1

2

Procedure van de Pythagoreeërs om de grootste gemeenschappelijke deler te vinden

• Neem beide getallen. • Trek het kleinste getal af van het grootste getal • Ga verder met het antwoord en het kleinste • Trek weer het kleinste getal af van het grootste• ga net zo lang door tot je twee dezelfde getallen hebt.

• Dat is de ggd

3

• Elk paar gehele getallen heeft een ggd

• 25 en 20 • 4 en 3 • 127 en 126

• Je kan dus altijd de ggd vinden van een paar gehele getallen.

4

Conclusie

• Met gehele getallen en breuken hebben we oneindig veel getallen op de positieve getallenlijn

• Daarmee hebben we alle positieve getallen die er zijn.

toch?

5

6

Hints bij opdracht 5

• Kies bijvoorbeeld |AB| = 1 en |BE|=x en druk andere zijden uit in x.

• Gebruik BEA ABD’

• Gebruik de congruentie van driehoeken. Daardoor zijn veel zijdes even lang.

7

Mona Lisa 1503-1506 Leonardo da Vinci

8

Mens van Vitruvius van Leonardo da Vinci omstreeks 1490

9Pentagram-man van Agrippa 1533

10

Def 6: Een even getal is deelbaar in twee gelijke delenDef 7a: Een oneven getal is niet deelbaar in twee gelijke delenDef 7: Een oneven getal verschilt 1 van een even getalDef 15: A maal B is de som van A getallen B (dus is B+B+B+ …. )

11

Bewijs stelling 23

De som van een oneven aantal oneven getallen =De som van (een even aantal +1) oneven getallen (def.7b) =De som van een even aantal oneven getallen plus een oneven getal = De som van een even aantal oneven getallen plus een even getal + 1 (def 7b) =Een even getal (stelling 22) plus een even getal + 1 = Een even getal (stelling 21) + 1 = Een oneven getal (def 7b)

12

Bewijs stelling 29Oneven maal oneven =De som van een oneven aantal oneven getallen (def 15) = Oneven (stelling 23)