problemas de análisis estructural

7/26/2019 problemas de análisis estructural

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344

PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS E HIPERESTÁTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2

3.2. MÉTODO DE FLEXIBILIDADES APLICADO A MARCOS ESTÁTICAMENTE

INDETERMINADOS

1.- Calcular las reacciones correspondientes a las cargas indicadas. E e I

son constantes.



345




346

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICOFACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN

SOLUCIÓN.

a) Verificación del grado de indeterminación.

ara el marco mostrado! el n"mero de nodos es j=3 ( A ; B ; C ) # no $a#

condiciones impuestas por la construcción! es decir c=0 .

La estructura est% compuesta por la cantidad de m=2 ( AB ; CB ) miem&ros. 'anto

en el pasador (apo#o articulado) A como en el B $a# dos incógnitas de

reacción! una $oriontal # una *ertical! por lo +ue r=4 ( R AX ; R AY ; RCX ; RCY ) .

como 3 m+r>3 j+c #a +ue 3 (2 )+4>3 (3 )+0⇒10>9 el marco es est%ticamente

indeterminado con un grado de 10−9=1 .

&) ,lección de la fuera redundante # planteamiento de la estructura primaria.

Se optar% por+ue RCX sea la fuera redundante. ,n consecuencia! en la

estructura primaria! el apo#o articulado (pasador) en C se reemplaa por un

apo#o simple (rodillo u oscilador)! puesto +ue ste "ltimo soporte no restringir%C

en la dirección $oriontal #a +ue se est% eliminando la reacción redundanteelegida. ,sta nue*a estructura (I/ 1) es isost%tica! esta&le (de ning"n modode&e ser inesta&le) # est% sometida a las mismas cargas +ue la est%ticamenteindeterminada ($iperest%tica).

c) rincipio de superposición.

,l marco real u original ( MR ) es e+ui*alente a la suma de una serie de

estructuras isost%ticas conformada por la estructura primaria # otro n"mero deestructuras igual al n"mero de redundantes elegidas. ,ntonces! el marco

$iperest%tico de este e0emplo es igual a I/ 1 m%s otro marco +ue a+u $emoseti+uetado como I/ II.

La estructura primaria # su su&secuente (I/ II) de&en tener entre s la mismageometra e idnticas condiciones de apo#o con la diferencia de +ue la segundaen lugar de estar sometida a las cargas e2ternas originales! "nicamente soporta a



347


la redundante elegida ( RCX ) de sentido ar&itrario (en este caso se propone

$acia la i+uierda). 3e acuerdo a lo anterior! el marco real u original ( MR ) es

igual a la suma de las siguientes estructuras4

MR= MIF 1+ MIF II

,structura primaria ⟹ I/ 1(,structura M )



348




349


,ste marco (I/ 1)! contrariamente al marco original o real! e2perimenta un

desplaamiento $oriontal en el punto C (∆ HC MIF 1=d1 ) .

,structura li&erada con fuera redundante RCX aplicada ⟹ MIF II



350




351


,n ste marco! C se desplaa $oriontalmente una cantidad de

∆ HCMIFII = RCX ( f 11)

d) lanteamiento de la ecuación de compati&ilidad geomtrica.

ara o&tener una ecuación adicional +ue $aga posi&le la solución del pro&lema$acemos uso del principio de superposición formulado anteriormente # tomamosen cuenta la compati&ilidad del desplaamiento $oriontal en el soporte articulado

C . or lo tanto! la ecuación de compati&ilidad geomtrica para el

desplaamiento $oriontal en C es

∆ HCMIF 1+∆ HCMIFII =∆ HC MR−−−(1 )

,l lengua0e alge&raico anterior se traduce al lengua0e cotidiano como4 el

desplaamiento $oriontal en el punto C de la estructura I/ 1 m%s el

desplaamiento $oriontal en el punto C de la estructura I/ II es igual al

desplaamiento $oriontal en el punto C del marco real MR .

O&sr*ese +ue en el punto C del marco real ( MR ) no se produce

desplaamiento $oriontal alguno #a +ue la reacción en esa dirección del soporte

articulado a$ situado lo impide! as +ue ∆ HCMR es nulo. ,fectuando las

sustituciones correspondientes! la ecuación (1 ) puede escri&irse del siguiente

modo

d1+f 11 RCX =0−−−(2 )

Si a la estructura li&erada le aplicamos una unidad de carga $oriontal en el puntoC correspondiente a la fuera redundante! el coeficiente de fle2i&ilidad puede

o&tenerse directamente al calcular el desplaamiento $oriontal en ese mismo

punto por lo +ue ∆ HCMIF 2=f 11 .



352


,structura li&erada con fuera $oriontal unitaria aplicada en C ⟹ I/ 5(,structura

m )



353




354


e) C%lculo de los desplaamientos necesarios para el sistema de ecuacionesde compati&ilidad.

,n resumen! en los marcos I/ 1 # I/ 5 es necesario determinar el *alor del

desplaamiento $oriontal en C #a +ue RCX (fuera reacti*a $oriontal en el

pasador del punto C ) fue suprimida en el marco $iperest%tico.

Los *alores de los desplaamientos re+ueridos pueden o&tenerse con cual+uiera

de los mtodos e2plicados en el tema 1.6 para marcos. ,n este e0emplo se

utiliar% el mtodo del tra&a0o *irtual! de&ido a +ue es lo m%s recomenda&le. ara

su sencilla aplicación! le $emos denominado estructura M a la primaria #

estructura m a la li&erada con fuera $oriontal unitaria aplicada en C . ,s

importante recordar +ue las coordenadas x a emplear en los cortes tienen +ue

ser iguales # las direcciones positi*as de los momentos tampoco de&en cam&iar entre las dos estructuras recin mencionadas. La primera e2presión nos indica

+ue d1 es el desplaamiento $oriontal en el punto C del marco MIF 1 #

+ue se determinar% aplicando la ecuación del tra&a0o *irtual la cual re+uiere de la

com&inación adecuada de los omentos internos M con los omentos

internos m 6 por su parte! la segunda e2presión nos dice +ue f 11 es el

desplaamiento $oriontal en el punto C del marco MIF 2 # +ue se calcular%

utiliando la ecuación del tra&a0o *irtual la cual necesita de la com&inación propia

de los omentos internos m con los omentos internos m .

d1=∆ HC MIF 1=∫ L1

L2

Mm

EI dx

f 11=∆ HC MIF 2=∫ L

1

L2

mm EI

dx

- 7n%lisis de la estructura isost%tica I/ 1.

C%lculo de las reacciones en los apo#os.



355


+∑ MA=0⇒−21 (8 )−7 (18 )+ R CY (21)=0⇒∴ R CY =14 k

+↑∑ FY =0⇒ R AY −21+14−7=0⇒∴ R AY =14 k

+→∑ FX =0⇒ R AX =0

or trigonometra

Longitud de miem!ro incin"do= LCB=√ 82+62=10 #

"=1

2 LCB=

1

2(10 # )=5# ;sin $=

6

10=

3

5 ; cos$=

8

10=

4

5

C%lculo de las componentes rectangulares.

¿ %"r" F =7 k

F Y # = F cos $=7 k ( 45 )=5.6k

F X # = F sin $=7 k (35 )=4.2 k

¿ %"r" RCY =14 k

RCYY

= RCY

cos$=14 k

(4

5

)=10.2k

RCYX = RCY sin$=14 k ( 3

5 )=8.4 k

omentos internos M .



356


iem&ro 78

0 & x1 &8 #

+∑ Mcorte=0

−14 ( x1 )+ M 1=0⇒ M 1=14 x1

0 & x2 &7 #

+∑ Mcorte=0

M 2+21 ( x2 )−14 (8+ x2 )=0



357


iem&ro C8

0 & x3

&5 #



358


+∑ Mcorte=0

− M 3−8.4 ( x3 )=0

M 3=−8.4 x3



359




ulo de las componentes rectangulares.

360


0 & x4 & 5 #

+∑ Mcorte=0

− M 4+4.2 ( x4 )−8.4 ( x4

+5 )=0

− M 4+4.2 x4−8.4 x4−42=0

M 4=−4.2 x4−42

- 7n%lisis de la estructura isost%tica I/ 5C%lculo de las reacciones en los apo#os.

+∑ MA=0⇒ R CY (21 )−1(8)=0⇒∴ RCY =0.3809

+↑∑ FY =0⇒− R AY +0.3809=0⇒∴ R AY =0.3809

+→∑ FX =0⇒ R AX −1=0⇒∴ R AX =1

¿ %"r" F =1

F X # = F cos$=1( 4

5 )=0.8



361


F Y # = F sin $=1( 3

5 )=0.6

¿ %"r" RCY =0.3809

RCYY = RCY cos$=0.3809( 4

5 )=0.30472

RCYX = RCY sin$=0.3809( 3

5 )=0.22854

omentos internos m .

Como #a se $a&a mencionado! de&e usarse las mismas coordenadas x +ue

las

empleadas para deducir los omentos internos M ! sin importar +ue en am&os

miem&ros (78 # C8) no $a# *ariación de carga.

iem&ro 78

0 & x1 &8 #

+∑ Mcorte=0

M 1+0.3809 ( x1 )=0⇒ M 1=−0.3809 x1

0 & x2 &7 #

+∑ Mcorte=0

M 2+0.3809 (8+ x2)=0

M 2=−3.0472−0.3809 x2=0



362


iem&ro C8



363




364


0 & x3 &5 #

+∑ Mcorte=0

− M 3−0.22854 ( x3 )+0.8 ( x3 )=0

M 3=0.5715 x3



365


0 & x4 & 5 #

+∑ Mcorte=0

− M 4−0.2285 ( x4+5)+0.8( x4+5 )=0

M 4=−1.1425−0.2285 x4+4+0.8 x 4

M 4=2.8575+0.5715 x4



366




367




368




369


C%lculo de la incompati&ilidad geomtrica d1 .



370


d1=∫

0

8 (14 x1 )(−0.3809 x

1 ) EI

dx1+∫

0

7 (−7 x2+112) (−3.0472−0.3809 x

2 ) EI

dx2

+

∫0

5 (−8.4 x3 ) (0.5715 x3 )

EI dx3+

∫0

5 (−4.2 x4−42 ) (2.8575+0.5715 x4 )

EI dx4=

−4867.02

EI

C%lculo del coeficiente de fle2i&ilidad f 11 .



371


f 11=∫0

8 (−0.3809 x1 )2

EI dx1+∫

0

7 (−3.0472−0.3809 x2 )2

EI dx2+∫

0

5 (0.5715 x3 )2

EI dx3+∫

0

5 (2.8575+0.5715 x4 )2

EI dx

f) C%lculo de la fuera correcti*a o reacción redundante.



372


reescri&imos la ecuación de compati&ilidad geomtrica



373


d1+f 11 RCX =0−−−(2 )

sustitu#endo



374


−4867.02

EI +

272.091

EI RCX =0−−−(3 )

despe0ando la incógnita



375


RCX =4867.02

272.091=17.8875⇒∴ RCX =17.8875 k

g) C%lculo de las reacciones faltantes para la estructura real.



376




377


Las fueras reacti*as desconocidas restantes pueden determinarse si aplicamoslas ecuaciones de e+uili&rio a un diagrama de cuerpo li&re en el +ue colo+uemosla fuera redundante +ue $a sido calculada.

+→∑ FX =0⇒−17.8875+ R AX =0⇒∴ R AX =17.8875 k

+∑ MA=0⇒−21 (8 )−7 (18 )−17.8875 (8 )+ RCY (21 )=0⇒∴ RCY =20.8143 k

+↑∑ FY =0⇒ R AY +20.8143−21−7=0⇒∴ R AY =7.1857 k

5.- Calcular las reacciones en los soportes con el mtodo de la fuera del marcomostrado en la siguiente figura. ,l miem&ro 7-8 soporta una carga con *ariaciónlineal! el 8-3 una carga uniformemente repartida # el ,-3 una presión cur*a

definida por la ecuación indicada! cu#o origen ( x=0 ) se considera en , # en la

+ue se $an colocado sus *alores en los puntos inicial # final. ,n la tra&e $a# una

articulación en C. Considere

EI

constante. 3eterminar adem%s las ecuacionesde momento! cortante # normal.

SOLUCIÓN.

$) C%lculo del grado de indeterminación.



378


n'mero de miem!ro(en e m"rco (m )=3 ( A−B ; B− ); E− ) )

n'mero de incognit"(de re"cci*n (r )=5 ( R AX ; R AY ; R EX ; R EY ; M E )

n'mero de nodo( ( j )=4 ( A ; B ; ) ; E )

ecu"cione( de condici*n ( c)=1 (" "rticu"ci*n enC )

Si r+3m=5+3 (3 )=14 # 3 j+c=3 (4 )+1=13 ! entonces r+3 m>3 n+c ! por lo

+ue el marco es est%ticamente indeterminado de grado 14−13=1 .

i) ,lección de la fuera redundante # planteamiento de la estructura primaria.

Seleccionaremos como acción redundante a R AX . ,n consecuencia! en la

estructura primaria! el apo#o articulado (pasador) en A se reemplaa por un

apo#o simple (oscilador o rodillo)! puesto +ue ste "ltimo no restringir% A

$oriontalmente # entonces la capacidad del marco para soportar una fuera enesa dirección # en ese punto se elimina.

0) rincipio de superposición.

,l marco real ( MR) es igual a la estructura primaria m%s la estructura li&erada

&a0o la acción de la redundante R AX 6 ósea MR= MIF 1+ MIF II .

,structura primaria ⟹ I/ 1(,structura M )



379


,n ste marco A se desplaa $oriontalmente una cantidad de ∆ HA MIF 1=d1 .

,structura li&erada con fuera redundante R AX aplicada ⟹ MIF II

,n ste marco A se desplaa $oriontalmente una cantidad de

∆ HA MIFII = R AX ( f 11) .

9) lanteamiento de la ecuación de compati&ilidad geomtrica.

or superposición! la ecuación de compati&ilidad para el desplaamiento

$oriontal en A del apo#o articulado es

∆ HA MIF 1+∆ HA MIFII =∆ HA MR−−−(1 )

,n el marco original no $a# desplaamiento $oriontal #a +ue est% restringido por

el pasador! as +ue ∆ HA MR es nulo. :ealiando las sustituciones

correspondientes la ecuación puede e2presarse en trminos de la incógnita R AX

como

d1+f 11 R AX =0−−−(2 )

Si a la estructura li&erada le aplicamos una unidad de fuera $oriontal en

A

correspondiente a la fuera redundante! el coeficiente de fle2i&ilidad puedeo&tenerse directamente al calcular el desplaamiento $oriontal en ese punto! por

lo +ue ∆ HA MIF 2=f 11 .



380


,structura li&erada con fuera $oriontal unitaria aplicada en A⟹ I/ 5(,structura

m )

l) C%lculo de los desplaamientos necesarios para el sistema de ecuacionesde compati&ilidad.

,n resumen! en los marcos I/ 1 # I/ 5 es necesario determinar el *alor del

desplaamiento $oriontal en A #a +ue R AX (fuera reacti*a $oriontal en

el apo#o articulado del punto A ) fue suprimido en el marco $iperest%tico. 7

continuación el orden con el +ue se calcular%n los desplaamientos por mediodel mtodo del tra&a0o *irtual.

d1=∆ HA MIF 1=∫ L

1

L2

Mm

EI dx

f 11=∆ HA MIF 2=∫ L1

L2

mm

EI dx

- 7n%lisis de la estructura isost%tica I/1.

ara la presión cur*a4

• C%lculo de la carga concentrada e+ui*alente.

A C =∫ dA=∫ L1

L2

+dx=∫0

2

1√ 5−2 x

dx

resol*emos la integral de forma indefinida



381


∫ 1

√ 5−2 xdx=∫ (5−2 x )

−1

2 dx

Sean n=−1

2 # u=5−2 x . ,ntonces du=−2 dx ! # por tanto dx=

−1

2du .

7s! la regla de sustitución da

∫ (5−2 x )−1

2 dx=∫ un

,−1

2 du=

−1

2 ∫u

ndu=

−1

2 ( un+1

n+1 )

¿−1

2 ( (5−2 x )−1

2 +1

−1

2 +1 )=−(5−2 x )

1

2

∫0

21

√ 5−2 xdx=[−(5−2 x )

1

2 ]0

2

=[−(5−2 (2 ) )1

2]−[−(5−2 (0 ) )1

2 ]

¿−1+2.23606777=1.236067977

Ac=1.236067977 -

• unto de aplicación.

´ x=∫~ x dA

∫ dA=

∫ L

1

L2

x+dx

∫ L

1

L2

+dx

=∫0

2

x

√ 5−2 xdx

∫0

2

1

√ 5−2 xdx

Como el denominador #a $a sido resuelto! sólo atendemos al numerador.

∫ x

√ 5−2 x

dx

Sea

u= x d.= 1

√ 5−2 xdx



382


,ntoncesd.=.=¿∫ 1

√ 5−2 xdx=−(5−2 x )

1

2

du=dx∫¿

7l integrar por partes tendremos

∫u d.=u.−∫ . du

∫ x

√ 5−2 xdx=( x)[−(5−2 x )

1

2 ]+∫ (5−2 x )1

2 dx

∫ (5−2 x )1

2 dx=−1

2 ∫ (5−2 x )

1

2 (−2dx )=−1

2

( (5−2 x )

3

2

3

2

)=−(5−2 x )

3

2

3

∫ x

√ 5−2 xdx=− x (5−2 x )

1

2−(5−2 x )

3

2

3=− x (5−2 x )

1

2−(5−2 x ) (5−2 x )

1

2

3

¿(5−

2 x )1

2

(− x−

5−2 x

3

)− x−

5−2 x

3 =

−3 x−5+2 x

3 =

− x−5

3 =

−1

3 ( x+5 )

∫ x

√ 5−2 xdx=

−(√ 5−2 x ) ( x+5 )3

∴∫0

2

x√ 5−2 x

dx=

[−(

√ 5−

2 x ) ( x+

5

)3 ]0

2

=5√

53 −7

3/ 1.393446629

,l &rao de la palanca es

´ x=1.393446629

1.236067977=1.127322004 m hacia arriba de E y sobre el miembro E-D.



383


C%lculo de las reacciones en los soportes.

+∑ MC i01=0⇒ R AY (4 )−[ (4 ) (2 )2 ]( 13 (2 ))−(3 ) (4 )( 12 (4 ))=0⇒∴ R AY =

20

3-

+→∑ FX =0⇒(4 ) (2 )

2 −2−1.236067977− R EX =0⇒∴ R EX =0.763932023 -

+↑∑ FY =0⇒20

3 −(3 ) (6 )+ R EY =0⇒∴ R E+=

34

3 -

+∑ MC der=0⇒(3)(2)( (1/2 )(2))+1.236067977(2−1.127322004)

−(34 /3)(2)+ M E=0⇒∴

M E=14.0601133 - , m+(0.763932023)(2)¿

omentos internos M .

iem&ro 7-8

0 & x1 &2 m

+

∑ Mcorte=0

− M 1−[ ( x1 ) (2 x

1 )2 ]( x1

−2

3 x

1)=0⇒ M 1=− x1

3

3

´ x I

A -C



384


4

2=21/ x1⇒21=2 x1

iem&ro 8-3

0 & x2 &6 m

+∑ Mcorte=0

− M 2+20

3 ( x2 )−

[

( 4 ) (2 )2

](1

3 (2 )

)−(3 ) ( x2 )

(

1

2 x2

)=0

x2=4, M

2=0 → emomento en" "rticu"ci*n e(cero

iem&ro ,-3

0 & x3 &2

ara la presión cur*a del corte.

• C%lculo de la carga concentrada e+ui*alente.

A - ´ x II ´ x

1

A 3RC

M 2=−8

3 +

20

3 x2−

3

2 x 2

2



385


A CC =∫0

x3

1

√ 5−2 xdx=[−(5−2 x )

1

2 ]0

x3

=√ 5−√ 5−2 x3

• unto de aplicación.

´ x III =∫0

x3

x

√ 5−2 xdx

∫0

x3

1

√ 5−2 xdx

∫0

x3

x

√ 5−2 xdx=[−(√ 5−2 x) ( x+5 )

3 ]0

x3

=5√ 5

3 −

(√ 5−2 x3 ) ( x3+5 )3

∴ ´ x III =

5√ 5

3 −

(√ 5−2 x3 ) ( x3+5)3

√ 5−√ 5−2 x3

+∑ Mcorte=0⇒− M 3+14.06011330+0.763932023 ( x3 )

+(√ 5−√ 5−2 x3 )

( x3−

5√ 53 −

(√ 5−2 x3 ) ( x3+5 )3

√ 5−√ 5−2 x3

)=0

M 3=1

3(5−2 x3 )

3

2+3 x3+10.33333333

- 7n%lisis de la estructura isost%tica I/5.

C%lculo de las reacciones en los soportes.

+∑ MC i01=0⇒−(1 ) (2 )+ R AY (4 )=0⇒∴ R AY =12

+→∑ FX =0⇒1− R EX =0⇒∴ R EX =1



386


+↑∑ FY =0⇒1

2− R EY =0⇒∴ R EY =

1

2

+∑ MC der=0⇒1

2(2 )+1 (2 )− M E=0⇒∴ M E=3

omentos internos m .

iem&ro 7-8

0 & x1 &2 m

+∑ Mcorte=0 − M 1−1 ( x1 )=0⇒ M 1=− x1

iem&ro 8-3

0 & x2

&6 m

+∑ Mcorte=0

− M 2+1

2( x2 )−1 (2 )=0⇒ M

2=

1

2 x

2−2

x2=4, M 2=0 → emomento en

""rticu"ci*n e( nuo



387


iem&ro ,-3

0 & x3 &2 m

+∑ Mcorte=0 − M 3+1 ( x3 )−3⇒ M 3= x3−3

C%lculo de la incompati&ilidad geomtrica d1 .

d1=( 1 EI )[∫0

2

(− x1

3

3 )(− x1 ) d x1+∫0

6

(−8

3+20

3 x2−

3

2 x2

2)(12 x2−2)d x2

+∫0

2

(13 (5−2 x3 )

3

2+3 x3+10.33333333) ( x3

−3 ) d x3]

:esol*iendo integrales por separado

(− x1

3

3 ) (− x1 ) d x1=¿∫0

2

( x1

4

3 )d x1=[+ x1

5

15 ]0

2

=32

15

∫0

2

¿

∫0

6

(−8

3 +

20

3 x2−

3

2 x2

2)( 1

2 x2−2)d x2=∫

0

6

(−3 x23

4 +

19 x22

3 −

44 x2

3 +

16

3 )d x2=[−3 x24

16 +

19 x23

9 −

22 x22

3 +

16 x

3

∫0

2

(1

3 (5−2 x3 )

32+3 x3+10.33333333)( x3−3 ) dx3

∫0

2 [−(5−2 x3 )3

2−2 x3

2 (5−2 x3 )1

2

3 +

5 x3 (5−2 x3 )1

2

3 +3 x3

2+1.33333 x3−31]d x3



388


esta integral a su *e se resuel*e por separado

∫0

2

−(5−2 x3 )3

2 d x3=1

2∫0

2

−(5−2 x3 )3

2 (2)d x3=1

2

[

(5−2 x3 )5

2

5

2

]0

2

=1

5[ (5−2 x3 )

5

2 ]02

=−10.98033989

∫0

2 −2 x3

2 (5−2 x3 )1

2

3d x

3=−2

3 ∫

0

2

x3

2 (5−2 x3 )

1

2 d x3

Sea

u= x32

d.=(5−2 x3 )1

2 d x3

,ntonces

du=2 x3

d x3∫ d.=.=

−(5−2 x3 )3

2

3

7l integrar por partes tendremos

∫ud.=u.−∫ .du

−2

3 ∫

0

2

x3

2 (5−2 x3 )1

2 d x 3=−2

3 [ x3

2(−(5−2 x3 )3

2

3 )−∫−2 x3 (5−2 x3 )3

2

3 d x3]

0

2

¿−2

3 [− x32 (5−2 x3 )

3

2

3 +

2

3∫ x3 (5−2 x3 )

3

2 d x3]0

2

∫ x3 (5−2 x3)3

2 d x3

Sea u= x3d.=(5−2 x3 )

3

2 d x3



389


,ntonces du=d x3 ∫d.=.=−1

5 (5−2 x3)

5

2

7l integrar por partes tendremos ∫ud.=u.−∫ .du ! es decir!

∫ x3 (5−2 x3)3

2 d x3=−1

5 x3 (5−2 x3 )

5

2−∫−1

5 (5−2 x3 )

5

2 d x3

¿−1

5 x 3 (5−2 x3 )

5

2− 1

35(5−2 x3 )

7

2=(5−2 x3 )5

2 (−1

5 x3−

1

35(5−2 x3))

¿ (5−2 x3 )

5

2

(−1

7 x3−

1

7

)=−( x3+1 ) (5−2 x3 )

5

2

7

∫0

2 −2 x3

2 (5−2 x3 )1

2

3 d x3=

−2

3 [− x3

2 (5−2 x3 )3

2

3 +

2

3 [−( x3+1 ) (5−2 x3 )5

2

7 ]]0

2

¿[ 2 x32 (5−2 x3 )

3

2

9 +

4 ( x3+1 ) (5−2 x3 )3

2 (5−2 x3 )63 ]

0

2

¿[ (5−2 x3 )3

2 ( 2

9 x 3

2+ 4

63( x3+1 ) (5−2 x3 ))]

0

2

=[(5−2 x3)3

2(2

9 x3

2− 8

63 x 3

2+ 4

21( x3 )+

20

63 )]0

2

¿[ (5−2 x3 )

3

2 ( 2

21 x

3

2+ 4

21 x

3+

20

63 )]0

2

=[ (5−2 x3 )

3

2 ( 6

63 x

3

2+12

63 x

3+

20

63 )]0

2

=[ 2 (3 x3

2+6 x3+10) ( 5−2 x

3 )3

2

63 ]0

2

=−

∫0

2

[5 x3 (5−2 x

3 )12

3 ]d x3=

5

3∫0

2

x3 (5−2 x

3)1

2 d x3

Sea u= x3 d.=(5−2 x3 )1

2 d x3



390


,ntonces du=d x3 ∫d.=.=

−(5−2 x3 )3

2

3

7l integrar por partes tendremos ∫ud.=u.−∫ .du ! es decir!

5

3∫0

2

x3 (5−2 x

3 )1

2 d x3=

5

3[− x3 (5−2 x3 )

3

2

3+1

3∫ (5−2 x

3 )3

2 d x3]

0

2

¿5

3 [− x3 (5−2 x3 )3

2

3 +

1

3 (−(5−2 x3 )5

2

5 )]0

2

=[−5 x3 (5−2 x3 )3

2

9 −

(5−2 x3 ) (5−2 x3 )3

2

9 ]0

2

¿[ (5−2 x3 )3

2 (−5

9 x3−

1

9(5−2 x3 ))]

0

2

=[ (5−2 x3 )3

2 (−1

9 (3 x3+5))]

0

2

¿[−(3 x3+5) (5−2 x3 )3

2

9 ]0

2

=4.989077715

∫0

2

(3 x3

2+1.33333 x3−31)d x3= [ x3

3+0.666665 x3

2−31 x3 ]02

=−51.33334

∴d1=

1

EI [3215−19−10.98033989−2.46995+4.989077715−51.33334]=−76.66121884

C%lculo del coeficiente de fle2i&ilidad f 11

(− x1 )2 d x1+∫0

6

(12

x 2−2

)2

d x2+¿∫0

2

( x3−3 )2 d x3

∫0

2

¿

¿f 11=¿



391


:esol*iendo las integrales por separado

∫0

2

(− x1 )

2d x

1=[ x1

3

3 ]02

=8

3

( x22

4 −2 x2+4)d x2=¿ [ x 2

3

12− x2

2+4 x2]0

2

=6

( 1

2 x 2−2)

2

d x2=¿∫0

6

¿

∫0

6

¿

∫0

2

( x3−3 )2

d x 3=∫0

2

( x3

2

−6 x3+9) d x3=

[ x3

3

3 −3 x3

2

+9 x3

]02

=26

3

∴ f 11= 1

EI [8

3+6+

26

3 ]=52

3

m) C%lculo de la fuera correcti*a o acción redundante.

Sustitu#endo los resultados en la ecuación (2 ) # resol*iendo se o&tiene

−76.66121884+52

3 R AX =0−−−(3 )⇒ R AX =

76.66121884

52

3

=4.422762625

,l signo positi*o indica +ue R AX act"a en el mismo sentido al +ue se muestra

en la figura de I/ II.

∴ R AX =4.422762625-

n) Calculo de las reacciones restantes del marco original.

Con el *alor o&tenido! podemos calcular las dem%s fueras reacti*as en lossoportes aplicando las ecuaciones de e+uili&rio.



392


+∑ MC i01=0⇒ R AY (4 )−4.422762625 (2 )− (4 ) (2 )

2 ( 1

3(2 ))−3 (4 )( 1

2(4 ))=0

R AY =35.51219192

4 ⇒∴ R AY =8.878047979 -

+→∑ FX =0⇒[ (4 ) (2)2 ]−2−1.236067977+4.422762625− R EX =0

∴ R EX =5.186694648 -

+↑∑ FY =0⇒8.878047979−(3 ) (6 )+ R EY =0⇒∴ R EY =9.121952021-

+∑ MC der=0⇒ (3 ) (2 )

(

1

2

(2 )

)+1.236067977 (2−1.127322004 )

+(5.186694648 ) (2 )−9.121952021 (2 )+ M E=0⇒∴ M E=0.7918254209 - , m

o) ,cuaciones de momento! cortante # normal de la estructura real

iem&ro 7-8

0 & x1 &2 m



393


+∑ Mcorte=0

− M 1−[ ( x1 ) (2 x1 )2 ]( 1

3 x1)−4.422762625 ( x1 )=0

M 1=− x1

3

3 −4.422762625 x1

x1=2 m 4 M 1=−11.51219- 5 m

6 1=

d M 1

d x1

=− x1

2−4.422762625 +↑∑ F+=0⇒ 7 1=−8.878047979

iem&ro 8-3

0 & x2 &6 m

+∑ Mcorte=0

− M 2

+8.878047979

( x

2 )−4.422762625 (2 )−

[ ( 4 ) (2 )

2

] (1

3(2 )

)−3

( x

2 )(1

2 x

2

)=0

M 2=−3

2 x2

2+8.878047979 x2−11.51219192



394


x2=0, M 2=−11.51219- 5m x2=4 m4 M

2=0 → E momento e(nuo en" "rticu"ci*n

x2=6 m 4 M 2=−12.2439- 5 m

6 2=d M 2d x2

=−3 x2+8.878047979

+→∑ FX =0⇒(4 ) (2 )

2 +4.422762625+ 7 2=0⇒ 7 2=−8.422762625

iem&ro ,-3

0 & x3 &2 m

+∑ Mcorte=0⇒

M 3=5.186694648

x3+0.7918254209

+(√ 5

−√ 5

−2

x3 )

( x3−

5√ 5

3 −

(√ 5−2 x3) ( x3+5 )3

√ 5−√ 5−2 x3)⇒ M 3=

(5−2 x3 )3

2

3 +7.422762625 x3−2.934954541

x3=2 m4 M 3=12.2439 - 5 m

6 3=d M

3

d x3=7.422762625−(5−2 x3 )

1

2

+↑∑ FY =0⇒ 7 3=−9.121952021

;.- Calcular las fueras reacti*as en los soportes # determinar las ecuaciones delmomento flector! la fuera cortante # la fuera normal de la siguiente *iga



Carga distribuida irregularmente

395


isost%tica sometida a las cargas indicadas. O&sr*ese +ue en el tramo )− E ! la

estructura soporta una carga distri&uida irregularmente en la +ue se conocen seispuntos.

SOLUCIÓN.



396


No se pueden determinar los *alores de las reacciones en los apo#os sin antescalcular las cargas concentradas e+ui*alentes # sus puntos de aplicación de todaslas presiones6 adem%s! las cargas puntuales inclinadas de&en descomponerse ensus componentes rectangulares para el plano en el +ue se desea esta&lecer ele+uili&rio. ara la carga o presión distri&uida irregularmente de&e construirse

primero una función +ue a0uste a los puntos conocidos6 como se tienen seis datos!se propone un polinomio de grado cinco (n datos -1) de la siguiente forma4

+=" x5+! x

4+cx3+d x

2+ex+ f −−−−−( I )

3e&ido a +ue en todos los cortes +ue se $ar%n en la estructura siempre se tomar%

como origen al punto A ! los puntos conocidos son

en x=4 m4 +=0 ; e n x=5 m4 +=2 -

m

; e n x=6 m4 +=3 - /m

en x=7 m 4 +=1- /m; e n x=8 m4 +=2 - /m; e n x=9m 4 +=0

Sustitu#endo los *alores anteriores respecti*amente en la ecuación ( I ) !

formulamos

el siguiente sistema de ecuaciones4

0=" (4 )5

+! (4 )4

+c ( 4)3

+d (4 )2

+e ( 4 )+ f

0=1024 "+256 !+64 c+16 d+4 e+ f −−−−−(1 )

2=" (5 )5+! (5 )4+c (5 )3+d (5 )2+e (5 )+ f

2=3125"+625!+125c+25d+5 e+ f −−−−−(2)

3=" (6 )5+! (6 )4+c (6 )3+d (6 )2+e (6 )+f

3=7776 "+1296!+216c+36d+6e+ f −−−−−(3 )

1=" (7 )5+! (7 )4+c (7 )3+d (7 )2+e (7 )+ f



397


1=16807 "+2401!+343 c+49 d+7 e+ f −−−−−( 4 )

2="(8 )5+! (8 )4+c (8 )3+d (8 )2+e (8 )+ f

2=32768"+4096!+512c+64d+8e+ f −−−−−(5 )

0=" (9)5+! (9 )4+c (9)3+d (9)2+e (9)+f

0=59049 "+6561!+729 c+81d+9 e+ f −−−−−(6 )

e2presando el sistema en forma matricial se tiene

( 1024 256 64 16 4 1

3125 625 125 25 5 1

7776 1296 216 36 6 1

16807 2401 343 49 7 1

32768 4096 512 64 8 1

59049 6561 729 81 9 1)("

!

c

de

f )=(0

2

3

1

2

0)despe0ando las incógnitas # simplificando

("

!c

de

f )=

( 1024 256 64 16 4 1

3125 625 125 25 5 1

7776 1296 216 36 6 1

16807 2401 343 49 7 1

32768 4096 512 64 8 1

59049 6561 729 81 9 1)−1

∗

(0

23

1

2

0)=

(−0.166667

5.33333−66.8333

409.167

−1221.5

1422 )por ende! la función polinomial +ue descri&e la carga distri&uida irregularmente es

+=−0.166667 x5+5.33333 x

4−66.8333 x3+409.167 x

2−1221.5 x+1422

7n%lisis de las presiones.

resión triangular.- Carga concentrada e+ui*alente.

A1=(3 - /m ) (3 m)

2 =4.5-

- unto de aplicación.



398


´ x1=2

3 (3 m )=2 m " " derec8"de B

resión distri&uida irregularmente.- Carga concentrada e+ui*alente.

A2=∫ dA=∫ L1

L2

+dx

A2=∫4

9

(−0.166667 x5+5.33333 x

4−66.8333 x3+409.167 x

2−1221.5 x+1422 ) dx

A2=[−0.166667

6 x

6+5.33333

5 x

5−66.8333

4 x

4+409.167

3 x

3−1221.5

2 x

2+1422 x]4

9

A2=−0.02777783 (96−46 )+1.066666 (95−4

5 )−16.708325 (94−44 )

+136.389 (93−43 )−610.75 (92−42)+1422 (9−4 ) / 8.74 -


´ x2=∫~ x dA

∫ dA=∫ L

1

L2

x+dx

∫ L

1

L2

+dx

´ x2=

∫4

9

( x ) (−0.166667 x5+5.33333 x

4−66.8333 x3+409.167 x

2−1221.5 x+1422 ) dx

∫4

9

(−0.166667 x5+5.33333 x

4−66.8333 x3+409.167 x

2−1221.5 x+1422 ) dx

resol*iendo el numerador

∫4

9

( x ) (−0.166667 x5+5.33333 x

4−66.8333 x3+409.167 x

2−1221.5 x+1422 ) dx

¿∫4

9

(−0.166667 x6+5.33333 x

5−66.8333 x4+409.167 x

3−1221.5 x2+1422 x)dx

¿[−0.166667

7 x

7+5.33333

6 x

6−66.8333

5 x

5+409.167

4 x

4−1221.5

3 x

3+1422

2 x

2]49

¿−0.02380957 (97−47 )+0.88888833 (96−4

6 )−13.36666 (95−45 )

+102.29175 (94−44 )−407.1666667 (93−4

3 )+711 (92−42 ) /58.68



399


el denominador #a fue resuelto.

∴ ´ x2=58.68

8.74 / 6.714 m""derec8"de A

C%lculo de las componentes rectangulares.

- ara F 1=7-

81=√ 32+4

2=5

sin $1=4

5 ; cos$1=

3

5

sin$1=

F 1Y

7- ;cos$

1=

F 1 X

7-

F 1 Y =7 - ( sin$1 )=7- ( 4

5 )=5.6 -

F 1 X =7- (cos$

1 )=7- ( 35 )=4.2-

- ara F 2=5-

82=√ 12+12=√ 2

sin $2=cos$2= 1

√ 2

sin$2=

F 2Y

5- ;cos$

2=

F 2 X

5-



400


F 2 Y =5 - (sin $

2)=5 - ( 1

√ 2 )=3.53553-

F 2 X =5 - (cos $2 )=5 - ( 1

√ 2 )=3.53553-

3iagrama de cargas de la estructura en el +ue se identifican las reacciones en losapo#os.




401


1



402


+→∑ FX =0⇒4.2− R EX −3.53553=0⇒∴ R EX =0.66447 -

+∑ MC =0⇒−5.6 (3 )+8.74 (3.714 )− R EY (6 )+3.53553 (8 )=0⇒∴ R EY =7.3241 -

+↑∑ FY =0⇒−5.6−4.5+ RCY −8.74+7.3241−3.53553=0⇒∴ R CY =15.0514 -

La fuera reacti*a *ertical del soporte en C tam&in se puede o&tener

planteando la siguiente ecuación4

+∑ ME=0⇒3.53553 (2 )−8.74 (2.286 )−4.5 (6 )+ R CY (6 )−5.6 (9 )=0

∴ RCY =15.0514 -

3iagrama de cuerpo li&re en el +ue se *isualian los *alores de las reacciones enlos apo#os.



en ! es la coordenada "ue se usará para obtener las ecuaciones de los elementos mecánicos # es $álida para

403




404


/unciones de momento! cortante # normal de la *iga.

0 & x &1m

+∑ Mcorte=0⇒−5.6 x− M 1=0⇒ M 1=−5.6 x

x=1 m; M 1=−5.6 - 5 m

+↑∑ FY =0⇒−5.6−6 1=0⇒6

1=−5.6

+→∑ FX =0⇒4.2+ 7 1=0⇒ 7 1=−4.2

usando tri%ngulos seme0antes4

7n%lisis de la presión triangular del corte.

- Carga concentrada e+ui*alente.

1 m & x &3 m

3 - /m

3 m =

21

x−1 m⇒2

1= x−1



405


A1 C =( x−1 ) ( x−1 )

2 =

( x−1 )2

2


´ x I =1

3 ( x−1 )" "i01uierd" de corte

+∑ Mcorte=0⇒−5.6 x−( x−1 )2

2 [1

3( x−1 )]− M

2=0

M 2=−5.6 x−

1

6( x−1 )3=−5.6 x−

1

6 [ ( x )3−3 ( x )2 (1 )+3 (1)2 ( x )−(1 )3 ]

¿−5.6 x−16 [ x3−3 x2+3 x−1 ]=−1

6 x3+ 1

2 x2−6.1 x+1

6

x=1 m; M 2=−5.6 - 5 m ; x=3 m ; M 2=−18.1333 - 5 m

+↑∑ FY =0⇒−5.6−( x−1 )2

2−6

2=0

6 2=−5.6−

( x )2−2 ( x ) (1 )+(1 )2

2 =−5.6−

1

2 x

2+ x−1

2=−1

2 x

2+ x−6.1

o tam&in

6 2=

d M 2

dx =

d (−1

6 x

3+1

2 x

2−6.1 x+1

6 )dx

=−1

2 x

2+ x−6.1

+→∑ FX =0⇒ 7 2=−4.2

3 m& x& 4 m



406


+∑ Mcorte=0⇒−5.6 x+15.0514 ( x−3 )− ( x−1)2

2 [ 13

( x−1 )]− M 3=0

M 3=−5.6 x+15.0514 x−45.1542−1

6 x

3+1

2 x

2− x

2+

1

6

M 3=−1

6 x

3+1

2 x

2+8.9514 x−44.9875

x=3 m; M 3=−18.1333 - 5 m ; x=4 m; M 3=−11.8486- 5 m

+↑∑ FY =0⇒−5.6−( x−1)2

2+15.0514−6

3=0⇒6

3=−1

2 x

2+ x+8.9514

o tam&in

6 3=d M 3

dx =d

(−1

6 x

3

+

1

2 x

2

+8.9514 x−44.9875

)dx =−1

2 x

2+ x+8.9514

+→∑ FX =0⇒ 7 3=−4.2

4 m & x & 9 m



c$

c$


407


7n%lisis de la presión distri&uida irregularmente del corte.

- Carga concentrada e+ui*alente4

A2 C =∫

4

x

(−0.166667 x5+5.33333 x

4−66.8333 x3+409.167 x

2−1221.5 x+1422 ) dx



408


¿−0.027778 x6+1.06667 x

5−16.7083 x4+136.389 x

3−610.75 x2+1422 x−1346.05

´ x II =∫4

x

( x ) (−0.166667 x5+5.33333 x

4−66.8333 x3+409.167 x

2−1221.5 x+1422 ) dx

∫4

x

(−0.166667 x5+5.33333 x

4−66.8333 x3+409.167 x

2−1221.5 x+1422 ) dx

resol*iendo el numerador4

∫4

x

( x ) (−0.166667 x5+5.33333 x

4−66.8333 x3+409.167 x

2−1221.5 x+1422 ) dx

∫4

x

(−0.166667 x6

+5.33333 x5

−66.8333 x4

+409.167 x3

−1221.5 x2

+1422 x ) dx

−0.02381 x7+0.888888 x

6−13.3667 x5+102.292 x

4−407.167 x3+711 x

2−1067.35

el denominador #a fue resuelto.

´ x II =−0.02381 x

7+0.888888 x6−13.3667 x

5+102.292 x4−407.167 x

3+711 x2−1067.35

−0.027778 x6+1.06667 x

5−16.7083 x4+136.389 x

3−610.75 x2+1422 x−1346.05

+∑ Mcort e=0

−5.6 x−4.5 ( x−3 )+15.0514 ( x−3 )−(−0.027778 x6+1.06667 x

5

−16.7083 x4+136.389 x

3−610.75 x2+1422 x−1346.05 )( x− −0.02381 x

7

−0.027778 x6

+0.888888 x6−13.3667 x

5+102.292 x4−407.167 x

3+711 x2−1067.35

+1.06667 x

5

−16.7083 x

4

+136.389 x

3

−610.75 x

2

+1422 x−1346.05

)− M 4=0

M 4=0.00396826 x7−0.17777766 x

6+3.34166499 x5−34.09724999 x

4

+203.58333333 x3−711 x

2+1351.00417866 x−1099.00628838



409


x=4 m4 M 4=−11.8486- 5 m ; x=9 m 4 M 4=−7.07 - 5 m

6 4=d M 4

dx =0.02777783 x

6−1.0666599 x5+16.708325 x

4−136.389 x3+610.75 x

2

−1422+1351.00417866

+→∑ FX =0

7 4=−4.2

9 m & x & 11m

+∑ Mcorte=0

−5.6 x−4.5 ( x−3 )+15.0514 ( x−3 )−8.74 ( x−6.714 )+7.3241 ( x−9 )− M 5=0

−5.6 x−4.5 x+13.5+15.0514 x−45.1542−8.74 x+58.68036+7.3241 x

−65.9169− M 5=0⇒ M

5=3.5355 x−38.89074



410


x=9 m 4 M 5=−7.071 ; x=11m4 M 5=0

+↑∑ FY =0⇒−5.6−4.5+15.0514−8.74+7.3241−6 5=0⇒6

5=3.5355

o tam&in

6 5=d M 5

dx =

d (3.5355 x−38.89074 )dx

=3.5355

+→∑ FX =0⇒4.2−0.66447+ 7 5=0⇒ 7

5=−3.53553




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problemas de análisis estructural