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Hiperestática - Método das Forças e Método dos Deslocamentos
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UNIVERSIDADE DE SAO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS
i 1 t f / m
lliill i ll V\ 'J I ll l IJJ 0~63 ~2,00
' . . ' . '11-711,18
0,634 tfm
( o ) ( b )
DA.047
, , ~~ HlfE,RES '. TOU!I
L 3,647 { tf) r{.647 13,225 } .
CLêSSI - ..... ( tf ) . ô.779
22 Edição
JOÃO .CARLOS ANTUNES . DE O. E SOUZA
HELENA M. ·e. CAflMO ANTUNES
UNIVERSIDADE DE SÃO PAU LO
Reitor: Roberto Leal Lobo e Silva Filho
Vice-Reitor: Ruv Laurenti
Obra produzida na Escola de Engenharia de São Carlos- EESC
Composição e Edição: CETEPE - Centro de Tecnologia Educacional para Engenharia da EESC
Impressão: Serviço Grâfico da EESC
2ª edição - 1995
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA OE ENGENHARIA DE SAO CARLOS
PROCESSOS GERAIS
DA
"' ,,,.
HIPERESTATICA CLASSICA
JOÃO CARLOS ANTUNES DE O. E SOUZA
HELENA M. C. CARMO ANTUNES
TOOOS 05 DIAEITOS RESERVADOS - Nos termos da Lei que resguarda os Direitos Autorais, é proibida a reprodução total ou parcial deste trabalho, de qualquer fornia ou por qualquer iaeio - eletrônico ou mecânico, inclusive através de processos Kerográficos, de fotocópia e de gravação - sell per•lssão, por escrito, do(s) autor(es) .
Catalogação na Fonte - Se rviço de Bibl ioteca da
EESC - USP
S729p SOUZA, João Carlos Antunes de OI iveira e Processos gerais da hiperestática clãs
sica/Joâo Carlos Antunes de OI i ve i ra ~ Souza, Helena Maria Cunha do Carmo Antunes. São Carlos: Escola de Engenharia de São Carlos, Serviço Gráfico, 1992.
346p.
ISBN 85-85205 -02 - 4
1. Estruturas - Estática 1. Titulo.
CDD - 624 .1 715
PREFÁCIO
Er. te livro , como o já publicado "Processo de
Cross" e os em fase de preparação , "Técnicas Computacionais
na Estática das Estruturas" e "In trodução à Isostáti c a" ,
pretende ter um caráter didát i co, apresentando os tópicos
tratados sem cornpl i cações desnecessárias, mas senrl o ,
entretanto, c onscientemente prolixo como muitas v e r. es o
processo de ensino necessita ser. Os processos aqui
tratados são gerais tanto no aspecto da aplicabilidode a
qualquer tipo de estruturas quanto no de poderem ser
encarados como variações duais de woa mesma idéia ;
correspondem a alguns d os temas abordados na discip lina
Estática das Estruturas na Escola de Engenharia de São
carlos, a par com processos de uso restrito, como os de
Cross e de Propagação, e antecedendo todo o desenvolvimento
matri~]al visando a programação em computador.
São Carlos , março de 1992
Os Autores
r N D 1 e E
1. 1 NTROOUÇÃO · · · - • · · · · · · · • · · · · · · · · · · - · · · · - · · · · · · · · · · · l. 1. OBJETIVOS l.ERA IS • • . . . . . . • . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . 1
1. 2. ESTRUTLJRllS LI N F.ARF.S . .. . .. .. . .. . .. . . . . .. . .. . .. 2
I.3 . O MÉTODO CLÁSS TCO 2
1. ~. li ~[Jl'F.HPn~; 1çiio IW F FE r·r ·o~: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. O PR 1NCfP1 O DOS TR ARALHOS V 1RTLJA 1 S F SUAS API 1 CACõFS 9
2.1. CONSTDERAÇÕFS GFRAIS • . . • . . • . • . • . . . . . . . . . . . • •• 9
2. 2. o PRINC1 PIO Dor; THABALHOS VIR'flll\IS . . . . . . . . . . . 'J
2.1. POSSIBILIDADES DE J\PLICAÇÃO DO PRTNCiPTO DOS
TRABALllOS VIRTlll\ I S . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 l
2.1.1. Cálculo de deslocamentos em estruturas
isostáticas .. . .. . . . . .. . . . . . .. . .. .. . . . . 22
2.1.2. Seleção de uma equação de equilíbri o
numa estrutura isostáti ca . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 .l. o teorema da reciprocidade dos t rabalho s
ou Teorema de Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 . 4. O teorema da reciprocidade dos desloca-
mC'ntos ou Teorema de Max wrl 1 . . . . . . . . . . 34
3. CALCULO DE DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS ISOSTAT ICAS USUA i S . .. ........ . ... ... . . 37
3.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS . •.• . . . • . . . . . ••• . . . . . • . . . 3 7
3. 2. DESLOCAMENTOS EM TRELIÇAS PLANAS IDEAIS • . . • . . 38
3 . J .
3.2.1. A treliça plana idea l . . . .. . . . . ....... . 38
J .2 .2 . Exemplo l
J. 2.3 . Exemplo 2
DESLOCAME NTOS EM
USUAIS
ESTR UTURAS PLANAS FLETIDAS
J.J .1 . Estruturas planas fletidas usuais . .. . .
l.J .2. Exempl o l - Integração analítica . . . . . .
40
4 9
55
55
63
3. 3. 3. Exemplo 2 - Integração numérica . ...... 3. 3.4. Exemplo 3 - Integração utilizando tabelas
3. 4. DESLOCAMENTOS EM OUTROS TIPOS DE ESTRUTURA . .. 3. 4 .1. outros Tipos usuais de estrutura ....... 3. 4. 2. Exemplo 1 - Pórtico atirantado . ....... 3. 4. 3. Exemplo 2 - Viga com vínculos elásticos
3. 4. 4. Exemplo 1 - Grelha . - -....... .. .... - . - .......
4. O PROCESSO DOS ESFORÇOS • · · • • · • · · • • • • · · · • • • • · • • • • · · 4. 1. CONSIDERAÇÕES GERAIS ............•.. • .........
4.2. O PROCESSO OOS ESFORÇOS APLICADO A VIGAS .....
4.2.1. Detalhes característicos das vigas •. . .
4.2.2. Exemplo 1 .•.•.........................
4.2.2.1. Resolver a viga submetida ao
carregamento dado ........... .
4.2.2.2. Resolver a viga submetida a uma
66
72
84
84
84
87
90
95
95
101
101
103
104
variação de temperatura ...••. 114
4.2.2.1. Resolver a viga submetida are-
calques de apoio............. 121
4.2.J. Exemplo 2 •......... ...••.. •.• ....... .. 128
4.3. O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A PóRTICOS
PLANOS
4.3.1. Detalhes característicos dos pórticos
planos ................... . .......•....
4 . 3. 2. Exemplo 1 ..•....................•.....
4.3.2.1. Resolver o pórtico submetido ao
carregamento dado •.•.........
4 .3 .2.2. Resolver o pórtico para efeito
de recalque de apoio ........ .
4.1.2.3. Resolver o pórtico para efe ito
de variação de temperatura ...
4 . 3 . 3 . Exemplo 2 •.•................ . .........
4.4. O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A GREI.J{AS ...
134
134
136
138
142
144
149
157
4.4.1 . Detalhes característicos das qrelhas .. 157
4 . 4. 2.. Exemplo 1 ...... . .... . .. . ... . - ... .. · · · · · · ·
4 . 4. 3. Exemplo 2 .... ..... - - ... · · · · · · · · · · · · · · · · ·
4 . 4.4. Cálculo de grelhas desprezando a rigidez
à torção das barras ... . ... . .... . ··· · · ·
4. 4. 5. Exemplo 3 ......... . .... .. .... .. .... .. .
4. 5. O PROCF.SSO DOS F.SFORÇOS APLTCADO AOS ARCOS . . .
161
165
169
176
181
4.5.1. o que caracteriza um arco . .. . . ..... . .. 181
4. '> . ;,>. 'J' i pos u,;11;i i s de a r-co,; .... . ... .•.. .. . ..
4. 5 . 3 . Exemplo de def in .i ção de eixos de arcos
4.5.4. Formulários para arcos h i perestáL icos
usuais ... . ........ .. .... · - · · · · · · · · · · · ·
4.5 .4. 1. Convenções ... . ... .. .. . .... . . .
4.5.4 . 2. Arco biarticulado simétrico . .
4.5.4.3 . Arco atirantado simétrico . . ..
4.5.4.4 . Arco biengastado simétrico
4.5.5. Casos usuais de integração em arcos
4. 5. 6 . Exemplo 1 - Integração analítica ..... .
4.5. 7 . Exemplo 2 - Integração numérica
4. 5 .8. Exemplo 3 - Variação imposta de EI ....
4. 5. 9 . Exemplo 4 - Arco prismático por trechos
4.5.10.Exemplo 5 - Adaptação para pórticos
simétricos
4. 5 .11.0bservações adicionais . .. .. ..... . ... . .
4 .6. O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO ÀS 'l'REI. IÇAS
PLANAS IDEAIS . ........ .. ............. ..... .. .
4.6 . 1 . Detalhes característicos da treliça
plana ideal .. . . . . .. . .. . ..... . ... .. . .. ·
4 . 6. 2. Exemplo l . ... . . .. .. .. . . ... ..... . · · · · · ·
4.7. O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A ESTRUTURAS
MISTAS ......... . . ... .....• • ........... . ..... .
4. 7. l. Estruturas mistas usuais . . . ... . ...... . .
4 . 7 . 2. Exemplo l - Viga sobre apoios e lásticos
4. 7.3 . Exemplo 2 - Pórtico treliçado .. ... . . ··
1 87
188
188
1 90
1 95
199
20 8
209
215
223
229
234
240
246
246
248
255
255
255
260
5. O PROCESSO DOS DESLOCAMENTOS ••••··••••••••••······ 267
5 .1. CONSIDERAÇÕES GERAIS
5. 2. EXEMPLO DE APLICAÇÃO
5. J. EXEMPLO DE APLICAÇÃO
5. 4. EXEMPLO DE APLICAÇÃO
5. 5. EXEMPLO DE API.ICAÇÃO
.............. . ............ A VIGAS . .................. A PóRTICOS . .............. A TRELIÇAS PIANAS IDEAIS
A GRELHAS . . - ....... "' .......
267
273
277
284
289
6. O PROCESSO M 1 STO • . . . . • . . . • • . . . . . . • . • • . . . • . • . • . . . . . 297
6. 1. r;oNSIDERAÇÕES GERAIS ••......•.........•••.... 297
6.2. EXEMPLO DE PÓRTICO PLANO..................... 302
7. Sltvf>LIFICACOES DEVIDAS A SIMETRIA················· 7. 1 . CONSIDERAÇÕES GERAIS ...•...........•.........
7.2. REDUÇÃO DA ESTRUTURA • •. .............•..... . ..
7.3. EXEMPLO 1 - PÓRTICO PLANO SIMÉTRICO •••••• . ...
7.4. EXEMPLO 2 - GRELHA COM DOIS EIXOS DE SIMETRIA.
7.5. EXEMPLO 3 - VIGA VIERENDELL
8. BIBLIOGRAFIA · · · .•. • · • • · · · · . • . . . . . • . . • . . • • • • • •••••...•
309
309
312
318
324
333
339
PROCESSOS GERAIS DA HIPEREST ATICA CLÁSSICA
CAPITULO 1
INTRODUCÃO
1. l . OH,J E'!' I VOS G ERA JS
Esta publicação pretende ter um caráter didático de
introdução à hiperestática clássica de estruturas lineares,
discutindo hipóteses de cálculo , c omportamento df> estruturas
e simplificações gera i s para estruturas usuais, utilizando
processos de cálculo muito simples mas aplicáveis a qualquer
tipo de estrutura linear.
Os proc essos aqui tratados , que poderiam ser c olocados
c omo um úni c o processo geral de solução de uma estrutura a
partir de outra suposta conhec ida, incluem o processo dos
esforços, o dos deslocamentos e o misto . o proc esso do s
esforços tem um caráter apropriado para uma introdução à
hiperestútica, permitindo, em sua ci.plicação mais simples,
resolver estruturas hiperestáticas recaindo no cálc ulo
elementar de estruturas isostáticas. O processo dos
desl oca ment os , dual do anterior , tem como maior v antagem a
sua s i mplic idade, o que o torna ideal para uma posterior
automatizaç ão c omputacional ; resolve estruturas
hiperestátic as recaindo no c álc ulo de estrutur~s c om maior
grau de hiperestatícidade, mas mais simples , e ventualmente
até tabeláveis. O processo misto tem apenas o caráter
demonstrativo de uma generali z ação de idéias , sendo
vantajoso apenas em alguns c asos particulares.
Todos os inúmeros processos partic ulares , aplicáveis só
1
8
CAPfTULO li
O PRINCIPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS E SUAS APLICACõES
2.1. CONSIIJEHAÇÕES GERAIS
O Princípio dos Trabalhos Virtuais, ou Teorema dos
Trabalhos Virtuais, doravante apelidado de P.T.V . , é o único
teorema da energia realmente essencial ao desenvolvimento de
toda a estática c lássic a; diversos outros teoremas que
venham, por questão de síntese , a ser utilizados, serão
demonstrados a partir dele .
As condições de equ ilibrio podem ser demonstradas a
partir do P. T. V. , ou o P. T . V. pode ser demonstrado, agora
como teorema , não como principio, a partir das condições de
equilíbrio; optar-se-á por esta última versão, por mera
questão de se ter em geral uma previa assimilação, em
caráter mais intuitivo, das relações de equilíbrio .
A utilidade essencial do P. T. V. será a de permitir
interessantes transformações de problemas eminentemente
geométricos em problemas estáticos e vice-versa, fornecendo
alternativas extremamente simples e eficientes em diversas
situações .
2.2. O PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
Seja definida uma estrutura linear qualquer e estejam
definidas suas vinculações, isto é, suas ligações internas e
vínculos externos.
Seja um estado de forç as (a) sobre essa estru~ura, com
9 j
CAPíTU..O 111
CÁLCU..O DE OESLOCAtvENTOS EM ESTRUT~AS ISOSTATICAS USUAIS
3.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS
Conforme discutido no capitulo II, item 2.3.1, dado um
estado de
hipóteses
deslocamentos ( b), real mas satisfazendo as
do Método
deformações dub, dvb e
coaprimento ds situado
Clássico, conhecido a partir das
d~b de um elemento infinitesimal de
numa posição genérica I, provocadas
por uma causa física qualquer, é possível utilizar o P.T.V.
para calcular qualquer tipo de deslocamento dos pontos da
estrutura. Para isso cria- se ua estado de forças (a), com
"forças externas" convenientes e criteriosamente escolhidas
de forma que, se se impuser o estado de deslocamentos (b) ao
estado de forças (a), seu trabalho, o trabalho externo, seja
exatamente igual ao deslocamento que se quer medir. Se a
estrutura for isostática, ter-se-á waa única distribuição de
esforços inte:rnos, tendo-se, em .§., N ª , V• e M • . Do P. T. V. ,
então, ter-se-á:
T ••l
T lnl
ou:
T J N du + J V dv + f M d.b (3.1) • b • b • • "l
e• t. r ealr ••tr
O que se pretende, em todo o transcorrer deste capitulo
III, é detalhar a aplicação da expressão (3.1), tanto para o
37
...
cálculo de diversos tipos de deslocamentos, quanto das
integrais do segundo membro, analisando seu significado,
introduzindo técnicas de cálculo, particularizando-a, em
suma, para tipos usuais de estruturas lineares. Essa
particularização será feita através de exemplos numéricos,
resolvidos com um mínimo de detalhes.
3.2. DESLOCAMENTOS EM TRELIÇAS PLANAS IDEAIS
3.2.1. A treliça plana ideal
A treliça plana ideal é uma estrutura plana, formada
por barras idealmente articuladas em suas extremidades,
tendo como cargas possíveis apenas forças externas no plano
da estrutura e aplicáveis aos nós. Com isso, num
carregamento qualquer sobre a treliça, os
internos seriam os axiais e as únicas
únicos esforços
deformações a
considerar seriam as longitudinais. Em outras solicitações
usuais, como variações de temperatura, por exemplo, dada a
pequena dimensão das seções transversais das barras, não
teria qualquer sentido prático considerar diferentes as
temperaturas de uma e outra face de uma barra; a única
deformação relevante devida à variação de temperatura seria
também a deformação axial. Com isso, em estados de
deslocamentos (b) usuais, ter-se-ia, sempre:
dvb dlflb = o
Com a (3.2), o cálculo de deslocamentos, que
ser sempre feito com a expressão (3.1), poderia
com a (3.3):
T ext J N .. du
b
38
(3. 2)
poderia
ser feito
(J.3)
Como cada barra só tem deformação longitudinal, ela
deve permanecer reta e os deslocamentos que poderiam de fato
interessar seriam os deslocamentos dos nós, ou relacionados
a eles; assim os estados de forças (a), convenientes, seriam
representáveis por cargas externas nodais, o que implicaria
em se ter força axial N,, constante por barra e a ( 3. 3)
poderia ser posta como:
T ext
Observando que
du b
as integrais previstas em
correspondem à variação de comprimento de cada barra,
expressão pode ser posta ainda como:
T e X l
( 3. 4)
( 3. 4)
essa
(3.5)
A expressão (3.5) permite tratar qualquer deslocamento,
provocado tanto por causas físicas como cargas e variações
de temperatura, como por causas de origem indefinida que
definam variações sobre o comprimento nominal das barras.
Para a situação, mui to frequente, de se ter o estado
de deslocamentos (b) provocado por cargas, a variação de
comprimento da barra ~ pode ser facilmente calculada, pela
Lei de Hooke, em função do esforço axial, obtendo-se:
Al b 1
(3.6)
Com a (3.6) na (3.5):
l T
e X l r N a 1
1
E5 1 1
(3.7)
39
Visando conforto numérico no manuseio das parcelas
implícitas na (3.7), pode ser conveniente, no cálculo manual
através de tabelas, colocar e• evidência "valores de
comparação", quaisquer, da ordem de grandeza dos envolvidos
no problema, para os comprimentos, os módulos de
elasticidade e as áreas da seção transversal; com isso a
(3.7) ficaria com a forma:
l l 't"~ E8 1.. e T
eMl e e e
3.2.2. Exemplo 1
E e
-E-
'
s -S-- .N., .Nb 1
1
(3 .8)
Para a treliça de aço da fig. 3 .1, onde as áreas dàs
seções transversais estão
parêntesis, determinar:
anotadas, em 2 cm, entre
1) O deslocamento vertical do ponto 6, positivo se para
baixo.
2) O deslocamento relativo entre os nós 4 e 5, positivo
se de aproximação.
3) A rotação da barra 9.10, positiva se horária.
4) A rotação relativa entre as barras 1.3 e 1.4,
positiva no sentido de aumentar o ângulo.
E•2100tt/cm2
Fi9 . 3.1 - E .. mplo l
40
a) Estado de deslocamentos (o) correspondente ao
carregamento dado.
Os esforços axiais N01
são facilmente calculáveis
utilizando um "Plano Cremona" e constam da fig.3.2
Fi9 J 2 - Estado de deslocamentos 1 o) nforços axiais
b) Cálculo do deslocamento vertical do nó 6, positivo
se para baixo-
Para . calcular esse deslocamento c5 v6
cria-se um estado
de forças (1) conveniente, no caso com uma força externa na
direção de c5v6
, com o sentido prescrito como positivo para
ele. Esse estado de forças (1), está representado na
fig. 3. 3, onde constam também os esforços axiais N nas li
barras.
Ni i lodim . )
Fi9. J J - Estado de forças l l I forças externos e esforços axiais
41
Impondo o estado de deslocamentos (o) ao estado de
forças (1) tem-se, do P.T.V.:
l
1 . "•6 J N du 1 J N N~
1 " ES 1
[ N,, Nnt E8-" e• l r e 11 l ,.
Adotando valores de comparação quaisquer:
c5 v6
l l e r ~ ES-" /.. e
e e l e
E s e
-r N o 1
i
1 1
A somatória de produtos implícita nessa expressão
pode ser feita com eficiência coa o auxílio da TABELA 3.1,
preparada para calcular
deslocaaentoa. Essa tabela
taabéa
prevê
todos
colunas
os
ea
outros
nÚJlero
suficiente para particionar os produtos de foraa a
siaplificar a verificação, e linhas correspondentes às
barras, organizadas numa sequência racional para facilitar a
transposição de dados e verificação de resultados parciais:
assim, as barras com características semelhantes serão
sempre a9rupadas e colocadas nuaa sequência a partir da
esquerda: serão separadas as barras do banzo superior, as do
banzo inferior, os montantes e as diagonais.
Escolhe-se valores de comparação, por exemplo:
l .,. 400 CJI e
s "' 12 cm2
e
a serem usados também para os outros deslocamentos, tendo:
42
' E S
cm 0,01587 t
1
m 0,0001587 t ,
Com isso, transpondo os N01
e os N11
para a TABELA 3 .1
e efetuando as operações previstas, tem-se, da coluna "13":
ô vb
0,0001587 . 125,16 0;01986 m
ou:
c5 v6 1, 986 cm
c) Cálculo do deslocamento relativo entre os nós 4 e 5,
positivo se de aproximação.
Para calcular esse deslocamento ô cria-se um estado r45
de forças (2) conveniente, no caso com uma força unitária em
4, orientada do nó 4 para o 5, e uma força unitária em 5,
orientada do nó 5 para o nó 4: com isso a expressão para o
trabalho externo será uma soma de duas parcelas sendo uma o
deslocamento absoluto de 4 no sentido de se aproximar de 5 e
outra o de 5 no sentido de se aproximar de 4; em conjunto
permitiriam calcular ôr45
Esse estado de forças (2) está
representado na fig. 3. 4, onde constam também os esforços
axiais N nas barras. 21
43
Fig. 3 .4 - Estado de forço• 121 forças uternos e esforços aaiois
Impondo o estado de deslocamentos (o)
forças (2), tem-se:
I J N __!!!_ 1 6 N2 du N r N N . r45 o 2 o ES 21
e•tr e•lr
Coa os mesmos valores de comparação
ter-se-ia:
6 r45
t t e ~+ ES L e
e e 1 e
E s e e
~ s 1
ao estado
t 1
oi E8 1 1
t , E e e e
de
s e
Efetuando essas operações na TABELA J .1, te•-se, da
coluna "14":
6r•s = 0,0001587 . 11,25 0,001786 •
ou:
6 r45
= 0,1786 cm
44
d) Cálculo da rotação da barra 9-10, positiva se
horária.
Para calcular a rotação ~9_ 10 cria-se um estado de
forças ( 3) com um momento uni tá rio aplicado e111 qualquer
ponto da barra 9-10, já que no estado de deslocamentos (o)
só há deformação axial e a barra permanecerá reta. Na barra
9-10 existirão esforços H e V , diferentes, dependendo da 2 2
posição do momento aplicado, mas seu trabalho nunca
aparecerá por inexistirem tanto d•0
quanto dv0
; das
condições de
transversais
equilíbrio da
de extremidade
barra 9-10,
independem da
aoaento, e sua reação, lançada sobre os nós 9 e
os esforços
posição do
10 COlllO um
"binário equivalente" ao
deterainar N .
momento aplicado, permitirá
2
Esse estado de forças (3) consta da fig.
estão anotados também os esforços axiais N 31
3. 5, onde
Qr::-"'""'"''-'-'-'--""'1:::---=;;;.;;..::..:.._-Q_-"'":,.=..::..:.. _ _,,>---:::L.::.:=::.....__., - - • O, 3333 m • l l
Fi9 . 3. 5 - Estado de forças 131 : forças eaternas e esforços a•iais
I•pondo o estado de deslocamentos (o) ao estado de
forças (3) tem-se:
1 • ·9-tO= J NJ duo J estr estr
N 3 N~
o ES
45
Com os mesmos valores de comparação '· , E e s e
ter-se-á:
t s E
~Q-10= [ 1
N E S T s E- N •• n 1 1 1
Transpondo os N da fig.J.5 l 1
para a TABELA J.l e
efetuando com essa tabela as operações, tem-se, da coluna 11 15 11 :
,9 to - 0,0001587 . 10,667 - 0,001693
ou:
,9 to -5'49 11
e) Cálculo da rotação relativa entre as barras 1- 3 e
1-4, positiva no sentido de auaentar o ângulo.
Para calcular esse deslocamento • cria-se um 13/1 4
estado de forças (4) conveniente. A rotação relativa • t 311 4
pode ser pensada como co•posta de duas parcelas: para
calcular a la., correspondente ao giro absoluto da barra 1-3
no sentido de abrir o ângulo, aplica- se a essa barra um
momento unitário antihorário; para calcular a 2a.,
correspondente ao giro absoluto da barra 1-4, também no
sentido de abrir o ângulo, aplica- se outro momento unitário
a essa barra, só que, agora, horário; pelos 111ativos j6
discutidos anteriormente, para efeito de cálculo dos
esforços axiais, esses momentos podem ser substituídos pelos
seus efeitos sobre os nós de extremidade, ou por "binários
equivalentes".
Esse estado de forças ( 4) consta da fig. 3. 6, onde
também estão anotados os esforços axiais N : 41
46
10,250 m-1
1 t 0,250 m -l 1
Fig . 3 .6 - Estado de ·forcas l 4) forcas externos e esfor~os axiais
Impondo o estado de deslocamentos (O) ao estado
forças ( 4) , tem-se:
J J ds l 1 ,13 / 14= N du = N [ N N
1 . No ES ES 4 o 4 4 1 o t 1
e s t .r e s t r
Com os mesmos valores de comparação l , E e e e
ter-se-ia:
l l E s ,13 11 4
e [ -r e e N N E5 E s 4 1 o 1
e e 1 e 1 1
1
Transpondo os N da fig.3.6 para a TABELA 3.1 4 1
efetuando as devidas operações, tem-se, da coluna "16":
-0,0001587 . 5,063 -0,0008035 rd
ou:
-2'46 11
47
de
s e
e
o. < a ,..._ ,. o M "'
o; "' OQ n n
~ OD °' w ,_. '° --J U• w -0: 1 1 1 1 1 1 1 1 1
'° -· ()· .... ,_. OD °' ·- .... o
~ ~ .... ,_. ,_. - o o o o o . . . . . . . . . ~ N N ,_, N "
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~ 1 1 1 1 1
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1 1 1 1
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~ °' °' o o o
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~ o o o
T- T- '1- T- b b o b b o o o o °' °' °' °'
~ 8'- ~ ~ ~ N N N N N N N N "" "' "" ""
1
~ o o o 9 o 9 .... o o N o
~ "' ..,,
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N ~ o 9 ~ w w w w .Y' . w o . w ... ~ ~ ..... w .... w
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3.2.3. Exemplo 2
Para a treliça da fig.3.7, determinar:
1) O deslocamento vertical do nó 5 devido a um
aquecimento de 100°c para as barras do banzo inferior e 50°C
para as barras inclinadas, sendo a = 10-5 /°C o coeficiente
de dilatação térmica do material. 2) o deslocamento vertical do nó 5 devido ao fato de
todas as barras do banzo inferior terem sido "cortadas" com
4,01 me não com o comprimento nominal de 4,00 m.
3) o máximo deslocamento vertical, para baixo, do nó 5
que pode ser acarretado pelo fato de as barras serem
"cortadas" com uma precisão de ± o, 1% sobre o comprimento
nominal.
~1 t 2m l 2m r 2m l 2m r~m l 2~ r2rn J_g~_J
Fig 3 . 7 - E•emplo 2
a) Estado de forças ( 1) conveniente para calcular o
deslocamento vertical do nó 5, positivo se for para baixo.
Como em todos os itens do problema se vai calcular, ou
manusear, o particular deslocamento vertical do nó 5, é
interessante definir inicialmente o estado de forças ( 1)
conveniente para calculá-lo; esse estado de forças terá uma
única força externa, unitária, na direção do deslocamento
49
que se quer medir, conforme fig.3.8; nessa fiqura estão
também anotados os esforços axiais N11
nas barras.
FiQ . 3.8 - Estado de forças (li força externa • esforços axiais
N ii ladim.I
b) Cálculo do deslocamento vertical do nó 5 devido a um aquecimento de iooºc para as barras do banzo inferior e soºc para as barras inclinadas.
Nesse estado de deslocamentos ( 2) a única deformação,
axial, de um elemento de barra de comprimento ds é definida
por:
du2
'"' ex At ds
onde At é a variação de te•peratura, positiva no sentido de
aumentar a temperatura, em coerência com o sinal adotado
para du2
que é positivo se de extensão e co• o dos esforços
axiais, positivos se de tração.
Impondo o estado de deslocamentos ( 2) ao estado de
forças (1) tem-se, do P.T.V.:
l • ll.st • J N1 du2
eetr
Como N1
é constante por barra:'
50
co•:
At 21
t 1 J du 2 o
At 1
ds ex At t 1 1
Calculando At21
na TABELA 3. 2, para onde
transpostos também os N11
obtém-se, da coluna "7":
são
li ,,5
t 16, ooo mm
c) Cálculo do deslocamento vertical em 5 devido ao fato
de todas as barras do banzo inferior terem sido cortadas com
4,01 me não com o seu comprimento nominal de 4,00 m.
Esse tipo de problema, originado de erro definido na
fabricação das barras, ou num caso mais real na marcação da
posição dos rebites ou parafusos de uma treliça que vá ser
•ontada e desmontada em barras, também pode ser resolvido
com o P. T. V. ; assim, nesse estado de deslocamentos ( 3) ,
definido pelo erro de fabricação, seriam conhecidas as
variações de comprimento das barras, At31
,
fato que impeça de as considerar como uma
sem qualquer
integral das
deformações du3
ao longo da barra 1. Com a mesma convenção
de sinais se teria:
t - l Al 31 1,real l 1 no•lnal
Impondo esse estado de deslocamentos ( 3) ao estado de
forças (1), conveniente para calcular o deslocamento
vertical do nó 5, tem-se, do P.T.V.:
1 . li = J vSd N
1 du
3
t 1
I: N J du 11 3 1 o
estr
51
.;-g:• "ª ________________________ _ : : x•i-;~~
ou:
c5 vSd
Calculando os Al31
e efetuando na TABELA 3. 2 as
operações necessárias, te•-se, da coluna "9":
c5 vSd
40,0 mm
d) Cálculo do máximo deslocaaento vertical, para baixo,
do nó 7, que pode ser acarretado pelo fato de as barras
serem "cortadas" com uma imprecisão de :!: 0 , 1\ sobre o
comprimento nominal.
Esse problema é e• tudo seaelhante ao do item (e) ;
ter-se-ia um estado de deslocamentos (4) definido pelas
variações llt41
de comprimento das barras acarretada por erro
aleatório, dentro de limites pré-definidos.
. Impondo-se esse estado de deslocamentos ( 4) ao estado
de forças ( 1) , conveniente para calcular o deslocamento
vertical do nó 5 , tem-se, do P.T.V.:
1. c5 vSpr
t
I N du = [ N J 1 du
1 ' ti 4 1 o e•lr
ou:
c5 v5pr
Como:
1 :5 1000 t,
procura-se:
52
c5 •áx máx { [ N Al } V pr 1 1 4 1
ou: mfn
{ Al se N <O c5 •4X [ N
4 1 1 1
vSpr 1 1 •áx Al se N >O
4 1 1 1
ou, ainda, como:
1 Al:áx 1 1
mín 1 Al 1000 l
4 1
tem-se:
c5 v5pr
Efetuando essas operações na TABELA 3. 2, tem-se, da
coluna "10":
c5 v5p r
1 1000 . 48000
ou:
c5 = 48 mm v5pr
Desse resultado é possível perceber a extrema
importância da precisão na fabricação de elementos para
montagem posterior, ou da importância de se ter sistemas de
ajustes para evitar uma grande distorção da estrutura
montada a partir de peças.
53
cr o. .... l)J
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54
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3 . 3. DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS PLANAS FLETIDAS USUAIS
3.3.1. Estruturas planas fletidas usuais
Pretende-se neste sub-item analisar alguns tipos de
estruturas planas com carregamento em seu plano, como vigas,
pórticos e arcos: pretende-se a partir das formulações
gerais para o cálculo de deslocamentos, particularizar e
detalhar técnicas de cálculo para situações mais comuns, com
pequenos acenos a situações menos frequentes.
Numa estrutura plana fletida mais geral, um estado de
deslocamentos (b) pode incluir deformações du , dv e d• de b b b
um elemento de comprimento ds numa posição genérica ~-
O cálculo de um particular deslocamento implicaria em
criar um conveniente estado de forças (a), com forças
externas criteriosamente escolhidas de forma que a expressão
do trabalho externo representasse exatamente o deslocamento
a medir; essas forças deveriam satisfazer as condições de
equilíbrio com os esforços internos N , V e M da mesma " " a
posição genérica I· Nessas condições, aplicando o P. T. V .
ter-se-ia, confonae expressão (3.1):
T J N du + J V dv + J M d~ (3. 9) ext .. b a b .. b
eetr eetr eatr
conforme a (3.1), ou (3.9), um deslocamento poderia ser
pensado como composto de três parcelas, ou três integrais,
em principio uma tão importante quanto as outras, dependendo
da causa que tenha dado origem ao estado de deslocamentos
(b). Entretanto, é muito frequente o cálculo de
deslocamentos em estruturas submetidas a um carregamento
qualquer, valendo a pena analisar a significância relativa
entre essas três parcelas no caso de as deformações dub, dvb
55
···· ''-'t&i;B: -----------.---------------
e d• serem provocadas pelos esforços internos N , V e li b b b b
do estado de deslocamentos (b). Da resistência clássica dos
materiais tem-se:
dv b
N b ~ds
cV b
GS de
Com as (3.10), (3.11) e (3.12) a (3.9) fica:
T • "t I Nb I N. ES ds +
CV v. GSb ds + J
eatr e• t. r •• t. r
(3 .10)
(3.11)
(3.12)
(J.13)
Para analisar a significância das parcelas da (3.13)
nada melhor que utilizar um exemplo representativo; seja
então o problema de determinar o deslocamento vertical do
ponto A para a estrutura da fig.3.9.
56
SEÇÃO B ISSIMÉTRICA
DADOS :
E - mód. de e l as! i c i dade
"IJ- caef. de Pa i sson
1 - mom. de i nérc i a
S - a·rea da seção
1 - compr da barra
Fi9. 3.9 - Exemplo representativo
a)Estado de deslocamentos (b)
o carregamento correspondente ao estado deslocamentos (b), dado, consta da fig.3.10.a;
fig.3.10.b, c e d contêm os esforços internos N v e M b' b b.
M •-'/'[' . P. s b 2
'ª 1 'b, ( c 1 (d,
Fig. 3.10 - Estado de deslocamentos (b): car9as e esforços inter nas
57
de
as
b)Estado de forças (a)
O carregamento externo correspondente ao estado de
forças (a), conveniente para calcular o deslocamento
vertical de A consta da fig.J.11.a; as fig.J.11.b, c e d
contêm os esforços internos Nª, v. e Ma.
la 1
Vi' N •-a 2
'b, lc 1 (d)
F iQ . 3. 11 - Estado de for c;as 1 a 1 : cargas e es fo rc;os inter nos
c) Cálculo do deslocamento vertical do ponto A
Impondo o estado de desloca.entoa (b) ao estado de
forças (a) tem-se, do P.T.V.:
I eatr
N du + J a b
••tr
Vadvb + J ••lr
ou então, das (3.10) a (3.12):
58
como:
onde:
ô VA J
estr
V
estr
cV ~ + J b GS
e s t r
ds MaMbEl
(3.14)
O deslocamento õvA da expressão (3.14) pode ser posto
I N
I V
J e• t r
J e e t r
I e a t r
ds VªcVb-c;g-
ds H,.HbEl
Jl P ds -2-·"ES
o
Jl P ds ~.c. GS
o
Il P 2 ds -2-.s . EI
o
Pl 2ES
cPl 2GS
(3.15)
(3 .16)
(3.17)
t interessante comparar IN e Iv a I" e verificar que,
salvo em condições mui to particulares, essas parcelas são
desprezíveis.
Valeria a pena efetuar essa comparação para algumas
seções usuais em materiais usuais, analisando relações
usuais entre dimensões da seção transversal e dimensões
longitudinais da estrutura. Assim, para a estrutura de
concreto, uma seção transversal típica é a retangular, e uma
relação h/l típica varia de 1/5 a 1/10; para estrutura de
aço uma seção típica seria o perfil I, laminado, e uma
relação h/l típica varia de 1/20 a 1/30.
59
d) Comparação entre I e I N N
Das (3.15) e (3.17):
1. Pt 6EI :: 3 I 1 3 12
1 2ES Pt 3 s- t2 t2 "
onde i é o rai.o de giração da seção transversal.
Para seção retangular, em concreto:
e, portanto:
0,250 (+) 2
Para a situação usual:
1 h 1 IN -rõ" s -r- s --s-- ~ 0,0025 s ~ s 0,0100
ou, I• varia entre 0,25% e 1% de I", usualmente.
Para perfil I, em aço:
i 111 0,390h ~ valor médio para vigas I, padrão a•ericano
e, portanto:
h2 ( h 12 3.0,3902 ~ - 0,456 -r-
Para a situação usual:
60
l h l IN ~ s -r- s ~ ~ 0,0005 s y;-- s 0,0011
ou, I" varia entre 0,05% e 0,11% de I", usualmente.
Com isso, usualmente, I" é desprezível diante de IN;
evidentemente, se se trabalhar com peças muito curtas,
principalmente metálicas, é interessante tomar um certo
cuidado: também é o caso de tomar cuidado ao tratar com
estruturas onde a flexão é parasita, como no caso de arcos
abatidos, com uma carga preponderante permanente e eixos
projetados para resistir sem flexão a essa carga permanente.
e) Comparação entre Iv e I"
Das (3.16) e (J.17):
cPt 6EI 2GS •---;tJ
o coeficiente .k depende essencialmente da forma da
seção e muito pouco do coeficiente de Poisson.
Para seção retangular de concreto:
c • 1,20
V 111 0,10
E -e;- - 2(1 + v) - 2,20
· e {,ortanto:
~: - 0,660 (+) 2
61
Para a situação usual:
1 h 1 IV -rõ s -,- s -s- ~ 0,0066 s -x; s 0,0264
ou, Iv varia entre 0,66t e 2,64\ de I", usualmente.
Para perfil I, em aço:
c 11 2,0
V 11 0 1 3
E -C- = 2(1 + v) 2,6
e portanto:
2,37 (+(
Para a situação usual:
1 h 1 ~ 30 s -,- s -rõ • 0,0026 s ~ s 0,0059
ou, I varia entre 0,26t e 0,59\ de I • V "
Dessa análise, então, se pode concluir que 1. ~
desprezível diante de I", tendendo a deixar de sê-lo ao se
trabalhar com barras de altura •uito grande e• relação ao
comprimento.
f) Conclusão do exemplo
Salvo casos excepcionais os desloca11entos e• peças
fletidas submetidas a wn carregamento pode• ser
calculados computando apenas as deformações provocadas pela
62
flexão; assim a (3.13) ficaria apenas como:
T = J ext eatr
ds M11 Mb Er° (3.18)
O cálculo de deslocamentos, então, além do natural
engenho em criar um estado de forças conveniente, ficará
restrito ao mero cálculo de integrais do tipo das que
aparecem na (3.9), na (3.13) ou na (3.18), valendo a pena
exemplificar alguns procedimentos mais gerais para casos
particulares e detalhar um pouco mais os casos mais
frequentes; isso será feito sempre a partir de exemplos
numéricos.
3.3.2. Exemplo 1 - Integração analítica
As funções envolvidas nos integrandos da expressão
(3.18) podem ser tais que seja viável efetuar a integração
analítica; seja o caso então de calcular o deslocamento
horizontal do apoio B na viga curva de eixo circular, e
seção transversal constante, da fig. 3.12.
p. 51 t
A
F io . 3 .12 - Exemplo l
63
E • 2100 ltlcm2
I • 40000 cm4
a) Estado de deslocamentos (o)
Do estado de deslocamentos (o), definido pelo
carregamento da fi9.1.12, interessa• apenas os 110J1ento•
fletores M0
, convencionados coao positivos se provocarem
ttação embaixo. t imediato calcular, ea função de a:
M PR ( v; - sen a) o s 9 s n
o -2- para -3-
M - PR ( v; + sen e) para - n s 9 s o o -2- -3-
Esses esforços são, evidentemente, simétricos.
b) Estado de forças (1)
O estado de forças ( 1) conveniente para deterainar o
deslocamento horizontal do ponto B, positivo se orientado da
esquerda pàra a direita, tem uaa única força externa,
unitária, horizontal, com essa aesma orientação: o momento
fletor M1
é facilmente calculável, na mesma convenção
adotada para M0
, em função de e:
M1
= R (cos a 1
-r
c) Cálculo do deslocaaento ~ ..
Do P. T. V. , desprezando o efeito das deforaaçóes
provocadas por esforço axial e por esforço cortante:
eetr
64
Sendo EI constante e ds
a simetria: R da tem-se, levando em conta
ou:
n [ v; J 3
cos9 d9 -
o
n
1 I 3 + - 2- sena d9 - h -4-
o
Como:
n n
I 3 cose
o
da 1
-03 sena
n
1 J 3 sena cosa dB -r o
1 (- 1 - 1)
3 -r -r ,-
rr n
h -2-
n
J 3 sen2a
o
n
I 3 sena
o
cosa d9 +
d2a 1 -4- COS2a
I 3 sena
o
da - cosa 1:= - (-i- - 1) =-}-
65
n
1:
tem-se:
6 HB
[+-ou:
ou ainda:
PR3 (!/ Er
n l PR3
4;-;--Er
PR:i 0,1716 -n-
r;--2-
3 0,1716 . 5.1000
2100.40000
J 1 1 - -a + -2-·-2-
10,21 CJI
J.J.3. Exemplo 2. Integração nullérica
h ·+] --4-
A integração numérica viabiliza a integração de
qualquer função por mais co•plexa que seja, desde que, ao
todo ou em parte, se estabeleça uma correspondência
biunívoca entre uma variável .1. qualquer e a variável .@.,
implícita nas funções que aparecem na (3.18) ou na (3.14), e
desde que se consiga calcular a função integrada em relação
a I ou .1., ponto por ponto.
66
Sendo~ a variável de integração e f(z) a função a ser
integrada num intervalo de z0
z
I J nf(z) dz
z o
a z , n
obtem-se I, dado por:
(J.19)
Para obter aproximações numéricas para I, a maneira
mais comum é utilizar, conhecendo a função f(z) nos (n+l)
pontos determinados pela divisão em n partes iguais do
intervalo de integração, a "regra do trapézio" e a "regra de
Simpson".
Sendo:
z -z Az n o
n (J. 20)
pela "regra do trapézio", obtida substituindo a função f(z),
em cada intervalo, por uma reta coincidindo com a função nos
pontos extremos do intervalo, obtem-se um valor aproximado
para I dado por:
I f(z )
Az[--2- º-
De mesma forma se se substituir a função f(z) em cada
dois intervalos consecutivos por uma parábola de 2o. grau,
tem-se, para n forçosamente par, outra aproximação para I
dada por:
I
67
(3. 22)
Da mesma forma poder-se-ia ter outras aproximações
análogas utilizando parábolas
substituindo a função em :m. de grau
intervalos
.!!l qualquer,
consecutivos,
tomando-se m como submúltiplo de n; para fins práticos em
geral isso é desnecessário, sendo mais interessante, para
obter melhor precisão, aumentar o número n de intervalos ou
sub-dividir a integração nuJlérica em trechos diferentes,
nos casos patológicos.
Tanto a regra do trapézio, expressa pela (3.21) quanto
a regra de Simpson, expressa pela (3.22), podem ser postas
como:
n I Az r k
1f(z
1) (3. 23)
1 =O
Para o caso da regra de trapézio:
k k 1
o n -2-(3. 24)
k k2 k 1 1 n-1
Para o caso da regra de Simpson:
k k 1
o n -3-
k k ks k 4 ••• = -3-1 3 n-1
(3. 25)
k k k k 2 .•• = -3-2 4 6 n-2
68
Como aplicação, seja o caso de calcular, usando a regra
de Simpson, o deslocamento vertical do ponto central da
viga de concreto, com seção retangular de largura b = 0,20m,
constante, representada na fig. 3.13.
r-· Ç'''" 111n11[~ ! 5,00 m _J E =200t 1 1cm
2
Fi9. Jl3 - Exemplo 2
No estado de deslocamentos (o), representado na
fig.3.13, é imediato calcular os momentos fletores M em
função da variável x lá definida; assim, em t, e m:
M 5,5 X o
M 5,0 + 9,5x -o
o parâmetro de
facilmente
EI
EI
em função de
33,33 (5+x) 3
J 33,33 (15-x)
para 0,00 s X s 5,00
2 5, CIO 10,00 X para s X s
rigidez EI também pode ser x; assim:
para 0,00 s x s 5,00
para 5,00 s x s 10,00
o
posto
Para calcular o deslocamento vertical do ponto central
69
da viga, cria-se um estado de forças (1) conveniente, com
uma carga externa uni tá ria na direção do deslocamento a
medir; assumindo a carga unitária como vertical, orientada
de cima para baixo, seria também imediato calcular os
momentos fletores nesse estado de forças; assim:
M1
= O,SOx para o,oo s x s 5,00
0,50 (10-x) para 5,00 s x s 10,00
Impondo o estado de deslocamentos (o) ao estado de
forças (1) ten-se, pelo P.T.V.:
o
Fazendo:
f(x)
tem-se:
1 o. 00
.Sv J f(x)dx
o
dx
Adotando n=lO, com Ax=lm, utilizando a regra de
Simpson, expressa na forma da (3 . 2 3) , com as k 1
definidas
pela (3.25), tem-se:
1 o .Sv ""'Ax [ k
1 f(x
1)
l = O
Com o auxílio da TABELA 3.3, da coluna "B":
70
ou:
1,00 . 0,012976 0,012976 m
.5 V
1,2976 cm
Utilizando a regra do trapézio chegar-se-ia a:
.5v = 1,2933 cm
TAR~:LA 1. 3 - F.xemp.1 o 2
l 2 3 4 5 1
6 7 8
Pont o X Ml M (1
EI f ( x1) k, k
1f(x
1)
() o.ou u,uu º·ºº 4167 u U,3333 u - - -·-
1 l,UU 0,5U 5,50 7200 O,UU0382 1. 3333 0,000509 · ·····-
2 2,00 l, 00 11,00 114 33 O,OOU962 0,6667 0,000641 ·-
3 ).00 1, 50 16,50 17067 0,U0145U 1, 3333 U,001933 ----
4 4 , 00 2 , 0U 22 ,00 24)00 0,001811 0,6667 0,001207 --
5 5,00 2,50 27,50 33333 O,U02063 1,3333 0,002751 ···--- ·-
6 6,00 2,00 26,00 24300 0,002140 0,6667 0,0U1427 -- ·-··--- ·-
7 7 ,ou l,5U 22,50 17U67 U,001978 1,3333 O,U02637 ·- -- - - -
8 8,00 1,00 17 .uo 11433 0,001487 0,6667 0,000991 -- ------- -
9 9,0U U,5U 9,50 72UU U,OUU66U 1 ; 3333 0,000880
10 10,00 º·ºº 0,00 4167 o 0,3333 o ' / 7 . ' / ; 7 , _// / , / / 7 / / _/ / /
I , 0,012976 , , / , / ./ / ,, / j ·' - /
71
3.3.4. Exemplo 3. Integração utilizando tabelas
Uma classe bastante comu• dentre as estruturas
fletidas, como pórticos e vigas, é aquela constituída por
trechos prismáticos, isto é, por trechos retos de seção
transversal constante, em toda a estrutura ou por trecho.
Sendo a seção tranversal constante em toda a estrutura,
uma expressão do tipo da (3.13) poderia ficar como:
T 1 J ext- ES N N • b ds + ~s J V V
• b ds + ~I J M M ds li b
eatr ••lr eatr
(3.26)
ou, então, com os considerandos do item 3.31, apenas:
T ext
M M ds a b
(3.27)
eatr
De qualquer forma, as funções a serem integradas se
reduziriam a produtos de apenas duas funções.
As cargas usuais, em geral consideradas em qualquer
tipo de pórtico ou viga, •uito frequentemente são complexas
no conjunto, mas quase se•pre são simples em cada trecho
reto, nunca indo além de forças ou mo•entos concentrados,
cargas uniformemente distribuídas e raramente cargas
linearmente distribuídas. Isso faz com que cada uaa das
funções envolvidas no produto a ser integrado seja, em cada
trecho, uma constante, uaa reta, u•a parábola de 2o.grau ou
no máximo uma parábola cúbica. Assim, raciocinando, por
questão de simplicidade, apenas co• a expressão ( 3. 27) ,
particionando-a em integrais por trechos retos, tem-se:
72
T ext (3.28)
Cada uma das funções M ou M pode ser, nas condições a b
usuais expressas acima, colocada como uma soma de funções
elementares, constantes, retas, parábolas de 20. grau ou
parábolas cúbicas; assim:
M M + M + ••. + M + •.• + M a at a2 af an
M b
M + M + ••• + M + ... + M bl b2 bk b•
e com isso a (3.28) ficaria então como:
T ext
1 EI
l
r [ J 1M M ds a I b 1
1
I + ••• + J 1
M M ds + . . • + .. J b k
o o
I + J 1M M ds ]
an b• (3 .29)
o
A TABELA 1, do ANEXO, fornece as integrais de produtos
de duas funções elementares f(s) e g(s) ao longo do trecho
reto de
expressa
define.
exemplo,
comprimento l;
em função do
A composição
f(s) e g(s)
respectivamente.
cada uma das funções elementares é
número mínimo de parâmetros que a
dessa tabela é simples; sejam por
definidos conforme fig.3.14.a e b
73
t • t-=--
1 1
1a1 ( b 1
fia . ~ . l .. - funç6e1 fltl e 11111
o valor tabelado na interseção da linha l com a coluna
1 v pode ser facilmente calculado: assim, sendo:
b f(s) • "T" s
(3-a. • g(s} - a. + --i-
tem-se:
o
ou:
cxb Jl 1- "T" sds + o
ou, ainda:
o
l b(fJ-a.) J s 2 ds
tª o
74
cxb -r
l2 2+
l b( 11-a.) _l_
la • 3
I 1 t -r b(a + 2~)
Como exemplo de aplicação, seja o caso de calcular a
rotação relativa
fig.3.15.a. Os
na articulação B
momentos fletores
da viga prismática
M desse estado o
deslocamentos (o) estão representados na fig.3.15.b.
1 a J
14,33
1b1
E I 1200 tf m 2
Mo
1 tf m)
E
Fi9 . 3. 15 - Exemplo _3 - Estado de deslocamentos 101
da
de
O estado de forças ( 1) conveniente para calcular a
rotação relativa, assumida como positiva se com "bico em
cima", está representado na fig.3.16.a. Os momentos fletores
M desse estado de forças estão representados na fig.3.16.b. t
75
:;:0.~~hJ~~·P·'.································ .. ·······································
1 l
1 a l )o(
E
Fi9 J 16 - Exemplo J · Estada de for~as ( 1 l
Impondo o estado de deslocamentos (o) ao estado de
forças (1), tem-se, do P.T.V.:
e•lr
ds MIMO EI
sendo EI constante em toda a estrutura, pa·rticionando a
integral em trechos i visando posterior utilização, com novo
particionamento, da TABELA l, tem-se:
EI ti . rB
[ 1
com:
t I = f 1
M M ds 1 1 o
o
a) Trecho AB; t1
2 m
76
/•(~ +~º}(~1,0 )ds o 14,JJ
l,JJJ
Ao efetuar o produto, interessa o sinal relativo das
ordenadas, não importando, no caso de momentos fletores, o
que se convenciona como positivo; assim, da TABELA 1, linha
2 com coluna IV e linha 7 com coluna IV:
+ i,o) = -16,35
b) Trecho BC; t2= 4 m
77
X · .c/í;i;.'iÍ.l.llíl' ' ---------------..-----------------
Da TABEIA 1, linha 3 com coluna IV e linha 1 co• coluna
IV:
4. ! .10,61(1,0 + 2.0,333) + 4.+.J,000(1,0 +
+ 0,333) = 17,18
c) Trecho CD: l3
2 JD
t ~l,0 Jtl ~)(~)d J3( )(~)ds+ ( s o 0,67 0,333 o
Da TABEIA 1, linha 4 com coluna II e linha 7 co• coluna
II:
I3= 2.-i-(2.10,61 - 3,oo)o,333 + 2.-j-.o,15.o,333
2,20
d) Trecho DE; 14= 2 m
o
Com isso:
78
ou:
EI• rB -16,35 + 17,18 + 2,20 + ~ · 3,03
Substituindo o valor de EI :
3,03 1200
• = 8'41" rB
0,00253 rd
Seria interessante analisar, neste mesmo item, também o
caso bastante frequente de se ter estrutura prismática por
trechos, isto é, com EI constante por trecho. Nessa
condição EI pode ser colocado em evidência em cada trecho i prismático,
a forma:
T e x t
ficando uma expressão do tipo da ( 3 . 18), com
(3 . 30) o
Por questão de simplificação no manuseio das parcelas
que compõem o deslocamento, chegando a uma expressão do tipo
da (3.28) para EI constante, é possível fazer uma mudança
de variável de integração em cada trecho ,i,. Assim, sendo Ec
e I e valores de comparação
poder- se-ia, na (3.30), colocar E
quaisquer para E e I,
e I em evidência, tendo: e
T ext
1 t" J' 1 EI L MaMb e e 1
E I e e
ds (3.31) E I 1 1 o
79
Mudando em cada trecho i a variável ~ por uma variável
s' definida por: 1
s' 1
E I e e
S (3. 32)
para efetuar cada integral i•pl íc i ta na ( J. 31) , a única
providência a ser tomada é •udar o li•ite de integração, já
que, com o uso da TABELA 1, não há necessidade de explicitar
as funções M., e Mb
fica:
T ext
com:
l 1
,
na nova variável s'. 1
Assim, a (3.31)
(3.33)
(3.34)
Ao l definido pela (3. 34) pode ser . dado o nome de 1
comprimento fictício ou comprimento elástico fictício: com
ele um deslocamento numa estrutura prismática por trechos
pode ser calculada pela (3.33), em tudo semelhante à (3.28),
apropriada para o caso de EI constante.
Como exemplo complementar, seja o caso de calcular o
deslocamento horizontal do ponto D para a estrutura e
carregamento da fig.3.17.a. Nesse estado de deslocamentos
(o) o diagrama de momentos fletores está representado na
fig. 3. 17. b.
80
( 1,0 t1 /m
E' 2100 tr/cm2
j '5000 cm4
f a 1 ( b 1
Fi9 317 - Exemplo complementar - Estado de deslocamentos (0)
O estado de forças ( 1) conveniente para determinar o
deslocamento horizontal do ponto B, positivo se orientado da
esquerda para a direita, está representado na fig. 3.18.a. o diagrama de momentos fletores M
1, correspondente, est4
representado na fig.3.18.b.
1 Q 1
1,875 1, 8 7 5 "\., ,+.M"'l'.,.....~.o:i.;.u..1....L..L...1..1~L.,
1b1
F i 9 3 18 - E iemplo complementar - Estado de forças f l 1
81
Iapondo o estado de deslocamentos (o) ao estado de
forças (1) tea-se do P.T.V.:
eetr
ou, adotando valores de comparação E c·I e:
E 1 6 e e HB
MM l o
o
E 1 e e
E 1 1 1
ds
Mudando a variável de integração para variáveis coa
validade restrita a cada trecho prismático, tea-se:
Esses comprimentos fictícios consta• da fig. 3 . 19.
82
e o .... t.i
2,00m 0,80m
e ~ õ
Fi9 J .19 - Comp timenlos f ict í c ios
Utilizando convenientemente a TABELA 1:
E 1 c5 e r. H D
1 7 -2,50.-3-.2,19.1,875 + 2 , 50 . -w.13,89".l,875 +
1 1 2,00.-3-.2,19.1,875 + 2,00.-3- .2,00 . 1,875 +
1 1 + 0,80. - 3- .13,81.1 , 875 - 0,80. 3 ·- .2 , 00.1,875 +
1 + 0,60. - 3- .13,81.1,875 18,819
Sendo:
.E I EJ 2100 . 5000 1,05.107 t cm 2 1050 tm 2
e e f f
tem-se:
c5 = 18,819 0,0179 m 1,79 cm 48 1050
83
3.4. DESLOCAMENTOS EM OUTROS TIPOS DE ESTRUTURA
3.4.1. Outros tipos usuais de estrutura
Combinando-se as técnicas de integração utilizadas nos
itens anteriores e aplicáveis a treliças e a estruturas
f latidas poder-se-ia, em princípio, calcular deslocamentos
em qualquer tipo de estrutura, plana ou mes•o espacial,
simples ou mista; vale a pena ressaltar, através de
exemplos, alguns casos como o de pórticos ou arcos
atirantados, vigas sobre apoios elásticos e grelhas.
3.4.2 . Exemplo 1 - Pórtico atirantado
Num pórtico, viga ou arco atirantado, ou num pórtico
parcialmente treliçado, o cálculo de deslocamentos devidos a
cargas seria feito com uma expressão do tipo da (3 . 13),
desprezando, com as considerações do item 3.31, as parcelas
correspondentes aos esforços axiais e cortantes, só que I
agora só na parte da estrutura submetida a flexão; na parte
da estrutura submetida a esforço axial apenas, e portanto,
com seções transversais em geral com áreas •uito pequenas,
não seria prudente desprezar, a priori, essas contribuições .
Assim a (3.13) seria reduzida a:
T = f ext
M
M., E~ ds + f (3.35)
c / fle x a / flex
Seja o caso, então, de calcular o deslocamento vertical
da articulação B, do pórtico, ou arco poligonal, de
concreto, com um tirante de aço, da fig.3.20.a. Na
fig. 3. 20 . b. estão anotados os esforços relevantes nesse
estado de deslocamentos (o),isto é, os momentos fletores M
no arco e o esforço N no tirante. ot
84
o
N0 t = 4,08
E = 200 t 1 /c m2
I = 50 0 0 0 c m4 S t = 3 cm2
( a 1 ( b )
F ig. 3. 20 - E•emplo l - Estado de des l o cam entos (o 1
O estado de forças ( 1) conven i ente para c a l c ula r o
deslocamento vertical de B, positivo se orientado de c i ma
para bai xo, consta da f i g.3.21 . a . Na f ig.3 . 21.b, estão
anotados os esf or ços r elevantes, i sto é, os momentos f l e t ores
M no pórtico, e o esforço N no tirante. t lt
( a )
Nu =l,16 7
M1 lml N11 (ad i m. )
( b )
F i g. 3 21 - E • em plo l - Est ado de forç as ( l )
8 5
Impondo o estado de deslocamento-a (o)
forças ( 1), tem-se, desprezando parcelas
importância, conforme já discutido:
M ds o "1-n- + J
p6rt.lco tlranle
ao estado de
de pequena
Para o caso de EI constante e um tirante único, fica-se
então com:
c5 VB
l 1 I: J 1
M H ds + N N ~ 1 o lt. oi o
Utilizando convenientemente a TABEIA 1, obtém-se:
a = 1 (-3,61 • + . J.08 .0,833 +
y B 200. 50000 .10-4
1 1 -3,61.~3-.1,13.0,833 - 4,12 • ~3- . 3,08 . 0,833 +
1 1 - 4,12 • ~3- . 2,00. 0,833 + 4,12 . ~3--2,92 . 0,833 +
1 ) 14,00 + 3,61 . ~3-.2,92 • 0,833 + 1,167.4,08- 2100.J
= -0,00376 + 0,01058 0,00682 m
ou:
c5ve 0,682 cm
86
Desprezando
obtido:
a deformação axial do tirante
3. 4. 3. Exemplo 2 - Viga com vínculos elá.sticos
ter-se-ia
Em vigas, pórticos ou arcos que tenham apoios não
infinitamente rígidos, a deformação desses apoios influi no
cálculo de qualquer deslocamento da estrutura~ pensando em
vínculos elásticos com uma rigidez kJ ao deslocamento
linear, numa expressão do tipo da (3.9) ter-se-ia que
computar, além das parcelas correspondentes à deformação d•b
devida à flexão, também a devida à deformação dub dos apoios
elásticos, ou molas~ obtendo-se:
T e X t.
(3.36)
eatr •o 1 as
Sendo N8
constante em cada mola j, a segunda parcela da
(3.36) pode ser posta como:
I N du a b
mola• •ola
du b
Como a mola i tem rigidez, ou constante de mola, k , e J
sendo NbJ o esforço nessa mola, tem-se:
lll bJ
Com isso a expressão (3.36) fica na forma:
87
T ext
M ds
I M b +I:4-N N a-ri- li. aJ bJ
J J e li t r
(3. 37)
Como exemplo numérico seja então o caso de calcular a
rotação relativa na articulação B da viga de EI constante da
fig.3.22.a, apoiada sobre molas de mesma rigidez K· Os
esforços internos relevantes, isto é, os momentos fletores
M na viga e os esforços axiais N nas molas, nesse estado o oj
de deslocamentos (o), estão anotados na fig.3.22.b.
P'lt1/m
lfjlllllllllllJl 1
l f..l ! J 6m -i= lOm J
E I • 1000 t1 m2
k,20011/m
(o)
10,0
1 b)
Fig . 3.22 - Exemplo 2 - Estado de deslocamentos (o 1
O estado de forças ( 1) , conveniente para calcular a
rotação relativa na articulação e, assumida como positiva se
provocar "bico embaixo", está esquematizado na fig. 3. 23 .a: na fig.3.23.b estão anotados os esforços relevantes, M na
t viga e N nas molas.
IJ
88
1 1 N12= - 0,333
M1 (odim. I
N1j(m-1l
1 a J ( b )
FiQ 3 23 - Exemplo 2 - Estado de forças ( 1 1
Impondo o estado de deslocamentos (o) ao estado de
forças (1) tem-se, do P.T.V. com as adaptações implícitas na
(3.37):
J M ds
1 IP rB
M o
+ [ N N 1 EI k 1 J o j
vlga J
Sendo EI constante e as molas todas iguais tem-se:
IP r e
Utilizando convenientemente a TABELA 1:
1 1000
1 1 ~3- . 1,25.10,0 - 6 • ~3- . 1,25.4 , 5 +
1 1 + 10 . ~3- . 1,25 . 10,0 - 10 . ~3- 1,25.12,5) +
+ 2~0 (-0,208 . 1,33 + 0,333.10,67 - 0,125.4,00)
89
0,00333 + 0,01388
f> r B 0,01121 rd 59'10"
Desprezando a deformação nas molas ter-se-ia:
f> = 0,00333 rd = 11'27" B
3.4.4. Exemplo 3 - Grelha
Uma grelha é definida como uma estrutura plana
apropriada para receber carga normal ao seu plano. Em sua
análise estarão envolvidos, a semelhança dos pórticos
planos, apenas três esforços internos e consequentemente
três deformações provocáveis pelas cargas previstas; a
diferença é que esses esforços internos serão agora um
esforço cortante normal ao plano da grelha e um momento
geral nesse plano; esse momento pode ser considerado como
consistindo de duas componentes, uma de flexão, normal ao
eixo da barra, e uma de torção, axial à barra. Não se
demonstrou o P. T. V. para casos incluindo torção por mera
questão didática, mas acredita-se ser fácil aceitar, sem
maiores considerações, sua validade para o caso.
Um estado de deslocamentos ( b) incluiria a deformação
d~b do elemento de comprimento ds; no caso de d~b ser
provocado por um carregamento poder-se-ia complementar as
(3.10) a (3.12) com:
T ds b
GJ t
(3.38)
e a expressão análoga a (3.13), obtida do P.T.V. e aplicável
90
ao caso, seria:
T exl J cvb J V ds + .. --c;s-
Mb J M., ~ ds +
eatr estr e s t r
(3. 39)
Por motivos já discutidos no item 3.3.1, a primeira das
integrais da expressão ( 3. 39) pode, em geral, ser
desprezada; a última delas, como se verá, é muito grande
comparada com a segunda, podendo-se cogitar em alguns casos
de desprezar essa segunda contribuição.
seja então o caso de se calcular o deslocamento
vertical do ponto B para a grelha com barras ortogonais e
seção transversal constante, vista em perspectiva na fig.
3. 24. a. Para esse estado de deslocamentos (o), os esforços
internos relevantes, M e T , constam das fig. 3. 24. b e c, o o
respectivamente.
E = 200 lf /cm2
G= 90 t1/cm2
l = 200 000 cm4
J 1= 100000 cm4
'ª,
Mo
( lt m)
( b)
lo (lf m)
(>o horário )
1 e l
Fi9 . J .24 - Exemplo J - Estado de deslocamentos 1 o l
o estado de forças ( 1) conveniente para calcular o
deslocamento vertical do ponto B, positivo se orientado para
baixo, consta da fig . 3. 25 .a. Nas fig. 3. 25 .b e c, estão
anotados os esforços internos relevantes M l
e
91
respectiva11ente.
Tl e t, m 1
(>o horciriol
1 a 1 e b 1 1 e 1
F iCJ 3 25 ·- Exemplo 3 - Estada de forças 1 l I
Impondo o estado de deslocamentos (o) ao estado de
forças (1) tem-se, do P.T.V.:
+
J M
o MI EI ds +
eatr J
T o
T1
GJ ds t
e e t r
Para o caso particular de seção transversal constante:
~ VB
1 EI E
o
T T ds 1 o
Utilizando convenien.temente a TABELA 1:
1 1 • 2. 2.~3-· 2,00.3,00 +
200. 200000 .10- 4
1 • 3.2,00.3,00
90 .100000 . 10-4
92
~VB 0,0020 + 0,0200 0,0220 Ili 2,20 cm
Observe-se que a parcela do deslocamento provocada pela
torção é significativamente grande comparada com a devida a
flexão; essa grelha em particular é muito flexível à
torção.
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CAPfTU..O IV
O PROCESSO DOS ESFORÇOS
4.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS
o processo dos esforços é certamente o processo mais
siaples para resolver estruturas hiperestáticas, rompendo a
indeterminação dos esforços internos e
tipo de estruturas. Numa estrutura
das reações nesse
hiperestática as
condições de equilíbrio não são suficientes para determinar
esses esforços internos e reações: existem infinitas
possibilidades de se ter equilíbrio, donde a necessidade de
se gerar equações adicionais, provenientes de hipóteses
adicionais, para resolver o problema: essas equações
adicionais se caracterizarão, no caso da estática clássica,
como condições de compatibilidade, ou condições de coerência
de deslocamentos, donde a ênfase que se deu, no capítulo
anterior, ao cálculo de deslocamentos.
O processo dos esforços se caracteriza essencialmente
por se procurar determinar esforços em número igual ao grau
de indeterminação estática, ou grau de hiperestaticidade;
conhecidos esses esforços, arbitrados como incógnitas
hiperestáticas, com as condições de equilíbrio se determinam
os diagramas de esforços internos e as reações.
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