Procesos Digitales

1

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA EINGENIERÍA DE SISTEMAS

Unidad docente de Electrónica y Automática

Capítulo 12:

Introducción al Procesamiento digital de Señales

Capítulo 12: Introducción al Procesamiento digital de Señales Carlos Platero

2 FAIS-UPM-DOC002-99

�� INTRODUCCIÓN AL PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES ............................... 3

12.1 CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE SISTEMAS DISCRETOS...........................................................412.1.1 ESTABILIDAD DE UN SISTEMA DISCRETO.......................................................................712.1.2 RESPUESTA EN FRECUENCIA DE UN SISTEMA DISCRETO................................................712.1.3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA SECUENCIA........................................................912.1.4 TRANSFORMADAS Z.....................................................................................................1012.1.5 MUESTREO DE SEÑALES...............................................................................................13

12.2 FILTROS DIGITALES ............................................................................................................1712.2.1 FILTROS DE FASE LINEAL O NO DISPERSIVOS...............................................................19

12.3 DISEÑO DE FILTROS NO RECURSIVOS (FIR) ......................................................................2112.3.1 DISEÑO DE LOS FILTROS MEDIANTE SU RESPUESTA EN FRECUENCIA...........................21

12.4 DISEÑO DE FILTROS RECURSIVOS (IIR) .............................................................................31

12.5 IMPLEMENTACIÓN DE LOS FILTROS DIGITALES ...............................................................35

12.6 EFECTO DE LA CUANTIFICACIÓN EN LOS FILTROS ...........................................................3712.6.1 EFECTOS DE TRUNCAMIENTO Y REDONDEO.................................................................3712.6.2 CUANTIFICACIÓN DE SEÑALES.....................................................................................3912.6.3 CUANTIFICACIÓN DE LOS COEFICIENTES......................................................................4112.6.4 CUANTIFICACIÓN DE RESULTADOS DE OPERACIONES..................................................42

12.7 BIBLIOGRAFÍA .....................................................................................................................43

Carlos Platero Electrónica industrial

FAIS-UPM-DOC002-99 3

�� Introducción al Procesamientodigital de Señales

Este es un capítulo de síntesis donde se unen las disciplinas de la Ingenieríaelectrónica con las Ciencias de la Computación. Sin duda alguna es un buen referente paracerrar de alguna forma el bucle de conocimientos dados tanto en la Electrónica industrialjunto con los Servosistemas para agregar los impartidos en Cálculo automático. Sinembargo, no está en la idea de este capítulo, introductorio al Procesamiento digital deSeñal, integrarlo con los problemas de codificación en algún lenguaje de programación, yasea de bajo o de alto nivel; por lo que no se van a ver referencias a la implementación de laalgoritmia y a los problemas circundantes de programación en tiempo real. No obstante, sevan a emplear algunos ficheros en Matlab, esto es, en lenguaje de alto nivel, depositadoséstos en www.fais.upm.es, para mejorar el entendimiento del significado del tratamiento deseñales digitales.

Cada vez tiene mayor importancia en la ingeniería el procesado de señales digitales,en ella, sobre todo, se ha catalizado por el aumento de potencia de los ordenadores con unabajada drástica de los precios. Tanto es así que hay en el mercado desde hace algunos añosprocesadores específicos para el procesamiento digital, denominados por las siglas DSP(Digital Signal Processor). Pero hasta hoy en día, los diseños de procesadores genéricosson ampliados en registros e instrucciones para poderlas destinarlas a tareas deprocesamiento de señales, sea el caso más llamativo del conjunto de instrucciones MMXinsertadas en la familia INTEL a partir del mítico PENTIUM.



Por sólo hablar de las aplicaciones industriales que se sustentan en procesamientodigital de señales se podrían citar algunas tales como:

Instrumentación electrónica:a) Filtrado de señalesb) Osciloscopios digitalesc) Analizadores de espectro

Electrónica de Potencia:a) Señales de disparo sobre SCRs, IGBTs, MOSFET, …

Control:a) Reguladores discretosb) Controladores de robots

Procesamiento de imágenes:a) Filtrado de imágenesb) Reconocimiento de Formasc) Compresión y descompresión de imágenes

Procesamiento de sonidoa) Identificación de fonemasb) Voz sintética

Por la importancia de esta materia y por la estructura del propio temario esnecesario al menos dedicar algunas clases a la introducción al Procesamiento digital. Sinembargo y debido a la acotación temporal, de todos los posibles aspectos concernientes alprocesado digital de la señal, este tema se centra sólo en el diseño de filtros digitales, yaque se encuentra íntimamente ligado con el anterior capítulo dedicado al procesadoanalógico de señales, así como por ser éste, capítulo final del segundo trimestre y culminede esta manera la introducción a la Instrumentación electrónica.

Por último, hay que recordar que se van a utilizar los conceptos básicos sobresistemas discretos, los cuáles están incluidos en la asignatura de Servosistemas. Y si bienes cierto que el tercer trimestre de esta asignatura se dedica al estudio de los sistemasdiscretos, esta unidad desea ser autocontenida, bien por que el alumno no lo haya cursadotodavía bien por que le pueda servir de repaso, de ello se desprende que en un principio sevan a ver los conceptos básicos sobre sistemas discretos para luego entrar de lleno en loque respecta al diseño de filtros digitales.

12.1 Conceptos básicos sobre sistemas discretos

Posiblemente lo primero en preguntarse sería ¿ qué es un filtro digital ?, pues bien,según se estudió en el anterior capítulo sobre Tratamiento analógico de la Señal, los filtrosanalógicos tratan de extraer alguna característica de la señal de entrada; en términosfrecuenciales, se hablaba del paso de una determinada banda del espectro de la señal deentrada. Por tanto, los filtros digitales son sistemas discretos que tratan de extraer algunacaracterística de una señal muestreada.



Pero ante esta definición, aparecen los vocablos típicos del Control digital, talescomo señal muestreada o sistema discreto. Por lo que se va a proceder a describir losconceptos básicos sobre sistemas discretos.

En primer lugar, se puede decir que los sistemas discretos se caracterizan por quesus entradas y salidas son secuencias de valores; y una secuencia se puede definir comocualquier conjunto numerado de elementos, es decir, haciendo corresponder a cada númeroentero un elemento de un conjunto se obtiene una secuencia en dicho conjunto.

La forma general de representar una secuencia es {xk} en donde k, entero asociadoal elemento, es el índice del mismo. Este índice podrá ser positivo o negativo.

{ } { }kxxxxxx ⇔−− ,...,,,,..., 21012

El índice 0 es el origen de la secuencia.

Habiendo definido el concepto de secuencia, al que en breve se asociará con elresultado del muestreo, el término de sistema discreto ya queda más claro. Un sistemadiscreto es un algoritmo que permite transformar una secuencia en otra.

}{}{ kk xfy =

Como ejemplo de sistema discreto se podría considerar cualquier programa decomputador que transforme una tabla de valores en otra. Los sistemas discretos puedenclasificarse en estáticos o dinámicos. Un sistema discreto es estático cuando el elemento dela secuencia de salida de un cierto índice depende únicamente del elemento de la secuenciade entrada del mismo índice. En caso contrario, el sistema se denomina dinámico, esto es,la secuencia de salida de un cierto índice depende de las secuencias de entrada y salida deórdenes distintos al suyo.

Un sistema discreto es causal si el valor de un elemento de la secuencia de salidadepende únicamente de la secuencia de entrada y salida de menor o igual índice.

(12. 1 )

(12. 2)

Figura 12. 1 Sistema discreto



( ),...,,,...,, 2121 −−−−= kkkkkk xxxyyfy

Los sistemas discretos que no verifiquen esta propiedad se denominan no causales.Si la función que relaciona cada elemento de la secuencia de salida es lineal, el sistema sedenomina asimismo lineal. Centrados en los sistemas dinámicos causales, un sistema serálineal, si la función expresada en (12. 3) es lineal, es decir, de la forma:

mkmkknknkkk xbxbxbyayayay −−−−− +++++++= ...... 1102211

Cuando ai y bi son constantes se dice que el sistema lineal es invariante. Un sistemalineal invariante verifica el principio de linealidad.

En el presente tema sólo van a ser considerados los filtros digitales que seansistemas discretos dinámicos lineales e invariantes por lo que normalmente se omitirán losadjetivos para su definición. Las ecuaciones usadas para definir estos sistemas sedenominan “ecuaciones en diferencias” y juegan un papel similar al de las ecuacionesdiferenciales lineales en los sistemas continuos.

Se denomina secuencia de ponderación a la que se obtiene en la salida del sistemacuando se aplica a la entrada una secuencia tipo impulso.

{ } { },...,,,,..., 21012 ggggggk −−=

Si el sistema es causal gk es igual a cero para k < 0.

(12. 3)

(12. 4)

(12. 5)

Figura 12. 2 Linealidad de los sistemas discretos dinámicos lineales einvariantes



Para obtener la secuencia de salida sobre un sistema lineal ante una secuencia deentrada dada habrá de aplicar el operador convolución discreta, definiéndose éste como:

{ } { } { } { } { }kkkkk gxxgy ** ==

donde {gk} representa la secuencia de ponderación. En ellas cada elemento de lasecuencia de salida es calculada por la expresión:

∑∑∞

−∞=−

∞

−∞=− ==

nnnk

nnnkk gxxgy

12.1.1 Estabilidad de un sistema discreto

Se dice que un sistema discreto es estable si, ante cualquier secuencia de entradaacotada la secuencia de salida es también acotada.

Para sistemas lineales, la condición de suficiencia de estabilidad debe cumplir quela secuencia de ponderación sea absolutamente sumable:

∞<∑∞

−∞=nng

12.1.2 Respuesta en frecuencia de un sistema discreto

Tal como se estudió en el capítulo 2, al excitar un sistema continuo con señalessinusoidales, permite desarrollar el análisis en el dominio de la frecuencia de dichossistemas. De manera paralela en los sistemas discretos se va a ver como se puede obteneruna representación de los mismos que sirvan para caracterizarlos.

Sea un sistema de secuencia de ponderación {gk} y considérese que su entrada esexcitada por una secuencia del tipo:

{ } { }ωjkk ex =

Cuyos elementos son función de un parámetro de ω. La salida del mismo será,según (12. 7), la secuencia:

( ) ∑∑∞

−∞=

−∞

−∞=

− ==k

kjk

nj

k

knjkn egeegy ωωω

El índice de la secuencia es n, con lo que el sumatorio es un factor independiente deeste índice, por tanto:

(12. 6)

(12. 7)

(12. 8 )

(12. 9)

(12. 10)



{ } { }njkjkn eegy ωω

= ∑

∞

∞−

−

Si se define la función

( )

= ∑

∞

∞−

− kjkegG ωω

La expresión queda:

{ } ( ){ }njn eGy ωω=

Esta expresión permite ver como, cuando el sistema es excitado ante una secuenciatal como la (12. 9), cualquiera que sea ω, los elementos de la secuencia de salida soncalculados multiplicando las correspondientes de la entrada por el operador G(ω).

Este operador G(ω), definido por (12. 12), se denomina respuesta en frecuencia delsistema discreto considerado. Es una función del parámetro real ω y periódica respecto aél, como puede apreciarse observando (12. 12). Su periodo es 2π. La respuesta enfrecuencia es así mismo una función compleja requiriendo cualquier representación gráficade la misma en dos curvas, por ejemplo, haciendo uso del diagrama de Bode.

Imponiendo las condiciones adecuadas a la función de periódica G(ω), continuidada trazos con derivadas de variación acotada en los intervalos de continuidad, entonces laexpresión (12. 12) es el desarrollo en series de Fourier de G(ω), siendo los elementos de lasecuencia de ponderación, {gk}, los coeficientes de dicho desarrollo. Este hecho permiteutilizar la expresión del cálculo de los coeficientes del desarrollo para obtener el valor de lasecuencia de ponderación a partir de la respuesta frecuencial. Se tiene así que:

( )∫−

=π

π

ω ωωπ

deGg kjk 2

1

Esta expresión (12. 14) permite realizar la operación inversa a la efectuada en (12.12). Antes, de la secuencia de ponderación, {gk}, se obtenía la respuesta en frecuenciaG(ω), mientras que ahora, con (12. 14), de esta función G(ω) se obtiene la secuencia deponderación.

De igual forma que se vio en el diseño de filtros analógicos, se puede establecer unaestrategia de definición del filtro digital mediante su función de transferencia a partir de larespuesta frecuencial deseada. De manera que se puede plantear la determinación de susecuencia de ponderación a partir del conocimiento de su respuesta frecuencial y medianteel uso de (12. 14). Por ejemplo, en la figura 12.3 se observa la respuesta en frecuencia de

(12. 11)

(12. 12)

(12. 13)

(12. 14)



un filtro paso bajo, contemplándose que ésta estará definida entre ±π, por el carácterperiódico de la respuesta en frecuencia de sistemas discretos.

12.1.3 Transformada de Fourier de una secuencia

La forma de asociar a la secuencia de ponderación {gk} de un sistema la funciónG(ω), puede ser extendida a cualquier secuencia que cumpla determinadas propiedades.Así se construye lo que se denomina transformada discreta de Fourier de una secuencia.

De este modo, dada una secuencia {xk}, se define su transformada de Fourier comola función:

( ) ∑∞

∞−

−= kjkexX ωω

Esta función es igualmente periódica, de periodo 2π, y en las condiciones antesindicadas es un desarrollo en serie de Fourier, lo que permite definir la transformadainversa:

( )∫−

=π

π

ω ωωπ

deXx kjk 2

1

La transformada de Fourier de una secuencia es una función compleja, siendousualmente representada gráficamente por sus curvas de módulo y argumento.

(12. 15)

(12. 16)

Figura 12. 3 Respuesta frecuencia de un filtro paso bajo discreto



Y al igual que ya se vio en los sistemas continuos, la utilidad más importante que seva a hacer de la transformación de Fourier es la que se deriva de la relación existente entrelas transformadas de Fourier de las secuencias de entrada y salida de un sistema discreto ylineal y su respuesta en frecuencia, de manera que:

( ) ( ) ( )ωωω XGY =

Esta relación permite tratar los sistemas discretos de una manera semejante a loscontinuos, calculando el valor de la secuencia de salida según el procedimiento indicado enla figura 12.4, esto es, a partir de la respuesta en frecuencia del sistema y de latransformada discreta de la secuencia de entrada, se determina la transformada de lasecuencia de salida, según (12. 17), y se aplica la transformada inversa, obteniendo lasecuencia de salida.

12.1.4 Transformadas z

La variable compleja z es una transformación no lineal de la variable ω de Fourier,con el objeto de que la función de transferencia del sistema discreto obtenida de estatransformación sea racional.

Dada una secuencia real {xk} se define su transformada en z como una funcióncompleja:

( ) { } ∑∞

−∞=

− ∈==k

kkk CzzxxZzX

(12. 17)

(12. 18)

Figura 12. 4 Relación fundamental de los sistemas discretos



En estas expresiones se pueden observar las ventajas de, por una parte, no serfunciones periódicas, y por otra, de ser racionales. Además, es fácil ver que la definiciónde transformada de Fourier a z, se consigue haciendo

ωjez =

Así, por ejemplo, la transformada en z de una secuencia impulso será:

{ } { } ( ) ∑∞

−∞=

− ===∆⇒=k

kkk zzz 1,...0,0,1 0δδ

La transformada de la secuencia en escalón resultará:

{ } { } ( ) ∑ ∑∞

−∞=−

∞

=

−−

−=

−===⇒=

k k

kkkk z

z

zzzxzXX

11

1,...1,1,1

10

Otro ejemplo típico, generalización del anterior, es la secuencia exponencial:

{ } { } ( ) ( )∑ ∑∞

=

∞

=

−− ==⇒=0 0

132 ,...,,,1k k

kkkk azzazXaaax

que, por ser una serie geométrica, será convergente para 11 <−az , es decir |z|>|a|, y

su suma valdrá:

( )az

z

azzX

−=

−= −11

1

Por último, la transformada del desplazamiento será:

( ) ( )∑∑∞

−∞=

−−−−−

∞

−∞=

−−− ===

k

nnnknk

k

knknk zXzzzxzxxZ )(

12.1.4.1 Función de transferencia en z

Dado un sistema discreto definido por su secuencia de ponderación {gk}, cabeconsiderar, si existe, su transformación z, G(z). Teniendo en cuenta la relación deconvolución entre entrada, ponderación y salida y la relación entre la convolución de dossecuencias y sus transformadas, un sistema como el de la figura 12.5, verifica que:

(12. 19)

(12. 20)

(12. 21)

(12. 22 )

(12. 23)

(12. 24)



( ) ( ) ( )zXzGzY =

El operador G(z), transformada z de la secuencia de ponderación del sistema sedenomina función de transferencia en z del sistema considerado.

Esta función de transferencia del sistema puede ser calculada a partir de la ecuaciónen diferencias que lo define. Partiendo de la ecuación que define el comportamiento de unsistema dinámico lineal:

mkmkknknkkk xbxbxbyayayay −−−−− +++=++++ ...... 1102211

Y calculando ahora la transformada z de las partes de la igualdad y teniendo encuenta las propiedades de linealidad y desplazamiento, se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zXzbzXzbzXbzYzazYzazYzazY mm

nn

−−−−− +++=++++ ...... 110

22

11

Entonces la relación entrada/salida del sistema será:

( ) ( )zXzazaza

zbzbbzY

nn

mm

−−−

−−

+++++++

=...1

...2

21

1

110

Y por tanto la función de transferencia del sistema será:

( )n

n

mm

zazaza

zbzbbzG −−−

−−

+++++++

=...1

...2

21

1

110

(12. 25)

(12. 26)

(12. 27)

(12. 28)

(12. 29)

Figura 12. 5 Condición de relación de transformadas



12.1.4.2 Transformada inversa

Se plantea el problema inverso, obtener la secuencia {xk} a partir de sutransformada en z, X(z). Para el caso de tener X(z) en forma de función racional, se puedecalcular de forma sencilla a partir del teorema de los residuos, estableciendo que:

( ) [ ]∑∫ −− == C de interiores polos los para de residuos2

1 11 n

c

nn X(z)zdzzzX

jx

π

siendo C una curva cerrada que envuelve el origen.

En el caso de secuencias con términos únicamente de índice positivo, o únicamentenegativo, se puede utilizar el cálculo de los coeficientes mediante el método de la divisiónlarga.

Una posibilidad más de cálculo de la transformada inversa es por descomposiciónen fracciones simples. Si X(z) es racional, con todos sus polos simples y el grado delnumerador inferior al del denominador, entonces:

( ) ∑=

−−=

N

ii

i

i

za

AzX

1 1

y la transformada inversa será la suma de las transformaciones inversas, que, en elcaso de secuencias de índice positivo, será transformada en una suma de secuenciasexponenciales y por tanto en este caso:

0 para0

0 para1

<=

≥= ∑=

kx

kaAx

k

n

i

kiik

12.1.5 Muestreo de señales

La idea de muestras referidas a un sistema basado en un computador digital, seconcreta en la toma de valores de una señal continua en sucesivos instantes de tiempo. Elmuestreo de señales consiste en la construcción de secuencias a partir de señales continuas.Un problema que salta a la vista es la pérdida de información.

En este punto se analizará fundamentalmente este problema, dándose lascondiciones en las que el proceso de muestreo/reconstrucción, (CAD/CDA), no signifiqueperdida de información.

(12. 30)

(12. 31)

(12. 32)



El caso más interesante de muestreo es el periódico, que se caracteriza por que losinstantes de toma de muestras están regularmente espaciados en el tiempo y a éste se lellama periodo de muestreo, T, y a su inversa, frecuencia de muestreo, fs.

El elemento que realiza este proceso se denomina “muestreador”, siendo la formausual de representarlo en los diagrama de bloques la indicada en la figura 12.6

En este bloque la salida está relacionada con la entrada por la expresión:

( )kTxxk =

Intuitivamente se puede apreciar que el periodo de muestreo va a jugar un papelfundamental en este proceso. La elección de la frecuencia de muestro es un problemafundamental en el sistema de datos muestrados. Conviene muestrear los datos con la menorfrecuencia posible, pero que sea lo suficientemente grande como para poder evitar lapérdida de información y sea posible reconstruir la función continua a través de lasmuestras. Justamente, el teorema del muestreo es el que puede ayudar a determinar lafrecuencia óptima del convertidor analógico/digital.

Para poder establecer las conclusiones del teorema del muestreo, se va a recurrir alestudio frecuencial. Si una señal continua, x(t), con transformada de Fourier continua,Xc(ω). Entonces las relaciones señal/transformada serán del tipo:

( ) ( )

( ) ( )∫

∫∞

∞−

∞

∞−

−

=

=

ωωπ

πω

ω

ω

deXtx

dtetxX

tjC

tjc

2

1

2

1

La relación existente entre la secuencia procedente del muestreo de esta señal y ellamisma será (12. 33) con lo que:

(12. 33)

(12. 34)

Figura 12. 6 Símbolo delmuestreador



( )∫∞

∞−

== ωωπ

ω deXkTxx kTjck 2

1)(

Si la secuencia {xk} tiene asimismo transformada discreta de Fourier Xd(ω),entonces estará relacionada con su transformada por medio de:

( )∫−

=π

π

ω ωωπ

deXx kjdk 2

1

El problema es estudiar si existe alguna relación entre estas dos transformadas, lade la señal continua Xc(ω) y la de la secuencia Xd(ω). Se puede demostrar que la relaciónexistente es:

( ) ∑∞

−∞=

±±±=

+=

rcd r

T

rXX ,...3,2,1,0

2πωω

Por tanto, si la señal continua tiene una transformada de Fourier, cuya curva demódulos, por ejemplo, se representa en la figura 12.7.

Entonces la curva de módulos de la transformada de la secuencia obtenida pormuestreo, será periódica 2π/T tal como queda reflejado en la figura 12.8

(12. 35)

(12. 36)

(12. 37)

Figura 12. 7 Transformada de Fourier de una señalcontinua determinada



Llegando así a las condiciones que se deben cumplir en el proceso de muestreo paraque se pueda realizar sin pérdida de información. Suponiendo que la señal continua x(t)con transformada de Fourier Xc(ω) sea nula a partir de una determinada frecuencia ω0.

( ) 00 ωωω >=cX

Las señales que cumplen esta condición se denominan de banda limitada. Si unaseñal de este tipo se muestrea con un periodo que verifique:

022 ωπ >T

Es decir:

0ωπ<T

La transformada de Fourier será, siguiendo el ejemplo, de la forma indicada en lafigura 12.8. A π/T se la llama frecuencia angular de Nyquist.

Si por el contrario, el periodo de muestreo es superior a este valor, T > π/ω0 , latransformada de la secuencia del ejemplo será de la forma indicada en la figura 12.9, dondese puede apreciar que Xc(ω) y Xc(ω) no coinciden, y por lo tanto el conocimiento de la

(12. 38)

(12. 39)

(12. 40)

Figura 12. 8 Transformada discreta de Fourier de la señal continua con un muestreadorde periodo T



transformada de la secuencia no permite obtener la transformada de la señal continua. Aeste fenómeno se llama solapamiento en frecuencias o aliasing.

Recuérdese cómo en el capítulo anterior se mencionaba el diseño de filtrosantialiasing en la propagación de la señal continua al convertidor A/D, con el objeto detener señales de banda limitada y que cumplan con (12. 38) y (12. 39).

Por acabar con este resumen, hay que citar que además del problema del muestreo,habría de estudiar el efecto tanto de la cuantificación como el de reconstrucción. Elprimero analiza cómo afecta el problema del convertidor A/D en la transformación de unaseñal analógica de infinitos valores a otra de valores finitos; mientras el segundo estudialos problemas de la reconstrucción debido a los convertidores D/A. Éstos serán analizadosen el último punto del capítulo.

12.2 Filtros digitales

Un filtro digital es un sistema discreto utilizado para extraer características desde eldominio de la frecuencia sobre señales muestreadas. La operación de filtrado se realiza pormedio de cálculos directos con las señales muestreadas. Las ventajas que presentan losfiltros digitales frente a los analógicos son las siguientes:

Figura 12. 9 Efecto de solapamiento en frecuencia o aliasing



• Respuesta dinámica: El ancho de banda del filtro digital está limitado por lafrecuencia de muestreo, mientras que en los filtros analógicos con componentesactivos suelen estar restringidos por los amplificadores operacionales.

• Intervalo dinámico: En filtros analógicos aparecen derivas que limitan porabajo el rango y se saturan con la alimentación. En cambio en los filtrosdigitales es fijado por el número de bits que representa la secuencia, y el límiteinferior por el ruido de cuantificación y los errores de redondeo

• Conmutabilidad: Si los parámetros de un filtro se conservan en registros, loscontenidos de dichos registros pueden ser modificados a voluntad. Además,estos filtros se pueden conmutar, pudiéndose multiplexar en el tiempo paraprocesar varias entradas a la vez.

• Adaptabilidad: Un filtro digital puede ser implementado en soporte físico(hardware) o mediante un programa de ordenador (software).

• Ausencia de problemas de componentes: Los parámetros de los filtros serepresentan por medio de números binarios y no derivan con el tiempo. Al nohaber componentes, no hay problemas de tolerancia o deriva de componentes, yningún otro problema asociado con un comportamiento no ideal de resistencias,condensadores, bobinas o amplificadores. Tampoco existen problemas deimpedancia de entrada ni salida, ni efectos de adaptación de impedancias entreetapas.

Una distinción fundamental en los sistemas discretos dinámicos lineales einvariantes, y en particular en los filtros digitales, es la duración de la respuesta ante elimpulso. Se habla de sistemas de respuesta de pulso finito o no recursivo (FIR, finiteimpulse response) y de sistemas de respuesta infinita o recursivo (IIR, infinite impulseresponse).

Partiendo de la ecuación en diferencias que modela el comportamiento dinámico deestos sistemas:


en el caso de tener todos los coeficientes ai iguales a cero se tendrá un filtro FIR,con lo que quedará la ecuación reducida a:

mkmkkk xbxbxby −− +++= ...120

siendo m el orden del filtro y tendrá una función de transferencia en z del tipo:

(12. 41)

(12. 42)



( ) mmzbzbbzG −− +++= ...1

10

Obsérvese que en estos tipos de filtros cada valor de la secuencia de salida sólodepende de un número finito de valores de la secuencia de entrada. Además también sedesprende la carencia de polos en la función de transferencia. En cambio, las expresionesde los filtros recursivos corresponden a:


Y su función de transferencia en z a:

( )n

n

mm

zazaza

zbzbbzG −−−

−−

+++++++

=...1

...2

21

1

110

En estos casos, la secuencia de salida depende tanto de la entrada como de la salida.De estas ecuaciones se deducen las siguientes propiedades, primero la secuencia deponderación es infinita para los filtros IIR, aun teniendo un número finito de coeficientes.Mientras la respuesta al impulso de un filtro no recursivo es siempre finita e igual al ordendel filtro. En segundo lugar, los filtros FIR son siempre estables, esto es, la secuencia desalida tiene todos sus valores acotados. No es el caso de filtros recursivos, su estabilidaddepende de la función de transferencia, por lo que habrá de utilizar alguno de losprocedimientos algebraicos, como el de Jury[Aracil91], para analizar su estabilidad.Tercera, cualquier filtro recursivo puede ser reemplazado por otro no recursivo coninfinitos coeficientes, sus valores vendrán dados por la secuencia de ponderación del IIR.La conclusión inversa no se cumple.

12.2.1 Filtros de fase lineal o no dispersivos

Existen muchas aplicaciones del procesamiento de señales en las cuales lasrelaciones de fase son importantes, y no deben ser perturbadas por el filtrado. Por ello se

(12. 43)

(12. 44)

(12. 45)

Figura 12. 10 a) Respuesta ante el impulso de un FIR b) Respuesta ante el impulso de un IIR



deben diseñar filtros con desfase nulo, pero como se verá más adelantes, en la práctica noes posible aunque si se pueden implementar filtros cuyo desfase sea proporcional a lafrecuencia. A estos filtros se les llaman de fase lineal o no dispersivos.

Para justificar la importancia de los filtros de fase lineal, se propone realizar elsiguiente experimento. Se toma una imagen digital, por ejemplo el pórtico de entrada de laEscuela, recuérdese que ésta es una secuencia bidimensional, y se calcula su transformadade Fourier discreta 2D. Del resultado se hace separar el módulo y el argumento de latransformación, para proceder por separado a la aplicación de la transformada inversa.

Resultan obvias las conclusiones del experimento, el argumento lleva casi toda lainformación de la secuencia. Por tanto, si se desea realzar las propiedades de la secuenciahabrá de diseñar filtros que no distorsionen la fase de la señal muestreada. Justificando deesta manera el énfasis puesto en filtros de desfase nulo o lineal.

Figura 12. 11 Imagen de la EUITIM 256x256 píxeles b) Transformada inversa del argumento de latransformada c) b) Transformada inversa del módulo de la transformada



12.3 Diseño de filtros no recursivos (FIR)

Los filtros no recursivos tienen ventajas muy interesantes que les hacen serampliamente utilizados en múltiples aplicaciones. La característica más destacable es sufacilidad de diseño para conseguir una respuesta en frecuencias de fase lineal, esto es, laseñal que pase a través de él no será distorsionada. Los FIR son por su propia constituciónestables, no habiendo problemas en su diseño o fase de implementación.

Aunque el diseño de los FIR requiera de una gran cantidad de operaciones de sumasy multiplicaciones, tanto su estructura de programación como su implementación ensoporte físico resulta fácil y escalable.

Su mayor desventaja está en que para iguales requisitos de especificaciones delfiltro resulta con menor orden los IIR que los FIR, implicando programas más largos ocircuitos mayores.

Básicamente hay dos métodos para el diseño de filtros no recursivos. El primerotrata de definir la respuesta en frecuencia del filtro para luego determinar los coeficientesdel filtro mediante la transformada inversa de Fourier; mientras que la segunda estrategiautiliza métodos de optimización capaz de ir modificando los coeficientes del filtro paraaproximarlo a la respuesta en frecuencia deseada. Sólo se va a tratar el primer método.

12.3.1 Diseño de los filtros mediante su respuesta en frecuencia

Los filtros digitales suelen ser caracterizados en términos de rangos de frecuencia,tanto de la banda pasante como de la supresora. Los cuatro tipos básicos son ilustrados enla figura 12.12. Al ser éstos sistemas discretos, sus respuestas frecuenciales son periódicascon la frecuencia de Nyquist, ωN, por lo que sólo se considerará el intervalo [-ωN, ωN].



En las figuras sólo se muestran la respuestas en frecuencias del módulo sin queaparezca el argumento. Sin embargo, como ya ha sido comentado (ver 12.2.1), es deseableque en la banda pasante no se introduzcan desfases, esto es, de argumento cero en todo elrango de la frecuencia pasante, pero como se va a ver, esta suposición de diseño resultaráimposible.

Con tal propósito se parte de una suposición más general, y además factible,consistente en la realización de un filtro con variación lineal del argumento respecto a lafrecuencia, esto es, se tendrá que el desfase introducido será del tipo ϕ = -λω, donde λ esuna constante. El caso particular de desfase nulo será λ igual a cero. Luego si ante unaseñal de entrada cualquiera, ésta se separa en forma de sumas de sinusoides del tiposen(ωnT), cada una de ellas producirá una respuesta del tipo:

( ) ( )[ ]λωω −nTG sen

Por tanto cada armónico de la señal de entrada estará desfasada λ veces, de formaque se obtendrá en salida una versión no distorsionada de la señal de entrada en el rango defrecuencias dependientes de la banda pasante. A estos filtros se les llaman no dispersivos.

Partiendo de la respuesta en frecuencia de un filtro no recursivo de manera que éstetenga un orden m, y que m sea igual a 2N, m=2N, se podrá poner que:

(12. 46)

Figura 12. 12 Especificaciones de los filtros digitales a) Paso bajo b) Pasoalto c) Pasa banda d) Rechazo de banda



( )( ){ }TjN

NNTNjTjNTjN

N

k

Tjkk

eggegege

egG

ωωωω

ωω

−−−

=

−

+++++=

= ∑2

110

2

0

......

Si se impone las siguientes condiciones:

11

121

20

+−

−

=

==

NN

N

N

gg

gg

gg

�

La respuesta en frecuencia del filtro quedará como:

( ) ( )[ ]

−+= ∑

−

=

−1

0

cos2N

iiN

TjN TiNggeG ωω ω

observándose que el contenido de entre las llaves es real y que el desfaseintroducido por el filtro es -NωT, siendo por tanto el argumento lineal con la frecuencia.Desprendiéndose que esta característica nace de la condición de simetría par de loscoeficientes gi alrededor de N.

Las especificaciones completas de diseño de un filtro paso bajo ideal son mostradasen la figura 12.13. Ahora son incluidas tanto las respuestas de módulo como delargumento.

(12. 47)

(12. 48)

(12. 49)

Figura 12. 13 Respuesta en frecuencia de un filtro paso bajo



El modelo matemático que caracteriza la respuesta frecuencial de la figura será:

( ) ≤

=−

ntrarioEn caso co

¹¹eG c

j««¹

0ω

de manera que si se aplica la transformada inversa de Fourier quedará:

( ) ( )

( )[ ]( )

( )[ ]( ) ,...2,1,0

sen2sen1

2

1

2

1

±±=−

−=

−−

=

== ∫∫−

−

−

nTn

Tn

Tn

Tn

dedeGg

C

C

s

cC

TnjTjnn

C

C

N

N

ωλωλ

ωω

λωλ

π

ωπ

ωωπ

ω

ω

ωλω

ω

ω

Volviendo a los filtros de desfase cero, esto es, λ sea nulo y por ejemplo sea labanda pasante un octavo de la frecuencia de muestreo, 8/SC ωω = , resultará que aplicando

(12. 51) se obtendrá la secuencia de ponderación del filtro digital:

( )( )4

4sen

4

1π

π

n

ngn =

La respuesta al impulso de la secuencia está representada en la figura 12.14 El filtrocon esta respuesta representa un filtro paso bajo ideal con desfase cero. Sin embargo, haydos aspectos a destacar. Primero, el filtrono es causal, ya que para n<0 los valoresde {gn} no son nulos, por lo que no puedenser implementados en tiempo real. Ensegundo lugar, la respuesta al impulso noes finita, esto significa que la respuesta delfiltro tardaría infinito tiempo en calcularlo,incluso asumiendo que pudiera tenerinfinitos coeficientes. De estos aspectos, seconcluye que la realización de un filtro condesfase nulo es imposible de realizarfísicamente; habiendo de aceptar criteriosde compromiso para el diseño.

Por ejemplo, si se trunca larespuesta al impulso y se da un valor a λ se

(12. 50)

(12. 51)

(12. 52)

Figura 12. 14 Respuesta impulsional condesfase nulo



tendrá un filtro digital realizable físicamente, pero éste sólo será una aproximación alcomportamiento ideal.

Ejemplo Diseñar un filtro paso bajo FIR con una frecuencia de muestreo de 1.6kHz, frecuencia de corte de 200 Hz, un retardo de 0.02 s, sabiendo que el orden del filtro es11.

De aplicar (12. 51) con las condiciones dadas en el ejercicio da los siguientescoeficientes:

{gn} = {-0.045 -0.001 0.073 0.157 0.224 0.250 0.224 0.157 0.073 –0.001 –0.045}

y según (12. 47) su respuesta en frecuencia será:

( ) ( )[ ]

−+= ∑

=

−9

010

10 02.0cos2i

iTj TiggeG ωω ω

Cuya respuesta en frecuencia y al impulso se encuentran representado en la figura12.15

(12. 53 )

Figura 12. 15 a) Respuesta en frecuencia b) Respuesta impulsional



Del ejemplo se muestra cómo el truncamiento del orden del filtro hace dejar decomportarse como filtro ideal, apareciendo tanto rizado en la banda pasante como en lasupresora. También se desprende de la figura el carácter lineal del desfase.

12.3.1.1 Transformaciones sobre los filtros

Aunque el método expuesto se ha centrado sobre los filtros paso bajo, también esposible diseñar los otros tipos de filtros, esto es, paso alto, pasa banda y rechazo de banda.Para ello se podría utilizar el mismo procedimiento que se vio anteriormente, pero en vezde aplicar la banda pasante a la frecuencia baja se puede realizar para cualquier otra formade banda pasante. Sin embargo, y de igual manera que ya se vio en el anterior capítulosobre filtros analógicos, aquí también existen transformaciones de paso bajo a cualquierade los otros tipos.

Así por ejemplo, si gn(PB) son los coeficientes de la respuesta al impulso de un filtropaso bajo con una frecuencia de corte (ωC)PB y una frecuencia de muestreo ωs, entonces:

( ) )()( 1 PBnn

PAn gg −=

siendo estos los coeficientes de la respuesta al impulso del filtro paso alto con unafrecuencia de corte de:

( ) ( ) ( )PBcNPAc ωωω −=

La demostración de la validez de esta transformación es bastante sencilla y es comosigue:

( )

( )

∫∫−

−

+=PAC

N

N

PAC

dedeg TjnTjnPAn

ω

ω

ωω

ω

ω ωπ

ωπ 2

1

2

1)(

Haciendo el cambio de variables en la primera integral de Nωωω +′= y en la

segunda de Nωωω −′=

( )

( )

( )( )

[ ]( )( )

( )

( ) ( )PBnnTjn

TjnTjnPAn

gden

dedeg

PBC

PBC

PACN

N

NPAC

N

1cos2

1

2

1

2

1

0

0

)(

−=′=

′+′=

∫

∫∫

−

′

−−′

−

+′

ω

ω

ω

ωωωω

ωω

ωω

ωππ

ωπ

ωπ

(12. 54 )

(12. 55 )

(12. 56 )

(12. 57)



Por tanto, el diseño del filtro paso alto con frecuencia de corte (ωC)PA pasa por undiseño inicial de filtro paso bajo con frecuencia de corte ( ) ( )PAcN ωω − y multiplicando elresultado por (-1)n.

Las relaciones entre paso bajo con pasa banda y rechazo de banda quedannotificadas en el cuadro resumen 12.1

Conversión Transformación Parámetros

A paso alto ( ) ( ) ( )PBnn

PAn gg 1−= ( ) ( ) ( )PBcNPAc ωωω −=

A paso banda ( ) ( )( ) ( )PBnPBANDAn gTng 0cos2 ω= ( )

( ) 0C2

C01

0 central frecuencia

ωωωωωω

ω

−=−=

=

PB

PB

A rechazo de banda

( ) ( )

( ) ( )PBANDAnRBn

PBANDARBn

gg

gg

−=

−= 01

Cuadro 12. 1 Transformaciones de paso bajo a otro tipo de filtro

Figura 12. 16 Cambio de variables de ω a ω’



12.3.1.2 Ventanas

En la sección 12.3.1 se han obtenido los criterios de diseño de los filtros FIR portruncamiento de la exacta respuesta al impulso e introduciendo un retardo. Pero aunque elorden del filtro sea elevado los rizados tanto en la banda pasante como en la supresora semantienen, haciéndose mayores lasoscilaciones en las zonas de transición entre lasbandas. Además la atenuación en la banda nopasante no es cero y la transición entre lasbandas no es abrupta. A este fenómeno sellama efecto de Gibbs. Así, por ejemplo, en lafigura 12.17 se muestra un filtro paso bajo deorden 51 con una frecuencia de cortenormalizada de 0.4, evidenciando que aunsiendo elevado el orden del filtro el efectoGibbs se mantiene. Este fenómeno nodesaparece con la longitud del filtro.

Sin embargo, la aplicación de ciertasfunciones ventanas permiten aliviar este efectono deseado. Si se quiere disminuir las oscilaciones, la respuesta del pulso infinito originaldebe ser multiplicado por una función ventana que no sea un pulso rectangular puro, demanera que la nueva secuencia de ponderación gn’ quedará como:

nnn wgg =′

siendo gn definida como (12. 51) y wn una función ventana definida por:

>≤

=Nn

Nnwn 0

1

tal que N marca el número de la secuencia de transición entre la banda pasante y lasupresora. Pero este tipo de ventana, obsérvese que es la aplicada en el caso deltruncamiento, deriva en el efecto de Gibbs. Para evitarlo existen varios tipos de funcionesventanas, así por ejemplo se tiene:

( ) ( )

>≤−+

=Nn

NnNnwn 0

/cos1 παα

Donde para α = 0.5 es llamada la ventana de von Hann y cuando α = 0.54 es ladenominada ventana de Hamming.

La ventana de Blackman está definida por:

(12. 58)

(12. 59)

(12. 60)

Figura 12. 17 Filtro paso bajo deorden 51



( ) ( )

>≤++

=Nn

NnNnNnwn 0

/2cos08.0/cos5.042.0 ππ

Esta ventana reduce el rizado comparado con las dos anteriores, pero la transiciónentre bandas es muy suave. Un compromiso entre el rizado y la ruptura abrupta esparticularmente fácil con las ventana de Kaiser definidas por:

( ) ( )

>≤

=Nn

NnIIwn 0

/ 00 αβ

donde α es un parámetro y

( ){ } 2/12/1 Nn−= αβ

Aquí I0(x) es una función de Bessel de orden cero definida por la serie:

( ) ∑∞

=

+=

1

2

0 2!

11

k

kx

kxI

A medida de tener mayor β se disminuye el rizado pero también disminuye lapendiente de transición entre la banda pasante y la supresora. En la siguiente figura serepresenta la respuesta frecuencial de un filtro FIR paso bajo con 8/1/ =sc ωω y con

orden de filtro de 23.

(12. 61)

(12. 62)

(12. 63)

(12. 64)



La comparativa demuestra que excepto la ventana de von Hann y de Kaiser para βigual a 2, todas las demás carecen de rizado tanto en la banda pasante como en lasupresora, aunque se ve cómo la de Kaiser con β igual a 2 resulta la más abrupta en latransición.

Figura 12. 18 a) Respuesta con ventana rectangular b) con ventana von Hann c)ventana de Hamming d) ventana de Blackman e) Kaiser ββ=2 f) Kaiser ββ=4



Desprendiéndose que aunque en todas ellas aparece un menor rizado respecto a laventana rectangular, existe un compromiso entre rizado y pendiente de transición. Por elloningún filtro FIR con transformación de Fourier y aplicación de ventana es óptimo, peroresulta sencillo y económico.

El procedimiento de diseño con filtros FIR sigue los siguientes pasos:

• Se establece la respuesta de frecuencia deseada como filtro paso bajo

• Determinar la secuencia de ponderación por medio de:

( )[ ]( ) ,...2,1,0

sen2±±=

−−

= nTn

Tng

C

C

s

cn ωλ

ωλωω

• Se elige una función ventana y un ancho de ventana para satisfacer lasespecificaciones de rizado y amplitud de transición requeridas. Se asigna laventana de acuerdo con la respuesta impulsional.

• Se desplaza la repuesta de pulso para hacerla causal

• Por ultimo se realiza la transformación al tipo de filtro deseado, haciendo usode las indicaciones del cuadro 12.1

12.4 Diseño de filtros recursivos (IIR)

La ventaja de los filtros IIR respecto a los FIR es la de tener un menor orden delfiltro para iguales especificaciones de diseño. Aunque la desventaja es la falta de desfaselineal introducido por el filtro, así como la necesidad de realizar estudios de estabilidad,pues ésta no está garantizada en el diseño.

Los filtros no recursivos pueden ser diseñados por varios métodos, siendo el máscomún el basado en las transformaciones bilineales. Este procedimiento requiere delconocimiento de la función de transferencia en el dominio s del filtro a diseñar. Loscoeficientes del filtro en el dominio s son transformados a uno equivalente en el dominio z,los coeficientes de la discretización formarán el filtro IIR.

El origen de este proceder viene dado por la cantidad de experiencia acumulada enel diseño de filtros analógicos. Por tanto, todos los polinomios, tablas, métodos analíticos ygráficos para definir el filtro analógico, empleados en el anterior capítulo, serán usados enel diseño de los filtros recursivos.

(12. 65)



Si bien hay varios métodos de discretización, la mayoría de ellos tienen problemasde solapamiento en frecuencias, por realizar una relación entre el plano s a z de variasregiones del dominio s a una sola z. Sin embargo, la transformación bilineal realiza unatransformación unívoca entre el dominio s a z. Esta transformación se define como:

1

12

1

121

1

+−=

+−= −

−

z

z

Tz

z

Ts

Y su relación inversa es del tipo:

sT

sTz

−+=

/2

/2

Al observar (12. 66 ) se desprende que esta transformación es no lineal. De hecho,si se sustituye s por jωa y z por Tj de ω queda:

=

2

2 Ttan

Td

a

ωω

siendo ωa la frecuencia angular analógica y ωd la frecuencia angular discreta. Portanto si se requiere un filtro digital cuyas características en frecuencia estén definidas porωd1, ωd2,…, ωdk , deberá usarse un filtro analógico cuyas frecuencias sean:

kiT

tanT

diai ≤≤

= 1

2

2 ωω

Siendo conocido como el prewarping del filtro analógico. El método de diseño defiltros IIR basados en transformaciones bilineales tiene el siguiente procedimiento:

1. Definir las características del filtro digital ωd1, ωd2,…, ωdk.

2. Realizar la operación de prewarping de acuerdo con (12. 69) obteniendo lasfrecuencias analógicas ωa1, ωa2,…, ωak.

3. Diseñar el filtro analógico con las frecuencias definidas en el punto 2.

4. Reemplazar s en el filtro analógico por la expresión dada en (12. 66 ).

Para facilitar las transformaciones de s a z se expone en el cuadro 12.2, lasrelaciones existentes de filtros comunes de primer y segundo orden mediante latransformada bilineal.

(12. 66 )

(12. 67)

(12. 68)

(12. 69)



Tipo de bloque G(s) G(z) (Transformación bilineal)

Paso bajo deprimer orden

( )τs

ksG

+=

1

( )

Ta

Ta

zaa

kzkzG

ττ 21;

21 10

110

1

−=+=

++=

−

−

Paso alto de primerorden

( )τ

τs

sksG

+=

1

( )

Ta

Ta

Tkb

zaa

zbbzG

τττ 21;

21;

2100

110

100

−=+==

+−

= −

−

Red deadelanto/retraso de

fase( )

2

1

1

1

ττ

s

sksG

++

=

( )

Ta

Ta

Tkb

Tkb

zaa

zbbzG

21

20

11

10

110

110

21;

21

21;

21

ττ

ττ

−=+=

−=

+=

++

=−

−

Paso bajo desegundo orden

( )1

12 ++

=bsas

sG

( )

T

b

T

aa

T

aa

T

b

T

aa

zazaa

zzzG

241;

82;

241

21

202120

22

110

21

−+=−=++=

++++= −−

−−

Paso alto desegundo orden ( )

12

2

++=

bsas

assG

( )

2º BAJO PASOVer ,,;4

2

21020

22

110

20

100

⇒=

+++−

= −−

−−

aaaT

ab

zazaa

zbzbbzG

Paso banda desegundo orden

( )12 ++

=bsas

bssG

( )


2100

22

110

200

⇒=

++−

= −−

−

aaaT

ab

zazaa

zbbzG

Rechazo de bandade segundo orden ( )

1

12

2

+++=bsas

assG

( )


1;4

1

2

2102120

22

110

20

110

⇒−=+=

+++−

= −−

−−

aaaT

ab

T

ab

zazaa

zbzbbzG

Cuadro 12. 2 Transformaciones de G(s) a G(z)



Ejemplo:

Diseñar un filtro digital paso bajo de Butterworth con una frecuencia de muestreode 10 kHz, con un a frecuencia de corte de 1 kHz y al menos una atenuación de 10 dB a lafrecuencia de 2 kHz.

En primer lugar se realizaría la operación de prewarping a las frecuencias de 1kHzy 2kHz, quedando a:

HzfHzf caca 312.2034.1 ==

Aplicando la expresión matemática del orden de un filtro de Butterworth, visto enel anterior capitulo, queda n = 1.368 por lo que se debe de tomar el valor entero superior,esto es, orden del filtro 2. La función de transferencia en el dominio s será:

110342

41.110342

1)(

2

+

+

=

ππss

sG

Utilizando las expresiones del cuadro de transformaciones de G(s) a G(z) parafiltros paso bajo de segundo orden quedará:

( )21

21

320

13.695.1681.14

21

13.6;95.16;81.14

−−

−−

+−++=

=−==

zz

zzzG

aaa

(12. 70)

(12. 71)

(12. 72)



La respuesta en frecuencia de G(z) es indicada en la figura 12.19

Es de destacar la aproximación de fase lineal en la zona de banda pasante.

12.5 Implementación de los filtros digitales

Hay dos formas de implementarlos, mediante un programa, a bajo o alto nivel, obien utilizando un diseño en soporte físico mediante electrónica digital.

Para la implementación en software se partirá de la ecuación en diferencias. Segúnésta, la salida será suma de las salidas anteriores y de la entrada actual y anterioresmultiplicadas por sus coeficientes. El algoritmo necesitará almacenar los valores anterioresde la salida y la entrada y realizar los productos y las sumas correspondientes. En el casode utilizar lenguajes de alto nivel, se suele usar aritmética de punto flotante, con el objetode evitar los efectos asociados de cuantificación con aritmética de punto fijo, ya que sepuede llevar a la inestabilidad y a cambios significativos en la función de transferencia, talcomo se verá más adelante (ver párrafo 12.6).

La realización sistemática en cualquiera de estos dos medios, se veconsiderablemente facilitada representando el filtro de una forma gráfica. De esta manera,partiendo de las ecuaciones en diferencias:


Se representa por el diagrama de la figura 12.20

(12. 73 )

Figura 12. 19 Respuesta en frecuencia de G(z)



Pero no se suele utilizar esta forma de implementar en soporte físico, ya que noutiliza los principios de escalabilidad y ahorro de componentes. La forma máscaracterística es la basada en la estructura en serie (figura 12.21) obtenida a partir de:

Figura 12. 20 Representación genérica de los filtros a partir de la ecuación en diferencias

+

xk

+

z-1

z-1 β11

β21

α11

α21

++

z-1

z-1 β1n

β2n

α1n

α2n

---yk

k

Figura 12. 21 Filtro IIR en cascada



( ) ∏ −−

−−

−−++

=2

21

1

22

11

1

1

zz

zzkzG

kk

kk

ααββ

La figura 12.21 muestra un diagrama a bloques de un filtro IIR implementado concascadas de segundo orden. Esta realización tiene cuatro sumas, cuatro multiplicaciones ydos retardos por cada sección de segundo orden. Esta forma de implementación resulta lamás efectiva para una rango variado de procesadores de propósito general así como deprocesadores específicos DSP[Embree90].

12.6 Efecto de la cuantificación en los filtros

Hasta el momento, en el estudio de los filtros digitales, se ha supuesto que tanto lasvariables como los coeficientes del filtros pueden tomar cualquier valor; ahora bien, laimplementación de estos sistemas se realiza con dispositivos digitales de cálculo, es decircon computadores, en los que tanto el almacenamiento como la medida de señales serealiza con números finitos de dígitos. La operación de transformación de los valores devariables y constantes, con un número infinitos de cifras, a un número concreto de bits sedenomina cuantificación. Este proceso, imprescindible en el tratamiento de informacióncon computador, produce errores que en este último punto se van a analizar y acotar.

En la implantación de los filtros digitales aparecen tres procesos de cuantificación:

1. Cuantificación de la señal de entrada

2. Cuantificación de los coeficientes de los filtros

3. Errores en el redondeo en las operaciones

12.6.1 Efectos de truncamiento y redondeo

En el análisis de error de cuantificación, hay que tener en cuenta la forma derepresentación de los valores en el computador, según se haga en coma fija o en comaflotante, y, asimismo, también tendrá influencia la forma de realizar el paso de un númerocualquiera, equivalente a infinitos dígitos, según sea por truncamiento o por redondeo.

En general la representación de los números en computadores se realiza en base 2,es decir en representación binaria, por dos métodos distintos: en coma fija si se utiliza unnúmero determinado de dígitos para la parte entera y otra para la parte decimal, porejemplo 4 y 6:

(12. 74)



011010.1001

O en coma flotante, donde la representación es de la forma:

cM 2

Donde M, mantisa, es un número que verifica:

12

1 <≤ M

Y c, exponente, es un número entero, positivo o negativo; ambos, M y c, serepresentan por un número fijo de bits.

La forma de representación de los números negativos tiene su importancia según sehaga por signo y magnitud, por complemento a dos o por complemento por uno[Miguel88].

Tanto en coma fija como flotante se va a considerar que la parte fraccionaria o lamantisa tiene b bits, entonces los números se representan en saltos de 2-b, es decir lamínima diferencia entre dos representaciones distintas es de 2-b.

Dado un número de infinitos dígitos, se entiende por truncamiento del mismo laoperación de tomar los b primeros bits más significativos, despreciando el resto, mientrasque su redondeo es tomar la representación del valor más próximo al mismo.

En la figura 12.22 a) se representan los valores de la señal de cuantificada Q(x) enfunción de los posibles valores de x en el caso de representación por redondeo y coma fija.Como se puede observar en la misma el error en dicha cuantificación:

( ) xxQe −=

(12. 75 )

(12. 76)

(12. 77)

(12. 78)

Figura 12. 22 Técnicas de redondeo a) Cuantificación b) Error



el error será en valor absoluto, como máximo medio salto, es decir:

( ) bb xxQ −− <−<− 22

12

2

1

El caso de truncamiento y coma fija, utilizando el complemento a 2 para losnegativos, viene representado en la figura 12.23, donde el error está acotado entre losvalores:

( ) 02 <−<− − xxQb

12.6.2 Cuantificación de señales

En la conversión de una señal, para su tratamiento con computador, de analógica adigital, además del proceso de muestreo hay que tener en cuenta el de cuantificación,efecto éste debido a la limitación del número de cifras de los registros en los que sealmacenan sus valores.

Para el estudio del efecto que esta cuantificación de los elementos de la secuenciade entrada produce sobre los de la secuencia de salida de un filtro digital, se va a suponer,en primer lugar, como forma más usual de trabajo de los convertidores A/D, la coma fijacon b+1 bits, b la parte fraccionaria y 1 de signo, utilizando técnicas de redondeo. Seconsidera igualmente la señal normalizada a 1, es decir:

bk

b x −− −<<+− 22

112

2

11

(12. 79)

(12. 80)

(12. 81)

Figura 12. 23 Técnicas de truncamiento a) Cuantificación b) Error



Una representación equivalente al proceso de cuantificación es la derivada deconsiderar, según se indica en la figura 12.22b) su efecto como una secuencia de valoresaleatorias añadidas a la original.

( ) kkkk exxQx +==ˆ

Donde {ek} es una secuencia denominada frecuentemente ruido cuyos elementosverifican:

bk

b e −− <<− 22

12

2

1

El proceso de redondeo se caracteriza por una distribución estadística, tal que lasecuencia {ek} se define como una variable aleatoria con una función de densidaduniforme, p(ξ), entre –(2-b/2) y (2-b/2), estando representada en la figura 12.24.

Los parámetros estadísticos de media y varianza de la misma son:

12

2

02

2b

e

e

−

=

=

σ

µ

El valor que da una idea de la magnitud del error es su varianza. Ésta se suelereferir a la amplitud de los valores de la secuencia a cuantificar xk. Con el fin de compararparámetros equivalentes se define sobre la secuencia {xk} su varianza:

(12. 82)

(12. 83)

(12. 84)

Figura 12. 24 Función de densidad del error por redondeo



∑=

=N

kkx x

N 0

22 1σ

con N igual al número de elementos cuantificados en el proceso en curso deestudio. La medida de error de cuantificación, representada por SNR (Signal Noise Ratio),se define como el cociente entre ambas desviaciones típicas:

222

2

2

2

2 12

122

xb

bx

e

xSNR σσσσ

=== −

Como se ve en la expresión el índice SNR aumenta por cada incremento de bits quese considere de más en la representación de la señal.

12.6.3 Cuantificación de los coeficientes

Igual que ocurre con los valores de las muestras de la señal, en el proceso deimplementación de un filtro, los parámetros que lo definen sufren una cuantificación quepuede afectar, en algunas ocasiones considerablemente, a las prestaciones del sistema.

Para abordar este problema es necesario es necesario centrarse en la ecuacióncaracterística del filtro y estudiar como varían sus raíces ante variaciones en suscoeficientes. Por ejemplo, si un sistema tiene una ecuación en diferencias estimadas:

( ) kkk uyaay +∆+= −1ˆˆ

donde a es el coeficiente que sufre un error de cuantificación, ∆a, ésta tendrá porecuación característica:

( ) 0=∆+− aaz

en la que, es claro que, si se quiere situar un polo en z = 0.995, será necesarioalmacenar el valor de a con tres cifras decimales ya que la variación máxima de esteparámetro, ∆a, admisible para garantizar la estabilidad es 0.005.

En general este problema se podrá resolver con un análisis de sensibilidad de lasraíces de la ecuación característica a los parámetros de la misma.

Las consecuencias prácticas de la cuantificación de los coeficientes son:

• Los filtros con poco ancho de banda son muy sensibles a la cuantificación. Esteefecto se deriva por tener polos muy cerca de z = 1.

(12. 85)

(12. 86)

(12. 87)

(12. 88)



• El sobremuestreo (oversampling) incrementa la sensibilidad a la cuantificación.

• La estructura de implementación del filtro influye mucho.

12.6.4 Cuantificación de resultados de operaciones

A efectos de cuantificación, la operación de mayor interés es la multiplicación yaque el resultado de ésta ocupa doble número de cifras que los factores por lo que paraalmacenarlo o realizar otras operaciones habrá que reducir el número de sus cifras.

Este error de cuantificación aparece en cada iteración de la ecuación en diferenciascon lo que su efecto se puede estudiar como una secuencia de números aleatoriosindependientes sumados a la secuencia de salida de los bloques que se realizanmultiplicaciones. Con ello, la importancia de este error dependerá fuertemente de laestructura elegida para la programación del algoritmo.

Utilizando el esquema típico de construcción del filtro, según se indicó en la figura12.21. Y siguiendo las propiedades estadísticas enunciadas sobre el error de cuantificación,los ruidos son aditivos pudiéndose reemplazar por uno cuyos elementos representativosvalga:

∑∑==

+=n

ia

m

ib ii

eee00

Si cada uno de los ruidos considerados tiene iguales propiedades estadísticas, dadasen (12. 84), las del total, suma de los referidos, serán:

( )12

2

02

2b

e

e

mn−

+=

=

σ

µ

indicando que a medida de que se aumente el orden del filtro mayor será elincremento del error cometido por redondeo de las multiplicaciones.

(12. 89)

(12. 90)



12.7 Bibliografía

[Aracil91] Aracil, R., Jiménez, A., Sistemas discretos de Control, Servicio dePublicaciones de la ETS de Ingenieros industriales de Madrid, 1991.

[Banks90] Banks, S., Signal Processing, Image Processing and Pattern Recognition,Prentice Hall, 1990.

[Miguel88] De Miguel, P., Fundamentos de computadores, Paranifo, 1988.

[Embree91] Embree, P.M., Bruce, K., C language algorithms for signal proccesing,Prentice Hall, 1991.

[Krauss95] Krauss, T.P., Shure, L., Little, J.N., Signal Processing Toolbox (User´sGuide), The Math Works, Inc., 1995.

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