Embed Size (px)
Citation preview
3
MEETKUNDE
leerplan ABC
Philip Bogaert
Filip Geeurickx
Marc Muylaert
Roger Van Nieuwenhuyze
Erik Willockx
CARTooNs
Dave Vanroye
Proe
fexe
mpla
ar
1Definities vind je op een rode achtergrond, methodes staan in een oranje kader.
2Eigenschappen vind je op een groene achtergrond.
3Geschiedenis van de wiskunde en herkomst van begrippen.
4We stimuleren het gebruik van wiskundesoftware zoals GeoGebra.
5Aan het einde van elke paragraaf vind je een samenvatting.
TE ONTHOUDEN
pictogrammen
BETEKENIS
GESCHIEDENIS
REKENMACHINE
ICT
109
hoofdstuk 3 • driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek
6 ) Samenvatting
• Je kent de betekenis van sinus, cosinus en tangens (de goniometrische waarden) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek.
sin BV= |AC|
|BC| =
b
a = overstaande rechthoekszijde
schuine zijde
cos BV= |AB|
|BC| =
c
a = aanliggende rechthoekszijde
schuine zijde
tan BV= |AC|
|AB| =
b
c = overstaande rechthoekszijde
aanliggende rechthoekszijde AB
C
a b
c
• Je kent het verband tussen sinus, cosinus en tangens van een hoek.
tan BV= sin BVcos BV
• Je kunt deze goniometrische waarden van een hoek met je rekenmachine berekenen en je kunt
de hoek terugzoeken als een goniometrische waarde gegeven is.
• Je kunt de ontbrekende gegevens van een rechthoekige driehoek berekenen als de volgende
informatie gegeven is:
- schuine zijde en scherpe hoek of
- rechthoekszijde en scherpe hoek of
- schuine zijde en rechthoekszijde of
- twee rechthoekszijden.
• Je kent de grondformule van de goniometrie.
A
C
B sin2 BV + cos2 BV = 1 en sin2 CU + cos2 CU = 1
39
hoofdstuk 1 • thales en gelijkvormigheden
5 ) Gelijkvormige driehoeken
in woorden:
twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als hun overeenkomstige hoeken even groot zijn en hun
overeenkomstige zijden dezelfde verhouding hebben.
in symbolen:
Δ ABC a Δ A'B'C' F
* AU = A’W , BV = B’W , CU = C’W
en
|A'B'|
|AB| =
|A'C'|
|AC| =
|B'C'|
|BC| = k
gelijkvormige driehoeken
Voorbeeld:
In deze voorstelling zijn de zijden [AB] en [A'B'] overeenkomstige
zijden, net als [BC] en [B'C'] en ook [AC] en [A'C'].
We noemen AU en A’W , BV en B’W , CU en C’W overeenkomstige hoeken.
Δ ABC a Δ A'B'C'
We zeggen ook dat Δ A'B'C' en Δ ABC schaalmodellen zijn van elkaar.
opmerkingen:
- de constante verhouding tussen de overeenkomstige zijden noemen we de gelijkvormigheidsfactor
of kortweg factor.
- uit de definitie volgt dat congruente driehoeken ook gelijkvormige driehoeken zijn.
de verhouding van de overeenkomstige zijden is dan 1.
Praktische afspraak:
om de overeenkomstige zijden van gelijkvormige driehoeken gemakkelijk terug te vinden, spreken we af om de drie-
hoeken zodanig te noteren dat de hoekpunten van de overeenkomstige hoeken in dezelfde volgorde staan.
D
E
F
A
B
C
In symbolen:
Δ ABC a Δ dEf
*
B
AU = dV
BV = EUCU = fU|AB|
|dE| =
|BC|
|Ef| =
|AC|
|df|
1
5
22
Opmerkingen:
�
a
b
A
B
C
D
B’ A’ D’ C’
1� Je�kunt�de�stelling�van�Thales�
� ook�als�volgt�formuleren:
�
�
|AB||A'B'|�
=�
|CD||C'D'|
� Bij�een�evenredigheid�mag�je����
� inderdaad�de�middelste�termen�
� van�plaats�verwisselen.
�
a
b
X
YP
Q
X’ Y’ P’ Q’
2� In�de�stelling�van�Thales�spreekt�men�
� van�‘de�verhouding�van�evenwijdige�lijnstukken’.�
� Volgende�tekening�maakt�duidelijk�waarom�dit�
� niet�opgaat�bij�niet-evenwijdige�lijnstukken.
� |XY||PQ|
�≠�|X'Y'||P'Q'|
�want
� |XY||PQ|
� =�1�omdat�|XY|�=�|PQ|
�en� |X'Y'|
|P'Q'|� ≠�1�omdat�|X'Y'|�≠�|P'Q'|
Thales van Milete (Turkije�ca.�624�v.Chr.�-ca.�545�v.Chr.)�Thales van Milete leefde van (ca.) 624 tot
D
C
A
B
DC = A
B(ca.) 547 v.Chr. aan de kust van Klein-Azië, dat nu
Turkije heet. Omdat hij handelaar in oliën was, reisde
hij veel en maakte kennis met veel niet-Europese
beschavingen.
Pas op oudere leeftijd startte hij met de studie van
wetenschappen en filosofie. Hij zorgde voor een
nieuwe manier van denken en trachtte de wiskunde te verklaren.
Er wordt gezegd dat hij in staat was een zonsverduistering te voorspellen, waarschijnlijk deze van 585 v.Chr. Uniek is zijn
uitspraak: “Alles is water”. Thales meende immers dat de oerstof water was, omdat water het
duidelijkst faseveranderingen ondergaat. Als ijs smelt krijg je water, als dat verdampt krijg je
stoom. De Grieken geloofden ook dat als je stoom ‘verder verdunt’, je lucht krijgt.
Overstaande hoeken die even groot zijn, gelijkbenige driehoeken die even grote basishoeken
hebben, een diameter die de cirkel in twee gelijke delen verdeelt, het congruentiekenmerk HZH:
het zijn allemaal voorbeelden van eigenschappen die aan Thales toegeschreven worden. Alleen
over de ‘stelling van Thales’ zijn er twijfels. Geschiedkundigen hebben geen zekerheid of die
stelling daadwerkelijk van Thales afkomstig is.
Maar handig is die stelling wel. Hij berekende zo de hoogte van de piramide van Cheops en je kan
er ook de afstand tussen twee schepen mee vinden.
3
42
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de overeenkomstige zijden een evenredigheid bepalen.
kenmerk 3: (ZZ
ZZ
ZZ)
Algemeen:
Als: |A'B'|
|AB| =
|B'C'|
|BC| =
|A'C'|
|AC|
Dan: A’W = AU , B’W = BV en C’W = CU
A
B
C
A’
B’
C’
Besluit:|A'B'|
|AB| =
|B'C'|
|BC| =
|A'C'|
|AC|
L ∆ ABC a ∆ A’B’C’
�
4
72
2 ) De beroemd(st)e stelling
B
A C
ca
b
stelling van Pythagoras
in woorden:
In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de
schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de
rechthoekszijden.
in symbolen:
Δ ABC is rechthoekig in A ⇒ |BC|2 = |AC|
2 + |AB|
2
of: a2 = b2 + c2
We bewijzen deze stelling:
Gegeven: Δ ABC rechthoekig in A
Tebewijzen: |BC|2 = |AC|
2 + |AB|
2
Bewijs: Uit de eerste projectievoorstelling volgt:
|AB|2 = |BC| · |BD|
|AC|2 = |BC| · |DC| +
|AB|2 + |AC|
2 = |BC| · |BD| + |BC| · |DC|
= |BC| · (|BD| + |DC|) = |BC| · |BC| D C [BC]
= |BC|2
A
BC DOpmerking:
Uit de formule a2 = b2 + c2 ( met AU = 90° in Δ ABC) kunnen we afleiden: a = √ b 2 + c 2
b = √ a 2 - c 2
c = √ a 2 - b 2
Voorbeeld 1:
Gegeven: Δ ABC met AU= 90°
|AC| = 6 cm en |AB| = 8 cm
Gevraagd: |BC|
Oplossing: |BC|2 = |AC|
2 + |AB|
2 wordt:
|BC|2
= 62 + 8
2
B
|BC|2 = 36 + 64
B
|BC|2 = 100
B
|BC| = 10
Antwoord: De lengte van [BC] is 10 cm.
Voorbeeld 2:
Gegeven: Δ ABC met AU= 90°, |BC| = 18 cm en |AC| = 6 cm
Gevraagd: |AB|
Oplossing: |BC|2 = |AC|2 + |AB|
2 wordt:
182
= 62 + |AB|
2
B
|AB|2 = 18
2 – 6
2
B
|AB|2 = 324 – 36
B
|AB|2 = 288
B
|AB| = 288= 12 2
Antwoord: De lengte van [AB] is 12 2 cm.
2
Proe
fexe
mpla
ar
VOORWOORD6
Bij sommige basis oefeningen vind je een of
twee sterretjes. Dit duidt de moeilijkheidsgraad aan.
7Achteraan in het boek vind je een trefwoordenregister
en de oplossingen van de oefeningen.
8Elk hoofdstuk eindigt met
een vaardigheid.
9Hier wordt uitgelegd hoe een rekenmachine je kan
helpen.
ISBN: 978 90 4860 923 9
Kon. Bib.: D/2011/0147/391
Bestelnr.: 94 505 0047
NUR: 126
Lay-out en opmaak: die Keure
Druk: die Keure
Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt worden door middel van druk, fotokopie, microfilm of op welke wijze ook zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.No part of this book may be reproduced in any form by print, photoprint, microfilm or any other means without written permission from the publisher.
Foto’s: shutterstock, fotostock die Keure
Copyright by die Keure Brugge
Verantwoordelijke uitgever: N.V. die Keure, Kleine Pathoekeweg 3 - 8000 Brugge - België - H.R. Brugge 12.225
Druk: 2011
Je herinnert je misschien nog de constructie van een Pythagorasboom. Zo’n boom krijg je door, vertrekkend van een vierkant, een gelijkbenige rechthoekige driehoek te construeren met als schuine zijde de zijde van het vierkant. Vervolgens construeer je een vierkant op elke rechthoekszijde van de driehoek. Op de zijde van het vierkant teken je opnieuw een gelijkbenige, rechthoekige driehoek, en zo ga je nog een tijdje door.
De figuur die je krijgt is eigenlijk een fractaal. Dat is een meetkundige figuur waarin eenzelfde motief zich op een kleinere schaal steeds herhaalt. In gedachten kun je dat proces dan oneindig vaak voortzetten. Elk klein takje kan immers weer opgevat worden als een stammetje dat een complete boom draagt.
x x
a
xa
√ 2
a
x
a
√ 2
a2
a
a
2√ 2
a
√ 2
a
a2
x
Laten we vertrekken van een vierkant met zijde a.De gelijkbenige driehoek die hierop gebouwd wordt, heeft als schuine zijde a.De rechthoekszijde x kunnen we als volgt krijgen:
x2 + x2 = a2
B
2x2 = a2
B
x2 = a2
2 B
x = 2
2a =
2a
Als we onze boom wat laten groeien…We berekenen de nieuwe rechthoekszijde x.
x2 + x2 = 2a
2d n
B
2x2 = a2
2 B
x2 = a2
4 B
x = a2
Er komt opnieuw een takje bij.
x2 + x2 = 2a
2a k B
2x2 = a2
4 B
x2 = a2
8 B x =
2a
2d n
En nog eentje.
x2 + x2 = 2a
2 2d n
B
2x2 = a2
8 B x2 = a2
16 B
x = a4
constructie van een Pythagorasboom
Constructie van een Pythagorasboom
En nog eentje, en nog eentje …Indien we de lengte van de zijden van de vierkanten (of rechthoekszijden) op een rijtje zetten …
aa2
a2 2
a4
a4 2
a8 …
a a2
1$ a2 2
1$ a2 2
12 $ a
4 21$ a
4 2 21$ …
8
9
56
15 DelegendevanThales.
EenlegendeverteltdatdeGrieksefilosoofenwiskundigeThalesuitgedaagdwerdomdehoogtevaneenpira-
mideteberekenen.Hijnamdeuitdagingaanenwerktealsvolgt.
Opdelijndiehetmiddenvanéénvandezijdenmetdeschaduwvandetop(A)vandepiramideverbindt,
plaatstehijeenpaaltje[DE]zodatdeschaduwvandetopvanditpaaltjepreciessamenvielmetdeschaduw
vandetopvandepiramide.Hijmatdeafstanden|KL|,|AM|,|AD|,|DE|enberekendedehoogte|BC|.
a Tekendetweegelijkvormige
driehoekenwaarmeeThales
gewerktheeft.
K M
L
C
E
DA
b Berekendehoogtevande
piramidealsjeweetdat
|KL|=114m
|AM|=96m
|AD|=3m
en|DE|=2m.
16 GegeveniseenparallellogramABCDwaarbij|AB|=4cmen|AD|=3cm.DeafstandtussenABenCDbedraagt
2cm.Berekendeafstandtussendezijden[AD]en[BC].
17 InD ABCisPQ//BCenP∈[AB];Q∈[AC].
Bereken|PQ|en|BC|als|AP|=6cm;|PB|=3cmen|PQ|+|BC|=15cm.
18 Oppervlakte-eninhoudsproblemen.
a Eenfotoheefteenlengtevan12cmeneenbreedtevan8cm.Alswedezefotoophetcomputerscherm
inzoomentot120%,watwordtdandeomtrekendeoppervlakte?Enalsweuitzoomentot40%?
b Eenruitmetzijde6cmheefteenoppervlaktevan18cm².Dezeruitisgelijkvormigmeteenruitmetzijde4
cm.Bepaaldeoppervlaktevandezeruit.
8cm 16cm
6cm
c Eenparallellogrammetzijden6cmen4cmheefteen
oppervlaktevan18cm²enisgelijkvormig
meteenparallellogrammeteenoppervlaktevan8cm².
Berekendezijdenvanditparallellogram.
d BerekenVkleinstekegel
Vgrootstekegel
enhetvolumevandekleinstekegel.
T
B
F G
E H
C
DA
P
★★e VanderegelmatigepiramideTABCDisgegeven:
IABI=6cmenITPI=15cm.
DepiramidewordtgesnedendoorhetvlakEFGHdatdoordemiddens
vandeopstaandezijdengaatenevenwijdiglooptmethetgrondvlak.
Berekendeinhoudvanbeidedelen.
19 ABCDaA'B'C'Dendegelijkvormigheidsfactoris4.
a AlsdeomtrekvanABCDgelijkisaan20cm,watisdandeomtrekvanA'B'C'D'?
b AlsdeoppervlaktevanABCDgelijkisaan60cm2,watisdandeoppervlaktevanA'B'C'D'?
★★
★
★
6
116
Oplossingen=
1.1Evenwijdigeprojectie(blz. 16)
2 A – B – [BA] – [BA] - {A} – [DC]
4 C – B – A – A – pab – pc
a – pbc – pa
c of pca
13 a A d mi[AB]
b [DG] e [EB]
c mi[DG] f D ADB
g D HGF
14 A(–4, 25); B(0, 3); C(3, 1);
D(23, –3), E(–2
5, –25), F(0, –2
3)
15 |AB| = 7; |CD| = 5; |EF| = 6; |GH| = 10; |IJ| = 4
16 a 6
b 1
c 2
d 45
17 a (0,8) b 33 m
1.2StellingvanThales(blz. 28)
3 3 4 7 2 38
314
524 6 5
54 4 5 9
2– 3 3 2 210 3–
235 5
4 5 9 3 415
427
340 8 3
64 10 6 16
2– 3 3 2 6 2– 6 26 6
4 5, 6
5 a x = 9 en y = 2,5
b x = 10 en y = 6,4
c x = 6
6 x = 12; y = 2,25
7 a x =3 b x = 3 c x = 310 en y = 3
5
8 x = 2,4; y = 310
12 13,5 en 22,5
13 2,4 cm en 9,6 cm
14 a PD AED = 24 P
D EBF = 48
AD AED = 24 A
D EBF = 96
17 1,75 m en 0,875 m
18 c 1,73 m en 1,77 m
19 9 m
21 |FG| = 4
|DE| = 8
22 |DS| = 10 |AS| = 1,45 |BF| = 1,2
23 x = 20, y = 4, z = 8
24 a // b //\ c //
25 12 en 9
26 c x = 38; y = 2,5
27 c
1.3Gelijkvormigheden(blz. 52)
2 gelijkvormig: b - c - d - e - h
4 c, d
5 a 6, 9
b 6,9 en 5,53
7
Proe
fexe
mpla
ar
Beeld je even in wat de wereld zou zijn zonder meetkunde. Ingenieurs zouden niet kunnen berekenen hoeveel deze betonnen constructie kan dragen. De bouwheer van deze schans in Noorwegen zou maar gokken hoeveel hout hij zou nodig hebben bij het piramidevormige dak en hij zou niet weten hoeveel gelijkvormige elementen nodig zijn voor de balustrade.
En jij, op je skilatten, zou niet weten hoelang je op de schans blijft en onder welke hoek je ‘gelanceerd’ wordt.In dit boek glijden we doorheen de meetkunde en bestuderen er de beroemdste wiskundige eigenschap: De stelling van Pythagoras.o ja, de skischans is als toeristische attractie te bezoeken ten noorden van oslo.
Proe
fexe
mpla
ar
InhOuD
1 Thalesengelijkvormigheden 1.1 Evenwijdige projectie > 8 1.2 Gelijkvormigheden > 29 1.3 De stelling van Thales > 59
Vaardigheden Kies een oplossingsmethode > 78
2 StellingvanPythagoras 2.1 Metrische betrekkingen in een rechthoekige
driehoek > 82 2.2 stelling van Pythagoras > 85
Vaardigheden Constructie van een Pythagorasboom > 120
3 Goniometrie 3.1 Goniometrische waarden van een hoek > 124 3.2 Formules uit de goniometrie > 132
Vaardigheden: Vakoverschrijdende vaardigheid: wiskunde en
aardrijkskunde > 150
4 Vectoren 4.1 Vectoren > 154 4.2 Vectoren en coördinaten > 175
Syntheseoefening > 188
Oplossingen > 139
Trefwoordenregister > 143
Proe
fexe
mpla
ar
De ultieme filmervaring vind je niet in een
gewone bioscoop, maar wel in een IMAX theater.
Dit theater heeft een gigantisch scherm en je
kunt er ook naar 3D-films gaan kijken. sommige
IMAX zalen zijn (half) bolvormig. Helaas moet je
voor IMAX naar onze buurlanden.
De lichtsterkte van de projectorlamp is zo groot,
dat je de lamp vanuit het Iss (internationaal
ruimtestation) zou kunnen zien.
Door de hitte die de lamp veroorzaakt, moet ze
continu met water gekoeld worden. De sterkte is
15 000 watt, en per seconde stuurt de projector
48 beeldjes naar het grote scherm.
Proe
fexe
mpla
ar
6 omzetting breuken - kommagetallen > 22
1.1 Evenwijdigeprojectie 1 Inleiding 8 2 Beeld van een punt > 9 3 Beeld van een lijnstuk > 10 4 Beeld van een rechte > 11 5 Beeld van een vlakke figuur > 12 6 Loodrechte projectie > 12 7 Lengte van een lijnstuk evenwijdig aan de
x-as of de y-as > 13 8 Loodrechte projectie op een vlak > 14 9 Europese projectie > 15 10 samenvatting > 17 11 oefeningen > 18
1.2 Gelijkvormigheden 1 Gelijkvormige figuren > 29 2 Lengten berekenen in gelijkvormige vlakke
figuren > 30 3 Gelijkvormige ruimtefiguren > 31 4 omtrek, oppervlakte en inhoud van
gelijkvormige figuren > 32 5 Gelijkvormige driehoeken > 33 6 Gelijkvormigheidskenmerken van
driehoeken > 34
7 Gelijkvormige figuren bepaald door snijvlakken in een driedimensionale figuur > 37
8 Toepassingen van gelijkvormigheden > 38 9 Middenparallel van een driehoek > 40 10 Eigenschap van het zwaartepunt van een
driehoek > 42 11 samenvatting > 43 12 oefeningen > 44
1.3 DestellingvanThales 1 De stelling van Thales > 59 2 Bijzondere gevallen van de stelling van
Thales > 61 3 De omgekeerde stelling van Thales > 62 4 Toepassingen op de stelling van
Thales > 63 5 samenvatting > 66 6 oefeningen > 67
Vaardigheden Kies een oplossingsmethode > 78
1Thalesengelijkvormigheden
Proe
fexe
mpla
ar
8
1 ) Inleiding
Je maakte reeds kennis met een aantal transformaties van het vlak. Bij een spiegeling, verschuiving, draaiing en
puntspiegeling heeft elk element juist één beeld. Het zijn transformaties van het vlak die bovendien de grootte van
een hoek, de lengte, de oppervlakte en de vorm van een figuur behouden.
Deze drie voorbeelden
illustreren hoe je van
een voorwerp een
beeld kan maken.
De voorwerpen worden geprojecteerd. Telkens heb je een aantal elementen nodig:
een voorwerp dat geprojecteerd wordt,
de richting volgens welke je projecteert en
het vlak waarop je projecteert.
ook in de vlakke meetkunde kunnen we punten, rechten en vlakke figuren projecteren.
Evenwijdigeprojectie1.1Pr
oefe
xem
plaar
9
HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKvORMIGHEDEN
2 ) Beeldvaneenpunt
a
X
bWe beschouwen in het vlak twee
snijdende rechten a en b en
een punt X.
We zoeken het beeld X’ van X door
X te projecteren op a volgens b.
Ga als volgt te werk:
Teken door X de rechte b’ die evenwijdig
is met b.
a
b b’
X
X’
Zoek het snijpunt van b’ met a en noem dit
snijpunt X’.
We noemen a de projectieas en b de projectierichting.
Notatie:
’p X Xab =] g
a
b
C
A
E = E’B = B’A’
F’
F
D
D’C’
Lees:
X’ is het beeld van X door de evenwijdige projectie op a volgens b.
Nog meer voorbeelden:
’p B B Bab = =^ h
’p C Cab =^ h
’p D Dab =^ h
’p E E Eab = =^ h
We stellen vast:
a snijdt b a snijdt b
aX CY aX C
’ ’’Fp b aX XX en XX Cab '=^ h p X Xa
b =^ h
opmerkingen:
- Elk punt X heeft steeds maar één beeld, want door X kan je maar één evenwijdige tekenen met b die a
noodzakelijk snijdt omdat a en b ook elkaar snijden. Daarom is een evenwijdige projectie een transformatie van
het vlak.
- schaduwvorming is een mooi voorbeeld van
evenwijdige projectie in de ruimte.
aX C lees: X is een element van de
rechte av betekenis: X ligt op de rechte a
aX CY lees: X is geen element van de
rechte a betekenis: X ligt niet op de rechte a
Proe
fexe
mpla
ar
10
3 ) Beeldvaneenlijnstuk
Nu we punten kunnen projecteren, kunnen we ook lijnstukken en vlakke figuren
projecteren.
om het beeld te zoeken van een lijnstuk door evenwijdige projectie, volstaat het
om de uiterste punten van het lijnstuk te projecteren.
a bCD en EF' '6 6@ @
a
b
G
H
A
B
E
F
G’ H’ A’ B’ C’ D’ E’ = F’
C D
’ ’p GH G Hab =^ h6 6@ @ ’p ’AB A Ba
b =^ h6 6@ @ ’p ’CD C Dab =^ h6 6@ @ ’p EEFa
b =^ h6 @ " ,
a
b
A
B
C D
A’ B’ C’ D’
onderzoeksopdracht 1:
• Meet AB6 @ en ’ ’A B6 @ . Meet ook CD6 @ en ’ ’C D6 @.• Is ’ ’AB A B=6 6@ @?
• Is ’ ’CD C D=6 6@ @?
Behoudt de evenwijdige projectie de lengte van een lijnstuk?
onderzoeksopdracht 2:
Gegeven:
’
’p
p
AB CDAB
AB
’
CDA’B
CD C Dab
ab
'
=
=
=^^
hh
6 66 6@ @@ @
a
b
A
B
C
D
A’ B’ C’ D’
Gevraagd:
• Wat kun je besluiten over A’B’ en C’D’ ?
Vaststelling:
We stellen vast dat in dit geval de beelden van AB6 @ en CD6 @ eveneens dezelfde lengte hebben.
De evenwijdige projectie behoudt de gelijkheid van evenwijdige lijnstukken.Proe
fexe
mpla
ar
11
HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKvORMIGHEDEN
0 0 3 1 1 0 2 8 8 0 5 8 2
Als evenwijdige rechten van een snijlijn gelijke lijnstukken afsnijden, dan snijden ze ook gelijke
lijnstukken af van elke andere snijlijn.
gevolg
L
L
AB
A’B’
A"B"
CD
C’D’
C"D"
=
=
=
A
A’
A’’
B
B’
B’’
C
C’
C’’
D
D’
D’’
4 ) Beeldvaneenrechte
Beschouw de projectie pab en de (te projecteren) rechte d.
We onderscheiden voor de ligging van d twee gevallen.
d b( d b'
d b
a
CA
D
E’C’A’ D’
B
E
In dit geval is het beeld van een rechte een rechte,
namelijk de projectieas.
p d aab =^ h
db
a X
In dit geval geldt: p d Xab =^ h " ,Pr
oefe
xem
plaar
12
5 ) Beeldvaneenvlakkefiguur
om het beeld van een vlakke figuur te bepalen, volstaat het om de ‘uiterste punten’ van de figuur te projecteren.
a
Ab
C
B
A’ C’
P Q
S R
S’ Q’ U’T’
c
T
UO
onderzoeksopdrachten:
• Wat is het beeld van Δ ABC?
• Wat is het beeld van de cirkel c?
• Bewaart een evenwijdige projectie de vorm van een figuur?
• Bewaart een evenwijdige projectie de grootte van een hoek?
• Bewaart een evenwijdige projectie de oppervlakte van een figuur? Verklaar.
Besluit:
Het beeld van een vlakke figuur is steeds een lijnstuk.
6 ) Loodrechteprojectie
De loodrechte projectie is de projectie waarbij de projectierichting loodrecht staat op de projectieas.
a
A
B
C
S
P
Q
R
F G
G’F’Q’S’B’A’
b
Notatie:
’p ABC A’Ba Δ == ^ h 6 @ p ’ ’PQRS S Qa == ^ h 6 @ p ’ ’F Ga H == ^ h 6 @
’p ABC A’Ba Δ == ^ h 6 @ lees je als:
Het beeld van Δ ABC door de loodrechte projectie op de rechte a is A’B’6 @.Proe
fexe
mpla
ar
13
HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKvORMIGHEDEN
7 ) Lengtevaneenlijnstukevenwijdigaandex-asofdey-as
Vorig jaar heb je geleerd dat je punten kunt voorstellen met coördinaten in een cartesiaans assenstelsel.
y
x
4
2
0
-2
-4
y
x
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
−14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14
B(−5, 2)
C(−2, −3)
B(1, 4) A(6, 4)C(−12, 3) D(−7, 3) F(−3, 3)
E(−3, −5)
A’B’C’ D’
F’
E’
A(6, 4)
,6 4c Ao =^ ^h h omdat
- het eerste coördinaatgetal de abscis is van de loodrechte projectie van het punt A op de x-as.
- het tweede coördinaatgetal de abscis is van de loodrechte projectie van het punt A op de y-as.
Zo is ook c B 5,2o = -^ ^h h en C 2, 3co = - -^ ^h h
Met behulp van coördinaten kunnen we ook lengten van lijnstukken bepalen. We weten dat de loodrechte projectie
de afstand bewaart als het lijnstuk evenwijdig is aan de projectieas.
y
x
4
2
0
-2
-4
y
x
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
−14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14
B(−5, 2)
C(−2, −3)
B(1, 4) A(6, 4)C(−12, 3) D(−7, 3) F(−3, 3)
E(−3, −5)
A’B’C’ D’
F’
E’
A(6, 4)
We kunnen de afstanden nu bepalen.
’
’ ’’ ’’
AB A B 6 1 5CD C D 12 7 5EF E F 5 3 8
= = =
= = - - =
= = - =
-
-
-
^ h
Besluit:
,, x yx x x x y
y y y
AB A en co
AB als AB -as
als AB -as met co B B B
B A
B A A A
'
' =
= -
= - =^ ` ^ `h j h j
x
yyA
xA
A(xA, yA)
1
1
0
Proe
fexe
mpla
ar
8 ) Loodrechteprojectieopeenvlak
Bij de projectie op een vlak spreken we af dat we steeds loodrecht projecteren. Het vlak a waarop we projecteren
noemen we het projectievlak.
A
A’B’
B
C = C’
Zo is ’; ’; ’p p pA A B C CB= = == = =a aa ^ ^ ^h h h
A' is de loodrechte projectie van A op aB' is de loodrechte projectie van B op aC' is de loodrechte projectie van C op aa noemt met het projectievlak
op een vlak kunnen we niet enkel punten, lijnstukken, rechten, vlakke figuren … projecteren, maar ook
ruimtefiguren.
om een figuur loodrecht te projecteren op een vlak, projecteren we elk punt van de figuur loodrecht op dit vlak.
Voorbeeld:
Hieronder zie je de loodrechte projectie van een kegel en een balk, waarvan het grondvlak telkens evenwijdig is
met het projectievlak.
Griekse letters
In Griekenland (en Cyprus) zie je ze nog steeds: Griekse letters. Ze zijn met 24 en worden soms in wiskunde gebruikt om een
hoek aan te duiden. Ook een vlak (denk maar aan het vlak p) krijgt meestal een Grieks letter.
A a alfaB b bètaΓ γ gammaΔ d deltaE e epsilonZ z zèta
H h ètaΘ θ thètaI i iotaK k kappaL l lambdaM m mu
N n nuΞ ξ xiO o omikronP p piΡ ρ rhoS s sigma
T t tauΥ υ ypsilonΦ φ phiΧ χ chiΨ ψ psiΩ ω omega
T
T’
F G
E H
B C
A D
B’ C’
A’ D’
14
Proe
fexe
mpla
ar
15
HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKvORMIGHEDEN
9 ) Europeseprojectie
of projectie in vooraanzicht, linkerzijaanzicht en bovenaanzicht.
We projecteren het lichaam op drie vlakken die loodrecht op elkaar
staan: het voorvlak VV, het zijvlak ZV en het horizontale vlak HV.
We krijgen zo drie projecties - vooraanzicht VA
- linkerzijaanzicht LA
- bovenaanzicht BA.
VA
LA
BA
VV
HV
ZV
Plooien we nu de drie vlakken zo, dat ze samen in één en hetzelfde vlak komen, dan hebben we de drie aanzichten
van het lichaam naast elkaar.
VA VA
LA
LA
BA
BA
VV VV
HV
HV
HV
HV HV
ZV
ZV ZV
ZV ZV
omwille van afspraken met andere vakken en
toepassingsgebieden (en ook het gemak bij het meten),
wordt meestal vanuit isometrisch perspectief
overgegaan naar de projectieaanzichten.
VA
VA
LA
LA
BA
BA
VV
VV
HV
HV
ZV
ZV
Proe
fexe
mpla
ar
16
Met bepaalde softwarepakketten zoals geocadabra kun je kubushuisjes (blokkendoos) tekenen en tevens het voor-,
zij- en bovenaanzicht bepalen.Pr
oefe
xem
plaar
17
HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKvORMIGHEDEN
10 ) Samenvatting
• Je kunt het beeld van een figuur bepalen door evenwijdige projectie op een projectieas volgens een
projectierichting.
a
AB
C
GD
B’ D’
E
F
E’ F’
H
G’ = H’
b
A’
O
c
Notatie:
’p A Aab =^ h ’p BCD B’Da
b Δ =^ h 6 @ p c E’F’ab = =] g 6 @ ’p HG Ga
b =^ h " ,
• Je weet dat een evenwijdige projectie de gelijkheid van evenwijdige lijnstukken behoudt.
Gevolg:
Als evenwijdige rechten van een snijlijn gelijke lijnstukken afsnijden, dan snijden ze ook even lange
lijnstukken af van elke andere snijlijn
a
L
L
AB
A’B’
A"B"
CD
C’D’
C"D"
=
=
=
A
A’
A’’
B
B’
B’’
C
C’
C’’
D
D’
D’’
• Je weet dat bij de loodrechte projectie de projectierichting loodrecht staat op de projectieas.
a
A
B
C
S
P
Q
R
F G
G’F’Q’S’B’A’
b
Notatie:
’p ABC A’Ba Δ == ^ h 6 @ p ’ ’PQRS S Qa == ^ h 6 @ p ’ ’F Ga H == ^ h 6 @
• Je kunt vlakke figuren en ruimtefiguren loodrecht projecteren op een vlak.
• Je kunt de lengte van een lijnstuk AB6 @ bepalen als het lijnstuk evenwijdig is met de x-as of de y-as.
,, x yx x x x y
y y y
AB A en co
AB als AB -as
als AB -as met co B B B
B A
B A A A
'
' =
= -
= - =^ ` ^ `h j h j Proe
fexe
mpla
ar
18
11 ) Oefeningen
1 Projecteer de punten A, B, C en D op a volgens b.
B
A
Db
a
C
2 Projecteer de punten M, N, P en Q op b volgens a.
P
N
Q
b
a
M
3 ABCD is een parallellogram. vul in.
a p Aab =^ h
b p Aab =^ h
c p Bab =^ h
d p Bab =^ h
e p Cab =^ h
f p Cab =^ h
g p Dab =^ h
h p Dab =^ h
B
C
D
A
b
a
Proe
fexe
mpla
ar
19
HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKvORMIGHEDEN
4 Teken het punt S als
’
"
p
p
S S
S Sab
ba
=
=
^^hh
5 RSTU is een parallellogram. vul in.
a p USTRS =^ h
b pR RSRU= ` j
c p T S=^ h
d p RRTU =^ h
6 Bepaal de beelden van de volgende figuren door pab of pb
a.
a door pba b door pb
a
B
b
a
A
DC
c door pab
b
a
S’
S”
U
T
S
R
b
a
M
N
P
b
a
U
R
S
T
Proe
fexe
mpla
ar
20
7 A’ en B’ zijn de projectiebeelden van A en B. vind jij de projectieas en de projectierichting?
a c
b d
8 Op zoek naar een passende projectierichting.
Bepaal een projectierichting s zodat de evenwijdige projectie op r de vier hoekpunten van de rechthoek ABCD
afbeeldt op …
a … 4 verschillende punten
r
A B
D C
b … 3 verschillende punten
r
A B
D C
c … 2 verschillende punten
r
A B
D C
A’
A
B’
B
A’
A
B’
B
A’
A
B’
B A’
A
B’ = B
Proe
fexe
mpla
ar
21
HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKvORMIGHEDEN
9 Klopt dit wel?
Kunnen A’ en B’ de beelden zijn van eenzelfde
evenwijdige projectie van A en B op a?
Verklaar je antwoord.
JA NEEN
Verklaring:
10 Teken voor elk van onderstaande situaties XY6 @ zodat ’ ’XY X Y= .
a aXY ' b aXY (
a
b
X’ Y’
a
b
X’ Y’
11 Gegeven: ABCΔ
Gevraagd: Teken A’, B’ en C’ zodat
’p A ABC == ^ h
’p BBCA == ^ h
’p CCAB == ^ h
C
A
B
a
A
B
B’
A’
Proe
fexe
mpla
ar
22
14 De volgende lichamen zijn getekend in cavalièreperspectief. Teken van elk van volgende lichamen het vA, lA en BA.
15 In volgende perspectieftekeningen zijn identieke kubussen getekend. Tel het aantal dat telkens in de voorstelling
aanwezig is.
a b c
a
b
45˚
cavalièreperspectief
12 Gegevens: EFGHABCDc m is een kubus
Vul in:
a De loodrechtte projectie van E op het vlak ABC is
b De loodrechtte projectie van AF6 @ op het vlak DCG is
c De loodrechtte projectie van M op het vlak DCG is
d De loodrechtte projectie van M op het vlak ABC is
e De loodrechtte projectie van EHBΔ op het vlak AEH is
f De loodrechtte projectie van EHBΔ op het vlak BCD is
g De loodrechtte projectie van HGBΔ op het vlak FGH is
13 De volgende lichamen zijn getekend in isometrisch perspectief. Teken van elk van volgende lichamen het vA, lA en
BA.
A
D C
B
E
H G
F
M
a
b30˚ 30˚
isometrisch perspectief
Proe
fexe
mpla
ar
23
HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKvORMIGHEDEN
14 De volgende lichamen zijn getekend in cavalièreperspectief. Teken van elk van volgende lichamen het vA, lA en BA.
15 In volgende perspectieftekeningen zijn identieke kubussen getekend. Tel het aantal dat telkens in de voorstelling
aanwezig is.
a b c
a
b
45˚
cavalièreperspectief
12 Gegevens: is een kubus
Vul in:
a De loodrechtte projectie van E op het vlak ABC is
b De loodrechtte projectie van op het vlak DCG is
c De loodrechtte projectie van M op het vlak DCG is
d De loodrechtte projectie van M op het vlak ABC is
e De loodrechtte projectie van op het vlak AEH is
f De loodrechtte projectie van op het vlak BCD is
g De loodrechtte projectie van op het vlak FGH is
13 De volgende lichamen zijn getekend in isometrisch perspectief. Teken van elk van volgende lichamen het vA, lA en
BA.
A
D C
B
E
H G
F
M
a
b30˚ 30˚
isometrisch perspectief
Proe
fexe
mpla
ar
24
16 Teken het voor-, linkerzij- en bovenaanzicht
17 In het hiernaast afgebeelde pallet zijn stenen verpakt.
Hoeveel stenen zitten hierin verpakt?
Proe
fexe
mpla
ar
25
HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKvORMIGHEDEN
18 a Bepaal de coördinaatgetallen van A, B, C, D, E en F.
b Plaats in het afgebeelde assenstelsel volgende punten:
, , , , , ,3 1 3 0 21
23 0 2
5G H I en J- - - - -^ ^ b bh h l l
co A =^ h
co B =^ h
co C =^ h
co D =^ h
co E =^ h
co F =^ h
19
a Welke figuur is ABCD?
b Bepaal de omtrek van ABCD. c Bepaal de oppervlakte van ABCD.
y
x
A
B
F
C
D
E
y
x
A -2,3^ h B 4,3^ h
D -2,- 1^ h C 4,- 1^ h
16 Teken het voor-, linkerzij- en bovenaanzicht
17 In het hiernaast afgebeelde pallet zijn stenen verpakt.
Hoeveel stenen zitten hierin verpakt?
Proe
fexe
mpla
ar
26
20
a Bepaal de coördinaat van A, D en N als je weet dat xAB CD PD -as' ' ' .
b Bepaal de oppervlakte van ABCD. c Bepaal de oppervlakte van MNPΔ .
21 In een cartesiaans assenstelsel zijn de punten A en B gegeven. Bepaal telkens AB .
co A] g co B] g AB
a ,2 5^ h ,2 9^ h
b 4, 5-^ h ,4 0-^ h
c ,321-c m ,3
32c m
d ,41 4- -c m ,
41 4-c m
y
x
A -4,_ i B -1, 7^ h
C 0, 3^ hD -6,_ i
P 1, 5^ h
M 7, 12^ h
N 4,_ i
Proe
fexe
mpla
ar
27
HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKvORMIGHEDEN
22
a Bepaal de coördinaten van A, E en G.
b Bepaal de omtrek van de c Bepaal de oppervlakte van de
getekende figuur. getekende figuur.
y
x
AB 1, 5^ h
C 1, 6^ h D 6, 6^ h
EF 3,- 2^ h
GH -1, 2^ h
Proe
fexe
mpla
ar
28
23 Klara (K), Warren (W), Salim (S) en levi (l) bereiden zich voor op het voetbaltoernooi dat op het schoolfeest wordt
georganiseerd. Trainer Ilke (I) vindt samenspel heel belangrijk en daarom oefenen ze op het oefenveld van de
school.
a Als Warren de bal recht op het doel schiet, waar b Bepaal de totale afstand die de bal aflegt.
moet de trainer zich dan in het doel bevinden om
de bal te kunnen vangen?
24 Willy stapelt een aantal identieke kubussen recht boven elkaar op een
vlakke vloer en verkrijgt het bouwwerk uit de nevenstaande figuur.
Bepaal het kleinst aantal kubussen dat volstaat om dit bouwwerk
a 17 b 18 c 19 d 20 e 21
JWO 2004, 1ste ronde, vraag 6 © Junior Wiskunde Olympiade vzw
2x
y
0 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
14
12
10
8
6
4
2
0
I
W
L S
K
Proe
fexe
mpla
ar
