Procesos de Poisson

FaMAF

22 de marzo 2012

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Distribución exponencial

DefiniciónUna v.a. X con función de densidad dada por

fλ(x) = λe−λx , x > 0,

para cierto λ > 0 se dice una v.a. exponencial con parámetro λ.

I E [X ] =1λ

I Var(X ) =1λ2

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Propiedades

I F (t) =

∫ t

0λexp(−λx)dx = λ

exp(−λx)

−λ|t0= 1− exp(−λt)

I P(X > t) = 1− [1− exp(−λt)] = exp(−λt)I Una variable aleatoria con distribución exponencial tiene falta de

memoria.P(X > s + t | X > s) = P(X > t).

P(X > s+t | X > s) =

∫∞t+s λexp(−λx)dx∫∞s λexp(−λx)dx

=exp(−λs + t)

exp(−λs)= P(X > t).

I Son las únicas v.a. continuas con falta de memoria.I El análogo en el caso discreto son las v.a. geométricas.I Si X ∼ E(λ), entonces c X ∼ E( 1

cλ).

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Variable aleatoria Gamma

DefiniciónUna variable aleatoria con función de densidad de probabilidad

f (t) = λe−λt (λt)n−1

(n − 1)!

se dice una variable aleatoria gamma con parámetros (n, λ).

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Variable aleatoria gamma (n, λ)

CorolarioLa suma de n variables aleatorias exponenciales independientes,cada una de ellas de parámetro λ, es una variable aleatoria Gammade parámetro (n, λ).

I Γ(2,2)

I Γ(5,2)

I Γ(1,2) ∼ E(2)

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Procesos estocásticos

DefiniciónUn proceso estocástico es una sucesión de variables aleatoriasobservadas sobre el mismo espacio muestral.

EjemploSupongamos tener una pieza de material radioactivo, el experimentoconsiste en observar cuantas partículas se desintegran en unintervalo de tiempo, y el tiempo que tarda en desintegrarse cadapartícula. El número de partículas que se desintegran en [0, t ] es unavariable aleatoria N(t) y el tiempo en que se desintegra la n-esimapartícula Dn también es una variable aleatoria. La colección devariables forman procesos estocásticos realcionados.

EjemploConsideremos llamadas telefónicas que llegan a una centraltelefónica y sea Dn el tiempo en que la n-esima llamada ingresa a lacentral y N(t) el número de llamadas que ingresa en un intervalo detiempo [0, t ].

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Proceso de Poisson homogéneo

N(t), t ≥ 0,

es un proceso de Poisson homogéneo de razón λ, λ > 0, si:I N(0) = 0 proceso comienza en cero

I incrementos independientes Para cada n ≥ 1 y cada partición0 ≤ t0 < t1 < · · · < tn se tiene que N(t0), N(t1)− N(t0), . . . ,N(tn)− N(tn−1) son variables aleatorias independientes.

I incrementos estacionarios Para cada t ≥ 0, s > 0, se cumpleque la distribución de N(t + s)− N(t) es igual a la de N(s).

I limh→0P(N(h) = 1)

h= λ,

I limh→0P(N(h) ≥ 2)

h= 0.

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Incrementos independientes

�� ������ ���� ��

t1 tn−1 tnt3t2

N(tn)− N(tn−1)N(t1)

0

I N(t1): nro. de llegadas hasta t = t1.I N(tn)− N(tn−1): nro. de llegadas entre tn−1 y tn.

I En dos intervalos de tiempo disjuntos, las variables ”número dellegadas” son independientes.

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Incrementos estacionarios

���� ����

N(s)

s t + st

N(t + s)− N(t)

0

La distribución del número de llegadas depende sólo de la longituddel intervalo.

N(s) ∼ N(t + s)− N(t), s < t .

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Ocurrencia de 1 o más eventos

I La probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo detiempo pequeño es proporcional al tamaño del intervalo.Constante = λ.

limh→0

P(N(h) = 1)

h= λ,

I La probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos en unintervalo muy pequeño es cero.

limh→0

P(N(h) ≥ 2)

h= 0.

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Consecuencias

ProposiciónSupongamos que N(t) es el número de llegadas en el intervalo detiempo [0, t ], que forma un proceso de Poisson de tasa λ. Entonces,la distribución de cada N(t) es Poisson de tasa λt

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La variable aleatoria N(t)

���

���

���

���

���

���

���

���

���������������������������

���

���

���

n intervalos

tn

2tn t0

I Para probarlo, dividamos el intervalo en n pedazos, cada uno delargo t

n .I En cada sub-intervalo, el número de llegadas es una v.a.

Bernoulli, con p = λ tn

I El número total de llamadas en [0, t ] es el número desub-intervalos que contienen una llegada.

I La independencia de los sub-intervalos implica que el númerototal de llegadas N(t) es binomial de parámetro p = λ t

n .

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La variable aleatoria N(t)

I Cuando n tiende a infinito, tenemos

pN(t)(k) ∼ limn→∞

(nk

)(λtn

)k (1− λt

n

)n−k

= limn→∞

n(n − 1) . . . (n − k + 1)

k !

(λtn

)k (1− λt

n

)n−k

= limn→∞

(λt)k

k !

(1− λt

n

)n n(n − 1) . . . (n − k + 1)

nk

(1− λt

n

)−k

=(λt)k

k !lim

n→∞

(1− λt

n

)n (1− λt

n

)−k (1− 1

n

)(1− 2

n

). . .

(1− k − 1

n

)

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Poisson

I Observando que

limn→∞

(1− λt

n

)n

= e−λ

y que los otros términos a la derecha del límite tienen límite 1, seobtiene

pN(t)(k) =(λt)k

k !e−λt

donde λt , esa constante que supusimos existe, es la tasa dellegadas en el intervalo [0, t ].

I N(t) es una variable con distribución Poisson de tasa λt .

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Tiempos entre llegadas

�� ������ ���� ��X1 X3 Xn

e1 e2 e3 en−1 en

X2

I ei : tiempo en que ocurre el evento i .I X1: tiempo transcurrido hasta el primer evento.I Xj : tiempo transcurrido entre el (j − 1)-ésimo evento y el j-ésimo,

para j > 1.

{Xj} es la sucesión de tiempos entre llegadas

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Distribución de los tiempos entre llegadas

ProposiciónLas variables aleatorias X1, X2, . . . , son v.a. independientes,igualmente distribuidas, con distribución exponencial con parámetroλ.

Xi ∼ E(λ), i = 1,2, . . . .

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Tiempo entre llegadas

Para probar esto veamos queI X1 es una variable aleatoria exponencial de parámetro λ.

P(X1 > t) = P(N(t) = 0) = e−λt

I

P(X2 > t | X1 = s) = P(0 eventos en (s, s + t ] | X1 = s)

= P(0 eventos en (s, s + t ])= e−λ t

X2 ∼ E(λ), y es independiente de X1.

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Tiempo entre llegadas

Sea s = s1 + · · ·+ sj−1: tiempo hasta el evento j − 1.

P(0 eventos en (s, s + t ] | X1 = s1, . . . ,Xj−1 = sj−1)

(incrementos independientes) = P(0 eventos en (s, s + t ])(incrementos estacionarios) = e−λt

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Sn

El tiempo hasta el n-esimo evento es Sn =n∑

j=1

Xj , una suma de

exponenciales independientes por lo cual tiene densidad

fn(t) = λe−λt (λt)n−1

(n − 1)!

Gamma de parámetros (n, λ).

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Conclusion

N es un proceso de Poisson con tasa λ entonces para cada t , N(t),el número de llegadas, es una variable Poisson con tasa λt , Xn eltiempo entre n-esima llegada y la anterior, es exponencial de tasa λ ySn el tiempo hasta la n esima legada es Gamma de parámetros(n, λ).

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El proceso de Poisson no homogéneo

N(t), t ≥ 0

es un proceso de Poisson no homogéneo con función de intensidadλ(t), t ≥ 0, si:

1. N(0) = 0

2. para cada n ≥ 1 y cada partición 0 ≤ t0 < t1 < · · · < tn se tieneque N(t0), N(t1)− N(t0), . . . , N(tn)− N(tn−1) son variablesaleatorias independientes.

3. limh→0P(N(t + h)− N(t) = 1)

h= λ(t),

4. limh→0P(N(t + h)− N(t) = 1) ≥ 2)

h= 0.

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Valor medio del proceso

m(t) =

∫ t

0λ(s) ds

I Si λ(t) = λ, constante, entonces m(t) = λ · t .

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Número de eventos en (t , t + s]

ProposiciónPara cada t ≥ 0 y s > 0 se tiene que N(t + s)− N(t) es una variablealeatoria Poisson con media

m(t + s)−m(t) =

∫ t+s

tλ(x) dx .

CorolarioSi λ(t) = λ (es constante), N(t + s)− N(t) es una variable aleatoriaPoisson con media λt .

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Poisson homogéneo y Poisson no homogéneo

I Existen eventos del tipo A y eventos del tipo B.I Independientemente de lo que ocurrió antes, si ocurre un evento

del tipo A entonces ocurre uno del tipo B con probabilidad p(t).I N(t)= número de eventos del tipo A en [0, t ]I A(t)= número de eventos del tipo B en [0, t ].

ProposiciónSi (N(t))t≥0 es un proceso de Poisson homogéneo con razón λ > 0,entonces (A(t))t≥0 es un proceso de Poisson no homogéneo confunción de intensidad λ(t) = λ · p(t), ∀t > 0.

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Poisson homogéneo y Poisson no homogéneo

I El proceso A(t) cumple con las condiciones de comenzar en elcero, tener incrementos independientes y probabilidad nula deobservar instantáneamente mas de un evento.

I Para ver la tasa instantánea de observar un evento

P(1 evento del tipo B en [t , t+h]) = P(un evento y es de tipo B)+

+P(dos o mas eventos y exactamente uno es de tipo B) ∼ λhp(t)

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