PROBLEMAS DE ESPECIAL DIFICULTADA-EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA Prof: F. López-D. Legal: M-007076/2009 1 PROBLEMAS DE ESPECIAL DIFICULTAD 1. La recta 4x -3y = 12 es mediatriz del

GEOMETRÍA-EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA

Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009 1

PROBLEMAS DE ESPECIAL DIFICULTAD1. La recta 4x -3y = 12 es mediatriz del segmento AB. Sabiendo que las coordenadas de A son (1, 0),

hallar las de B.Es lo mismo que un simétrico 3,4v

3

0

4

1

yx Recta perpendicular a la dada por el ejercicio

343433 yxyx

343

1234

yx

yx

25

57

43

34

43

312

x25

24

25

33

124

y

Para hallar el punto de corte entre las dos rectas “Q” se hace el sistema con las dos rectas halladas.

Q

25

24,

25

57 A=2q–p A=

25

48,

25

89)0,1(

25

48,

25

114·2 A



2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P= (2, -3) y forma un ángulo de 45º con la

recta 743 yx

Si la incógnita es el vector se usa la forma punto pendiente en el vector (1, m) 4,3 v

3,4v

11 1xx

myy Si la recta está en forma punto pendiente, en vez del vector tenemos una única

incógnita, pero la pendiente se puede poner en función de un vector, porque el vector (1,m) tiene porpendiente “m”

mm

m

m

m

m681·25

1·25

34

2

2

134

,13,4º45cos 2

2222

28

14·14·49696

01496142

2

m

mm

7

1

28

10096

728

10096

2

1

m

m



3. Hallar el área del cuadrilátero de vértices: A= (2, -2), B= (4, 2), C= (4, 0) y D= (-2, 3)

6,33,6

1,6

DC

DB

26

2

618

2

6,31,6

2

·u

DCDBA

Para hallar el área del otro triángulo podemos hacerlo con determinantes.2

DA y los puntos

correspondientes D, A y C

292

18

2

122

104

132

2u

DA

Área total del cuadrilátero es la suma de los dos triángulos que lo forman:222 1596 uuu



4. Supongamos que un rayo de luz que sigue la trayectoria de la recta x+2y=1, le denominamosrecta r, y rebota en la recta 2x+y=3. Calcula la ecuación del rayo reflejado.

Calculamos el punto de corte B. 35

12

2113

21

x31

12

2132

11

y

Sacamos el vector perpendicular de la recta en la que rebota.

v = (-1,2), v ┴= (2,1)

Tomamos un punto p cualquiera de “r” y hacemos el simétrico respecto de la recta en laque se reflejaPunto de la recta:(1,0)=p

Hago una recta perpendicular a la recta s y que pasa por el punto elegido

1

0

2

1

yxx-2y-1=0

Resolvemos el sistema

)15

8,

15

19(

0763

022

yx

yx=q

Calculamos el simétrico A = 2p-q= (23/15,-16/15)



Calculamos la recta que pasa por los dos puntos A y B .

15

11,

15

2

15

16

3

1,

15

23

3

5AB RECTA: 33x-6y=57.



1.REPASO DE GEOMETRÍA1. Probar si son linealmente independientes:

)1,2(

)3,1(

v

u

)0,0()3,2()0,0(),2()3,()0,0()1,2()3,1( bababbaaba

03

02

ba

ba0,0 ba

2. Dados los vértices del triángulo A= (0, 1), B= (2, 3) y C= (3, 0) Hallar: el circuncentro, elbaricentro, el incentro y el ortocentro.



2.CIRCUNCENTROMediatriz de A y B

Hallamos el punto medio entre A y B 2,12

BA

Sacamos la ecuación de la recta perpendicular 2,22,2

AB

Recta pasa por el punto medio con el vector perpendicular.

03062242222

2

2

1

yxyxyxyx

Mediatriz de A y C

Punto medio de A y C

2

1,

2

3

3,11,3

AC

430826129621

293

32

1

12

3

yxyxyxyxyx

Para hallar el circuncentro hacemos el sistema con las dos ecuaciones que hemos obtenido:

4

774

43

3

xx

yx

yx



4

5

4

73 y CIRCUNCENTRO:

4

5,

4

7

Mediatrices-circuncentro-centro de la circunscrita

A

B

C

1º Calculamos los puntos medios

2ºCalculamos los vectores que unen los puntos3º Calculamos los vectores perpendiculares

4º Con el punto medio y el vector perpendicular calculamosLa recta



Si queremos calcular el área de la circunferencia circunscrita, tenemos que hallar el radio.El radio es la distancia entre el circuncentro y cualquiera de los puntos vértices.

Por ejemplo entre A=(0,1) y D (circuncentro)

4

5,

4

7

AD =D-A= 24

5

16

50

16

1

16

49)1

4

5()0

4

7()()( 222

122

12 yyxxAD

Área de la circunscrita=

2

24

5·



Medianas-baricentro-centro de gravedad

Recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto

3.BARICENTROLa forma abreviada es sumar los vértices y dividir entre 3 y también el punto en donde se cortanlas medianas.

3

4,

3

5

3

4,5

3

0,33,21,0

3Baricentro

CBABaricentro

MEDIANA DE A

Calculamos el punto medio de B y C =(5/2,1/2)=A´ Vector AA´=(5/2-0,1/2-1)=(5/2,-1/2) Lo puedo multiplicar por 2, porque no cambia su dirección (5,-1)

1

1

5

0

yx

MEDIANA DE B



4.ORTOCENTROPUNTO EN DONDE SE CORTAN LAS TRES ALTURAS

ALTURAS Pasan por un vértice y son perpendiculares al lado opuesto

ALTURA de C Punto ya vale el C

2,22,2

AB

Sacamos la ecuación de la recta perpendicular que pasa por C

0306222622

0

2

3

yxyxyx

yx

Altura de B 3,11,3

AC

333633

3

1

2

yxyx

yx

Punto de corte el ortocentro



5.BARICENTRO-MEDIANAS.Puntos:A = (-10,5) B = (-4,5) C = (-4,11)

PUNTOS MEDIOS: Á=

2

)11,4()5,4(= 8,4 B´=

2

)11,4()5,10(= 8,7 C´=

2

)5,4()5,10(= 5,7

VECTORES DIRECTORES DE LAS RECTAS MEDIANAS:

3,65,10)8,4(´ AA

)3,3()5,4()8,7(´ BB

)6,3()11,4()5,7(´ CC

0048)8.(642)7.(6:)8,7(86

48486

76

42426

06664864266

8

6

70486

0

8

6

4

04266

5

0

7

ónComprobaciyy

xx

yxyxyx

yyx

xyx



6.MEDIATRICES (CIRCUCENTRO)

VECTORES DE LOS LADOS Y SUS RESPECTIVOS PERPENDICULARES:

0,65,105,4 AB _|_ )6,0( AB

0,65,411,4 BC _|_ )0,6(BC

6,65,1011,4 AC _|_ )6,6( AC

ESCRIBIMOS LAS RECTAS EN FORMA CONTINUA Y LAS PASAMOS A GENERAL

060634861233

8

6

4

yxyx

yx

03331531233

5

3

4

yxyxyx

057361534266

5

3

7

yxyxyx

Comprobación:

00

0577.3)6.(6

Solución:(-6,7)

Circuncentro:

333

6036

xy

xy

7639

63321333)1.(

6036

y

y

xxxy

xy



7.ALTURAS-ORTOCENTRO

)5,4(:

015.14.1

:

5306

0306

4246

0246

0106663062466

5

6

4

03060

5

6

10

02466

11

0

4

Solución

ónComprobaci

yy

y

xx

x

yxyxyxyx

yyx

xyx



3. Comprobar si las dos rectas se cortan:

1

3sec

3

211

7

7

14

211

311

211

31

11

1

2

31

1110

132

ante

x

y

yx

yx

yx



4. Hallar la posición de la recta para los distintos valores de a

92

11)92(

184

112

1

292

32

292

31

2

31132

100

132

100

132

2

992

2

0int92

1

1420

132

4420

396

23

132

23

132

ayya

a

aa

aa

ayxyx

lesIncompatibyx

yx

aoa

caso

dedista

caso

aaaayx

yx

o

er



5. Posición de las rectas

13

2

32

ayx

ayx

yx

10

122

10

1222323

12210

642

03212

3212

321200

122100

642

2010100

122100

642

4220

650

642

2262

12

642

2262

12

642

131

12

321

ay

ayx

ay

yx

a

trianguloa

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a



6. Posición de las rectas

1)(asi1º

100

130

111

11

312

111

32

1

aaayx

yx

yx

Si (a+1)es distinto de 0 dos rectas son paralelas y dos se cortan I

2º si (a+1) es igual a 0 hay dos pegadas y una las corta CD

7. Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas r: 3x-5y+11=0 y s: 3x-5y+3=0.

Si el punto P(x, y) equidista de r y s se ha de verificar que

)353(1153259

353

259

1153

yxyx

yxyx

3

4

3

111 xyx



paralelas.rectasdossonmenteGeométrica

075y-3x

01410y-6x3-5y3x-115y-3xsi

soluciónhayNo35y-3x115y-3xsi

8. Hallar el ángulo que forman que forman los vectores

4´6385

4

858

1arccos

94

4944

1coscos

1673,2

72,2

)3,2

7(),2,2(0

vuvu

vu

escalarproducto

9. Ángulo que forman dos rectas



1444741013

36arccos

1994

)1,3()3,2(arccos

)1,3(3,143)

3,23

3

2

1)

vvyxs

vyx

r

10. Hallar a para que el ángulo sea 60

67,9;29,0;6

)52(34576240104486

484144104062104194

1,3,260cos

)1,3()3,1(43

,23

2

1

212

22222

2

2

aaaa

aaaaaa

a

vvyx

aua

yx

s

11. Dada la recta siguiente, hallar otra recta que parte P (-1,4) con un ángulo de 45 grados.



)1(14

)1(14122

224224112211202

11

0

2

2

110

,11,045coscos14

1

2

12

22222

222

22

1

xyS

xySmm

mmmmmmmm

m

m

m

m

uv

uvxmy

xmyy

12. Hallar el área de la figura

P (0,3) P (-1,0) P (1,1) P (2,-2) P (4,3)

25,22

612

2,1)3,1(

)3,0(

)3,1()1,1(

)2,1()1,2()0,1(

1 uA

c

ACb

ABa

T T



2

2

2

125,545,2

5,52

2,5)3,1(

)1,1(

)3,1()3,4(

)2,5()5,2()2,2(

3

42

)3,2()2,1(

)3,0(

)2,1()3,4(

)3,2()2,3()1,1(

2

uA

uA

c

ACB

ABABa

T

uA

C

ACB

ABABa

T

FIGURA

T

t

13. Hallar el área del triángulo con estos vértices:

)2,1(

)0,4(

)1,3(

C

B

A

2

ABACA

)3,2(

)7,1()1,7(

AC

ABAB2

2

19

2

19

2

)7,1()3,2(uA



14. Hallar el área del triángulo con estos vértices:

)3,0(

)1,1(

)0,1(

C

B

A

2

ABACA

)3,1(

)2,1()1,2(

AC

ABAB25,2

2

5

2

5

2

)2,1()3,1(uA

15. Hallar el área del triángulo con estos vértices por determinantes:

)1,3(

)3,0(

)1,1(

C

B

A

14303190

113

111

130

D27

2

14uA

16. Hallar a para que el área del triángulo sea 8 u2:

)1,3(

)3,(

)1,1(

C

aB

A

1423319

113

111

13

aaa

a

D16

28 D

D

14216 a 15

1

a

a



17. Distancia del punto a la recta

)3,1( P

ty

txr

1

31

043)1(31 yxyxud

10

1012

10

12

)3(1

4)3(31122

18. Hallar a para que la distancia sea 3u:

)3,1( P

aty

txr

1

31

033 ayaxx

2

22

2221293

9

393

3

3)3(313 a

aa

aa

7144819144)9(9 22 aaa



19. Hallar el baricentro, circuncentro y ortocentro del tríangulo con vértices en los siguientespuntos

)1,6()4,2()1,1( CBA

Mediana de A

)

2

3,4(

2

)3,8(

2'

CBA

)1,10('2

)2

1,5()1,1()

2

3,4(''

AA

AAAA

01110

1

1

10

1

yx

yx

Mediana de B

)0,

2

5(

2

)0,5(

2'

CAB

)8,1('2

)4,2

1('

BB

BB

0208

8

4

1

2

yxyx



Baricentro

3

4

3

7

0208

01110

yxyx

yx

3

4,

3

7baricentro

Mediatriz de AC

)0,

2

5(

2

)0,5(' B

)7,2(

)2,7(

AC

ACAC35414

7

0

22

5

yxy

x

Mediatriz de AB

)

2

5,

2

1(

2

)5,1(' C

)3,3(

)3,3(

AB

AB

0186632

5

32

1

yx

yx



Circuncentro

18

7

18

47

3

35414

yxyx

yx

18

7,

18

47rocircuncent

Altura de A

)1,1(A

)4,5(

)5,4(

BC

BC

01544

1

5

1

yx

yx

Altura de B

)4,2(B

)7,2(

)2,7(

AC

AC

06277

4

2

2

yx

yx

Ortocentro

27

31

27

32

154

627

yxyx

yx

27

31,

27

32ortocentro

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PROBLEMAS DE ESPECIAL DIFICULTADA-EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA Prof: F. López-D. Legal: M-007076/2009 1 PROBLEMAS DE ESPECIAL DIFICULTAD 1. La recta 4x -3y = 12 es mediatriz del