ProbaChap6Exo

7/23/2019 ProbaChap6Exo

1/5


2/5

Exercice 4:

Lors dun sondage sur 100 personnes interrogees, 60 pensent voter pour A.On modelise le choix par un echantillon (X1, , X100) de variables independantes de meme loi de

Bernoulli de parametre p.On cherche a determiner un intervalle de confiance pour p au niveau de confiance 99 %.

1. Determiner lesperance et la variance de la moyenne empirique F = 1

100

100

i=1Xi.

2. On noteF la variable centree reduite associee a F.Par quelle loi peut-on approcher celle de F ? On suppose desormais que F suit la loi N(0, 1).

3. Determiner ttel que P(t F t) 0, 99 et en deduire que

P

F t

p(1p)

10 p F+ t

p(1p)

10

0, 99

4. Montrer que pour tout p [0; 1], p(1 p) 1

4 et en deduire un intervalle de confiance pour p au

niveau de confiance 0, 99 puis en donner une estimation.

Probabilites : Chapitre 6 Exercices Page 2 Estimations


3/5

Correction

Exercice 1:

1. Tnsexprime en fonction des Xidonc cest un estimateur de a. On cherche le biais de Tndonc il nousfaut calculer son esperance.

E(Tn

) =E(2Xn

) = 2

1

n

n

i=1E(X

i

) =

2

n

n

i=1

a

2=a

On a donc b(Tn) =E(Tn) a= 0 et ainsi Tn est un estimateur sans biais de a.

CommeTnest un estimateur sans biais dea, son risque quadratique est egal a sa variance. Or commeles Xi sont independantes on a :

V(Tn) =V

2

n

ni=1

Xi

=

4

n2

ni=1

V(Xi) = 4

n2

ni=1

a2

12=

a2

3n

2. Dapres le cours la fonction de repartition de X est definie par F(x) =

0 si x a

.

Notons Gn la fonction de repartition de Tn. Par definition Gn(x) = P(T

n x). Or [Tn x] =

[X1 x] [Xn x]. Donc comme lesXi sont independantes :

Gn(x) =P(X1 x) P(Xn x) = (F(x))n

On a donc Gn(x) =

0 si x a

.

Une densite de Tn

sobtient en derivant Gn la ou elle est derivable et en completant les pointsmanquants :

gn(t) =

0 si t a

n

a

t

a

n1

si 0 t a

Pour calculer le biais de Tn

il nous faut calculer son esperance. Comme la densite de Tn

est nulleen dehors de [0; a] et que t tgn(t) est continue sur [0; a], Tn admet une esperance et :

E(Tn

) =

a

0

tna

ta

n1

dt= nan

a

0

tn dt= nan

tn+1

n+ 1

a

0

= nan + 1

Donc b(Tn

) = na

n + 1 a=

a

n+ 1Pour les memes raison que pour lesperance, T

nadmet une variance et :

V(Tn

) =

a

0

t2 n

a

t

a

n1

dt E(Tn

)2 = n

an

a

0

tn+1 dt n2a2

(n + 1)2

=

n

an tn+2

n + 2a0

n2a2

(n + 1)2 =

na2

n + 2

n2a2

(n + 1)2

= n

(n + 2)(n + 1)2a2



4/5

On a donc :

r(Tn

) =V(Tn

) + b(Tn

)2 = n

(n + 2)(n + 1)2a2 +

a2

(n + 1)2

= (2n + 2)a2

(n + 2)(n + 1)2 =

2a2

(n+ 2)(n + 1)

3. On a vu que E(Tn

) = na

n + 1 donc E(T

n) =a et ainsi T

nest un estimateur sans biais de a.

De plus comme V(Tn) = n(n+ 2)(n + 1)2a2 on a V(Tn ) = a

2

n(n+ 2) et donc r(Tn ) = a

2

n(n + 2) .

4. Tn et Tn sont meilleurs que T

ncar ils sont des estimateurs sans biais. De plus lorsque n tend vers

+on a :

r(Tn) n+

a2

3

1

n et r(T

n)

n+a2

1

n2

Donc le meilleur estimateur est Tn

.

Exercice 2:

1. On sait que V(Y) =E(Y2

)E(Y)2

donc on a E(Y2

) =V(Y) + E(Y)2

.2. On a :

E(Xn) =E

1

n

ni=1

Xi

=

1

n

ni=1

E(Xi) = 1

n

ni=1

m= m

et comme les variables Xi sont independantes :

V(Xn) =V

1

n

ni=1

Xi

=

1

n2

ni=1

V(Xi) = 1

n2

ni=1

v= v

n

Grace a la question precedente on a donc E(Xn2

) = v

n+ m2.

3. On a donc :

E(Wn) =E

1

n

ni=1

X2iXn

2

=

1

n

ni=1

E(X2i) E(Xn

2)

= 1

n

ni=1

(v+ m2)v

n+ m2

=v + m2 v

nm2 =

n 1

n v

Si on pose W

n = n

n 1 Wn alors on a bien que W

n est un estimateur de v et de plus E(W

n) =n 1

n E(Wn) =v donc cest bien un estimateur sans biais.

Exercice 3:

1. Les parametres dune loi normale sont son esperance et sa variance.XN(m; 0, 0016)

2. E(T) =m et V(T) =0, 0016

100 donc T N

m;

0, 0016

100

.

On a par definition :

T = T E(T)V(T)

= Tm0, 0016/100

= Tm0, 004



5/5

3. On sait donc que T N(0, 1). Donc P(t T t) = (t) (t) = 2(t) 1.

On a donc

P(t T t) 0, 95 2(t) 1 0, 95 (t) 0, 975 t 1, 96

On peut donc choisir t= 1, 96.

4. Dapres la question precedente :

P(1, 96 T 1, 96) 0, 95 P1, 96 Tm0, 004

1, 96 0, 95P(0, 004 1, 96 Tm 0, 004 1, 96) 0, 95

P(T 0, 00784 m T+ 0, 00784) 0, 95

5. Dapres la question precedente [T 0, 00784; T+ 0, 00784] est un intervalle de confiance pour mauniveau de confiance 0, 95.

Le tableau de valeurs nous permet de calculer une realisation de T : 0, 7132

Un intervalle de confiance realise est donc [0, 70536; 0, 72104].

Exercice 4:

1. E(F) = 1100

100i=1

E(Xi) =p et, comme les Xi sont independantes,

V(F) = 1

10000

100i=1

V(Xi) =p(1 p)

100 .

2. Dapres le theoreme de la limite centree, comme 100 > 30, que les Xi sont independantes, suiventtoutes la meme loi et ont une variance non nulle,F suit approximativement la loi normale centreereduite.

3. On a P(t F t) = (t) (t) = 2(t) 1 donc

P(

t

F

t)

0, 99

2(t)

1

0, 99

(t)

0, 995

t

2, 58On choisit t= 2, 58.

De plus comme F = Fpp(1p)/10

, on a

P(t F t) =P

F t

p(1p)

10 p F+ t

p(1p)

10

On a donc bien P

F t

p(1p)

10 p F+ t

p(1 p)

10

0, 99

4. Il suffit ici detudier la fonction f : x x(1 x) sur [0; 1] et de remarquer quelle atteint son

maximum en x=1

2et que ce maximum vaut

1

4.

On a donc

F t

p(1p)

10 p F+ t

p(1p)

10

F t

1

20 p F+ t

1

20

donc :

P

F t

1

20 p F+ t

1

20

P

F t

p(1p)

10 p F+ t

p(1p)

10

0, 99

Donc [F 0, 129 p F+ 0, 129] est un intervalle de confiance de pau niveau de confiance 0,99.

De plus un realisation de F est dapres lenonce : 0, 6 donc une estimation de cet intervalle est[0, 471;0, 729].


Documents

ProbaChap6Exo