PROBABILITY PROPORTIONAL TO SIZE (PPS) SAMPLING

11

PROBABILITY PROPORTIONAL TO SIZE

(PPS) SAMPLING PPS-WRPPS-WR

PPS-WORPPS-WOR

22

DEFINISISampling with Probability Proportional to

Size (PPS) adalah suatu prosedur penarikan sampel dimana peluang terpilihnya suatu unit sampel sebanding dengan ukuran

Ukuran yang dimaksud adalah informasi tambahan (auxiliary information) yang dipertimbangkan sebagai dasar penarikan sampel dan memiliki korelasi yang erat dengan variabel-variabel yang akan diteliti.

33

Variabel yang ditelitiVariabel yang diteliti Variabel tambahanVariabel tambahan

Penduduk sekarangPenduduk sekarang Penduduk sensusPenduduk sensus

sebelumnya/luas geografisebelumnya/luas geografi Jumlah kelahiranJumlah kelahiran

sekarangsekarang

Penduduk sensusPenduduk sensus

sebelumnya sebelumnya Total pendapatan Total pendapatan

sekarangsekarang

Penduduk sensus Penduduk sensus

sebelumnyasebelumnya Luas panenLuas panen Total luas yang ditanamiTotal luas yang ditanami

Produksi pabrikProduksi pabrik Jumlah pekerjaJumlah pekerja

Beberapa contoh variabel yang diteliti dan variabel tambahan

44

ALASANALASAN

Untuk memperoleh suatu metode pemilihan yang akan memberikan penduga rata-rata populasi yang tak bias (unbiased estimator)

Mempunyai ketepatan yang lebih tinggi dari metode-metode yang lain.

Memiliki keuntungan lebih lanjut dengan memberikan penduga-penduga rata-rata dan varians populasi yang sangat sederhana.

55

PROSEDUR PEMILIHAN UNIT SAMPEL

Pemilihan dari suatu daftar (LIST)

Pemilihan dari suatu peta (MAP)

Pemilihan secara sistematis

66

PEMILIHAN DARI SUATU DAFTAR (LIST)

METODE KUMULATIFMETODE KUMULATIF

METODE LAHIRIMETODE LAHIRI

77

METODE KUMULATIFMETODE KUMULATIF1. Buat jumlah kumulatif dari ukuran yang digunakan

untuk dasar penarikan sampel untuk seluruh unit dalam populasi.

2. Ambil angka random dari 1 sampai X.

3. Bila , maka unit ke-i terpilih, bila kondisi itu tidak terpenuhi, ulangi langkah ke-2.

4. Ulangi langkah ke-2 hingga n unit sampel terpilih.

XxxxxxxxN

ii ,...,, 321211

i

i

i

i xARx1

88

METODE LAHIRIMETODE LAHIRI

1. Ambil dua angka random secara serentak, yaitu:

AR1: antara 1 sampai N, untuk nomor urut unit sampling dalam populai

AR2: antara 1 sampai Xmaks, untuk penarikan sampel dimana Xmaks adalah nilai maksimum dari Xi.

2. Bila AR1 = i dan AR2 ≤ Xi , maka unit ke-i dipilih, bila kondisi itu tidak terpenuhi, ulangi langkah ke-1.


99

Pemilihan dari suatu peta (MAP)

Prosedur ini dipakai untuk pemilihan unit-unit wilayah geografis dari sebuah peta dengan peluang proporsi terhadap luas (area) Probability Proportional to Area.

1. Ambil dua angka random secara serentak, yaitu:AR1: antara 1 sampai panjang desaAR2: antara 1 sampai lebar desa

2. Sepasang angka random terpilih akan menem-patkan suatu titik pada peta, dan sawah dimana titik itu jatuh akan terpilih


1010

Contoh: Pemilihan dari suatu peta (MAP)

Gambar berikut adalah peta dari 12 sawah dalam suatu desa.

2

1

4

3

5

6

9

7

8 1211

10

21 43 5 6 97 8 1110 12

2

4

3

5

6

7

8Misal AR1 = 6 dan

AR2 =5, maka ko-

ordinatnya adalah

(6,5). Selanjutnya

sawah yang terpi-

lih adalah sawah

no 4.

1111

PEMILIHAN SECARA SISTEMATIS

Buat jumlah kumulatif dari ukuran yang digunakan untuk dasar penarikan sampel untuk seluruh unit dalam populasi.

Jika n adalah besarnya sampel, interval sampling (I) adalah bilangan bulat yang dekat dengan X/n.

Ambil AR1 ≤ I, maka unit-unit yang terpilih adalah: AR1; AR1+I; AR1+2I, dst.

XxxxxxxxN

ii ,...,, 321211

1212

Ilustrasi 4 : Berikut ini adalah daftar nama 24 kepala rumahtangga berikut jumlah

anggotanya untuk rumahtangga-rumahtangga yang tinggal di suatu desa pedesaan. Untuk

mengetahui rata-rata pengeluaran per minggu, maka dipilih sampel sebayak 4

rumahtangga secara pps-sistematic linear dengan ukuran jumlah anggota rumahtangga.

Tabel 1: Daftar Kerangka Pemilihan Sampel Rumahtangga

No Nama KRT Jumlah

art

Jumlah kumulatif

art No Nama KRT

Jumlah art

Jumlah kumulatif

art 01 Abiyoso 5 5 13 Mustakin 9 61 02 Banuarja 2 7 14 Normandino 4 65 03 Chaidir 9 16 15 Oposunggu 8 73 04 Darusmin 3 19 16 Pardosi 7 80 05 Efraim 7 26 17 Qurmanto 7 87 06 Faturrahman 4 30 18 Rusdi 5 92 07 Gusmianto 3 33 19 Samektopo 2 94 08 Hutajulu 1 34 20 Tarjono 2 96 09 Indrastoto 5 39 21 Umarsono 7 103 10 Jamaludin 5 44 22 Verianto 4 107 11 Kartosemoyo 5 49 23 Xiemenes 7 114 12 Luhantara 3 52 24 Yamantoro 6 120

1313

I = 120/4 = 30

Misalnya Tabel Angka Random yang digunakan adalah Tabel Angka Random Halaman

1 kolom 1-2 sesuai dengan banyaknya digit dari I. Dari Tabel Angka Random diperoleh

R1 = 03 (lebih kecil dari Interval sehingga langsung dapat digunakan).

Angka random pertama s.d. keempat dan rumahtangga terpilih adalah sebagai

berikut:

Tabel 2: Lembar Kerja Pemilihan Sampel Rumahtangga

Ri Rumahtangga terpilih

Jumlah kumulatif

yang berpadanan dengan

RI

No. Rtmg yang

berpada-nan

dengan jumlah

kumulatif

No.

Nama kepala rumahtangga

Jumlah art

03 5 01 01 Abiyoso 5 33 33 07 02 Gusmianto 3 63 65 14 03 Normandino 4 93 94 19 04 Samektopo 2

Catatan : Kolom (1) dihitung dengan rumus R1 = 03 (sama dengan angka random) R2 = R1 + I = 3 + 30 = 33 R3 = R2 + I =33 + 30 = 63 R4 = R3 + I =63 + 30 = 93

1414



mengetahui rata-rata pengeluaran per minggu, maka dipilih sampel sebayak 7

rumahtangga secara pps-sistematic sirkuler dengan ukuran jumlah anggota rumahtangga.

I = 120/7 = 17

Misalnya Tabel Angka Random yang digunakan adalah Tabel Angka Random Halaman

1 kolom 3-4 baris 1. Dari Tabel Angka Random diperoleh R1 = 47 (tidak harus lebih

kecil dari Interval, tetapi antara 1 s.d 120)

Angka random pertama s.d. ketujuh dan rumahtangga terpilih adalah sebagai berikut :

1515



mengetahui rata-rata pengeluaran per minggu, maka dipilih sampel sebanyak 7

rumahtangga secara pps-sistematic sirkular dengan ukuran jumlah anggota rumahtangga.

Tabel 1: Daftar Kerangka Pemilihan Sampel Rumahtangga

No Nama KRT Jumlah

art

Jumlah kumulatif

art No Nama KRT

Jumlah art

Jumlah kumulatif

art 01 Abiyoso 5 5 13 Mustakin 9 61 02 Banuarja 2 7 14 Normandino 4 65 03 Chaidir 9 16 15 Oposunggu 8 73 04 Darusmin 3 19 16 Pardosi 7 80 05 Efraim 7 26 17 Qurmanto 7 87 06 Faturrahman 4 30 18 Rusdi 5 92 07 Gusmianto 3 33 19 Samektopo 2 94 08 Hutajulu 1 34 20 Tarjono 2 96 09 Indrastoto 5 39 21 Umarsono 7 103 10 Jamaludin 5 44 22 Verianto 4 107 11 Kartosemoyo 5 49 23 Xiemenes 7 114 12 Luhantara 3 52 24 Yamantoro 6 120

1616

Tabel 3: Lembar Kerja Pemilihan Sampel Rumahtangga

Rumahtangga terpilih Angka

Random RI

Jumlah kumulatif

yang berpadanan dengan

Ri

No. Rtmg yang

berpadan-an dengan

jumlah kumulatif

No.

Nama kepala rumahtangga

Jum-lah

ART

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 47 - 49 11 01 Kartosemoyo 5 64 - 65 14 02 Normandino 4 81 - 87 17 03 Qurmanto 7 98 - 103 21 04 Umarsono 7 115 - 120 24 05 Yamantoro 6 132 (R 12) 16 02 06 Chaidir 9 149 (R 29) 30 06 07 Faturrahman 4

Catatan :

Kolom (1) : dihitung dengan rumus R1 = 47 (sama dengan angka random pertama)

R2 = R1 + I.= 47 + 17 =64

R3 = 64 + 17 = 81

R4 = 81 + 17 = 98

R5 = 98 + 17 = 115

R6 = 115 + 17 = 132 – 120 = 12

R7 = 12 + 17 = 29

Kolom (2) : sisa setelah dikurangi dengan 120

1717

Prosedur Estimasi

N

ii

iN

ii

ii p

X

x

x

xp 1 dimana

1

i

i

i

ii x

yX

p

yY ˆ

Pada suatu penarikan sampel sebanyak n unit yang diambil dari sebuah populasi dengan ukuran N unit secara PPS-WR dengan size xi, maka besarnya

peluang terpilihnya unit ke-i sebagai sampel adalah:

Misalnya yi adalah nilai variabel yang berpadanan

dengan terpilihnya unit ke-i maka estimator yang unbiased bagi total adalah:

1818

Prosedur Estimasi (lanjutan)

iY

n

i i

in

i i

in

iiPPS x

y

n

X

p

y

nY

nY

111

1ˆ1ˆ

N

i i

iiPPS Y

p

yp

nYV

21ˆ

(i = 1, 2, …,n) merupakan estimator-estimator yang unbiased bagi total Y dan saling independent. Maka kombinasi dari estimator-estimator tersebut merupakan estimator yang unbiased bagi total Y, yaitu:

dengan sampling variance:

1919


N

i i

iN

i i

iPPS x

y

nN

X

p

y

nNN

YY

1ˆˆ

Sebuah unbiased estimator dari rata-rata populasi,

adalah:

Y

dengan sampling variance:

N

i i

iiPPS Y

Np

yp

nYV

21ˆ

2020


Dalam PPS Sampling, WR, sebuah unbiased esti-mator dari , adalah: PPSYV ˆ

n

iPPS

i

in

iPPS

i

iPPS Yn

p

y

nnY

p

y

nnYv 2

22

ˆ1

1ˆ1

1ˆ

Dalam PPS Sampling, WR, sebuah unbiased esti-mator dari , adalah: PPSYV ˆ

n

iPPS

i

in

iPPS

i

iPPS Yn

p

y

NnnY

Np

y

nnYv 2

2

2

2

ˆ1

1ˆ1

1ˆ

2121

Relatif Efisiensi (RE)

Untuk mengetahui perbandingan Sampling PPS-WR dengan SRS-WR dari sampel PPS itu sendiri. Dalam SRS-WR, variansnya adalah:

N

iiSRS Yny

n

NS

n

NYV 222ˆ

)ˆ(ˆadalah dan 1

adalah dari bias tidak pendugaSebuah 222

2PPSPPS

N

i i

iN

ii YvYYN

p

y

ny

Sehingga varians SRS-WR berdasarkan sampel PPS-WR adalah:

PPS

n

iPPS

i

iSRSPPS Yv

nYn

p

yN

nYv ˆ1ˆ1ˆ 2

2

2

%100ˆ

ˆx

Yv

YvRE

SRSPPS

PPS

2222

Tabel 1 Perusahaan menurut Banyaknya Tenaga Kerja dan Produksi serta

Penghitungan Peluang

No. urut perusahaan

Tenaga kerja

xi

Produksi (juta Rp)

yi

px

Xii

y

pi

i

py

pYi

i

i

2

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

1* 2 3

4* 5

6 7 8 9 10

11* 12* 13 14 15

50 60 30 75 60

30 50 45 80 75

30 90 30 40 40

221 290 141 365 234

123 275 135 344 350

141 430 140 171 160

50/785 60/785 30/785 75/785 60/785

30/785 50/785 45/785 80/785 75/785

30/785 90/785 30/785 40/785 40/785

3469,70 3794,17 3689,50 3820,33 3061,50

3218,50 4317,50 2355,00 3375,50 3663,33

3689,50 3750,56 3663,33 3355,88 3140,00

161,15 5745,42 1097,97 8617,65 16067,94

3473,97 40509,95 77802,70 2127,92 1962,75

1097,97 6094,53 785,10 1372,50 7357,96

Total 785 3520 1,00 - 174275,48

2323

a. Penghitungan Y dan Y serta V Y( ) dan V Y( )

Nilai Populasi Karakteristik Produksi (dalam juta Rp)

Y y Yp p i pi

N

3 5 2 0

3 5 2 0

1 52 3 4 6 9

1, ,

V YN

py

pYp i

p i

ii

N

( ),

,

1 1 7 4 2 7 5 4 8

1 511 6 1 8 3 6

2

1

RSE ( ), ,

,Y x xp 11 6 1 8 3 6

3 5 2 01 0 0 %

1 0 7 7 9

3 5 2 01 0 0 % 3 0 6 %

V YV Y

Np( )( ) ,

, 2 2

11 6 1 8 3 6

1 55 1 6 4

2424

b. Penghitungan Y dan Y serta v Y( ) dan v Y( )

Tabel 2 Perusahaan Terpilih dan Karakteristiknya serta Peluang

dan Estimasinya

No. urut perusahaan

terpilih

Tenaga kerja

xi

px

Xi

i Produksi (juta Rp)

ypi

Yy

pX

y

xp i

p i

i

p i

i

Y Yp i p

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

1 4

11 12

50 75 30 90

50/785 75/785 30/785 90/785

221 365 141 430

3469,70 3820,33 3689,50 3750,56

-212,82 137,81 6,98 68,04

Jumlah 245 - 1157 14730,09 -

2525

;Yn

y

p

X

n

y

xXp

p i

ii

np i

ii

n

1

7 8 51 1

,, ; ,

,Y Yp p 1 4 7 3 0 0 9

43 6 8 2 5 2

3 6 8 2 5 2

1 52 4 5 5 0

v Yn n

Y Yp p i pi

n

( )( )

( )

( )( , , , , )

1

1

1

4 4 12 1 2 8 2 1 3 7 8 1 6 9 8 6 8 0 4

2

1

2 2 2 2

1

1 24 5 2 9 2 3 5 1 8 9 9 1 6 0 4 8 7 2 4 6 2 9 4 4( , , , , )

6 8 9 6 2 11

1 25 7 4 6 8 4

,,

v Yv Y

Np

p( )

( ), 2 2 5 5 4 1 5

RSE ( ),

,

,

,,Y x x

5 7 4 6 8 4

3 6 8 2 5 21 0 0 %

7 5 8 1

3 6 8 2 5 21 0 0 % 2 0 6 %

2626

PPS-WOR

PPS-WOR dapat memberikan efisiensi yang lebih baik dibanding PPS-WR. Banyak sampel dalam praktek yang telah dilakukan dengan PPS-WO, tetapi prosedur perhitungan lebih kompleks dan tidak mudah diaplikasikan.

Jika fraksi sampling kecil, dalam survey skala besar, efisiensi PPS-WR atau PPS-WOR akan berbeda tidak nyata (hampir sama). Meskipun begitu, jika fraksi besar efisiensi WOR akan lebih substansial.

2727

PPS-without replacement

Prosedur UmumProsedur UmumPenduga Terurut Des Raj / Des Raj’s Penduga Terurut Des Raj / Des Raj’s

Ordered EstimatorOrdered EstimatorPenduga Tak Terurut Horwitz-Thompson/Penduga Tak Terurut Horwitz-Thompson/

Horwitz-Thompson’sHorwitz-Thompson’s Unordered Estimator Unordered Estimator

2828

Prosedur Umum (1)Prosedur Umum (1)Misalkan n unit sample dipilih satu persatu dari N unit dalam populasi secara PPS-WOR dengan size X . Probabilitas bahwa unit j terpilih sebagai sampel pada pengambilan pertama, adalah :

NjX

xp j

j ,...,2,1

dimana

N

jjxX

1

Probabilitas bahwa unit i terpilih sebagai sampel pada pengambilan kedua dimana unit j sudah terpilih pada pengambilan pertama , adalah :

.)1( dstjippp jijt

Susunan sampling unitnya adalah )...,,( ,21 nyyy dengan peluang sebesar ),...,,( 21 nppp

2929

Prosedur Umum (2)Prosedur Umum (2)Contoh : Pada suatu desa terdapat 8 kebun buah dimana banyaknya pohon berturut-turut terdiri dari 50, 30, 25, 40, 26, 44, 20, dan 35. Dipilih sampel sebanyak 2 kebun. Unit /kebun ke 1 2 3 4 5 6 7 8 Jumlah pohon 50 30 25 40 26 44 20 35 METODE LAHIRI Prosedur : 1. Pilih )50,8/(),( jijiAR

Misalkan sampelterpilihnomorunitAR 5)7,5(1 2. Pemilihan sampel ke dua susunan unit dalam populasi diatur kembali, karena unit nomor 5 sudah terpilih sampel pada pengambilan pertama ( ).7( N

Unit/ kebun ke 1 2 3 4 5 6 7 Jumlah pohon 50 30 25 40 44 20 25 Pilih )50;7/(2 jiAR

Misalkan sampelterpilihnonorunitAR 6)18,6(2 Jadi unit-unit yang terpilih sampel adalah unit nomor 5 dan nomor 7

3030

Penduga Terurut Des Raj (Des Raj’s Ordered Estimator)

Andaikan 2 unit dipilih dengan PPS-WOR dengan peluang unit terpilih dari unit Ui adalah pi, i=1,2,…N dimana pi= Xi/X. Pada pengambilan pertama memiliki peluang pi dan pengambilan kedua dengan peluang bersyarat pj/(1-pi). Anggap y1 dan y2 adalah nilai unit pengambilan pertama dan kedua; serta p1 dan p2 adalah peluangnya, maka:

2

1212

1

11

1dan

p

pyyz

p

yz

2

12

1

1121

11

2

1

2

1ˆp

py

p

pyzzYORD

dengan penduga varians yang unbiased:

2

2

2

1

121

221 1

4

1

4

1ˆ

p

y

p

ypzzYv ORD

3131

Horvitz-Thompson’s Unordered Estimator

Penduga Tidak Terurut Horvitz-Thompson /

Andaikan suatu unit dipilih dengan PPS-WOR dengan peluang unit terpilih dari unit Ui adalah pi, i=1,2,…N dimana pi= Xi/X. Peluang bahwa unit Ui dan Uj termasuk dalam sampel adalah:

ij ij j

ji

j

ijii p

pp

p

ppp

11

1

j

ji

i

jiij p

pp

p

pp

11

Anggap bahwa yi adalah nilai unit ke-i dengan i peluang masuk dalam sampel, maka:

n

i i

iHT

yY

ˆ

dengan varians sampling yang unbiased:

ji

n

i

n

i

n

ij jiij

jiij

i

iiHT yy

yYv

21ˆ

2

2

3232

Contoh Soal:

Berikut adalah hasil panen (dalam 10 kg) dari 8 pohon buah di suatu desa:

No UrutNo UrutJumlah Jumlah

Pohon (XPohon (Xii))Hasil Hasil

Panen (YPanen (Yii)) ppii

11 5050 6060 0.1851850.185185

22 3030 3535 0.1111110.111111

33 2525 3030 0.0925930.092593

44 4040 4444 0.1481480.148148

55 2626 3030 0.0962960.096296

66 4444 5050 0.1629630.162963

77 2020 2222 0.0740740.074074

88 3535 4040 0.129630.12963

TotalTotal 270270 311311

Berdasarkan data tersebut, bila sampel yang diambil adalah no urut 5 dan 7, perkirakan total hasil panen buah dan variannya di desa itu dengan metode terurut Des Raj dan metode tidak terurut Horvitz-Thompson!

3333

Metode Terurut Des Raj

625,305

074,0

096,0122

096,0

096,0130

2

1ˆ

ORDY

2645,47074,0

22

096,0

30096,01

4

1ˆ2

2

ORDYv

Metode Tidak Terurut Horvitz-Thompson

403,295ˆ2

2

1

1 yy

YHT

8

1

157,11 i

i

p

pS 1969,0

11

1

111

p

pSp

1538,01

12

221

p

pSp 0155,0

1

1

1

1

211212

pp

p

91,79ˆ

2

2

2

1

1

12

1221

yyYv HT

3434

PPS Stratified Sampling

StrataStrata Size Unit Dalam Populasi (xSize Unit Dalam Populasi (xhihi)) Sampel (xSampel (xhihi))

1122......hh

XX11, 11, XX12, …………………………………12, …………………………………XX1N11N1

XX21, 21, XX22, …………………………………22, …………………………………XX2N22N2

. . .. . .

. . .. . .

. . .. . .XXh1, h1, XXh2, …………………………………h2, …………………………………XXhNhhNh

xx11, 11, xx12, ………………, 12, ………………, xx1N11N1

xx21, 21, xx22, ………………, 22, ………………, xx2N22N2

. . .. . .

. . .. . .

. . .. . .x x

h1, h1, xxh2, ………………, h2, ………………, xxhNhhNh

Besarnya peluang terpilihnya unit ke-i sebagai sampel:

hi

hihi X

XP

hi

hihi X

xp

hh n

i hi

hiL

h h

hn

i hi

hiL

h h

L

hhPPS x

y

n

X

p

y

nYY

1ˆˆ

Maka penduga unbiasednya adalah:

3535

PPS Stratified Sampling (lanjutan)

Dengan varians:

hi

N

ih

hi

hiL

h hPPS PY

P

Y

nYV

h2)(

1

2)ˆ()1(

1)ˆ( h

n

i hi

hiL

h hhPPS Y

p

y

nnYv

h

Dengan rata-rata:

h

hh

PPSL

hh

PPSPPS N

YY

N

Y

N

YY

ˆˆ dimana ˆˆˆ

Documents

PROBABILITY PROPORTIONAL TO SIZE (PPS) SAMPLING