Problemario de Matemáticas II, final (Reparado)

I N D I C E

Introducción…………………………………………………………………………………………………………….. 3

Unidad Temática 1. Cálculo Integral para funciones de una variable.

Capítulo 1. Integral definida………………………………………………………………………….......... 5

1.1 Antiderivada………………………………………………………………………………………………….. 61.2 Cambio de variable……………………………………………………………………………………….. 14

1.2.1 Integrales de la forma ∫undu

1.3 Integrales en donde intervienen funciones trascendentales………………………….. 14

1.3.1 Integrales de la forma ∫ duu

1.3.2 Integrales de la forma ∫ eudu

1.3.3 Integrales de la forma ∫ audu

1.3.4 Integrales de funciones trigonométricas1.3.5 Integrales de funciones hiperbólicas1.3.6 Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas

Inversas e hiperbólicas inversas1.4 Notación sigma……………………………………………………………………………………………… 391.5 Integral definida……………………………………………………………………………………………. 421.6 Teorema fundamental del cálculo………………………………………………………………… 46

Capítulo 2. Métodos de integración………………………………………………………………………. 53

2.1 Integración por partes…………………………………………………………………………………… 542.2 Integración de potencias de funciones trigonométricas………………………………… 622.3 Sustitución trigonométrica……………………………………………………………………………. 722.4 Integración de funciones racionales.................................................................. 80

Capítulo 3. Aplicaciones de la integral definida…………………………………………………….. 94

3.1 Área entre dos curvas……………………………………………………………………………………. 943.2 Volumen de un sólido de revolución……………………………………………………………… 100

3.2.1 Método del Disco y de Arandelas3.2.2 Método de la Corteza cilíndrica

3.3 Longitud de arco…………………………………………………………………………………………… 1073.4 Trabajo…………………………………………………………………………………………………………. 110

1

Unidad temática 2: Cálculo integral para funciones de dos o más variables.

Capítulo 4. Integración múltiple……………………………………………………………………………. 116

4.1 Integrales iteradas……………………………………………………………………………………….. 1164.1.1 Introducción 4.1.2 Concepto

4.2 Integrales dobles…………………………………………………………………………………………. 1204.3 Integrales triples…………………………………………………………………………………………. 127

AnexoFormulario……………………………………………………………………………………………………………… 133Rúbricas…………………………………………………………………………………………………………………. 138

2

I N T R O D U C C I Ó N

El nuevo modelo educativo de la Universidad Autónoma de Nuevo León (UANL) está centrado en “La educación basada en competencias” y “La educación centrada en el aprendizaje”.

Entendiendo por Competencias al conjunto de habilidades, destrezas, conocimientos, actitudes y valores que logren la formación integral de los estudiantes, en donde, ahora el estudiante es el principal actor en el proceso educativo y el docente toma el rol de facilitador o guiador dentro del mismo.

En cuanto a la educación centrada en el aprendizaje se ve desde un modelo Constructivista en donde el aprendizaje se construye, no se transfiere. Para este logro es necesario implementar actividades que logren despertar el interés de los estudiantes y desarrollar verdaderos aprendizajes significativos, mostrando el uso que se le va a dar al conocimiento.

En la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (FIME) de la UANL a través de la Subdirección Académica se diseñaron los programas analíticos para cada unidad de aprendizaje bajo este nuevo modelo, en donde se determinan las competencias generales, específicas y particulares a desarrollar en los estudiantes.

El Manual de Matemáticas II basado en competencias se articula principalmente con los ejes estructuradores del Modelo Educativo de la UANL, mismos que promueven el aprendizaje autónomo para la construcción de competencias y el impulso de nuevos esquemas de pensamiento que facilitan aprender a aprender.

El presente manual contiene una serie de actividades y ejercicios que permiten la adquisición de aprendizajes sobre Cálculo integral dentro de un marco que promueve el desarrollo de las competencias generales, específicas y particulares que establece el nuevo modelo educativo, dentro de cada uno de los programas analíticos de las unidades de aprendizaje.

Los ejercicios propuestos cuentan con su solución correspondiente para que de alguna manera los estudiantes puedan autoregularse y corregir los errores a tiempo.

Además, este manual contiene diferentes tipos de actividades que conllevan a cumplir con cada una de las fases del enfoque pedagógico-didáctico por competencias, que son:

Primera fase: Modelo de dominio

Activación de conocimientos previos o introductorios al tema, lo cual permite a los estudiantes hacer una “Reflexión sobre la acción”, es decir, lo que se debe de saber para comprender el nuevo contenido.

3

Segunda fase: Modelo de interacción

Desarrollo de habilidades mediante una práctica guiada, lo cual le permite a los estudiantes hacer una “Reflexión en la acción”, es decir, aplicar actividades de autorregulación, para saber si avanza o se regresa.

Tercera fase: Modelo de usuario

Integrar los conocimientos hacia el uso, ya sea cotidiano o profesional, que se le va a dar al conocimiento obtenido, de manera que el estudiante pueda “Reflexionar para la acción”, es decir, crear diferentes situaciones para uso autónomo más allá del aula.

Es de suma importancia, que al evaluar las actividades, en algunas, tratemos de involucrar a los estudiantes, ya que, de esta manera ellos se dan cuenta de los errores que cometen y es posible que a partir de esto también aprendan, además, de que reduce un poco el trabajo del docente.

Algunos tipos de evaluación son:Heteroevaluación: es la evaluación hecha solamente por el docente.Coevaluación: es la evaluación hecha entre estudiantes del grupo.Autoevaluación: Es la evaluación hecha por el propio estudiante.

Estamos seguros que este manual redundará en la formación de un estudiante analítico, crítico, reflexivo y creativo, y le ayudará a desempeñarse exitosamente en su vida profesional, social y laboral.

4

Unidad Temática 1. Cálculo Integral para funciones de una variable.

Capítulo 1. Integral definida

Competencia particular 1:Aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo mediante el uso de las reglas básicas de integración y el cambio de variable para evaluar integrales definidas.

Elemento de competencia 1:Definir el concepto de antiderivada a través de su relación con la derivada para resolver integrales indefinidas.

Conocimiento previo: Derivadas de funciones algebraicas y relación entre derivada y diferencial.

Actividad No. 1 Remueve tus neuronas Individual – extra aulaPropósito: Aplicar detalladamente las reglas de derivación y expresar el resultado en diferenciales, como activación de conocimiento previo.Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la solución correcta de los ejerciciosTiempo estimado para la actividad: 20 minutos

Descripción de la actividad: Aplicar las reglas de derivación dadas (paso por paso), en cada uno de los ejercicios propuestos y expresar el resultado en diferenciales como se muestra en el ejemplo.

Reglas de derivación1¿D¿x (c )=0 en donde: c = constante

2¿D¿x ( x )=1

3¿D ¿x [ f (x )±g(x )]=D x [ f (x)]±D x [g( x)]4 ¿D¿x [UV ]= U D x [V ]+V D x [U ] en donde: U Y V son funciones de x

5¿D ¿x [UV ]=V D x [U ]−U D x [V ]V 2

6¿D ¿x [U n ]=nU n−1D x (U )

Ejemplo: Calcular el diferencial de la siguiente función: y= (2x+3 ) ( x−1 )Primero calculamos su derivadadydx

= (2x+3)D x(x-1)+(x-1)D x(2x+3)

dydx

= (2x+3) (1)+(x-1)(2)

5

dydx

= 2x+3+2x-2

dydx

= 4x+1

dy=(4 x+1 )dxRespuesta: dy=(4 x+1 )dx

Ejercicio propuesto: Calcular el diferencial en cada una de las siguientes funciones:

1)y=3 x3−52x2+7 2)y=√x2+4 3)y=( x2+3 ) (2x−1)

4)y=5 x+13 x−2

5¿ y= 3

(2x+1)2

1.1 Antiderivada

es una antiderivada de si .

Si es una antiderivada de , entonces se le llama la antiderivada más

general de , siendo C cualquier constante.Si la antiderivada de f(x) es F(x) + C, esto se representa como:

∫ f ( x )dx=F ( x )+CEn donde:∫ Se llama antiderivada, integral indefinida o primitiva.f(x) Se llama integrandoC Se llama constante de integracióndx Se llama diferencial de x e indica cuál es la variable de integración

Reglas básicas de integración

1. ∫ dx=x+C C es una constante

2. ∫Kdx=Kx+C K es una constante

3. ∫K f ( x )dx=K∫ f ( x )dx

4. ∫ [ f ( x )±g (x ) ]dx=∫ f (x )dx ±∫ g ( x )dx

5. ∫ xndx= xn+1

n+1+C ,n≠−1

Nota: Los resultados se deben expresar sin exponentes negativos y sin fracciones en el denominador.

6

Ejemplo 1: Encuentra la antiderivada más general para la función: f ( x )= 4√x5

f(x) = 4√ x5=x54

F(x) = x

54

+1

54

+1+C=

x94

94

+C=49x

94 +C

Ejemplo 2: A continuación se resolverán integrales indefinidas usando o aplicando solamente las reglas básicas de integración.

a) ∫ dw=w+C Aplicando la regla No. 1

b) ∫5dy=5 y+C Aplicando la regla No. 2

c) ∫ x3dx= x3+1

3+1+C= 1

4x4+C Aplicando la regla No. 5

d) ∫ dxx3 =∫ x−3dx= x−3+1

−3+1+C= x−2

−2+C= −1

2 x2 +C Aplicando la regla No. 5

e) ∫ 3√x2dx=∫ x

2/3dx=

x23+1

23+1

+C=x5 /3

53

+C=35x

5/3+C Aplicando la regla No.5

f) ∫5 x4dx=5∫ x4dx Aplicando la regla No. 3

¿5( x4+1

4+1+C1)=5( x5

5 )+5C1 Aplicando la regla No. 5

¿ x5+C Haciendo 5C1 = C

g) ∫ dx4 √x

dx=14∫ x−1/2dx Aplicando la regla No. 3

¿14 ( x

−12

+1

−12

+1 )+C= 14 ( x

1 /2

12 )+C Aplicando la regla No. 5

¿14

(2 x1 /2 )+C=12x1 /2+C=1

2√x+C Simplificando

h) ∫ ( 3x2+5 x−2 )dx=∫3 x2dx+∫5 xdx−∫2dx Aplicando la regla No.4 ¿3∫ x2dx+5∫ xdx−2∫ dx Aplicando la regla No. 3

7

¿3[( x2+1

2+1 )+C1]+5 [( x1+1

1+1 )+C2]−2x+C3 Aplicando las

reglas No. 5 y No.2 y como 3C1 + 5C2 + C3 = C, resulta:

¿3( x3

3 )+5( x2

2 )−2 x+C Simplificando

¿ x3+ 52x2−2x+C

Observa que en los siguientes ejemplos primero se realiza la operación algebraica para simplificar el integrando y después se aplican las reglas básicas de integración.

i)∫ (2 y−1 ) (3 y+2 )dy=∫ (6 y2+ y−2 )dy Multiplicando los binomios ¿∫6 y2dy+∫ ydy−∫2dy

¿6∫ y2dy+∫ ydy−2∫ dy

¿6( y2+1

2+1 )+ y1+1

1+1−2 y+C

¿6( y3

3 )+ y2

2−2 y+C

¿2 y3+ 12y2−2 y+C

j) ∫ (x2−3 )2dx=∫ (x4−6x2+9 )dx Desarrollando el binomio al cuadrado

¿∫ x4dx−∫6 x2dx+∫ 9dx

¿∫ x4dx−6∫ x2dx+9∫ dx

¿ x4+1

4+1−6( x2+1

2+1 )+9 x+C

¿ x5

5−6 ( x3

3 )+9x+C

¿15x5−2 x3+9x+C

k) ∫( x2−25x−5 )dx=∫ [ ( x+5 )(x−5)

(x−5) ] dx=∫ ( x+5 )dx Simplificando la fracción

¿∫ x dx+∫5dx=∫ xdx+5∫dx

¿ x1+1

1+1+5 x+C=1

2x2+5 x+C

l) ∫( 2 z+4√z )dz=∫ z

−12 (2 z+4 )dz=∫(2 z1 /2+4 z−1/2)dz Simplificando la fracción

¿∫2 z1 /2dz+∫4 z−1/2dz

¿2∫ z1 /2dz+4∫ z−1/2dz

8

¿2( z12+1

12+1 )+4( z

−12

+1

−12

+1 )+C ¿2( z3 /2

3/2 )+4( z1/2

1/2 )+C ¿2( 2

3z3 /2)+4 (2 z1/2 )+C

¿43z3/2+8 z1 /2+C

Ejemplo 3: Crecimiento de población.

La tasa de crecimiento dP /dt de una población de bacterias es proporcional a la raíz cuadrada de t, donde P es el tamaño de la población y t es el tiempo en días (0≤ t ≤10). El tamaño inicial de la población es de 250 bacterias. Después de 4 días la población ha crecido hasta 400 bacterias. Estimar el tamaño de la población después de 9 días.

Solución:

Primero se establece la ecuación que representa la tasa de crecimiento de la población de bacterias, esto es:

dPdt

=K √ tAnalizando las condiciones iniciales, resulta que:Para t=0 ; P=250Para t=4 ; P=400Para t=9 ; P=?

Despejando dP de la tasa de crecimiento e integrando ambos lados de la ecuación

∫ dP=∫K √ t dt ; resulta:

P ( t )=23K t

32 +C

Se consideran las condiciones iniciales para encontrar los valores de las constantes (K y C), es decir:

a) Si para t=0 ; P=250 y sustituyendo en la ecuación, resulta que C = 250, entonces la ecuación toma la forma de:

P ( t )=23K t3 /2+250

9

b) Si para t=4 ; P=400 y sustituyendo en la ecuación anterior, resulta que:

K=2258

Sustituyendo los valores de las constantes encontrados, la ecuación que representa el crecimiento de la población de bacterias es:

P ( t )=754t3 /2+ 250

c) Para t = 9

P (9 )=754

(9 )3/2+250=30254

≈756bacterias

Ejemplo 4: Movimiento vertical.

Una pelota de beisbol es lanzada hacia arriba desde una altura de un metro con una velocidad inicial de 10 metros por segundo. Determinar la altura máxima alcanzada.

Solución:

Por definición: a=dVdt

y V=dSdt

Condiciones iniciales:

Para t = 0; S = 1; V(0) = 10 m/sSmax = ?

Utilizando – 9.8m /s2 como la aceleración de la gravedad, se tiene que:

dVdt

=−9.8 y despejando dV resulta

dV=−9.8dt , integrando ambos lados de la ecuación

V=−9.8 t+C

Considerando las condiciones iniciales para t = 0; V = 10, entonces C = 10 y la ecuación de velocidad toma la forma de:

V=−9.8 t+10

Cuando la pelota alcanza su altura máxima, la velocidad es cero, por lo tanto el tiempo requerido para alcanzar dicha altura es t = 1.02 s

10

Como V=dSdt

=−9.8 t+10, despejando dS e integrando ambos lados de la ecuación,

resulta:

∫ dS=∫(−9.8 t+10)dt

S=−4.9 t 2+10 t+C

Considerando las condiciones iniciales para t = 0; S = 1, entonces C = 1 y la función de posición es:

S=−4.9 t 2+10 t+1

Como para alcanzar su altura máxima requiere un tiempo de 1.02 segundos, entonces:

Smáx=−4.9(1.02)2+10 (1.02 )+1=−5.1+10.2+1=6.1metros

Ejercicio 1.1

I. Encuentra la antiderivada más general de cada función, aplicando paso por paso las reglas arriba mencionadas y expresar el resultado sin exponentes negativos y sin fracciones en el denominador.

1) f ( x )=10 x5+2 2) S ( t )=t 2− t2

+√ t

3) f (r )=5 r2+ 1

r 3−4 4) f ( x )=x2+ 3

√x

5) G (S )= 1

S2−2√S+1 6) f (θ )=θ1 /3+14θ5/2+ 1

θ2

II. Resuelva cada una de las siguientes antiderivadas y expresar el resultado sin exponentes negativos y sin fracciones en el denominador:

7) ∫ dz 8)∫ dx3

9) ∫ 4 x √x dx 10) ∫ (2 x+1 )dx

11) ∫(2 3√x¿−6√ x)dx ¿ 12) ∫ 5

x3dx

11

13) ∫(w2+4w−3w4 )dw 14) ∫( x2−x−12

x+3 )dx15) ∫ ( 4 y−1 ) (3 y+4 )dy 16) ∫ 4√z3 (3 z−4 )dz

17) ∫(2 x+3)2dx 18) ∫(x−1)3dx

III. Resuelva los siguientes problemas:

19) Crecimiento de árboles.

Un vivero suele vender cierto arbusto después de 5 años de crecimiento y cuidado. La velocidad de crecimiento durante esos 5 años, está dada por: dh/dt = 1.5t + 6, donde t es el tiempo en años y h es la altura en centímetros. Las plantas de semillero miden 13 cm de altura cuando se plantan (t=0)a) Determinar la altura después de t años.b) ¿Qué altura tienen los arbustos cuando se venden?

20) Caída libre.Sobre la luna, la aceleración de la gravedad es de 1.6m /s2. En la luna se deja caer un objeto desde un peñasco y golpea la superficie de la misma 10 segundos después. ¿Desde qué altura se dejó caer el objeto?, ¿Cuál era su velocidad en el momento del impacto?

Solución al ejercicio 1.1

1) 53x6+2x+C 2)

13t 3−1

4t2+ 2

3t 3 /2+C

3) 53r3− 1

2 r2−4 r+C 4)

13x3+6 x1/2+C

5) −1S

−43S3/2+S+C 6)

34θ4 /3+4θ7/2−1

θ+C

7) z+C 8) 13x+C

9) 85x5 /2+C 10) x2+ x+C

11) 32x4 /3−4 x3 /2+C 12)

−5

2x2+C

12

13) −1w

− 2

w2+ 1

w3+C 14)

12x2−4 x+C

15)4 y3+ 132

y2−4 y+C 16) 1211

z11/4−167

z7/4+C

17) 43x3+6 x2+9 x+C 18)

14x4−x3+ 3

2x2−x+C

19) h (t )=0.75 t 2+6 t+13 20) h=80m;V=−16m /s h (5 )=61.75cm

Actividad No. 2 Encuentra el error Individual – extra aulaPropósito: Aplicar correctamente las reglas básicas para resolver integrales indefinidas.Criterio de evaluación: Se evaluará el listado que contenga los errores presentados en la solución de cada integral indefinida, así como su justificación para corregirlos.Tiempo estimado para la actividad: 15 minutos

Descripción de la actividad: I. En esta actividad se te presentan 3 integrales indefinidas resueltas que presentan errores en su solución, debes encontrar dichos errores y describir cómo se pueden corregir.

1)∫ (2+3 x )dx=2∫ 3 xdx=6∫ xdx=6( x2

2 )+C=3 x2+C

2) ∫ x2

3dx=1

3∫ x2dx=1

3 ( x3

3 )+C=16x3+C

3) ∫(3 x2− x4−1)dx=∫3 x2dx−∫ x

4dx+∫ dx=3∫ x2d x−4∫ xdx+∫dx

¿3( x3

3 )−4( x2

2 )+x+C=x3+2 x2+x+C

II. Retroalimentación

Actividad No. 3 Paso a paso Individual – extra aulaPropósito: Aplicar correctamente las reglas básicas para resolver integrales indefinidas.Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la identificación correcta de la o las reglas básicas de integración aplicada en cada pasoTiempo estimado para la actividad: 10 minutos

13

Descripción de la actividad:

I. En esta actividad se te presentan integrales indefinidas resueltas en donde debes identificar la o las reglas básicas aplicadas en cada paso y escribirla al lado derecho.

Elemento de competencia 2:Aplicar el proceso de cambio de variable mediante la elección correcta de la sustitución en la solución de integrales indefinidas.

Conocimiento previo: Derivadas de funciones logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, trigonométricas inversas, hiperbólicas, hiperbólicas inversas, y la aplicación de las propiedades de los logaritmos y de las identidades trigonométricas.

Actividad No. 4 A la deriva Individual – extra aulaPropósito: Aplicar las derivadas de funciones trascendentalesCriterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga los procedimientos y solución correcta a cada ejercicio propuesto.Tiempo estimado para la actividad: 1 hora

Descripción de la actividad: Deriva y simplifica cada una de las siguientes funciones, si es necesario aplica las propiedades de los logaritmos y las identidades trigonométricas.

1) y=ln x2 2) y=ex2

3) y=ln(cos 4 x )

14

∫ ( 6 x2−4 x+1 )dx

∫6 x2dx−∫ 4 xdx+∫ dx _________________________________

6∫ x2dx−4∫ xdx+∫dx _________________________________

6( x2+1

2+1 )−4 ( x1+1

1+1 )+x+C _________________________________

6( x3

3 )−4 ( x2

2 )+x+C

2 x3−2x2+x+C

II. Retroalimentación

4) y=Csc (5 x) 5) y=cos( x3 ) 6) y=Sec (ex )

7) y=2SenθCosθ 8) y=cos (2 x)Sen(2 x) 9) y=Tanx−x

10) y=Arc Sen (x) 11) y=Arc tan (2x ) 12) y=Senh(2x+1) 13) y=cosh−1(Senx ) 14) y=8x2

15) y=arccos(3 x)

1.2 Cambio de variable

El cambio de variable es un proceso por medio del cual la integral de una función compuesta es transformada en una integral más sencilla, donde se pueda aplicar directamente alguna regla básica de integración.

∫ f [g ( x ) ] g ' ( x )dx=∫ f (u )du Integral deuna funcióncompuesta dondeu=g ( x ) y du=g' ( x )dx

Procedimiento para efectuar el cambio de variableIdentificar “u”.Derivar “u” generando los diferenciales.Despejar el diferencial resultante (dx).Sustituir “u” y “dx” en la integral y simplificar.Resolver la integral resultante.Sustituir “u” en el resultado.

1.2.1 Integrales de la forma ∫undu

∫undu= un+1

n+1+C para n≠−1

En los siguientes ejemplos se ilustra el razonamiento empleado para hacer el cambio de variable y el uso de la regla ∫undu.

Ejemplo. Resuelva las siguientes integrales:

1) ∫√5+x dx

Haciendou=5+x ; du=(1 )dx ;despejandodx=duSustituyendo “u” y “dx” en la integral y simplificando, resulta:

∫√5+x dx=∫√udu=∫u12du=u3/2

32

+C=23u3 /2+C=2

3(5+x )3 /2+C

15

2) ∫ (7 x3+4 )14 x2dx

Haciendou=7 x3+4 ;du=21 x2dx ;despejandodx= du

21x2

Sustituyendo “u” y “dx” en la integral y simplificando, resulta:

∫ (7 x3+4 )14 x2dx=∫u

14 x2( du

21x2 )= 121

∫u14 du= 1

21 ( u54

54

)+C∫ (7 x3+4 )

14 x2dx= 1

21 ( 45 )u5 /4+C= 4

105(7 x3+4 )5/4

3) ∫√9 x−2 (5 x )dx

Haciendou=9 x−2 ;du=9dx;despejando dx=du9


∫√9 x−2 (5 x )dx=∫ u12 (5x )( du9 )=5

9∫u1 /2 x du

Despejando x deu=9 x−2 , sustituyendo x en laintegral y simplificando :

∫√9 x−2 (5 x )dx=59∫ u1/2( u+2

9 )du= 581

∫u12 (u+2 )du

∫√9 x−2 (5 x )dx= 581∫ (u3/2+2u1/2) du= 5

81∫u3 /2du+ 1081∫u1 /2du

∫√9 x−2 (5 x )dx= 581 ( u5 /2

5/2 )+ 1081 ( u3 /2

3 /2 )+C= 581 ( 2

5 )u5 /2+ 1081 ( 2

3 )u3 /2+C

∫ √9 x−2 (5 x )dx= 281

(9 x−2 )5/2+ 20243

(9 x−2 )3 /2+C

4) ∫ ln (2x )2x

dx

Haciendou=ln (2x ) ;du=dxx;despejandodx=xdu


16

∫ ln (2 x )2x

dx=¿∫ u2x

( xdu )=12∫ udu=1

2 ( u2

2 )+C=14

(ln 2x )2+C ¿

5) ∫ (e5 x+7 )3 e5 xdx

Haciendou=e5x+7 ;du=e5 x (5 )dx ;despejandodx= du

5e5 x


∫ (e5 x+7 )3 e5 xdx=∫u3 e5x ( du5e5x )=1

5∫u3du=1

5 ( u4

4 )+C= 120

(u )4+C

∫ (e5 x+7 )3 e5 xdx= 120

(e5x+7 )4+C

6) Depreciación.

La tasa de depreciación dV/dt de una máquina es inversamente proporcional al cuadrado de (t+1), donde V es el valor de la máquina t años después de que se compró. El valor inicial de la máquina fue de 500 000 dólares, y su valor decreció 100 000 dólares en el primer año. Estimar su valor después de 4 años.

Solución:

La ecuación diferencial que expresa la tasa de depreciación está dada por:dVdt

= K

(t+1)2

Las condiciones iniciales son:Para t = 0; V = 500 000 dólaresPara t = 1; V = 400 000 dólares

Despejando dV e integrando ambos lados de la ecuación, resulta:

dV= K

(t+1)2dt

∫ dV=∫ K

(t+1)2dt

V= Kt+1

+C

Sustituyendo las condiciones iniciales para encontrar los valores de las constantes K y C, resulta que: K = 200 000 y C = 300 000

17

Por lo tanto, la función que representa el valor de la máquina a los t años de uso es:

V ( t )=200 000t+1

+300 000

Como se requiere estimar su valor a los 4 años de uso, entonces se evalúa V(4)

V (4 )=200 0004+1

+300 000

V (4 )=340 000dólares

Ejercicio 1.2.1Resuelva las siguientes integrales y simplifica sus resultados:

1) ∫ ( 8−2 x )2dx 2)∫ 3√x4+3 x3dx

3) ∫(w+ 2w )

2

dw 4) ∫√2 t3+43 t5 dt

5) ∫√3 x+5 (x−2 )dx 6) ∫ (e7 x+1 )3e7 xdx

7) (8+e−t )2 e−tdt 8) ∫ ( ln x)2

xdx

9) ∫ ln (2θ)2θ

dθ 10) ∫ sen4 4 x cos4 x dx

11) ∫ ctg23 t csc2 3 t dt 12) ∫ tanw sec2wdw

13) Flujo de efectivo: La tasa de desembolso dQ/dt de una donación federal de 2 millones de dólares es proporcional al cuadrado de (100-t). El tiempo t se mide en días (0≤ t ≤100) y Q es la cantidad que queda para ser desembolsada. Determinar la cantidad que queda para desembolsarse después de 50 días. Suponer que todo el dinero se gastará en 100 días.

Solución al ejercicio 1.2.1

1) −16

(8−2x )3+C 2) 316

(x4+3 )43 +C

3) 13w3+4 w− 4

w+C 4) 1

10(2 t3+4 )

52−2

3(2 t3+4 )

32 +C

18

5) 245

(3x+5 )52−

2227

(3x+5 )32 +C 6)

128

(e7 x+1 )4+C

7) −13

(8+e−t )3+C 8) 13

ln 3 x+C

9) 14

( ln 2θ )2+C 10) 1

20sen5 4 x+C

11) −19

ctg3 3t+C 12) 12

tan 2w+C

13) Q(50) = $250 0001.3 Integrales en donde intervienen funciones trascendentales

1.3.1 Integrales de la forma ∫ duu

∫ duu

=ln|u|+C

En donde “u” es una función derivable de x

Si u = x ; entonces ∫ dxx

=ln|x|+C

Nota: Para aplicar esta fórmula es importante identificar “u” que puede ser todo ó solo una parte del denominador.

Ejemplo: Resuelva cada una de las siguientes integrales

1)∫ 5dxx

=5∫ dxx

=5 ln|x|+C

2)∫ dx3 x−1

Haciendou=3 x−1; du=3dx ;despe jando dx=du3

Sustituyendo “u” y “dx” en la integral, resulta:

∫ dx3 x−1

=∫ 13 x−1

dx=¿∫ 1u ( du3 )=1

3∫ du

u=1

3ln|u|+C=1

3ln|3 x−1|+C ¿

Aplicando la propiedad de rln( p)=ln( p¿¿ r )¿ el resultado se puede expresar como:

∫ dx3 x−1

=ln(3x−1)1 /3+C=ln 3√3 x−1+C

19

3) ∫ 4 x

2−x2dx

Haciendou=2−x2; du=−2 xdx ;despejandodx=−du2x


∫ 4 x

2−x2dx=¿∫ 4 x

u (−du2 x )=−2∫ du

u=−2 ln|u|+C=−2 ln|2−x2|+C ¿

4) ∫ dx

√ x ( 4+√ x )

Haciendou=4+√x ;du= dx2√ x

;despejandodx=2√ xdu


∫ dx√ x (4+√x )

=∫ 2√ xdu√ xu

=2∫ duu

=2 ln|u|+C=2 ln|4+√x|+C

Aplicando la propiedad de rln( p)=ln( p¿¿ r )¿ el resultado se puede expresar como:

∫ dx

√ x (4+√x )=ln(4+√x )2+C

5) ∫ x2+5 x−3x+2

dx haciendo la división de polinomios porque es una fracción impropia, queda:

∫ x2+5 x−3x+2

dx=∫(x+3− 9x+2 )dx=∫ xdx+∫ 3dx−9∫ dx

x+2

Enl aú ltima integral se haceu=x+2 ;du=(1 )dx ; despejandodu=dx


∫ x2+5 x−3x+2

dx=∫ xdx+3∫dx−9∫ duu

=12x2+3 x−9 ln|u|+C

∫ x2+5 x−3x+2

dx=12x2+3 x−9 ln|x+2|+C

6) ∫ Sec2(2x )tan (2 x )+3

dx

20

Haciendou=tan (2 x )+3; du=Sec2 (2 x ) (2dx ) ;despejandodx= du

2Sec2(2 x)


∫ Sec2(2x )tan (2 x )+3

dx=∫ Sec2(2x )u ( du

2Sec2(2 x))=12∫ du

u=1

2ln|u|+C

∫ Sec2(2x )tan (2 x )+3

dx=12

ln|tan (2 x )+3|+C

Observa que en el siguiente ejemplo primero se debe hacer una operación algebraica para simplificar el integrando.

7) ∫ dx

e− x+3

∫ dxe− x+3

=¿∫( 11e x +3 )dx=∫( 1

1+3ex

ex )dx=∫( ex

1+3ex )dx ¿

Haciendou=1+3ex ;du=3ex dx ; despejandodx= du

3exy sustituyendo :

∫ dxe− x+3

=∫ ex

u ( du3 ex )=13∫ du

u=1

3ln|u|+C=1

3ln|1+3ex|+C

8) Transferencia de calor: Considerando que el tiempo requerido para enfriar un objeto, está dado por:

t= 10ln 2∫

1T−100

dT

En donde t es el tiempo en minutos y T es la temperatura en °Fahrenheit.Determinar el tiempo (t) que se requiere para enfriar un objeto en función de la temperatura (T). Considerar que cuando t = 0; T = 300°F

Solución:

Resolviendo la integral, tomando como u = T – 100 y du = dT y sustituyendo, resulta:

t= 10ln 2∫

duu

= 10ln 2

ln|T−100|+C

21

Sustituyendo las condiciones iniciales para encontrar el valor de la constante C, resulta que: C = -76.44Por lo tanto, el tiempo requerido para enfriar un objeto está dado por:

t (T )= 10ln 2

ln|T−100|−76.44

Ejercicio 1.3.1

Resuelva cada una de las siguientes integrales

1) ∫ dx2 x+4

2) ∫ 2 x

x2−6dx 3)

∫ 8 x+6

2 x2+3 x−2dx

4) ∫ 2 x+3

4 x2−9dx 5) ∫ 2 x2+x−9

x−2dx 6) ∫ dx

x1/3 (x2 /3+4 )

7) ∫ dxxLnx

8) ∫ e4 x

4−e4 x dx 9) ∫ Sen(2 x)cos (2 x )−1

dx

10) ∫ dx

√ x+1 11) ∫ e−2x

e− x+1dx

12) Crecimiento de población: Una población de bacterias cambia a un ritmodPdt

= 3 0001+0.25 t

Donde t es el tiempo en días. La población inicial (cuando t = 0) era 1 000. Escribir una ecuación que describa la población en cualquier instante t y calcular la población cuando han transcurrido 3 días.


1) 12

ln|4+2 x|+C 2) ln|x2−6|+C 3) 2 ln|2 x2+3 x−2|+C

4) 12

ln|2 x−3|+C 5) x2+5x+ ln|x−2|+C 6) ln (x2 /3+4 )3 /2+C

22

7) ln|lnx|+C 8) −14

ln|4−e4x|+C 9) −12

ln|C os (2 x )−1|+C

10) 2√x−2 ln|√x+1|+C 11) e− x−ln|e− x+1|+C

12) P ( t )=12000 ln|1+0.25 t|+1000 ; P (3 )=7 715.39bacterias

1.3.2 Integrales de la forma ∫ eudu

∫ eudu=eu+C

En donde “u” es una función derivable de x y e es la constante de Euler (e = 2.718)

Si u=x , entonces :∫ex dx=ex+C

Ejemplo: Resuelve cada una de las siguientes integrales

1) ∫5e xdx=5∫ex dx=5ex+C

2) ∫ e3 x−1dx

Haciendou=3 x−1; du=3dx :despejandodx=du3

Sustituyendo u y dx en laintegral , resulta :

∫ e3 x−1dx=∫eu( du3 )=13∫ eudu=1

3eu+C=1

3e3x−1+C

3) ∫12 x e3 x2

dx

Haciendou=3 x2 ;du=6 xdx ;despejandodx= du6 x

Sustituyendo u y dx en laintegral y simplificando ,resulta :

∫12 x e3 x2

dx=∫12 xeu( du6 x )=2∫ eudu=2eu+C=2e3x2

+C

4) ∫ 4dx

√ xe√x

23

∫ 4dx

√ xe√x =∫ 4e−√ x

√xdx;

Haciendou=−√ x ;du=−dx2√ x

;despejandodx=−2√ x du

Sustituyendo u y dx en la integral y simplificando, resulta:

∫ 4dx

√ xe√x =∫ 4eu

√ x(−2√ xdu )=−8∫eudu=−8eu+C=−8e−√x+C=−8

e√x +C

Observa que en los siguientes ejemplos primero se efectúa la operación algebraica para simplificar el integrando y después se aplica la fórmula correspondiente.

5) ∫ (ex+e−x )2dx

∫ (ex+e−x )2dx=∫ (e2x+2+e−2x )dx=∫ e2 xdx+2∫ dx+∫ e−2x dx

Resolviendocadaunade las integrales resultantes , queda :

∫ (ex+e−x )2dx=12e2x+2x−1

2e−2x+C=1

2e2 x+2 x− 1

2e2x+C

6) ∫ e5x−e3x+4ex

e2 x dx

∫ e5x−e3x+4ex

e2 x dx=∫ e3 xdx−∫ ex dx+4∫e− xdx

∫ e5x−e3x+4ex

e2 x =13e3x−e x−4 e−x+C=1

3e3 x−ex− 4

ex +C

Ejercicio 1.3.2

Resuelva cada una de las siguientes integrales

1) ∫ ex

3dx 2) ∫ 3

exdx

24

3) ∫ ( 4 x−6 )e (x2−3x )dx 4) ∫ 3e√x

√ xdx

5) ∫cos (2 x)eSen (2 x)dx 6) ∫ (e5 x) (2ex ) ( 4e2x )dx

7) ∫ e−x (e3 x−ex−1 )dx 8) ∫ 3e3x−2e2x−ex+1ex dx


1) 13ex+C 2)

−3

e x+C

3) 2e (x2−3 x )+C 4) 6e√x+C

5) 12eSen (2 x)+C 6) e8x+C

7) 12e2x−x+ 1

ex+C 8)

32e2x−2ex−x− 1

e x+C

1.3.3 Integrales de la forma ∫ audu

∫ audu= au

lna+C

En donde “u” es una función derivable de x y a es un número real positivo (a≠1 )

Si u=x , entonces :∫ax dx= ax

lna+C

Ejemplo: Resuelva cada una de las siguientes integrales:

1) ∫3x dx= 3x

ln 3+C

2) ∫ 4x exdx

25

Como el exponente en ambas funciones es el mismo, se puede aplicar la propiedad de los exponentes de (ab )m=ambm para reexpresar la integral como:

∫ 4x exdx=∫ ( 4e )x dx= (4 e ) x

ln (4 e )+C en donde a=4 e

3) ∫ x 2x2

dx

Haciendou=x2;du=2xdx ;despejandodx=du2 x

y a=2

Sustituyendo “u”, “dx” y a en la integral y simplificando, resulta:

∫ x 2x2

dx=∫ x au( du2x )=12∫ audu=1

2 ( au

ln 2 )+C= 12 ln2

2x2

+C= 2x2

ln 4+C

4) ∫ e2 x (6e2 x )dxHaciendou=e2x ;du=e2x (2dx );despejandodx= du

2e2xy a=6

Sustituyendo “u”, “dx” y a en la integral y simplificando, resulta:

∫ e2 x (6e2 x )dx=∫e2x au( du2e2x )=1

2∫audu=1

2 ( 6e2 x

ln6 )+C= 6e2 x

ln 36+C

Observa que en el siguiente ejemplo primero se efectúa la operación algebraica para simplificar el integrando y después se aplican las fórmulas correspondientes.

5) ∫ ( 4x+ex )2dx

∫ ( 4x+ex )2dx=∫ [ 42x+2 (4 x) (ex)+e2 x ]dx=∫ 42x dx+2∫ (4 e )x dx+∫ e2 xdx

Haciendou=2x ;du=2dx;despejandodx=du2

y a=4 enla primera integral ,

Considerando que la segundaintegral se resolvi ó enel ejemplo2 ,

Haciendo z=2 x ; dz=2dx; despejandodx=dz2en latercera integral y

Sustituyendolo anterior mencionado encadaunade las integrales , resulta:

∫ ( 4x+ex )2dx=∫au( du2 )+2[ (4e ) x

ln (4 e ) ]+∫ezdz2

26

∫ ( 4x+ex )2dx=12∫ audu+

2 (4 e )x

ln (4 e)+ 1

2∫ ezdz=1

2 ( au

lna )+ 2 ( 4e )x

ln (4e)+ 1

2ez+C

∫ ( 4x+ex )2dx= 42x

2 ln 4+

2 (4e ) x

ln (4e )+ 1

2e2x+C

Ejercicio 1.3.3Resuelva cada una de las siguientes integrales:

1) ∫6x dx 2) ∫( 4x

e x )dx 3) ∫ 2√x

√ xdx

4) ∫ 5Sen−1x

√1−x2dx 5) ∫ ( 3x−2 )2

dx


1) 6x

ln 6+C 2)

( 4e )

x

ln( 4e )

+C 3) 2√x+1

ln2+C

4) 5Sen−1 x

ln 5+C 5) 32x

2 ln3−

4 (3x )ln 3

+4 x+C

1.3.4 Integrales de funciones trigonométricas

Todas las funciones trigonométricas y sus derivadas se pueden integrar por medio de una fórmula que implica un cambio de variable, en donde “u” es el argumento y es una función derivable de x.

Integrales de Funciones trigonométricasFunciones trigonométricas Derivadas de las funciones

trigonométricas

1. ∫ Senudu=−cosu+C 7. ∫ Sec2udu=tanu+C

2. ∫cos udu=Senu+C 8. ∫Csc2u du=−cot u+C

3. ∫ tan udu= ln|Sec u|+C 9. ∫ Secu tan udu=Secu+C

¿−ln|cosu|+C 10. ∫Csc ucotu du=−Cscu+C

4. ∫cot u du=−ln|Cscu|+C

27

¿ ln|Senu|+C 5. ∫ Secudu=ln|Secu+tan u|+C 6. ∫C sc udu=ln|Cscu−cotu|+C


1) ∫ Sen (5 x )dx

Haciendou=5x ;du=5dx; despejandodx=du5


∫ Sen (5 x )dx=∫ Senu( du5 )=15∫ Senu du=1

5(−cos u )+C=−1

5cos (5 x )+C

2) ∫3 x tan (1−2 x2 )dx

Haciendou=1−2 x2;du=−4 xdx ;despejandodx=−du4 x


∫3 x tan (1−2 x2 )dx=∫3 x tan u(−du4 x )=−3

4∫ tan udu

∫3 x tan (1−2 x2 )dx=−34

(−ln|cosu|)+C=34

ln|cos (1−2x2 )|+C , o bien

∫3 x tan (1−2 x2 )dx=−34

( ln|Sec u|)+C=−34

ln|Sec (1−2 x2 )|+C

3) ∫cos (2x ) cos (Sen2x )dx

Haciendou=Sen2 x ; du=cos 2x (2dx );despejandodx= du2 cos2 x


∫cos (2x ) cos (Sen2x )dx=∫cos (2x ) cosu( du2cos2 x )=1

2∫ cosudu

∫cos (2x ) cos (Sen2x )dx=12Senu+C=1

2Sen (Sen2x )+C

28

4)∫ (Sec 3x−Csc2 4 x )dx

∫ (Sec 3x−Csc2 4 x )dx=∫ Sec3 x dx−∫Csc2 4 xdx

Haciendou=3 x ;du=3dx; despejandodx=du3

enla primera integral y

Haciendo z=4 x ; dz=4 dx; despejandodx=dz4en la segundaintegral

Sustituyendo “u” y “dx” correspondiente en cada integral y simplificando, resulta:

∫ (Sec 3x−Csc2 4 x )dx=∫ Secu ( du3 )−∫Csc2 z ( dz4 )∫ (Sec 3x−Csc2 4 x )dx=1

3∫ Secudu−14∫Csc2 z du

∫ (Sec 3x−Csc2 4 x )dx=13

ln|Sec u+ tanu|−14

(−cot z )+C

∫ (Sec 3x−Csc2 4 x )dx=13

ln|Sec 3x+ tan 3x|+ 14

cot (4 x )+C

Observa que en los siguientes ejemplos primero es necesario aplicar alguna o algunas identidades trigonométricas, o bien, efectuar una operación algebraica para simplificar el integrando y después se aplican las fórmulas correspondientes.

5)∫ dxSen5 x

∫ dxSen5 x

=∫( 1Sen5x )dx=∫Csc 5x dx Aplicando una identidad

Haciendou=5x ;du=5dx; despejandodx=du5


∫ dxSen5 x

=∫Cscu( du5 )=15∫Cscudu=1

5ln|Csc u−cotu|+C

∫ dxSen5 x

=15

ln|Csc5 x−cot5 x|+C

6) ∫ 3x dx

cos2 (3x )

∫ 3x dx

cos2 (3x )=∫3x( 1

cos 3x )2

dx=∫3x Sec23xdx Aplicando una identidad

29

Haciendou=3x ;du=3x ln 3dx ; despejandodx= du

3x ln 3


∫ 3x dx

cos2 (3x )=∫3xSec2u( du

3x ln 3 )= 1ln 3

∫ Sec2udu= 1ln3

tan u+C

∫ 3x dx

cos2 (3x )= 1

ln 3tan3x+C

7) ∫ (1+cot26 x )dx

∫ (1+cot26 x )dx=∫Csc2 6 xdx Aplicando una identidad

Haciendou=6 x ;du=6dx ;despejandodx=du6


∫ (1+cot26 x )dx=∫Csc2u ( du6 )=16∫Csc2udu=1

6(−cotu )+C

∫ (1+cot26 x )dx=−16

cot 6x+C

8) ∫ (1−Sen2 x )cos3 x

dx

∫ (1−Sen2 x )cos3 x

dx=∫ cos2 xcos3 x

dx Aplicando una identidad


dx=∫ 1cos x

dx=∫ Sec xdx Simplificando y aplicando una identidad


dx=ln|Sec x+ tan x|+C

9) ∫ (Senx−cos x )Sen x

dx

30

∫ (Senx−cos x )Sen x

dx=∫ Sen xSen x

dx−∫ cos xSen x

dx Haciendo operación algebraica


dx=∫ dx−∫ cot xdx Simplificando en la primera integral y

aplicando una identidad en la segunda integral.


dx=x+ ln|Sen x|+C, o bien:


dx=x−ln|Csc x|+C

10) ∫ (Sen2 x−4 )dx(Senx+2 )

Factorizandoel numerador y simplificando la fracció n , resulta:

∫ (Sen2 x−4 )(Sen x+2 )

dx=∫ (Senx+2 ) (Senx−2 )(Sen x+2 )

dx=∫ (Sen x−2 )dx

∫ (Sen2 x−4 )(Sen x+2 )

dx=∫ Sen x dx−2∫ dx

∫ (Sen2 x−4 )(Sen x+2 )

dx=−cos x−2 x+C

Ejercicio 1.3.4

Resuelva cada una de las siguientes integrales:

1) ∫ Sec2 x tan 2x dx 2) ∫6 x cos3 x2dx

3) ∫ e3 xCsc2e3x dx 4) ∫ ( tan 2x−Sen5 x )dx

5) ∫ 5dxcos3 x

6) ∫( Sen2 x+cos2 xCsc x )dx

31

7) ∫ (Sen x+cos x )2dx 8) ∫ Sec xtan x

dx

9) ∫ tan3 xSec2 x−1

dx 10) ∫ 3x

tan3x dx


1) 12Sec 2 x+C 2) Sen3x2+C

3) −13

cot e3x+C 4) 12

ln|Sec2 x|+ 15

cos5 x+C

5) 53

ln|Sec3 x+ tan3 x|+C 6) – cos x+C

7) x−12

cos2 x+C 8) ln|Csc x−cot x|+C

9) ln|Sec x|+C 10) 1

ln 3ln|Sen3x|+C

1.3.5 Integrales de funciones hiperbólicas

Integrales de Funciones hiperbólicasFunciones hiperbólicas Derivadas de funciones hiperbólicas

1. ∫ Senhudu=coshu+C 5. ∫ Sech2udu=tanh u+C

2. ∫cosh udu=Senhu+C 6. ∫Csch2udu=−coth u+C

3. ∫ tanh udu=ln|coshu|+C 7. ∫ SechuTanhudu=−Sechu+C

4. ∫coth udu=ln|Senhu|+C 8. ∫CschuCothudu=−Cschu+C

En donde “u” es una función derivable de “x”.


1)∫ Sech2 x tanh2 x dx

32

Haciendou=2x ;du=2dx;despejandodx=du2


∫ Sech2 x tanh2 x dx=∫ Sechu tanh u( du2 )=12∫ Sechu tanhudu

∫ Sech2 x tanh2 x dx=12

(−Sechu )+C=−12

Sech2 x+C

2) ∫ Senh ( 3√ x)3√x2

dx

Haciendou=3√x ;du= dx

33√ x2

;despejandodx=33√ x2du


∫ Senh ( 3√ x)3√x2

dx=∫ Senhu3√x2

(3 3√x2du )=3∫ Senhudu=3 cosh u+C

∫ Senh ( 3√ x)3√x2

dx=3 cosh ( 3√x )+C

3) ∫ cosh (lnx)x

dx

Haciendou=ln x ; du=dxx;despejandodx=xdu


∫ cosh (lnx)x

dx=∫ cosh ux

( x du )=∫ coshudu=Senhu+C

∫ cosh (lnx)x

dx=Senh ( lnx )+C

4) ∫ ( 4 x+4 ) tanh (x2+2x−1 )dx

33

Haciendou=x2+2 x−1 ;du=(2x+2 )dx ;despejandodx= du2x+2


∫ ( 4 x+4 ) tanh (x2+2x−1 )dx=∫ (4 x+4 ) tanh u( du2 x+2 )=2∫ tanh udu

∫ ( 4 x+4 ) tanh (x2+2x−1 )dx=2 ln|cosh (x2+2x−1)|+C

5) ∫ ( cosh2 x+Senh2 x )dx

∫ ( cosh2 x+Senh2 x )dx=∫cosh 2x dx Aplicando una identidad hiperbólica

Haciendou=2x ;du=2dx;despej andodx=du2

de laintegral resultante,

Sustituyendo “u” y “dx” en la integral resultante y simplificando, resulta:

∫ ( cosh2 x+Senh2 x )dx=∫cosh udu2

=12∫ coshudu=1

2Senhu+C

∫ ( cosh2 x+Senh2 x )dx=12Senh2x+C

6) ∫ dxCsch3x

∫ dxCsch3x

=∫ 1Csch3x

dx=∫ Senh3 x dx Aplicando una identidad hiperbólica


de la integral resultante ,

Sustituyendo “u” y “dx” en la integral resultante y simplificando, resulta:

∫ dxCsch3x

=∫ Senhu( du3 )=13

coshu+C=13

cosh3 x+C

Ejercicio 1.3.5


34

1) ∫ cosh √x√x

dx 2) ∫ exCschex coth exdx

3) ∫ Sen3 x Sech2 (cos3 x )dx 4) ∫coth 4 x dx

5) ∫ 4 dxCsch2x

6) ∫ ( coth2 x−1 )dx


1) 2Senh√ x+C 2) –C sch ex+C

3) −13

tanh (cosh 3 x )+C 4) 14

ln|Senh4 x|+C

5) 2 cosh2 x+C 6) – coth x+C

1.3.6 Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas inversas e hiperbólicas Inversas.

A partir de las derivadas de las funciones trigonométricas inversas y de las funciones hiperbólicas inversas se obtienen las siguientes fórmulas de integración:

Si “u” es una función derivable de “x” y a>0 una constante.

Funciones trigonométricas inversas Funciones hiperbólicas inversas

1. ∫ du

√a2−u2=Arc Sen

ua

+C

2 .∫ du

a2+u2=1aArc tan

ua

+C

3. ∫ du

u√u2−a2=1aArc Sec

ua

+C

1. ∫ du

√a2+u2=Arc Senh

ua+C

2. ∫ du

√u2−a2=Arc cosh

ua

+C

3. ∫ du

a2−u2=1aArc tanh

ua+C

4. ∫ du

u√a2−u2=−1

aArc Sech

ua

+C

5. ∫ du

u√a2+u2=−1

aArcCsch

ua+C

35

Nota: Arc Sen x es equivalente a Sen−1 x


1) ∫ dx

√9−x2

Haciendou2=x2 ;u=x ;du=dx ; a2=9 ;a=3 y sustituyendo en la integral, resulta:

∫ dx

√9−x2=∫ du

√a2−u2=Arc Sen( ua )+C=Arc Sen( x3 )+C

2) ∫ ex dx

√e2x−4

Haciendou2=e2 x ;u=ex ; du=e xdx ;despejandodx=du

ex;a2=4 ;a=2

Sustituyendo “u”, “dx” y “a” en la integral y simplificando, resulta:

∫ ex dx

√e2x−4=∫ ex

√u2−a2 ( due x )=∫ du

√u2−a2=Cosh−1( ua )+C

∫ ex dx

√e2x−4=cosh−1( ex

2 )+C

3. ∫ 4 dx

x √9−4 x2

Haciendou2=4 x2 ;u=2 x ;du=2dx; despejandodx=du2; a2=9 ;a=3


∫ 4 dx

x √9−4 x2=∫ 4

x√a2−u2 ( du2 )=4∫ du

u√a2−u2=4 (−1

a )Arc Sech ( ua )+C

∫ 4 dx

x √9−4 x2=−4

3Arc Sech( 2 x

3 )+C

4) ∫ dx

9 x2+1

Haciendou2=9 x2 ;u=3 x ;du=3dx;despejandodx=du3

:a2=1; a=1


36

∫ dx

9 x2+1=∫ 1

u2+a2 ( du3 )=13∫ du

u2+a2=1

3 ( 1a ) tan−1( ua )+C

∫ dx

9 x2+1=1

3tan−1( 3 x

1 )+C=13

tan−1 (3 x )+C

5) ∫ dxx √4+x

Haciendou2=x ;u=√x ;du= dx2√ x

;despejandodx=2√ xdu ;a2=4 ;a=2


∫ dxx √4+x

=∫ 2√x dux √a2+u2

=2∫ du

u√a2+u2=2(−1

a ) ArcCsch( ua )+C

∫ dxx √4+x

=2(−12 )ArcCsch(√ x2 )+C=−ArcCsch(√ x2 )+C

6) ∫ Sec23 x dx

√16+ tan23 x

Haciendou2=tan2 3 x ;u=tan 3 x ;du=Sec23 x (3dx ) ;

despejandodx= du

3 Sec23 x;a2=16 ; a=4


∫ Sec23 x dx

√16+ tan23 x=∫ Sec23 x

√a2+u2 ( du3 Sec23 x )=1

3∫ du

√a2+u2=1

3Senh−1( ua )+C

∫ Sec23 x dx

√16+ tan23 x=1

3Senh−1( tan 3 x

4 )+CObserva en los siguientes ejemplos que se puede hacer cuando aparece un trinomio general de 2° grado.

7) ∫ dx

x2+6 x+10

Un trinomio general de 2° grado (a x2+bx+c ) siempre se puede expresar en alguna de las 3 formas: K+u2, K−u2 , u2−K donde K=Constante positiva y u es un binomio,

37

para hacerlo se aplica el procedimiento de completar el trinomio cuadrado perfecto, que consiste en lo siguiente:

1er. Paso: Sacar como factor común el coeficiente del término cuadrático (a), si es diferente de 1.

2do. Paso: Agregar la mitad del coeficiente del término lineal (b /a ) elevada al cuadrado y restar la misma cantidad [ x2+6 x+ (3 )2+10−(3 )2 ] 3er. Paso: Factorizar los primeros tres términos como un trinomio cuadrado perfecto y sumar los números restantes. ( x+3 )2+14° Paso: Multiplicar por el factor común (a ), si es necesario.

Reexpresando la integral, queda:

∫ dx

x2+6 x+10=∫ dx

( x+3 )2+1

Haciendou2=( x+3 )2;u=( x+3 );du=dx ;a2=1;a=1de laintegral resultante

Sustituyendo “u”, “dx” y “a” en la integral resultante y simplificando, queda:

∫ dx

x2+6 x+10=∫ du

u2+a2=1aArc tan( ua )+C=Arc tan ( x+3 )+C

8) ∫ dx

√3−2 x−x2

Completando un trinomio cuadrado perfecto:1er.Paso: −1 (x2+2 x−3 )2do. Paso: −1(x2+2x+1−3−1)3er. Paso: −1 [ ( x+1 )2−4 ]4° Paso: 4− (x+1 )2

Reexpresando la integral, queda:

∫ dx

√9−2 x−x2=∫ dx

√4− (x+1 )2

Haciendou2=( x+1 )2 ;u=( x+1 ) ;du=dx ; a2=4 ;a=2

Sustituyendo “u”, “dx” y “a” en la integral resultante y simplificando, queda:

∫ dx

√9−2 x−x2=∫ du

√a2−u2=Sen−1( ua )+C=Sen−1( x+1

2 )+C

38

Ejercicio 1.3.6Resuelva cada una de las siguientes integrales:

1) ∫ dx

x √x2−1 2) ∫ dx

√9−16 x2

3) ∫ dx

√e2x+9 4) ∫ x dx

x4+9

5) ∫ dx

x √ ln2 x+4 6) ∫ Sen2 x dx

cos2 x √9−cos22 x

7) ∫ e2x dx

√e4x−16 8) ∫ 3dx

x √9−x

9) ∫ dx

√ x2+6 x+10 10) ∫ dx

( x−2 ) √−x2+4 x−3


1) Arc Sec (x )+C 2) 14Sen−1( 4 x

3 )+C

3) −13

ArcCsch( ex3 )+C 4) 16

tan−1( x2

3 )+C

5) Arc Senh( ln x2 )+C 6)

16Sech−1( cos2 x

3 )+C

7) 12Arccosh ( e2x

4 )+C 8) −2Sech−1(√x3 )+C9) Arc Senh ( x+3 )+C 10) −Sech−1 ( x−2 )+C

Actividad No. 5 Primero identifícate En equipo- extra aulaPropósito: Identificar la fórmula de la integral que involucra el cambio de variable y funciones trascendentales.Criterio de evaluación: Se evaluará al equipo que exponga la respuesta correcta.Tiempo estimado para la actividad: 1 hora clase

39

Descripción de la actividad:Determina la fórmula que corresponde para resolver cada integral propuesta e identifica “u” en cada una. (No resuelvas la integral).

1) ∫ (2 x−3 )3dx 2) ∫ dx

√4−e2x 3) ∫ Sen (5 x )4−cos (5 x)

dx 4) ∫ 3

e3xdx

5) ∫Csch3 xCoth3 xdx 6) ∫ dx

x √1+25 x2 7) ∫ 2x

exdx 8)

∫ x

x2+4dx

9) ∫ dx

x2+4 10) ∫ dx

x ln2 x 11) ∫ 4ex dx 12)

∫ dx

cos23 x

13) ∫ excoth (e x)dx 14) ∫2 SenxCosxdx 15) ∫ e2 x

e2x+1dx 16) ∫ e(3 x−2)dx

17) ∫ Sen2 xCosxdx 18) ∫ Csc2 x2Cotx dx 19) ∫ SecπxTanπxdx 20) ∫ dx

x √ ln2 x+1

Actividad No. 6 Recuérdame En equipo- en el aulaPropósito: Seleccionar el método de integraciónCriterio de evaluación: Rapidez de respuesta de los equipos, argumentación por equipo y contenido del reporte por equipo.Tiempo estimado para la actividad: 50 minutos

Descripción de la actividad. 1) Formar equipos de 4 estudiantes en una sesión de clase.2) Se entrega la actividad por equipo estipulando un tiempo de 20 minutos para resolver el problema I. de la actividad propuesta.3) En los siguientes 5 minutos, hacer una discusión para comparar las soluciones y estar de acuerdo en las correctas.4) Se continúa con la actividad dando 10 minutos para resolver el problema II. de la actividad propuesta.5) En los siguientes 5 minutos, mediante una lluvia de ideas propiciar que el estudiante llegue a conclusiones, distinguiendo las estrategias matemáticas con las que puede contar.6) Retroalimentación.

40

I. Evalúe cada una de las siguientes integrales:

1) ∫ x2

√1−x3dx

2) ∫ x √x−1dx

3) ∫ x

Sen x2dx

Después de realizar los procedimientos de cada integral selecciones el inciso que corresponde a la solución.Solución del 1)a) 2√1−x3+C

b) −23

√1−x3+C

c) – √1−x3+C

Solución del 2)

a) ( x−1 )52 +( x−1 )

32 +C

b) 15

( x−1 )52 +

13

( x−1 )32 +C

c) 215

( x−1 )32 (3x+2 )+C

Solución del 3)

a) 12

ln|C sc x2−cot x2|+C

b) ln|Csc x2−cot x2|+C c) ln|Csc u−cotu|+C

II. Analizar los procedimientos y exprese ¿Qué los distingue?

Elemento de competencia 3:Relacionar la integral definida con la suma de Riemann para su interpretación geométrica.

Conocimiento previo: Teoremas sobre límites al infinito

Actividad No. 7 Limítate al infinito Individual - extra aulaPropósito: Evaluar límites al infinito para activar conocimiento previoCriterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga los procedimientos y soluciones correctas.Tiempo estimado para la actividad: 30 minutosDescripción de la actividad:Calcula el límite de cada función dada, si es que existe:

41

1) lim ¿x→∞( 2x+4)¿ 2) lim ¿x→∞( 3

x−

1

x2 −5)¿

3) lim ¿x→∞( 4 x2+5 x−34−2 x2 )¿ 4) lim ¿x→∞[ (3 x+1 )(2 x−3)

x2 ]¿5) lim ¿x→∞( x3+1

x+1 )¿

1.4 Notación sigma

La notación sigma se utiliza para reducir la escritura de una suma de números. Se denota por:

∑i=m

n

f (i)

En donde:∑❑Es el símbolo de la sumatoriai es el índice de la sumatoria y toma valores enteros consecutivos, desde m hasta n.m y n son constantes llamadas límites de la sumatoriaf(i) es la función que genera los números a sumar.

Nota: Es común que otras letras se empleen para representar el índice de la sumatoria; por ejemplo, las letras j, k, m, n, etc.

Cuando la sumatoria está definida para la suma de una gran cantidad de números, se utilizan los siguientes Teoremas de Sumatorias para simplificar la operación de la suma.

Teoremas de Sumatorias Sean m y n enteros positivos, c= constante

1. ∑i=1

n

c f (i )=c∑i=1

n

f (i)

2. ∑i=1

n

[ f (i)± g(i)]=∑i=1

n

f (i)±∑i=1

n

g (i)

3. ∑i=1

n

f ( i )=∑i=1

m

f (i )+ ∑i=m+1

n

f ( i )m<n

42

4. ∑i=1

n

c=nc

5. ∑i=1

n

i=n (n+1)

2

6. ∑i=1

n

i2=n (n+1 )(2n+1)

6

7. ∑i=1

n

i3=[ n(n+1)2 ]

2

Ejemplo 1: Expresa en notación sigma las siguientes sumas:

a) 1+√2+√3+2+√5………………√20

1+√2+√3+2+√5………………√20=∑i=1

20

√ i

b) 12+ 1

4+ 1

6………………

1200

12+ 1

4+ 1

6………………

1200

=∑j=1

100

( 12 j )

c) Suma de los primeros 50 números impares consecutivos.En este ejemplo primero se debe conocer la expresión que genere a los números impares, en este caso partimos de la expresión (2k+1)

1+3+5+7 ……… ..99=∑k=0

49

(2k+1 )

También la expresión (2k-1) genera los números impares, pero al considerarla se deben cambiar los límites de la sumatoria, o sea:

1+3+5+7 ……… ..99=∑k=1

50

(2k−1 )

Ejemplo 2: Calcula cada una de las siguientes sumas, si es necesario utilice los Teoremas de las sumatorias.

a) ∑i=−1

6

(3 i+2 )

Generando los números que se van a sumar, sustituyendo los valores de i =-1,0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 en (3i+2), resulta:

∑i=−1

6

(3 i+2 )=−1+2+5+8+11+14+17+20=76

43

b) ∑n=0

5

cos(n π2 )

Generando los números que se van a sumar, sustituyendo los valores de n = 0, 1, 2, 3, 4,

5 en cos (n π2 ), resulta:

∑n=0

5

cos(n π2 )=cos (0 )+cos ( π2 )+cos (π )+cos ( 3π

2 )+cos (2π )+cos( 5 π2 )

∑n=0

5

cos(n π2 )=1+0−1+0+1+0=1

c) ∑i=1

30

(i−3 )2

Desarrollando el binomio, queda:

∑i=1

30

(i−3 )2=∑i=1

30

(i2−6 i+9 )

Aplicando el Teorema 2 de las sumatorias

∑i=1

30

(i−3 )2=∑i=1

30

i2−∑i=1

30

6 i+∑i=1

30

9

Aplicando el Teorema 1 en la segunda sumatoria y el Teorema 4, con n = 30 en la tercera sumatoria, queda:

∑i=1

30

(i−3 )2=∑i=1

30

i2−6∑i=1

30

i+(30 )(9)

Aplicando el Teorema 6 en la primera sumatoria y el Teorema 5 en la segunda sumatoria, ambos con n = 30, resulta:

∑i=1

30

(i−3 )2=30 (31 )(61)

6−6 ( (30 )(31)

2 )+270=9 455−2790+270

44

∑i=1

30

(i−3 )2=6 935

Ejercicio 1.4I. Expresa en notación sigma las siguientes sumas:

1) 1+ 12+ 1

3+ 1

4+……… ..

115

2) −1+2+5+8+…… ..23

3) Suma de los primeros 50 números pares consecutivos

II. Calcula las sumas indicadas, si es necesario utilice los Teoremas de la Sumatoria.

4) ∑k=1

5

k 5) ∑n=1

20

2 6) ∑j=1

25

5 j

7) ∑i=1

10

(3 i−4 ) 8) ∑i=1

100

( i+3n2 ) 9) ∑

i=1

12

( i2−1 )

10) ∑i=1

10

(i−1 )2 11) ∑i=1

4

(i+1 )3 12) ∑i=3

40

(3 i+2 )


1) ∑i=1

15

( 1i ) 2) ∑

i=1

9

(3 i−4 ) 3) ∑i=1

50

2 i 4)15

5) 40 6) 1 625 7) 125 8) 5350

n2

9) 638 10) 285 11) 224 12) 2 527

Actividad No. 8 Reflexiona y suma En equipo – en el aulaPropósito: Aplicar la notación sigma y sus teoremas en el cálculo de sumas.Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga los procedimientos correctosTiempo estimado para la actividad: 10 minutos

Descripción de la actividad:1) En equipos de 3 estudiantes como máximo se reflexionará sobre el procedimiento requerido para resolver las sumatorias propuestas.

a) ∑i=−3

50

(2 i+1 ) b) ∑i=4

60

(2 i−3 )2 c) ∑i=1

30

( 1k )

45

2) Se comentarán las conclusiones en el aula.

3) Retroalimentación.

1.5 Integral definida

Definición.

Sea f una función definida en el intervalo cerrado [a ,b ]. La integral definida de f de a a b

se representa por: ∫a

b

f ( x )dx y se define:

1. ∫a

b

f ( x )dx= limn→∞

∑i=1

n

f (ci)∆ x Para una partición particular.

En donde: ∆ x=b−an

y C i=a+i ∆ x

2. ∫a

b

f ( x )dx= lim¿|∆|∨→ 0

∑i=1

n

f (c i)∆ x i Para una partición cualquiera.

En donde: a se llama límite inferior, b se llama limite superior, f (x) se llama integrando.

Interpretación geométrica.

Si f (x)≥0 en el intervalo [a ,b ] entonces la integral ∫a

b

f ( x )dx se interpreta como el área

de la región acotada por la función f (x), el eje x y las rectas x=a , x=b.

Nuestro objetivo es evaluar una integral definida utilizando la primera definición y ver su interpretación geométrica.

Ejemplo 1

Evaluar la integral definida dada utilizando la definición 1 y mostrar que es lo que representa en forma geométrica

∫1

3

(2 x+1 )dx

Se toma una partición regular del intervalo [1,3] con n subintervalos de magnitud

46

∆ x=3−1n

=2n

, c i=1+i∗∆ x , ahora se evalúa:

f (c i)=f (1+i∗∆ x )=2 (1+ i∆ x )+1 , ahora efectuamos la suma de Riemann

∑i=1

n

f (c i )∆ x=∑i=1

n

[2 (1+i ∆ x )+1 ]∆ x=∑i=1

n

[3∆ x+2i (∆ x )2]

∑i=1

n

f (c i )∆ x=∑i=1

n

3∆ x+2 (∆ x )2∑i=1

n

i=(3∆ x )n+2(∆ x)2[ n(n+1)2 ]

Se sustituye el valor de ∆ x=2n

, resulta:

∑i=1

n

f (c i )∆ x=3( 2n )n+2( 2

n )2[ n(n+1)

2 ]=6+2 ( 4n2 )[ n2+n

2 ]=6+4+ 4n=10+ 4

n

Luego se aplica el límite cuando n→∞

∫1

3

(2 x+1 )dx= limn→∞ [10+ 4

n ]=10+0=10 , por lo tanto

∫1

3

(2 x+1 )dx=10

Para ver la interpretación geométrica se traza la grafica del integrando, f ( x )=2x+1

x

y

-1 0 1 2 3

0

2

4

6 Y = 2x + 1

x = 1

x = 3

En la figura se muestra la región y esta se puede separar en dos regiones R1 y R2, la primera es un triángulo rectángulo y la segunda es un rectángulo, por lo tanto:

Área de R1=(2 )(4)

2=4

Área de R2= (2 )(3)=6

Área total = área de R1 + área de R2= 4 + 6

47

Área total = 10

Se concluye, como se dijo en la teoría correspondiente, que si f ( x )≥0 paratodax∈[a ,b ], entonces:

∫a

b

f ( x )dx = área de la región acotada por: el eje x, las rectas x = a, x = b y por la

Gráfica de y=f (x )

Ejemplo 2

Evaluar la integral definida dada utilizando la definición 1 y mostrar que es lo que representa en forma geométrica

∫0

1

( 2x2−1 )dx

Se toma una partición regular del intervalo [0,1] con n subintervalos de magnitud

∆ x=1−0n

=1n

, c i=0+ i∗∆ x , ahora se evalúa:

f (c i)=f ( i∗∆ x )=2 (i∆ x )2−1 , ahora efectuamos la suma de Riemann

∑i=1

n

f (c i )∆ x=∑i=1

n

[2 ( i ∆ x )2−1 ]∆ x=∑i=1

n

[2 i2 (∆ x )3−∆ x ]

∑i=1

n

f (c i )∆ x=2 (∆ x )3∑i=1

n

i2−∑i=1

n

[∆ x ]

∑i=1

n

f (c i )∆ x=2 (∆ x )3 n(n+1 )(2n+1)

6−n [∆ x ], se sustituye el valor de ∆ x=1

n

∑i=1

n

f (c i )∆ x=13

1n3

(2n3+3n2+n )−n ( 1n )=−1

3+ 1n

+ 1

3n2

Luego se aplica el límite cuando n→∞

∫0

1

( 2x2−1 )dx=limn→∞ [−1

3+ 1n+ 1

3n2 ]=−13

, por lo tanto

∫0

1

( 2x2−1 )dx = −13

Para ver la interpretación geométrica se traza la gráfica del integrando, f ( x )=2x2−1

48

x

y

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-2

0

2

x = 0

x = 1

y = 2 x^2 - 1

Si observamos las dos regiones sombreadas, notaremos que una está bajo el eje X, por lo tanto el área para esa región tiene signo negativo y en la región que está por encima del eje X el área tiene signo positivo, finalmente se sumaron esas áreas con su respectivo signo obteniendo un resultado negativo porque el área que está bajo el eje X es mayor que la que está por encima de él.

Ejercicio 1.5

Evaluar cada una de las integrales definidas aplicando la definición, utilizando una partición regular y observar su interpretación geométrica.

1.∫−1

1

(2 x+3 )dx 2. ∫0

2

x2dx

3. ∫0

2

(x2−1 )dx 4. ∫1

2

( x−2 )dx


1. 6 2. 8/3 3. 2/3 4. -1/2

Elemento de competencia 4:

Aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo mediante su relación con la antiderivada para evaluar integrales definidas.

Conocimiento previo: Evaluación de funciones.

Actividad No. 9 Calcula y gana Individual – extra aulaPropósito: Evaluación de funciones para activar conocimiento previo

49

Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga los procedimientos y la solución correcta a cada ejercicio propuestoTiempo estimado para la actividad: 1 hora


Evalúa cada una de las siguientes funciones:

1) f ( x )=−53

x2 en x=−3 9) f ¿) = Csc(x) en x=π2

2)g ( x )=x3/2en x=4 10) h ( x )=ArcSen ( x ) en x=√32

3)h ( x )=3√ x2en x=−8 11) h ( x )=ex3 en x=0

4) f ( x )=5+ ln ( x )en x=1 12) g ( x )=Sec2 ( x )en x=0

5) h ( x )=ln (x2 )en x=e 13) f ( x )=Senh ( x ) enx=0

6) g ( x )=e ln( x)en x=3 14) g ( x )=cot ( x ) en x=3 π4

7) f ( x )=cos ( x ) enx=π 15) h ( x )=cos−1 (2x ) en x=12

8) g ( x )=tan ( x ) en x=π4

1.6 Teorema fundamental del cálculo

Sea f una función continua en el intervalo [a ,b ]. Si F es una antiderivada de f en [a ,b ], se establece que:

∫a

b

f ( x )dx=F (x) ]ab=F (b )−F (a)

En donde: a es llamado límite inferior y b es llamado límite superior.Las siguientes son propiedades de la integral definida:

Propiedades de la integral definidaSean f y g funciones integrables en [a ,b ] y K una constante, entonces:

50

1) ∫b

a

f ( x )dx=−∫a

b

f ( x )dx

2) ∫a

a

f ( x )dx=0

3) ∫a

b

K f ( x )dx=K∫a

b

f ( x )dx

4) ∫a

b

[ f (x )± g(x) ]dx=∫a

b

f ( x )dx ±∫a

b

g ( x )dx

5) ∫a

b

f ( x )dx=∫a

K

f ( x )dx+∫K

b

f (x )dx siempre que f sea continua en [a , K ] y [ K ,b ]

Ejemplo: Resuelva cada una de las siguientes integrales definidas:

1) ∫−1

2

(3−2x−x2 )dx

∫−1

2

(3−2x−x2 )dx=[3x−2 x2

2−

x3

3 ]−1

2

∫−1

2

(3−2x−x2 )dx=[3(2)−(2)2−(2)3

3 ]−[3(−1)−(−1)2−(−1)3

3 ]∫−1

2

(3−2x−x2 )dx=(6−4−83 )−(−3−1+ 1

3 )

∫−1

2

(3−2x−x2 )dx=(2−83

+4−13 )=6−9

3=6−3=3

2) ∫1

4

( 1√x

−2√x )dx

∫1

4

( 1√x

−2√x )dx=∫1

4

x−1/2dx−2∫1

4

x1 /2dx=¿ 2√x ]14−4

3x3 /2 ]

1

4

¿

∫1

4

( 1√x

−2√x )dx=2√4−2√1−43

(4 )3/2−[−43

(1)3 /2]−4−2−( 43 )8+ 4

3

51

∫1

4

( 1√x

−2√x )dx=2−323

+ 43=−22

3

Cuando en una integral definida se hace una sustitución, los límites de integración se pueden cambiar de acuerdo a la sustitución “u” o dejarlos como estaban. En los siguientes ejemplos se ilustra lo anterior

3) ∫0

1

√x+3dx

Haciendou=x+3; du=dx ; sustituyendo u y dx , resulta:Siu=x+3 ;cuando x=0el valor deu=3 y cuando x=1el valor deu=4

∫0

1

√x+3dx=∫3

4

u12 du=[ 2

3u3 /2]

3

4

=23

[43 /2−33 /2 ]=23

(8−3√3 )

∫0

1

√x+3dx=163

−2√3

O bien, se utiliza la antiderivada en x y se sustituyen los límites dados en la integral definida.

∫0

1

√x+3dx=[ 23

(x+3 )3 /2]0

1

=[ 23

( 4 )3 /2]−[ 23

(3 )3 /2]=163

−2√3

4) ∫0

ln 2

e3x dx


;

Sustituyendo “u” y “dx” en la integral con límites de 0 a 3ln2, resulta:

∫0

ln 2

e3x dx=∫0

3 ln 2

eu( du3 )=[ 13eu]

0

3 ln 2

=13

[e3 ln 2−e0 ]

∫0

ln 2

e3x dx=13

[e ln 23

−1 ]=13

[e ln8−1 ]=13

[ 8−1 ]=73

O bien, sustituyendo “u” en la antiderivada y los límites dados en la integral definida:

52

∫0

ln 2

e3x dx=[ 13e3 x]

0

ln 2

=13

[e3 ln2−e0 ] 13

[e ln 8−1 ]=13

[ 8−1 ]=73

5) ∫0

π /12

Sec 3 xdx


Sustituyendo “u” y “dx” en la integral con límites de 0 a π4

, resulta:

∫0

π /12

Sec 3 xdx=∫0

π /4

Secu( du3 )=¿ [ 13

ln|Sec u+ tanu|]0

π /4

¿

∫0

π /12

Sec 3 xdx=13

ln|Sec( π4 )+ tan( π4 )|−13

ln|Sec (0 )+ tan(0)|

∫0

π /12

Sec 3 xdx=13

ln| 1

cos( π4 )+1|−1

3ln| 1

cos (0)+0|

∫0

π /12

Sec 3 xdx=13

ln| 11√2

+1|−13

ln|11|=1

3ln|√2+1|−1

3ln|1|

∫0

π /12

Sec 3 xdx=13

ln|√2+1|

6) ∫0

5

|x−3|dx

La función “valor absoluto de x-3” se expresa, por definición, como:

|x−3|={−( x−3 ) x<3( x−3 ) x ≥3

Entonces se aplica la propiedad 5 de la integral definida y la integral se expresa como:

∫0

5

|x−3|dx=∫0

3

−( x−3 )dx+∫3

5

( x−3 )dx=−( x2

2−3 x )|

0

3

+( x2

2−3 x )|

3

5

53

∫0

5

|x−3|dx=−( 92−9)+( 25

2−15)−( 9

2−15)=25

2

7) Costo: El costo total C (en dólares) de compra y mantenimiento de una pieza de equipo durante x años es:

C ( x )=5000 (25+3∫0

x

t14 dt)

a) Efectuar la integración para escribir C como una función de x.b) Encontrar C(1), C(5) y C(10)

Solución:

a) Se determina la función de costo resolviendo la integral involucrada, esto es:

C ( x )=125 000+15 000∫0

x

t 1 /4dt

C ( x )=125 000+15 000( 45 ) t 5 /4|0

x

C ( x )=125 000+12000 x5 /4

b) Evaluando C (1 ) ,C (5 ) yC (10 ), resulta:

C (1 )=125 000+12 000(1)5 /4=137 000

C (5 )=125 000+12000(5)5 /4=214 720.93

C (10 )=125 000+12 000(10)5 /4=338 393.53

8) Fuerza: La fuerza F (en Newtons) de un cilindro hidráulico en una prensa es proporcional al cuadrado de Sec x, donde x es la distancia (en metros) que el cilindro se desplaza en su ciclo. El dominio de F es [ 0 , π /3 ] y F(0) = 500a) Encontrar F como una función de x.b) Determinar la fuerza media ejercida por la prensa sobre el intervalo [ 0 , π /3 ].

Solución:

a) La función de fuerza está dada por:

F=K Sec2 x

54

Se sustituyen las condiciones iniciales para calcular el valor de la constante K, es decir, para x = 0, F = 500. Despejando K, resulta:

K= F

Sec2 x= 500

Sec20=500

Por lo tanto, la función de fuerza es:

F ( x )=500 Sec2 x

b) La fuerza media ejercida en el intervalo [ 0 , π /3 ] se calcula por:

Fm=1

b−a∫a

b

F (x )dx

Fm=1

π /3 ∫0

π /3

500 Sec2 xdx

Fm=1500π

[ tan x ]0π /3

Fm=1500√3

πN

Ejercicio 1.6Resuelva cada una de las siguientes integrales definidas:

1) ∫0

8

( 23√x

+43√x)dx 2) ∫

−1

1

( x3−8x−2 )dx

3) ∫−1

1

(x2+2 )2dx 4) ∫e

e2

dxx

5) ∫0

32 xx2+1

dx 6) ∫0

π /2

Sen2x dx

7) ∫π /2

3π /2

Csc x dx 8) ∫1

3

Senh( x2 )dx

9) ∫0

√3dx

√4−x2 10) ∫

−1

3

|x−1|dx

11) Probabilidad: La probabilidad de que una persona recuerde entre a y b porciento del material aprendido en un experimento es:

55

Pa , b=∫a

100

b100

154

x√1−x dx

Donde x representa el porcentaje recordado. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo elegido al azar recuerde entre 50 y 75% del material?

12) Experimento de la aguja de Buffon: Sobre un plano horizontal se trazan rectas paralelas separadas por una distancia de 2 pulgadas. Una aguja se lanza aleatoriamente sobre el plano. La probabilidad de que la aguja toque una recta está dada por:

P= 2π∫0

π /2

Senθdθ

Donde θ es el ángulo entre la aguja y cualquiera de las rectas paralelas. Determinar esta probabilidad.

13) Temperatura: La temperatura en grados Fahrenheit en una casa está dada por:

T=72+12Sen [ π (t−8 )12 ]

Donde t es el tiempo en horas, con t = 0 representando la media noche. El costo horario de refrigeración de una casa es de 0.10 dólares por grado.a) Encontrar el costo C de refrigeración de la casa si el termostato se ajusta en 72°F calculando la integral

C=0.1∫8

20 [72+12Sen [ π (t−8)12 ]−72]dt

b) Encontrar el ahorro al reajustar el termostato en 78°F calculando la integral

C=0.1∫10

18 [72+12Sen [ π (t−8)12 ]−78]dt


1) −36 2) 263

3) 16615

4) 1 5) ln|10|

6) 1 7) 0 8) 2.44 9) π3

10) 4

11) 0.353 12) 0.63662 13) a) $9.17; b) $6.05

Actividad No. 10 Integrales en la realidad Individual – extra aulaPropósito: Aplicación de integrales indefinidas y definidas en problemas de ingeniería.Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga los procedimientos y la solución correcta a cada ejercicio propuesto

56

Tiempo estimado para la actividad: 1 hora


Resolver los siguientes problemas:

1. Tiro vertical hacia arriba.¿Con qué velocidad inicial debe lanzarse un objeto hacia arriba (desde el nivel del suelo) para alcanzar la parte superior del Faro del Comercio, situado en la Macroplaza de la Cd. de Monterrey? El Faro del Comercio tiene una altura aproximada de 70.6 metros.

2. Ciclo respiratorio.Después de hacer ejercicio durante un tiempo determinado, una persona tiene un ciclo respiratorio para el cual la tasa de admisión de aire está dada por:

v=1.75Sen ( πt2 )en litros por minuto.

Calcular el volumen, en litros, del aire inhalado durante un ciclo, integrando la función sobre el intervalo 0≤ t ≤3 minutos.

3. Precio medio.

La ecuación para la demanda de un producto está dada por: P= 90 0003 x+400

. Si el precio

medio está dado por Pm=1

b−a∫ P (x )dx, determinar su precio medio en el intervalo

[ 30,40 ].

4. Probabilidad.El tiempo medio de espera “x” (en minutos) en una tienda de autoservicio está dado por

la solución de la ecuación ∫0

x

0.3 e−0.3 tdt=12

. Resuelva la ecuación.

Capítulo 2. Métodos de integración

Competencia Particular (2): Analizar las características del integrando a través de sus elementos para seleccionar y aplicar el método más adecuado en la solución de integrales definidas e indefinidas.


57

Identificar las características de cada método mediante el análisis del integrando para evaluar integrales definidas e indefinidas.

Introducción

Al iniciar este capítulo, el estudiante ya debe estar familiarizado con el siguiente resultado:

Si ∫ f ( x )dx=F ( x )+C=¿>∫ f (ax )dx= F (ax )a

+C; a≠0

Por ejemplo:

1) Si ∫cos xdx=Sen x+C=¿>∫cos 2x dx=12Sen2 x+C

2) Si ∫ exdx=ex+C=¿>∫e−3x dx=−13

e−3 x+C

3) Si ∫ tan xdx=ln|Sec x|+C=¿>∫ tan 5x dx=15

ln|Sec 5x|+C

Se continúa ahora con las técnicas o métodos de integración.

2.1 Integración por partes

El método de integración por partes se utiliza para solucionar un gran número de integrales, donde el integrando está formado por el producto de dos funciones.

Este método, permite reescribir la integral dada como el producto de dos funciones menos una integral que es más sencilla de calcular que la integral original, como se observa en la fórmula para calcular integrales por el método de integración por partes:

∫u∗dv=u∗v−∫ v∗duEl estudiante puede considerar apoyarse en el acrónimo LIATE para la selección de u y dv el cual sugiere elegirlos de acuerdo al orden de aparición de “LIATE” (Logarítmicas, trigonométricas Inversas, Algebraicas, Trigonométricas y Exponenciales). En el caso de que esta elección no funcione, podría considerar que u debe ser la parte fácilmente derivable del integrando y dv la parte fácilmente integrable o intentar todos los órdenes posibles.

Nota: En los siguientes ejemplos; en cada integral indefinida que se resuelve debe sumarse la constante de integración. Para fines prácticos, se omitirán las constantes

58

durante el procedimiento de solución y únicamente se sumará C al resultado final. La constante C representará la suma de todas las demás constantes.

Ejemplo: Calcule las siguientes integrales

1) ∫ x e−3x dx

Eligiendo como u la función algebraica y como dv el resto del integrando;

u=x ,dv=e−3x dx ,du=dx ; , v=−13

e−3 x

Aplicando la fórmula de integración por partes ∫u·dv=u·v−∫ v·du, queda:

∫ x e−3x dx=( x )(−13

e−3x )−∫(−13

e−3x) (dx )

∫ x e−3x dx=−x3

e−3x+ 13∫ e−3x dx


e−3x+ 13 ( e−3 x

−3 )+C


e−3x−19e−3x+C

2) ∫1

2

x ln x dx

Eligiendo como u la función logarítmica y como dv el resto del integrando;

u=ln x ,dv=¿x dx ,du=1xdx , v= x2

2¿


∫1

2

x ln x dx=( ln x )[ x2

2 ]1

2

−∫1

2

( x2

2 )( 1xdx)= x2

2ln x|

1

2

−12∫1

2

x dx

∫1

2

x ln x dx=[ x2

2ln x−

14x2]

1

2

=[ (2 )2

2ln (2 )−4

4 ]−[ (1 )2

2ln (1 )−1

4 ]∫0

1

x ln x dx=2 ln (2 )−1−0+ 14=2 ln 2−1+ 1

4

59

∫0

1

x ln x dx=ln 4−34

3) ∫ Sen−1 3 xdx

Eligiendo la función inversa como u y dx como dv .

u=Sen−13 x ,dv=dx du= 3

√1−(3 x )2dx , v=x


∫ Sen−1 3 xdx= (Sen−13 x ) ( x )−∫ ( x )( 3

√1− (3x )2dx )

∫ Sen−1 3 xdx= x (Sen−1 3x )−∫ 3 x

√1−9x2dx

Haciendo cambio de variable en la integral resultante:

u=1−9 x2 , du=−18 x dx ,dx= du−18 x

,

sustituyendo u y dx en la integral, queda:

∫ Sen−1 3 xdx= x (Sen−1 3x )−∫ 3 x

u12

du−18 x

=¿ x (Sen−13 x )+ 16∫

du

u12

¿

∫ Sen−1 3 xdx= x (Sen−1 3x )+ 16∫ u

−12 du=x (Sen−13 x )+ 2

6( 1−9 x2 )

12+C

∫ Sen−1 3 xdx=¿ x (Sen−13 x )+ 13

(1−9x2 )12 +C

4) ∫ x2 cos2 xdx

Eligiendo la función algebraica como u y el resto del integrando como dv ,

u=x2 , dv=cos 2x dx ,du=2 x dx , v=12Sen2 x


60

∫ x2 cos2 xdx=( x2 )( 12Sen2 x)−∫( 1

2Sen2 x) (2 xdx )

∫ x2 cos2 xdx= x2

2Sen2 x−∫ x (Sen2 x )dx

Para la segunda integral resultante se aplica la integración por partes de nuevo,

u=x ,dv=Sen2 xdx ,du=dx , v=−12

cos2 x

Aplicando la fórmula de integración por partes ∫u·dv=u·v−∫ v·du, en la segunda integral, queda:

∫ x2 cos2 xdx= x2

2Sen2 x−[ (x )(−1

2cos 2x )−∫(−1

2cos2 x) (dx )]

∫ x2 cos2 xdx=¿ x2

2Sen2 x+ x

2cos 2x−1

2∫cos 2x dx ¿

∫ x2 cos2 xdx=¿ x2

2Sen2 x+ x

2cos 2x− 1

4Sen2x+C ¿

5) ∫ e2 t Sent dt

Eligiendo la función trigonométrica como u y el resto del integrando como dv ,

u=Sen t ,dv=e2t dt , du=cos t dt , v=12e2 t

Aplicando la fórmula de integración por partes ∫u·dv=u·v−∫ v·du, en la segunda integral, queda:

∫ e2 t Sent dt=(Sent )( 12e2 t)−∫(1

2e2 t) (cos t dt )

∫ e2 t Sent dt=12e2t Sen t−1

2∫ (e2 t ) (cos t dt )

Para la segunda integral, se elige la función trigonométrica como u y el resto del integrando como dv ,

u=cos t , dv=e2t dt , du=−Sen t dt , v=12e2 t

61

Aplicando nuevamente la fórmula de integración por partes ∫u·dv=u·v−∫ v·du, en la segunda integral, queda:


2 [ (cos t )( 12e2 t)−∫(1

2e2 t) (−Sent dt )]


4(cos t ) (e2 t )−1

4 ∫e2 tSen t dt

Pasando la última integral al lado izquierdo, queda:

∫ e2 t Sent dt+ 14∫ e2 t Sen t dt=1

2e2t Sen t−1

4(cos t ) (e2 t )

54∫ e2t Sen t dt=1

2e2 tSen t−1

4(cos t ) (e2 t )

Se multiplica por 45

en ambos lados y resulta:

∫ e2 t Sent dt=( 45 )( 1

2e2 t Sen t)−( 4

5 ) 14

(cos t ) (e2 t )

∫ e2 t Sent dt=( 25 )(e2 t Sent )−( 1

5 ) (e2 t cos t )+C

∫ e2 t Sent dt=( 15 )e2 t [ 2Sen t−cos t ]+C

6¿∫Csc32 t dt

∫Csc3 2t dt=∫Csc2 2t Csc2 t dt

La integral se resuelve integrando por partes, elegimos

u=Csc2 t du=−2Csc 2t Ctg2t dt dv=Csc2 2t dt v=−12

Ctg2 t

Aplicando la fórmula de integración por partes, queda:

∫Csc3 2t dt=−12

Ctg2t Csc 2t−∫Ctg22 t Csc2 t dt

∫Csc3 2t dt=−12

Ctg2t Csc 2t−∫ (Csc2 2t−1 )Csc2 t dt

62

∫Csc3 2t dt=−12

Ctg2t Csc 2t−∫Csc3 2t dt+∫Csc 2t dt

2∫Csc3 2 t dt=−12

Ctg2 t Csc2 t+ 12

ln|Csc2 t−Ctg 2t|+C

∫Csc3 2t dt=−14

Ctg2t Csc 2t+ 14

ln|Csc2 t−Ctg2 t|+C

7¿∫Sec5 x dx

∫ Sec5 x dx=∫ Sec3 x sec2 xdx

La integral se resuelve integrando por partes, elegimos

u=Sec3 xdu=3Sec2 x Sec x tan xdx dv=Sec2 x dx v=tan x

Aplicando la fórmula de integración por partes, queda:

∫ Sec5 x dx=Sec3 x tan x−3∫ tan 2 x Sec3 x dx

∫ Sec5 x dx=Sec3 x tan x−3∫ (Sec2 x−1 )Sec3 xdx

∫ Sec5 x dx=Sec3 x tan x−3∫Sec5 xdx+3∫ Sec3 x dx

4∫ Sec5 xdx=Sec3 x tan x+3∫ Sec3 xdx

∫ Sec5 x dx=14Sec

3

x tan x+ 34∫ Sec3 x dx

Se calcula aparte la segunda integral

∫ Sec3 x dx=∫ Sec2 x Sec x dx

Resolviendo por partes u=Sec xdu=Sec x tan xdxdv=Sec2 x dx v=tan x

∫ Sec3 x dx=tan x Sec x−∫ tan2 x Sec xdx

∫ Sec3 x dx=tan x Sec x−∫ (Sec2 x−1 ) Sec x dx∫ Sec3 x dx=tan x Sec x−∫ Sec3 x dx+∫ Sec xdx

2∫ Sec3 xdx=tan x Sec x+∫ Sec x dx

2∫ Sec3 xdx=tan x Sec x+ ln|Sec x+ tan x|+C

∫ Sec3 x dx=12

tan x Sec x+ 12

ln|Sec x+ tan x|+C

Se sustituye el valor de la segunda integral y se obtiene el resultado

∫ Sec5 x dx=14Sec

3

x tan x+ 34 [ 1

2tan x Sec x+ 1

2ln|Sec x+ tan x|]+C

63

∫ Sec5 x dx=14Sec

3

x tan x+ 38

tan x Sec x+ 38

ln|Sec x+ tan x|+C

8) Resolver la ecuación diferencial dada, haciendo y’ = dy/dx

y '=x e3 x

Solución:

Sustituyendo y’ y despejando dy, resulta:

dy=xe3x dx

Se Integran ambos lados de la ecuación, para eliminar los diferenciales∫ dy=∫ x e3 xdx

El lado derecho de la ecuación se integra por partes, haciendo u = x; du = dx;

dv=∫ e3 xdx ;v=13e3x

y=13x e3x−∫ 1

3e3x dx

y=13x e3x−1

9e3 x+C

9) Si el área de la región mostrada en la figura está dada por:

A=∫1

3

ln xdx. Calcular dicha área

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

0

1

2

y = 0

y = Ln (x)

Solución:

Se resuelve por partes la integral dada haciendo u=ln x ;du=dxx;dv=dx y v= x

64

A=ln x ( x )|13−∫

1

3x ( dxx )= [x ln x− x ]1

3=(3 ln 3−3 )−( ln 1−1)

¿¿

A=3 ln 3−2≅ 1.29u2

Actividad No. 11 ¿Qué partes aplicadas? Individual – extra aulaPropósito: Análisis de las características del método de integración por partes, como introducción al tema.Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga los procedimientos y la solución correcta a cada ejercicio propuestoTiempo estimado para la actividad: 1 hora

Descripción de la actividad:Selecciona correctamente “u” y “dv” para las funciones polinomiales, exponenciales, trigonométricas, inversa y logarítmica. Argumente la selección de “u” y “dv” en cada situación.

∫ x cos xdx ∫ x ex dx ∫ exCosx dx ∫ ln x dx

∫ x2 cos x dx ∫ x 2x dx ∫ ex Sen2x dx ∫ x lnx dx

∫ x Sec2 xdx ∫ x2 5x dx ∫ x cosh−1 x dx ∫ x2 lnx dx

∫ x3 cos x2dx ∫ x3 ex2

dx ∫ x2 tan−1 xdx ∫ x3 lnx dx

Ejercicio 2.1

Resuelva las siguientes integrales

1) ∫ x Sec2 2x dx 2) ∫ t e2 t+1dt

3) ∫ x2 ln x2dx 4) ∫ (2 t+1 ) ln t dt

5) ∫ arccos5 x dx 6) ∫5 tan−1( x2 )dx7) ∫ t 2 cos3 t dt 8) ∫ x3Sen x dx

9) ∫cos 2x ex dx 10) ∫ e−θ cosθ dθ

11) Resolver la ecuación diferencial dada, haciendo y’ = dy/dx

65

y '=x cos x

12) Si el área de la región mostrada en la figura está dada por:

A=∫1

3

xex dx. Calcular dicha área

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

1

2

y = 0

y = x e^x


1) x2

tan 2 x−14

ln|sec2 x|+C 2) e2 t+ 1( 2 t−14 )+C

3) x3

3ln x2−2

9x3+C 4) t 2(ln t−1

2 )+t ( ln t−1 )+C

5) x arccos5 x−15

(1−25 x2 )12 +C 6) 5 x tan−1( x2 )−5 ln|4+x2|+C

7) t2

3Sen3 t+ 2

9t cos3 t− 2

27Sen3t+C 8) (6 x−x3 ) cos x+(3 x2−6 ) Sen x+C

9) 15ex (2Sen2x+cos 2x )+C 10)

12e−θ (Senθ−cosθ )+C

11) x Senx+cos x+C 12) 40.17u2

2.2 Método de integración de potencias de funciones trigonométricas.

Actividad No. 12 ¿Cuál es tu estrategia? Individual – en el aulaPropósito: Analizar las condiciones para aplicar cada uno de los casos trigonométricos, como introducción al tema.Criterio de evaluación: Reporte que muestre la redacción correcta y concreta de la

66

estrategia requerida.Tiempo estimado para la actividad: 1 hora clase

Descripción de la actividad.

1) Explica cuál es tu estrategia para evaluar integrales que contienen senos o cosenos:a) Con la potencia de la función seno impar positivab) Con la potencia de la función coseno impar positivac) Si las potencias de ambos son pares y positivas

2) Describir cómo integrar ∫ Senm xcosn xdxpara cada condición.a) m es positivo e impar.b) n es positivo e impar.c) m y n son positivos e impares.

3) Describir cómo integrar ∫ Secmx tann x dx para cada condición.a) m es positivo y par.b) n es positivo e impar.c) n es positivo y par y no hay factor secante.d) m es positivo e impar y no hay factor tangente.

2.2 Integración de potencias de funciones trigonométricas

En algunas integrales aparecen funciones trigonométricas o potencias de funciones trigonométricas, para calcular dichas integrales se verá en esta sección diferentes maneras de hacerlo, aplicando conocimientos de algebra, trigonometría y los conocimientos previos de cálculo integral.

Se presentan ocho casos diferentes, dependiendo de si las funciones del integrando son senos y cosenos, tangentes y secantes, cotangentes y cosecantes; dependiendo también de si la potencia es par o impar. Después de esto se verán algunas integrales que no corresponden a ninguno de los ocho casos y como se pueden resolver.

Para aplicar alguno de estos ocho casos se reescribe la integral como un producto de funciones, en algunas de las cuales se aplicará una identidad trigonométrica (dependiendo del caso); lo cual permitirá reescribir la integral como una suma o resta de integrales más sencillas que la integral original. Lo antes mencionado se muestra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo

1) ∫ Sen5 xdx

Reescribiendo ∫ Sen5 xdx como ∫ ( sen2 x )2Sen x dx, despejando Sen2 x=1−cos2 x de la identidad Sen2u+cos2u=1 y sustituyendo en la integral, queda:

67

∫ Sen5 xdx=∫ (s en2 x )2Sen x dx=∫ (1−cos2 x )2Sen xdx

Note que únicamente quedó un término Senx , este término forma parte del du, por lo tanto conviene que u=cos x. Haciendo cambio de variable, queda:

u=cos x ,du=−Sen xdx ,dx= du−Sen x

Sustituyendo u y du en la integral y simplificando queda,

∫ Sen5 xdx=∫ (1−u2 )2Sen x du−Sen x

∫ Sen5 xdx=−∫ (1−2u2+u4¿ du=−u+2u3

3−u5

5+C

Regresando a u su valor original queda,

∫ Sen5 xdx=−cos x+ 23

cos3 x−15

cos5 x+C

TABLA DE CASOS

La Tabla 2.1 puede servir de apoyo para analizar la integral propuesta. En la primer columna aparecen los diferentes casos que pueden presentarse, en la segunda columna la condición que debe cumplirse, en la tercer columna la identidad útil para usar, en la cuarta columna la estrategia a seguir para reescribir la integral en integrales más sencillas y en la quinta columna un ejemplo incompleto, solo se llega hasta la aplicación de la identidad.

Para resolver una integral usando como apoyo la tabla, debe observarse la(s) funciones del integrando, así como el tipo de exponentes que tiene, posteriormente debe identificarse en la tabla el caso que se presenta en dicha integral y así, emplear la identidad y la estrategia correctas.

Ver tabla en página siguiente.

68

69

Tipo de integral Condición Identidad útil Estrategia Ejemplo con aplicación de la identidad

∫ Sennudu ,

∫cosnudu ,

donde n es un entero impar positivo

Sen2u+cos2u=1 ∫ Sennudu=∫ Senn−1uSenudu

∫cosnudu=∫ cosn−1ucos udu∫ Sen3 xdx=∫ Sen2 x Sen xdx=∫ (1−cos2 x )Sen x dx

∫ Sennucosmudu , donde n o m es un entero impar positivo

Sen2u+cos2u=1 ∫ Sennucosmudu=∫ Sennucosm−2ucos2udupara m impar

∫ Sen2 xcos3 x dx=∫ Sen2 x cos2 x cos xdx=∫ Sen2 x (1−Sen2 x ) cos x dx

∫ Sennudu ,

∫cosnudu ,

∫ Sennucosmudu ,

donde n y m son enteros pares positivos

Sen2u=1−cos2u2

cos2u=1+cos2u2

Senucos u=12Sen2u

Utilizar la identidad adecuada

∫cos4 x dx=∫cos2 x cos2 xdx=∫( 1+cos2 x2 )

2

dx

∫ Sen (mu ) cos (nu )du

∫ Sen (mu )Sen (nu )du

∫cos (mu )cos (nu )du

donde n y m son cualquier número

Sen A cosB=12

[Sen ( A−B )+Sen (A+B)]

Sen A SenB=12

[cos ( A−B )−Co s (A+B)]

cos A cosB=12

[cos ( A−B )+cos(A+B)]

Utilizar la identidad adecuada∫ Sen (2x )Sen (−5 x)dx=∫ 1

2[cos (7 x)−cos(−3x )] dx

∫ tannudu ,

∫cotnudu

donde n es cualquier número entero

1+ tan2u=Sec2u ∫ tannudu=∫ tann−2u tan2udu

∫cotnu=∫cotn−2ucot2udu

∫ tan3 xdx=∫ tan x tan2 x dx=∫ tan x (Sec2 x−1 )dx

∫ Secnudu ,

∫Cscnudu

donde n es un entero par positivo

1+ tan2u=Sec2u1+cot2u=Csc2u

∫ Secnudu=∫ Secn−2uSec2udu

∫Cscnudu=∫Cscn−2uCsc2ud uSi n es impar se utiliza integración por partes

∫Csc4 x dx=∫Csc2 xCsc2 x dx=∫ (1+cot2 x )Csc2 x dx

∫ Sec3 x dx=∫ Sec2 x Sec x dx=∫ (1+ tan2u )Sec xdx∫ tanmuSecnudu

∫cotmuCscnudu

donde n es un entero par positivo


∫ tanmuSecnudu=∫ tanmuSecn−2uSec2udu

∫cotmuCscnudu=∫cotmuCscn−2uCsc2udu∫ tan2 x Sec4 x dx=∫ tan2 x Sec2 x Sec2 x dx=∫ tan 2 x ( 1+ tan2 x )Sec2 x dx

∫ tanmuSecnudu

∫cotmuCscnudu

donde m es un entero impar positivo


∫ tanmuSecnudu=∫ tanm−1u tan uSecn−1uSecu du

∫cotmuCscnudu=∫cotm−1ucot uCscn−1uCscuduSi m es par y n es impar, se integra por partes

∫cot3 x Csc3 x dx=∫ cot2 xcotCsc2 xCsc xdx=∫ (Csc2 x−1 )Csc2 xCsc x cot x dx

∫ tan2 x Sec x dx=∫ tan x Sec x tan x dx u=Tanx ,dv=Sec xTanx dx

70

Ejemplos:

2¿∫ Sen3 x cos xdx

Nota: Antes de intentar resolver la integral por el método de potencias, es importante observar si la integral propuesta puede resolverse con un simple cambio de variable, como en este ejemplo.

La derivada del Seno es el Coseno, por lo que en este ejemplo tenemos una integral del tipo ∫undu y no se requiere aplicar el método de potencias.

Haciendo cambio de variable, queda:

u=Sen x ,du=cos xdx ,dx= ducos x


∫ Sen3 xcos x dx=∫u3cos xdu

cos x=∫u3du=u4

4+C

∫ Sen3 xcos x dx= Sen5 x5

+C

3¿∫ cos4 3x dx

Identificar en la tabla el caso del integrando, es un coseno elevado a una potencia par. (Caso 3)

Estrategia: Reescribir ∫cos4 3 x dx como ∫cos2 3x cos23 xdx , la identidad útil para este

caso es cos2u=1+cos2u2

. Sustituyendo (cos23 x=1+cos6 x2 ) en los factores (cos23 x ),

queda:

∫cos4 3 x dx=∫ cos23 xcos23 x dx=¿∫( 1+cos 6 x2 )(1+cos6 x

2 )dx¿

∫cos4 3 x dx=∫( 1+cos6 x2 )

2

dx=14∫ (1+2Cox6 x+cos26 x )dx

Reescribiendo como una suma de integrales, completando diferenciales e integrando, queda:

∫cos4 3 x dx=14∫ (1 )dx+ 1

4 ∫2Cox6 x dx+¿ 14 ∫cos26 x dx ¿

∫cos4 3 x dx=14x+( 2

4 )( 16 ) Sen6x+ 1

4∫cos26 x dx, aplicar de nuevo la identidad

71

∫cos4 3 x dx=14x+ 1

12Sen6 x+ 1

4∫(1+cos12x

2 )dx

∫cos4 3 x dx=14x+ 1

12Sen6 x+ 1

8∫ dx+ 18∫ cos12 xdx

∫cos4 3 x dx=14x+ 1

12Sen6 x+ 1

8x+ 1

96Sen12 x+C, sumar términos semejantes

∫cos4 3 x dx=38x+ 1

12Sen6 x+ 1

96Sen12x+C

4 ¿∫ Sen3 5 xcos25 x dx

Identificar en la tabla el caso del integrando, es un producto de senos y cosenos, con uno de ellos con potencia impar. (Caso 2)

Estrategia: Reescribiendo la integral ∫ Sen3 5x cos25 x dx como

∫ Sen2 5x Sen5 x cos2 5x dx, despejando Sen25 x=1−cos2 5 x de la identidad

Sen2u+cos2u=1 y sustituyendo (1−cos2 5x ) en el factor (Sen25 x ):

∫ Sen3 5x cos25 x dx=∫ Sen25 x Sen5x cos25 x dx

∫ Sen3 5x cos25 x dx=∫ (1−cos25 x ) cos25 x Sen5x dx

Note que únicamente quedó un término Sen5 x, este término forma parte del du, por lo tanto conviene que u=cos5 x. Haciendo cambio de variable, queda:

u=cos5 x ,du=−5Sen5 x dx ,dx= du−5 Sen5 x


∫ Sen3 5x cos25 x dx=∫ (1−u2 )u2Sen5 x

du−5Sen5 x

=−15 ∫ (1−u2 )u2

du

∫ Sen3 5x cos25 x dx=¿−15∫u2du+ 1

5∫u4du=−1

5u3

3+1

5u5

5¿+C

Regresando a u su valor original queda,

∫ Sen3 5x cos25 x dx=−115

cos3 5 x+ 125

cos5 5 x+C

5¿∫ cos (3θ ) cos (−5θ )dt

Identificar en la tabla el caso del integrando, es un producto dos funciones coseno. (Caso 4)

72

Estrategia: Aplicar correctamente la identidad cos A cosB=12

[cos ( A−B )+cos(A+B)]

∫cos (3θ ) cos (−5θ )dθ=∫ 12

[cos (3θ+5θ )+cos (3θ−5θ)] dθ

∫cos (3θ ) cos (−5θ )dθ=∫ 12

[cos (8θ )+cos (−2θ ) ]dθ

∫cos (3θ ) cos (−5θ )dθ=∫ 12

[cos (8θ ) ] dθ+∫ 12

[cos (−2θ ) ]dθ

∫cos (3θ ) cos (−5θ )dθ= 116

Sen (8θ )−14Sen (−2θ )+C

6¿∫Csc4 2x dx

Identificar en la tabla el caso del integrando, es una cosecante elevada a una potencia par.(Caso 6)

Reescribiendo la integral∫Csc4 2 xdx como ∫Csc22 xCsc2 2x dx, utilizando la identidad Csc22 x=Ctg2 2x+1 y sustituyendo (Ctg22 x+1 ) en uno de los téminos (Csc22 x ), queda

∫Csc4 2 xdx=∫Csc2 2x Csc2 2x dx=∫ (Ctg22 x+1 )Csc2 2x dx

Note que el término Csc22 x forma parte del du, por lo tanto conviene que u=Ctg2x. Haciendo cambio de variable, queda:

u=Ctg2x ,du=−2Csc22 x dx ,dx= du

−2Csc2 2 x


∫Csc4 2 xdx=∫ (u2+1 )Csc2 2xdu

−2Csc22 x=−1

2 ∫ (u2+1 ) du

∫Csc4 2 xdx=−12

∫u2du−12∫ du=−1

2u3

3−1

2u+C

∫Csc4 2 xdx=−16

Ctg32 x−12Ctg2 x+C

7¿∫Ctg3θCsc3θdθ

Identificar en la tabla el caso del integrando, es un producto de cotangentes y cosecantes, ambos con potencia impar. (Caso 8)

73

Reescribiendo la integral ∫Ctg3θCsc3θ dθ como ∫Ctg2θCsc2θCtgθCscθdθ, utilizando la identidad Csc2u−1=Ctg2u y sustituyendo (Csc2θ−1 ) en el témino (Ctg2θ ), queda:

∫Ctg3θCsc3θ dθ=∫Ctg2θCsc2θCtgθCscθdθ

∫Ctg3θCsc3θ dθ=∫ (Csc2θ−1 )Csc2θCtgθCscθdθ

Conviene hacer la sustitución u=Cscθ y que el producto CtgθCscθ sea parte del du . Haciendo cambio de variable, queda:

u=Cscθ ,du=−CtgθCscθdθ ,dθ= du−CtgθCsc θ


∫Ctg3θCsc3θ dθ=∫ (u2−1 )u2CtgθCscθ

du−CtgθCscθ

∫Ctg3θCsc3θ dθ=−∫ (u2−1 )u2du=−∫ (u4−u2) du=−u5

5+ u3

3+C

∫Ctg3θCsc3θ dθ=−Csc5θ5

+Csc3θ

3+C

8) ∫ sen3 xtan2 x

dx

Como esta integral no está en ningún caso, entonces conviene expresarla en función de senos y cosenos a través del uso de identidades.

∫ sen3 xtan2 x

dx = ∫ sen3 x

sen2 xcos2 x

dx=∫ sen3 x cos2 xsen2 x

dx=∫ senx cos2 xdx

Se hace la sustitución: u=cosx ,du=−senxdx

∫ sen3 xtan2 x

dx = ∫−u2du=−u3

3+C=−1

3cos3 x+C

9) ∫ tan3 xcot2 x dx

Esta integral tampoco está en ningún caso, pero se sabe que tanx cotx=1

∫ tan3 xcot2 x dx = ∫ tan2 xcot2 x tanx dx=∫ ( tanx cotx )2 tanx dx

74

∫ tan3 xcot2 x dx = ∫1 tanx dx=ln (secx )+C

10) Resolver la ecuación diferencial dada haciendo y’ = dy/dx

y '=tan4 x

Solución:

Sustituyendo y’ por dy/dx y despejando dy, resulta:

dy=tan4 x dx

Se integran ambos lados de la ecuación, el lado derecho se resuelve por Caso V de potencias de funciones trigonométricas.

dy=(Sec2 x−1 ) tan2 xdxdy=(Sec¿¿2x tan2 x−tan2 x )dx ¿dy=[Sec2 x tan2 x−(Sec2 x−1 ) ]dxdy=¿ (Sec2 x tan2 x−Sec2 x+1 )dxy=1

3tan3 x−tan x+x+C Multiplicando por (3)

3 y=tan3 x−3 tan x+3x+C

11) El volumen del sólido que se genera al girar con respecto al eje X, la región

limitada por las gráficas de y=cos x ; y=0 ; x=0 está dado por: V=π ∫0

π /2

cos2 x dx.

Calcular dicho volumen.

Ejercicio 2.2

Resuelve las siguientes integrales:

1) ∫cos3 4 x dx 2) ∫ Sen4 ( t2 )dt3) ∫ Sen4 2 xcos3 2x dx 4) ∫cos4θ Sen2θdθ

5) ∫cos (2t )Sen (3 t )dt 6) ∫ Sen (7 t )Sen (−2t )dt

7) ∫cot55 x dx 8) ∫ Sec3 9x dx

75

9) ∫ tan3 2θ Sec4 2θ dθ 10) ∫ tan5 2t Sec3 2t dt

11) ∫Csc5 2t dt 12) ∫cot4 2 t Csc3 2 t dt


1. 14Sen 4 x− 1

12Sen3 4 x+C

2.38t−1

2Sen t+ 1

16Sen2 t+C

3.1

10Sen52 x− 1

14Sen7 2x+C

4.1

16θ− 1

64Sen4θ+ 1

48Sen3 2θ+C

5.−12

cos t− 110

cos5 t+C

6.1

18Sen9 t− 1

10Sen5 t+C

7.1

10Ctg25 x− 1

20Ctg4 5 x+ 1

5ln|Sen5 x|+C

8.1

18Sec 9 x tan 9 x+ 1

18ln|Sec 9 x+ tan 9 x|+C

9.18

tan4 2θ+ 112

tan6 2θ+C

10.114

Sec7 2 t−15Sec5 2t+ 1

6Sec32 t+C

11.−15Csc3 2 t Ctg2 t− 3

20C tg2 t Csc 2t+ 3

20ln|Csc2 t−Ctg2 t|+C

12.− 112

Csc52 tCot2 t+ 748

Csc32 tCot 2 t− 132

Csc2 tCot 2 t+ 132

ln|Csc 2t−cot 2t|+C

76

Actividad No. 13 ¿Qué caso tiene? Individual – extra aulaPropósito: Analizar las fórmulas de los casos trigonométricos para determinar las condiciones de aplicaciónCriterio de evaluación: Llenado correcto de la tablaTiempo estimado para la actividad: 30 minutos

Descripción de la actividad: 1) Llena la tabla propuesta, indica el caso que resolverá a cada integral propuesta

y justifica. (Ver ejemplo)

Integral Caso trigonométrico Justificación

∫ Sen3 (2x )dx Caso I Porque el integrando contiene la función seno elevado a un exponente impar positivo.

∫ Sen (3 x )cos (2 x )dx

∫ tan4 ( x )dx

∫Csc6 (2x )dx

∫cos4 ( x2 )dx∫√Ta nx Sec4 x dx

∫cot3 x Csc3 x dx

∫cos3( x2 )dx∫ tan3 x Sec4 x dx

∫ Sec5 ( 4 x )dx

∫ Sen3 7 xcos37 x dx

2.3 Sustitución trigonométrica.

77

Conocimiento previo: Definición de las funciones trigonométricas y Teorema de Pitágoras.

Actividad No. 14 Pitagorízate Individual – extra aulaPropósito: Recordar el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas en triángulos rectángulos.Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la descripción correcta a cada enunciado.Tiempo estimado para la actividad: 20 minutos

Método de Sustitución trigonométrica

Este método se aplica cuando el integrando contiene una de las expresiones de la forma: √a2−u2;√a2+u2;√u2−a2, en donde “a” es una constante, a > 0, y “u” es una función derivable de x.

Este método involucra hacer sustituciones trigonométricas, según sea, la expresión que contenga el integrando, como se ilustra en la siguiente tabla:

Expresión en el integrando Sustitución trigonométrica La raíz se sustituye por:√a2−u2 u=aSenθ acos θ

√a2+u2 u=a tan θ a Secθ

√u2−a2 u=aSec θ a tan θ

Procedimiento:

Paso 1: Identificar la sustitución trigonométrica que se debe aplicar con sus valores correspondientes.Paso 2: Calcular el diferencial de “u” para obtener “dx”.Paso3: Sustituir la variable y el diferencial en el integrando, considerando la sustitución de la raíz por la expresión correspondiente en la tabla y simplificar.Paso 4: Resolver la integral resultante.Paso 5: Expresar el resultado del paso 4 en base a la variable que está definida la integral, si es necesario, trazar un triángulo rectángulo en donde sus elementos dependen de la función trigonométrica despejada de la sustitución (Paso 1) y calcular el lado faltante (raíz que generó la sustitución trigonométrica)

78

Descripción de la actividad: Para el siguiente triángulo rectángulo, determina: a) La longitud de cada uno de sus lados. b) Las funciones trigonométricas para cada uno de sus ángulos agudos

A ∝ c b θ C a B

Paso 6: Determinar en base al triángulo las funciones involucradas en el resultado del paso 4 y sustituirlas en dicho resultado.


1)∫ dx

x2√4−x2

Paso 1: La sustitución que corresponde a √4−x2 es u=aSenθ , conu=x ya=2 resulta x=2Senθ.

Paso 2: Se calcula el diferencial de “x”; dx=2cos θdθ

3er. Paso: Sustituyendo “x”, “dx” y √4−x2=2Cosθ y simplificando, resulta:

∫ dx

x2√4−x2=∫ 2cos θdθ

(2 Senθ )2(2Cosθ)=∫ dθ

4 Sen2θ

Paso 4: Al resolver la integral resultante, queda:

∫ dx

x2√4−x2=1

4∫1

Sen2θdθ=1

4∫Csc2θdθ=14

(−Cotθ )+C=−14

cot θ+C

Paso 5: Despejando de la sustitución trigonométrica Senθ= x2

, y sabiendo que

Senθ=Cateto opuestohipotenusa

, se traza el triángulo rectángulo en donde el cateto opuesto es

“x”, la hipotenusa es 2 y el cateto adyacente es √4−x2

2 X θ √4−x2

Paso 6: Calculando en base al triángulo cot θ=Cateto adyacenteCateto opuesto

=√4−x2

x y

sustituyendo en el resultado del paso 4 y simplificando:

∫ dx

x2√4−x2=−1

4 (√4−x2

x )+C=−√4−x2

4 x+C

2) ∫ √ t2+9dtt

La sustitución que corresponde a √ t2+9 con sus valores correspondientes es t=3 tan θ.

Calculando el diferencial de “t”, resulta que dt=3 Sec2θdθ

Sustituyendo “t”, “dt” y √ t2+9=3Secθ y simplificando, resulta:

79

∫ √ t2+9dtt

=∫ (3Secθ ) (3 Sec2θ )dθ3Tanθ

=∫ 3 Sec3θdθTanθ

Al resolver la integral resultante, queda:

∫ √ t2+9dtt

=3∫ (Secθ )Sec2θdθTanθ

=3∫ Secθ ( tan2θ+1 )dθTanθ

Aplicando identidad en

Sec2θ

Efectuando operaciones algebraicas, resulta:

∫ √ t2+9dtt

=3∫ (Secθ tan2θ+Secθ )dθT anθ

=3∫ Secθ tan2θdθTanθ

+3∫ Secθ dθTanθ

Simplificando la primera integral, sustituyendo Secθ=1

COSθyTanθ= Senθ

Cosθ en la

segunda integral y simplificándola, resulta:

∫ √ t2+9dtt

=3∫ SecθTanθ dθ+3∫1

CosθSenθCosθ

dθ=3∫ SecθTanθdθ+3∫ 1Senθ

dθ

Sustituyendo Cscθ= 1Senθ

en la segunda integral y resolviendo ambas integrales, resulta:

∫ √ t2+9dtt

=3∫ SecθTanθ dθ+3∫Cscθdθ=3Secθ+3 ln|Cscθ−Cotθ|+C

Despejando de la sustitución trigonométrica tanθ= t3

y sabiendo que

tanθ= Cateto opuestoCateto adyacente

, se traza el triángulo rectángulo en donde el cateto opuesto

es “t”, el cateto adyacente es 3 y la hipotenusa es √ t2+9

√ t2+9 t θ 3

Calculando en base al triángulo Secθ= hipotenusaCateto adyacente

=√ t 2+93

;

Cscθ= hipotenusaCateto opuesto

=√ t2+9t

;Cotθ=Cateto ayacenteCatetoopuesto

=3t

y sustituyendo en el

resultado del paso 4 y simplificando, resulta:

∫ √ t2+9dtt

=3(√ t2+93 )+3 ln|√t 2+9

t−3t |+C=√ t2+9+3 ln|√ t 2+9−3

t |+C80

3) ∫ dx

(x2−1 )3 /2

∫ dx

(x2−1 )3 /2=∫ dx

(√ x2−1 )3

La sustitución que corresponde a √ x2−1 con sus valores correspondientes es x=Secθ.

Calculando el diferencial de “x”, resulta que dx=Sec θTanθ dθ

Sustituyendo “x”, “dx” y √ x2−1=Tanθ y simplificando, resulta:

∫ dx

(x2−1 )3 /2=∫ SecθTanθ dθ

(Tanθ )3=∫ Secθ dθ

tan 2θ

Para resolver la integral resultante se sustituye

Secθ= 1Cosθ

; tan2θ= Sen2θcos2θ

y simplificando, queda:

∫ dx

(x2−1 )3 /2 =∫1

Cosθ

Sen2θcos2θ

dθ=∫ Cosθ

Sen2θdθ

Haciendo z=Senθ ,dz=Cosθ dθ ; despejandodθ= dzCosθ

Sustituyendo “z” y “dθ” en la integral resultante y simplificando, queda:

∫ dx

(x2−1 )3 /2 =∫ Cosθz2 ( dz

Cosθ )=∫ z−2dz= z−1

−1+C=−1

z+C

Sustituyendo z=Senθ y considerandoque Cscθ= 1Senθ

, resulta:

∫ dx

(x2−1 )3 /2= −1Senθ

+C=−Cscθ+C

Despejando de la sustitución trigonométrica Secθ= x1

, y sabiendo que

Secθ= hipotenusaCateto adyacente

, se traza el triángulo rectángulo en donde el cateto

adyacente es 1, la hipotenusa es “x” y el cateto opuesto es √ x2−1

x √ x2−1 θ 1

81

Calculando en base al triángulo Cscθ= hipotenusaCateto opuesto

= x

√ x2−1 y sustituyendo en el

resultado del paso 4, resulta:

∫ dx

(x2−1 )3 /2= −x

√x2−1+C

4) ∫√1−4 x2dx

La sustitución que corresponde a √1−4 x2 con sus valores correspondientes es 2 x=Senθ.

Calculando el diferencial de “x”, resulta que dx=12Cosθ dθ

Sustituyendo “dx” y √1−4 x2=cosθ y simplificando, resulta:

∫√1−4 x2dx=∫Cosθ( 12Cosθ dθ)=∫ 1

2cos2θ dθ

Se utiliza la identidad cos2θ=1+cos2θ2

y resolviendo, queda:

∫√1−4 x2dx=12∫ cos2θdθ=1

2∫( 1+cos2θ

2 )dθ=14∫ (1+cos2θ )dθ

∫√1−4 x2dx=14∫ dθ+ 1

4∫cos2θdθ=1

4θ+ 1

4 ( 12Sen2θ)+C

∫√1−4 x2dx=14θ+ 1

8Sen2θ+C

Sustituyendo Sen2θ=2SenθCosθ en el resultado y simplificando, queda:

∫√1−4 x2dx=14θ+ 1

8(2SenθCosθ )+C= 1

4θ+ 1

4SenθCosθ+C

Como Senθ=2 x ;θ=Sen−1 (2x ) yCosθ=√1−4 x2, resulta:

∫ √1−4 x2dx=14Sen−1 (2 x )+ 1

4(2x ) √1−4 x2+C=1

4Sen−1 (2 x )+1

2x√1−4 x2+C

5) ∫0

√3/2x2

(1−x2 )3/2 dx

La sustitución que corresponde a √1−x2 con sus valores correspondientes es x=Senθ

82

Como es una integral definida, los límites también se cambian en base a ésta sustitución, es decir:

Cuando x=0 ;θ=Sen−1 (0 )=0 yCuando x=√32

;θ=Sen−1(√32 )=π

3

Calculando el diferencial de “x”, resulta que dx=Cosθ dθ

Sustituyendo “x”, “dx”, √1−x2=Cosθ y los límites de 0aπ3

y simplificando, resulta:

∫0

√3/2x2

(1−x2 )3/2 dx=∫0

π /3 (Senθ )2Cosθ dθ(Cosθ )3

=∫0

π /3Sen2θcos2θ

dθ

Para resolver la integral resultante se aplica la identidad Tanθ=SenθCosθ

y la identidad de

tan2θ=Sec2θ−1 sustituyendo, queda:

∫0

√3/2x2

(1−x2 )3/2 dx=∫0

π /3

tan2θdθ=∫0

π /3

(Sec2θ−1 )dθ=∫0

π /3

Sec2θ dθ−∫0

π /3

dθ

Resolviendo ambas integrales y sustituyendo los límites de la integral definida, puesto que están definidos para la variable θ, resulta:

∫0

√3/2x2

(1−x2 )3/2 dx=(Tanθ−θ)|0π3 =[ tan( π3 )− π

3 ]−[ tan (0 )−0 ]=√3− π3

La siguiente integral ya se había resuelto en el ejemplo 3 de la sección 1.3.6 y se

obtuvo el siguiente resultado: ∫ 4 dx

x √9−4 x2=−4

3Arc Sech( 2 x

3 )+CSin embargo, observe que al resolver la misma integral por el método de sustitución trigonométrica, el resultado que se obtiene es la forma equivalente de las integrales que dan como resultado una función hiperbólica inversa, ambas respuestas son correctas.

6) ∫ 4 dx

x √9−4 x2

La sustitución que corresponde a √9−4 x2 con sus valores correspondientes es 2 x=3Senθ.

Calculando el diferencial de “x”, resulta que dx=32

cosθdθ

Sustituyendo “x”, “dx” y √9−4 x2=3Cosθ y simplificando, resulta:

83

∫ 4 dx

x √9−4 x2=∫

4( 32Cosθ dθ)

32Senθ (3Cosθ )

=∫ 4 dθ3Senθ

Para resolver la integral resultante se sustituye Cscθ= 1Senθ

; y simplificando, queda:

∫ 4 dx

x √9−4 x2=4

3 ∫Cscθdθ=43

ln|Cscθ−Cotθ|+C

Despejando de la sustitución trigonométrica Senθ=2x3

, y sabiendo que

Senθ=Cateto opuestohipot enusa

, se traza el triángulo rectángulo en donde el cateto opuesto es

“2x”, la hipotenusa es 3 y el cateto adyacente es √9−4 x2

3 2x θ √9−4 x2

Calculando en base al triángulo Cscθ= hipotenusaCateto opuesto

= 32 x

;

Cotθ=Cateto adyacenteCateto opuesto

=√9−4 x2

2x y sustituyendo en el resultado del paso 4, resulta:

∫ 4 dx

x √9−4 x2=4

3ln| 3

2x−√9−4 x2

2x |+C=43

ln|3−√9−4 x2

2x |+C

Ejercicio 2.3


1) ∫ x dx

√ x2+4 2)∫

0

1dx

(x2+1 )3/2 3) ∫ dx

x2√1−x2

4) ∫ dx

(1−x2 )3 /2 5) ∫ dx

√ x2−4 6) ∫ √4−x2dx

x2

7) ∫ √9−x2dxx

8) ∫ dx

x √4+x2 9) ∫ x2dx

√16−x2

10) ∫ x3dx

√ x2−9

84


1) √ x2+4+C 2) √22

3) −√1−x2

x+C 4)

x

√1−x2+C

5) ln|x+√ x2−4|+C 6) −√4−x2

x−Sen−1( x2 )+C

7) 3 ln|3−√9−x2

x |+√9−x2+C 8) 12

ln|√ x2+4−2x |+C

9) 8 Sen−1( x4 )−12x √16−x2+C 10)

13

(x2+18 )√x2−9++C

Actividad No. 15 ¿Qué te parece? Individual – en el aulaPropósito: Desarrollo de conceptosCriterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la descripción correcta a cada enunciado.Tiempo estimado para la actividad: 30 minutos Descripción de la actividad: 1. Decidir qué sustitución trigonométrica habría que hacer suponiendo que la integral a resolver contiene el radical dado, con a > 0. Explicar el razonamiento.a) √a2−u2 b) √a2+u2 c) √u2−a2

2. Enunciar el método de integración para realizar cada integración. Explicar por qué se eligió ese método. No integrar.a) ∫ x √x2+1 dx b) ∫ x2 √x2−1dx

3. Evaluar la integral ∫ x

x2+9dx usando a) la sustitución trigonométrica y b) cualquier

otra sustitución. Discutir los resultados.

4. Evaluar la integral ∫ x2

x2+9dx usando a) la sustitución trigonométrica y b) efectuando

la operación algebraica y luego integrando. Discutir los resultados.

Actividad No. 16 Cada quien con su cada cual

Individual – extra aula

Propósito: Resolución de las integrales propuestas.Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la solución correcta a las integrales propuestas.

85

Tiempo estimado para la actividad: 90 minutos


Identifica la sustitución trigonométrica adecuada dependiendo del tipo de integrando y empléala para resolver los problemas propuestos. Si alguna de las integrales pudiera resolverse por algún método visto anteriormente, indique cuál.

1 .∫ x2

√36−x2dx 2 .∫1

x √9+x2dx 3 .∫1

x √ x−25dx

4 .∫ x

x2+9dx 5 .∫ 1

( x2−1)32

dx 6 .∫ x3

√9 x2+49dx

2.4 Integración de funciones racionales.

Conocimiento previo: Tipos simples de factorización y Teoría de las ecuaciones

Actividad No. 17 Factovigorizante Individual – extra aulaPropósito: Activar conocimiento previo sobre los diferentes tipos de factorización.Criterio de evaluación: Se evaluará la tabla que contenga la información correcta para cada polinomio dado.Tiempo estimado para la actividad: 30 minutos

Descripción de la actividad: El estudiante llenará la tabla propuesta factorizando e identificando los tipos de factores encontrados en cada polinomio dado.

Forma del factor Nombre del factorax+b lineal distinto

(ax+b)k lineal repetidoax2+bx+c cuadrático distinto

(ax2+bx+c)k cuadrático repetido

Polinomio Factores Lineales distintos

Lineal repetido

Cuadrático distinto

Cuadrático repetido

x2−1 (x+1)(x-1) X X4x2 – 9

X2 + x – 2

X2 + 4x + 3

86

2x2 + x – 1

X3 – 4x

X2 – 2x – 8

X3 + x2

X3 – 4x2 + 4x

X3 + x2 – x – 1

X3 + x

X3 – 8

X4 – 2x2 – 8

16x4 – 1

X3 – x2 + x + 3

X4 + 6x2 + 9

Este método se aplica cuando el integrando es una función racional propia, es decir, de

la forma f ( x )= P (x)Q(x )

, en donde Q(x) se puede descomponer en factores lineales o

cuadráticos. En caso de que la función sea impropia, se debe hacer la división de polinomios y expresar el resultado en la forma:

P(x )Q(x)

=Cociente+ ResiduoQ(x)

En donde: ResiduoQ(x )

esuna fracción propia .

Este método consiste en descomponer una función racional en la suma de sus fracciones parciales o fracciones simples para poder aplicar las fórmulas básicas de la integración.

Para descomponer una fracción racional propia, reducida a su mínima expresión, en fracciones parciales se considera el teorema sobre fracciones parciales que se muestra en la siguiente tabla:

Tipos de factores

Forma del factor Fracción parcial

Caso I. Factores lineales

ax+b A cada factor lineal le corresponde una

87

distintos fracción de la forma A

ax+bCaso II. Factores lineales repetidos

(ax+b )kA cada factor lineal repetido le corresponde la suma de k fracciones parciales de la forma: A1

ax+b+

A2

(ax+b )2+…

Ak

(ax+b )k

Caso III. Factores cuadráticos distintos

a x2+bx+cA cada factor cuadrático le corresponde una

fracción de la forma: Ax+B

a x2+bx+c

Caso IV. Factores cuadráticos repetidos.

(a x2+bx+c )kA cada factor cuadrático repetido le corresponde la suma de k fracciones de la forma: A1 x+B1

a x2+bx+c+

A2 x+B2

(ax2+bx+c )2+…

Ak x+Bk

(a x2+bx+c )k

En donde: A, A1, A2…….Ak y B, B1, B2…….Bk son constantes.

Para calcular los valores de las constantes se utiliza el método general, que consta de los siguientes pasos:

Paso 1: Factorizar el denominador de la función racional dada y expresarla en función de las fracciones parciales que correspondan.Paso 2: Simplificar la ecuación, multiplicando en ambos lados por el denominador de la función racional.Paso 3: Efectuar operaciones en el lado derecho de la ecuaciónPaso 4: Agrupar términos semejantes en el lado derecho de la ecuación.Paso 5: Igualar los coeficientes de los términos semejantes en ambos lados de la ecuación, para formar ecuaciones lineales.Paso 6: Resolver el sistema de ecuaciones lineales.Paso 7: Se sustituyen los valores encontrados en la suma de las fracciones parciales.

Cuando se tiene una integral de una función racional, solo se sustituye la función racional por la suma de sus fracciones parciales encontradas por el método anterior, luego se aplica algún o algunos de los métodos vistos con anterioridad para resolver la integral.


En este ejemplo se aplica el método mencionado con anterioridad.

1) ∫ 6 x+1

4 x2−1dx

Paso 1: Factorizando el denominador de la función racional dada y expresándola en función de las fracciones parciales que corresponden.

88

6 x+1(2x+1 )(2 x−1)

= A2 x+1

+ B2x−1

Paso 2: Se multiplica ambos lados de la ecuación por (2 x+1 )(2x−1)

6 x+1=A (2 x−1 )+B(2 x+1)

Paso 3: Efectuando operaciones en el lado derecho de la ecuación6 x+1=2 Ax−A+2Bx+B

Paso 4: Agrupando términos semejantes en el lado derecho de la ecuación.6 x+1=(2 A+2B ) x+(−A+B)

Paso 5: Igualando los coeficientes de los términos semejantes en ambos lados de la ecuación, para formar ecuaciones lineales.Ec .1 :2 A+2B=6Ec .2 :−A+B=1

Paso 6: Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales generado en el paso anterior, resulta:

A=1 y B=2

Paso 7: Sustituyendo los valores encontrados en la suma de fracciones parciales:

∫ 6 x+1

4 x2−1dx=∫( 1

2 x+1+ 2

2 x−1 )dx

∫ 6 x+1

4 x2−1dx=∫ dx

2x+1+∫ 2dx

2 x−1=1

2ln|2 x+1|+ln|2 x−1|+C

Aplicando las propiedades de los logaritmos, el resultado se puede expresar como:

∫ 6 x+1

4 x2−1dx=ln (2 x−1 ) √2x+1+C

Otra manera de encontrar los coeficientes es, a partir del paso 2, aprovechar el hecho de que si dos polinomios son iguales, toman el mismo valor al darle valores a la variable “x”. Los siguientes ejemplos ilustran lo anterior.

2) ∫ x2+4x3−x

dx

Paso 1: Factorizando el denominador de la función racional dada y expresándola en función de las fracciones parciales que corresponden, resulta:

x2+4x ( x+1 )(x−1)

= Ax

+ Bx+1

+ Cx−1

89

Paso 2: Multiplicando ambos lados de la ecuación por x (x+1 )(x−1) y simplificando, resulta:

x2+4=A ( x+1 ) ( x−1 )+B ( x ) ( x−1 )+C ( x )(x+1)

Si “x” toma el valor de cero, el resultado en ambos lados de la igualdad debe ser el mismo, esto es:

Cuando x=04=A (1 ) (−1 )¿Cuánto debe valer “A” para que se cumpla lo anterior?Se despeja “A” y resulta que A=−4

De la misma manera cuando x=1

5=C (1 ) (2 );despejandoC=52

De la misma manera cuando x=−1

5=B (−1 ) (−2 ) ;despejandoB=52

Nota: ¿Observaste que los valores que se le dan a “x” son los que hacen cero a cada factor lineal?

Sustituyendo la fracción por la suma de sus fracciones parciales, queda:

∫ x2+4x3−x

dx=∫(−4x

+ 5 /2x+1

+ 5 /2x−1 )dx

∫ x2+4x3−x

dx=∫−4x

dx+∫ 5 /2x+1

dx+∫ 5/2x−1

dx=−4∫ dxx

+ 52∫ dx

x+1+ 5

2∫ dx

x−1

∫ x2+4x3−x

dx=−4 ln|x|+ 52

ln|x+1|+52

ln|x−1|+C


∫ x2+4x3−x

dx=ln|(x2−1 )5/2

x4 |+C

3) ∫ 2 x+3

x3+ x2dx

Factorizando el denominador de la función racional dada y expresándola en función de las fracciones parciales que corresponden, resulta:

90

2x+3

x2(x+1)= A

x+ B

x2+ Cx+1

Multiplicando ambos lados de la ecuación por x2 ( x+1 ) y simplificando, resulta:

2 x+3=A ( x ) ( x+1 )+B ( x+1 )+C (x2)

Cuando x=03=B (1 ) ;despejandoB=3

Cuando x=−11=C (−1)2; despejandoC=1

Efectuando operaciones en el lado derecho de la ecuación, con los valores de B = 3 y C = 1

2 x+3=A ( x ) ( x+1 )+3 ( x+1 )+x2

2 x+3=A x2+Ax+3 x+3+ x2

Agrupando términos semejantes en el lado derecho de la ecuación.

2 x+3=x2 ( A+1 )+ x ( A+3 )+3

Igualando los coeficientes de los términos semejantes en ambos lados de la ecuación, para formar ecuaciones lineales.

Ec .1 :A+1=0; Ec .2 : A+3=2

Resolviendo para encontrar el valor de “A”, se despeja, ya sea de la Ec.1 o de la Ec.2, resulta:

A=−1


∫ 2 x+3

x3+ x2 dx=∫(−1x

+3

x2 +1

x+1 )dx

∫ 2 x+3

x3+ x2dx=∫−1

xdx+∫ 3

x2dx+∫ 1

x+1dx=−1∫ dx

x+3∫ x−2dx+∫ dx

x+1

∫ 2 x+3x3+ x2 dx=−ln|x|+3 ( x−1

−1 )+ ln|x+1|+C=−ln|x|−3x+ ln|x+1|+C


∫ 2 x+3

x3+ x2dx=ln( x+1

x )−3x+C

91

4)∫ −2 x

x3+ x2+x+1dx

Factorizando el denominador y escribiendo las fracciones parciales que corresponden

−2 x( x+1 )( x2+1)

= Ax+1

+ Bx+Cx2+1

Multiplicando ambos lados de la ecuación por ( x+1 )(x2+1) y simplificando, resulta:

−2 x=A (x2+1 )+(Bx+C )(x+1)

Cuando x=−12=A (2 );despejando A=1

Efectuando operaciones en el lado derecho de la ecuación, con A = 1−2 x=x2+1+B x2+Bx+Cx+C

Agrupando términos semejantes

−2 x=x2 (1+B )+x (B+C )+(1+C )

Igualando los coeficientes de los términos semejantes en ambos lados de la ecuación, para formar ecuaciones lineales, resulta:

Ec .1 :1+B=0 ; Ec .2 :B+C=−2; Ec .3 :1+C=0

Resolviendo para B y C, resulta:

B=−1 ;C=−1


∫ −2 x

x3+ x2+x+1dx=∫( 1

x+1+

−x−1

x2+1 )dx

∫ −2 x

x3+ x2+x+1dx=∫ dx

x+1+∫−x−1

x2+1dx=∫ dx

x+1−∫ xdx

x2+1−∫ dx

x2+1

∫ −2 x

x3+ x2+x+1dx=ln|x+1|−1

2ln|x2+1|−tan−1 ( x )+C , o bien:


∫ −2 x

x3+ x2+x+1dx=ln( x+1

√ x2+1 )−tan−1 ( x )+C

92

5) ∫ 3 x3+2 x2+6 x+11x4+5 x2+4

dx


3x3+2 x2+6 x+11(x2+1 ) (x2+4 )

= Ax+Bx2+1

+Cx+Dx2+4

Multiplicando ambos lados de la ecuación por (x2+1 )(x2+4) y simplificando, resulta:

3 x3+2x2+6 x+11=( Ax+B ) (x2+4 )+(Cx+D ) (x2+1 )

Efectuando operaciones en el lado derecho de la ecuación:

3 x3+2x2+6 x+11=A x3+4 Ax+B x2+4 B+C x3+Cx+Dx2+D

Agrupando términos semejantes:

3 x3+2x2+6 x+11=( A+C ) x3+ (B+D ) x2+(4 A+C ) x+(4 B+D)


Ec .1 :A+C=3Ec .2 :B+D=2Ec .3 :4 A+C=6Ec .4 : 4 B+D=11

Resolviendo el sistema de ecuaciones formado en el paso anterior, resulta:

A=1; B=3;C=2 ; D=−1


∫ 3 x3+2 x2+6 x+11x4+5 x2+4

dx=∫( x+3x2+1

+ 2x−1x2+4 )dx

∫ 3 x3+2 x2+6 x+11x4+5 x2+4

dx=∫ x+3x2+1

dx+∫ 2x−1x2+4

dx

∫ 3 x3+2 x2+6 x+11x4+5 x2+4

dx=∫ xx2+1

dx+3∫ dxx2+1

+2∫ xx2+4

dx−∫ dxx2+4

∫ 3 x3+2 x2+6 x+11x4+5 x2+4

dx=12

ln|x2+1|+3 tan−1 ( x )+ ln|x2+4|−12

tan−1( x2 )+C

93


∫ 3 x3+2 x2+6 x+11x4+5 x2+4

dx=ln (x2+4 )√x2+1+3 tan−1 ( x )−12

tan−1( x2 )+C

6) ∫ 3 x4+x3+20x2+3 x+31

( x+1 ) (x2+4 )2dx

Como el denominador ya está factorizando, se escriben las fracciones parciales que corresponden:

3x4+ x3+20 x2+3 x+31

(x+1)(x2+4 )2= A

x+1+Bx+Cx2+4

+ Dx+E(x2+4 )2

Multiplicando ambos lados de la ecuación por ( x+1 )(x2+4)2 y simplificando, resulta:

3 x4+x3+20 x2+3 x+31=A (x2+4 )2+(Bx+C ) ( x+1 ) (x2+4 )+ (Dx+E )(x+1)

Efectuando operaciones y agrupando términos semejantes en el lado derecho de la ecuación, resulta:

3 x4+x3+20 x2+3 x+31=( A+B ) x4+(B+C ) x3+(8 A+4B+C+D ) x2+ (4 B+4C+D+E ) x+(16 A+4 C+E)


Ec1. :A+B=3Ec .2 :B+C=1Ec .3 :8 A+4 B+C+D=20Ec .4 : 4 B+4C+D+E=3Ec .5 :16 A+4C+E=31

Cuando x=−150=A (25 ); despejando A=2

Resolviendo el sistema, a partir de A = 2, resulta:

B=1 ;C=0 ; D=0 ; E=−1


∫ 3 x4+x3+20x2+3 x+31

( x+1 ) (x2+4 )2dx=∫ [ 2

x+1+ xx2+4

− 1

(x2+4 )2 ]dx∫ 3 x4+x3+20x2+3 x+31

( x+1 ) (x2+4 )2dx=∫ 2dx

x+1+∫ x dx

x2+4−∫ dx

(x2+4 )2

94

∫ 3 x4+x3+20x2+3 x+31

( x+1 ) (x2+4 )2d=2 ln|x+1|+ 1

2ln|x2+4|− 1

16tan−1( x2 )− x

8(x2+4)+C


∫ 3 x4+x3+20x2+3 x+31

( x+1 ) (x2+4 )2dx=ln(x+1)2 √x2+4− 1

16tan−1( x2 )− x

8 (x2+4)+C

Nota: Resolver ∫ dx

(x2+4 )2 implica utilizar el método de sustitución trigonométrica.

7)∫ x5+2x2−1

dx

Como la fracción racional dada es impropia, primero se hace la división de polinomios y la integral se reexpresa como:

∫ x5+2x2−1

dx=∫(x3+x+ x+2x2−1 )dx=∫ x3dx+∫ xdx+∫ x+2

x2−1dx

La tercera integral es la que se descompone en fracciones parciales, ya que las dos primeras se resuelven por reglas básicas.


x+2( x+1 )( x−1)

= Ax+1

+ Bx−1

Multiplicando ambos lados de la ecuación por ( x+1 ) (x−1 ) y simplificando, resulta:

x+2=A ( x−1 )+B(x+1)

Cuando x=1;

3=B (2 ) ;despejandoB=32

Cuando x=−1 ;

1=A (−2 );despejando A=−12


∫ x5+2x2−1

dx=∫(x3+x− 1/2x+1

+ 3/2x−1 )dx

∫ x5+2x2−1

dx=∫ x3dx+∫ xdx−12∫ dx

x+1+3

2∫ dx

x−1

95

∫ x5+2x2−1

dx= x4

4+ x2

2−1

2ln|x+1|+ 3

2ln|x−1|+C


∫ x5+2

x2−1dx=1

4x4+ 1

2x2+ln [ ( x−1 )3 /2

√ x+1 ]+C

Ejercicio 2.4Resuelva cada una de las siguientes integrales:

1¿∫ −x+8x2−6 x+8

dx2¿∫ x2+12 x−12x3−4 x

dx

3¿∫ 11 x2+5 x−42 x3−x2 dx 4 ¿∫−2 x3−5 x2+8 x+3

x4−2 x2+1dx

5¿∫ 4 x3−4 x2+2 x−3x4+ x2 dx6¿∫ 4 x3−5 x2+16 x−45

x4+13 x2+36dx

7¿∫ 3x3+7 x2+15x+16x4+x3+4 x2+4 x

dx 8¿∫ 3 x4−4 x2−4 x+3

( x+2 ) (x2+1 )2 dx ¿

9¿∫ 2x3+3 x2+4 x+5x3−x

dx 10¿∫0

2dx

x2+4 x+3


1¿2 ln|x−4|−3 ln|x−2|+C2¿ ln|x3 ( x−2 )2

( x+2 )4 |+C ¿

3¿ ln|x3 (2x−1 )5 /2|−4x

+C 4¿ ln| ( x+1 )( x−1 )3|+ 2

x+1−

1x−1

+C

5¿2 ln|x|+ 3x

+ln|x2+1|− tan−1 x+C 6¿2 ln|x2+9|−52

tan−1( x2 )+C ¿

7¿4 ln|x|−ln|x+1|+ 32

tan−1( x2 )+C 8¿ ln|( x+2 )3|¿+ 1

x2+1+C

9¿2 x+ ln|( x+1 ) ( x−1 )7

x5 |+C10¿ ln 3−ln √5

Actividad No. 18 ¿Sabes teoría? Individual – en el aulaPropósito: Desarrollo de conceptosCriterio de evaluación: Se evaluará el reporte del cuadro sinóptico que contenga la descripción correcta a cada método de integración.Tiempo estimado para la actividad: 15 minutos

96

Descripción de la actividad: Llena el cuadro sinóptico a dos columnas explicando cuando se aplica cada uno de los métodos de integración.

Método de Integración Cuando se aplicaPor partes

¿Hay excepciones? Si ___ No____Casos trigonométricos

Sustitución trigonométrica

Fracciones parciales

Actividad No. 19 Uy que miedo Individual – extra aulaPropósito: Repaso de los métodos de integración.Criterio de evaluación: Se evaluará un reporte que contenga el cuadro sinóptico contestado correctamenteTiempo estimado para la actividad: 1 hora

97


La siguiente tabla presenta una lista de integrales. Escribe en el espacio indicado el método que usarías para integrar, justifica plenamente tu respuesta.

Integral Método de integración Justificación1) ∫ tan 4 x dx

2) ∫ ln x dx

3) ∫ cos3 xSen3 x

dx

4) ∫ x2 (2x3+3 )5dx

5) ∫ x ex dx

6) ∫ x−1

x2−x−2 dx

7) ∫ 2 x

√ x2+16dx

8) ∫cos3 (5x )dx

9) ∫ dx

x2+16

10) ∫ dx

√ x2+16

Actividad No. 20 “La Matona” En equipo – extra aulaPropósito: Resolver problemas de ingeniería utilizando los métodos de integraciónCriterio de evaluación: Se evaluará la presentación oral que muestre el desarrollo claro, ordenado y coherente por parte del equipo.Tiempo estimado para la actividad: 50 minutos

Descripción de la actividad: 1. Hacer una presentación oral que muestre los planteamientos y la solución a un problema elegido al azar por el docente.2. Responder a los cuestionamientos de los compañeros de clase.

98

Problemas propuestos:

Integración por partes1. Valor actual.Encontrar el valor presente de un flujo de ingreso continuo en dólares por año c(t) si:

P=∫0

t1

c ( t ) e−rt dt

Donde P es el valor presente, t1 es el tiempo en años y r es la tasa de interés anual compuesto continuo. Para:a) c(t) = 100 000 + 4 000t; r = 5 %; t1 = 10b) c(t) = 30 000 + 500t; r = 7 %; t1 = 5

Potencias de funciones trigonométricas2. Volumen. El volumen de un sólido que se genera al girar una región con respecto al eje X, está dado por:

V=π∫0

π

Sen2 x dx, en unidades cúbicas.

Encontrar el volumen de dicho sólido.

Sustitución trigonométrica3. Intensidad de campo.

La intensidad de campo H de un imán de longitud 2L sobre una partícula a r unidades del centro del imán es:

H= 2mL

(r2+L2 )32

Donde ± m son los polos del imán. Encontrar la intensidad de campo media cuando la partícula se mueve de 0 a R unidades del centro evaluando la integral

H= 1R∫0

R2mL

(r2+L2 )32

dr

Fracciones parciales4. Modelo de epidemias

Un solo individuo infectado entra en una comunidad de n individuos susceptibles. Sea x el número de individuos recientemente infectados en el momento t. El modelo de epidemias común asume que la enfermedad se extiende a un ritmo proporcional al producto del número total infectado y al número no infectado todavía. Así, dx / dt = K (x+1)(n – x) y se obtiene:

∫ 1( x+1 )(n−x)

dx=∫ K dt

99

Resolver para “x” como una función de t.

Capítulo 3. Aplicaciones de la integral definida

Competencia Particular 3:Formular la integral definida mediante el análisis de datos o la interpretación geométrica para resolver problemas de área de una región en el plano, volumen de un sólido de revolución y longitud de arco.

Elemento de competencia 6:Formular la integral definida mediante la interpretación gráfica de datos para resolver problemas de área, volumen y longitud de arco.

Conocimiento previo: Continuidad de funciones, gráfica de funciones, notación de las funciones.

Actividad No. 21 Actívate Individual – extra aulaPropósito: Activación del conocimiento previo sobre gráficas de funcionesCriterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga el análisis y gráfico correcto de cada una de las funciones dadas.Tiempo estimado para la actividad: 1 hora

Descripción de la actividad:1) Para cada una de las siguientes funciones trazar su gráfica, determinar su continuidad y si es posible, expresarla como f(x) y como f(y).

a) y = x2 d) y = 3(x3 – x)b) y = e) x = 4 – y2

c) y = f) x = 4g) y = - 2 Nota: Puedes usar software de graficación.

3.1 Área entre dos curvas.

Para calcular el área entre dos curvas debemos partir del análisis de la gráfica de la región considerando que:

1) Si elegimos utilizar el “dx”, entonces los límites de la región están sobre el “Eje x”, y el área está dada por:

A=∫a

b

[ (Función dearriba )−( funcióndeabajo)] dx

Utilizando funciones de x.

100

2) Si elegimos utilizar el “dy”, entonces los límites de la región están sobre el “Eje y”, y el área está dada por:

A=∫a

b

[ (funciónderecha )−(Funciónizquierda)] dy

Utilizando funciones de y.

Ejemplo 1: Formula y calcula la integral definida que da el área de la región limitada por las gráficas de:

y=√x ; y=0 ; x=4

Solución:Primeramente debemos trazar la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas, lo cual resulta:

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

1

2

y = Sqrt (x)

y = 0

x = 4

Utilizando el “dx” y considerando los límites con respecto al eje X, nos resulta que:

- Los límites de la región son de 0 a 4- La función de arriba está dada por y=√x- La función de abajo está dada por y = 0- Sustituyendo en la fórmula para calcular el área y resolviendo la integral definida, resulta:

A=∫a

b

[ (Función dearriba )−( funcióndeabajo)] dx

A=∫0

4

(√x−0 )dx

A=∫0

4

(√x−0 )dx=∫0

4

x1/2dx=23x3 /2|

0

4

=23

[ (4 )3 /2−(0)3 /2 ]=23

(8 )=163u2

Utilizando el “dy” y considerando los límites con respecto al eje Y, nos resulta que:- Los límites de la región son de 0 a 2- La función derecha está dada por x = 4- La función izquierda está dada por x = y2

- Sustituyendo en la fórmula para calcular el área y resolviendo la integral definida, resulta:

A=∫a

b

[ ( funciónderecha )−(Función izquierda)] dy

101

A=∫0

2

(4− y2 )dy

A=∫0

2

4 dy−∫0

2

y2dy=(4 y− y3

3 )|0

2

=8−83=16

3u2

Ejemplo 2: Formula y calcula la integral definida que da el área de la región acotada por las gráficas de: y = x3; y = x

Solución:

Primeramente debemos trazar la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas, lo cual resulta:

x

y

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

0

1

y = x ^3

y = x

Analizando la gráfica de la región podemos observar que se forman dos regiones iguales, R1 y R2, por lo tanto se puede calcular el área de una de ellas y el área total está dada por la suma de las dos, es decir, A = A1 + A2

Utilizando el “dx”, considerando los límites de la región con respecto al eje X, y analizando la región R1 tenemos que:

- Los límites de la región son de -1 a 0- La función de arriba está dada por y = x3

- La función de abajo está dada por y = x- Sustituyendo en la fórmula y resolviendo la integral definida para calcular el A1, resulta:

A=∫a

b

[ (Función dearriba )−( funcióndeabajo )] dx

A1=∫−1

0

(x3−x )dx

A1=∫−1

0

(x3−x )dx= x4

4− x2

2 |−1

0

=(0 )−( 14

−12 )=1

4u2

A=A1+A2=2 A1

A=2( 14 )=1

2u2

102

En el siguiente ejemplo se muestra primero, el análisis matemático, a partir de las funciones que forman la región para después trazar la gráfica de la región.

Ejemplo 3: Formula y calcula la integral definida que da el área de la región acotada por las gráficas de: x= y2+3 y+3 ; x=− y

Procedimiento:

1) Encontrar los puntos de intersección a través de un sistema de ecuaciones para establecer los límites de la región.

Haciendo una igualación de x = x con las ecuaciones dadas y resolviendo para “y”, resulta:y2+3 y+3=− yy2+4 y+3=0( y+3 ) ( y+1 )=0y+3=0 ;despejando : y=−3 ; para y=−3 ,entonces x=3y+1=0; despejando: y=−1 ; para y=−1 , entonces x=1

Por lo tanto los puntos de intersección son:P1(3,-3) y P2(1,-1)

2) Tabular algunos puntos de cada función dada, de preferencia valores entre los límites.

Ec. 1: x= y2+3 y+3

Ec.2: x=− y

3) Trazar la gráfica de cada una de las funciones dadas.

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7

-2

0

x = y ^2 + 3y + 3

x = - y

4) Formular la integral que da el área de la región.

Utilizando “dy” y considerando los límites con respecto al eje Y, nos resulta que:- Los límites de la región son de -3 a -1- La función derecha está dada por: x=− y- La función izquierda está dada por: x= y2+3 y+3- Sustituyendo en la fórmula para calcular el área y resolviendo la integral definida, resulta:

103

x 3 1 1y -3 -2 -1

x 3 2 1y -3 -2 -1

A=∫a

b

[ ( funciónderecha )−(Funciónizquierda)] dy

A=∫−3

−1

¿¿

5) Resolver la integral para calcular el área.

A=− y3

3−4( y2

2 )−3 y|−3

−1

=(13−2+3)— (9−18+9 )=4

3u2

Ejercicio 3.1

Calcular el área de cada una de las regiones que se forman con las gráficas de las funciones dadas:1) y=x2+3 ; y=0 ; x=0; x=2

2) y=x2 ; y=0 ; x=2

3)y=x2 ; x=0 ; y=2

4) y=√x ; Eje x ; x=2

5) f ( x )=x2−2x ;g ( x )=0

6) y=1x; y=0; x=1; x=3

7) x= y2 ; x=−1 ;Eje x ; y=3

8) f ( y )= y2−4 y+6 ; g ( y )=10− y

9) y=x3+x2−2 x ; y=0

10) 2 x−5 y+9=0; y=2x−3 ;2x+3 y+1=0

11) y=Sen ( x ); y=0 ;0≤x ≤π

12) y=ln x ; y=ln 3; x=1

13) y=1

x2−4; x=3 ; x=4 ; y=0

14) y=√4−x2 ; y=0

15) y=Sen2 ( x ); x=0 ; x= π3; Eje x

Solución al Ejercicio 3.1

1) A=263

u2 2) A=83u2 3) A=4√2

3≈1.885u2 4) A=4√2

3≈1.885u2

104

x

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1

0

1

2

F

G

5) A=43u2 6) A=ln 3≈1.098u2 7) A=12u2 8) A=125

6u2

9) A=3712

≈3.08u2 10) A=8u2 11) A=2u2 12) A=2−ln3≈0.9014u2

13) A=ln( 53 )

1 /4

≈0.128u2 14) A=2π u2 15) A= 4 π−3√324

≈0.9165u2

Actividad No. 22 La Fashion Individual – en el aulaPropósito: Formular la integral para calcular el área de una región.Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la fórmula correcta para encontrar el área para cada una de las regiones.Tiempo estimado para la actividad: 15 minutos

Descripción de la actividad: El estudiante formulará la integral definida que da el área en cada una de las regiones dadas.

1. F(x) = x2 – 6x ; G(x) = 0 2. F(x) = x2 + 2x +1 ; G(x) = 2x + 5

A= ____________________________ A= ________________________________

xy

0 1 2 3 4 5 6 7

-5

0

F (x) = x^2 - 6x

G (x) = 0

x

y

-2 0 2 4 6

0

5

F (x) = x^2 + 2x + 1

G (x) = 2x + 5

3. F(x) = x2 – 4x + 3; G(x) = -2x2 + 2x + 3 4. F(y) = y2 ; G(y) = y + 2

A=_____________________________ A= _____________________________

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

-2

-1

0

1

2

F

G

5. F(x) = 3(x3 – x) ; G(x) = 0

105

x

y

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-1

0

1

2

3

4 G

F

x

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1

0

1

2

F

G

A=_______________________________

Actividad No. 23 No te quedes mirando Individual – extra aulaPropósito: Familiarizarse con un asistente matemático y que lo utilice para preparar los gráficos que posteriormente analizará en clase.Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga los gráficos impresos.Tiempo estimado para la actividad: 1 hora

Descripción de la actividad.Grafica las siguientes funciones con ayuda de un asistente matemático.

a) y=x √ x2+5 , el eje x y la recta x=2.

b) y=x3−2 x2−5 x+6 , el eje x y las rectas x=-1 y x=2.

c) y=x2 , y=−x2+4 x

d) y2=2x−2 , y=x−5

Nota: Los gráficos serán utilizados en el aula la sesión siguiente.Software sugerido: Derive, Graphmatica, Matlab, etc. (Consúltalos en la Infoteca).

3.2 Volumen de un sólido de revolución.

Un sólido de revolución se genera cuando se gira una región en el plano “XY” con respecto a una línea recta, llamada eje de revolución, que no puede intersectar a la región, excepto, tal vez, en su frontera. Se utilizan en la fabricación de émbolos, envases, piezas para maquinaria, etc. En nuestro estudio el eje de revolución será una recta horizontal o vertical, en caso de que sea una recta oblicua, se hace una rotación de ejes antes de hacer el análisis del volumen de dicho sólido.

Es muy importante el eje de revolución, ya que de él depende el sólido que se va a formar. Por ejemplo, si se gira una región rectangular, como se muestra en la figura 1, con respecto a los ejes “x” y “y” obtenemos:Figura 1:

a) Sólido formado al girar con respecto al eje x b) Sólido formado al girar con respecto al eje Y

106

Y

X

3.2.1 Método del disco y de arandela.

Sea una región R en el plano “XY” que se va a girar alrededor de una recta horizontal o vertical, la fórmula para calcular el volumen del sólido resultante es:

(1) V¿ π∫a

b

¿¿ Cuando el eje de revolución es horizontal

(2) V¿ π∫a

b

¿¿ Cuando el eje de revolución es vertical

En donde:R es el radio exterior del disco o la arandelar es el radio interior del disco (r = 0) o la arandelaa y b son los límites de la región; pueden ser sobre el eje “X” (Fórmula 1) o sobre el eje “Y” (Fórmula 2).

Nota: Para aplicar este método se requiere que el rectángulo generado por el diferencial sea tal que al prolongarlo sea perpendicular al eje de revolución. Esto nos dará una mejor visión para determinar los radios.

Ejemplo 1:

Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma cuando se gira la región acotada por las gráficas de: y=x2+2 ; y=0 ; x=0 y x=2 con respecto al eje “X”.

Gráfica de la región:

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0

2

4

6

y = x^2 + 2

y = 0

x = 0

x = 2

A partir de la gráfica de la región y considerando que el sólido se forma cuando se gira la región con respecto al eje “X”, resulta que:

R ( x )=x2+2;r ( x )=0 ; a=0 y b=2 y sustituyendo en la Fórmula 1, obtenemos el volumen del sólido por:

(1) V¿ π∫a

b

¿¿

107

V=π∫0

2

[(x2+2)2 ]dx=π∫0

2

(x4+4 x2+4 )dx=π [ x5

5+

4 x3

3+4 x ]

0

2

V=37615

π u3

Ejemplo 2:

Calcule el volumen del sólido generado cuando se gira la región limitada por las gráficas de: y=√x ; y=0 y x=4 con respecto a la recta x=4.


x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

0

1

2

3

y = Sqrt (x)

y = 0

x = 4

A partir de la gráfica de la región y considerando que el sólido se forma cuando se gira la región con respecto a la recta x = 4, resulta que:

R ( y )=4− y2;r ( y )=0 ;a=0 y b=2 y sustituyendo en la Fórmula 2, obtenemos el volumen del sólido por:

(2) V¿ π∫a

b

¿¿

V=π∫0

2

[(4− y2)2 ]dy=π∫0

2

(16−8 y2+ y4 )dy=π [16 y−8 y3

3+y5

5 ]0

2

V=25615

π u3

Ejemplo 3:

Calcule el volumen del sólido que se genera al girar la región limitada por las gráficas de: y=ex ; y=0 ; x=−1 y x=1 , con respecto a la recta y = -1.


108

x

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1

0

1

2

3

y = e ^x

A partir de la gráfica de la región y considerando que el sólido se forma cuando se gira la región con respecto a la rectay=−1 , resulta que:

R ( x )=ex+1 ;r (x )=1; a=−1 y b=1 y sustituyendo en la Fórmula 1, obtenemos el volumen del sólido por:

(1) V¿ π∫a

b

¿¿

V=π∫−1

1

[ (ex+1 )2−(1 )2 ]dx=π∫−1

1

(e2x+2ex )dx=π [ 12e2x+2ex]

−1

1

V=π [( 12e2+2e )−( 1

2e−2+2e−1)]≈8.326 π u3

Ejemplo 4:

Calcule el volumen del sólido que se genera al girar la región limitada por las gráficas de: y=x2 ; y=0 ; x=1, con respecto a la recta x = 3.


x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0

2

4

6

8

10

y = x^2

x = 3


R ( y )=3−√ y ;r ( y )=2; a=0 y b=1 y sustituyendo en la Fórmula 2, obtenemos el volumen del sólido por:

(2) V¿ π∫a

b

¿¿

V=π∫0

1

[(3−√ y )2−(2)2 ]dy=π∫

0

1

(5−6√ y+ y )dy=π [5 y−4 y32 + y2

2 ]0

1

V=32π u3

109

3.2.2 Método de la corteza cilíndrica.

Este es un método alternativo para calcular el volumen de un sólido de revolución. Se considera un rectángulo representativo de altura h, de anchura un diferencial y donde r denota la distancia del centro del rectángulo al eje de revolución, en donde, al girarlo con respecto a su eje de revolución se genera una capa cilíndrica.

Para calcular el volumen de un sólido de revolución con eje paralelo al eje “X” o al eje “Y” por el método de la corteza cilíndrica se usa una de las siguientes fórmulas:

(1) V=2π∫a

b

r ( y )h ( y )dy Cuando el eje de revolución es horizontal

(2) V=2π∫a

b

r (x )h ( x )dx Cuando el eje de revolución es vertical

En donde: los límites de la región, a y b, pueden ser sobre el eje “Y” en la fórmula ( 1 ) o bien, sobre el eje “X” en la fórmula ( 2 ).

Nota: Para aplicar este método se requiere que el rectángulo generado por el diferencial sea tal que, al prolongarlo, sea paralelo al eje de revolución.

Ejemplo 1:Calcule el volumen del sólido generado cuando se gira la región limitada por las gráficas de: y=√x ; y=0 y x=4 con respecto a la recta x=4.


x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

0

1

2

3

y = Sqrt (x)

x = 4

y = 0


r ( x )=4−x ;h ( x )=√ x ;a=0 y b=4 y sustituyendo en la fórmula ( 2 ), obtenemos el volumen del sólido por:

V=2π∫a

b

r (x )h ( x )dx=2π∫0

4

(4−x ) √x dx

V=2π∫0

4 (4 x12−x

32 )dx=2π [ 8

3x

32−2

5x

52 ]

0

4

=2 π ( 643

−645 )

110

V=25615

π u3

Nota: este ejemplo es igual al ejemplo 2 del 3.2.1 pero se resolvió por el método de la corteza cilíndrica, es obvio, que los resultados son iguales.

Ejemplo 2:

Calcule el volumen del sólido que se genera al girar la región acotada por las gráficas de: y=1+cos x ; y=2; x=π con respecto al eje “Y”.


x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

0

1

2

3

y = 2

y = 1 + Cos x x = pi

A partir de la gráfica de la región y considerando que el sólido se forma cuando se gira la región con respecto al eje “Y”, resulta que:

r ( x )=x ; h (x )=1−cos x ;a=0 yb=π y sustituyendo en la fórmula (2), obtenemos el volumen del sólido por:

V=2π∫a

b

r (x )h ( x )dx=2π∫0

π

x (1−cos x)dx

Resolviendo mediante integración por partes, resulta:

V=2π [ x2

2−x Sen x−cos x ]

0

π

=2π [( π2

2−πSen π−cos π )−(−cos0 )]

V=π (π2+4 )u3≈43.57u3

Ejemplo 3:

Calcule el volumen del sólido que se genera al girar la región limitada por las gráficas de: x=4 y− y2 ; y=0 ; x=4 , con respecto al eje “X”.

111


x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

0

1

2

3

x = 4y - y^2

y = 0

x = 4

A partir de la gráfica de la región y considerando que el sólido se forma cuando se gira la región con respecto al eje “X”, resulta que:

r ( y )= y ;h ( y )=4−4 y+ y2;a=0 y b=2 y sustituyendo en la Fórmula 1, obtenemos el volumen del sólido por:

V=2π∫a

b

r ( y )h ( y )dy=2 π∫0

2

y ( 4−4 y+ y2 )dy

V=2π∫0

2

(4 y−4 y2+ y3) dy=2π [2 y2−43y3+ 1

4y4]

0

2

V=83π u3

Ejercicio 3.2

Calcule el volumen del sólido de revolución generado al girar la región R alrededor del eje indicado.1) R : y=x3 ; y=0 ; x=1 en el eje “X”2) R : y=4−x2; y=2−x en el eje “X”3) R : x= y3 /2 ; x=0 ; y=4 en el eje “Y”4) R : y=tan x ; y=1 ; x=0 en el eje “X”5) R : x= y2 ; y=x−2 en la recta x = 46) R : y=−2ex ; x=−3 ; x=−1 ; y=0 en la recta y = 17) R : y=x−x2 ; y=0 en el eje “Y”8) R : x=− y2+2 y ; x=0 en el eje “X”9) R : x= y3+1 ; x=2; x=9 ; y=0 en la recta x = 910) R : x=√ y ; y=x−1 ; x=0 ; x=2 en la recta x = 3


1) V=17π u3 2) V=108

5π u3 3) V=64π u3 4) V ≈1.79u3

112

5) V=1085

π u3 6) V ≈4.83u3 7) V=16π u3 8) V=8

3π u3

9) V= 4987

πu3 10) V=283

π u3

Actividad No. 24 ¡Qué tal pollo! Individual – extra aulaPropósito: Análisis de una región para formular y calcular el área de una región e identificar los elementos para calcular el volumen del sólido de revolución que se genere cuando se gira la región con respecto a un eje indicado.Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga los datos correctos para calcular el volumen del sólido generado, en cada caso.Tiempo estimado para la actividad: 15 minutos

Descripción de la actividad: El estudiante analizará la gráfica dada para:1) Calcular el área de la región2) Identificar los elementos necesarios para calcular el volumen del sólido que se genere al girar la región con respecto a:

a) la recta x=−2b) la recta y=−1

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0

1

2

3

y = 2

y = x^2

x = 0

3.3 Longitud de arco.

Si la derivada de una función f (x) es continua en un intervalo [a ,b ], se dice que la función f (x) representa una curva suave en el intervalo [a ,b ].

Arco de una curva es la porción de una curva comprendida entre dos puntos sobre ella

113

Definición de longitud de arco

Sea la función y=f (x ) una curva suave en el intervalo [a ,b ], la longitud de arco def entre el punto (a , f (a)) y el punto (b , f (b)) es:

S=∫a

b

√1+[ f ´ (x) ]2dx

Nota: De acuerdo a la definición anterior el procedimiento para calcular la longitud de de arco de una función consiste en derivar la función dada, elevar al cuadrado la derivada de la función, sustituir la derivada en la fórmula para calcular longitud de arco y simplificar, para finalmente integrar.

Ejemplo 1

Encontrar la longitud de arco de la función y=23x

32 +1, en el intervalo [ 0 ,3 ] .

Derivando la función dada queda:

y=23x

32 +1 y ´=x

12 ( y ´ )2=x

Sustituyendo ( y ´ )2=x en la definición de longitud de arco, simplificando e integrando queda:

S=∫0

3 √1+[ x 12 ]2dx=∫

0

3

√1+x dx=∫0

3

(1+x )12dx=[ 2 (1+x )

32

3 ]0

3

Evaluando el resultado para el intervalo dado queda,

S=23

[ (1+3 )32−(1+0 )

32 ]=14

3

Ejemplo 2

Encontrar la longitud de arco de la función y=12x

32 en el intervalo [ 0 ,4 ] .


y=12x

32 y ´=3

4x

12 ( y ´ )2= 9

16x

Sustituyendo ( y ´ )2= 916

x en la definición de longitud de arco, simplificando,

completando el diferencial e integrando queda:

S=∫0

4

√1+ 916

x dx=169∫0

4

√udu=[ 169

23u

32 ]

0

4

= 3227 (1+ 9

16x)

32|

0

4

≈5.759

Ejemplo 3

Encontrar la longitud de arco de la función y=12

(ex+e−x ) en el intervalo [−10 ,10 ] .

114

Definición de longitud de arco

Sea la función y=f (x ) una curva suave en el intervalo [a ,b ], la longitud de arco def entre el punto (a , f (a)) y el punto (b , f (b)) es:

S=∫a

b

√1+[ f ´ (x) ]2dx


y=12

(ex+e−x ) y '=12

(ex−e− x) ( y ´ )2=14

(e2x−2+e−2x )

Sustituyendo ( y ´ )2=14

(e2x−2+e−2x ) en la definición de longitud de arco, simplificando

e integrando queda:

S=∫−10

10

√1+ 14

(e2 x−2+e−2x )dx=∫−10

10

√ 44

+ 14

(e2x−2+e−2x )dx

S=∫−10

10

√ 14

(ex+e−x )2dx=¿ [ 12

(e x−e−x )]−10

10

=e10−e−10≈22,026.465¿

Ejemplo 4

Encontrar la longitud de arco de la función y=ln (Sen x ), en el intervalo [ π3 ,2π3 ] .


y=ln (Sen x ) y '=cos xSen x

=Ctg x ( y ' )2=Ctg2 x

Sustituyendo ( y ´ )2=Ctg2 x en la definición de longitud de arco, simplificando, completando el diferencial e integrando queda:

S=∫π3

2π3

√1+Ctg2 x dx=∫π3

2π3

√Csc2 x dx=∫π3

2π3

Csc x dx=[ ln|Csc x−Ctg x|] π3

2π3

S≈1.099

Ejercicio 3.3

Hallar la longitud de arco de la función dada en el intervalo dado.

1. y=( x−1 )32 , [2,4 ] 2. y=250 cosh

x250

, [−25,25 ]

3. y=lncos x [0 , π3 ] 4. y=√16−x2 , [ 0,2 ]

5. y= 112

ln x4 , [2,4 ] 6. y=2 x2, [0 , π6 ]115

7. y=12x2−3 x , [ 2,4 ] 8. y=1

2x

12−√5 , [1,4 ]


1.S≈ 4.66 2.S ≈50.083 3.S=1.317 4. S≈2.094

5.S≈2.014 6.S ≈0.793 7.S≈2.296 8.S ≈3.043


Formular la integral definida mediante la interpretación física de datos para resolver problemas de que involucren el cálculo del trabajo efectuado por una fuerza variable.

Conocimiento previo: Concepto de trabajo realizado por una fuerza constante, los diferentes tipos de fuerzas que pueden intervenir para realizar un trabajo y sus fórmulas correspondientes.

Actividad No. 25 A fuerzas Individual – extra aulaPropósito: Investigar los diferentes tipos de fuerzas que se ejercen para realizar un trabajo.Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga las definiciones correctas y que incluyan su representación matemática.Tiempo estimado para la actividad: 1 hora

Descripción de la actividad.1) Definir cada una de las siguientes leyes y su representación matemática:a) Ley de Hookeb) Segunda ley de Newtonc) Ley de gravitación universald) Ley de Coulombe) Principio de Arquímides

3.4 Trabajo

El trabajo determina la energía necesaria para realizar varias tareas. Este trabajo es realizado por una fuerza cuando desplaza un objeto.

Si la fuerza es constante el trabajo está dado por: W=F cosθ D; en donde:W = trabajo; F = fuerza; D = desplazamiento y θ = ángulo entre el vector fuerza y el vector del desplazamiento.

La unidad del trabajo es el Joule (J) si la fuerza (F) está dada en Newton (N) y el desplazamiento (D) en metros (m) y en Ergios (E), si la fuerza está dada en Dinas (D) y el desplazamiento en centímetros (cm).

1Joule=107 ergios

Si la fuerza es variable el trabajo está dado por:

116

W=∫a

b

F ( x )dx

En donde: F(x) es la fuerza variable cuando el objeto es desplazado a lo largo de una línea recta, desde x = a hasta x = b.

Ejemplo 1:

Cuando una partícula se ubica a una distancia de “x” metros del origen, una fuerza de x2+3x N actúa sobre ella. ¿Cuánto trabajo se realiza para moverla desde x = 2 hasta x = 5?

Solución:

Datos: F ( x )=x2+3 x N ;a=2m;b=5m

W=∫a

b

F ( x )dx

Sustituyendo los datos y resolviendo la integral, resulta:

W=∫2

5

(x2+3 x )dx= x3

3+ 3x2

2 |2

5

=(1253

+ 752 )−( 8

3+6)=475

6−26

3

W=1412

J .

Ejemplo 2:

Cierto muelle ejerce una fuerza de 100 N cuando se deforma 10 cm a partir de su longitud natural.a) ¿Cuál es el trabajo realizado al deformar el muelle 5 cm a partir de su longitud natural?b) ¿Cuál es el trabajo realizado al deformarlo una longitud adicional de 8 cm?

Solución:

Datos: F = 100 N cuando x = 0.1m

La fuerza necesaria para deformar un resorte o muelle está dada por la Ley de Hooke, la cual establece que: F=Kx, en donde se sustituyen los datos dados para encontrar el valor de K y resulta:100=K ( 0.1 );despejando , resultaque K=1000Entonces, para este muelle en particular, la función fuerza es: F ( x )=1000 x

a) Considerando a = 0 y b = 0.05, el trabajo realizado en esta deformación inicial es:

117

F(x)= 0l

F(x) = 1000x

10c

W=∫a

b

F ( x )dx=∫0

0.05

1000 xdx

W=500x2|00.05

=1.25J

b) Considerando a = 0.05 y b = 0.13, el trabajo realizado en esta deformación es:

W=∫a

b

F ( x )dx=∫0.05

0.13

1000 xdx

W=500x2|0.05

0.13=8.45−1.25=7.2J

Ejemplo 3:

Un módulo lunar pesa 18 toneladas en la superficie de la tierra ¿Cuánto trabajo se realiza al propulsar el módulo en la superficie de la luna a una altura de 30 millas?Considerar que el radio de la luna es de 1 100 millas y su fuerza de gravedad es 1/6 que la de la tierra.

Solución:

Determinando el peso del módulo en la luna

Peso( luna)=16Peso(tierra )

Peso( luna)=16

(18 )=3Toneladas

Como el peso de un cuerpo varía inversamente con el cuadrado de su distancia del centro de la luna, la fuerza F(x) ejercida por la gravedad es:

F ( x )= K

x2

Considerando que el módulo pesa 3 toneladas en la superficie de la luna y el radio de la luna es de 1 100 millas aproximadamente, se determina el valor de K y resulta:

3= K

(1100)2; DespejandoK=3630 000

Por lo tanto, la fuerza necesaria para propulsar el módulo desde 1 100 millas hasta

1 130 millas, está dada por F ( x )=3 630 000

x2 . el trabajo realizado es:

W=∫a

b

F ( x )dx=∫1100

11303 630 000

x2 dx

W=−3 630 000x |

1100

1130

≈−3 212.4+3 300≈87.6 ton−millas

Ejemplo 4:De un tambor cilíndrico se han desenrollado 20 metros de un cable que pesa 2 N por metro. Hallar el trabajo realizado por la fuerza de la gravedad para desenrollar 100 metros más.

118

13cm

5c

Solución:

Sea x = longitud desenrollada en un instante dado. Entonces, F ( x )=2 x (peso de la cuerda) y considerando un desplazamiento desde x = 20 hasta x= 120, el trabajo realizado está dado por:

W=∫a

b

F ( x )dx=∫20

120

2 x dx

W= x2|20

120=1202−202=14 000 J

Ejemplo 5:

Dos protones se repelen con una fuerza que es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Un protón está en reposo en el punto (3,1). Encontrar el trabajo realizado para mover el segundo protón de (-1,1) a (1,1).

Solución:

La fuerza que realiza el protón que está en reposo está dada por: F ( x )= K

(3− x )2 debido

a la posición del protón en reposo en x = 3 y considerando que el protón que se va a mover lo hace desde x = -1 hasta x = 1, entonces el trabajo realizado es:

W=∫a

b

F ( x )dx=∫−1

1K

(3−x)2 dx

W= K3−x|−1

1

=K ( 12−1

4 )=14Kunidades de trabajo

El trabajo realizado al vaciar un tanque está dado por:

W=∫a

b

F ( y ) A ( y )dy

En donde:A( y)= área de la sección transversal a “y” unidades del borde del depósito,F ( y) = Fuerza variable que se necesita para realizar el trabajo y se calcula por:

F ( y )=σ s ( y )σ=¿ Peso específico del fluido (σ=ρg)ρ=¿ densidad del fluidog = gravedads( y ) = distancia que ha de recorrer el nivel “y”a y b son los límites y expresan la cantidad a vaciar.

Ejemplo 6:

Un tanque cilíndrico para gasolina de 4 pies de diámetro y 5 pies de largo está colocado de manera que su techo está 1 pie debajo del nivel del suelo ¿Cuánto trabajo

119

r =2pies

6 - y

1pie

Y

se realiza para bombear un tanque lleno de gasolina hasta el nivel del suelo?

(σ=42lb

pie3 )Solución: A ( y )=π r2=π (2)2=4 π pie2

s ( y )=(6− y ) pies

F ( y )=σ s ( y )=42 (6− y) lb

pie2

Por lo tanto el trabajo realizado está dado por:

W=∫a

b

F ( y ) A ( y )dy

Considerando que el tanque se va a vaciar desde y = 0 hasta y = 5 y sustituyendo, resulta:

W ≅∫0

5

42 (6− y ) (4 π )dy=168π∫0

5

(6− y )dy=168π [6 y−y2

2 ]0

5

W=2940π ≈9 236.3 lb−pie

Ejercicio 3.4

1. Cuando una partícula se ubica a una distancia de “x” metros del origen, una fuerza de 3 x2+2x N actúa sobre ella. ¿Cuánto trabajo se requiere para moverla desde x = 1 hasta x = 3?

2. Una fuerza de 50 N comprime un resorte de 10 cm un total de 3 cm. ¿Cuánto trabajo se realiza al comprimir el resorte 5 cm?

3. Se requieren 7.5 J de trabajo para comprimir un resorte 2 cm de su longitud natural. Encontrar el trabajo requerido para comprimir el resorte 1 cm adicional.

4. Hallar el trabajo realizado contra la fuerza de la gravedad para elevar un satélite de 6 toneladas de peso hasta una altura de 200 millas sobre la superficie terrestre. Considerar que el radio de la tierra es de 4 000 millas.

5. Una cadena que mide 15 m pesa 30N por metro está extendida en el suelo. Encontrar el trabajo realizado para levantar la cadena a una altura de 15 m para que quede totalmente extendida verticalmente.

6. Dos partículas se repelen mutuamente con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Suponiendo que una de ellas permanece fija en un punto del eje X a 3 unidades a la derecha del origen, hallar el trabajo requerido para desplazar a la otra partícula desde un punto situado a 2 unidades a la izquierda del origen hasta el origen.

120

6 - y

7. Un tanque cilíndrico de 4 pies de diámetro y 5 pies de largo está colocado de manera que su techo está 1 pié debajo del nivel del suelo ¿Cuánto trabajo se realiza para bombear un tanque lleno de agua hasta el nivel del suelo?

(σ=62.4lb

pié 3 )8. Una cisterna rectangular con base de 2m por 3m y una altura de 2 m está llena

de agua. ¿Cuánto trabajo se requiere para bombear el agua por encima del borde superior para vaciar: a) la mitad de la cisterna, b) toda la cisterna?

(σ=9800N

m3 )

Solución al ejercicio 3.4.

1) 34 J 2) 2.08 J 3) 9.375 J 4) 1 142.86 ton –millas

5) 3 375 J 6) 2

15K unidades de trabajo 7) 13 759.2 lb –pie

8) a) 29 400J; b) 117 600 J

Unidad temática 2: Cálculo Integral para funciones de dos o más variables

Competencia particular 4:

Analizar integrales que involucran funciones de dos o más variables, empleando el concepto de integral iterada para resolver integrales múltiples.


Analizar geométricamente regiones en el plano y el espacio aplicando el concepto de integral iterada para calcular integrales múltiples.

Conocimiento previo: Concepto de funciones de dos variables, en cuanto a su gráfica mediante software y evaluación; y concepto de derivadas parciales.

Actividad No. 26 Fun Var Var Individual – extra aulaPropósito: Activar el conocimiento previo en funciones de varias variables.Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la información correcta y completa de cada función dada.Tiempo estimado para la actividad: 1 hora

121

Descripción de la actividad: Para cada una de las siguientes funciones, encuentre:1. La gráfica utilizando el software más adecuado.2. Evaluar f (0,0 ) y f (−1 , π )3. Encontrar las primeras derivadas parciales.

Funciones:1) f ( x , y )=x2+ xy 2) f ( x , y )=(2 x+3 y )2 3) f ( x , y )=e− xcos y

Capítulo 4. Integración múltiple

4.1 Integrales iteradas

4.1.1 IntroducciónEn el curso de Matemáticas I se definieron y calcularon las derivadas parciales de funciones de dos variables.

Si f ( x , y )=4 x2+3 y2−6 x3 y2, sus primeras derivadas parciales están dadas por:

f x ( x , y )=8 x−18 x2 y2 Considerando a “y” como constante

f y ( x , y )=6 y−12 x3 y Considerando a “x” como constante

Si ahora la integral parcial de F ( x , y )=f x (x , y )=8 x−18 x2 y2, con respecto a x, se considera a “y” como constante al momento de integrar y resulta:

∫ f x ( x , y )dx=∫ ( 8x−18x2 y2 )dx=8( x2

2 )−18 y2( x3

3 )+C( y)

¿4 x2−6 x3 y2+C ( y)

La constante de integración C ( y ) es cualquier función de “y”, para este caso en particular C ( y )=3 y2 de acuerdo con la función inicial.

De la misma manera, podemos resolver la integral parcial de F ( x , y )=f y ( x , y )=6 y−12 x3 y , con respecto a y, considerando a “x” como constante al momento de integrar y resulta:

∫ f y ( x , y )dy=∫ (6 y−12x3 y )dy=6 ( y2

2 )−12x3( y2

2 )+C (x)

122

¿3 y2−6 x3 y2+C (x )

La constante de integración C (x) es cualquier función de “x”, para este caso en particular C ( x )=4 x2 de acuerdo con la función inicial.

En general se puede decir lo siguiente:

1. ∫x=g1( y)

g2 (y )

f x(x , y)=f (x , y)] x=g1( y)g2( y) =f (g2 ( y ) , y )−f (g1 ( y ) , y )

2. ∫y=g1 (x)

g2 (x)

f y (x , y)= f (x , y )] y=g1 (x)g2 (x) =f (x ,g2 ( x ) )−f ( x , g1 (x ) )

Nota: La constante de integración C ( y )oC (x) no afecta los resultados anteriores ya que, al aplicar el Teorema fundamental del cálculo, se anula la constante al evaluar los límites.

Ejemplo 1:

Evaluar las integrales parciales dadas:

a) ∫ ex+ y dy

∫ ex+ y dy=∫e xe y dy=ex∫ e ydy=ex ey+C ( x )=ex+ y+C (x)

b) ∫ yCos xy dx

∫ yCos xy dx= y∫cos xy dx= y ( 1y )Sen xy+C ( y )=Sen xy+C ( y)

c) ∫0

2

2 r2Cosθ Senθdr

∫0

2

2 r2Cosθ Senθdr=2SenθCosθ∫0

2

r2dr=Sen2θ [ r3

3 ]0

2

=83Sen2θ

d) ∫x

x2

ln xy dy

∫x

x2

ln x y dy=∫x

x2

( ln x+lny )dy=lnx∫x

x2

dy+∫x

x2

ln y dy

Resolviendo por partes la segunda integral, resulta:

∫x

x2

ln xy dy=[ y lnx+ ylny− y ]y= xx2

=¿ (x2lnx+x2 ln x2−x2)−( xlnx+xlnx−x )¿

123

∫y= x

x2

ln xydy=x2lnx+2 x2lnx−x2−2xlnx+x=3 x2lnx−x2−2xlnx+x

4.1.2 Concepto

Una integral iterada es la resolución de integrales sucesivas que contienen más de un diferencial, en donde por cada diferencial se debe tener una integral definida, se expresan como:

i ¿∫a

b

∫y=g1(x)

g2(x)

f ( x , y )dydx y ii¿∫a

b

∫x=g1 ( y)

g2( y)

f ( x , y )dxdy en donde a y b son

Constantes.

Presentan las siguientes características:

Con respecto a estas integrales se puede notar que en la integral i ¿ La integral interior es con respecto a “y” El resultado de esta integral ya evaluada es una función de “X”. En los límites y=g1 ( x ) , g2(x ) se puede escribir sin la “y”, esto es, g1 ( x ) , g2(x). Al calcular la integral exterior con respecto a “x” y evaluar en los límites a, b, el

resultado es un número (a y b son constantes) Siempre los límites exteriores serán constantes.

En la integral ii ¿ es posible afirmar que ocurren las mismas características pero con su correspondiente orden de integración.

Ejemplo 1: Calcule las siguientes integrales iteradas

a) ∫0

2 [ ∫y=0

x

(3+2 x−2 y )dy ] dxSolución:

Primero se evalúa la integral parcial seleccionada y resulta:

∫y=0

x

(3+2x−2 y )dy= (3 y+2 xy− y2 ) ] y=0

x=(3 x+2x2−x2 )−( 0 )

∫y=0

x

(3+2x−2 y )dy=3 x+x2

Sustituyendo en la integral original y resolviendo la integral ordinaria resultante, queda:

124

∫0

2 [ ∫y=0

x

(3+2 x−2 y )dy ] dx=¿∫0

2

[3x+x2 ] dx=( 32x2+ 1

3x3)|

0

2

=263

¿

Nota: Este ejemplo muestra el cálculo de la integral de una integral, equivalente a una integral iterada.

b) ∫1

3

∫e

e2

1xy

dx dy

Solución:

Primero se evalúa la integral ordinaria interior

∫e

e2

1xy

dx=1y∫e

e2

dxx

= 1ylnx ]e

e2

=1y

(ln e2−lne )= 1y

Sustituyendo en la integral original y resolviendo la integral parcial resultante, queda:

∫1

3

∫e

e2

1xy

dx dx=∫0

31ydy=lny|1

3=ln3−ln 1=ln 3

Ejercicio 4.1

I. Evalúe la integral parcial dada

1) ∫1

3

3 x2 ydx 2) ∫x

3 x

(6 x2+2 xy )dy 3) ∫0

lny

ex + y dx

4)∫x

x2

ln( xy )dy 5) ∫0

xydy

√ x2+ y2 6) ∫

0

x

cos (x2 y )dy

7) ∫0

√9− y2

( 4

√9− y2 )dx 8) ∫1

4 x

( xy )dy 9) ∫0

y

(2 x+ y )2dx

10) ∫0

y

x Sen ( xy )dx

II. Evalúe las siguientes integrales iteradas:

11) ∫0

2

∫0

1

3 x y2dy dx 12) ∫0

π

∫0

2

2 r Senθ dr dθ

13) ∫0

π

∫0

2

r √4−r 2dr dθ 14) ∫0

π /2

∫0

1+Cosθ

Senθdr dθ

125

15) ∫0

2

∫0

x

(3+2x−2 y )dy dx 16) ∫1

3

∫e

e2

( 1xy )dxdy

17) ∫0

2

∫x

0

ex+ y dy dx 18) ∫0

π /2

∫0

1−Cosθ

θdr dθ

19) ∫1

2

∫−1

x

y lnx dy dx 20) ∫0

π /6

∫0

Cosθ

2 r Cosθ dr dθ


1) 26 y 2) 20 x3 3) e y ( y−1 ) 4) – x2 lnx+x2−x

5) x (√2−1 ) 6) 1

x2Sen x3

7) 4 8) x ln 4 x

9) 133

y3 10) −cos y2+ 1

y2Sen y2

11) 2 12) 8

13) 83π 14)

32

15) 263

16) ln 3

17) e2−12e4−1

2 18) π

2−4 π+88

19) 19+ 1

3ln 2 20)

1124

4.2 Integrales dobles

Sea f definida en la región R, la suma ∑i=1

n

f (x i¿ , y i

¿)∆ A i se llama la suma de Riemann.

DEFINICIÓN 4.2.1: Sea f una función definida en una región cerrada y acotada R en el plano xy, entonces la integral doble de f en R está definida como:

∬R

❑

f ( x , y )dA= lim¿|∆|∨→0

∑i=1

n

f (x i¿ , y i

¿)∆ Ai

126

La norma de la partición y un punto en Ri

Interpretación geométrica de la integral doble.

Como ∆ A i= área del rectángulo Ri=∆ x i∆ y i , entonces f ( xi¿ , y i¿ )∆ A i=zi∆ x i∆ y i= área de la base por la altura, es el volumen de un prisma rectangular. Y de acuerdo con ello.

lim¿|∆|∨→0

∑i=1

n

f (x i¿ , y i

¿)∆ A i=∬R

❑

f ( x , y )dA con f(x,y)≥0

Se considera el volumen del solido acotado, abajo por R y arriba por la superficie z=f (x , y ) y con paredes verticales. Ver figura.

Volumen de un prisma con base ∆ x i ,∆ y i y altura z i=f ( xi¿ , y i¿ )

Ahora es posible establecer la relación entre las integrales iteradas y las integrales dobles mediante un teorema cuya demostración se atribuye al matemático italiano Guido Fubini (1879-1943).

127

TEOREMA 4.2.1: Calculo de integrales dobles

Sea f continua en la región cerrada y acotada R.1.- Si R está acotada por a≤ x≤b , y g1(x)≤ y ≤g2(x) siendo g1 y g2 continuas en [a, b], entonces:

∬R

❑

f ( x , y )dA=∫a

b

∫g1(x)

g2(x)

f (x , y)dydx

2.- Si R está acotada por a≤ y ≤b y g1( y )≤ x≤ g2( y ) siendo g1 y g2 continuas en [a, b], entonces:

∬R

❑

f ( x , y )dA=∫a

b

∫g1( y)

g2( y)

f (x , y)dxdy

Interpretación geométrica de los límites de integración de las integrales iteradas (1 y 2 del teorema anterior)

1¿∫a

b

∫y=g1( x)

g2( x)

f (x , y )dydx y 2¿∫a

b

∫x=g1( y)

g2 ( y)

f (x , y)dxdy

La integral 1) tiene los límites de integración a≤ x≤b , g1(x)≤ y≤ g2(x) que representa una región como la mostrada en la figura. Esta región se llama región vertical porque el diferencial dx=∆x genera un rectángulo “vertical”.

La integral 2) tiene los límites de integración a≤ y ≤b ,g1( y )≤x ≤g2( y ) que representan una región horizontal porque el diferencial dy=∆y genera un rectángulo “horizontal” mostrado en la figura.

128

Ejemplo 1.

Calcular:∫R

❑

∫ e−x/ y dA donde R está limitada por 0≤ y≤2 y 0≤ x≤3 y .

Solución: Primero se dibuja la región R

Se puede considerar a la región R de la figura anterior como región horizontal, esto indica un orden de integración dA=dxdy , por lo tanto:

129

∫R

❑

∫ e− xy dA=∫

0

2

∫0

3 y

e−x/ y dxdy=∫0

2

⌈∫0

3 y

e−xy dx ⌉ dy

¿∫0

2

⌊− y e− x/ y ⌋03 y dy=∫

0

2

(− ye−3 y / y+ y e0 )dy

¿∫0

2

(− y e−3+ y )dy=[−e−3( y2

2 )+ y2

2 ]0

2

¿ [−e−3( 22

2 )+ 22

2 ]−0=−2e−3+2

Ejemplo 2:Calcular el valor de la integral doble e interpretar geométricamente el resultado.

∫−1

2

∫x2

x+2

dydx

Solución:

∫−1

2

∫x2

x+2

dydx=∫−1

2

y∨¿x2

x+2dx=∫−1

2

(x+2−x2¿)dx=[ x2

2+2x−

x3

3 ]−1

2

=9/2¿¿

Si se observa la doble integral se nota que f(x,y)=1 y la región R está limitada por −1≤x ≤2 , x2≤ y≤ x+2 (véase en la figura). Esto indica que 9/2 es:

a) El valor del volumen del prisma con base R y de altura 1.

b) El área de la región R, ya que el volumen del prisma es igual al área de la base R, por la altura 1.

130

Ejemplo 3

Evaluar la integral doble:

∫R

❑

∫ (x2+ y2 )dA, donde R esta acotada por: y=x2 , x=0, x=2 , y=0.

Utilizando 2 órdenes de integración diferentes.

Primero se dibuja la región R

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0

1

2

3

4

5

y = x^2 x = 2

y = 0

Se toma primero una región vertical, (en esta integral implica: dA=dydx)

∫R

❑

∫ (x2+ y2 )dA = ∫0

2

∫0

x2

(x2+ y2 )dy dx = ∫0

2

[ x2 y+ 13y3] x2

y=0dx

∫R

❑

∫ (x2+ y2 )dA = ∫0

2

(x4+ 13x6)dx= [ 1

5x5+ 1

21x7]20

∫R

❑

∫ (x2+ y2 )dA = 325

+ 12821

=1312105

Ahora se toma una región horizontal, (en esta integral implica: d A=dxdy )

131

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0

1

2

3

4

5

y = x^2 x = 2

y = 0

∫R

❑

∫ (x2+ y2 )dA = ∫0

4

∫√ y

2

(x2+ y2 )dx dy = ∫0

4

[ 13x3+xy2] 2

x=√ ydy

∫R

❑

∫ (x2+ y2 )dA = ∫0

4

( 83+2 y2−1

3y3/2− y5/2)dy

∫R

❑

∫ (x2+ y2 )dA = [ 83y+ 2

3y3− 2

15y5 /2−2

7y7/2]40

∫R

❑

∫ (x2+ y2 )dA = 323

+ 1283

−6415

−2567

= 1312105

Como se puede observar, en este caso se puede elegir cualquier orden de integración, en algunas ocasiones no es así, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4

Calcular la integral doble del ejemplo 1, utilizando otro orden de integración.

Se usa ahora una región vertical

∫R

❑

∫ e−x/ y dA = ∫0

6

∫13x

2

e−x / y dydx

La función e− x/ y no tiene antiderivada con respecto a “ y”. Es importante que en una integral doble se prueben los dos órdenes de integración, si es que uno no se puede aplicar, como en este caso.

Ejercicio 4.2

En los siguientes ejercicios calcule la integral doble en la región R. dibuje un esbozo de la región R y elija el orden de integración más conveniente.

1.∫R

❑

∫ 2x2 y3dA R : y=x , y=0 , x=2

132

2.∫R

❑

∫(x+ y )dA R : y=−x , y=2x−x2

3.∫R

❑

∫ 3xy dA R : x=4 y , x= y2

4.∫R

❑

∫ex dA R :− y

3≤ x≤

y3,0≤ y ≤3

5.∫R

❑

∫ x

√ y+1dA R: y=x , x= y2


1) 647

2) 8120

3)512 4) e+3e−1−6≈3.2585 5) 8(√2−1 )

63≈0.0526

Actividad No. 27 A ver si puedes Individual – en el aulaPropósito: Elegir el orden de integración más adecuado.Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la información correcta y completa del análisis de la integral doble dada.Tiempo estimado para la actividad: 15 minutos


Resolver la integral ∫R

❑

∫ √x3+1dA en donde la región R está acotada por:

√ y≤ x ≤1 ;0≤ y≤1.Analiza el orden más adecuado para el dA.Argumenta tu procedimiento.

4.3 Integrales Triples

Para evaluar una integral iterada triple, se sigue el mismo procedimiento que en las integrales iteradas dobles, es decir, se empieza con la integral más interior con su respectivo diferencial y así se continua hasta llegar a la tercera.

Ejemplo 1

133

Evaluar la integral ∫−1

1

∫0

3

∫0

1

(15 x+2 y+3 z )dy dxdz

Primero resolvemos la integral parcial del centro, en la cual se integra de 0a1 respecto a “y”,

∫0

1

(15 x+2 y+3 z )dy=15 xy+ y2+3 zy ]01=15 x+1+3 z

∫−1

1

∫0

3

∫0

1

(15 x+2 y+3 z )dy dxdz = ∫−1

1

∫0

3

(15 x+1+3 z )dxdz

Continuamos ahora con la integral con respecto a “x”

∫0

3

(15 x+1+3 z )dx=15 x2

2+x+3 zx ]

0

3

=141

2+9 z

∫−1

1

∫0

3

∫0

1

(15 x+2 y+3 z )dy dxdz =∫−1

1

( 1412

+9 z)dzPor último, calculamos la integral ordinaria respecto a “z”

∫−1

1

( 1412

+9 z)dz= 1412

z+9 z2

2 ]−1

1

=141

Por lo tanto

∫−1

1

∫0

3

∫0

1

(15 x+2 y+3 z )dy dxdz =141

Ejemplo 2.

Evaluar la integral ∫−1

1

∫0

2x

∫0

x+ z

xyz dy dzdx

Repetimos el procedimiento del ejemplo anterior, calculamos la integral parcial respecto a “y”,

134

∫0

x+z

xyz dy=xz y2

2 ]0

x+ z

=xz2

( x+z )2= xz2

( x2+2 xz+z2)= x3 z2

+x2 z2+xz3

2

∫−1

1

∫0

2x

∫0

x+ z

xyz dy dzdx = ∫−1

1

∫0

2x

( x3 z2

+x2 z2+ xz3

2 )dzdxAhora se calcula la integral parcial respecto a “ z”

∫0

2 x

( x3 z2

+x2 z2+xz3

2 )dz= x3 z2

4+x2 z3

3+x z4

8 ]0

2x

=3 x5+8x6

3

Por último, evaluamos la integral ordinaria respecto a “x”

∫−1

1

(3x5+83x6)dx=3 x6

6+

821

x7]−1

1

=1621

Por lo tanto

∫−1

1

∫0

2x

∫0

x+ z

xyz dy dzdx = 1621

Ejemplo 3

Evaluar la integral ∫1

e2

∫1

e

∫0

1x z

ln z dy dz dx

∫0

1xz

ln z dy= (ln z ) y ]01xz= 1

xzln z

∫1

e2

∫1

e

∫0

1xz

ln z dy dz dx = ∫1

e2

∫1

e

( 1xz

ln z)dz dx

∫1

e

( 1xz

ln z)dz=1x∫

1

eln zz

dz

Haciendo cambio de variable

u=ln z , du=1zdz

135

∫1

e

( 1xz

ln z)dz= ln2 z2 x ]

1

e

=1

2 x[ ( ln e )2−(ln 1 )2 ]= 1

2 x

∫1

e2

∫1

e

∫0

1xz

ln z dy dz dx= ∫1

e2

( 12x )dx

∫1

e2

( 12x )dx=1

2∫1

e2

dxx

=12

ln x ]1

e2

=12

ln e2−¿ 12

ln1=1¿

Por lo tanto

∫1

e2

∫1

e

∫0

1xz

ln z dy dz dx = 1

Ejercicio 4.3

Resuelva las siguientes integrales iteradas

1.∫0

1

∫2

4

∫0

1

4 x3 y2 z2dx dy dz 2.∫0

1

∫0

x

∫0

xz

xdy dz dx

3.∫0

1

∫0

y2

∫x

y

(9 x2+z )dz dx dy 4.∫0

2

∫0

1

∫0

y

x ey2

dz dy dx

5.∫0

1

∫1

3

∫0

z

(exz+1 )dy dx dz 6.∫0

2

∫0

π2

∫0

1

9 r2cos θdr dθdz

7.∫1

5

∫√x

x

∫0

ln z

3x e2 ydy dz dx 8.∫0

2

∫z

3 z

∫y

2 y

( z+ y+x )dz dy dx

9.∫0

π

∫0

2

∫0

y

cos2 y dzdx dy 10.∫0

π

∫0

π2

∫π2

π4

Sen x Sen y Sen z dxdy dz


1.569

2.1

103.

169840

4.e−1 5.13e3−e+ 5

3

6.6 7.2229

65 8.

5483

9.−14

10.− 2

√2

136

Actividad No. 28 Multiplica tu esfuerzo Individual – extra aulaPropósito: Resolver problemas de ingeniería mediante la aplicación de integrales dobles.Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la solución correcta a cada problema propuestoTiempo estimado para la actividad: 50 minutos

Descripción de la actividad:Problemas propuestos

1. La carga eléctrica está distribuida sobre el rectángulo 0≤x≤2 , 1≤ y≤2 de tal forma que

la densidad de carga en el punto ( x , y ) está dada por ρ( x , y )=x2+3 y2, medida en

coulombs por metro cuadrado. Obtén la carga total en el rectángulo. Las variables x y y se miden en metros.Considerar:La densidad de carga se define como: cantidad de carga por unidad de área. Cuando es constante (o uniformemente distribuida)

ρ=QA

= carga totalá rea total

=Coul

m2

En este caso la densidad es variable y depende del punto (x,y) que tomemos de la placa. Si tomamos un diferencial de área, dA, con vértice en el punto (x,y), la densidad en esa área infinitamente pequeña se considera constante e igual a ρ ( x , y ). Por lo tanto se tiene que:

ρ ( x , y )=dQdA

,dondedQes lacargaquehay endA

Entonces dQ=ρ ( x , y )dA Si sumamos todas las cargas dQ que hay en todos los diferenciales de área, dA, en que podemos dividir la placa, obtendremos la carga total Q que hay en esa placa, mediante:

Q=∫R

❑

∫ dQ=∫R

❑

∫ ρ ( x , y )dA

y dA 2 1 x 1 2

2. Obtén la masa de la placa con densidad de masa f ( x , y )=xy grs /cm2 y

cuyos perfiles se muestran en la siguiente figura.

137

placa

x=0

y

x

(1,1 )y=1

y=x2

Considerar:La densidad superficial se define como masa por unidad de área. Si la masa está uniformemente distribuida en la placa , densidad constante,

f = MA

= masa de la placaárea de la placa . Como la densidad es variable f ( x , y ) , depende del

punto ( x , y ) que tomemos de la placa, procedemos a tomar un elemento de área infinitamente pequeño, un diferencial de área dA = dy dx , el cual tiene una masa infinitamente pequeña dM, de tal manera que en esa pequeña porción la densidad es constante e igual a la que tiene en el punto donde tomemos nuestro diferencial de área. Por lo tanto tendremos

f ( x , y )=dMdA

de dondedM=f ( x , y )dA=xy dydx

y

Por lo tanto, la masa de la placa está dada por:

M=∫R

❑

∫ xy dydx

138

x

dA

x = 0

(1, 1) y = 1

y = x2

A N E X O

139

140

FUNCIONES EXPONENCIALES

Cedue uu ∫ e = Cte. de Euler = 2.718

Caln

adua

uu ∫

Propiedad: xe xln

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS∫ C)u(Cosdu)u(Sen

∫ C)u(Sendu)u(Cos

∫ C|)u(Sec|lndu)u(Tan

C)u(Cos|ln

∫ CuCscduuCot |)(|ln)(

CuSen |)(|ln

∫ C|)u(Tan)u(Sec|lndu)u(Sec

∫ C|)u(Cot)u(Csc|lndu)u(Csc

C)u(Tandu)u(Sec2 ∫C)u(Cotdu)u(Csc2 ∫

∫ C)u(Secdu)u(Tan)u(Sec

∫ C)u(Cscdu)u(Cot)u(Csc 3

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

∫Cosh udu=Senh u+c

∫ Senh udu=Cosh u+c

∫ Sech2 udu=Tanh u+c

∫Csch2 udu=−Coth u+c

∫ Sech u Tanh udu=−Sech u+c

∫Csch u Coth udu=−Csch u+c

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Ca

uSen

ua

du 1

22

∫

Ca

uTan

a

1

ua

du 122

∫

Ca

uSec

a

1

auu

du 1

22

∫

4

U.A.N.L.

Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

FORMULARIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Elaborado por: M.C. Patricia Rodríguez Gzz.

REGLAS BÁSICAS∫ Cxdx

Cn

xdxx

nn

∫

1

1

n -1

∫ ∫ dx)x(fKdx)x(Kf K = Cte. ∫ ∫∫ dxxgdxxfdxxgxf )()( )()(

CAMBIO DE VARIABLE

C1n

uduu

1nn

∫ n - 1

En donde u es una función polinomial o trascendental.

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

c|u|lnu

du∫

Propiedades:Log ( pq) = Log p + Llog q Ln e = 1

log( pq )=log( p )−log (q )

Ln 1 = 0Log pr = r Log p 2

141

INTEGRAL POR PARTES∫ ∫ vduuvudv

SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Forma Sustitución la raíz se sustituye por:

aCosaSenuua 22

aSecaTanuua 22

aTanaSecuau 22

SUSTITUCIONES DIVERSAS

Senu= 2 z

1+z2 Cosu=1−z2

1+z2

du= 2dz

1+z2

z=tan( u2 )6

CASOS TRIGONOMÉTRICOS

CASO I. duuSenn∫ ; duuCosn∫

En donde n es entero impar positivoExpresar:

Sen n (u) = Sen n – 1(u) Sen (u)Usar: Sen 2(u) = 1 – Cos 2(u)

Cos n(u) = Cos n – 1 (u) Cos (u)Usar: Cos 2(u) = 1 – Sen 2 (u)

CASO II. du)u(Cos)u(Sen mn∫ ;

En donde al menos un exponente es entero impar positivo: utilizar

Sen 2 (u) + Cos 2 (u) = 1 de manera similar al CASO I

NOTA: Si los dos exponentes son enteros impares positivos se cambia el impar menor. 7

CASOS TRIGONOMÉTRICOSCASO III.

uduSenn∫ ; du)u(Cosm∫

du)u(Cos)u(Sen mn∫En donde n y m son exponentes enteros pares positivos usar:

2

)u2(Cos1)u(Sen 2

2

)u2(Cos1)u(Cos2

CASO IV:∫ du)mu(Cos)nu(Sen ∫ du)mu(Sen)nu(Sen

∫ du)mu(Cos)nu(Cos En donde m y n son números cualesquiera. Utilizar:

SenACosB=12

[Sen (A−B )+Sen( A+B )]

)BA(Cos)BA(Cos2

1SenASenB

CosACosB=12

[Cos( A−B )+Cos( A+B )]

8

FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS

Ca

uSenh

ua

du 1

22

∫

Ca

uCosh

au

du 1

22

∫

∫ du

u√a2+u2=−1

aCsch−1( ua )+C

∫ du

u√a2−u2=−1

aSech−1( ua )+C

Ca

uTanh

a

1

ua

du 122

∫

Forma equivalente de las integrales que dan como resultado funcionesHiperbólicas Inversas

∫ du

√u2±a2=ln (u+√u2±a2)+C

∫ du

a2−u2= 1

2aln|a+u

a−u|+C

∫ du

u√a2±u2=−1

aln( a+√a2±u2

|u| )+C5

142


CASO V. du)u(Tan n∫ ; du)u(Cot n∫

En donde n es cualquier número entero;Escribir:

Tan n (u) = Tan n – 2 (u) 1)u(Sec2

Cot n (u) = Cot n - 2 (u) 1)u(Csc2

CASO VI. ∫ du)u(Secn

; du)u(Cscn∫

En donde n es entero par positivoExpresar:

Sec n (u) = )u(Sec1uTan 22

2n2

Csc n (u) = )u(Csc1uCot 22

2n2

NOTA: Si n es impar integrar por partes

CASO VII: du)u(Sec)u(Tan nm∫du)u(Csc)u(Cot nm∫

en donde n es un entero par positivo; escribir Sec n (u) Csc n (u) como el CASO VI.

9


CASO VIII. ∫Tanm(u) Secn(u )du

∫Cotm(u )Cscn (u )du

En donde m es entero impar positivo, expresar:

TanmuSecnu=Tanm−1uSecn−1uTanuSecuUsar: Tan 2 u = Sec 2u – 1

CotmuCscnu=Cotm−1uCscn−1uCotuCscuUsar: Cot 2 u = Csc 2 u – 1

NOTA: Si m es par y n es impar integrar por partes.

10

10

FRACCIONES PARCIALES

CASO I. Factores lineales distintos.

A cada factor lineal (ax + b) le corresponde una fracción de la forma :

bax

A

CASO II. Factores lineales repetidos.

A cada factor lineal repetido (ax + b) k

Le corresponde la suma de k fracciones parciales de la forma:

kk

221

bax

A.....

bax

A

bax

A

CASO III. Factores cuadráticos distintos.

A cada factor cuadrático (ax2+bx+c) le corresponde una fracción de la forma:

cbxax

BAx2

11

FRACCIONES PARCIALES

CASO IV. Factores cuadráticos repetidos

A cada factor cuadrático repetido(ax2 + bx + c) k le corresponde la suma de k fracciones parciales de la forma:

kkk

211

cbxax

BxA...

cbxax

BxA2

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

∫ C)u(Coshdu)u(Senh

∫ C)u(Senhdu)u(Cosh

C)u(Tanhdu)u(Sech2 ∫C)u(Cothdu)u(Csch2 ∫

∫ C)u(Sechdu)u(Tanh)u(Sech

∫ C)u(Cschdu)u(Coth)u(Csch

12

143

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

INVERSAS

Sen(u)= 1Csc (u )

Csc (u)= 1Sen(u )

Cos(u )= 1Sec (u )

Sec (u )= 1Cos(u )

Tan(u)= 1Cot (u )

Cot (u )= 1Tan(u )

PITAGÓRICAS

Sen2 (u )=1−Cos2 (u)Cos 2 (u) = 1 – Sen 2 (u)Sec 2 (u) = 1 + Tan 2 (u)Tan 2 (u) = Sec 2(u) – 1Csc 2 (u) = 1+ Cot 2 (u)Cot 2 (u) = Csc 2 (u) – 1

FORMA DE COCIENTE

Tan(u)=Sen (u)Cos(u )

Cot (u )=Cos(u )Sen(u )

13

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

ÁNGULO DOBLE

Sen 2u = 2 Sen(u) Cos (u)Cos 2u = Cos 2 (u) – Sen 2 (u)

Sen2 (u )=1−cos (2u)2

Cos2 (u )=1+cos (2u)2

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

.Hip

O.CSen

.Hip

.A.CCos

.A.C

.O.CTan

.O.C

.A.CCot

.A.C

HipSec

.O.C

HipCsc

14

IDENTIDADES HIPERBÓLICAS

cosh2 (u )−senh2 (u)=1sec h2(u )+tanh2(u )=1coth2 (u)−csch2(u )=1senh(2u)=2 senh(u )cosh (u)cosh (2u)=cosh2(u )+senh2 (u )

tanh(2u )=2 tanh(u)1+ tanh2 (u )

senh2(u )=cosh(2u )−12

cosh2 (u )=cosh(2u )+12

2

ee)x(Senh

xx

Cosh x = 2

ee xx

Tanh x = Coshx

Senhx

Coth x = Senhx

Coshx

Senh x Csch x = 1 Cosh x Sech x = 1

Tanh x Coth x = 1 15

DERIVADAS

D x (u )n=n (u )n−1du

D x [u .v ]=uD x v+vDxu

D x[ uv ]= vDxu−uDx v

v2

uDu

uD xx

1ln

D [Logau ]= 1

u ln adu

D x [eu ]=euD xu D x [au ]=au ln aD xu

D x [Senu ]=CosuDxu D x [Cosu ]=−SenuD xu

D x [Tanu ]=Sec2uD xu

D x [Cotu ]=−Csc2uDxuD x [Secu ]=SecuTanuD xu

D x [Cscu ]=−CscuCotuDxu

16

144

DERIVADAS

D x [ ArcSenu ]=Dxu

√1−u2

D x [ ArcCosu ]=−D xu

√1−u2

D x [ ArcTanu ]=D xu

1+u2

D x [ ArcCotu ]=−D xu

1+u2

D x [ ArcSecu ]=D xu

|u|√u2−1

D x [ ArcCscu ]=−Dxu

|u|√u2−1

D x [Senhu ]=Cosh (u )Dxu

D x [Coshu ]=Senh (u )Dxu

D x [Tanhu ]=Sech2(u )D xu

D x [Cothu ]=−Csch2(u )D xuD x [Sechu ]=−Sech (u)Tanh(u )D xu

D x [Cschu ]=−Csch(u )Coth (u )Dxu 17

DERIVADAS

Dx [ Senh−1u ]=D xu

√u2+1

Dx [Cosh−1u ]=D xu

√u2−1

Dx [Tanh−1u ]=D xu

1−u2

Dx [Coth−1u ]=Dxu

1−u2

Dx [ Sech−1u ]=−D xu

u√1−u2

Dx [Csch−1u ]=−D xu

|u|√1+u2

18

LEYES DE EXPONENTES

nmnm aaa

mnnm aa

mmm baab

nmn

m

aa

a nm

mnn

m

a

1

a

a

nm

m

mm

b

a

b

a

nn

a

1a

q pq

p

aa

1a0

19

LO QUE NO DEBE HACERSEA continuación se escriben formulas que son incorrectas. NUNCA LAS USES.

√a+b=√a+√ba

b+c=ab

+ ac

Le seguiremos agregando otras más adelante

20

RÚBRICAS

Reporte escrito

CategoríaBien

100% - 71%Regular

70% - 41%Deficiente40% - 0%

Contenido(85%)

Analiza la información de manera clara, coherente y ordenada.

Expresa sus conclusiones en donde refleja los juicios de valor.

Desarrolla las ideas principales del tema

Presenta un análisis incompleto o no lo expresa en forma clara, coherente u ordenada.

Omite el desarrollo de algunas ideas principales.

No incluye juicios de valor en sus conclusiones.

No presenta análisis de información.

No desarrolla algunas ideas principales.

La conclusión es inadecuada y carece de juicios de valor.

Presentación(15%)

Limpieza y orden. Cumple con las

indicaciones dadas por el profesor.

Distingue en el contenido una introducción, el cuerpo del reporte y conclusiones.

Presenta buena ortografía.

Contiene una bibliografía pertinente y apropiada.

Limpieza y orden. No cumple con

algunas indicaciones del profesor.

No hay una clara distinción entre la introducción, el cuerpo del reporte y las conclusiones.

Presenta mínimas deficiencias ortográficas.

Contiene una bibliografía pertinente y apropiada.

No cumple con el orden ni limpieza.

No cumple con algunas indicaciones del profesor.

No hay una clara distinción entre la introducción, el cuerpo del reporte y las conclusiones.

Presenta deficiencias ortográficas.

No contiene una bibliografía o no es apropiada.

145

Síntesis

CategoríaBien

100% - 71%Regular

70% - 41%Deficiente40% - 0%

Contenido(85%)

Identifica las ideas principales del tema.

Se expresa clara y ordenadamente.

Desarrolla una conclusión adecuada o aplica satisfactoriamente lo aprendido en un ejemplo.

Omite algunas ideas principales.

Se expresa clara y ordenadamente.

No hace una conclusión adecuada o no presenta una aplicación apropiada.

Omite ideas principales.

No se expresa clara y ordenadamente.

No hace una conclusión adecuada ni presenta una aplicación apropiada.

Presentación(15%)

Limpieza y orden.

Cumple con las indicaciones dadas por el profesor.

Presenta una ortografía apropiada.

Limpieza y orden.


Presenta mínimas deficiencias ortográficas.

No cumple con el orden ni limpieza.


Presenta deficiencias ortográficas.

Exposición Oral

CategoríaBien

100% - 71%Regular

70% - 41%Deficiente40% - 0%

146

Contenido(70%)

Domina bien el tema demostrando un completo entendimiento utilizando un vocabulario apropiado para la audiencia y definiendo palabras que podrían ser nuevas.

Presenta ideas coherentes con información ordenada llegando a una conclusión acertada.

Contesta con precisión la mayoría de las preguntas planteadas.

Domina el tema demostrando algo de entendimiento y utilizando algo de vocabulario apropiado para la audiencia y definiendo algunas palabras que podrían ser nuevas.

Presenta algunas ideas coherentes con información ordenada y trata de llegar a la conclusión acertada.

Contesta con precisión algunas de las preguntas planteadas.

No domina bien el tema ni demuestra un entendimiento ni utiliza un vocabulario apropiado para la audiencia y no define palabras que puedan ser nuevas.

No presenta ideas coherentes ni información ordenada ni llega a una conclusión acertada.

No contesta con precisión las preguntas planteadas.

Presentación(30%)

Usa tecnología adecuada y disponible o material suficiente y adecuado para la presentación del tema.

El tono usado expresa la seguridad del dominio del tema.

La duración de la presentación es apropiada para el tema.

Usa alguna tecnología adecuada y disponible o algún material adecuado para la presentación del tema.

El tono usado algunas veces no expresa la seguridad del dominio del tema.

La duración de la presentación es menos o más de lo apropiada para el tema.

No usa tecnología adecuada y disponible ni material adecuado para la presentación del tema.

El tono no fue usado para expresar la seguridad del dominio del tema.

La duración de la presentación excede en menos o más de lo apropiada para el tema.

Resolución de problemas

CategoríaBien

100% - 71%Regular

70% - 41%Deficiente40% - 0%

147

Resolución(85%)

Llega a la solución correcta

Usa el método adecuado.

El procedimiento es considerablemente bueno.

No llegó a la solución correcta.

Utiliza el método adecuado

El procedimiento es considerablemente bueno.

No llegó a la solución correcta.

No utilizó el método adecuado.

Presentación(15%)

Resuelve el problema ordenadamente y con limpieza.

Resuelve con limpieza pero poco ordenado el problema.

Resuelve el problema sin limpieza y poco orden.

148

Documents

Problemario de Matemáticas II, final (Reparado)