Definições relativas a equações diferenciais parciais

A equação diferencial parcial é uma equação que contém uma função

incógnita de duas ou mais variáveis e suas derivadas parciais em relação a

essas variáveis. A ordem de uma equação diferencial parcial é a ordem da

mais alta derivada presente, como mostra no exemplo abaixo:

Ex: = 2푥 − 푦

A solução geral é uma solução que contém funções arbitrárias em

número igual à ordem da equação. Uma solução particular é uma solução que

pode ser obtida da solução geral mediante escolha particular das funções

arbitrárias.

Equações diferenciais parciais lineares

A equação diferencial parcial linear geral de segunda ordem e duas

variáveis independentes tem a forma

푨 흏ퟐ

흏풙ퟐ+ 푩 흏ퟐ풖

흏풙흏풚+ 푪 흏ퟐ풖

흏풚ퟐ+ 푫 흏풖

흏풙+ 푬 흏풖

흏풚+ 푭풖 = 푮 (1)

onde 퐴,퐵, … ,퐺 podem depender de 푥 e de 푦, mas não de 푢. Uma equação de

segunda ordem com variáveis independentes 푥 e 푦 que não tenha a forma da

equação acima é chamada de não linear. Se 퐺 for igual a zero, a equação será

chamada de homogênea e se for diferente de zero será chamada de não

homogênea .

Conforme as soluções obtidas na Eq. (1) costuma classifica-las como

elípticas, hiperbólicas ou parabólicas, conforme se tenha 퐵 − 4퐴퐶 menor,

maior, ou igual a zero, respectivamente.

Algumas equações diferencias parciais importantes

1. Equação das cordas vibrantes

흏ퟐ풚흏풕ퟐ = 풂ퟐ

흏ퟐ풚흏풙ퟐ

A equação acima se aplica em pequenas vibrações transversais de uma

corda flexível, fixa nas extremidades, tal como uma corda de violino localizada

inicialmente segundo o eixo 푥 e posta então em movimento como mostra a

Figura abaixo. A constante 푎 = , onde 휏 é a tensão (constante), da corda e 휇

é a massa (constante) por unidade de comprimento da corda.

Em duas dimensões a equação se torna da seguinte forma:

흏ퟐ풛흏풕ퟐ = 풂ퟐ

흏ퟐ풛흏풙ퟐ +

흏ퟐ풛흏풚ퟐ

2. Equação da condução do calor

흏풖흏풕 = 푲훁ퟐ퐮

푢(푥,푦, 푧,푦) é a temperatura no ponto (푥, 푦, 푧) do sólido no instante 푡. A

constante 퐾, chamada de difusividade, é igual a , onde se supõem

constantes a condutividade térmica 퐾, o calor específico 휎 e a densidade

(massa por unidade de volume) 휇∇ 푢 é o Laplaciano de 푢, que é dado em

coordenadas retangulares tridimensionais (푥, 푦, 푧), por:

훁ퟐ풖 =흏ퟐ풖흏풙ퟐ +

흏ퟐ풖흏풚ퟐ +

흏ퟐ풖흏풛ퟐ

3. Equação de Laplace

훁ퟐ풖 = ퟎ

Na teoria da condução do calor, 푣 é a temperatura estacionária, 푖 é a

temperatura após decorrido longo tempo, cuja equação se obtém fazendo

= 0 na equação da condução do calor acima. Na teoria da gravitação ou da

eletricidade, 푣 representa o potencial gravitacional ou elétrico, respectivamente.

4. Vibrações longitudinais de uma viga

흏ퟐ풖흏풕ퟐ = 풄ퟐ

흏ퟐ풖흏풙ퟐ

Esta equação descreve o movimento de uma viga que pode vibrar

longitudinalmente supondo-se em pequenas vibrações. A constante 푐 = ,

onde 퐸 é o módulo de elasticidade (esforço dividido pela tensão) e depende

das propriedades da viga, 휇 é densidade (massa por unidade de volume).

Sendo que é a mesma equação das cordas vibrantes.

5. Vibrações transversais de uma viga

흏ퟐ

흏풕ퟐ + 풃ퟐ흏ퟒ풚흏풙ퟒ = ퟎ

Esta equação descreve o movimento de uma viga posta a vibrar

transversalmente (perpendicularmente a direção do eixo x). A constante

푏 = , onde 퐸 é o módulo de elasticidade, 퐼 é o momento de inércia de

qualquer seção transversal em relação ao eixo x, 퐴 é a área da seção

transversal e 휇 é a massa por unidade de comprimento. Se aplicar uma força

transversal externa 퐹(푥, 푡) o membro direito da equação é substituído por

푏 ( , ) .

O Laplaceano em diferentes sistemas de coordenadas

O Laplaceano ∇ 푢 surge frequentemente em equações diferenciais

parciais da ciência e da engenharia.

O Laplaciano em coordenadas cilíndricas (휌,∅ ,푧), Fig. 2, é dado por:

훁ퟐ풖 =흏ퟐ풖흏흆ퟐ +

ퟏ흏풖흆흏흆 +

ퟏ흏ퟐ풖흆ퟐ흏∅ퟐ +

흏ퟐ풖흏풛ퟐ

As transformações de coordenadas retangulares para cilíndricas são:

풙 = 흆풄풐풔∅, 풚 = 흆풔풆풏∅, 풛 = 풛

onde 휌 ≥ 0, 0 ≤ ∅ < 2휋, −∞ < 푧 < ∞. Sendo, também, o jacobiano

‖퐽‖ =

휕푥휕휌

휕푥휕∅

휕푥휕푧

휕푦휕휌

휕푦휕∅

휕푦휕푧

휕푧휕휌

휕푧휕∅

휕푧휕푧

= 휌

O Laplaciano em coordenadas esféricas (푟, 휃,∅), Fig. 3, é dado por:

훁ퟐ풖 =ퟏ풓ퟐ

흏흏풓 풓ퟐ

흏풖흏풓 +

ퟏ풓ퟐ풔풆풏휽

흏흏휽 풔풆풏휽

흏풖흏휽 +

ퟏ풓ퟐ풔풆풏ퟐ휽

흏ퟐ풖흏∅ퟐ

As equações de transformação de coordenadas retangulares para

coordenadas esféricas são:

풙 = 풓풔풆풏휽풄풐풔∅, 풚 = 풓풔풆풏휽풔풆풏∅, 풛 = 풓풄풐풔휽

Onde 푟 ≥ 0, 0 ≤ 휃 ≤ 휋, 0 ≤ ∅ < 2휋.

Método de resolução de problemas de valores de contorno

1- Soluções gerais: Primeiro determinamos a solução geral e, em

seguida, determinamos a solução particular que satisfaz as condições

de contorno. Abaixo mostraremos os seguintes Teoremas:

TEOREMA 1 (princípio da superposição): Se 푢 , 푢 , … , 푢 são

soluções de uma equação diferencial parcial linear homogênea, então

푐 푢 + 푐 푢 + ⋯+ 푐 푢 , onde 푐 , 푐 , … , 푐 são constantes, sendo também

soluções .

TEOREMA 2: A solução geral de uma equação diferencial parcial linear

não homogênea se obtém como soma da solução geral da equação

homogênea correspondente e uma solução particular da não

homogênea.

As soluções gerais podem ser por vezes determinadas utilizando os

métodos das equações diferenciais ordinárias.

Se 퐴,퐵, … ,퐹 na equação 1 serão constantes, então poderemos

determinar a solução geral da equação homogênea supondo 푢 = 푒 ,

onde 푎 e 푏 são constantes a determinar.

2- Soluções particulares pelo método da separação de variáveis: O

êxito do método reside em podermos escrever a equação resultante de

tal forma que um membro dependa somente de uma variável, enquanto

o outro depende das variáveis restantes, sendo que cada membro

deverá ser uma constante. Por iteração deste processo, podem-se

determinar as funções incógnitas.

Chama-se solução de uma equação diferencial parcial em uma

dada região (domínio) D das variáveis independentes, a uma função que

possui todas as derivadas parciais que figuram na equação e a satisfaz

em todos os pontos do domínio D.

Em geral, há uma infinidade não enumerável de soluções de uma

equação diferencial parcial, as condições adicionais impostas pelo

problema que irão fixar uma solução particular, são chamadas condições

de contorno e que são de três tipos:

1) Condição de Dirichlet – quando se conhece o valor da função na

fronteira do domínio;

2) Condição de Neumann – quando se conhece a derivada normal da

função na fronteira do domínio; 3) Condição de Cauchy – quando se conhece a função e sua derivada

normal na fronteira do domínio D da função.

3- Métodos de solução

Os principais métodos para obter a solução de um equação diferencial

parcial linear de segunda ordem, são:

- Separação de variáveis;

- Transformadas;

- Função de Green.

O método da separação de variáveis se aplica a maioria das equações

diferencias parciais. Porém, o método da função de Green é o mais geral e se

aplica principalmente as equações não-homogêneas.

4- Equação de Laplace

A equação diferencial parcial do tipo:

∆Ψ ≡ 퐷푖푣(푔푟푎푑)Ψ = 0

é chamada equação de Laplace. O operador ∆ é chamado Laplaciano e ele se

apresenta em diversas formas dependendo do sistema de coordenadas

escolhido.

A equação de Laplace ocorre em diversos ramos da física, cujos

principais são:

1) Teoria da gravidade

∆Ψ = 0, onde Ψ é o potencial gravitacional.

2) Eletrostática

∆Ψ = 0, onde Ψ é o potencial eletrostático.

3) Magnetostática

∆Ψ = 0, onde Ψ é o potencial magnetostático.

4) Correntes elétricas estacionárias

∆Ψ = 0, onde Ψ é a função potencial.

5) Movimento irrotacional de um fluido perfeito

∆Ψ = 0, onde Ψ é o potencial velocidade

6) Fluxo estacionário do calor

∆Ψ = 0, onde Ψ é a temperatura.

5- Equação de Laplace em coordenadas cartesianas

Em coordenadas cartesianas – 푥, 푦, 푧 - a equação de Laplace

toma a forma:

∆Ψ =∂ Ψ∂x +

∂ Ψ∂y +

∂ Ψ∂z = 0

O método da separação de variáveis consiste em tomar como solução

da equação diferencial parcial, a função:

Ψ(x, y, z) = X(x) Y(y) Z(z)

Sendo:

∂ Ψ∂x = X′′YZ ;

∂ Ψ∂y = XY′′Z;

∂ Ψ∂z = XYZ′′

a equação de Laplace tomará a forma:

푋′′푌푍 + 푋푌′′푍 + 푋푌푍′′ = 0

ou, dividindo tudo por 푥푦푧 teremos:

푋′′푋 +

푌′′푌 +

푍′′푍 = 0 →

푋′′푋 = −

푌′′푌 +

푍′′푍

Como temos no primeiro membro uma função somente de 푥 e no

segundo, uma função de (푦, 푧), então a igualdade só ocorrerá se for igual a

um1a constante real ou complexa, cuja escolha dependerá das condições de

contorno do problema. Assim:

푋′′푋 = ±푘

portanto,

푋′′푋 = +푘 푥 → 푋′′ − 푘 푋 = 0

cuja solução será

푋(푥) = 퐴 cosh(푘 푥) + 퐵 푠푒푛ℎ(푘 푥)

푋′′푋 = −푘 푋 → 푋 + 푘 푋 = 0

cuja solução será

푋(푥) = 퐴 cos(푘 푥) + 퐵 푠푒푛(푘 푥)

As duas situações acima poderão ser colocadas na forma

푋(푥) = 퐴푐표푠ℎ(푘 푥) + 퐵푠푒푛ℎ(푘 푥)

onde 푘 poderá ser real ou complexo: 푘 = 푖푘 .

Resolvendo agora o caso em 푦

−푌′′푌 +

푍′′푍 = 푘 →

푌′′푌 = −푘 −

푍′′푍 = 푘

cuja solução será

푌(푦) = 퐶푐표푠ℎ 푘 푦 + 퐷푠푒푛ℎ(푘 푦)

com 푘 real ou complexo.

Resolvendo agora a equação em 푧

−푘 − 푘 =푍′′푍 = 푘 → 푘 + 푘 + 푘 = 0

cuja solução será

푍(푧) = 퐸푐표푠ℎ(푘 푧) + 퐹푠푒푛ℎ(푘 푧)

com 푘 real ou complexo

Assim, uma solução para a equação de Laplace, será:

Ψ(푥, 푦, 푧) = {퐴푐표푠ℎ(푘 푥) + 퐵푠푒푛ℎ(푘 푥)} 퐶 cosh 푘 푦 + 퐷푠푒푛ℎ 푘 푦 . {퐸푐표푠ℎ(푘 푧) + 퐹푠푒푛ℎ(푘 푧)}

onde pelo menos um dos 푘 (푖 = 푥, 푦 표푢 푧) é complexo.

Ex: Seja um prisma de dimensões (푎, 푏,푐) nas direções respectivas (푥, 푦, 푧).

Todas as superfícies do prisma se acham ligadas a terra (potencial nulo) com

exceção da superfície 푧 = 푐 que está a um potencial 푉 . Calcular o potencial no

interior do prisma.

Solução:

Teremos que resolver e equação de Laplace para o potencial

eletrostático:

∆Ψ(x, y, z) = 0

com as seguintes condições

Ψ(0, y, z) = Ψ(a, y, z) = 0; Ψ(x, 0, z) = Ψ(x, b, z) = 0; Ψ(x, y, 0) = 0 e

Ψ(x, y, c) = V

Como o potencial se anula em dois pontos do eixo do x e também no

eixo y, então:

푋′′푋 = −푘 → 푋(푥) = 퐴푐표푠(푘 푥) + 퐵푠푒푛(푘 푥)

푌′′푌 = −푘 → 푌(푦) = 퐶푐표푠 푘 푦 + 퐷푠푒푛(푘 푦)

Sendo :

푋′′푋 +

푌′′푌 +

푍′′푍 = 0 → −푘 − 푘 + 푘 = 0

푘 = (푘 + 푘 )

e portanto

푍′′푍 = 푘 → 푍(푧) = 퐸푐표푠ℎ 푘 + 푘 푧 + 퐹푠푒푛ℎ{(푘 + 푘 ) 푧}

Para determinarmos essas constantes de integração, usaremos as

condições de contorno. Assim:

Ψ(0,푦, 푧) = 퐴푌(푦)푍(푧) = 0 → 퐴 = 0

Ψ(푎,푦, 푧) = 퐵푠푒푛(푘 푎)푌(푦)푍(푧) = 0 → 푠푒푛(푘 푎) = 0 → 푘 푎 = 푛휋

→ 푘 =푛휋푎 ,푛 = 1, 2, …

Ψ(푥, 0, 푧) = 푋(푥)퐶푍(푧) = 0 → 퐶 = 0

Ψ(푥, 푏, 푧) = 퐷푠푒푛 푘 푏 푋(푥)푍(푧) = 0 → 푠푒푛 푘 푏 = 0 → 푘 푏 = 푚휋

→ 푘 =푚휋푏 ,푚 = 1, 2, …

Ψ(푥,푦, 0) = 푋(푥)푌(푦)퐸 = 0 → 퐸 = 0

Assim, uma solução para a equação de Laplace, será:

Ψ(푥, 푦, 푧) = 퐵퐷퐹푠푒푛푛휋푎 푥 푠푒푛

푚휋푏 푦 푠푒푛ℎ 푧

푛휋푎 +

푚휋푏

Portanto, para cada valor de 푛 e de 푚, teremos uma solução para a equação

de Laplace, e como ela é linear, a solução mais geral será uma combinação

linear de todas essas soluções, ou seja:

Ψ(푥, 푦, 푧) = 퐴 푠푒푛푛휋푎 푥 푠푒푛

푚휋푏 푦 푠푒푛ℎ 푧

푛휋푎 +

푚휋푏

Para determinarmos a constante 퐴 , devemos usar a última condição

de contorno:

Ψ(푥, 푦, 푐) = 푉 = 퐵 푠푒푛푛휋푎 푥 푠푒푛

푚휋푏 푦

onde

퐵 = 퐴 푠푒푛ℎ푛휋푎 +

푚휋푏 푐

Teremos, portanto, de desenvolver a função 푉 em uma série dupla de

Fourier:

푉 푠푒푛푝휋푎 푥 푠푒푛

푞휋푏 푦 푑푥푑푦

= 퐵 푠푒푛푛휋푎 푥 푠푒푛

푚휋푏 푦 푠푒푛

푝휋푎 푥 푠푒푛(

푞휋푏 푦)푑푥푑푦

Usando a condição de ortogonalidade das funções trigonométricas

푠푒푛(푛휔푥)푠푒푛(푚휔푥)푑푥 =푏 − 푎

2 훿

푉 푠푒푛푝휋푎 푥 푠푒푛

푞휋푏 푦 푑푥푑푦 =

푎2 .푏2퐵 훿 훿

퐵 =4푉푎푏 푠푒푛

푛휋푎 푥 푠푒푛(

푚휋푏 푦)푑푥푑푦

Fazendo as integrais indicadas:

퐼 = 푠푒푛푛휋푎 푥 푑푥 =

푎푛휋 푠푒푛

푛휋푎 푥 푑

푛휋푎 푥 = −

푎푛휋 {(−1) − 1}

퐼 =2푎

(2푛 + 1)휋

퐽 = 푠푒푛푚휋푏 푦 푑푦 = −

푏푚휋

{(−1) − 1} =2푏

(2푚 + 1)휋

Portanto, o potencial em pontos interiores do prisma, será:

Ψ(푥, 푦, 푧) =16푉 푠푒푛 (2푛 + 1)휋푎 푥 푠푒푛{(2푚+ 1)휋푏 푦}

(2푛 + 1)(2푚 + 1)휋.푠푒푛ℎ{푧 (2푛+ 1) (휋푎) + (2푚 + 1) (휋푏) }

푠푒푛ℎ 푐 (2푛 + 1) (휋푎) + (2푚 + 1) (휋푏)

Ex: Seja uma placa uniforme retangular semi-infinita onde há um fluxo

estacionário de calor. A face 푥 = 0 é mantida a uma temperatura constante 푇 e

as faces 푦 = 0 e 푦 = 푎, são mantidas numa temperatura nula. Calcule o estado

estacionário de temperatura da placa.

Solução:

Resolvemos a equação de Laplace para a temperatura igual a zero com

as seguintes condições de contorno:

∆푇 = 0

푇(0,푦) = 푇 ; 푇(푥, 0) = 푇(푥, 푎) = 0

Como a temperatura se anula em dois pontos do eixo dos 푦, então:

푌′′푌 = −푘 → 푌(푦) = 퐶푐표푠 푘 푦 + 퐷푠푒푛(푘 푦)

푋′′푋 +

푌′′푌 = 0 → 푘 − 푘 = 0 → 푘 = 푘

푋′′푋 = 푘 → 푋(푥) = 퐴푒푥푝(푘 푥) + 퐵푒푥푝(−푘 푥)

Para determinarmos essas constantes, vamos usar as condições de

contorno:

푇(푥, 0) = 푋(푥)퐶 = 0 → 퐶 = 0

푇(푥,푎) = 퐷푠푒푛 푘 푎 푋(푥) = 0 → 푠푒푛 푘 푎 = 0 → 푘 푎 = 푛휋

→ 푘 =푛휋푎 , 푛 = 1, 2, …

Como a temperatura é finita em qualquer ponto da placa para 푥 > 0,

então: 퐴 = 0. Assim, a solução mais geral para a equação de Laplace será:

푇(푥,푦) = 퐴 푠푒푛(푛휋푎 푦)exp (−

푛휋푎 푥)

A determinação da constante 퐴 será feita usando a condição de

contorno:

푇(0,푦) = 푇 = 퐴 푠푒푛(푛휋푎 푦)

Teremos, portanto, de desenvolver a função 푇 em uma série de Fourier:

푇 푠푒푛(푚휋푎 푦)푑푦 = 퐴 푠푒푛

푛휋푎 푦 푠푒푛

푚휋푎 푦 푑푦 = 퐴

푎2 훿

퐴 =2푇푎 푠푒푛(

푛휋푎 푦)푑푦 =

2푇푎 .

푎푛휋 {−(−1) + 1}

퐴 =4푇

(2푛 + 1)휋

A temperatura na placa será:

푇(푥,푦) =4푇휋

푠푒푛{(2푛 + 1)휋푎 푦}(2푛 + 1) 푒푠푝{−(2푛 + 1)

휋푎 푥}

Séries de Fourier e Aplicações

Necessidade das séries de Fourier

Para obter uma solução de determinado problema de valores de

contorno, precisamos conhecer o desenvolvimento de uma função em uma

série trigonométrica.

Funções Periódicas

Diz-se que uma função 푓(푥) tem período 푃, ou que é periódica com

período 푃, se, para todo 푥, 푓(푥 + 푃) = 푓(푥), 푃 constante positiva. O menor

valor de 푃 > 0 é chamado período mínimo, ou simplesmente período, de 푓(푥).

Funções seccionalmente contínuas

Diz-se que uma função 푓(푥) é seccionalmente contínua em um intervalo

se:

1- O intervalo pode ser subdividido em um número finito de subintervalos

em cada um dos quais 푓(푥) é contínua.

2- Os limites laterais de 푓(푥), quando 푥 tende para os pontos extremos

desses subintervalos, são finitos.

Outra maneira de formular a definição:

Uma função é seccionalmente contínua em um intervalo se tem no

máximo um número finito de descontinuidades finitas. A Figura abaixo é um

exemplo de função seccionalmente contínua:

O limite de 푓(푥) a direita denota-se frequentemente por

lim∈→ 푓(푥+∈) = 푓(푥 + 0), onde ∈> 0.

Analogamente, o limite de 푓(푥) a esquerda denota-se por

lim∈→ 푓(푥−∈) = 푓(푥 − 0), onde ∈> 0.

Na Figura acima os valores de 푓(푥 + 0) e 푓(푥 − 0) no ponto 푥 são os

indicados. O fato que ∈→ 0 e ∈> 0 se indica as vezes abreviadamente por

∈→ 0+ . Assim, por exemplo, lim∈→ 푓(푥+∈) = 푓(푥 + 0), lim∈→ 푓(푥−∈) =

푓(푥 − 0).

Definições de séries de Fourier

Seja 푓(푥) definida no intervalo (−퐿, 퐿) e determinada fora desse

intervalo por 푓(푥 + 2퐿) = 푓(푥), isto é, suponhamos 푓(푥) periódica de período

2퐿. Define-se a série de Fourier, de 푓(푥), como:

푎2 + (푎 푐표푠

푛휋푥퐿 + 푏 푠푒푛

푛휋푥퐿 ) (1)

onde os coeficientes de Fourier 푎 e 푏 são:

⎩⎪⎨

⎪⎧푎 =

1퐿 푓(푥)푐표푠

푛휋푥퐿 푑푥

푏 =1퐿 푓(푥)푠푒푛

푛휋푥퐿 푑푥

푛 = 0,1,2, … (2)

Se 푓(푥) tem período 2퐿, os coeficientes 푎 e 푏 podem ser determinados

equivalentemente a partir de:

⎩⎪⎨

⎪⎧푎 =

1퐿 푓(푥)푐표푠

푛휋푥퐿 푑푥

푏 =1퐿 푓(푥)푠푒푛

푛휋푥퐿 푑푥

푛 = 0,1,2, … (3)

onde 푐é qualquer número real. No caso especial 푐 = −퐿, (3) se reduz a (2).

Note-se que o termo constante em (1) é igual a = ∫ 푓(푥)푑푥, que é a

média de 푓(푥) sobre o período.

Se 퐿 = 휋, a série (1) e os coeficientes (2) ou (3) são particularmente

simples. A função nesse caso tem período 2휋.

Saliente-se que a série (1) é apenas a série que corresponde a 푓(푥).

Condições de Direchlet

Teorema 1: (a) 푓(푥) seja definida, exceto possivelmente em um número

finito de pontos de (−퐿, 퐿);

(b) 푓(푥) seja periódica de período 2퐿;

(c) 푓(푥) sejam seccionalmente contínuas em (−퐿,퐿). Então a série (1) com

coeficientes dados por (2) ou (3) converge para:

- 푓(푥) se 푥 é ponto de continuidade.

- ( ) ( ) se 푥 é ponto de descontinuidade.

De acordo com o resultado acima, podemos escrever:

푓(푥) =푎2 + 푎 푐표푠

푛휋푥퐿 + 푏 푠푒푛

푛휋푥퐿

em qualquer ponto de descontinuidade. Todavia, se 푥 é ponto de

descontinuidade, o mebro esquerdo deve ser substituído por [푓(푥 + 0) +

푓(푥 − 0)], de forma que a série converge para a média dos valores 푓(푥 + 0) e

푓(푥 − 0).

As condições (a), (b) e (c) impostas a 푓(푥) são satisfeitas, a

convergência está garantida. Todavia, não sendo elas satisfeitas, a série

poderá convergir, ou não.

Funções pares e funções ímpares

Uma função 푓(푥) é ímpar se 푓(−푥) = −푓(푥). Assim, 푥 , 푥 − 3푥 + 2푥,

푠푒푛푥, 푡푔3푥 são funções ímpares.

Uma função 푓(푥) é par se 푓(−푥) = 푓(푥). Assim,푥 . 2푥 − 4푥 + 5, 푐표푠푥,

푒 + 푒 são funções pares.

Numa série de Fourier correspondente a uma função ímpar, só

aparecem os termos em senos. Numa série de Fourier correspondente a uma

função par, só podem aparecer os termos em co-senos (e possivelmente uma

constante, que consideraremos como um termo em co-seno).

Séries de Fourier de senos e de co-senos

Uma série de Fourier de senos ou de co-senos é uma série que contém

somente termos em senos ou em co-senos, respectivamente. Quando se

deseja uma semi-série correspondente a determinada função, esta é

geralmente definida no intervalo (푂, 퐿) que é a metade do intervalo (−퐿, 퐿), a

função é então especificada como sendo ímpar ou par, de modo que fique

claramente definido seu comportamento na outra metade do intervalo, a saber,

(−퐿,푂). Em tal caso, temos:

⎩⎪⎨

⎪⎧ 푎 = 0, 푏 =

2퐿 푓(푥)푠푒푛

푛휋푥퐿 푑푥 푠푒푚푖 푠é푟푖푒푠 푑표 푠푒푛표푠

푏 = 0, 푎 =2퐿 푓(푥)푐표푠

푛휋푥퐿 푑푥 푠푒푚푖 푠é푟푖푒푠 푑표 푐표 − 푠푒푛표푠

Identidade de Parseval

A identidade de Parseval afirma que:

1퐿

{푓(푥)} 푑푥 =푎2 + (푎 + 푏 )

se 푎 e 푏 são os coeficientes de Fourier correspondente a 푓(푥) e se 푓(푥)

satisfaz as condições de Dirichlet.

Convergência uniforme

Suponha-se que tenhamos uma série infinita ∑ 푢 (푥). Definimos a

soma parcial de ordem 푅 da série como sendo a soma dos seus 푅 primeiros

termos, isto é:

푆 (푥) = 푢 (푥)

Por definição a série infinita converge para 푓(푥) em algum intervalo se,

dado um número positivo ∈, existe, para cada 푥 no intervalo, um número

positivo 푁 tal que:

|푆 (푥)− 푓(푥)| <∈ sempre que 푅 > 푁

O número 푁 depende em geral não só de ∈ mas também de 푥.

Chamamos de 푓(푥) a soma da série. Caso importante é aquele em que o valor

de N depende de ∈, mas não do particular valor de 푥 no intervalo. Em tais

casos a série converge uniformemente para 푓(푥).

Teorema 2: Se cada termo de uma série infinita é contínuo em um intervalo

(푎,푏) e se a série converge uniformemente para 푓(푥) nesse intervalo, então:

1- 푓(푥) também é contínuo no intervalo

2- A série pode ser integrada termo a termo, isto é:

푢 (푥) 푑푥 = 푢 (푥)푑푥

Teorema 3: Se cada termo de uma série infinita é derivável, e se a série de

derivadas é uniformemente convergente, então a série pode ser derivada termo

a termo, isto é:

푑푑푥 푢 (푥) =

푑푑푥 푢

(푥)

Há várias maneiras de provar a convergência uniforme de uma série. A

maneira obvia consiste em determinar efetivamente a soma 푆 (푥) sob forma

compacta e aplicar então a definição diretamente. O segundo processo

consiste em utilizar um teorema conhecido como 푡푒푠푡푒 푀 푑푒 푊푒푖푒푟푠푡푟푎푠푠.

Teorema 4: (Teste M de Weierstrass): Se existe um conjunto de constantes

푀 , 푛 = 1, 2, …, tais que para todo 푥 em um intervalo |푢 (푥)| ≤ 푀 , e se, além

disso, ∑ 푀 converge, então ∑ 푢 (푥) converge uniformemente no

intervalo. Incidentalmente, a série é também absolutamente convergente, ou

seja, ∑ |푢 (푥)| converge no intervalo.

Integração e diferenciação de séries de Fourier

A integração e a derivação das séries de Fourier podem ser justificadas

com aplicação dos Teoremas 3 e 4, que valem para séries em geral. É

especialmente útil o teorema abaixo:

Teorema 5: A série de Fourier correspondente a 푓(푥) pode ser integrada termo

a termo de 푎 a 푥 e a série resultante converge uniformemente para ∫ 푓(푢)푑푢,

desde que 푓(푥) seja seccionalmente contínua em −퐿 ≤ 푥 ≤ 퐿 e que tanto 푎

como 푥 pertençam ao intervalo.

Notação complexa para as séries de Fourier

Utilizando as identidades de Euler,

푒 = 푐표푠휃 + 푖푠푒푛휃, 푒 = 푐표푠휃 − 푖푠푒푛휃

onde 푖 é a unidade imaginária tal que 푖 = −1, podemos escrever a série de

Fourier para 푓(푥) sob forma complexa como :

푓(푥) = 푐 푒 (4)

onde

푐 =1

2퐿 푓(푥)푒 푑푥 (5)

Ao escrevermos a igualdade (4), estamos admitindo satisfeitas as

condições de Dirichlet e também que 푓(푥) seja contínua em 푥. Se 푓(푥) é

descontínua em 푥, o membro esquerdo de (5) deve ser substituído por ( ) ( ).

Séries duplas de Fourier

A ideia de desenvolver em série de Fourier uma função de uma variável

pode ser generalizada para o caso de funções de duas variáveis 푥 e 푦, isto é,

푓(푥,푦). Podemos desenvolver 푓(푥, 푦) em uma série dupla de Fourier de senos.

푓(푥, 푦) = 퐵 , 푠푒푛푚휋푥퐿 푠푒푛

푛휋푦퐿

onde 퐵 = ∫ ∫ 푓(푥,푦)푠푒푛 푠푒푛 푑푥푑푦

Podem-se obter resultados análogos para séries de co-senos, ou para

séries contendo senos e co-senos.

APLICAÇÃO

Equação de Laplace

Suponhamos que a placa quadrada do problema tenha três lados

mantidos a temperatura zero, enquanto o quarto lado é mantido a temperatura

푢 . Determine a temperatura estacionária na placa.

Escolhamos o lado com temperatura 푢 como aquele em que 푦 = 1.

Como desejamos a temperatura estacionária 푢, que não depende do tempo 푡,

obtém-se a equação a partir de (1) fazendo = 0; isto é, a equação de

Laplace em duas dimensões:

+ = 0 (1)

As condições de contorno são:

푢(0,푦) = 푢(1,푦) = 푢(푥, 0) = 0, 푢(푥, 1) = 푢 e |푢(푥,푦)| < 푀

Para resolver este problema de contorno, façamos 푢 = 푋푌 em (1),

obtendo:

푋 푌 + 푋푌 = 0 ou = −

Igualando cada membro a −휆 vem

푋 + 휆 푋 = 0 푌 − 휆 푌 = 0

onde

푋 = 푎 푐표푠휆푥 + 푏 푠푒푛휆푥 푌 = 푎 푐표푠ℎ휆푦 + 푏 푠푒푛ℎ휆푦

Então, uma possível solução é

푢(푥,푦) = (푎 푐표푠휆푥 + 푏 푠푒푛휆푥)(푎 푐표푠ℎ휆푦 + 푏 푠푒푛ℎ휆푦)

De 푢(0,푦) = 0, obtemos 푎 = 0. De 푢(푥, 0) = 0, obtemos 푎 = 0. De

푢(1,푦) = 0, obtemos 휆 = 푚휋, 푚 = 1,2,3, … . Assim, uma solução que satisfaz a

todas essas condições é

푢(푥,푦) = 퐵푠푒푛 푚휋푦

Para satisfazer a última condição, 푢(푥, 1) = 푢 , devemos primeiro utilizar

o princípio de superposição para obter a solução

푢(푥,푦) = ∑ 퐵 푠푒푛 푚휋푥 푠푒푛ℎ 푚휋푦 (2)

Então, de 푢(푥, 1) = 푢 devemos ter

푢 = (퐵 푠푒푛ℎ 푚휋)푠푒푛 푚휋푥

Aplicando então a teoria das séries de Fourier

퐵 푠푒푛ℎ 푚휋 = 2 푢 푠푒푛ℎ 푚휋푥 푑푥 =2푢 (1 − cos푚휋)

푚휋

onde

퐵 = ( )

(3)

De (2) e (3), obtemos

푢(푥,푦) =2푢휋

1 − cos푚휋푚 푠푒푛ℎ 푚휋 푠푒푛 푚휋푥 푠푒푛ℎ 푚휋푦

Note-se que se trata de um problema de Dirichlet, pois estamos

resolvendo a equação de Laplace ∇ 푢 = 0 em relação a 푢 no interior de uma

região 푅 onde 푢 é especificada na fronteira de 푅.

Ex: Mostre que p fluxo de calor através de um plano em um meio

condutor é dado por −퐾 , onde 푢 é a temperatura, 푛 é normal ao plano e 퐾 é

a condutividade térmica do meio.

Suponhamos dois planos paralelos I e II distantes de ∆푛, com

temperatura 푢 e 푢 + ∆푢, respectivamente como mostra na figura abaixo. O

calor flui então do plano de temperatura mais alta para o plano de temperatura

mais baixa. Outrossim, a quantidade de calor por unidade de área por unidade

de tempo, chamada fluxo de calor , diretamente proporcional a diferença de

temperatura ∆푢 e inversamente proporcional a distância ∆푛.

Fluxo de calor I para II = −퐾 ∆∆

onde 퐾 é a constante de

proporcionalidade, chamada condutividade térmica. O sinal negativo em (I)

surge porque se ∆푢 > 0 o calor flui efetivamente de II para I.

Passando ao limite quando ∆푛 → 0 (e consequentemente ∆푢 → 0),

temos:

Fluxo de calor através do plano I = −퐾 (1)

é o gradiente de 푢, ∆푢, de modo que a Eq. (1) pode-se escrever

Fluxo de calor através do plano I = −퐾∇푢.

1.6- Ex: Se a temperatura em um ponto (푥, 푦,푧) de um sólido, no instante

푡, é 푢(푥, 푦, 푧, 푡) e se 퐾, 휎 e 휇 são, respectivamente, a condutividade térmica, o

calor específico e a densidade do sólido (todas supostas constantes), mostre

que =푘∇ 푢 onde 푘 = .

Consideremos um pequeno elemento de volume do sólido 푉, tal como

indicado na figura acima. No exemplo acima, a quantidade de calor por unidade

de área por unidade de tempo que entra no elemento através da face PQRS é

−퐾 , onde indica a derivada de 푢 em relação a 푥 na posição 푥. Como a

área da face no tempo PQRS é ∆푦∆푧, a quantidade total de calor que entra no

elemento pela face PQRS no tempo ∆푡 é:

−퐾 ∆푦∆푧∆푡 (1)

Analogamente, a quantidade de calor que sai do elemento pela face

NWZT é:

−퐾∆∆푦∆푧∆푡 (2)

onde ∆

indica a derivada de 푢 em relação a 푥 calculada em 푥 + ∆푥.

A quantidade de calor que permanece no elemento é, pois, dada por (1)

– (2):

퐾∆−퐾 ∆푦∆푧∆푡 (3)

De maneira análoga, podemos mostrar que as quantidades de calor que

permanecem no elemento devido a transferência de calor nas direções 푦 e 푧

são dadas por:

퐾∆−퐾 ∆푥∆푧∆푡 (4)

퐾∆−퐾 ∆푥∆푦∆푡 (5)

respectivamente.

A quantidade total de calor ganha pelo elemento é dada pela soma de

(3), (4) e (5). Esta quantidade adicional de calor contribui para elevar de ∆푢 a

temperatura. Sabe-se que o calor necessário para elevar de ∆푢 a temperatura

de uma massa 푚 é dada por 푚휎∆푢, onde 휎 é o calor específico. Se a

densidade do sólido é 휇, a massa é 푚 = 휇∆푥∆푦∆푧. Assim, a quantidade de

calor dada pela soma de (3), (4), e (5) é igual a:

휎휇∆푥∆푦∆푧∆푢 (6)

Igualando agora (6) a soma de (3), (4) e (5), e dividindo por ∆푥∆푦∆푧∆푡,

obtemos:

퐾 휕푢휕푥 ∆−퐾 휕푢휕푥

∆푥 +

⎩⎨

⎧퐾휕푢휕푦 ∆

−퐾휕푢휕푦∆푦

⎭⎬

⎫+

퐾 휕푢휕푧 ∆−퐾 휕푢휕푧

∆푧 = 휎휇∆푢∆푡

No limite, quando ∆푥, ∆푦, ∆푧 e ∆푡 tendem todos para zero, a equação

acima fica:

휕휕푥 퐾

휕푢휕푥 +

휕휕푦 퐾

휕푢휕푦 +

휕휕푧 퐾

휕푢휕푧 = 휎휇

휕푢휕푡

ou como 퐾 é constante,

퐾휕 푢휕푥 +

휕 푢휕푦 +

휕 푢휕푧 = 휎휇

휕푢휕푡

Podemos escrever esta última equação como:

휕푢휕푡 = 푘∇ 푢

onde 푘 = é a difusividade.

1.7- Resolva o Problema 1.6 utilizando métodos vetoriais.

Seja 푉 um volume arbitrário interior ao sólido, e 푆 sua superfície. O fluxo

total de calor através de 푆, ou a quantidade de calor que deixa 푆 por unidade

de tempo, é:

(−퐾∇푢).푛푑푆

onde 푛 é um vetor unitário da normal exterior a 푆. Assim, a quantidade de calor

que entra em 푆 por unidade de tempo é:

(−퐾∇푢).푛푑푆 = ∇. (퐾∇푢)푑푉 (ퟏ)

pelo teorema da divergência. O calor contido em um volume 푉 é dado por

휎휇푢 푑푉

Então, a taxa de aumento de calor (em relação ao tempo) é:

휕휕푡

휎휇푢 푑푉 = 휎휇휕휕푡

푑푉 (ퟐ)

Igualando os membros direitos de (1) e (2),

휎휇휕휕푡 − ∇. (퐾∇푢) 푑푉 = 0

e como 푉 é arbitrário, o integrando, suposto contínuo, deve ser identicamente

nulo, de forma que

휎휇휕휕푡 = ∇. (퐾∇푢)

ou, se 퐾, 휎, 휇 são constantes,

휕푢휕푡 =

퐾휎휇 ∇.∇u = k∇ u (ퟑ)

1.8- Mostre que, para o fluxo de calor estacionário, a equação de condução do

calor dos Problemas 1.6 ou 1.7 se reduz à equação de Laplace ∇ u = 0.

No caso do fluxo de Calor estacionário, a temperatura 푢 não depende do

tempo 푡, de modo que = 0. Assim, a equação = k∇ u se reduz a ∇ u = 0.