Đề bài

I. Phương trình vi phân

Lưu ý: trong phần này, để cho gọn, chúng ta quy ước: x = x(t), y = y(t), x’ = dx/dt, y’ = dy/dt ....

1. Giải các phương trình vi phân sau, với các điều kiện đầu đã cho:

a. y’ + 3y = e-2t, y(0) = 2 b. 3y’ – 4y = sin2t, y(0) = 1/3

c. y’’ + 2y’ + 5y = 1, y(0) = y’(0) = 0 d. y’’ + 2y’ + y = 4cos2t, y(0) = 0, y’(0) = 2

e. y’’ - 3y’ + 2y = 2e-4t, y(0) = 0, y’(0) = 1 f. y’’ + 4y’ + 5y = 3e-2t, y(0) = 4, y’(0) = -7

g. y’’ + y’ - 2y = 5e-tsint, y(0) = 1, y’(0) = 0 h. y’’ + 2y’ + 3y = 3t, y(0) = 0, y’(0) = 1

i. y’’ + 4y’ + 4y = t2 + e-2t, y(0) = 1/2, y’(0) = 0 j. 9y’’ + 12y’ + 5y = 1, y(0) = 0, y’(0) = 0

k. y’’ + 8y’ + 16y = 16sin4t, y(0) = -1/2, y’(0) = 1 l. 9y’’ +12y’ + 4y = e-t, y(0) = 1, y’(0) = 1

m. y’’’ - 2y’’ - y’ + 2y = 2 + t, y(0) = 0, y’(0) = 1, y’’(0) = 0

n. y’’’ + y’’ + y’ + y = cos3t, y(0) = 0, y’(0) = 1, y’’(0) = 1

2. Tìm lời giải y(t), t 0 của các phương trình vi phân sau:

a. y’’ + 5y’ + 6y = f(t), y(0) = 0, y’(0) = 2, 3 [0,6)

( )0 [0,6)

tf t

t

b. y’’ + 2y’ + 5y = f(t), y(0) = 0, y’(0) = 3, [0, )

( )0

t tf t

t

3. Giải các hệ phương trình sau khi t 0 với các điều kiện đầu cho trước:

a.

22 ' 2 ' 9

2 ' 4 ' 4 37 0

1(0) 0, (0)

4

tx y y e

x y x y

x y

b.

' 2 ' 5sin

2 ' 3 '

(0) 0, (0) 0

t

x y x y t

x y x y e

x y

c.

3

2

' ' 2

' 5 3 5

(0) 1, (0) 4

t

t

x y x y e

y x y e

x y

d.

3 ' 3 ' 2

' 2 ' 1

(0) 1, (0) 1

tx y x e

x y y

x y

e.

3 ' ' 2 3sin 5cos

2 ' ' sin cos

(0) 0, (0) 1

x y x t t

x y y t t

x y

f.

' '

' 4 ' 1

(0) 1, (0) 0

x y y t

x y x

x y

g.

2 ' 3 ' 7 14 7

5 ' 3 ' 4 6 14 14

(0) 0, (0) 0

x y x t

x y x y t

x y

h.

'' 2

'' 2

(0) 4, (0) 2, '(0) '(0) 0

x y x

y x y

x y x y

j.

5 '' 12 '' 6 0

5 '' 16 '' 6 0

7(0) , (0) 1, '(0) '(0) 0

4

x y x

x y y

x y x y

j.

2 '' '' ' ' 3 9

2 '' '' 5 7

(0) 1, (0) 0, '(0) 1, '(0) 0

x y x y y x

x y x y y x

x y x y

II. Mạch điện

4. Tìm dòng điện i1(t) and i2(t) trong mạch sau:

+-e(t) = 200V

t = 0

R1 = 20W

R2 = 8W R3 = 10W

L1 = 0.5H L2 = 1H

i1

i2

5. Xác định i2(t) trong mạch sau:

~e(t) = Esin(100t)

t = 0

50mF

2H 100W

i1 i2

Đáp án

I. Phương trình vi phân

1. y(t) =

a. 2 3t te e b. 4

335 3 2

cos 2 sin 278 26 3

t

e t t

c. 1 1

1 cos2 sin 25 2

t te t e t

d.

12 6 12 16cos2 sin 2

25 5 25 25t te te t t

e. 4 21 7 4

15 5 3t t te e e f. 2 23 cos sint te e t t

g. 21 13 1 3cos2 sin 2

3 12 4 4t t t te e e t e t h.

2 2 1cos 2 sin 2

3 3 2

tt e t t

i. 2 2 2 2 23 1 1 1 3 1

8 2 4 8 4 2t t tt t e te t e j.

2

31 1 1 1

cos 2sin5 5 3 3

t

e t t

k. 4 1cos4

2tte t l.

2

32t

te te

m. 25 1 5 2

4 2 12 3t t tt e e e n.

9 7 25 1 3cos sin cos3 sin 3

20 16 16 80 80te t t t t

2. y(t) =

a.

2 3

2 3 2( 6) 3( 6)

1 1[0,6)

2 21 3

62 2

t t

t t t t

e e t

e e e e t

b.

1

5 2 2 cos 2 18sin 2 [0, )25

1 12 (5 2) cos 2 36 (5 3) sin 2

25 2

t

t

t e t t t

e e t e t t

3. Hệ phương trình vi phân

a.

3 2

3

1 15 11

4 4 4

13

8

t t t

t t

x e e e

y e e

b. 2

2

5sin 5cos 3

3 2 5sin

t t

t t

x t t e e

y e e t

c.

2

3

3sin 2cos

1 9 7cos sin

2 2 2

t

t

x t t e

y e t t

d.

3

3

3 1

2 2

1 31

2 2

tt

tt

x e e

y e e

e. 2 2cos sin

2 2sin cos

t

t

x e t t

y e t t

f.

3

3

3 3

1 31

2 2

tt

tt

x e e

y t e e

g.

2

2

2

7 13

2 2

t t

t t

x e e t

y t e e

h. 3cos cos 3

3cos cos 3

x t t

y t t

i.

3 3cos cos 6

10 4

5 3 1cos cos 6

4 10 4

x t t

y t t

j.

1 2 1cos 2 sin 2

3 3 32 2 1

cos 2 sin 23 3 3

t

t

x e t t

y e t t

II. Mạch điện

4. 59.1 14.9

1

59.1 14.9

2

( ) 4.55 7.49 2.98

( ) 3.64 1.22 4.86

t t

t t

i t e e

i t e e

5. 100 100

2

1 1 1( ) cos100

200 2 200t ti t E e te t