Probl¨mes corrig©s

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  • PROBLMES CORRIGS Il nest pas de problme quune absence de

    solution ne finisse par rsoudre.

    Aphorisme attribu Henri QUEUILLE

    PROBLME N 1 : Coefficient dchange nonc Le transfert de chaleur entre deux fluides seffectue travers un tube dacier de diamtres intrieur/extrieur 18 / 21 mm. On donne :

    - ct intrieur : Km/W1000h 21 = ; temprature moyenne de mlange C10T1 =

    - ct extrieur : Km/W2000h 22 = ; temprature C25T2 = - acier : K.m/W46= 1. Calculer le coefficient global dchange k. 2. Aprs un an de fonctionnement, on estime avoir une rsistance dencrassement

    KmW10.4R 214e= . Dterminer le nouveau coefficient dchange global.

    3. En attribuant une efficacit de 1 au tube neuf, que devient cette efficacit au bout dun an ? 4. Quel est alors le flux chang dans un tube de longueur L = 1 m ? Solution 1. La paroi du tube a pour paisseur :

    m10.5,1mm5,12

    1821

    2

    dDe 3====

    Comme elle est mince par rapport aux diamtres, en ngligeant sa courbure on peut calculer k partir de la formule (6.2a) relative une paroi plane, avec 0Re = :

    2000

    1

    46

    10.5,1

    1000

    1

    h

    1e

    h

    1

    k

    1 3

    21++=++=

  • 3333 10.53,110.5,010.03,010k

    1 =++=

    On constate que la rsistance thermique /e de la paroi ne reprsente ici que 2% de la rsistance totale. Enfin :

    Km/W653k 2= 2. En prsence dune rsistance dencrassement, on applique maintenant la formule (6.2a) complte :

    33

    2e

    1

    10.93,110)5,003,04,01(

    h

    1eR

    h

    1

    k

    1

    =+++=

    +++=

    Km/W518k 2= 3. Lefficacit dont il est question dans lnonc doit tre comprise comme un rapport

    maxrel / (dfinitions 3.5 et 4.37), soit ici :

    653

    518

    k

    kE

    neuf

    an1

    neuf

    an1 ===

    793,0E = 4. La surface dchange nest pas la mme des deux cts. Suite la question 1, on calcule une valeur approche de par (6.10) ( 6.2.3) : 110

    2

    1821L

    2

    dD 3 +=+=

    23 m10.61 = Le flux chang est donn par (6.2c) qui scrit avec les notations de lnonc :

    1510.61518)TT(k 312 ==

    W475= Commentaires Cet exercice trs lmentaire a surtout pour objet de matrialiser des ordres de grandeur. Pour les tudiants, sa principale difficult rside dans le calcul de lpaisseur de la paroi, qui nest pas dD comme on le lit souvent !!

  • PROBLME N 2 : Mthode NUT nonc Un changeur contre-courant fonctionne dans les conditions suivantes :

    kW415Puissanceqq

    C290TC200T

    C120TC350T

    tfmint

    fscs

    fece

    ==

    ==

    ==

    1. Quelle est la puissance change si on fait travailler lchangeur en mode co-courant, avec les mmes tempratures dentre et les mmes dbits ? (Utiliser la mthode NUT). 2. Quelles sont les nouvelles tempratures de sortie ? Solution 1. En contre-courant, avec tfmint qq = , on a pour efficacit (cf. 3.11) :

    74,0120350

    120290

    TT

    TTE

    fece

    fefs ==

    =

    882,0120290

    200350

    TT

    TTR

    fefs

    csce ==

    =

    et, partir du tableau 3.1 :

    45,2E1

    ER1Ln

    R1

    1NUT =

    =

    En circulation co-courant, les dbits ntant pas modifis, les coefficients dchange ne le sont pas non plus. On garde donc le mme NUT (vu que mintq/kNUT = ). Par contre, la nouvelle efficacit E scrit (tableau 3.1) :

    [ ]{ }NUT)R1(1exp1R1

    1'E +

    +=

    Il vient, aprs remplacement de R et NUT par leur valeur : 526,0'E = Puisque les conditions dentre sont identiques dans les deux cas, la nouvelle puissance ' est telle que :

    E

    'E' =

    ceci daprs la relation (3.12). Alors :

    74,0

    526,0415' =

    kW295' = cest--dire 70% de la puissance en contre-courant.

  • 2.

    La nouvelle temprature de sortie froide 'fsT sobtient partir de la nouvelle efficacit :

    fece

    fe'fs

    TT

    TT'E

    =

    )120350(526,0120

    )TT('ETT fecefe'fs

    +=

    +=

    C241T 'fs =

    et la nouvelle temprature de sortie chaude 'csT partir de R :

    882,0TT

    TTR

    fe'fs

    'csce =

    = inchang

    )120241(882,0350

    )TT(RTT fe'fsce

    'cs

    =

    =

    C3,243T 'cs = Commentaires Il y a dautres faons de rsoudre ce petit exercice, par exemple en utilisant les rsultats du chapitre 2. Mais la dmarche prconise permet de se roder la mthode NUT dans un cas simple. Avec cette valeur de R, on est dj dans la zone asymptotique dun changeur co-courant (fig. 3.1), et les tempratures de sortie sont donc trs voisines.

  • PROBLME N 3 : changeur bitube nonc Pour refroidir un dbit de 9,4 kg/h dair de 616 C 178 C, on le fait passer dans le tube central dun changeur bitube contre-courant de 1,5 m de long, de 2 cm de diamtre et de faible paisseur. 1. Calculer la puissance calorifique vacuer. On donne pour lair :

    Kkg/J1060C pc = . 2. Le fluide de refroidissement est de leau, qui pntre dans la section annulaire la temprature de 16 C avec un dbit de 0,6 l/mn. Calculer la temprature de cette eau la sortie de lchangeur. On prendra Kkg/J4180C pf = . 3. Calculer le coefficient dchange ch ct fluide chaud (on ne tiendra pas compte

    dune ventuelle correction en p/ ). 4. Dterminer lefficacit de cet changeur, puis son NUT. En dduire le coefficient dchange global, puis le coefficient dchange fh ct fluide froid.

    5. La paroi extrieure de lchangeur est isole. Quelle est approximativement lpaisseur b de lespace annulaire qui permettrait dobtenir cette valeur de fh ? (On

    admettra dabord lcoulement laminaire, et on vrifiera ensuite cette proprit). Solution 1. Le flux total peut se calculer ct chaud : )TT(q cscetc = Daprs les donnes, le dbit thermique unitaire chaud est :

    10603600

    4,9Cqq pcmctc ==

    K/W77,2qtc = et alors : )178616(77,2 = W1213= 2. Le calcul du flux total ct froid va maintenant nous donner fsT .

    )TT(q fefstf = avec ici :

    418060

    6,0Cqq pfmftf == ( mn/kg3,0qmf = )

    K/W8,41qtf = do :

    29168,41

    121316

    qTT

    tffefs ++=+=

  • C45T fs 3. Il faut dabord connatre le rgime dcoulement de lair, donc le Reynolds ct chaud. La temprature moyenne de lair est approximativement ( 6.2.1) :

    K670C3972

    178616

    2

    TTT cscec ==

    +=+

    =><

    A cette temprature, les tables donnent :

    s/m10.20,6;m/kg525,0 25c3

    c==

    La section du tube est : 24222

    c m10.14,34

    )10.2(

    4

    dS

    ===

    On en dduit la vitesse dbitante :

    4

    cc

    mcc

    10.14,3525,0

    1

    3600

    4,9

    S

    qV

    ==

    s/m8,15Vc = do le nombre de Reynolds :

    510010.20,6

    10.28,15dVRe

    5

    2

    c

    cc

    ==

    Il sagit dun rgime de transition. On peut donc utiliser la formule (4.26), en notant que le rapport 150/2L/d = est ngligeable (lnonc nous demande galement dignorer la correction en p/ ):

    ( ) 3/2c3/2cc

    c Pr125ReRe

    116,0St =

    Pour calculer ch , il est un peu plus rapide ici de passer par le nombre de Nusselt

    (4.10d, 4.1.5) :

    ( ) 3/1c3/2ccccc Pr125Re116,0PrReStNu == A 670 K, le nombre de Prandtl de lair est : 68,0Prc = . On trouve : 25,17Nuc = Toujours 670 K, la conductivit de lair est : Km/W0505,0c = .

    c

    cc

    dhNu

    = do

    02,0

    0505,025,17hc

    =

    Km/W5,43h 2c = 4. On constate que : K/W77,2qq tcmint == , do lefficacit (formule 3.10) :

    600

    438

    16616

    178616

    TT

    TTE

    fece

    csce ==

    =

    73,0E =

  • Daprs le tableau 3.1, pour un changeur contre-courant :

    E1

    ER1Ln

    R1

    1NUT

    =

    et dans le cas prsent :

    066,08,41

    77,2

    q

    qR

    maxt

    mint ===

    donc :

    52,3Ln07,173,01

    73,0066,01Ln

    066,01

    1NUT =

    =

    35,1NUT = De la dfinition du NUT (3.14a) on tire alors :

    mintqNUTk =

    Puisque lpaisseur du tube central est faible, on ne fait pas la distinction entre surface dchange ct chaud et ct froid, et on nglige la rsistance thermique de la paroi. Donc : Ldtubedulatralesurface == 22 m094,05,110.2 ==

    094,0

    77,235,1k

    =

    Km/W8,39k 2= Le coefficient dchange global sexprime aussi partir de (6.2a) (e et eR tant

    ngligs) :

    8,39

    1

    h

    1

    5,43

    1

    h

    1

    h

    1

    k

    1

    ffc=+=+=

    On en dduit :

    Km/W500h 2f 5. Dans un change eau-air, la temprature de paroi est proche de celle de leau. Dans le cas prsent, celle-ci varie peu. On peut donc admettre la condition cteTp . La paroi extrieure (concave) tant isole, et lcoulement suppos laminaire, la formule (4.44) sapplique. Elle donne Nu en fonction de 12 R/R .

    Dautre part, fhf /DhNu = , avec ici b2)RR(2D 12h == (formule 4.42). En partant dune valeur arbitraire mais raisonnable de b, on peut par approximations successives ajuster Nu avec la valeur donne par (4.44). La temprature moyenne approche de leau (fluide froid) est :

    C5,302

    4516

    2

    TTT

    fsfef =

    +=+

    =><

  • La conductivit correspondante (voir tables) est K.m/W612,0f = .

    Essayons avec mm3bRR 12 == (ce qui fait 3,110310

    R

    R

    1

    2 =+= ).

    92,4612,0

    10.32500Nu

    3

    ==

    Daprs (4.44), pour obtenir cette valeur de Nu, il faudrait un rapport 05,1R/R 12 = e