PROBLEME - · Web view PROBLEME PROPUSE PENTRU GIMNAZIU Clasa a V-a Dacă elevii unei clase se aşază câte doi într-o bancă ramân 3 elevi în picioare, iar dacă se aşază câte

PROBLEME

PROBLEME PROPUSE PENTRU GIMNAZIU

Clasa a V-a

1. Dacă elevii unei clase se aşază câte doi într-o bancă ramân 3 elevi în picioare, iar dacă se aşază câte 3 într-o bancă ramân 4 bănci libere şi una ocupată de un singur elev. Câte bănci şi câţi elevi sunt în clasă?

Maria Avram, Ploieşti

2. Într-o cutie se află 30 de bile numerotate de la 1 la 30. Aflaţi cel mai mic număr de bile pe care trebuie să-l scoatem din cutie, pentru a fi siguri că printre ele se află o bilă pe care este scris un număr care se împarte exact la 3.

Elena Matei, Mărăcineni, Argeş

3. Într-o cutie sunt mai mult de 65 dar mai puţin de 80 nasturi.O treime sunt albi,un sfert sunt negri ,iar restul sunt roşii.

a) Câţi nasturi sunt în cutie?

b) Câţi nasturi sunt de fiecare fel?

Titus Dobândă, Făget, Timiş

4. Să se împartă la trei persoane 24 sticle de suc identice ca mărime, din care 5 sunt pline, 11 umplute pe jumătate şi 8 goale, încât fiecare să aibă acelaşi număr de sticle, dar şi aceeaşi cantitate de suc.

Nicolae Scuratovschi, Constanţa

5. Suma a trei numere este 134. Dacă adăugăm la fiecare acelaşi număr, obţinem 48, 53 şi 69. Care sunt numerele?

Raluca Pană, Ploieşti

6. Determinaţi n, p numere prime astfel încât

2008

)

2

(

2

=

-

+

p

p

n

p

.

Daniela Bucur, Ploieşti

7. Aflaţi numerele naturale a, b, c care satisfac egalităţile:

.

3

:

]

24

:

)

36

[(12

c

a

;

4

]}

)

(81

:

)

[(27

:

)

9

{(3

c

b

;

9

]}

)

(32

:

)

[(16

:

)

8

{(2

b

a

3

2

3

2

3

2

4

3

6

4

3

5

4

6

5

×

=

×

×

×

=

×

×

×

=

×

Maria Negrilă şi Anton Negrilă, Ploieşti

8. Comparaţi numerele:

)

3

...

3

(3

2

3

a

100

1994

1995

1996

+

+

+

×

-

=

şi

)

2

...

2

(2

2

b

150

1994

1995

1996

+

+

+

-

=

Octavian Purcaru,Ploieşti

9. Numerele naturale a, b, c, d împărţite la 5 dau câturi numere impare consecutive şi resturi nenule diferite.

a) Arătaţi că a + b + c + d se divide cu 10.

b) Determinaţi valoarea minimă a sumei a + b + c + d.

Stelian Banu, Câmpina

10. Să se afle ultima cifra a numarului ,, a “ si sa se arate ca ,, a “ este pătrat perfect, unde a = (1+2+3+ ... +2006) 1+2+3+ ... +2007

Luminiţa Corneci Valenii de Munte

Clasa a VI-a

1. Se consideră numărul A = 13 + 12∙13 + 12∙132 + 12∙133 + … + 12∙132003.

a) Să se arate că A = 132004;

b) Să se scrie numărul A ca o sumă de două pătrate perfecte;

c) Să se scrie numărul A ca o sumă de 13 numere naturale consecutive.

Alexandrina Stanciu, Ploieşti

2. Fie unghiurile AOB, BOC, COD formate în jurul punctului O, astfel încât

111

ˆˆˆˆ

m(AOB) = m(BOC) = m(COD) = m(DOA)

234

.

a) Calculaţi măsura unghiului

ˆ

AOB

;

b) Arătaţi că semidreapta opusă semidreptei (OC este bisectoarea unghiului

ˆ

AOD

.

Mihaela Ionescu, Ploieşti

3. Fie unghiurile AOB, BOC, COD adiacente două câte două care au suma măsurilor lor de 1500 şi îndeplinesc condiţiile:

b

a

BOC)

m(

AOB)

m(

=

<

/

<

/

,

()

mCODc

=

R

unde a, b şi c sunt numere naturale prime care verifică relaţia 3a+b+6c =51. Dacă [OM şi [ON sunt bisectoarele unghiurilor BOC, respectiv COD, aflaţi măsura unghiului MON.

Ion Tomescu, Mizil

4. Unghiurile

<

/

AOB,

<

/

BOC şi

<

/

COD sunt adiacente două câte două astfel încât (OA şi (OD sunt semidrepte opuse. Determinaţi măsurile lor ştiind că sunt direct proporţionale cu elementele mulţimii

þ

ý

ü

î

í

ì

Î

+

Î

=

N

1

x

15

|

N*

x

A

, scrise în ordine crescătoare.

Ion Lupea Ploieşti şi Ion Tomescu Mizil

5. Fie mulţimile

{

AxN

=Î

|

20042006

22}

xsi

£<

EMBED Equation.DSMT4

{

BxN

=Î

|

1337

3}

x

£

. Aflaţi cardA şi cardB.

Daniela Badea şi Ion Dumitrache, Ploieşti

6. La un concurs de matematica cei 50 de concurenti au avut de rezolvat patru probleme. Dupa corectare, s-a observat ca 40 de elevi au rezolvat corect prima problema, 42 au rezolvat-o pe a doua, 36 pe cea de-a treia ¸si 37 pe a patra.

a) Sa se gaseasca numarul minim de elevi care au rezolvat corect primele doua probleme.

b) Sa se arate ca cel pu¸tin 5 concurenti au ob¸tinut punctajul maxim.

Marius Perianu, Slatina

7. Într-o cariera sunt 50 de blocuri de piatra, având greutatile de 370 kg, 372 kg, 374 kg, ..., 468 kg.(Fiecare piatra, începând cu a doua, are cu 2 kg mai mult decât precedenta).

a) Sa se arate ca greutatea blocurilor de piatra nu depaseste 21 de tone.

b) Se pot transporta blocurile cu 7 camioane de câte 3 tone, fiecare camion facând un singur transport?

Marius Perianu, Slatina

8. Ştiind cǎ

2009

3

2008

1

2007

1

2006

1

=

+

+

+

+

+

c

b

a

, sǎ se arate cǎ

2009

9

2008

2

2007

1

2006

=

+

+

+

+

+

+

+

c

c

b

b

a

a

.

Eugeniu Blǎjuţ, Bacău

9. Sǎ se determine numerele prime, a, b, c, d ştiind cǎ:

60a + 90b + 72c + 119d = 2008.

Eugeniu Blajuţ, Bacău

10. Să se determine numerele naturale x şi y cu x ≥ 3 care satisfac egalitatea:

14x-3+5y+10=636.

Petre Burduşel, Ploieşti

Clasa a VII-a

1. Aflaţi numărul natural “a” ştiind că

.

111

9

4

3

2

1

=

+

+

+

+

a

a

a

a

a

Dănoiu Adriana, Popeşti- Goleşti,. Vâlcea

2. Demonstrati inegalitatea:

11113

...

10051006100720084

++++<

.

Ioana Craciun si Gheorghe Craciun, Ploiesti

3. Fie triunghiul ABC cu [AB] ( [AC], m

<

/

(BAC) = 300 şi M mijlocul lui [BC]. Se pun în evidenţă simetricele P şi Q ale punctului M faţă de dreptele AC, respectiv AB. Dreapta PQ intersectează dreptele AC şi AB în E, respectiv F.

a) Ce fel de triunghi este APQ?

b) Calculaţi perimetrul triunghiului MEF ştiind că AM = 2 cm.

Octavian Purcaru, Ploieşti

4. Arătaţi că numărul A = 1 – 2 – 3 + 4 – 5 – 6 + 7 – 8 – 9 + ... + 1999 – 2000 – 2001 este multiplu de 1003.

Radu Ilarie Lazăr, Ploieşti

5. Fie A = {x ( Z* | – 13 ( x < 40} şi B ( A, B ( (, B ( A.

a) Calculaţi suma tuturor elementelor din A.

b) Arătaţi că produsul tuturor elementelor mulţimii A–B nu poate fi egal cu produsul tuturor elementelor mulţimii B.

Ioana Crăciun şi Gh. Crăciun,Ploieşti

6. În triunghiul isoscel ABC (AB = AC) avem m (

<

/

ABC) = 720 şi AD ( BC,

D ( BC. Fie E ( (AD) astfel încât m (

<

/

DBE) = 180 şi F punctul de intersecţie al perpendicularei din A pe AD cu dreapta BE.

a) Dacă O este mijlocul segmentului EF, calculaţi măsura unghiului

<

/

AOB.

b) Arătaţi că

EF

2

1

AC

=

.

Gheorghe Achim, Mizil

7. Fie

ABC

D

cu

()

mC

=Ã

)

şi

(

)

(

)

,

ACAB

MÎNÎ

, astfel încât

·

·

µ

60;30;2402

2

ABMACNB

Ã

=-==-Ã

ooo

cu

60

Ã

oo

<<110

. Să se afle

·

()

mAMN

.

Ioana şi Dumi