Prof. Dr.SalimYüce

LİNEER

CEBİR3. Baskı

Prof. Dr. Salim Yüce

LİNEER CEBİR

ISBN 978-605-318-030-2DOI 10.14527/9786053180302

Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© 2020, PEGEM AKADEMİ

Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. A.Ş.ye aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür ve Turizm Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz.

Pegem Akademi Yayıncılık, 1998 yılından bugüne uluslararası düzeyde düzenli faaliyet yürüten uluslararası akademik bir yayınevidir. Yayımladığı kitaplar; Yükseköğretim Kurulunca tanınan yükseköğretim kurumlarının kataloglarında yer almaktadır. Dünyadaki en büyük çevrimiçi kamu erişim kataloğu olan WorldCat ve ayrıca Türkiye’de kurulan Turcademy.com ve Pegemindeks.net tarafından yayınları taranmaktadır, indekslenmektedir. Aynı alanda farklı yazarlara ait 1000’in üzerinde yayını bulunmaktadır. Pegem Akademi Yayınları ile ilgili detaylı bilgilere http://pegem.net adresinden ulaşılabilmektedir.

1. Baskı: Ocak 2015, Ankara3. Baskı: Mayıs 2020, Ankara

Yayın-Proje: Şehriban TürlüdürDizgi-Grafik Tasarım: Tuğba Kaplan

Kapak Tasarım: Öğr. Gör. Dr. Murat Dağıtmaç

Baskı: Ay-bay Kırtasiye İnşaat Gıda Pazarlama ve Ticaret Ltd. Şti.Çetin Emeç Bulvarı 1314. Cadde No: 37A-B Çankaya/ANKARA

Tel: (0312) 472 58 55

Yayıncı Sertifika No: 36306Matbaa Sertifika No: 46661

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay/ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60İnternet: www.pegem.netE-ileti: pegem@pegem.net

WhatsApp Hattı: 0538 594 92 40

iii

Bu kitabımı; vatan uğruna canlarını feda etmiş aziz şehitlerimize;

hayat kaynağım, canım çocuklarım Kaan ve Barış’a

ithaf ediyorum.

iv

Prof. Dr. Salim Yüce

1974 Tokat/Niksar’da doğdu. İlkokul-ortaokul-liseyi Tokat'ta tamamladı.

1992-1996 yılları arasında Ondokuz Mayıs Üniversitesi Eğitim Fakültesi Ma-

tematik Öğretmenliği bölümünü tamamladı. 1996-1999 yılları arasında aynı

üniversitede Matematik/Geometri alanında yüksek lisansını, 1999-2004

yılları arasında doktorasını tamamladı. 2006 yılında Yıldız Teknik Üniversitesi

Matematik bölümünde Yrd. Doç. olarak atandı ve aynı yıl Doçent unvanını

aldı. 2012 yolunda Yıldız Teknik Üniversitesinde Profesör olarak atandı.

2009 yılında Fen Bilimleri Enstitüsünde müdür yardımcılığı, 2012 yılında

Rektör Yardımcılığı görevlerinde bulundu. 2016 yılında Yıldız Teknik Üniver-

sitesinde Rektör adaylığında bulundu. 2018 yılında YÖK-TEBİP Matematik

Üstün Başarı Sınıfında görevlendirildi. Üniversite yönetim kurulu ve senato

üyeliği görevlerini yerine getirmiş olup halen Yıldız Teknik Üniversitesi Ma-

tematik Bölümü Geometri Anabilim Dalı Başkanlığı görevini yürütmektedir.

Prof. Dr. Salim Yüce’nin akademik etkinlikleri kapsamında 4 adet kitap ya-

zarlığı, 4 adet ulusal araştırma projesi, tamamlanmış 7 yüksek lisans ve 9

doktora ile devam eden 3 yüksek lisans ve 3 doktora tezi yöneticiliği, ulusla-

rarası toplam 77 makalesi, ulusal ve uluslararası kongrelerde 74 adet bildiri

sunumu, çeşitli dergilerde editörlük/hakemlik ve 13. Ulusal Geometri Sem-

pozyumu Düzenleme Kurulu başkanlığı bulunmaktadır.

v

ÖN SÖZ

Bu kitap üniversitelerin Matematik, Matematik Mühendisliği, Matematik

Bilgisayar, İstatistik, Matematik Öğretmenliği ve Mühendislik Bölümlerinde

okutulan Lineer Cebir dersine temel olmasının yanı sıra Lisansüstü düzeyin-

deki tüm programlarda öğrenim gören öğrencilerin ve akademisyenlerin

faydalanacağı düşüncesiyle kaleme alınmıştır. Ayrıca Lineer Cebir’in Mate-

matik Bölümündeki diğer derslerin temeli olması nedeniyle kitabın tüm

Matematik derslerine iyi bir kaynak oluşturması planlanmıştır.

Bu kitabın en önemli özelliği gerek lisans gerekse lisansüstü hatta servis

dersi olarak okutulan Lineer Cebir Dersinin tüm öğrencilerine hitap edecek

şekilde bölümlere ayrılarak sade bir dille hazırlanmasıdır. Her bölümün içe-

risinde konuların daha iyi anlaşılması amacıyla konu ile ilgili yeteri kadar

çözümlü sorular ile bölüm sonunda okuyucuların kendilerinin çözmesi için

Alıştırmalar verilmiştir.

Kitabın yazımında yardımcı olan Doç. Dr. Özcan BEKTAŞ nezdinde tüm

geometri grubu asistanlarıma teşekkür ederim.

Son olarak, akademik hayatımın her noktasında yanımda olan Hocam Sayın

Prof. Dr. Nuri KURUOĞLU’na, Hocamız Sayın Prof. Dr. H. Hilmi

HACISALİHOĞLU’na emekleri için teşekkürlerimi sunarım.

Prof. Dr. Salim Yüce

Yıldız Teknik Üniversitesi

sayuce@yildiz.edu.tr

mailto:sayuce@yildiz.edu.tr

vi

İÇİNDEKİLER

BÖLÜM 1

GRUP, HALKA, CİSİM

1.1 Grup .................................................................................................... 1

1.2 Halka ................................................................................................... 6

1.3 Cisim ................................................................................................. 11

Alıştırmalar 1 ........................................................................................... 14

BÖLÜM 2

VEKTÖR UZAYLARI

2.1 Vektör ............................................................................................... 17

2.1.1 Nokta Vektör Eşlemesi ........................................................... 22

2.2 Düzlemdeki Vektörler Üzerine İşlemler ............................................ 22

2.3 Düzlemde Afin Koordinat Sistemi ..................................................... 30

2.3.1 İki Vektörün Lineer Bağımsızlığı .............................................. 30

2.3.2 Afin Koordinat Sistemi ............................................................ 31

2.4 Vektör Uzayları ................................................................................. 34

2.4.1 Vektör Uzayı Aksiyomlarından Çıkan Sonuçlar ........................ 35

2.5 Vektör Uzayı Örnekleri ...................................................................... 41

2.5.1 Vektör Uzaylarının Direkt Çarpımı .......................................... 47

2.6 n Vektör Uzayında Geometrik Yapılar ........................................... 49

2.6.1 n Uzayında Eğri ................................................................... 51

2.7 Modül................................................................................................ 52

2.8 Alt Vektör Uzayları ............................................................................ 55

Alıştırmalar 2 ........................................................................................... 63

Lineer Cebir

vii

BÖLÜM 3

İÇ ÇARPIM UZAYLARI

3.1 İç Çarpım Fonksiyonu ........................................................................ 67

3.2 n ve n üzerinde Standart İç Çarpım Fonksiyonları ................... 69

3.3 n Öklid Uzayının Metrik Özellikleri ............................................... 71

3.3.1 n Uzayında Bir Vektörün Uzunluğu ..................................... 71

3.3.2 n Uzayında İki Nokta Arasındaki Uzaklık ............................. 72

3.3.3 Bir Skalar ile Bir Vektörün Çarpımı ......................................... 72

3.3.4 İki Vektör Arasındaki Açı ......................................................... 73

3.3.5 n Uzayında İki Vektörün Dikliği .......................................... 74

3.4 İç Çarpımın Geometrik Yorumu ....................................................... 75

3.4.1 İzdüşüm Vektörü .................................................................... 77

3.4.2 Doğru ve Düzlem .................................................................... 78

3.5 İç Çarpım Uzayında Schwartz Eşitsizliği ............................................ 80

3.6 Ortonormal Vektör Sistemi .............................................................. 91

Alıştırmalar 3 ........................................................................................... 96

BÖLÜM 4

VEKTÖR UZAYLARINDA BAZ VE BOYUT

4.1 Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık ............................................. 99

4.2 Vektör Uzaylarında Baz ve Boyut .................................................... 104

4.3 Gram – Schmidt Ortogonalleştirme Metodu (Ortonormalleştirme Metodu) ....................................................... 114

4.4 Alt Uzayların Boyutları .................................................................... 119

Alıştırmalar 4 ......................................................................................... 125

İçindekiler

viii

BÖLÜM 5

ÖZEL VEKTÖR UZAYLARI

5.1 Direkt Toplam Uzayı ........................................................................ 129

5.2 İç Çarpım Uzaylarının Alt Uzayları: Ortogonal Kompleman ............ 131

Alıştırmalar 5 ......................................................................................... 136

BÖLÜM 6

MATRİSLER

6.1 Matrisler ......................................................................................... 139

6.2 Matris Uzayı: Matrislerde İşlemler ................................................. 143

6.2.1 Toplama İşleminin Özellikleri ............................................... 145

6.2.2 Dış İşlemin Özellikleri ........................................................... 146

6.2.3 Matris Çarpımı ...................................................................... 148

6.2.4 Çarpma İşleminin Özellikleri ................................................. 150

6.3 Özel Matrisler ................................................................................. 156

6.4 Bir Matrisin Eşelon Formu .............................................................. 165

6.5 Elemanter Operasyonlar ................................................................. 167

6.5.1 Matrisler İçin Elemanter Operasyonlar ................................ 168

6.6 Elemanter Operasyonların Uygulamaları: Çarpanlara Ayırma, Bir Matrisin Tersinin ve Rankının Bulunması, Lineer Bağımsızlık .... 173

6.6.1 Çarpanlara Ayırma ................................................................ 173

6.6.2 Bir Matrisin Tersinin Bulunması ........................................... 174

6.6.3 Lineer Bağımsızlık-Bağımlılık ................................................ 176

6.6.4 Bir Matrisin Rankı ................................................................ 177

6.7 Bir Matrisin İzi ve Özellikleri ........................................................... 181

6.8 Koordinatlar .................................................................................... 184

Alıştırmalar 6 ......................................................................................... 189

Lineer Cebir

ix

BÖLÜM 7

LİNEER DÖNÜŞÜMLER

7.1 Lineer Dönüşüm, Çekirdek, Rank .................................................... 193

7.1.1 Bilineer Dönüşüm ................................................................. 210

7.2 Boyut Teoremi ................................................................................ 211

7.3 Lineer İzomorfizm ............................................................................ 214

7.4 ,Hom V W Uzayı ............................................................................. 224

7.5 Dual Vektör Uzayı ........................................................................... 232

7.6 Ortogonal İzdüşüm ......................................................................... 233

7.7 İki Lineer Dönüşümün Direkt Toplamı ............................................ 236

7.8 Bölüm Uzayı .................................................................................... 238

Alıştırmalar 7 ......................................................................................... 240

BÖLÜM 8

LİNEER DÖNÜŞÜM VE MATRİS

8.1 Her Matrise Bir Lineer Dönüşüm Karşılık Gelir ............................... 243

8.2 Her Lineer Dönüşüme Bir Matris Karşılık Gelir ............................... 245

8.2.1 Standart Vektör Uzayları Üzerinde Tanımlanan Her Lineer Dönüşüme Bir Matris Karşılık Gelir ....................................... 245

8.2.2 Herhangi Vektör Uzayları Üzerinde Tanımlanan Her Lineer Dönüşüme Bir Matris Karşılık Gelir ....................................... 249

8.3 2 Üzerinde Lineer Dönüşümler ve Matrislerin Geometrisi ......... 254

8.4 3 Üzerinde Lineer Dönüşümler ve Matrislerin Geometrisi .......... 256

Alıştırmalar 8 ......................................................................................... 259

İçindekiler

x

BÖLÜM 9

LİNEER DÖNÜŞÜM VE MATRİS İLİŞKİLERİNİN UYGULAMALARI

9.1 Bir Lineer Dönüşümün Rankı .......................................................... 263

9.2 Bazların Değişimi ............................................................................. 268

9.2.1 Baz Değişiminin Bir Diğer Anlamı ......................................... 274

9.2.2 Baz Değişiminin En Genel Hali .............................................. 276

9.3 Benzerlik ......................................................................................... 280

Alıştırmalar 9 ......................................................................................... 284

BÖLÜM 10

DETERMİNANTLAR

10.1 Permütasyon Kavramı................................................................... 285

10.2 Vektör Uzayları Üzerinde n-Lineer Fonksiyonlar .......................... 291

10.3 Determinant Fonksiyonu ve Özellikleri ......................................... 295

10.3.1 Determinant Fonksiyonunun Temel Özellikleri ................... 297

10.4 Determinant Hesaplamaları ......................................................... 305

10.4.1 Determinant Açılımları ........................................................ 307

10.5 Bir Matrisin Eki ve Ek Matris Yardımıyla Matrisin Tersi ................ 315

10.6 Determinant Uygulamaları ........................................................... 323

10.7 Bir Lineer Dönüşümün Determinantı ve İzi .................................. 331

Alıştırmalar 10 ....................................................................................... 336

BÖLÜM 11

LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ

11.1 Lineer Denklem Sistemleri ............................................................ 341

11.2 Katsayılar Matrisinin Tersi Yardımıyla Lineer Denklem Sisteminin Çözümü ....................................................................... 343

Lineer Cebir

xi

11.3 Elemanter Operasyonlar Yardımıyla Lineer Denklem Sisteminin Çözümü ...................................................................... 344

11.3.1 Homojen Lineer Denklem Sistemi ...................................... 348

11.4 Determinant Yardımıyla Lineer Denklem Sisteminin Çözümü: Cramer ve Cramer Olmayan Denklem Sistemi .............. 350

11.5 Cramer Olmayan Lineer Denklem Sistemleri ................................ 354

11.6 Lineer Denklem Sistemlerinin Analitik Geometri Uygulamaları ................................................................................. 358

Alıştırmalar 11 ....................................................................................... 364

BÖLÜM 12

İÇ ÇARPIM UZAYLARINDA LİNEER DÖNÜŞÜMLER

12.1 Dual Uzay ...................................................................................... 369

12.2 Sıfırlayan (Annihilatör) ................................................................. 375

12.3 Bir Lineer Dönüşümün Eki ............................................................ 376

12.4 Bir Lineer Dönüşümün Transpozu ............................................... 380

12.5 İç Çarpım Uzayları Üzerinde Lineer Dönüşüm ............................. 382

12.6 İç Çarpım Uzaylarında Bazı Özel Dönüşümler ............................... 393

12.6.1 Hermit Dönüşümleri ve Matrisleri ...................................... 393

12.6.2 Simetrik Dönüşümler ve Matrisleri .................................... 396

12.6.3 İzometri, İç Çarpımı Koruyan Dönüşümler ......................... 398

12.6.4 Üniter Dönüşümler ve Matrisler......................................... 401

12.6.5 Ortogonal Dönüşümler ve Matrisler .................................. 405

12.6.6 Normal Dönüşümler ve Matrisler ...................................... 406

12.7 Modüllerin Lineer Dönüşümü ....................................................... 409

Alıştırmalar 12 ....................................................................................... 410

İçindekiler

xii

BÖLÜM 13

LİNEER DÖNÜŞÜMLERDE ÖZDEĞER, ÖZVEKTÖR VE KÖŞEGENLEŞTİRME

13.1 Lineer Dönüşümün Karakteristik Değerleri, Karakteristik Vektörleri ve Karakteristik Uzay ................................................... 415

13.2 Özel Lineer Dönüşümlerin Karakteristik Değeri ve Karakteristik Vektörleri ................................................................ 421

13.3 Lineer Dönüşümlerde Köşegenleştirme ....................................... 426

Alıştırmalar 13 ....................................................................................... 429

BÖLÜM 14

MATRİSLERDE ÖZDEĞER, ÖZVEKTÖR VE KÖŞEGENLEŞTİRME

14.1 Bir Matrisin Karakteristik Değerleri, Karakteristik Vektörleri ................................................................. 431

14.2 Özel Matrisin Karakteristik Değerleri, Karakteristik Vektörleri ................................................................. 441

14.3 Cayley Hamilton Teoremi ............................................................. 449

14.4 Matrislerde Köşegenleştirme ....................................................... 456

14.5 Özel Matrislerde Köşegenleştirme ............................................... 463

Alıştırmalar 14 ....................................................................................... 466

BÖLÜM 15

ORTOGONAL MATRİSLERİN GEOMETRİSİ

15.1 Ortogonal Matrisler ve Dönme ..................................................... 473

Alıştırmalar 15 ....................................................................................... 476

Lineer Cebir

xiii

BÖLÜM 16

ORTOGONAL KÖŞEGENLEŞTİRME

16.1 Spektral Teoremi .......................................................................... 478

Alıştırmalar 16 ....................................................................................... 483

BÖLÜM 17

POZİTİF TANIMLI MATRİSLER

17.1 Kompleks Pozitif Tanımlı Matrisler ............................................... 496

Alıştırmalar 17 ....................................................................................... 498

BÖLÜM 18

KUADRATİK FORMLAR

18.1 Bilineer Fonksiyonlar .................................................................... 501

18.2 Kuadratik Formlar ......................................................................... 503

18.3 Kompleks Kuadratik Formlar ........................................................ 515

18.4 Geometrik Uygulama ................................................................... 518

18.4.1 Koniklere Uygulama............................................................ 519

18.4.2 Kuadrik Yüzeylere Uygulama .............................................. 523

Alıştırmalar 18 ....................................................................................... 525

BÖLÜM 19

MATRİS TEORİSİ

19.1 Matris Fonksiyonları ve Matris Normları ...................................... 529

19.1.1 Matris Fonksiyonları ........................................................... 529

19.1.2 Matris Normları ................................................................. 531

19.2 Blok Matrisler ............................................................................... 534

19.3 Özel Matrisler .............................................................................. 540

İçindekiler

xiv

19.4 Kronecker ve Hadamard Çarpım ................................................... 543

19.5 Vektörlerde Diyadik Çarpım .......................................................... 546

19.6 Bir Matrisin Ayrışımları ................................................................. 550

19.6.1 Bir Matrisin Özdeğer Ayrışımı (eigenvalue decemposition=EVD) ....................................... 550

19.6.2 Bir Matrisin Hessenberg Ayrışımı ....................................... 550

19.6.3 Bir Matrisin Schur Ayrışımı ................................................. 551

19.6.4 Bir Matrisin LU Ayrışımı ................................................ 551

19.6.5 Bir Matrisin LDU Ayrışımı ............................................. 552

19.6.6 Bir Matrisin Polar Ayrışımı .................................................. 553

19.6.7 Bir Matrisin Singüler Değer Ayrışımı (Singular value decomposition=SVD) ................................. 553

19.6.8 Matrisler için QR -Ayrışımı ................................................ 562

19.7 Üstel Matrisler .............................................................................. 566

19. 7. 1 Kompleks Üstel Matris ...................................................... 579

19.8 Dual Matrisler ............................................................................... 586

Alıştırmalar 19 ....................................................................................... 590

BÖLÜM 20

MİNKOWSKİ UZAYINDA LİNEER CEBİR

20.1 nv

Minkowski Uzayı .................................................................... 595

20.2 3

1 Lorentz-Minkowski Uzayı ....................................................... 601

20.3 Lorentz İç-Çarpımının Geometrik Özellikleri ................................. 612

20.4 Semi – Ortogonal Grup ................................................................. 614

20.5 Lorentz Matris Çarpımı ............................................................... 618

Alıştırmalar 20 ....................................................................................... 622

KAYNAKLAR ............................................................................................ 624

DİZİN ...................................................................................................... 625

1.1 Grup G boştan farklı bir küme ve G üzerinde bir işlem T

olsun. Eğer

işlemi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa ( , )G T ikilisine bir grup denir.

i Kapalılık özelliği: ,a b G için aTb G ;

ii Birleşme özelliği: , ,a b c G için ( ) ( )aTb Tc aT bTc ;

iii Birim eleman: a G için aTe eTa a olacak şekilde e G

vardır. Burada e G elemanına G kümesinin T işlemine göre birim

elemanı denir.

iv İnvers eleman: a G için aTa a Ta e olacak şekilde a G

vardır. Burada a G elemanına a G nin T işlemine göre tersi (inversi)

denir.

BÖLÜM 1

GRUP, HALKA, CİSİM

:

( , )

T G G G

a b aTb G

Tanım 1.1