Problemas Resueltos de Fısica 2

Alumno

Titular: Ing. Daniel Omar ValdiviaAdjunto: Lic. Auliel Marıa Ines

25 de Abril de 2013

Indice general

1. Movimientos Periodicos 2

1.1. Superposicion de Movimientos Periodicos . . . . . . . . . 2

2. Vibraciones libres de los sistemas fısicos 3

2.1. Vibraciones forzadas y amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3. Osciladores Acoplados y modos normales 4

4. Ondas longitudinales en una barra 5

5. Ondas de presion o sonoras 6

6. Ondas transversales en una cuerda 7

7. Desarrollo de los problemas 8

8. Conclusiones 18

A. Anexo 1 19

Bibliografıa 20

i

Resumen

En este trabajo proponemos estudiar y analizar en forma analıtica los problemasque se enuncian en la guıa de trabajos practicos de Movimiento Ondulatorio dela catedra de Fısica 2, correspondiente a la carrera de Ingenierıa de Sonido. Elinforme cuenta de un desarrollo teorico correspondiente a los conceptos teoricosde la materia y analisis de los resultados obtenidos en cada problema. Ademasse incluye las conclusiones de cada uno de los temas de la guıa de trabajospracticos.

Capıtulo 1

Movimientos Periodicos

Insertemos una referencia bibliografica al libro [1]. Insertemos una referen-cia bibliografica al libro [2]. Insertemos una referencia bibliografica al libro [3].Insertemos una referencia bibliografica al libro [4]. Insertemos una referenciabibliografica al libro [5]. Insertemos una referencia bibliografica al libro [6].Insertemos una referencia bibliografica al libro [7]. Insertemos una referenciabibliografica al libro [8]. Insertemos una referencia bibliografica al libro [9]. In-sertemos una referencia bibliografica al libro [10].

1.1. Superposicion de Movimientos Periodicos

2

Capıtulo 2

Vibraciones libres de lossistemas fısicos

2.1. Vibraciones forzadas y amortiguadas

3

Capıtulo 3

Osciladores Acoplados ymodos normales

4

Capıtulo 4

Ondas longitudinales enuna barra

5

Capıtulo 5

Ondas de presion o sonoras

6

Capıtulo 6

Ondas transversales en unacuerda

7

Capıtulo 7

Desarrollo de los problemas

Enunciado Problema 1Una masa al extremo de un muelle oscila con una amplitud de 5 cm y unafrecuencia de 1 Hz (ciclos por segundo). Para t = 0, la masa esta en la posicionde equilibrio (x = 0).

1. Hallar las ecuaciones posibles que describen la posicion de la masa en fun-cion del tiempo, en la forma x = Acos(wt+α), dando lo valores numericosde A, w y α.

2. Determinar los valores de x,dx

dtydx2

dt2para t= 8

3 seg.

Resultados obtenidos: 1) A = 5 cm, w = 2π radseg , α = ±π/2. 2)x = 52

√3

cm,dx

dt= 5π cmseg y

dx2

dt2= −10π2

√3 cmseg2

Enunciado Problema 2Un punto se mueve en una circunferencia con una celeridad constante de 50 cmseg .El periodo de una vuelta completa es 6 seg. Para t = 0 la recta que va del puntoal centro de la circunferencia forma un Angulo de 30o con el eje x.

1. Hallar las ecuaciones posibles que describen la posicion de la masa en fun-cion del tiempo, en la forma x = Acos(wt+α), dando lo valores numericosde A, w y α.

2. Determinar los valores de x,dx

dtydx2

dt2para t=2 seg.

Resultados obtenidos: 1) A = 150π cm, w = π/3 radseg , α = π/6. 2)x =

− 75√3

π cm,dx

dt= −25 cmseg y

dx2

dt2= 25π√

3cmseg2

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7. Desarrollo de los problemas 9

Enunciado Problema 3La ecuacion de una cierta onda es:

A (x, t) = 10sin (2π (2x− 100t))

donde x se mide en metros y t se mide en seg. Hallar la amplitud, longitud deonda, frecuencia y velocidad de propagacion. Dibujar la onda mostrando estosparametros.

Resultados obtenidos:10m,0.5m, 100Hz, 50 mseg .

Enunciado Problema 4Una partıcula esta sometida simultaneamente a tres movimientos armonicossimples de la misma frecuencia y en la direccion x. Si las amplitudes son 0,25,0,20 y 0,15 mm, respectivamente, y la diferencia de fase entre el primero y elsegundo es de 45o, y entre el segundo y tercero es 30o, hallar la amplitud dedesplazamiento resultante y su fase respecto al primer componente (el de am-plitud 0,25 mm).

Resultados obtenidos:A = 0, 51mm, fase = 33, 4o.

Enunciado Problema 5Dos vibraciones sobre la misma recta vienen descriptas por las ecuaciones:

y1 = Acos (10πt) y2 = Acos (12πt)

Hallar el periodo de batido y dibujar un esquema cuidadoso de la perturba-cion resultante durante un periodo de pulsacion.

Resultados obtenidos: 2 seg.

Enunciado Problema 6Hallar la frecuencia del movimiento combinado en cada una de las siguientesvibraciones:

1. sin (2πt− 212 ) + cos (2πt)

2. sin (12πt) + cos (13πt− π/4)

3. sin (3t)− cos (πt)

10

Resultados obtenidos: 1)1 Hz. 2)6, 25 Hz. 3)0, 48Hz.

Enunciado Problema 7Se cuelga de un muelle un objeto de 1 g de masa y se le deja oscilar. Para t = 0,el desplazamiento era de 43, 785 cm y la aceleracion era de −1, 7514 cm

seg2 . ¿ Cuales la constante del muelle?

Resultados obtenidos: 0, 04 gseg2 .

Enunciado Problema 8Una masa m cuelga de un muelle uniforme de constante k.

1. ¿ Cual es el periodo de las oscilaciones del sistema?

2. ¿ Cual seria el periodo si la masa m se colgase de modo que:

a) Estuviese sujeta a dos muelles identicos situados uno junto al otro?

b) Estuviese sujeta al extremo inferior de dos muelles identicos conec-tados uno a continuacion del otro?

Resultados obtenidos: 1) T0 = 2π√

mk 2) a) T0√

2b)√

2T0.

Enunciado Problema 9Una varilla uniforme de longitud L se sujeta por un clavo a un poste de modoque dos tercios de su longitud esten por debajo del clavo. ¿ Cual es el periodode las oscilaciones pequenas de la varilla?

Resp: T0 = 2π√

2L3g .

Enunciado Problema 10Un objeto de 0,5 Kg de masa se cuelga del extremo de un alambre de acero de2 m de longitud y 0,5 mm de diametro (modulo de Young = 2.1011 N

m2 ). ¿ Cual

7. Desarrollo de los problemas 11

es el alargamiento del alambre?. Luego se levanta el objeto una distancia h, demodo que el alambre deja de estar tirante, y despues se deja caer de modo queel alambre recibe un tiron subito. La carga de la rotura es de 1,1.109 N

m2 . ¿ Cuales el valor posible de h que resiste el alambre sin romperse?

Resultados obtenidos: 0, 25mm.

Enunciado Problema 11Una varilla metalica de 0,5 m de larga tiene una seccion recta rectangular de 2mm2 de area.

1. Puesta vertical la varilla y teniendo colgada una masa de 60 Kg en suextremo inferior, se produce un alargamiento de 0,25 mm. ¿ Cual es elmodulo de Young ( Nm2 ) del material de la varilla?

2. Se sujeta firmemente la varilla por su parte inferior, como se muestra enla figure, y en su parte superior se aplica una fuerza F en la direccion y,como esta indicado (paralela a la arista de longitud b). El resultado es una

flexion elastica dado por y = 4L3FY ab3 . Si se suprime la fuerza F y se sujeta

a la parte superior de la varilla una masa m, mucho mayor que la masade la varilla, ¿ Cual es el cociente de las frecuencias de vibracion en lasdirecciones y y x (es decir, paralelas a las aristas de longitud b y a ?

Resultados obtenidos: 1) γ = 6× 1011 Nm2 . 2) b/a .

Enunciado Problema 12Una barra de aluminio de 200 mm de longitud y con una seccion cuadrada de10 mm de lado se somete a una fuerza de traccion de 12300 N y experimentaun alargamiento de 0,34 mm. Suponiendo que el comportamiento de la barra es

12

totalmente elastico, calcular el modulo de elasticidad del aluminio.

Resultados obtenidos: γ = 7, 23× 1010 Nm2 .

Enunciado Problema 13Estimar la velocidad de propagacion de las ondas elasticas en una barra de acero.

Resultados obtenidos: 5, 06× 103 mseg .

Enunciado Problema 14Calcular observando la figura el modulo de Young, siendo 400 mm la longitudinicial de la barra y su area 25 mm2. Calcular la longitud de la barra cuando lafuerza es 115 N y la fuerza para la cual se produce la rotura de la barra.

Estiramiento unitario Tension

Punto P 4.5.10-4 90.106 paPunto E 6.3.10-4 130.106 paPunto R 48.9.10-4 260.106 pa

Resultados obtenidos: γ = 20× 1010 Pa, l = 400, 0092 mm, F = 6,5kN.

Enunciado Problema 15Comprobar que x = A exp−αt cos(wt) es una posible solucion de la ecuacion:

dx2

dt2+ γ

dx

dt+ w2

0x = 0

Hallar α y w en funcion de γ y w0.

Resultados obtenidos: γ = 2α, w20 = w2 + α2.

Enunciado Problema 16Se cuelga un objeto de masa 0,2 Kg de un muelle cuya constante es de 80 N

m . Se

7. Desarrollo de los problemas 13

somete el objeto a una fuerza resistente dada por −bv, siendo v su velocidad enmseg . Plantear la ecuacion diferencial del movimiento en el caso de oscilaciones

libres del sistema. Si la frecuencia de amortiguamiento es de√32 de la frecuencia

sin amortiguamiento. ¿ Cual es el valor de la constante b?

Resultados obtenidos: 3,46Kgseg .

Enunciado Problema 17Si en el problema 16, b es igual a 4N.segm y se somete a una fuerza impulsora dadapor F (t) = F0sin(wt), siendo F0 = 2N y w = 30 1

seg , en el estado estacionario,determinar la amplitud de la oscilacion forzada.

Resultados obtenidos: 1, 28 cm.

Enunciado Problema 18Consideramos un sistema con una fuerza amortiguadora que sufre unas oscila-ciones forzadas con frecuencia angular w.

1. Determinar la energıa cinetica instantanea del sistema.

2. Determinar la energıa potencial instantanea del sistema.

3. Determinar el cociente entre la energıa cinetica media y la energıa poten-cial media. ¿ Cual es la energıa total del sistema en estas condiciones?

4. ¿Para que valores de w son iguales las energıas media potencial y cinetica?

Resultados obtenidos:1) 0,5mw2A2(sen(wt+ δ))2 donde A =

F 20

m2((w20−w2)2+( b

mw)2), tan δ = bw

m(w20−w2)

.

2) 0,5kA2(cos(wt+ δ))2.

3) w2

w20.

4) w = w0.

Enunciado Problema 19Un oscilador amortiguado forzado de masa m tiene un desplazamiento variablecon tiempo dado por x = Asin(wt). La fuerza resistente es −bv. A partir deesta informacion calcular cuanto trabajo se realiza contra la fuerza resistentedurante un ciclo de oscilacion.

Resultados obtenidos: bA2w2T2 .

Enunciado Problema 20Consideramos un oscilador amortiguado de masa 0,2 Kg, b = 4N.segm y k = 80Nm .

14

Si la fuerza impulsora es F = F0cos(wt) siendo F0 = 2N y w = 30 1seg . Deter-

minar los valores de A y δ de la respuesta descripta por x = Acos(wt− δ).

Resultados obtenidos: A = 1, 28 cm, δ = 130o.

Enunciado Problema 21Se acoplan dos osciladores identicos sin amortiguar A y B, de masa m y constan-tes kb y ka, respectivamente, se acoplan juntos mediante un muelle de constantekc. Hallar las frecuencias normales w

′y w

′′y describir los modos normales de

oscilacion si k2c = ka.kb.

Resultados obtenidos: w1 =√

ka+kb+kcm , w2 =

√kcm .

Enunciado Problema 22Se conectan dos objetos A y B, cada uno de ellos a una masa m, mediantemuelles, segun se ve en la figura. El muelle de acoplo tiene una constante Kc ylos otros dos una constante igual a K0. Si se sujeta B, A vibra a una frecuenciade 1,81 1

seg . La frecuencia ν1 del modo normal inferior es 1,14 1seg . Encontrar las

ecuaciones de movimiento para A y B. Determinar las frecuencias w1 y w2 delos modos normales. Cuando B esta sujeto, calcular la frecuencia angular de A.

Resultados obtenidos: w1 =√

2kcm + w2

0, w2 = w0, wa =√

kcm + w2

0.

Enunciado Problema 23Una cuerda uniforme de 2,5 m de longitud y 0,01 Kg de masa se somete a unatension de 10 N. A¿ Cual es la frecuencia de su modo fundamental?

Resultados obtenidos: 10 Hz.

Enunciado Problema 24Una cuerda de longitud L y masa total M se estira mediante una tension T . ¿Cuales son las frecuencias de los tres modos normales inferiores de oscilacion dela cuerda cuando estas son transversales?

7. Desarrollo de los problemas 15

Resultados obtenidos:wn = nπ√

TLM .

Enunciado Problema 25Una cuerda estirada de masa m, longitud l y tension T se ve impulsada pordos fuentes una en cada extremo. Ambas fuentes tienen la misma frecuencia νy una amplitud A pero estan desfasadas 180o entre si. Determinar el valor maspequeno posible de w consistente con las vibraciones estacionarias de una cuerda.

Resultados obtenidos: ν = π√

Tml .

Enunciado Problema 26Se sujeta una varilla uniforme en el centro dejando ambos extremos libres. Cal-cular las frecuencias naturales de la varilla en la vibracion longitudinal. Calcularla longitud de onda y la cantidad de nodos en el modo n.

Resultados obtenidos: 2Ln−1/2 .

Enunciado Problema 27Calcular la energıa total de vibracion de una cuerda de longitud L fija en losextremos, que oscila en el modo n con una amplitud A. La tension de la cuerdaes T y la masa es M .

Resultados obtenidos:TA2n2π2sen2(wt)

4L .

Enunciado Problema 28Una cuerda de 4 m de longitud se fija por sus extremos y se le hace vibrar.La rapidez de las ondas sobre la cuerda es de 20 m/s. Hallar la frecuencia delarmonico fundamental.

Resultados obtenidos: 2, 5 Hz.

Enunciado Problema 29La longitud de la cuerda de una guitarra es 60 cm y vibra a 245 Hz, en su modofundamental.(a) A¿ Cual es la rapidez de las ondas transversales sobre la cuerda?(b) Si la densidad lineal es de 0.001 kg/m, ¿ Cual es la tension?

Resultados obtenidos:a) 294 mseg , b) 86, 6N.

16

Enunciado Problema 30Una cuerda con una densidad de masa 0.004 kg/m se encuentra sometida auna tension de 360 N y esta fija en ambos extremos. Una de sus frecuencias deresonancia es 375 Hz. La siguiente frecuencia mas alta es 450 Hz. ¿ Cual es lafrecuencia de resonancia fundamental?

Resultados obtenidos:75 Hz.

Enunciado Problema 31Comprobar que las siguientes expresiones son equivalentes:

1. y = Asin( 2π(x−vt)λ )

2. y = Asin(2π(kx− νt))

3. y = Asin(2π((xλ )− ( tT )))

4. y = −A (sinw(t− xv ))

5. y = AIm(exp(2πj(kx− νt)))

Enunciado Problema 32La ecuacion de onda transversal que se mueve a los largo de una cuerda vienedada por:

y = 0,3 sin(π(0,5x− 50t))

en donde y y x estan en cm y t en seg. Hallar la amplitud, la longitud deonda, el numero de onda, la frecuencia, el periodo y la velocidad de la onda.Hallar la velocidad transversal maxima de cualquier partıcula en la cuerda.

Resultados obtenidos: 0, 3m, 4m, π/2 1m , 25 Hz, 0, 04 seg, 100 m

seg , vmax =15π m

seg .

Enunciado Problema 33Una onda de frecuencia 20 1

seg tiene una velocidad de 80 mseg .

1. Determinar la distancia a la que estan dos puntos cuyos desplazamientosestan separados 30o en fase.

2. En un punto dado, ¿ cual es la diferencia de fase entre dos desplazamientosque se producen en tiempos separados 0,01 seg?

Resultados obtenidos: 1) 0, 33m, 2) 72o.

7. Desarrollo de los problemas 17

Enunciado Problema 34Se observa que un pulso necesita 0,1 seg para recorrer de un extremo a otrouna cuerda larga. La tension de la cuerda se obtiene haciendola pasar sobre unapolea y colgando un peso que tiene 100 veces la masa de la misma. Determinarla longitud de la cuerda. Determinar la ecuacion del tercer modo normal.

Resultados obtenidos: 10m. y = Asen( 3πx10 ) cos(30πt).

Enunciado Problema 35Se superponen en un medio dos ondas de la siguiente forma:y1 = Asin(5x− 10t)y2 = Asin(4x− 9t)Escribir la ecuacion para la perturbacion combinada.

Resultados obtenidos: 2A cos(π(π2x−π2 t))sen(π(π2x−

π2 t)).

Capıtulo 8

Conclusiones

En el presente trabajo hemos analizado mediante los diferentes problemasresueltos los conceptos de movimiento ondulatorio periodicos, con amortigua-miento y rozamiento. Tambien se estudiaron los sistemas acoplados y modosnormales de varios resortes. Tambien se estudio ondas longitudinales en unabarra y ondas transversales en una cuerda.

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Apendice A

Anexo 1

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Bibliografıa

[1] Marcelo Alonso y Edward J. Finn. Campos y Ondas. Fısica Vol 2, 1970.

[2] Adkins. C. Termodinamica del equilibrio. Reverte, 1977.

[3] H.C Abbott, M.M y Vanness. Termodinamica. 2a. edicion. McGraw-Hill.,1991.

[4] Callen H.B. Thermodynamics. Wiley y Sons., 1985.

[5] F. Reif. Physics course. Berkeley, 1983.

[6] C. Thellier, M. y Ripoll. Bases Thermodynamiques de la Biologie Cellulaire.Masson, 1992.

[7] M. Zemansky y R. Dittman. Calor y Termodinamica. McGraw-Hill, 1985.

[8] E. Fermi. Termodinamica. EUDEBA, 1985.

[9] Manuel Recuero Lopez. Ingenierıa Acustica. Mc Graw Hill, 1995.

[10] A. P. French. Vibraciones y Ondas. Vol 2. MIT, 1974.

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