Procentni računOsnovne veličine procentnog računa su:

-glavnica G-procentna stopa p-procentni prinos P

Glavnica G je osnovna vrednost u odnosu na koju se računaju povećanja ili smanjenja za

datu procentnu stopu.Procentna stopa p predstavlja broj koji

pokazuje za koliko se jedinica menja(povećava ili smanjuje) glavnica na

svakih svojih 100 jedinica.

Procentni prinos P predstavlja veličinu koja pokazuje ukupnu promenu glavnice G pri procentnoj stopi p.

Procentna stopa p je veličina izražena u procentima (npr p=25%) ali ćemo nju uvek deliti sa 100 i koristiti njen decimalni zapis ( p=0.25).

Procentni račun od 100• Pri datoj procentnoj stopi p veličine G i P

su direktno proporcionalne tj ako je veća glavnica G veći je i procentni prinos P što može i šematski da se predstavi:

• G 100%• P p%• Formirajući odavde proporciju dobijamo • G : P = 100 : p ili ako stopu p

koristimo u decimalnom zapisu dobijamo• G : P = 1 : p• Odavde dobijamo G=P/p , P=Gp , p=P/G

• Primer: Ako je od 150 studenata koji su polagali ispit 78% studenta položilo, koliko je studenata palo ispit ?

• Ako među prelaznim ocenama ima 42 ocene 6, 23 ocena 7, 15 ocena 8 , 12 ocena 9 a ostalo su desetke izrazi broj prelaznih ocena u procentima.

• Rešenje:

• G=150 , p=78%=0.78

• Kako je G:P=1:p dobijamo 150:P=1:0.78 pa rešavanjem proporcije dobijamo da je

• P x 1 = 150 x 0.78 tj P=117 .

• Znači 117 studenata je položilo ispit a palo je 150-117=33 studenta.

Kako imamo 117 prelaznih ocena i među njima 42 ocene 6 znači imamo da je

• G=117 i P=42 pa opet iz proporcije

117:42=1:p dobijamo da je p=0.35897 tj

p=35.897%.

Znači ocenu 6 dobilo je 35.897% studenata.

• Ocenu 7 dobilo je 23 studenta pa je

117:23=1:p pa je p=0.19658=19.658%

• Ocenu 8 dobilo je 15 studenata tako da je 117:15=1:p tj p=0.1282=12.82%

• Ocenu 9 dobilo je 12 studenata tako da je 117:12=1:p tj p=0.10256=10.256%

• Preostalih 117-(42+23+15+12) =25 studenata dobilo je 10 ili procentualno

• 100%-(35.897%+19.658%+12.82%+10.256%)=

• =28.369% studenata je dobilo ocenu 10.

Procentni račun više 100 i procentni račun niže 100

• Često se u praktičnim problemima pojavljuje uvećana ili umanjena glavnica G za odgovarajući procentni prinos P pri zadatoj stopi p tako da nam je umesto G poznato G+P ili G-P.

• U prvom slučaju radi se o procentnom računu više 100 (ili na 100) a u drugom slučaju radi se o procentnom računu niže 100 ( ili u 100).

• Do odgovarajućih formula dolazimo rezonujući na isti način ili koristeći osobine proporcije tako da iz G : P = 1 : p dobijamo

• (G ± P):P=(1± p):p ili (G ± P):G=(1 ± p):1

• Iz ovih proporcija imamo da je

pPG

G

1

odnosno

ppPG

P

1

• Primer 1: Ako je cena neke robe sa PDV od 8% 24 840 dinara koliko iznosi cena bez PDV-a?

• Rešenje: • Dato je p=8%=0.08 , G+P=24840 dinara i treba

izračunati G. Kako je

• znači G = 24840/(1+0.08) tj G=24840/1.08

pa dobijamo da je cena bez PDV G=23000 din.

pPG

G

1

Primene procentnog računa

• Ako se glavnica G0 uzastopno menja

po različitim stopama

svaka sledeća promena se računa na glavnicu dobijenu posle prethodne promene.

,p,...p,p n21

• Znači ako se glavnica G0 prvo promeni (poveća ili smanji ) po stopi p1

tada je nova vrednost glavnice

• G1=G0 ± P1

• a kako je P1=G0*p1 dobijamo

G1=G0 ± P1 = G0 ± G0p1 = G0( 1± p1).

• Znači G1 = G0( 1± p1)

• Posle druge promene po stopi p2 nova vrednost glavnice je

G2= G1 ± P2 = (kako je P2=G1p2)

• = G1 ± G1p2 =

• = G1( 1 ± p2)= (kako je G1=G0( 1± p1))

• = G0( 1 ± p1)( 1± p2)

• Znači G2 = G0( 1± p1)( 1± p2)

Nastavljajući na isti način dobijamo da se posle n uzastopnih promena po različitim procentnim stopama p1,p2,...pn

krajnja vrednost glavnice G0

dobija po formuli :

Gn = G0( 1± p1)( 1± p2).....(1 ± pn)

• Do stope ukupne promene pu tj stope koja pokazuje koliko se ukupno procentualno početna vrednost promenila, dolazimo na sledeći način:

• Ako se krajnja vrednost glavnice dobija samo sa jednom procentnom stopom ,umesto n uzastopnih promena po različitim procentnim stopama pi ,tada je

• Gn=G0(1± pu ) . • Kako je • Gn = G0( 1 ± p1)( 1 ± p2).....(1± pn)

• dobijamo

G0(1± pu ) = G0( 1 ± p1)( 1 ± p2).....(1± pn)

• Ako levu i desnu stranu podelimo sa G0 dobijamo:

1 ± pu = (1± p1)( 1 ± p2).....(1 ± pn) tj

pu = (1 ± p1)( 1 ± p2).....(1 ± pn) – 1

• Ako je stopa pu pozitivna znači da je sa n uzastopnih promena došlo do povećanja glavnice G0 tj da je krajnja vrednost veća od početne (Gn > G0)

• a ako je stopa pu negativna znači da su sukcesivne promene dovele do smanjenja početne vrednosti (Gn < G0).

• Primer 1: Posle dva poskupljenja po stopama od 12.6% i 18.3% i jednog pojeftinjenja od 22.5% cena neke robe je 4526 dinara. Kolika je početna cena robe? Da li je krajnja cena veća od početne i koliko ta razlika iznosi u dinarima i procentima?

• Rešenje: p1=+12.6%= +0.126 ,

p2=+18.3%= +0.183 ,

p3= -22.5%= -0.225

Gn= 4526

• Kako je Gn = G0( 1 p1)( 1 p2).....(1 pn)

Dobijamo

• 4526= G0(1+0.126)(1+0.183)(1-0.225)

• 4526= G0* 1.03234495

odakle je

• G0=4384.19 dinara

• Znači Gn > G0 i ta razlika u dinarima je

• 4526-4384.19=141.81 dinar • a u procentima

• pu= (1+0.126)(1+0.183)(1-0.225)-1=0.0323

• tj pu=3.23%.

• Ukoliko želimo da promenjenu

(povećanu ili smanjenu) glavnicu Gn vratimo na početnu vrednost G0 dobijamo stopu p0 tj stopu vraćanja na početni nivo na sledeći način :

• I) Ako je Gn > G0 ,krajnju vrednost Gn

treba umanjiti za procentni prinos P

koji izračunavamo u odnosu na Gn

po stopi p0 tj

P = Gn*p0

• tako da je

• G0= Gn-P = Gn-Gnp0 = Gn(1-p0)

• Kako je Gn=G0(1+pu) dobijamo

G0= G0(1+pu)(1-p0) / : G0 pa dobijamo

1= (1+pu)(1-p0)

odakle je tražena stopa vraćanja krajne vrednosti na početni nivo je

• Kako je i pri tome

• dobijamo da je .

u

u

u p

pp

pp

111

1 00

uu ppp

11

0 111

up

upp 0

• Dakle stopa p0 , po kojoj uvećanu glavnicu Gn treba umanjiti da bi se dobila prvobitna vrednost G0 , je manja od stope pu po kojoj je glavnica G0 uvećana da bi se dobilo Gn.

II) Ako je Gn < G0 na isti način rezonujući dobijamo da je stopa vraćanja tj uvećanja krajnje vrednosti na nivo G0 dobijamo po formuli

u

u

pp

p

10

• Kako je ovde i pri tome je

, u ovom slučaju imamo da je .

• Dakle stopa p0 , po kojoj umanjenu glavnicu Gn treba uvećati da bi se dobila prvobitna vrednost G0 , je veća od stope pu po kojoj je glavnica G0 umanjena da bi se dobilo Gn.

uu ppp

11

0

111

up

upp 0

Rezime• 1. Posle n uzastopnih promena po različitim

procentnim stopama p1,p2,...pn krajnja vrednost glavnice G0 dobija se po formuli :

Gn = G0( 1± p1)( 1 ± p2).....(1± pn)• 2. Stope ukupne promene pu

pu = (1 ± p1)( 1± p2).....(1± pn) – 1• 3. Stopa vraćanja krajne vrednosti na početni nivo •

a) Ako je Gn > G0 tj ako je pu > 0: • b) Ako je Gn < G0 tj ako je pu< 0 :

u

u

p

pp

10

u

u

p

pp

10

• Ispitni zadatak :• Posle dva pojeftinjenja po stopama od

6,52% i 9,17% i jednog poskupljenja po stopi od 12,34% cena neke robe je 10200 dinara.Odrediti:

• a) Početnu cenu robe,• b) Ukupnu procentnu stopu po kojoj je i na

koji način početna cena promenjena na vrednost zadnje cene

• c) Po kojoj stopi i na koji način treba promeniti zadnju cenu pa da se dobije početna cena,

• d) Ako je planirano ukupno povećanje cene po stopi od 12,63%, kako i na koji način i po kojoj stopi treba posle tri napred date promene cena i četvrti put promeniti cenu? U tom slučaju izračunati procentnu stopu vraćanja zadnje cene na početni nivo.

• e) Ako je planirano ukupno smanjenje cene po stopi od 5,21%, kako i na koji način i po kojoj stopi treba posle tri napred date promene cena i četvrti put promeniti cenu? U tom slučaju izračunati procentnu stopu vraćanja zadnje cene na početni nivo.

• f) Ako se do početne cene došlo tako što je na nabavnu cenu najpre plaćena provizija posredniku po stopi od 1,63% na nabavnu cenu i transportni troškovi po stopi od 2,61% na nabavnu cenu, a zatim na tako formiranu cenu još i porez na promet po stopi od 18,48%, izračunati: Nabavnu cenu, proviziju, transportne troškove i porez na promet.

• Rešenje: p1=-6.52%= -0.0652 ,

p2=-9.17%= -0.0917 ,

p3= +12.34%= +0.1234

Gn= 10200

a) Kako je Gn = G0( 1 p1)( 1 p2).....(1 pn)

imamo da je

10200= G0(1-0.0652)(1-0.0917)(1+0.1234)

odakle dobijamo da je G0=10693.45 dinara.

Znači krajnja vrednost je manja od početne.

b) Iz formule pu = (1 p1)( 1 p2).....(1 pn) – 1 dobijamo

pu= (1-0.0652)(1-0.0917)(1+0.1234) – 1 tj

pu= - 0.0461= - 4.61%

Kako je stopa ukupne promene negativna i ona pokazuje da je krajnja cena manja od početne tj da je došlo do sniženja početne cene za 4.61%.

• c) Kako je pu negativno tj krajnja vrednost je manja od početne stopu vraćanja na početni nivo p0 dobijamo po obrascu

• tako da je

• tj p0= 0.04833 a to znači da krajnju vrednost

(Gn= 10200 ),koja je manja od početne

(G0= 10693.45) , treba uvećati za 4.833% da bi se vratila na početni nivo.

• Primećujemo da je p0=4.833% veće od pu=4.61%.

04610104610

0 ..

p

u

u

p

pp

10

• d) Sa datim stopama početna cena se ukupno promenila tj smanjila za 4.61%.

Ako je planirano ukupno povećanje početne cene za 12.63% znači da treba još jednom promeniti cenu po stopi p4 da bi se postiglo ukupno povećanje od 12.63%.

• Znači želimo da pu=+0.1263 pa treba odrediti stopu p4 koja će sa prethodne 3 stope dati očekivano povećanje.

• Samim tim ova stopa ukupne promene biće:

pu= (1-0.0652)(1-0.0917)(1+0.1234)(1+ p4) – 1

• Kako je pu= +0.1263 :

+0.1263=

(1-0.0652)(1-0.0917)(1+0.1234)(1+ p4 ) – 1

Odavde dobijamo

0.1263=0.9348*0.9083*1.1234*(1+ p4) – 1

tako da je

1.1263= 0.953855*(1+ p4)

pa je 1+ p4=1.18079

odnosno p4 = 0.18079 .

Kako je p4 pozitivno znači da četvrta promena treba da bude povećanje od 18.079%.

Pošto je pu= +0.1263 stopa p0=0.1263/1.1263=0.11214 tj p0 =11.214%

• e) Sa datim stopama početna cena se ukupno promenila tj smanjila za 4.61%. Ako je planirano ukupno smanjenje početne cene za 5.21% znači da treba još jednom promeniti cenu po stopi p4 da bi se postiglo ukupno smanjenje od 5.21% .

• Znači želimo da pu= -0.0521 pa treba odrediti stopu p4 koja će sa prethodne 3 stope dati očekivano smanjenje.

• Samim tim ova stopa ukupne promene biće:

pu= (1-0.0652)(1-0.0917)(1+0.1234)(1+ p4) – 1

• Kako je pu=-0.0521 :

- 0.0521=

(1-0.0652)(1-0.0917)(1+0.1234)(1+ p4) – 1

Odavde dobijamo

-0.0521=0.9348*0.9083*1.1234*(1+ p4) – 1

tako da je 0.9479= 0.953855*(1+ p4)

pa je 1+ p4=0.99378 odnosno p4= -0.00622 .

Kako je p4 negativno znači da četvrta promena treba da bude smanjenje od 0.622%.

Pošto je pu= -0.0521 stopa p0 će biti

p0=0.0521/(1-0.0521)=0.05496 tj p0=5.496% .

• f) Iz teksta imamo da je početna cena formirana tako što je nabavna cena uvećana za proviziju posredniku,transportne troškove i porez na promet tj

• G0= NC + Pr + T + PP

pri čemu je:

* provizija posredniku 1.63% od nabavne cene tj Pr=1.63%NC odnosno Pr=0.0163xNC,

* transportni troškovi su računati po stopi od 2.61% na nabavnu cenu tj T=2.61%NC tj

T=0.0261*NC ,

• Porez na promet je 18.48% ali ne od nabavne cene, jer stoji da je *na tako formiranu cenu * obračunat porez tj na cenu dobijenu uvećanjem nabavne cene za proviziju i transportne troškove, pa je

PP = 18.48%(NC+Pr+T)

= 0.1848*(NC+Pr+T)

• PP=18.48%(NC+Pr+T)=0.1848*(NC+Pr+T)

• Ako ovo malo sredimo,ubacujući već dobijene relacije za Pr i T, (Pr=0.0163xNC, T=0.0261*NC ) dobijamo:

• PP=0.1848*(NC+0.0163NC+0.0261NC)=

= 0.1848*NC(1+0.0163+0.0261)=

= 0.1848*NC*1.0424 = 0.19264*NC

• Da bi dobili koliko je NC,Pr,T i PP vratićemo se na početnu relaciju :

• G0= NC + Pr + T + PP

• Kako je G0=10693.45 , Pr=0.0163*NC, T=0.0261*NC i PP=0.19264*NC, dobijamo:

10693.45=NC+0.0163NC+0.0261NC+0.19264NC

tako da je 10693.45=NC(1+0.0163+0.0261+0.19264)

10693.45=NC*1.23504 pa je NC=8658.38 din.

Znajući NC sada lako dobijamo:

• Pr=0.0163*NC=0.0163*8658.38= 141.13 din.

• T=0.0261*NC= 0.0261*8658.38 = 225.98 din

• PP= 0.19264*8658.38 = 1667.95 dinara.

• Dobijeni rezultat možemo proveriti:

8658.38+141.13+225.98+1667.95= 10693.45

a to je G0 .

• 2. Zbir cena proizvoda A,B i C je 19800 dinara pri čemu cene stoje u odnosu 2 : 3 : 4.

• Ako je proizvod A najpre poskupeo po stopi od 12.36% a zatim pojeftinio po stopi od 10.38%, proizvod B je najpre 2 puta pojeftinio po stopama od 9,72% i 11,33% a zatim poskupeo po stopi od 15.78% i proizvod C najpre 2 puta poskupeo po stopama od 6.38% i 12.43% a zatim pojeftinio po stopama od 8.95% i 9.72% izračunati :

• A) Zbir ukupnih krajnjih cena sva tri proizvoda,

• B) da li je ovim promenama cena preduzeće ostvarilo gubitak ili dobitak i koliko on iznosi u dinarima i u procentima.

Rešenje: a) Cena proizvoda A : G0

Cena proizvoda B : G’0

Cena proizvoda C : G0’’

G0=? , G0’=? , G0’’=?

Kako je G0+ G0’+ G0’’=19800

I pri tome

G0 : G0’ : G0’’ = 2 : 3 : 4

Imamo da je G0=2k

G0’=3k

G0’’=4k

• Iz G0+ G0’+ G0’’=19800 sada dobijamo

• 2k + 3k + 4k = 19800

•

• 9k = 19800 pa je k = 2200

• Znači:

• cena proizvoda A = 2k = 2*2200=4400 din.

• cena proizvoda B = 3k = 3*2200=6600 din.

• cena proizvoda C = 4k = 4*2200=8800 din.

• Za proizvod A tj G0=4400 imamo:

p1= +12.36%= + 0.1236 ,

p2= -10.38%= - 0.1038 pa dobijamo

Gn = G0( 1 ± p1)( 1 ± p2).....(1± pn)

Gn=4400(1+0.1236)(1-0.1038)

Gn = 4430.67 dinara

• Za proizvod B tj G0’=6600 imamo:

p’1= -9.72%= - 0.0972 ,

p’2= -11.33%= - 0.1133 pa dobijamo

p3= +15.78%= + 0.1578

G’n = G0( 1 ± p1)( 1 ± p2).....(1± pn)

G’n=6600(1-0.0972)(1-0.1133)(1+0.1578)

G’n = 6117.10 dinara

• Za proizvod C tj G0’’=8800 imamo:

p’’1= + 6.38%= +0.0638 ,

p’’2= + 12.34%= +0.1234

p’’3= -8.65%= - 0.0865

p’’4= -9.72%= - 0.0972 pa dobijamo

G’’n = G0( 1 ± p1)( 1 ± p2).....(1± pn)

G’’n=8800(1+0.0638)(1+0.1234)(1-0.0865)(1-0.0972)

G’’n = 8680.10 dinara

Zbir krajnjih cena sva tri proizvoda biće

4430.67 + 6117.10 + 8680.10 = 19227.87

b) Kako je početni zbir cena sva tri proizvoda bio 19800 dinara a zbir krajnjih cena je

19227.87 zaključujemo da je ovim promenama cena preduzeće ostvarilo gubitak koji u dinarima iznosi

19800 – 19227.87 = 572.13 dinara.

Da bi izračunali koliko to iznosi procentualno u odnosu na početni zbir imamo da je G = 19800 i P=572.13 pa je p=P/G tj p= 572.13/19800 = 0.02889 .

Znači gubitak je 2.889% od početnog zbira.

3. Cena neke robe je 1000 dinara. Posle 4 sukcesivna poskupljenja po istoj procentnoj stopi dobijena je cena od 1800 dinara.

Po kojoj procentnoj stopi treba zadnju cenu promeniti da bi se dobila početna cena ?

Ako se posle napred navedena 4 poskupljenja cena robe najpre poveća po stopi od 11.14% a zatim smanji za po stopi od 10.18% izračunati zadnju cenu robe.

• Rešenje : Znači imamo 4 uzastopna povećanja po istoj procentnoj stopi tako da je

Gn = G0( 1 + p)( 1 + p)(1+ p) (1+ p) odnosno

Gn = G0( 1 + p)4 . Znači

1800 = 1000 ( 1 + p)4

( 1 + p)4 = 1.8

158291811 4 .. p

tj p = 0.15829 = 15.829%

Znači 4 sukcesivna povećanja su bila po stopi od 15.829%.

Procentna stopa po kojoj zadnju cenu treba promeniti da bi se dobila početna cena je stopa p0 pa kako je Gn>G0 :

u

u

p

pp

10

Stopu pu možemo izračunati po obrascu ili iz činjenice da je

Gn=G0(1+pu) tako da je 1800 = 1000(1+ pu )

1800 = 1000(1+ pu )

1+ pu = 1.8 tj pu = 0.8

Znači tako da je

p0 = 0.4444 = 44.44%

u

u

pp

p

10 801

800 .

.p

Pošto se cena dobijena posle 4 sukcesivna povećanja dalje menja imamo da je

G0 = 1800

p1 = + 11.14% = 0.1114

p2 = - 10.18% = 0.1018

Gn = 1800( 1 + 0.1114)( 1 – 0.1018)= 1796.87