Mas problemas resueltos sobre teora elemental

de Grupos

J. Armando Velazco

3 de marzo de 2013

Resumen

Segun las estadsticas del sitio, una de las busquedas mas recurrentespor las que se ha llegado a este blog es buscando problemas resueltos deteora de grupos. Cuando estamos aprendiendo matematicas muchas vecesno tenemos idea de como utilizar la teora expuesta por nuestro profesoro, en el libro que estemos estudiando. Por ello decid, en parte tambiencomo una practica para mi, ampliar la cantidad de problemas resueltos(en la primera entrega solo hay 7 problemas) para que, si alguien se anima,discutir las soluciones en caso de que sean erroneas, o bien, dar un caminomas facil para resolver determinado problema. No soy profesor, ni muchomenos, soy un estudiante, por lo que posiblemente hallara errores, as queagradecere al lector que las haga saber mediante los comentarios, en casode que encuentre alguna.

Por ultimo, si alguien desea enviarme soluciones de ejerciciosresueltos, escaneados, con mucho gusto los paso a LATEXy vamos

ampliando este documento y entrada del blog (con el respectivoreconocimiento de quien haya enviado la solucion).

Ejercicio Demuestre que todo subgrupo de un grupo cclico es cclico.

Solucion Sea G = a un grupo multiplicativo generado por el elemento a.Sea H 6 G y sea m el menor entero para el cual am H . De la definicion desubgrupo tenemos que todo elemento b H b = aj G donde j Z, por elalgoritmo de la division se tiene que

j = mq + r, 0 r < m

y asb = aj = amq+r = amqar = (am)qar

Aplicando ahora las propiedades de grupo (cancelacion por la izquierda) se tieneque

ar = (am)qaj

Dado que (am), aj H entonces el producto se halla en H y por lo tanto ar Hpero 0 r < m entonces r = 0 y por lo tanto

b = aj = (am)q

1

es decir H = am

Ejercicio Cual es el orden de un grupo G generado por los elementos x y ysujeto a las relaciones x3 = y2 = (xy)2 = e, donde e es el elemento identidaddel grupo?

Solucion Consideremos las relaciones

x3 = e, y2 = e, (xy)2 = e

Entonces de las anteriores tenemos que

x2 = x1, y = y1, xy = y1x1 = yx2 y ademas yx = x2y

es decir,G tiene 6 elementos, por lo que ord(G) = 6. Otro argumento lo podemospresentar con combinatoria, tomando en cuenta solo los productos de la formaxiyj (pues yx = x2y) con i = 0, 1, 2 y j = 0, 1 que nos da como resultado, porel principio del producto un total de 6 posibles resultados. Los subgrupos losdeterminaremos a partir de que

6 = 2 3

Por ello esperamos que de haber subgrupos, como una aplicacion directa delteorema de Lagrange, estos deben tener orden 2 o 3 (mas aun, por el primerteorema de Sylow sabemos que hallaremos subgrupos de orden 2 y 3), talessubgrupos son:

{1, x, x2}, {1, y}, {1, xy}, {1, yx}

Ejercicio Si G es un grupo tal que (ab)j = ajbj para tres enteros consecutivosj y para todos los a, b G. Muestre que G es un grupo abeliano.

Solucion Como parte de las hipotesis tenemos que

(ab)j = ajbj

(ab)j+1 = aj+1bj+1

(ab)j+2 = aj+2bj+2

De aqu podemos tomar que (ab)j+1 = (ab)(ab)j = aj+1bj+1 luego entonces,utilizando de manera adecuada la ley de cancelacion por la izquierda y porla derecha, validas en cualquier grupo, en conjunto con la ley asociativa y lashipotesis obtenemos lo siguiente

b(ab)j1a = ajbj (ba)j = ajbj = (ab)j

As, de la misma forma se tiene tambien que

(ab)j+2 = aj+2bj+2 (ba)j+1 = (ab)j+1

2

Pero entonces(ba)(ba)j = (ab)(ab)j = (ab)(ba)j

Utilizando una vez mas la ley de cancelacion en G tenemos que

ab = ba a, b G

Luego, G es abeliano.

Ejercicio Sea G un grupo y sean H,K 6 G tales que [G : H ]

Solucion Por el problema anterior sabemos que G =< g > donde g 6= e supon-gamos ahora que ord(G) = p y que, sin perdida de generalidad p = mq, m, q Z>1 m < p y q < p. Entonces M = {g

j1 : j = 0, 1, 2, . . . ,m 1; g1 G} = G

pues G no tiene subgrupos propios y entonces ord(G) = m < p que es una con-tradiccion, analogamente se llegara a una conclusion similar para q, as m =1 o q = 1 y por lo tanto p es primo. .

Ejercicio Si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, de ordenes respec-tivos m y n, muestre que si (m,n) = 1, es decir, son primos relativos, entoncesAB es un subgrupo de orden mn.

Solucion Basta con observar que A B 6 A y A B 6 B por lo tanto, porel teorema de Lagrange se tiene que ord(A B)|ord(A) y ord(A B)|ord(B)luego entonces

ord(A B) = 1 A B = {e}

y por lo tanto

ord(AB) =ord(A)ord(B)

ord(A B)= mn

Ejercicio Si p es un numero primo, muestre que las unicas soluciones de

x2 1 (mod p)

son x 1 (mod p) o x 1 (mod p)

Solucion Esta es una aplicacion directa de la teora de grupos a la teora delos numeros: x2 1 (mod p) x2 1 0 (mod p) (x+1)(x 1) 0 (mod p)que implican el resultado deseado.

Ejercicio Muestre por medio de un ejemplo que es posible que la ecuacionx2 = e puede tener mas de 2 soluciones en algun grupo con identidad e.

Solucion Basta con considerar el 4-grupo de Klein, cada elemento es solucionde la ecuacion, como puede constatar a partir de la siguiente tabla de grupo:

e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a e

Ejercicio Sea G un grupo y sea Gn = {gn : g G}. Bajo que hipotesis sobre

G podramos mostrar que Gn 6 G?

Solucion Un subgrupo en particular debe satisfacer la cerradura bajo la ope-racion de grupo, por lo que para a, b G tales que an, bn Gn se tiene queanbn = (ab)n ab = ba es decir, necesitamos la hipotesis de conmutatividadde la operacion, dicho de otra manera, necesitamos que G sea abeliano.

4

Ejercicio Sean a, b G donde G es un grupo, entonces si ab tiene orden finiton muestre que ba tambien tiene orden n.

Solucion Por hipotesis (ab)n = e entonces b(ab)na = bea = (ba)e y as

(ba)(ba)n = (ba)e (ba)n = e

Si orden de (ba) fuera menor que n aplicando un argumento completamenteanalogo llegaramos a la conclusion de que el orden de (ab) sera menor o iguala n contrario a lo que se haba supuesto en un principio.

Ejercicio Si A y B son subgrupos de ndice finito de un grupo G, es decir,[G : A] < y [G : B] < y ademas ([G : A], [G : B]) = 1 (tales ndices sonprimos relativos), entonces G = AB.

Solucion Dado que A 6 G y B 6 G entonces A B 6 G y se tiene entoncesque

[G : A B] = [G : A][A : A B]

y[G : A B] = [G : B][B : A B]

Lo que implica, pues ([G : A], [G : B]) = 1, que [G : A][G : B]|[G : A B] [G : A B] [G : A][G : B]. Por otro lado, dado que [G : B] < entonces[A : AB]