PROBLEMATIQUE

On lance 100 fois de suite une pièce de monnaie.

On obtient 45 fois PILE et 55 fois FACE .

Cette pièce est-elle « équilibrée » ?

Étude expérimentale à l’aide du tableur

On simule le lancer d'une pièce 100 fois C’est : 1 échantillon.

Fichier Adequation.xls

et on recommence ainsi pour N échantillons de 100 lancers

Pour une pièce THEORIQUEPour une pièce THEORIQUE

f 1 = f 2 = 1/2

Pour notre pièce EXPERIMENTALEPour notre pièce EXPERIMENTALE

Pour chaque échantillon on note:

f1 la fréquence d’apparition de pile (codée 0) f2 la fréquence d’apparition de face (codée 1)

Comparaison Théorie/Expérience

On calcule pour chaque échantillon un paramètre dedispersion :

Fichier Adequation.xls

22

2

1

12ii

fd

2 2

1 21 12 2

f f

Pour une pièce THEORIQUEPour une pièce THEORIQUE

f1 = 1/2 et f2 = 1/2

22

2

1

1 02ii

fd

d 2 est positif et d’autant plus petit que l’on est proche du modèle théorique.

Il nous faut « étalonner » ce paramètre.

On regroupe ces résultats statistiques pour

N=100, 500, 1000, 2000 échantillons.

On calcule le 9 ième Décile = d9

90% des valeurs de d2 sont inférieures à d9

On remarque que d9 n’est pas fixe:

c’est la fluctuation d’échantillonnage,mais d9 se stabilise lorsque le nombre

d’échantillons N augmenteN=100, 500, 1000, 2000.

     

N 100 500 1000 2000

Mini 0 0 0 0

1° Décile 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002

Q1 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008

Mé 0.0018 0.0018 0.0018 0.0018

Q3 0.0072 0.0072 0.0072 0.0072

9° Décile 0.01314 0.0162 0.0128 0.0128

Maxi 0.0578 0.0578 0.0578 0.0578

Statistiquement on peut affirmer que:

Pour 90% des pièces, le paramètre dedispersion vérifie : d2 ≤ d9

10% des pièces vérifient : d2 > d9

On définit ainsi un niveau de confiance à 90%

Et donc un seuil d’erreur de 10%

Qu’en est-il de notre ?

d2 = 0,005 < d9 = 0,0128

Notre pièce ressemble aux 90% des pièces testées

2 2 2(0,45 0,5) (0,55 0,5) d 0,005

Le paramètre d 2 de notre pièce est :

Conclusion

on dit qu’il y a AdéquationAdéquation entre la pièce

et le modèle théorique de pièce équilibréeavec un niveau de confiance de 90%( soit un risque d'erreur de 10% )

Exercice

Dans les mêmes conditions que ci-dessus, onveut tester trois pièces A, B et C. On lance 100 fois chaque pièce et on obtientles résultats suivants ( à compléter ) :

Pièce A B C

Nombre de FACE 43 47 40

Nombre de PILE 57 53 60

paramètre d 2

Adéquation ?

Solutions

Ce dé est-il « équilibré » ?Ce dé est-il « équilibré » ?

On lance 100 fois un Dé cubique et on obtient les résultats suivants :

Face apparue

1 2 3 4 5 6

Effectif observé

20 11 12 17 21 19

6

22

1

i ii

d f p

Face apparue

1 2 3 4 5 6

Effectif observé

20 11 12 17 21 19

et pi = 1/6

2 2 22

2 2 2

0.20 1/ 6 0.11 1/ 6 0.12 1/ 6

0.17 1/ 6 0.21 1/ 6 0.19 1/ 6

d

d2 = 0.0089

Fichier Adequation.xls

Conclusion pour ce dé:

d2=0.0089

On peut affirmer avec un niveau de confiance de 90%

que ce dé est régulier.

d9 = 0.015<

Exercice

Même chose avec le dé suivant :

Face apparue 1 2 3 4 5 6

Effectif observé

14 21 12 9 20 24

d2 = …………………………………………………………………………….

Au niveau de confiance 90%, rejettera-t-on l'hypothèse que ce dé est régulier ?

Solution

Réponses

Les trois pièces A, B et C.

Pièce A B C

Nombre de FACE 43 47 40

Nombre de PILE 57 53 60

paramètre d 2

Adéquation ?

0.0098

Oui

0.0018 0.02

Oui Non

d9 = 0.0128

Retour

Solution pour ce dé :

Face apparue 1 2 3 4 5 6

Effectif observé 14 21 12 9 20 24

Au niveau de confiance 90%, on rejette l'hypothèse que ce dé est régulier

d2 = 0.017 d9 = 0. 015>

Retour

The End

Exercices complémentaires

Retrouvez ce diaporama et le fichier Excel sur mon site

http://www.elm.boxnet.net

Annexe

Deux autres critères de décision :

• La méthode de Karl Pearson (1857-1936)

• Le test du khi-2

Méthode de Pearson

Condition: les k issues sont équiprobables

pi = 1/k. (k=6 pour le dé)

La taille de l’échantillon est n.

2

22

1 1

1

k k

i i ii i

d f p fk

Pour un niveau de confiance de 90%, on a : d2 < 2/n

Pour un niveau de confiance de 95%, on a : d2 < 1,6/n

Pour un niveau de confiance de 99%, on a : d2 < 3,4/n

Le test du khi-2

22

1

/

: ,

k

i i i

i

i i i i

effectif observé effectif théorique effectif théorique

avec effectif observé n f effectif théorique n p

Pour un niveau de confiance de 90%, on a : 2 < 9,23635

Pour un niveau de confiance de 95%, on a : 2 < 11,0705

Pour un niveau de confiance de 99%, on a : 2 < 15,0863

Pour notre dé : 6

22 2

1

6 1/ 6 6

ii

n f n d

5 degrés de liberté

Exercices complémentaires

En adaptant pour chaque exercice la feuille de calcul, déterminer le 9° décile d9 .

Ex. 1 Sur 200 semaines, on a examiné chaque jour, le nombre d’appels des pompiers d’une grande ville.

Peut-on dire qu’il y a équiprobabilité pour chaque jour de la semaine, avec un risque d’erreur de 10% ?

Ex. 2 Le maire d’une commune examine l’état civil à la fin d’une année. Il dénombre 134 naissances de garçons et

108 filles. En simulant 5000 échantillons de 242 naissances équiréparties, déterminer le 9° décile et en déduire

s’il faut accepter ou rejeter l’hypothèse selon laquelle il naît autant de garçons que de filles.

Ex. 2 Pour frapper sa balle, Roger Federer, dispose de quatre types de coups : le coup plat, lifté, coupé ou

chopé. Sur 100 échanges, la distribution est la suivante :

Que pouvez-vous en conclure ?

Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Samedi dimanche

26 26 27 29 30 39 23

Type de coup Plat Lifté Coupé Chopé

Effectif 28 31 24 17