Problema cinemático robot

7/23/2019 Problema cinemtico robot

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Cinemtica Directa y Cinemtica

Inversa

Ejemplos


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3.1. Introduccin3.2. Ecuaciones de cinemtica directa e inversa para posicin.

3.2.1. Coordenadas cartesianas (rectangulares).3.2.2. Coordenadas cilndricas.3.2.3. Coordenadas esfricas.3.2.4. Coordenadas articuladas.

3.3. Ecuaciones de cinemtica directa e inversa para orientacin.3.3.1. Rotaciones tipo Roll (Alabeo o giro), Pitch (Cabeceo o elevacin) yYaw (Guiada o desviacin), RPY.

3.3.2. ngulos de Euler3.3.3. Uniones articuladas

3.4. Ecuaciones de la cinemtica directa e inversa para posicin y orientacin.3.5. Representacin de Denavit-Hartenberg para la cinemtica directa derobots

3.6. Solucin a la cinemtica inversa de robots

Cinemtica directa e inversa

UNIDAD IIIObjetivo: Describir las posiciones y orientaciones de robots

manipuladores a partir de un modelo cinemtico.


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Si se conocen las longitudes de los segmentos o elementosy los ngulos de

las articulaciones que conforman un robot, es posible encontrar en cualquierinstante la posicin y or ientacin en el espaciode su efector final (mano).Esto se conoce como la cinemtica directa.

3.1. Introduccin

Si se desea posicionar la mano de un robot en una posiciny orientacin

deseadas se debe conocer el tamao de cada segmento y el ngulo quedebe tomar cada articulacin. Esto se conoce como la cinemtica inversa.

1. Para posicionar y orientar un cuerpo rgido en el espacio se asigna un marco a esecuerpo para despus describir la posicin del origen de ese marco, as como la

orientacin de ese mismo marco con respecto a los ejes de un marco de referencia fijo.

2. Si se busca orientar y posicionar la mano de un robot en el espacio, se le asigna unmarco a sta y se define la posicin y orientacin de ese marco respecto a un marco dereferencia, dependiendo de la configuracin de las articulaciones y segmentos delrobot.

Obs.


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Problema cinemtico inverso: Consiste en determinar la configuracin que debeadoptar el robot para alcanzar una posicin y orientacin (del extremo final delrobot) deseada o conocida.

Problema cinemtico directo: Consiste en determinar la posicin y orientacin

del extremo final del robot, respecto a un sistema coordenado de referencia, con losngulos de las articulaciones y los parmetros geomtricos de los eslabones delrobot conocidos.

La cinemtica de manipuladores se encarga del estudio del movimiento de loseslabones, sin importar las fuerzas que lo originen. Existen dos problemasasociados a la cinemtica de manipuladores:

a) El problema cinemtico directo

b) El problema cinemtico inverso.


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Valor de las

coordenadas

articulares

(q1,q2,,qn)

Posicin y

orientacin del

extremo del robot

(x,y,z,a,b,g)

Directa

Inversa

Cinemtica

q1=f1(x,y,z,a,b,g)

q2=f2(x,y,z,a,b,g)

. .

. .

. .

qn=fn(x,y,z,a,b,g)

x=fx(q1,q2,,qn)

y=fy(q1,q2,,qn)

z=fz(q1,q2,

,qn)a=fa(q1,q2,,qn)

b=fb(q1,q2,,qn)

g=fg(q1,q2,,qn)

Modelado cinemtico directo


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6

Problema Cinemtico Directo.Para un manipulador dado, conociendo los parmetrosgeomtricos de los eslabones del robot y las coordenadasarticulares del mismo,

cul ser la posicin y orientacin del elemento final ?

Existen cuatro mtodos principales de resolver este problema:

-Mtodos geomtricos.

-Matrices de transformacin.-Cuaterniones.

-Angulos de Euler.

Modelado cinemtico directo


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Problema Cinemtico Inverso.

Para un manipulador dado, conociendo la posicin yorientacin conocidas del elemento final,

es posible que las alcance?

cules sern los valores de las coordenadas articulares?

es una configuracin nica?

Existen tres mtodos principales de resolver este problema:

Geomtrico.

Matrices de transformacin.

Desacoplo cinemtico.

Modelado cinemtico inverso


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La posicin del origen de un marco asociado a un cuerpo rgido tiene 3gdl por lo que puede definirse completamente con 3 piezas deinformacin. Esta posicin del origen del marco (y los consecuentesmovimientos del robot) puede establecerse en diferentes tipos decoordenadas como son cartesianas, esfricas, cilndricas y articuladas.

3.2. Ecuaciones de cinemtica directa e inversa para posicin.

3.2.1. Coordenadas cartesianas (rectangulares).

Existen 3 movimientos lineales a lo largo de los ejes x, y, z. En este tipo derobots los actuadores son lineales y el posicionamiento de la mano se logra

moviendo las 3 articulaciones lineales respecto a los 3 ejes (figura 3.1).Este es el caso de un robot tipo gra, aunque est referido a un marcorectangular.


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Figura 3.1. Coordenadas cartesianas de un robot.

La representacin matricial delmovimiento del punto P es detranslacin pura. La matriz de

transformacin que representa lacinemtica directa de la posicin de lamano del robot en un sistema decoordenadas cartesianas es

Siendo RTPla transformacin entre el marco de referenciay el origen de la mano P.Tcart denota la matriz de transformacin cartesiana. Para encontrar la cinemtica

inversa se fija la posicin deseada igual al punto P.

(3.1)


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EjemploSe desea posicionar el origen del marco de una mano de un robot cartesiano enel punto P = (3, 4, 7). Calcular los movimientos coordenados cartesianos

requeridos.


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3.2.2. Coordenadas cilndricas.

Esta referencia coordenada incluye 2 translaciones lineales y 1 rotacin.

La secuencia es una translacin de r sobre el eje x, una rotacin

respecto al eje z y una translacin de l a lo largo del eje z como semuestra en la figura 3.2.

Figura 3.2. Coordenadas cilndricas de unrobot.


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La transformacin total debida a las 3 transformaciones que relaciona elorigen del marco de la mano con el marco de referencia se obtiene

premultiplicando cada matriz como

) ) ) ), , 0, 0, , , 0, 0R P cilT T r l Trans l Rot z Trans r a a

Las tres primeras columnas representan la orientacin del marco despus de

las transformaciones.

(3.2)


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En esta seccin solo interesa la posicin del origen del marco (ltimacolumna). En realidad, debido a la rotacin respecto al eje z, la orientacindel marco mvil cambia (esto se ver posteriormente).

Se puede cancelar el movimiento de rotacin del marco de forma que stevuelva a serparalelo al marco de referencia. Esto se logra rotando el marco n,,, respecto al eje a un ngulo de grados. Esto es equivalente a

postmultiplicar la matriz de coordenadas cilndricas por una matriz de rotacin

Rot(a,). As el marco mvil estar en la misma posicin pero paralela almarco de referencia nuevamente. Es decir:

),cilT Rot z a

El origen del marco mvil no hacambiado en posicin, solo enorientacin para estar paralelo al

marco de referencia.


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EjemploSe desea ubicar el origen del marco de una mano de un robot cilndrico en P =(3, 4, 7). Calcular las variables de las articulaciones del robot.

Igualando los componentes de la posicin del origen del marco mvilde la matriz (3.2) a los valores deseados se tiene

Al sustituir el valor de en las ecuaciones que la contienen se tieneque r = 5. As, la cinemtica inversa arroja:

Se observa que como rC()y rS()son ambos positivos y como la longitud r

siempre es positiva, entonces el nguloest en el primer cuadrante como

53.1 .


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3.2.3. Coordenadas esfricas.

Este sistema de coordenadas consiste de 1 movimiento lineal y 2rotaciones. La secuencia es una translacin de r sobre el eje z, unarotacin degradosrespecto al eje yy una rotacin de gradosrespectoal eje z segn se observa en la figura 3.3.

Figura 3.3. Coordenadas esfricas de un robot.


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La transformacin total debida a estas 3 transformaciones, misma que relacionael origen del marco de la mano con el marco de referencia, se obtiene

premultiplicando cada matriz segn:

) ) ) ), , , , 0, 0,R P esfT T r Rot z Rot y Trans r b g g b

Las primeras 3 columnas representan la orientacin del marco mvil y la ltimacolumna representa laposicin del origen de ese marco mvil.

Se puede cancelar la rotacin del marco final para hacerlo paralelo al marco de

referencia.

(3.3)


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EjemploSe desea ubicar el origen del marco de una mano de un robot esfrico en P = (3,4, 7). Calcular las variables de las articulaciones del robot.

Igualando los componentes de la posicin del origen del marco mvil de lamatriz (3.3) a los valores deseados se tiene

La tercer ecuacin indica que C() es positiva pero no se conoce esainformacin para S(). Dividiendo las primeras 2 ecuaciones entre s se tienenlos siguientes 2 resultados no nicos debido a que no se conoce el signo deS().


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3.2.4. Coordenadas articuladas.

Consisten en 3 rotaciones como se muestra en la figura 3.4. Estatransformacin se retomar al estudiar la representacin de Denavit-Hartenberg.

Figura 3.4. Coordenadas articuladas de un robot.


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3.3. Ecuaciones de cinemtica directa e inversa paraorientacin.

Suponiendo que el marco mvil asociado a la mano de un robot se ha movidoa una posicin deseada pero sigue siendo paralelo al marco de referencia oest en una or ientacin no deseada. Se busca entonces rotar el marco mvil ala orientacin deseada sin cambiar su posicin. La secuencia de rotacionesdepende del diseo de la mueca y de la forma en que las articulaciones estnensambladas entre s. Se consideran 3 tipos de coordenadas para orientacin:

1. ngulos de giro, elevacin y desviacin;

2. ngulos de Euler;

3. y uniones articuladas.


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3.3.1. Rotaciones tipo Roll (Alabeo o giro), Pitch (Cabeceo

o elevacin) y Yaw (Guiada o desviacin), RPY.

3.3.2. ngulos de Euler

3.3.3. Uniones articuladas

Tarea de Investigacin


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3.4. Ecuaciones de la cinemtica directa e inversa paraposicin y orientacin.

La representacin matricial para la posicin f inal y la or ientacin f inal de unrobot es una combinacin de las ecuaciones vistas en las secciones 3.2 y 3.3dependiendo de la representacin coordenada que se use. Para un robotdiseado con articulaciones cartesianas y RPY, la posicin y orientacin finales

del marco relativo al marco de referencia ser el producto de las 2 matrices

representando en cambio de posicin cartesiano y el cambio de orientacinRPY, es decir

) ), , , ,R H cart x y z a o nT T P P P RPY

Si el robot fue diseado basado en coordenadas esfricas para posicin y

ngulos de Euler para orientacin, la matriz de transformacin es

) ), , , ,R H esfT T r Euler b g

donde la posicin la determinan las coordenadas esfricas y la orientacin finalla determinan ambos los ngulos en las coordenadas esfricas, as como los

ngulos de Euler.


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3.5. Representacin de Denavit-Hartenberg para lacinemtica directa de robots

Denavit y Hartenberg desarrollaron un procedimiento que ha sido muy tilpara representar y modelar la cinemtica (movimientos) de robots. Esteprocedimiento permite modelar articulaciones y segmentos de robotsparacualquier configuracin (prismtica, de revolucin, etc.). Tambin se usapara representar transformaciones en cualquier esquema coordenado

(cartesiano, cilndrica, esfrica, Euler y RPY).

La representacin de Denavit-Hartenberg (D-H) para robots puede serusada junto con otras tcnicas como las del clculo de Jacobianos y las deanlisis de fuerzas

Para aplicar la representacin de D-H considrese que los robots estnconstituidos por una sucesin de segmentos y articulaciones. Lasarticulaciones pueden serprismticas (lineales) o de revolucin (rotacin) yen cualquier orden y en cualquier plano. Los segmentos pueden ser decualquier longitud (incluyendo longitud cero), pueden estar doblados o

torcidos y pueden estar en cualquier plano.


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Segn la representacin de D-H, escogiendo adecuadamente los sistemasde coordenadas asociadas a cada eslabn, ser posible pasar de uno alsiguiente mediante 4 transformaciones bsicas que dependen exclusivamente

de las caractersticas geomtricas del eslabn.

Estas transformaciones bsicas consisten en una sucesin de rotaciones ytraslacionesque permiten relacionar el sistema de referencia del elementoicon el sistema del elemento i-1. Las transformaciones en cuestin son las

siguientes:

)

)

-1

-1

1. Rotacin alrededor del eje un ngulo .

2. Traslacin a lo largo de una distancia ; vector 0,0,

3. Traslacin a lo largo de una distancia ; vector 0,0,

4. Rotacin alrededor

i i

i i i i

i i i i

z

z d d d

x a a a

del eje un ngulo .i i

x a

Dado que el producto de matrices no es conmutativo, las transformacionesse han de realizar en el orden indicado. De este modo se tiene que:

) ) ) )1

, 0, 0, , 0, 0 ,

i

i i i i iA Rot z Trans d Trans a Rot x a


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1

0

0 0 0 1

i i i i i i i

i i i i i i ii

i

i i i

C C S S S a C

S C C S C a S

AS C d

a a

a a

a a

1

0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

i i i

i i i ii

i

i i i

C S a

S C C S A

d S C

a a

a a

donde: , , , , son los parmetros de D-H del eslabn .De este modo, basta con identificar los parmetros , , , , para obtener las matrices A

y relacionar as todos y cada uno de los e

i i i i

i i i i

a d i

a d

a

a

slabones del robot.


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En la base del robot se puede iniciar con la primera articulacin ytransformar a la segunda articulacin, despus a la tercera articulacin y assucesivamente hasta llegar a la mano del robot y de ah al efector final. Si

cada transformacin se llamai-1

Ai, la transformacin total entre la base delrobot y la mano ser

1 0 1 2 1

1 2 3

i n

i nA A A A A

iEs el ngulo que forman los ejes xi-1yximedido en un plano perpendicular al ejezi-1, utilizando la regia de la mano derecha. Se trata de un parmetro variable enarticulaciones giratorias.diEs la distancia a lo largo del eje zi-1desde el origen del sistema de coordenadas (i-1)-simo hasta la interseccin del eje zi-1 con el eje xi. Se trata de un parmetrovariable en articulaciones prismticas.

aiEs la distancia a lo largo del ejexique va desde la interseccin del ejezi-1con el ejexi hasta el origen del sistema i-simo, en el caso de articulaciones giratorias. En elcaso de articulaciones prismticas, se calcula como la distancia mas corta entre losejeszi-1 yzi.iEs el ngulo de separacin del ejezi-1y el ejezi, medido en un plano perpendicular

al ejexi, utilizando la regia de Ia mano derecha.

donde: nes el nmero de laarticulacin.


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En el clculo de las matrices A una tabla de los parmetros para lasarticulaciones y los segmentos puede ayudar, donde los valores para cadaarticulacin y unin se determinan del dibujo del robot y se sustituyen en la

matriz A correspondiente. La tabla es como la que se muestra a continuacin(tabla 3.1): Tabla 3.1. Parmetros D-H.

La matriz de transformacin total de un robot manipulador se obtiene con:

Y cuenta con la siguiente forma:

0 1 1

1 2....

n

nT A A A

0 0 0 1

T

n o a p


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EjemploSea el robot de 6 gdl de la figura 3.9. Asignar los marcos de coordenadasnecesarios segn la representacin D-H, auxilindose de la correspondiente.

Figura 3.9. Robot con 6 gdl.

Considerando que las articulaciones 2, 3 y 4 estn en el mismo plano, sus valores d 2, d3y

d4son cero.

Todas las articulaciones son de revolucin. La primera articulacin se encuentra entre lossegmentos 0 (la base fija) y 1.


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La segunda articulacin se encuentra entre los segmentos 1 y 2, y as sucesivamente.

Para asignar los ejes z y x a cada articulacin considrense las coordenadas de las figuras3.10 y 3.11.

Figura 3.10. Marcos de referencia para el robot de 6 gdl.


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Figura 3.11. Lneas asociadas a los marcos de referencia para el robot de 6 gdl.

En la articulacin 1 z0 representa la primera articulacin (de revolucin), x0se

elige paralelo al eje x del marco de referencia fijo (por conveniencia) y es un ejefijo (no se mueve) que representa la base del robot. El movimiento de la primeraarticulacin ocurre respecto a los ejes z0, x0. Sin embargo, estos 2 ejes no semueven.


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Ahora, z1 se asigna a la articulacin 2, x1 ser normal a z0y a z1

puesto queestos 2 ejes se intersectan. x2estar en la direccin de la normal comn entrez1

y z2. x3est en la direccin de la normal comn entre z2

y z3. En forma

similar, x4

est en la direccin de la normal comn entre z3

y z4.

Finalmente,z5y z6estn en paralelo y son colineales. z5representa los movimientos de laarticulacin 6 mientras que z6

representa el movimiento del efector final.

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