PROBLEMAS DE

OPTIMIZACIÓN

Eva Pérez Torres

¿En qué consisten?

• Un problema de optimización consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. En otras palabras se trata de calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una variable.

• Se debe tener presente que la variable que se desea minimizar o maximizar debe ser expresada como función de otra de las variables relacionadas en el problema.

• Objetivo: la mejor utilización de los recursos disponibles para cumplir una determinada tarea.

Pasos a seguir:

1) Leer e interpretar bien el problema y las variables(dibujo si es necesario)

2) Plantear la función a maximizar o minimizar

3) Plantear una segunda ecuación con las condiciones del problema, despejar una de las variables y sustituir en la función a optimizar

4)Hallar la primera derivada e igualar a 0, despejando una de las variables

5)Mediante la segunda derivada comprobar si el extremo es máximo o mínimo

6) Calcular el resto de variables y el valor de la función optimizada

Problemas resueltos: Un granjero desea construir un corral vallado rectangularmente dividido en 3 partes iguales y de 24 m² cada una. Hallar las dimensiones de cada compartimento para que salga lo más barato posible vallar el corral.

x

A= x·y; 24=x·y -> y

f(x)= 6x+4y -> 6x+4(24/x)-> 6x+96/x ->

f’(x)= 12𝑥²−(6𝑥²+96)

𝑥² =6𝑥²−96

𝑥² = 0 -> 6x²-96=0 -> x²=16 -> x=±4

f”(x)=12𝑥·𝑥²− 6𝑥²−96 2𝑥

𝑥4 =12𝑥3−6𝑥²−96

𝑥4

f”(4) > 0 min en x=4

y= 24/4=6

Y=24/x

6x²+96/x

24m² 24m² 24m²

Queremos vallar un terreno que se encuentra al lado de un río. El lado que da al río cuesta 800€/m y los otros lados 100€/m. Hallar las dimensiones si tenemos 288000€.

800y+100x+100x+100x+100y=288000

900y+200x=288000 -> 9y+2x=2880->

A= x(2880−2𝑥

9)

A= 2880𝑥−2𝑥²

9 y 800€/m

A’(x)= 2880−4𝑥

9=0 ->2880=4x -> x=720 x

A”(x)= -4/9 < 0 máx en x=720m 100€/m x

y= 2880−2·720

9= 160m y

y= 2880−2𝑥

9

A=x·y

Hallar los números cuya suma es 18 y su producto es máximo

x+y=18 ->

f(x)=x·y

f(x)=x(18-x)->

f’(x)= 18-2x=0 -> x=9

f”(x)=-2>0 máximo en x=9

Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel.

A= x·y; (x-4)(y-2)=18 ->

f(x)=x·y

f(x)=x(2𝑥+10

𝑥−4) ->

y=18-x

18x-x²

y=2𝑥−10

𝑥−4

2𝑥² + 10𝑥

𝑥 − 4

f’(x)=4𝑥+10 𝑥−4 −(2𝑥2+10𝑥)

(𝑥−4)²=

2𝑥²−16𝑥−40

(𝑥−4)²

x= +10,-4(no sirve porque no existen medidas negativas)

f(x)=4𝑥−16 𝑥−4 2−(2𝑥2−16𝑥−40)(2 𝑥−4 )

𝑥−4 4 =4𝑥²−16𝑥−16𝑥+64−4𝑥2+32𝑥+80

𝑥−4 3

=144>0 mínimo en x=10 cm

Y= 2·10+10

10−4 = 5 cm

La función coste de cierto producto de consumo es f(x)=2x+5 y la

función ingreso J(x)=8x-x². Las funciones vienen en miles de euros en función de las miles de unidades de producto.

(a)Hallar la ecuación beneficio

B(x)= J(x)-C(x)=8x-x²-2x-5= -x²+6x-5

B’(x)= -2x+6=0; x=3

B”(x)=-2<0 máximo en x=3

(b)¿Cuál es el máximo beneficio que se puede obtener)

B(3)=-9+18-5=4

Como viene dado en miles de euros: 4000€

Otro tipo de aplicaciones de derivadas:

Hallar a, b y c para que f(x)=ax3-x²+bx+c pase por el punto(0,5) y tenga

extremos relativos en x=-1 y x=3

P(0,5)->f(0)=5

X=-1->f’(-1)=0-> 3 a+2+b=0-> 3 a+2b=-2

X=3->f’(3)=0-> 27 a-6+b=0-> 27 a-b=6

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-24 a=-8

f(x)= 𝑥3

3-x²-3x+5

C=5

A=1/3

B=-3