valor Atual para Anuidades
Postecipadas– O valor de a n i é obtido pela soma dos termos
de uma progressão geométrica. Substituindo-se os valores, teremos:
a n i =
P = R . a n i
ii
in
n
.1
11
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Anuidades• Cálculo do Montante para Anuidades
Postecipadas
s n i =
S = R . s n i
i
i n 11
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Anuidades• Cálculo das Anuidades Antecipadas
P = R + R .
P = R + R . a n-1 i
ii
in
n
.1
111
1
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Anuidades• Cálculo das Anuidades Diferidas– Séries diferidas são aquelas que apresentam
um prazo de carência.
R. a n i
P =
(1+i)k
k
n
n
i
ii
iR
P
1
.1
11.
Matemática Financeira 33
Sistemas de Amortização– De maneira geral, qualquer fluxo de
pagamentos para liquidar um empréstimo é um sistema de amortização. Vamos analisar alguns, classificados com nomes especiais, em razão de sua utilização mais freqüente. São eles:
– Sistema de Amortização Constante - SAC– Sistema Francês - Tabela Price– Sistema de Amortização Misto - SAM– Sistema Americano de Amortização - SAA
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Sistemas de Amortização• Sistema de Amortização Constante - SAC– Características: As parcelas de amortização
são iguais. Os juros são calculados a cada período com base no saldo devedor existente no período anterior.
– Um empréstimo de $100.000,00 deve ser devolvido em 5 prestações semestrais, a taxa de 10% a.s..
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Sistemas de Amortização• Sistema Francês - Tabela Price– Características: As prestações são iguais e
consecutivas de tal modo que uma parte paga os juros e a outra o principal. Os juros são calculados a cada período com base no saldo devedor existente no período anterior.
– Um empréstimo de $100.000,00 deve ser devolvido em 5 prestações semestrais, a taxa de 10% a.s..
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Sistemas de Amortização• Sistema de Amortização Misto - SAM– Características: Prestações cujos valores são
resultantes da média aritmética dos valores das prestações dos planos SAC e Price. Os juros são calculados a cada período com base no saldo devedor existente no período anterior.
– Um empréstimo de $100.000,00 deve ser devolvido em 5 prestações semestrais, a taxa de 10% a.s..
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Sistemas de Amortização• Sistema Americano de Amortização - SAA– Características: O principal é devolvido em
uma única parcela, após ter decorrido o prazo de carência estipulado. Os juros podem ser pagos durante a carência ou capitalizados e devolvidos juntamente com o principal.
– Prazo de carência — Corresponde ao período compreendido entre o prazo de utilização e o pagamento da primeira amortização.
– Um empréstimo de $100.000,00 deve ser amortizado, à taxa de 10% a.s., para ser devolvido após uma carência de 2 anos
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