If you can't read please download the document
Upload
dangquynh
View
234
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FSICA Prof. Anderson Coser Gaudio
Departamento de Fsica Centro de Cincias Exatas Universidade Federal do Esprito Santo
http://www.cce.ufes.br/anderson
[email protected] ltima atualizao: 23/07/2005 09:48 H
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FSICA 1
Captulo 7 - Trabalho e Energia
Problemas
01 02 03 04 05 06 07 08 09 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63
Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES
Problemas Resolvidos
10. Um bloco de 5,0 kg se move em linha reta sobre uma superfcie horizontal sem atrito sob
influncia de uma fora que varia com a posio, como mostra a Fig. 15. Qual o trabalho
realizado pela fora quando o bloco se move desde a origem at x = 8,0 m?
(Pg. 136)
Soluo.
O trabalho de uma fora unidimensional dado por:
0
( )
x
xx
W F= dxIsso significa que num grfico de F(x) x o trabalho a rea entre a curva e a coordenada zero do eixo da fora, sendo que as reas acima da coordenada zero (Asuperior) so positivas e as que ficam
abaixo (Ainferior)so negativas. O clculo da rea deve ser feito utilizando-se as escalas da ordenada e
da abscissa. Vale notar que cada clula da malha do grfico corresponde a um trabalho equivalente
a 10 J. Portanto:
superior inferior 30 J 5 JW A A= =
25 JW =
[Incio]
17. Um objeto de massa 0,675 kg est em uma mesa sem atrito e ligado a um fio que passa atravs
de um buraco da mesa, no centro de um crculo horizontal no qual o objeto se move com
velocidade constante. (a) Se o raio do crculo for 0,500 m e a velocidade da massa for 10,0 m/s,
calcule a tenso no fio. (b) Verifica-se que se puxarmos o fio para baixo mais 0,200 m,
reduzindo assim o raio do crculo para 0,300 m obtm-se o mesmo efeito que se multiplicarmos
a trao do fio original por 4,63. Calcule o trabalho total realizado pelo fio sobre o objeto
girante durante a reduo do raio.
(Pg. 137)
Soluo.
Considere o seguinte esquema da situao:
m
v0
R0T0
m
v
RT
(a) A fora centrpeta do movimento circular do objeto vale:
________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4
a Ed. - LTC - 1996. Cap. 7 Trabalho e Energia
2
Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES
2
c
mvF
r=
Como Fc = T0:
2
00
0
mvT
R= (1)
0 135 NT =
(b)
2
04,63mv
T TR
= = (2)
Dividindo-se (1) por (2):
2
0
2
0
4,63R v
Rv=
2
2 0
0
4,63Rv
vR
= (3)
Aplicando-se o teorema do trabalho-energia cintica:
( 2 20 12
oW K K K m v v= = = ) (4) Substituindo-se (3) em (4):
2
0
0
14,63 1 60,007 J
2
RW mv
R
= =
A
60,0 JW
[Incio]
28. Um projtil de 0,550 kg lanado da beira de um penhasco com energia cintica inicial de
1.550 J e em seu ponto mais alto est a 140 m acima do ponto de arremesso. (a) Qual a
componente horizontal de sua velocidade? (b) Qual era a componente vertical de sua velocidade
logo aps o lanamento? (c) Em um instante durante o seu vo encontra-se o valor de 65,0 m/s
para a componente vertical de sua velocidade. Neste instante, qual a distncia a que ele est
acima ou abaixo do seu ponto de lanamento?
(Pg. 138)
Soluo.
Considere o seguinte esquema:
________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4
a Ed. - LTC - 1996. Cap. 7 Trabalho e Energia
3
Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES
m
g
y
x
K0
h
(a) Vamos partir da definio da energia cintica inicial do projtil:
(2 20 1 12 2
o xoK mv m v v= = )2yo (1)
2 02
yo xo
Kv
m= 2v
o
(2)
Na Eq. (1) foi usada a igualdade que representa o mdulo da velocidade inicial do projtil:
(3) 2 2 2
o xo yv v v=
Multiplicando-se (3) por m/2, em que m a massa do projtil:
2 21 1 1
2 2 2o xomv mv mv=
2
yo
0
0 0x yK K K= +
Como o movimento do projtil pode ser estudado independentemente nas coordenadas x e y, de se
esperar que a energia mecnica do projtil, que depende de sua posio e velocidade, tambm possa
ser analisada independentemente em x e em y. Portanto, vamos analisar a conservao da energia
mecnica em y:
0y yE E=
0y yK U=
20
1
2ymv mgh=
(4) 2
0 2yv g= h
Substituindo-se (2) em (4):
202
2xoK
v gm
= h
00 2 53,7546 m/sxK
v ghm
= =
A
2 53,8 m/sxov
Pode-se demonstrar a validade do procedimento acima. Aplicando-se a equao de movimento de
Torricelli do ponto de lanamento at o ponto mais elevado da trajetria do projtil:
2 2
02 ( )y yov v a y y= +
20 2yov g= h
________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4
a Ed. - LTC - 1996. Cap. 7 Trabalho e Energia
4
Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES
________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4
a Ed. - LTC - 1996. Cap. 7 Trabalho e Energia
5
h (2) 2 2yov g=
Substituindo-se (2) em (1):
2 02
2 53,7546 m/sxoK
v ghm
= = A
2 53,8 m/sxov
(b) Da Eq. (4):
2 2 52,4099 m/syov gh= = A
2 52,4 m/syov
(c) A posio do corpo pode ser encontrada da seguinte forma:
2 2
02 ( )y yov v a y y= +
2 2 2y yov v g= y
2 2
75,3357 m2
yo yv vy
g
= = A
75,3 my =
De acordo com o referencial adotado, nessa posio a velocidade do projtil ser negativa. O
instante de tempo em que essa posio atingida dado por:
0y yv v a= + t
t 0y yv v g=
0
11,968 sy yv v
tg
= = A
12,0 st
[Incio]
32. Uma bola de borracha deixada cair de uma altura de 1,80 m rebatida vrias vezes pelo cho,
perdendo 10% de sua energia cintica de cada vez. Depois de quantas colises a bola no
conseguir se elevar acima de 0,90 m?
(Pg. 138)
Soluo.
Considere o seguinte esquema:
y
0K0 K1 K2
h0
h1
h2
Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES
Seja K0 a energia cintica inicial, K1 a energia cintica aps a primeira rebatida, K2 a energia
cintica aps a segunda rebatida, etc., e KN a energia cintica da bola aps a N-sima rebatida.
Temos que:
1 00,9K K=
________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4
a Ed. - LTC - 1996. Cap. 7 Trabalho e Energia
6
0 2
2 10,9 0,9K K K= =
33 20,9 0,9 0K K K= =
Logo:
10,9 0,9N
N N 0K K = = K
1
N
(1)
Tambm pode-se usar o trabalho da fora gravitacional na subida da bola aps cada rebatida para
fazer o clculo de K1, K2, etc., KN.
W K= 1 0 0mgh K K K = =
1 1K mgh=
Logo:
2 2K mgh=
Portanto, aps a N-sima rebatida:
(2) NK mgh=
Queremos saber N tal que hN 0,90 m. Igualando-se (1) e (2):
00,9N
NK mgh=
00,9N
Nmgh mgh=
0
0,90 m0,9 0,5
1,80 m
N Nh
h= = =
ln 0,5
6,57ln 0,9
N = = A
A altura h = 0,90 s deixa de ser atingida aps N = 6,57 rebatidas. Logo:
7N =
[Incio]
33. Um bloco de 263 g deixado cair sobre uma mola vertical de constante elstica k = 2,52 N/cm
(Fig. 20). O bloco adere-se mola, que ele comprime 11,8 cm antes de parar
momentaneamente. Enquanto a mola est sendo comprimida, qual o trabalho realizado (a)
pela fora da gravidade e (b) pela mola? (c) Qual era a velocidade do bloco exatamente antes de
se chocar com a mola? (d) Se esta velocidade inicial do bloco for duplicada, qual ser a
compresso mxima da mola? Ignore o atrito.
Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES
(Pg. 138)
Soluo.
Considere o seguinte esquema:
y
0
m
k
y0
y1
y2
v0 = 0
v1
v2 = 0
P
F
(a)
( )gW d=
0
r
rr
F r
2 2
1 12 1( ) 0,30444 J
y y
gy y
W Pdy mg dy mg y y= = = = A 0,304 JgW
(b)
2
2 2
1 1
1
22 2
( ) 1 2( ) ( ) 1,7544 J2 2
yy y
e yy y
y
y kW F dy ky dy k y y= = = = = A
1,75JeW
(c) Aplicando-se o teorema do trabalho-energia cintica:
W K=
22 1
10
2g eW W K K mv+ = = 1
________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4
a Ed. - LTC - 1996. Cap. 7 Trabalho e Energia
7
Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES
( )1 2 3,32058 m/sg ev W Wm
= + = A
( )3,32 m/s 1v j(d) v1 = 2 v1
W K=
' '
2 1 0g eW W K K K+ = = 1
' 2 '2 '22 1 1 2 11
( ) ( )2 2
kmg y y y y mv + =
' '22 2 1
1(2 )
2 2
kmgy y m v = 2
'2 ' 22 2 12 02
ky mgy mv+ =
A equao do segundo grau correspondente :
'2 '2 20,020476 0,04603 0y y+ A A =
As possveis solues so:
1
'
2 0, 20455 my = A
2
'
2 0,2250 my = A
Como y2 < 0:
'
2 0, 225 my
[Incio]
47. Um bloco de granito de 1.380 kg arrastado para cima de um plano inclinado por um guincho,
velocidade constante de 1,34 m/s (Fig. 23). O coeficiente de atrito cintico entre o bloco e o
plano inclinado 0,41. Qual a potncia que deve ser fornecida pelo guincho?
(Pg. 139)
Soluo.
Considere o seguinte esquema das foras que agem sobre o bloco:
________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4
a Ed. - LTC - 1996. Cap. 7 Trabalho e Energia
8
Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES
m
N
P
T x
y
fc
A potncia fornecida pelo guincho dada pela Eq. (1), onde v a velocidade de elevao do bloco,
F fora responsvel pela elevao do bloco e o ngulo entre F e v. Essa fora, que na verdade uma tenso (T), gerada pelo motor do guincho e transmitida ao bloco por meio da corda
mostrada na figura.
. cosP Fv Fv Tv= = = =F v (1) Vamos aplicar a primeira lei de Newton ao bloco, considerando-se apenas as foras em y:
0yF = cos 0N P = cosN mg = (2) Agora em x:
0xF = sen 0cT f P =
sencT N mg = + (3)
Substituindo-se (2) em (3):
cos sen ( cos sen )c cT mg mg mg = + = (4)
Substituindo-se (4) em (1):
( cos sen ) 16.606,328 WcP mg v = = A
16,6 kWP
[Incio]
52. Mostre que a velocidade v alcanada por um carro de massa m dirigido com potncia constante
P dada por
3/13
=
m
xPv ,
onde x a distncia percorrida a partir do repouso.
(Pg. 139)
Soluo.
Sabe-se que:
.
.dW F dx
Pdt dt
= = = F v
A expresso P = F.v d a potncia instantnea gerada pelo motor do carro, onde F a fora
instantnea de propulso do motor e v a velocidade instantnea do carro. Como P constante e v
________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4
a Ed. - LTC - 1996. Cap. 7 Trabalho e Energia
9
Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES
aumenta com o tempo, ento F tambm varivel. Ou seja, o movimento do carro ocorre com
acelerao varivel.
. cosdv
P Fv Fv mav mdt
= = = = =F v v (1)
Na Eq. (1), o ngulo entre F e v que, neste caso, zero. Aplicando-se a regra da cadeia a (1):
2dv dx dv
P m v mvdx dt dx
= =
2m
dx v dvP
=
20 0
x vmdx v dv
P=
3
3
m vx
P=
1/33xP
vm
=
[Incio]
54. Qual a potncia desenvolvida por uma mquina de afiar cuja roda tem raio de 20,7 cm e gira a
2,53 rev/s quando a ferramenta a ser afiada mantida contra a roda por uma fora de 180 N? O
coeficiente de atrito entre a roda e a ferramenta 0,32.
(Pg. 139)
Soluo.
Considere o seguinte esquema:
x
yFN
fc
r
Em primeiro lugar vamos converter (rps) para (rad/s): 2 ' = A velocidade tangencial da roda vale:
2 'v r r = = (1) As foras no eixo x so F, a fora que a ferramenta que afiada exerce sobre a roda, e N a fora de
reao a F que aparece no eixo da roda. Logo:
0xF = 0N F = (2) N F=Clculo da potncia dissipada pela fora de atrito (f):
. cos cosP fv fv fv Nv = = = = = f v (3) ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4
a Ed. - LTC - 1996. Cap. 7 Trabalho e Energia
10
Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES
Substituindo-se (1) e (2) em (3):
2 ' 189,5366 WP F r = = A
21,9 10 WP
[Incio]
57. A resistncia ao movimento de um automvel depende do atrito da estrada, que quase
independente da sua velocidade v, e do arrasto aerodinmico, que proporcional a v2. Para um
dado carro de 12.000 N, a fora total de resistncia F dada por F = 300 + 1,8 v2, onde F est
em newtons e v em m/s. Calcule a potncia necessria para que o motor acelere o carro a 0,92
m/s2 quando a velocidade for 80 km/h.
(Pg. 140)
Soluo.
Foras que agem no carro:
x
y
N
P
FmF
A potncia do motor P de um automvel dada pelo produto escalar da fora gerada pelo motor Fm
e a velocidade do automvel v. Na Eq. (1), o ngulo entre Fm e v. . cos cos 0m mP F v F v mF v= = = =mF v (1)
A fora do motor pode ser determinada a partir da segunda lei de Newton, onde F a fora de
resistncia ao movimento do carro:
x xF ma= mF F m = a
2300 1,8mP
F vg
= + + a (2)
Substituindo-se (2) em (1):
2300 1,8 51.428,24 W 68,965 hpP
P v a vg
= + + = =
A A
69 hpP
[Incio]
________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4
a Ed. - LTC - 1996. Cap. 7 Trabalho e Energia
11
58. Um regulador centrfugo consiste em duas esferas de 200 g presas mediante hastes leves e
rgidas de 10 cm a um eixo de rotao vertical. As hastes so articuladas de modo que as esferas
se afastam para longe do eixo enquanto giram com ele. Entretanto, quando o ngulo 45o, as esferas encontram a parede do cilindro dentro do qual o regulador est girando; veja a Fig. 24.
(a) Qual a velocidade mnima de rotao, em revolues por minuto, necessrias para as
esferas tocarem na parede? (b) Se o coeficiente de atrito cintico entre as esferas e a parede
0,35, que potncia dissipada como resultado do atrito das esferas contra a parede quando o
Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES
mecanismo gira a 300 rev/min?
(Pg. 140)
Soluo.
(a) Foras sobre uma das esferas:
m
P
T
x
y
A velocidade mnima de rotao obtida quando as esferas esto na iminncia de tocar nas paredes
do cilindro (N = 0, onde N a fora normal de contato das esferas com a parede.). Foras em y:
0yF = cos 0T mg =
cos
mgT
= (1)
Foras em x:
x xF ma=
2
sen cv
T ma mr
= = (2)
Substituindo-se (1) em (2):
2
sencos
mg vm
r
=
sen tanv lg = (3)
Clculo da velocidade angular , em rpm:
sen
v v
r l
= =
Podemos trabalhar diretamente com RPM fazendo a seguinte transformao:
________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4
a Ed. - LTC - 1996. Cap. 7 Trabalho e Energia
12
Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES
rad s 1 rot
60sen s min 2 rad
rpm
v
l
=
30
senrpm
v
l
= (4)
Substituindo-se (3) em (4):
30 tan
112,4769 rpmsen
rpm
g
l
= = A
21,1 10 rpmrpm
(b) Foras sobre uma das esferas:
m
P
T
x
y
NFc
v
A equao (1) ainda vlida para esta situao. Foras em x:
x xF ma=
2 2
sensen
c
v vT N ma m m
r l
+ = = =
2
sensen
mvN T
l
= (5)
Substituindo-se (1) em (5):
2
tansen
mvN mg
l
= (6)
A fora de atrito cintica vale::
c cf N=
A potncia total dissipada pelo atrito, considerando-se duas esferas, :
2 . 2c cP f v Nv= = (7)
Substituindo-se (6) em (7):
2
2sen
c
mvP v mg
ltan
=
(8)
De (4) temos:
sen
30
rpmlv
= (9)
2 2 2 2
2sen
900
rpmlv
= (10)
Substituindo-se (9) e (10) em (8):
2 2 2 2sen sen2 t
30 sen 900
rpm rpm
c
l lmP m
l
ang
=
________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4
a Ed. - LTC - 1996. Cap. 7 Trabalho e Energia
13
Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES
2 2sen sentan 18,6534 W
15 900
c rpm rpmm l lP g
=
A= (11)
19 WP De acordo com (11), a potncia dissipada ser igual a zero se:
2 2 sentan
900
rpmlg
=
30
112,476 rpmsen
rpm
g
l
= = A
Que a resposta do item (a).
[Incio]
________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4
a Ed. - LTC - 1996. Cap. 7 Trabalho e Energia
14