Problemas Resueltos de Calculo y Geometria Analitica Ccesa007

8/20/2019 Problemas Resueltos de Calculo y Geometria Analitica Ccesa007

http://slidepdf.com/reader/full/problemas-resueltos-de-calculo-y-geometria-analitica-ccesa007 1/76

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

1 1 1 1 1

Demostrar que los puntos ( ) A 0,1= y ( )B 3,5= ; ( )C 7,2= y ( )D 4, 2= −

son los vértices de un cuadrado.

Solución:

LQQDcuadrado.unes ABCD

5CD ADBC AB:Como

525916CD

525169 AD

525916BC

525169 AB

ˆ

====

==+=

==+=

==+=

==+=

!

!

!

!

11111Capít u l o

SISTEMA DE COORDENADAS



2 2 2 2 2

Capítu lo 1. SISTEMA DE COORDENADAS

Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos ( ) A 1,1= − y

( )B 3,1= . Hallar las coordenadas del tercer vértice. (Dos casos).

Solución:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )321,1C

321y

1x: y De

161y3x

ABBC

1y1x

1y3x

ACBC

vértice.tercer el x,yC Sea

22

22

22

±=

±==

→ =−+−

=

→ −++=

=−+−

=

=

ˆ

!"

!

"

!

!

!

!

Dados los puntos ( )P 2, 31 = − y ( )P 1,22 = − encontrar sobre 21PP el

punto que diste doble de 1P que 2P .

Solución:

( )

( )

0x03

0

3

22

21

122

r 1

xr xx

21

2

PP

PPr

pedido.puntoel x,yP Sea

21

2

1

===−=

=+

−+=

++

=

===

=

!

!

!




3 3 3 3 3

( )

( )

==

==+−

=++−

=+

+=

3

1,0y,xP

3

1y

3

1

3

43

21

223

r 1

yr yy 21

ˆ

!!

El lado de un rombo es igual a 105 y dos de sus vértices opuestos son

los puntos ( )4,9P = y ( )2,1Q −= . Calcular el área de este rombo.

Solución:

101006436PQ ==+=

( )

2

2222

m150 A1502

1030

2

dD A

:Luego

15x225x252505105x

==×

=×

=

==−=−=

!

!!!

:



4 4 4 4 4


Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento que es

dividido en tres partes iguales por los puntos ( )2,2P = y ( )1,5Q = .

Solución:

( )

( )13, A

1y2

5y2

3x

2

x12

1PQ

APr

:,yx A deCálculo

11

11

11

−=

−=+

=

=+

=

==

=

ˆ

!

!

!

!

!

( )

( )0,8B

8y2

y25

0x2

x21

1QB

PQr

:,yxB deCálculo

22

22

22

=

=+

=

=+

=

==

=

ˆ

!

!

!!

!

La longitud del segmento MN es igual a 13; su origen está en el punto

( )23,M −= ; la proyección sobre el eje de abscisas es igual a 12− . Hallar

las coordenadas del otro extremo del segmento, si forma con el eje de

ordenadas un ángulo dado.




5 5 5 5 5

Solución:

( ) ( )

( ) ( )79,y,xN

7y132y3x13MNSi

9x123x12 ABSi

22

−−==

−==++−=

−=−=−−=

ˆ

!!

!!

!

!

Tres de los vértices de un paralelogramo son ( )1,4 A −= , ( )11,B −= y

( )6,1C = . Si la ordenada del cuarto vértice es 6. ¿Cuál es su abscisa?

Solución:

( )

( ) ( ) ( ) ( )22221116461xBC AD

pedido.puntoel ,6xD Sea

++−=−++=

=

!!



6 6 6 6 6


( ) ( )4,6D,6xD

:Luego

6x

4x

024x2x

es:operacionEfectuando

2

1

2

==

−=

=

=−+

!

!

!

!

El punto medio de cierto segmento es el punto ( )1,2M −= y uno de sus

extremos es el punto ( )2,5N = . Hallar las coordenadas del otro extremo.

Solución:

( )

( ) ( )14,yx,P

1y2

5y2

2

yyy

4x2

2x1

2

xxx

pedido.puntoel yx,P Sea

N

M

N

M

−−==

−=+

=+

=

−=+

=−+

=

=

ˆ

!!

!!

!

!

Los vértices de un triángulo ABC son ( )12, A −= , ( )4,7B −= y ( )8,0C = .

Calcular las coordenadas del baricentro de dicho triángulo.

Solución:

:queSabemos




7 7 7 7 7

( ) ( )2,2yx,G

236y

3071y

3yyyy

23

6x

3

842x

3

xxxx

321

321

==

==++−=++=

==+−=++

=

ˆ

!!

!!

!

!

¿Hasta qué punto debe prolongarse el segmento que une los puntos

( )11, A −= y ( )4,5B = en la dirección AB, para que su longitud se triplique?

Solución:

( )

AB2BP2

1

BP

AB:Sabemos

pedido.puntoel yx,P Sea

==

=

!!



8 8 8 8 8


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

!

"

→ =+−−+

++−=−+−+++−

=+

→ =−−−+

++−=−+−

014y10x8yx

:soperacioneEfectuando

1y1x5y4x1514

APBP AB:También

0139y10x8yx


151425y4x

22

222222

22

2222

!

!

!

!

!

( ) ( )10,17yx,P

7y;2x

17y;10x: yDe

22

11

==

−=−=

==

ˆ

!"




9 9 9 9 9

Discutir y graficar las curvas, cuyas ecuaciones son:

0yx16 2 =−

Solución:

( ) ! → =− 0yx16:x,yE 2

1º. Intercepciones con los ejes:

( )0,0O

0y0x: YEje

0x016x0y:X Eje 2

=

==

===!

!

!!

22222Capít u l o

GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN

Y LUGARES GEOMÉTRICOS



1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Capítu lo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS

2º. Simetría:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )X ejeelcon

sólosimétricaCurva

yx,Eyx,E:Origen

yx,Eyx,E: YEje

yx,Eyx,E:X Eje

≠−−

=−

≠−

3º. Extensión:

ú∈= ∀ x;16xy:De 2!

4º. Asíntotas:

No tiene asíntotas, ni horizontales ni verticales.

5º. Cuadro de valores:

....4416160y

....2121110x −−

6º. Gráfico:




1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

012xxy =−−

Solución:

( ) ! → =−− 012xxy:yx,E


( )

X ejeelconónintercepci 0x:YEje

,021 A;21x0y:XEje

ò!

!

=

−=−==

2º. Simetría:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )origenelconniejeslos

connisimétricanoCurva

yx,Eyx,E:Origen

yx,Eyx,E: YEje

yx,Eyx,E:X Eje

≠−−

≠−

≠−

3º. Extensión:

0x;x

x21y01x2xy

:De

≠+==−− ∀!

!

4º. Asíntotas:

2y02y;2y

1x

0x

x

x21y

:De

==−−

=

=+

=

!

!

!

!

!


....231253y

....2121x −−



1 2 1 2 1 2 1 2 1 2


6º. Gráfico:

04y4yx 23 =+−+

Solución:

( ) ! → =+−+ 04y4yx:yx,E23


( )

( )0,2B;2y0x:YEje

1.6,0 A;6.1x0y:XEje

===

−=−==

!

!

2º. Simetría:

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

origenelconniejeslos

connisimétricanoCurva

yx,Eyx,E:Origen

yx,Eyx,E: YEje

yx,Eyx,E:X Eje

≠−−≠−

≠−




1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

3º. Extensión:

0x;x2y

:De

3

≤−±= ∀

!

4º. Asíntotas:

No tiene asíntotas, ni horizontales ni verticales.


....54,524101302y

....21580x

−

−−−

6º. Gráfico:



1 4 1 4 1 4 1 4 1 4


4x

1xy

2

22

−

−=

Solución:

( ) ! → −

−=4x

1xy:yx,E

2

22


( )

( )210,B;21y0x:YEje

1,0 A;1x0y:XEje

±=±==

±=±==

!

!

2º. Simetría:

Curva simétrica con los ejes y con el origen.

3º. Extensión:

[ ] ∞+∪−∪−∞−∈−−±= ∀ 2,1,12,x

4x1xy

:De

22

!

4º. Asíntotas:

1y01y1y

1y4x

2x04x4x

1xy

:De

2

2

2

2

2

2

±==−−

−±=

±==−−

−±=

!!

!!

!

!

!


....5241011312100y

.....2143011x

±±±±

±±±−




1 5 1 5 1 5 1 5 1 5

6º. Gráfico:

41xy 2 =+

Solución:

( ) ( ) ! → =+ 41xy:yx,E 2


( )0,4 A;4y0x:YEje

X ejeelconónintercepci0y:XEje

===

=

!

! ò

2º. Simetría:

Curva simétrica sólo con el eje Y.



1 6 1 6 1 6 1 6 1 6


3º. Extensión:

ú∈=++

= ∀ x;01x1x

4y

:De

2

2

!

!

4º. Asíntotas:

( )X Eje0y0yy

y4x

x01x1x

4y

:De

2

2

==−±=

∉=++

=

!!

!!

!

! ú

!


....525424y

....3210x ±±±

6º. Gráfico:




1 7 1 7 1 7 1 7 1 7

Una recta pasa por los dos puntos ( )32, A −−= y ( )4,1B = . Si un punto

de abscisa 10 pertenece a la recta. ¿Cuál es su ordenada?

Solución:

( )

( )

( ) ( )

5y


3y210

1y361636

ACBC AB:queDado

pedido.puntoely10,CSea

22

2

=

+++=

=−+++

=+

=

!

!

Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal

manera que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los dos

puntos ( )2,2 A −= y ( )4,1B = es siempre igual a 12.

Solución:

( )

( ) ( )

( ) ( )

036y4x

:soperacioneefectuandoLuego,

122y2x

1y4x

:dondeDe

12 APBP

:tenemosproblemadelcondiciónladeEntonces

pedido.puntoel y,xP Sea

222

222

22

=++

=

++−−

−

−+−

=−

=

!

!

!



1 8 1 8 1 8 1 8 1 8


Un segmento rectilíneo de longitud 4 se mueve de tal manera que uno de

los puntos extremos permanece siempre sobre el eje X y el otro permanece

siempre sobre el eje Y. Hallar la ecuación del lugar geométrico del punto

medio del segmento.

Solución:

( ) ( )

( ) ( )

16yx


4y2y2x

2y2xx

4PBPA

:condiciónlaDe

22

22

22

=+

=−++

+−+−

=+

!

!

!

Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto ( )y,xP = , tal que la

distancia de P al punto ( )0,6 A = es igual a la mitad de la distancia de

P al eje X.

Solución:

( )

0144y48y34x

:soperacioneefectuandoLuego,

y2

16yxy

2

1 AP

:condiciónlaDe

22

22

=+−+

=−+=

!

!!




1 9 1 9 1 9 1 9 1 9

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos ( )4,2 A = y

( )7,5B −= .

Solución:

( )

( )

( ) 038y9x5:4x9

52y:

9

5

45

27mm

7,5B

2,4 A:

pendiente.suconocer puedese

recta,ladepuntosdosconocensequeDado

buscada.rectala Sea

AB

=−+−−=−

−=−−−

==

−=

=

‹‹

‹

‹

‹

!"

!

ˆ

33333Capít u l o

LA LÍNEA RECTA



2 0 2 0 2 0 2 0 2 0

Capítu lo 3. LA LÍNEA RECTA

Calcular el área del triángulo que forma la recta 012y4x3 =−− con los

ejes coordenados.

Solución:

( ) 2u6 A2

12

2

34 A

3b

4a1

3y

4x:

:2ividiendoD

12y4x3:

:Luego

012y4x3:

==−×

=

−===−+

×

=−

=−−

∆∆ !"

!

ˆ

‹

‹

‹

!

!

!

Los vértices de un triángulo son ( )0,0 A = , ( )4,2B = y ( )6,2C −= . Obtener

las ecuaciones de las rectas que contienen los lados del triángulo.

Solución:

( )

( )

( )

( )

( )

( ) 014y3x24x3

22y

3

2m

6,2C

2,4B:BC

:BC deEcuación

0y2x0x210y

2

1m

2,4B

0,0 A: AB

: AB deEcuación

BC

AB

=−+−−=−

−=

−=

=

=−−−=−

−=

=

=

!"

!

!"

!

ˆ

ˆ

!

!




2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

( )

( )( ) 0yx30x30y

3m

6,2B

0,0 A: AC

: ACdeEcuación

AC

=+−−=−

−=

−=

=

!"

!

ˆ

!

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por ( )38,4 A = y por la

intersección de las rectas 02y4x3 =−− , 06y11x9 =−−

Solución:

( )

( )

( )

( ) 08y15x12:4x5

4

3

8y:

:Finalmente

5

4

432

380mm:Dondexxmyy:

:Luego

,032B

06y11x9:

02y4x3:

rectaladepuntoUn38,4 A

:

AB11

21

2

1

=−−−=−

=−−

==−=−

==∩

=−−

=−−

=

‹‹

‹

‹‹

‹

‹‹

‹

!"

!

Si la recta 0cbyax =++ pasa por el punto ( )q,pP = , escribir una

ecuación en forma de:

a) pendiente y ordenada en el origen.

b) punto - pendiente.

c) simétrica.

Solución:

)bcx

bay0cbyax:a −−==++ !‹



2 2 2 2 2 2 2 2 2 2


) ( )

( )px

b

aqy:

q,pP;b

am:Donde;0cbyax:b

−−=−

=−==++

‹

‹‹

!

)

1

b

c

y

a

c

x:

cbyax:0cbyax:c

=−

+−

−=+=++

‹

‹‹

!

!

Encontrar la ecuación de una recta que tiene intercepciones iguales y que

pasa por el punto ( )6,8 A −=

Solución:

( )

02yx:12

y

2

x:

2a1a

6

a

8

:Luego

6,8 A:Pero1a

y

a

x::Sea

=−+=+

==−

+

∈−==+

‹‹

‹‹

!"

!

ˆ

Desde el punto ( )3,2M0 −= se ha dirigido hacia el eje OX un rayo de luz

con una inclinación de un ángulo α , se sabe que 3tg =α . El rayo se ha

reflejado del eje OX. Hallar las ecuaciones de las rectas en las que están

los rayos incidente y reflejado.

Solución:

( ) 09yx32x33y

3tgm:pendiente

:incidenterayodelEcuación

=+−+=−

=α=

!"!

!

d




2 3 2 3 2 3 2 3 2 3

( )

( )( ) 09yx33x30y

3tgº180tgm:pendiente

3,0P;3x0ySi

:reflejadorayodelEcuación

0

=+++−=−−=α−=α−=

−=−==

!"!

!

!

Dados los puntos ( )2,2M = y ( )2,5N −= . Hallar en el eje de abscisas un

punto P de modo que en el ángulo NP̂M sea recto.

Solución:

( ) ( )1,0P;6,0P

1x

6x06x7x


15x

2

2x

2

1mmNPMP

:queDado

21

2

12

NPMP

==

=

==+−

−=

−⋅

−−

−=⋅⊥

ˆ

!

!

!"



2 4 2 4 2 4 2 4 2 4


Los puntos ( )2,3 A −= , ( )4,1B = y ( )5,3C −= son los vértices de un

triángulo. Demostrar que la recta que pasa por los puntos medios de los

lados AB y CD es paralelo a la base BC del triángulo.

Solución:

( )

( )

=

=+=

=+

=

=

−=

−=+=

=+

=

=

2

30,M

23

2yyy

02

xxx

y,xM deCálculo

2

1,

2

7M

21

2yyy

2

7

2

xxx

y,xM deCálculo

2

C A2

C A2

222

1B A1

B A1

111

!!

!!

!

!




2 5 2 5 2 5 2 5 2 5

LQQDMMBC:nteefectivameLuego

7

4

7

4mmMMBC:queSabemos

21

212M1MBC

*

* −=−= !"!"

Calcular la distancia entre las rectas paralelas: 04y2x =++ y

05y4x2 =−+

Solución:

( )

( )( ) ( )( )90.2

20

13d

20

58

42

52402d

:Luego

20,P2y0xPara

.rectalade,P racualesquiepuntounHallamos

05y4x2:04y2x:

:queDado

22

1

21

≈=−−

=+

−−+=

−=−==

=−+∧=++

!"

!

ˆ

ˆ

‹

‹‹




2 7 2 7 2 7 2 7 2 7

Encontrar la ecuación de la circunferencia sabiendo que sus extremos de

un diámetro son los puntos ( )3,2 A −= y ( )1,4B −= .

Solución:

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

036y12x122y2x:

131y1x

r kyhx:

13r 2

52

2

ABr :Luego

1,1C1k1h

AB demediopuntoes kh,C

22

222

2

=+−++

=−+−

=−+−

===

= ==

=

C

C ˆ

!

!!

44444Capít u l o

LA CIRCUNFERENCIA



2 8 2 8 2 8 2 8 2 8

Capítu lo 4. LA CIRCUNFERENCIA

Obtener la ecuación de la circunferencia tangente a los dos ejes, radio 6,

en el segundo cuadrante.

Solución:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

036y12x12yx:

366y6x

r kyhx:

6.r radiosuy

nciacircunferelade

centroeles 6,6h,kC

quededucesegráfico,Del

22

22

222

=+−++

=−++

=−+−

=

−==

C

C ˆ

Dada la ecuación de la circunferencia 07y4y3x3 22 =−++ , encontrar

el centro y el radio.

Solución:

3

5r ;

3

2,0C

3

2k ,0h :dondeDe;

9

25

3

2yx

3

25

3

2y3x3

347

94y

34y3x3

07y4y3x3

:cuadradosoCompletand

22

22

22

22

=

−=

−===

++

=

++

+=

+++

=−++

ˆ

!

d




2 9 2 9 2 9 2 9 2 9

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto ( )1,4C −−=

y que es tangente a la recta: 012y2x3 =−+ .

Solución:

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) 521y4x:

:doReemplazan

r kyhx:

52r 13

26

13

26

13

12212

23

121243r

:Luego

012y2x3: a C deDistanciar :Sea

22

222

2

22

=+++

=−+−

==−

=

−−−=

+

−−+−=

=−+=

C

C ˆ

!

!

‹

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos ( )4,0 A = ,

( )0,3B = y ( )2,2C −−= .

Solución:

( )

( )

( )

13

132F;

13

5E;

13

19D:y, deLuego,

8FE2D22,2C

0FE390,3B

0FD4164,0 A

0FEyDxyx:Sea

22

−==−=

→ =+−−∈−−=

→ =++∈=

→ =++∈=

→ =++++ ⊗

!"#

!

"

#

!

!

!

C

C

C

C

!

!

!



3 0 3 0 3 0 3 0 3 0


0132y5x19y13x13

013

132y

13

5x

3

19yx:

: En

22

22

: =−+−+

=−+−+

⊗

C

C ˆ

Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 10, tangente en el eje X,

cuyo centro está sobre la recta y2x = .

Solución:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0400y20x40yx

10010y20x

r kyhx:

20,10C;20h,10hCperoy2x:

casoPrimer

22

22

221

21

11

=+−−+

=−+−

=−+−

==∈==

C

!‹‹

!




3 1 3 1 3 1 3 1 3 1

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0400y20x40yx

10010y20x

r kyhx:

1020,C;20h10,hCperoy2x:

casoSegundo

22

22

22222

22

=++++

=+++

=−+−

−−=−=∈−==

C

!‹‹

!

La ecuación de una circunferencia es 50yx 22 =+ . El punto medio de

una cuerda de esta circunferencia es el punto ( )4,2P −= . Hallar la ecuación

de la cuerda.

Solución:

( )

( )

010y2x:

2x2

14y:

:Luego

2

1m

1m2

1mm

:Luego

202

04m: dePendiente

ncia.circunfereladecentroely P puntoelpor pasaquerectala y

referidacuerdalaacontienequerectala Sea

2

2

2

2

21

1

21

1

1

2

=+−

+=−

=

−=⋅−

−=⋅

−=−−−=

⊥

‹

‹

‹‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹‹

‹

!

!"

!"

!"

!



3 2 3 2 3 2 3 2 3 2


Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en ( )34,4C = y

que pasa por ( )34,1Q −−= .

Solución:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )9

289

3

4y4x:

9

289r r

3

4

3

44134,1Q

r 34y4x

r kyhx:

:tenemosdatos,losDe

22

222

2

222

222

=

−+−

==

−−+−−∈−−=

=−+−

=−+−

C

C

C

ˆ

!!!

Hallar el área del círculo cuya ecuación es:

0103y12x72y9x9 22 =+−++

Solución:

( )

( )

( )

22

22

2

22

22

22

22

u5 A5r A

5r :Donde5

3

2y4x

453

2y94x9

41441039

4y

3

4y916x8x9

103y12x72y9x9:

cuadradosocompletandynteindependietérminoelDespejando

0103y12x72y9x9:

:nciacircunfereladeecuaciónlaTenemos

π=×π=π=

==

−++

=

−++

++−=

+−+++

−=−++

=+−++

!"

!

ˆ

C

C




3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Por una traslación de ejes, transformar la ecuación:

0133y4x42y2x3 22 =+−−−

en otra que carezca de términos de primer grado.

Solución:

( ) ( )

( ) ( )

12y2x31yy

7xx:Siendo

121y27x3

21471331y2y249x14x3

0133y4x42y2x3

:cuadradosoCompletand

22

22

22

22

=−

+=−=

=+−−

−+−=++−+−

=+−−−

N N

N

N!

55555Capít u l o

TRANSFORMACIÓN

DE COORDENADAS



3 4 3 4 3 4 3 4 3 4

Capítu lo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS

Simplificar la ecuación:

055y36x48y36x72 22 =−+−+

por una traslación de los ejes coordenados.

Solución:

( )

=+

+=

−=

=

++

−

=

++

−

++=+++

+−

=−+−+

2yx2

2

1yy

3

1

xx:Siendo

22

1y

3

1x2

722

1y36

3

1x72

98551yy369

1x

3

2x27

055y36x48y36x72

:cuadrados oCompletand

22

22

22

22

22

N N

N

N

!

Por una traslación de ejes, simplificar la ecuación:

03y4x8y2x 22 =−++−

Solución:

( ) ( )

( ) ( )

=−−=−=

=−−−

−+=+−−+−

17y2x1yy

4xx

:Siendo

171y24x

21631y2y216x8x

:tieneseexpresión,laencuadradosoCompletand

22

22

22

N N N

N

!




3 5 3 5 3 5 3 5 3 5

Por medio de una traslación de ejes, eliminar los términos de primer grado

de la ecuación: 04yxxy2 =+−−

Solución:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

07yx4042

1

2

1

2

1

2

12yx2

enLuego

2

1kh

01h2

01k2:dondeDe

04khhk2y1h2x1k2yx2

4kyhxhk2yk2xk2yx2

kyhxkyhx2

: en

kyy

hxx

04yxyx2

:

=+=+−−

+

==

=−=−

→ =+−−+−+−+

+−−−−+++

+−+−++

→

+=+=

→ =+−−

N N N N

N N N N

N N N N N N

N N N N

N

N

!

!

!

!

!

"#

#

"

Por una rotación de los ejes coordenados, transformar la ecuación:

0x25y9xy24x16 22 =+++

en otra que carezca del término en xy.

Solución:

#

"

→

θ+θ=θ−θ=

→ =+++

cosysenxysenycosxx:Luego

0x25y9xy24x16 22

N N

N N



3 6 3 6 3 6 3 6 3 6


( )

( )

( )

⊗ → =θ−θ+

+θθ+θ−θθ−θ+

+θ+θθ−θ+

+θ+θθ+θ

0seny25cosx25

yxcossen18sen24cossen32cos24

ycos9cossen24sen16

xsen9cossen24cos16

: en Ahora

22

222

222

N N

N N

N

N

"#

( )

7

242tg02tg724

:2cosDividiendo

02sen72cos24

0cossen272cos24

0cossen14sencos24

0cossen14sen24cos24

0cossen18sen24cossen32cos24

.y e x términoeleliminar paraLuego

22

22

22

=θ=θ−θ×

=θ−θ

=θθ×−θ

=θθ−θ−θ

=θθ−θ−θ

=θθ+θ−θθ−θ

!!

!

N N

5

4cos25

16

225

71

2

2cos1cos

5

3sen

25

9

225

71

2

2cos1sen

: Además

25

72cos

:figuraladeLuego

=θ=

+

=θ+=θ

=θ=−

=θ−=θ

=θ

!

!

!

!

!




3 7 3 7 3 7 3 7 3 7

( ) ( )

0y3x4x5

0y15x20x25

0y5325x

5425y

543

534x

533

544

0seny25cosx25ycos3sen4xsen3cos4

En

2

2

22

2

222

:

=−+

=−+

=⋅−⋅+

⋅+⋅+

⋅+⋅

=θ−θ+θ+θ+θ+θ

⊗

N N N

N N N

N N N N

N N N N

!

!

Simplificar la ecuación:

013y2x10yxy10x 22 =++−+−

por transformación de coordenadas.

Solución:

( ) ( )

⊗ → =++−−+

+−++−−++

=+++−−

−+++−−−−++

→ +=

+=

→ =++−+−

013k2h10hk10k

yh10k22x10k10h2yx

013k2y2h10x10

kky2yhk10yh10xk10yx10hhx2x

: en

kyy

hxx:Luego

013y2x10yxy10x

2

22

2222

22

N N N N

N N

N N N N N N N N

N

N

"#

#

"

1k;0h0h10k22

010k10h2

quecumplirsedebe ;y e x términosloseliminar Para

−==

=−+

=−−!

N N



3 8 3 8 3 8 3 8 3 8


( )

( )( )

( ) ( )

( )

( )

02cos0sencos

0sencos10

0sen10cos10

:yx términoeleliminar para Ahora

......012yxsen10cos10

ycossen101xcossen101

012yxsen10cos10cossen2cossen2

ycossen10cossen

xcossen10sencos

012cosseny10senyx10cosyx10

cossenx10cosycossenyx2

senxsenycossenyx2cosx

: en

......cosysenxy

senycosxx:Pero

......012yx10yx

01321yx10yx

:En

22

22

22

22

22

22

222

222

22

222

222222

22

22

=θ=θ−θ

=θ−θ−

=θ+θ−

=+θ+θ−+

+θθ++θθ−

=+θ+θ−θθ−θθ++θθ+θ+θ

+θθ−θ+θ

=+θθ+θ+θ−

−θθ+−θ+θθ++θ+θ+θθ−θ

θ+θ=

θ−θ=

=+−+

=+−+−+

⊕

⊗

!!

!

!

!

!

!

NN NN

NN NN

NN NN

N N N N

N N

N N

N N N N N N N N N N

N N N N N N N N

N N N N N N N N N N

N N N N N

N N N N N

N N N N

N N N N

!$

$

!

Ahora para eliminar el término x´´y´´:




3 9 3 9 3 9 3 9 3 9

( ) ( )

06y3x2

:2 Dividiendo

012y6x4

012y51x51

012y2

2

2

2101x

2

2

2

2101

: endoReemplazan

2

2

2

1

2

2cos1cos

2

2

2

1

2

2cos1sen

: Además

22

22

22

22

=−−

×

=++−

=+++−

=+

⋅⋅++

⋅⋅−

==θ+

=θ

==θ−

=θ

⊕

NN NN

NN NN

NN NN

NN NN

!

!

!

!

Un punto P se mueve de tal modo que la diferencia de sus distancias a los

dos puntos ( )1,4 A = y ( )2,1B −= es siempre igual a 3. Hallar la

ecuación del lugar geométrico y simplificarla por transformación de

coordenadas.

Solución:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) 31y2x4y1x

3PB AP

:condiciónlaDe

mueve.sequepuntoel yx,P Sea

2222 =−++−−+−

=−

=

!



4 0 4 0 4 0 4 0 4 0


( ) ( )

09yx8

019101010yx8

0192

5

2

18

2

54

2

110yx8

: en

2

1k;

2

5h

0h84

0k820

:y e x términosloseliminar para Ahora

019kh8k4h20yx8yh84xk820

:Luego

kyy

hxx

:Pero

09yx8y4x20

:tienesesoperacioneEfectuando

=−−

=++−−−

=+

−−

−

−+−

−==

=+

=−

→ =+−−+−+−−

→

+=

+=

→ =+−−

N N

N N

N N

N N

N N N N

N

N

!

!

!!

!

!

!

!#

!

#

"




4 1 4 1 4 1 4 1 4 1

66666Capít u l o

LA PARÁBOLA

Obtener la ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuya directriz

es 2y = .

Solución:

y8x:

: En

2p

py4x:

:tienesegráfico,Del

2

2

−=

=

→ −=

!

!

!



4 2 4 2 4 2 4 2 4 2

Capítu lo 6. LA PARÁBOLA

Hallar la ecuación de la parábola cuya directriz es la recta 6x −= y su

foco es ( )0,0F = .

Solución:

( ) ( )

( )

( )

36x12y:

3x12y:

: En

3FVpy3,0V:Como

hxp4ky:

:gráficoDel

2

2

2

+=

+=

==−=

→ −=−

!

!

!

Calcular el radio focal del punto M de la parábola x20y2 = si la abscisa

del punto M es igual a 7.

Solución:

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

12144FM

570140FM

:tantoloPor

1407,M

140y720y

: En

y7,M

5,0F:dondede

5p204p: De

x20y:

22

12

1

1

2

==

−+−=

±=

±==

∈=

=

==

→ =

!

!!

!

!

!

!




4 3 4 3 4 3 4 3 4 3

Dada la ecuación de la parábola 7x2y8x2 =−+ . Hallar el vértice, eje,

foco y directriz. Trazar la curva.

Solución:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

3y:directrizladeEcuación

1x:ejedelEcuación

11,pkh,F:focodelscoordenadalas Ahora,

2p84p:teSeguidamen

1,1kh,V:parábolaladevérticedelscoordenadalasLuego,

1y81x:8y81x:

17y81x2x:7x2y8x:

cuadradosoCompletand

7x2y8x:

22

22

2

=

=

−=+=

−=−=

==

−−=−+−=−

++−=+−=−+

=−+

!

!

!

!

!



4 4 4 4 4 4 4 4 4 4


Encontrar la ecuación de la parábola, cuyo vértice es el punto ( )3,2V = y

el foco es ( ),24F = .

Solución:

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

16x4y4y:

3x42y

3x142y:

: envaloreslosdoReemplazan

1VFp

:focoelyvérticeelconocesequeDado

hxp4ky:

2

2

2

2

−+=

−=−

−=−

==

→ −=−

!

!

!

Obtener la ecuación de la parábola con foco en ( )2,3F = y cuya ecuación

de la directriz es 6x −= .

Solución:

( )

( ) ( )

023y6x16y:


6x3y2x

definición a

PdeDistanciaFP

:gráficoDel

2

22

=−−−

+=−+−

=

‹

!

!

!




4 5 4 5 4 5 4 5 4 5

Determinar la longitud del segmento determinado por la ecuación x4y2 = ,

con la recta de ecuación 3y2x −= .

Solución:

( )

( )

( ) ( ) 94,854PP16642619PP

:Luego

:gráficasdoslasdeónintersecci P y P

9,6P

1,2Ppuntoslosobtenemos y De

3y2x:

x4y::Tenemos

2122

21

21

2

1

2

≈=+=−+−=

=

=

→ −=

→ =

!"

"!

"

!

‹



4 6 4 6 4 6 4 6 4 6


Determinar la ecuación de una circunferencia que tiene por diámetro la

cuerda normal de la parábola, cuya ecuación es x16y2 = .

Solución:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

048x8yx:

64y4x:

:tantoloPor

4,0CFC

nciacircunfereladecentro C Siendo

64r 8FPFPr

8,4P

8,4P: y De

4x:NC

rectoladonormalcuerdalaLuego,

4,0p,khF:Tambien

0,0kh,V vérticeelquededucese

x16y:

22

22

221

2

1

2

=−−+

=+−

==

====

−=

=

→ =

=+=

==

→ =

C

C

!"!

!"

!

!

!

"!

"

!

Una recta que pasa por el foco de una parábola con el vértice en el origen

y con el eje horizontal, corta a la directriz en el punto ( )8,3 A −= . Calcular

las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola y la recta.

Solución:

( ) ( )0,0k,hV vérticesuy

px4y: 2

==

→ = !!

é




4 7 4 7 4 7 4 7 4 7

( )( ) ( )

( )

( )

( )

( )12,12P

3,43P

012y3x4:

x12y::P: y De

012y3x4:3x3

4y

3xm0y:

34mm

3,0k,phF

3,8 A:

x12y:: en

3p: Además

2

12

2

AF

−=

=

=−+

=

→ =−+−−=

−=−

−==

=+=−=

→ =

→ =

!"

!"

!

‹

‹

‹

‹

‹

‹

#$

#

$!"

"

!



4 8 4 8 4 8 4 8 4 8


Las dos torres de suspensión de un puente colgante distan entre sí 300 m.

y se extienden 80 m por encima de la calzada. Si el cable (que tiene la

forma de una parábola) es tangente a la calzada en el centro del puente,

determinar la altura del cable por encima de la pista a 50 m y también a

100 m del centro del puente. (Asumir que la pista es horizontal).

Solución:

( )

( )

( )

( ) .m55,359

320yy

4

1575100y,100P

.m88,89

80yy

4

157550y,50P

:Luego

y4

1575x:: En

4

1575p480p4150

.150,80P

py4x:queobservasegráfico,Del

222

22

112

11

2

2

2

≈=×

=∈=

≈=×

=∈=

×=

×==

∈=

→ =

!!

!!

!"!

!

!

!

!

!




4 9 4 9 4 9 4 9 4 9

77777Capít u l o

LA ELIPSE

Hallar la ecuación de la elipse cuya longitud de la cuerda normal (lado

recto) es 5 vértices ( )10,0± .

Solución:

125

y

100

x:: entantoloPor

100a10a

25b5a

b2CN

:enunciadodelLuego

1

b

y

a

x::Sabemos

22

2

22

2

2

2

2

=+

==

===

→ =+

õ

õ

!

!

!

!"

!

!



5 0 5 0 5 0 5 0 5 0

Capítu lo 7. LA EL IPSE

Hallar la ecuación de la elipse, cuyo eje es coincidente con 1x = , ( )1,5C = ,

( )1,8F = ; suma de las distancias focales de un punto de la elipse es 12.

Solución:

( ) ( )

( ) ( )1

36

5y

27

1x::tantoloPor

27b27936bcab:Sabemos

9c3CFc:Luego

36a6a12a2:Pero

1a

ky

b

hx::deducimosenunciadoDel

22

22222

2

2

2

2

2

2

=−

+−

==−=−=

===

===

=−

+−

õ

õ

!"!"

!"

!"!"




5 1 5 1 5 1 5 1 5 1

Reducir la ecuación 021y16x6y4x 22 =++−+ a la forma ordinaria de

la ecuación de una elipse y determinar las coordenadas del centro, vértices

y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, y la cuerda normal; y la

excentricidad.

Solución:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

113

ace:dadExcentrici

12

12

a

2bNC:NormalCuerda

2122b:menor Eje4222a:mayor Eje

3c3cc14cba1b1b2a4a

:También

2,1V

2,5V2,23ka,hV

:deobtienenseelipseladevérticeslosLuego

2,3kh,C:tenemosecuaciónlaDe

11

2y

4

3x:

42y43x

169214y4y49x6x

:y e x paracuadradosoCompletand

021y16x6y4x

2

222222

22

2

1

22

22

22

22

<==

=×

==

=×==×=

±==+=+=±==±==

−=

−=−±=±=

−==

=+

+−

=++−

++−=++++−

=++−+

!

!

!!

!

!!

!!!

!!

!!

õ



5 2 5 2 5 2 5 2 5 2


Por el foco de la elipse 115y25x 22 =+ se ha trazado una perpendicular

a su eje mayor. Determinar las distancias de los puntos de intersección de

esta perpendicular con la elipse hasta los focos.

Solución:

( ) ( )

"

!

→ =

±=±=

±=−±=−=−=

→ =+

10x:esfocoprimer elentrazada

lar perpendiculadeecuaciónLa

,010Fc,0F

:sonelipseladefocoslosLuego,

101525cbaccab:Sabemos

1

15

y

25

x:

:elipseladeecuaciónlaTenemos

222222

22

!!

!!

! õ




5 3 5 3 5 3 5 3 5 3

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 7301010CF

3301010CF

:tantoloPor

3,10yx,C:aquíDe

3y9y115

y

25

9: yDe

222

221

22

=−+−−=

=−+−=

==

±===+

!

!

!!"!

Búsquese la ecuación de la elipse que tenga como centro ( )2,4C −= y

sea tangente a los dos ejes de coordenadas.

Solución:

( ) ( )

( ) ( )1

16

4y

4

2x:

4b2b

Yejeal C deDistancia:b

16a4a

X ejeal C deDistancia:a

:casoestePara

1a

ky

b

hx::Sea

22

2

2

2

2

2

2

=−

++

==

==

=−

+−

õ

õ

!

!!

!!

!

!



5 4 5 4 5 4 5 4 5 4


Hallar la ecuación canónica de la elipse, si uno de los vértices está en

( )5,0V1 = y pasa por el punto ( )2,3P = .

Solución:

( )

( )

75y7x3:1775

y

25

x:

:tantoloPor

7

75b1

b

3

25

42,3P:Como

1b

y

25

x::Luego

25a5a5,0V:queDado

1b

y

a

x:

2222

22

2

22

21

2

2

2

2

=+=+

==+∈=

=+

===

=+

õõ

õ

õ

õ

!

!!

!!

!

La base de un auditorio es de forma elíptica, tiene 20 m. de longitud y 16 m

de ancho. Si cae una aguja sobre un foco el ruido que produce se escucha

claramente cerca del otro foco. ¿A qué distancia está un foco del otro

foco?

Solución:

12c22F1F:tantoloPor

6c36ccab:dondeDe

64b8b

100a10a

:enunciadodeldatoslosSegún

2222

2

2

==

±==−=

==

==

!!

!

!

!

!

Según los datos del enunciado:

Por lo tanto:




5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

Usando la definición de elipse, obtener la ecuación de la elipse con focos

en ( )3,4F −= y ( )5,4F2 = eje mayor 12.

Solución:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

031y72x10y9x5:


124y5x4y3x

:dondeDe

12a2PFPF

:quetieneseelipse,dedefiniciónlaPor


22

2222

21

=+++−

=−+−−−++

==−

=

õ

!

!



5 6 5 6 5 6 5 6 5 6


Demostrar que para todo elipse que tenga su centro en el origen, la distancia

de cualquiera de los extremos del eje menor a cualquiera de los focos es la

mitad de la longitud del eje mayor.

Solución:

aaFB:tantoloPor

bca:quedefiniciónpor sabemospero,

bcFB:figuraladeLuego,

a2

a2

2

VV

FB

:queProbar

origen.elenvérticeconelipsela1b

y

a

x:Sea

2

11

222

2211

2111

2

2

2

2

==

+=

+=

===

=+

!

õ




5 7 5 7 5 7 5 7 5 7

Un punto se mueve de tal modo que la suma de las distancias de los

puntos ( )2,0 A −= y ( )2,6B −= es 8. Hallar la ecuación del lugar

geométrico de P .

Solución:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

16

3y

7

2x:

015y42x64y7x16:

:tieneses,operacioneEfectuando

86y2xy2x

:dondeDe

8BP AP

:problemadelcondiciónlaPor


22

22

2222

=−

++

∴

=+−++

=−+++++

=+

=

õ

õ

La órbita que describe la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente una

elipse, con el Sol en uno de los focos. Si el eje mayor de la órbita elíptica

es de .km000300 y la excentricidad es de 017,0 aproximadamente.

Hallar la distancia máxima y mínima de la Tierra al Sol.

Solución:

5502c0001500,017a0,017c0,017a

ce

:elipseladedadexcentriciladeaproximadovalor Del

000150a0003002a

:quetenemosgráfico,elsegúnydatoslosDe

=×=×===

==

!!

!

!

!

Por la condición del problema:



5 8 5 8 5 8 5 8 5 8


450147ca5502000150ca:Minimo

550152ca5502000150ca:Máximo

:Luego

=−−=−

=++=+

!

!

!

!

´




5 9 5 9 5 9 5 9 5 9

88888Capít u l o

LA HIPÉRBOLA

Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto ( )2,3 A = , tiene

su centro en el origen, su eje transverso está sobre el eje Y, y una de sus

asíntotas es la recta 0x7y2 =− .

Solución:

( )( )

( )

178

x

2

y:8x7y4:: En

8kk28362,3 A:Pero

kx7y4:kx7y2x7y2:

:Luego

0x7y2:0x7y2:Si

. hipérbolaladeasíntotas ySean

2222

22

21

21

=−=−

==−∈=

→ =−=+−

=+=−

H H

H

H H

H

!

!!

!

!

!

!!

‹‹

‹‹



6 0 6 0 6 0 6 0 6 0

Capítu lo 8. LA HIPÉRBOLA

Hallar la ecuación de la hipérbola, con vértices en ( )70,V ±= y 34e = .

Solución:

( ) ( )

343y79x:

19343

x

49

y::tantoloPor

9

343b49

9

784acb:Luego

9

784ca

3

4c

3

4

a

ce: Además

7aa0,70,V:Si

1b

x

a

y::deducesedatoslosDe

22

22

2222

2

2

2

2

2

=−

=−

=−=−=

=×===

±=±=±=

=−

H

H

H

!

!!

!

Dada la ecuación de la hipérbola 4y4x 22 =− , hallar las coordenadas de

los vértices y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado, la

excentricidad y la longitud de la cuerda normal (lado recto).

Solución:

( ) ( )

( ) ( )

2

5e

a

ce:dadExcentrici

,05c,0F:Focos

2,0a,0V:Vértices

5c514bac

1b1b2a4a

:dondeDe

11

y

4

x:4y4x::Sabemos

222

22

2222

==

±=±=

±=±=

±==+=+=

±==±==

=−=−

!

!

!!

!

!

!!

H H




6 1 6 1 6 1 6 1 6 1

2b2:ConjugadoEje

4a2:TransversoEje

12

12

a

2bCN:NormalCuerda

2

=

=

=×

==

Encontrar la ecuación de la hipérbola de focos ( )1,1F1 −= y ( ),15F2 =

y un vértice en ( )0,1V = .

Solución:



6 2 6 2 6 2 6 2 6 2


( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )1

5

1y

4

2x:

1b

ky

a

hx::tantoloPor

5bb49bac

4a2CVa

: Ahora

2,1C1k

2hkh,C

9c3c6c2FF:Sabemos

22

2

2

2

2

22222

2

221

=−

−−

=−

−−

=+=+=

===

=

=

==

====

H

H

!!

!

!!

!!

!

!

!

Determinar la ecuación de la hipérbola, sabiendo que sus focos son los

puntos ( )3,4F1 = y ( )23,F2 −= y su excentricidad es igual a 2.

Solución:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )1

427

3x

49

1y:

1b

hx

a

ky::tantoloPor

4

27b

4

99acb:queSabemos

4

9a

2

3a2

a

ce: Además

3CFCFc:Luego

,13C1k

3hkh,C

22

2

2

2

2

2222

2

21

=−

−−

=−

−−

=−=−=

====

===

=

=

==

H

H

!

!!

!!!




6 3 6 3 6 3 6 3 6 3

Hallar la ecuación de la hipérbola, cuyos focos están en los vértices de la

elipse: 164y100x 22 =+ . Y las directrices pasan por los focos de esta

elipse.

Solución:

( ) ( )

100c10c

elipse.laen a devalor delpartir a

hipérbolalaencdevalor elobtenemosproblema,delcondiciónPor

1b

y

a

x::hipérbolalaEn

6,0c,0F:dondeDe

6c3664100baccab

8b64b10a100a

164

y

100

x::elipselaEn

2

2

2

2

2

222222

22

22

=±=

=−

±=±=

±==−=−=−=

±==±==

=+

!

!!

!!

!

!

!!

H

õ



6 4 6 4 6 4 6 4 6 4


1100

y

60

x:

1b

y

a

x::tantoloPor

40b60100bcab:Seguido

60a: enLuego

elipse.laen

obtenidovalor unes c donde ;cx :problemadelcondiciónPor

10

a

c

a

ac

ax

e

ax:hipérbolaladedirectrizladeecuaciónLa

22

2

2

2

2

22222

2

22

=−

=−

=−=−=

=

=

→ ±==±=

±=

H

H

!!

!

!

!




6 5 6 5 6 5 6 5 6 5

Dada la ecuación de la hipérbola: ( ) 1128y164x22 =−− , encontrar las

coordenadas del centro, vértices y focos; la excentricidad; las ecuaciones

de las directrices y asíntotas; y la longitud de la cuerda normal (lado recto).

Solución:

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )[ ] ( )[ ]

( )

( )

=−−

=+−

=−−⋅+−

=−−−

=

=±=±=

−=

=

±=±=

=

=±=±=

±==+=+=

±==±==

==

→ =−−

0y4x22:

0y4x22:

0y4x22y4x22

k128y4x8

: en;asíntotaslasdeEcuaciones

38x

316x

3

44

e

ahx

:sdirectricelasdeEcuaciones

0,8F

0,16F

,0124c,khF:Focos

0,0V

0,8V4,04a,khV:Vértice

12c14412816bac

28b128b4a16a

: Además

4,0kh,C quededucese

1128

y

16

4x: Si

2

1

2

2

1

2

1

222

22

22

‹

‹

!

!

!

!

!

!

!!

!

!

!

!!

H

s:



6 6 6 6 6 6 6 6 6 6


64644

1282

a

2bCN:NormalCuerda

2

==×

==




6 7 6 7 6 7 6 7 6 7

Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos ( )2,3 A −= y

( )7,6B = , tiene su centro en el origen y el eje transverso coincide con el

eje X.

Solución:

( )

( )

16y5x4:

1516

y

4

x::Luego

516b;4a: y De

1b

36

a

49:6,7B

1b

4

a

9:23, A

1b

y

a

x:

22

22

22

22

22

2

2

2

2

=−∴

=−

==

→ =−∈=

→ =−∈−=

=−

H

H

H

H

H

"!

"

!

!

!

!

!

Un observador estacionado en el punto P oye el estampido de un rifle y el

golpe de la bala sobre el objetivo en el mismo instante. Demostrar que el

lugar geométrico de P es una hipérbola.

Solución:

v

ettve: Además

sonidodelVelocidad:V

balaladeVelocidad:V

:Sean

s

b

=⋅= !

!

!



6 8 6 8 6 8 6 8 6 8


! → +=sbs V

BP

V

BR

V

RP:problemadelcondiciónPor

( )

LQQD

hipérboladeDefiniciónkBPRP

kV

BRVBPRP

V

BR

V

BP

V

RP

: De

bs

bss

=−

=×=−

=−

!

!

!

!




6 9 6 9 6 9 6 9 6 9

99999Capít u l o

CURVAS PLANAS

DE GRADO SUPERIOR

Trazar la curva potencial, cuya ecuación es: 32 xy = .

Solución:

...1.58.210y

...3210x

:valoresdeCuadro

0x;xxyxyxy 332

±±±

≥±=±== ∀!!!



7 0 7 0 7 0 7 0 7 0

Capítu lo 9. CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR

Trazar la curva logarítmica, cuya ecuación es: xlogy 10=

Solución:

...21147.0301.00y

...1.0100941x

:valoresdeCuadro

0x;xlogy 10

−

>= ∀!




7 1 7 1 7 1 7 1 7 1

Trazar la curva exponencial, cuya ecuación es: 1xe4y −=

Solución:

...5.08.1044.1y

...1210x

:valoresdeCuadro

x;e4y 1x

−

∈= ∀−ú!



7 2 7 2 7 2 7 2 7 2

Capítu lo 9. CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR

Trazar la curva, cuya ecuación es:

=

3

xcosy .

Solución:

12186.002186.01y

32522320x

:valoresdeCuadro

−−−

ππππππ

La ley de Boyle - Mariotte establece que a una temperatura constante de

presión p y el volumen v de un gas satisfacen la ecuación cvp =⋅ , para

algún número real fijo c. Un cierto gas por debajo de una presión de 20

libras por pulgada cuadrada tiene un volumen de 300 pulgadas cúbicas.

Hallar c de la ecuación: cvp =⋅

Solución:

0p;p

6000v6000vp

:Luego

6000c30020ccvp

≠∀==⋅

=×==⋅

!

!!

!

!




7 3 7 3 7 3 7 3 7 3

...1600016000y

...6000160001x

:valoresdeCuadro

−−

−−




7 5 7 5 7 5 7 5 7 5

1010101010Capít u l o

PROBLEMAS

SUPLEMENTARIOS

¿Para qué valor de h estará el punto ( )3h,P −= en la recta determinada

por ( )1,1 A −= y ( )4,7B = ?

4

1:Rpta.

Demostrar que el triángulo cuyos vértices son ( )10,5 A = , ( )3,2B = y

( )5,6C −= es rectángulo. Hallar el área.

2u29:Rpta.

Si ( )5,12 A = es el punto medio del segmento BC y ( )37,B −−= .

¿Cuáles son las coordenadas de C ?

( )17,27C =:Rpta.

Discutir y graficar las curvas, cuyas ecuaciones son:

)

) ( ) x104xyb

04x2yxa

2

222

=+

=−+



7 6 7 6 7 6 7 6 7 6

Capítu lo 10. PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto cuya distancia de

( )6,0 A −= es dos veces su distancia de ( )6,0B = . Trazar la curva.

036x20yx 22 =+−+:Rpta.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( )5,3P = y su X-interceptor

es 10.

030y5x3 =−−:Rpta.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( )7,4P1 = y forma un

ángulo de 120º con la parte positiva del eje X.

0374yx3 =−−+:Rpta.

Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto de intersección

de las rectas 04y2x =−+ y 02yx4 =−− , tal que forman con el

primer cuadrante un triángulo de área 2u25 .

030y2x9,010yx2 =−+=−+:Rpta.

Los puntos ( )2,3X −= , ( )4,1Y = y ( )5,3Z −= son los vértices de un

triángulo. Hallar la ecuación de la recta perpendicular al lado XZ que pasa

por Y .

017y7x6 =−−:Rpta.

Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a ambos ejes, y su centro

está en el cuarto cuadrante.

( ) ( ) 34

11y4x

22

=++−:Rpta.




7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

La ecuación de la circunferencia es 28x10yx 22 =−+ . Hallar la ecuación

de la recta tangente a la circunferencia en el punto ( )3,7 A = .

043y7x2 =+−:Rpta.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por las intersecciones de

las circunferencias: 01yx2yx 22 =−+++ y 04y2x2yx 22 =−+++

y por el punto ( )0,3P −= .

03yx10y3x3

22

=++++:Rpta.

Por una traslación de ejes, simplificar la ecuación:

01y7x3yx2 22 =−−++

115y8x16 22 =+ N N:Rpta.

La parábola xp2y2 = tiene un extremo de la cuerda focal en el punto

( )8,8 A = . Hallar las coordenadas del otro extremo.

−2,

2

1:Rpta.

Un cable suspendido se carga de tal manera que toma la forma de una

parábola. Los extremos tienen una separación de 400 pies y tienen una

altura de 100 pies del centro. Hallar la altura del cable a 50 pies desde el

centro.

pies 25.6:Rpta.



Capítu lo 10. PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

Hallar la ecuación de la elipse con focos en ( )0,7F1 = y ( )120,F2 = , un

vértice en ( )160,V = .

( )14169

219y

36

x22

=−+:Rpta.

Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, eje menor sobre el

eje Y, 54e = , cuerda normal (lado recto) 518 .

12

y

6

x 22

=+:Rpta.

Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, eje principal

(real) sobre el eje X; pasa por los puntos ( )3,1S = y ( )5,9T = .

12

y

6

x 22

=−:Rpta.

Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en ( )1,8C −= , con vértice en

( ),83V1 = , 3e = .

( ) ( )1

128

8y

16

1x22

=−

−+

:Rpta.

Trazar la curva, cuya ecuación es: 22 exy ⋅=

Documents

Problemas Resueltos de Calculo y Geometria Analitica Ccesa007