Problemas de Transferencia de Calor III

CONDUCCION MULTIDIMENSIONAL Y NO ESTACIONARIA BEL UNSCH 2009

PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR III

1. Deduzca la ecuación general de conducción del calor en coordenadas cilíndricas aplicando la primera ley al elemento de volumen.

2. Deduzca la ecuación general de conducción del calor en coordenadas esféricas aplicando la primera ley al elemento de volumen.

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3. Use los métodos de cálculo vectorial para deducir la ecuación general de conducción de calor.

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4. Los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas son ejemplos de coordenadas curvilíneas ortogonales. En general, estas coordenadas se pueden indicar como u1, u2, u3, que se definen expresando las coordenadas cartesianas x, y, z, como

Se dice que un sistema de coordenadas es ortogonal cuando las tres familias de superficies u1 = Const, u2 = Const, u3 = Const son ortogonales entre sí. La figura muestra un paralelepípedo elemental cuyas caras coinciden con planos dados por u1 o u2 o u3 = Const; las longitudes de las aristas son h1du1, h2du2, h3du3 donde h1, h2 y h3 se denomina coeficientes métricos. La longitud de una diagonal está dada por

En función de estas coordenadas, los componentes del gradiente de temperatura son

La divergencia de flujo de calor por unidad de área es

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y

i) Determine los coeficientes métricos en el sistema de coordenadas cilíndricas

y exprese en dicho sistema.ii) Haga lo mismo para el sistema de coordenadas esféricas.

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5. Se observa que una de las caras de un bloque de hielo retrocede a razón de 0.22 mm/min. Si el hielo se ha estado fundiendo durante cierto tiempo, calcule el gradiente de temperatura del agua adyacente a su superficie. La densidad y la entalpía de fusión del hielo a 0º C son, respectivamente, 920 Kg/m3 y 0.335 x106

J/Kg.

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6. Una placa rectangular delgada, , cuya pérdida de calor por los costados es mínima, presenta una variación lineal de la temperatura a lo largo de la arista y = b dada por T = 20 + 100(x/a) ºC. Las otras tres aristas se mantienen a 20º C. Determine la distribución de temperatura T(x,y)

7. Una placa rectangular delgada tiene la siguiente distribución de temperaturas alrededor de su contorno:

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i) Determine la distribución de temperatura en estado estacionario si la pérdida de calor por las caras es mínima.

ii) Si a = b, determine la temperatura en el centro de la placa.

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8. Una placa cuadrada delgada de 20 cm de lado con pérdida de calor por las caras mínima tiene tres de sus aristas mantenidas a 20º C, mientras que la cuarta tiene una

distribución de temperatura dada por ºC, donde L= 20 cm, y x [cm] se mide desde el vértice.i) Determine la temperatura en el punto medio de la placa.ii) Si la placa de acero inoxidable de 3 mm de espesor con k = 16 W/m.K,

determine la velocidad a la que se debe suministrar calor para mantenerla en régimen estacionario.

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9. Una placa rectangular delgada, , está sujeta a las siguientes condiciones de contorno:

i) Determine la distribución de temperaturas en estado estacionario si la pérdida de calor por las caras es pequeña.

ii) Si a = b, obtener la temperatura central.

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10. Una placa rectangular delgada, tiene la siguiente distribución de temperaturas alrededor de su contorno:

Determine la distribución de temperaturas de la placa si la pérdida de calor por la superficie mínima.

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11. Una placa rectangular delgada, , cuya pérdida de calor por sus caras es insignificante, tiene las siguientes condiciones de contorno:

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i) Determine la distribución de temperaturas en estado estacionario.ii) Si a = b, determine la temperatura central.

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12. Una placa cuadrada de 8x8 cm cuya pérdida de calor por las caras es mínima tiene las condiciones de contorno que se indican. Obtenga una expresión analítica para la distribución de temperaturas y evalúe la temperatura central.

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13. i) Demuestre que el calor disipado por una placa recta rectangular de espesor 2t y

condiciones de contorno T = TB en x = 0 y en x = L, suponiendo conducción de calor bidimensional, está dado por:

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ii) Elabore un programa de computador para evaluar , donde está dado por la ecuación (2.40). Explore el error que se comete por usar el modelo de aletas unidimensionales como función de Bi y de t/L.

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14. Un montaje experimental para convección natural consiste en dos placas de cobre separadas por una pieza de vidrio de 1 cm de espesor y 4 cm de altura. La placa inferior se mantiene a 340 K y la superior a 300 K. La temperatura del aire a ambos lados del vidrio es de 320 K y el coeficiente de transferencia de calor es de 6.0 W/m2.K. determinar el flujo de calor en las partes inferior y superior del vidrio suponiendo que la conducción esi) Unidimensionalii) Bidimensional.

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Tome k = 0.78 W/m.K para vidrio. La siguiente tabla muestra las raíces de la ecuación (3.67) que serán necesarias, calculadas sobre un intervalo adecuado de valores del número de Biot.

Bi

0.010.020.050.10.20.51.0

0.1000.1410.2220.3110.4330.6530.861

3.1453.1483.1573.1733.2043.2923.426

6.2856.2866.2916.2996.3156.3626.437

9.4269.4279.4309.4359.4469.4779.529

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15. Cierta cantidad de material de desecho radioactivo que disipa 500 W se almacena temporalmente en un recipiente esférico de 2 m de diámetro enterrado de tal manera que su centro está 5 m por debajo de la superficie de la tierra, en un lugar en el que el suelo se encuentra relativamente seco. Si la temperatura a nivel de la superficie nunca es superior a

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30º C, calcule la temperatura máxima que puede alcanzar el recipiente. Tome k = 0.6

W/m.K para la tierra.

16. El gas de descarga de un horno fluye a razón de 4.50 Kg/s por una chimenea de hormigón de 26 m de altura y 90 cm de lado por el interior, cuyas paredes tienen un espesor de 30 cm. La temperatura de entrada del gas es de 500 K y la temperatura del aire ambiental es de 300 K. Determine la condición de salida del gas cuando el viento da un coeficiente externo de transferencia de calor de aproximadamente 12 W/m2.K. Considere un coeficiente interno de transferencia de calor de 15 W/m2.K, tome 1100 J/Kg.K para el calor específico de la mezcla gaseosa y 1.13 W/m.K para la conductividad del hormigón.

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17. Un pequeño horno para cocer productos de cerámica tiene como dimensiones interiores de 1 m de ancho, 1 m de altura y 1.5 m de profundidad. Las paredes tienen 50 cm de espesor y están construidas con ladrillo de zirconia. En condiciones de operación estacionarias de temperatura interior es de 700ºC y la temperatura del aire ambiente es de 25º C. Si el coeficiente externo de transferencia de calor es de

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aproximadamente 5 W/m2.K, calcule la pérdida de calor del horno. Tome k = 2.4 W/m.K para el ladrillo de zirconia.

18. Una tubería de 8 cm de diámetro exterior y 200 m de longitud rodeada por un bloque de hormigón de sección cuadrada con 15 cm por lado está sumergida en agua de mar a 10º C. Aunque se construyó para transportar agua dulce, se considera la posibilidad de usarla temporalmente como oleoducto. Si el petróleo fluye a razón de 0.6 Kg/s y la temperatura de entrada es de 120º C, calcule la temperatura de salida. Se puede tomar un calor específico de 2000 J/Kg.K para el petróleo.

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19. Una tubería de 15 cm de diámetro exterior está enterrada de tal manera que su eje está a 1 m por debajo de la superficie de la tierra. Se hace fluir por la tubería un aceite de gravedad específica de 0.8 y de calor específico 1950 J/Kg.K a razón de 0.5 m3/min. Si la temperatura superficial de la tierra es de 25º C y la temperatura de la pared de la tubería es de 95º C, calcule la caída de temperatura del petróleo en K/m. Tome k = 1 W/m.K para la tierra.

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20. Una tubería para petróleo de 25 cm de diámetro está enterrada de manera que su eje queda a 60 cm de profundidad. Suponiendo que la temperatura de la tierra es de 10º C y que su conductividad térmica es de 0.8 W/m.K, calcule la pérdida de calor de latubería en régimen estacionario (W/m) cuando el petróleo se encuentra a 90º C.i) Ignore la resistencia térmica interna.ii) Repita los cálculos si el coeficiente interior de transferencia de calor es de 300

W/m2.K

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21. Una tubería de vapor de 20 cm de diámetro exterior está enterrada a 1.5 m de profundidad en tierra seca. El vapor fluye por la tubería a razón de 1.2 Kg/s. Suponiendo que la temperatura de la superficie de la tierra es de 15º C y que el vapor está saturado a 1.1x105 Pa, calcule la velocidad de condensación del vapor por cada 100 m de tubería.

22. Un pequeño horno de laboratorio es de forma cúbica tiene aristas internas de 20 cm y está aislado con 6 cm de espesor de fibra de vidrio de mediana densidad. ¿Qué potencia se debe suministrar al horno para mantenerlo a 440 K cuando la temperatura ambiente es de 20º C y el coeficiente externo de transferencia de calor es de 7 W/m2.K.

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23. Una tubería de 20 cm de diámetro exterior está enterrada a 1 m de profundidad. Por la tubería fluye agua caliente a razón de 500 gal/min. Suponiendo que la temperatura de la pared de la tubería es de 70º C, calcule la longitud de tubería necesaria para que la temperatura del agua disminuya en 1º C cuando la superficie

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de la tierra se encuentra a 10º C. Tome un valor de 1 W/m.K para la conductividad térmica de la tierra.

24. Se desea instalar tuberías de agua subterráneas en una región geográfica en la que la temperatura media en invierno es de unos 5º C, pero que puede bajar de manera repentina hasta – 10º C por un periodo máximo de 48 horas. Calcule la profundidad mínima a la que deben estar las tuberías para evitar que el agua se congele en su interior. Tome α =0.5x10-6 m2/s para la tierra.

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25. Una pared contra fuego de acero se expone bruscamente a la acción de una fuente de energía radiante que puede suponerse como un cuerpo negro a 1000 K. ¿En cuánto tiempo alcanzará la superficie una temperatura de 500 K si su temperatura inicial es de 300 K?

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26. En una estación de esquí de Sierra Nevada la temperatura de la superficie de la tierra en invierno generalmente varía entre -10 y 12º C cada día, mientras que la temperatura de la tierra a determinada profundidad es de +1º C. ¿A qué profundidad se debe instalar una tubería de agua para evitar que el líquido se congele en su interior?

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27. Se instala un termopar en la pared del cilindro de un motor de combustión interna de dos tiempos, 1.0 mm para debajo de la superficie interior. En cierta prueba el motor gira a 2500 rpm y la lectura del termopar de un valor medio de 290º C y una amplitud de 1.08º C. Si suponemos que la variación de la temperatura es sinusoidal, calcule la amplitud de la variación de la temperatura superficial de la pared del cilindro y la diferencia de fase. Tome α = 12x10-6 m2/s para la pared de acero al carbón.

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28. Entre una pared de ladrillos refractarios y una placa gruesa de acero AISI 1010, inicialmente a 300 K, se coloca una resistencia eléctrica plana y delgada. La resistencia se conecta y genera calor a razón de 50 000 W/m2. Represente gráficamente la temperatura de la superficie de acero adyacente a la resistencia en función del tiempo para un intervalo de 10 segundos.

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29. Considere una barra larga cuya superficie lateral está bien aislada. Un calentador hace variar la temperatura de uno de los extremos senoidalmente entre 100 y 200º C con un período de 90.9 s. Dos termopares, situados a 10 y 70 cm del extremo calentado, miden las temperaturas. La diferencia de fase de las temperaturas máximas es de 15.0 min. ¿Cuál es el valor de la conductividad térmica del material si su densidad es de 8300 Kg/m3 y su calor específico de 470 J/Kg?

30. Calcule la profundidad a la cual la variación anual de la temperatura es de 10 % de la variación en la superficie parai) Tierra seca, k = 1.0 W/m.Kii) Tierra húmeda, k = 2.0 W/m.K

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31. La temperatura media de la superficie de la tierra en cierto lugar presenta un máximo en verano y un mínimo en invierno asociados a la variación anual del clima. Si se cava un hoyo exactamente seis meses después de que ocurra el máximo, ¿qué profundidad debe tener el hoyo para alcanzar el máximo de la respuesta de la temperatura resultante y cuál será el valor de la disminución porcentual de la amplitud? Tome α = 1.2x10 -6 m2/s para la difusividad del suelo.

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32. Puede considerarse que la temperatura de la piel del antebrazo hasta 2 mm de profundidad es de 32º C cuando la temperatura ambiente alcanza los 25º C. Si un brazo toca bruscamente una placa de aluminio a 100º C, ¿cuál es la temperatura de la superficie piel antes de que el flujo sanguíneo responda al estímulo? Repita el cálculo para placas de acero inoxidable 18-8, vidrio pyrex y teflón. Para el tejido epidérmico tome k = 0.37 W/m.K, α =0.1x10-6 m2/s.

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33. Durante el proceso de vulcanización un neumático se calienta al ser expuesto a vapor saturado a 150º C para ambos lados. Si el neumático tiene 2 cm de espesor y su temperatura inicial es de 20º C, ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el plano central alcance una temperatura de 130º C? tome α =0.06x10 -6 m2/s para el caucho.

34. Una placa de acero al carbono AISI 1010 de 5 cm de espesor está aislada por uno de sus lados e inicialmente se encuentra a 700 K. Para enfriarla se le somete a la acción

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de chorros de agua a 300 K, lo que da un coeficiente de transferencia de calor de 2000 W/m2.K. ¿Cuál es la temperatura de la cara posterior después dei) 5 minutos

1 hora. Repita el cálculo para una placa de ladrillo crómico.

35. Una esfera de 1 cm de diámetro a 320 K se sumerge bruscamente en una corriente de aire a 280 K. Si el coeficiente promedio de transferencia de calor es de 100

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W/m2.K, determine el tiempo necesario para que la esfera pierda el 90 % de su energía. Considere los cuatro materiales siguientes:i) Corchoii) Teflóniii) Acero inoxidable AISI 302iv) Aluminio puro

36. Una placa de cerámica de 2 cm de espesor está protegida por un escudo metálico delgado. La resistencia por contacto entre la cerámica y la metal proporciona una conductancia interfacial de 1600 W/m2.K. En el instante inicial de placa se

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encuentra a 300 K y se expone bruscamente a una corriente caliente a 1500 K con un coeficiente de transferencia de calor por convección de 800 W/m2.K. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el centro de la placa alcance una temperatura de 1200 K? Las propiedades de la cerámica son: ρ = 2600 Kg/m3, c = 1150 J/Kg.K, k = 3.0 W/m.K

37. Una barra larga de acero inoxidable AISI 316 tiene una sección transversal cuadrada de 8 cm x 8 cm. La barra se somete al proceso de laminado a 620º C y luego se enfría por chorros de aire a 30º C, con un coeficiente de transferencia de calor de

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400 W/m2.K. Determine el tiempo necesario para que la temperatura del centro de la barra disminuya hasta 130º C.

38. Calcule el tiempo necesario para que el centro de un ladrillo de arcilla de 5x10x20 cm se caliente de 550º C a 1500ºC dentro de un horno convectivo a 1700º C. Suponga que el coeficiente de transferencia de calor es de 100 W/m2.K y que k = 1.7 W/m.K, α = 0.35x10-6 m2/s para el ladrillo.

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39. Una lata de cerveza a 300 K se coloca dentro de un refrigerador que mantiene una temperatura de 277 K. La lata tiene 8 cm de diámetro y 12 cm de altura. El coeficiente externo de transferencia de calor es de 5 W/m2.K. Después de seis horas, se saca la cerveza del refrigerador y se sirve en un vaso. Calcule la temperatura del líquido.

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40. Se saca un trozo de carne, de 4 Kg y de forma aproximadamente esférica con 20 cm de diámetro, de un refrigerador a 5º C y se coloca dentro de un horno a 150º C. Se desea elevar a 70º C la temperatura del centro del trozo de carne. ¿Cuánto tiempo debe permanecer en el horno? Suponga que la carne tiene las mismas propiedades térmicas del agua y que el coeficiente transferencia de calor es de 12 W/m2.K. Si la carne pierde 0.4 kg por evaporación, haga un cálculo general de la entalpia sensible de la carne.

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41. Se desea curar unas tablas de madera laminada colocándolas entre placas que se mantienen a 105º C por medio de condensación de vapor. ¿Cuánto tiempo se tardará en el curado de una lámina de 1 cm de espesor si su temperatura mínima debe ser 95º C y la temperatura inicial es de 25º C

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42. Una caja fuerte rectangular grande está provista de una capa de 10 cm de asbesto como aislante. Durante un incendio se estima que la temperatura exterior del aislante es de 800ºC. ¿Cuánto tiempo debe durar el incendio para destruir unos documentos contenidos en la caja que queman a 150º C? Al iniciarse la caja fuerte estaba a 20º C. Tome α = 0.4x10-6 m2/s para el asbesto.

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43. Se puede definir un coeficiente interno de transferencia de calor h para el calor conducido hacia el exterior de una placa de espesor 2 L enfriada por convección como

Con un número de Nusselt de . Demuestre que, para Fo>0.2, Un tiene un valor constante dado por

Que para es igual a , repita el cálculo en coordenadas cilíndricas y esféricas.

i) Para coordenadas rectangulares

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ii) Para coordenadas cilíndricas

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iii) Para coordenadas esféricas

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44. La conducción transitoria de calor dentro de las frutas cítricas es motivo de preocupación para agricultores, quienes deben idear estrategias para evitar que se congelen durante las heladas. Cierto método relativamente fácil para determinar la difusividad térmica de un cítrico, consiste en colocar un termopar que en el centro de la fruta y determinar la respuesta de la temperatura cuando la fruta se sumerge en un baño de agua a 0º C que se agita con rapidez. La tabla siguiente proporciona algunos datos típicos obtenidos usando una toronja de 6.8 cm de diámetro. Calcule la difusividad térmica y compare su resultado con el del agua a 10º C.

T, mín 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45Tc ºC 20 20 19.6 18.0 15.8 13.0 10.8 8.4 7.2 5.8

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