1 Gabriel V. ORMAN Gabriel NEPOTU 2008 2009REPROGRAFIA UNIVERSITII TRANSILVANIA DIN BRAOV 2 3 CUPRINS Prefata ................ .... 2 Introducere ........................ ............................................... ......................3 1. Preliminarii de teoria multimilor ........................ .............5 1.1.Elemente de teoria multimilor .................................. .......................51.2. Elemente de teoria semigrupurilor .......................... ........................132. Camp de Probabilitate . .......... ........................................... ......................172.1. Camp de evenimente ...............172.2. Probabilitate pe campuri finite de evenimente ........................282.3. Camp de probabilitate complet aditiv...45 2.4. Metode clasice in teoria probabilitatilor...............................502.5. Formule utile in aplicatiile teoriei probabilitatilor. .....................542.6. Independenta stochastica. Extractii repetate.61 2.7. Teorema Borel-Cantelli69 2.8. Aplicatii 71 3. Variabile aleatoare. Caracteristici numerice. Functia de repartitie ...............80 3.1. Definitii. Exemple.................80 3.2. Valori medii .................873.3. Dispersia...............923.4. Corelatia...............933.5. Inegalitatea lui Cebsev . ..................973.6. Inegalitatea lui Kolmogorov ...................983.7. Raport de corelatie ..99 3.8. Variabile aleatoare pe un camp de probabilitate complet aditiv ..100 3.9. Functia de probabilitate .............1033.10. Functia de repartitie .............1044. Repartitia binomiala si repartitia Poisson ...................1074.1. Repartitia binomiala...............1074.2. Legea numerelor mari............111 4.3. Repartitia Poisson .................1124.4. Repartitia multinomiala.............121 4.5. Repartitia normala.Teorema limita DeMoivre-Laplace ..................1225. Elemente de teoria selectiei ..................1365.1. Selectie.Repartitie empirica..............136 5.2. Valori tipice (empirice) de selectie...............1415.3. Aplicatii.................1456. Elemente de teoria estimatiei ...................1516.1. Estimatii.Tipuri de estimatii..............1516.2. Metode de determinare a estimatiilor............156 6.3. Aplicatii.............162 ANEXE ...168 BIBLIOGRAFIE ..... ...........172

4 PREFATA Teoriaprobabilitatiloresteodisciplinamatematicaavandscopuriasemeneaacelorape carelearegeometriasaumecanicaaplicata,spreexemplu.Deaceea,lafelcaoricaredomeniu, trebuiescdistinse,siincadrulteorieiprobabilitatilortreiaspectealeteoriei:continutullogico-formal,fundamentulintuitivsiaplicatiile.Faraconsiderareaacestortreiaspecte,atatin totalitatea lor cat si in interdependenta dintre ele, nu pot fi apreciate caracterul si armonia intregii structuri a domeniului. Astazi,teoriaprobabilitatilorsistatisticamatematicasuntaplicateinatatdemulte domeniidiferite,incatestenecesaraoteoriegeneralafoarteflexibilapentruaputeaprevedea instrumenteledelucrucelemaipotrivitepentruovarietateatatdemaredecerinte.Orientarea empirica sau statistica, in directia probabilitatii, a fost dezvoltata, in special, de R.A. Fisher si R von Mises. De altfel, una dintre notiunile fundamentale ale teoriei probabilitatilor, aceea decamp deevenimente,odatoramluiRvonMises.Aceastanotiuneafacutposibilaconstituireaunei teorii a probabilitatilorriguroasa din punct de vedere matematic, bazata pe teoria mas urii.Oteorie,insa,devinematematicaatuncicandeapoatefurnizaunmodelmatematical fenomenelor de care se ocupa. Pe masura ce numarul fenomenelor, impreuna cu proprietatile lor cunoscuteacrescut,modelulmatematics-adezvoltat,delanotiunileprimarepecares-a construitintuitianoastra,indirectiauneigeneralizarisiabstractizariinalte.Dar,inacestfel, consistenta intrinseca a modelului fenomenelor aleatoare a devenit indoielnica, ceea ce a impus o reconstructieaintregiistructuriinaldoileasfertalsecoluluinostru,incepandcuodefinitie axiomatica a insusi conceptului de probabilitate (datorata lui A.N. Kolmogorov).Asaaaparutoramuranouaamatematicilor-teoriaprobabilitatilor-interesatain construireasistudiereamodeluluimatematicalintamplarii.Este,faradoarsipoate,saltul calitativinregistratinchiaristoriadezvoltariiacesteiteorii.ConceptulluiKolmogorovafost confirmat,destulderepede,decercetarilesirezultateleobtinutemaialesdeW.Feller,care furnizeaza si o serie de exemple si aplicatii capabile sa intregeasca si sa completeze teoria. Acestmoddeabordareateorieis-afacutremarcat,inmodtreptat,datoritainfluentei multorcercetatori,dintrecaremaiamintimpeM.Love,P.P.Halmos,G.V.Gnedenko,I.I. Gihman,A.V.Skorohod,M.Rosenblatt,alecarorrezultateaucondus,peparcursulanilor,la consacrareauneiteoriimoderneaprobabilitatilor.Inacestcontext,remarcamscoala ramaneascadeteoriaprobablitatilorsistatisticamatematicacreata,cuaproapesasedeceniiin urma, de O. Onicescu si Gh. Mihoc.In aplicatii, modelele matematice abstracte servesc ca instrumente, modele diferite putand sadescrieaceeasisituatieempirica.Modulincaresuntaplicateteoriilematematicenudepinde deideipreconcepute;aceastaesteotehnicaaplicatacupremeditare,caredepindedeexperienta si se schimba odata cu ea. In lucrarea de fata ne-am oprit doar la cateva dintre problemele fundamentale care trebuie sa intre in cultura unui intelectual. 5 AutorulINTRODUCERE Matematicile aplicate au devenit, de mai multi ani, un domeniu prioritar in intreaga lume, atatinprocesuldeinstruireastudentilor,catsiincercetaresiinspecializareadevarf.Desila noi,intara,sevorbestedematematiciaplicate,maialesdupa1990,adicadeuntimprelativ scurt,totusi,handicapulfatadelumeaavansata,inspecialdinpunctdevedereconceptual,a fost, dupa parerea noastra depasit. Vorbim si noi, acum, destul de mult, desprematematici aplicate care au fost introduse ca domeniuprioritarchiarinspecializareadecelmaiinaltnivel,cumestedoctoratul.Darcatde cuprinzatoresteacestdomeniu,cedirectiidestudiusicercetarepotfiurmate,sauchiarcreate, este o chestiune nu chiar atat de simpla. Situatia credem ca este comparabila cu ceeace se intampla in cazul studiului sistemelor. Deexemplu,sevorbestedestuldedesdespresystemstheory,systemssciencesisystems engineering,existandevenimenteinternationale,demareprestigiu,consacrateacestora.Dar pana unde tine una dintre aceste directii si de unde incepe alta, este greu de spus. Cert este ca ele pot fi privite atat din punct de vedere ingineresc (in sensul pe care l da computing engineering). cat si din punctul de vedere al matematicianului interesat in cercetari dematematici aplicare.Inmodcertinsa,candvorbimdematematiciaplicateintelegematatcercetaridenatura sistemica(inclusivsistemededeciziesisistemeinformatice),catsicercetarioperationale, calcululprobabilitatilorsistatisticamatematica,grafuri,programarematematica,fiabilitate, structuri algebrice, optimizari,combinatorica si oper atori. Din toate aspectele ce pot fi luate in discutie se detasaza, in literatura universala, tematici care se refera, mai ales, la management, modele in economie, retele de comunicatii, probleme de transport, fiabilitate, sisteme expert si inteligenta ar tificiala, simulare si calcul. Lucrareaeste conceputape baza prelegerilor tinute de autor, ca profesor la Universitatea TransilvaniadinBrasov,studentilordelaspecializarilematematica,informatica,matematica-fizica, relatii internationale (profi l economic) si autovehicule rutiere (profil mecanic).Ne referim, in aceasta lucrare, la cateva aspecte oferite de studiul unor elemente, de baza, dinteoriaprobabilitatilorsistatisticamatematica,instrumentdelucrudeosebitdefincare,in modclar,seevidentiazaprintrestudiileprivindceeacene-amobisnuitsanumim,inmod cotidian, spre exemplu, proces economic. Nu ne referim, deci, la elemente de analiza matematica domeniuincareexistaobogataliteraturadespecialitatesicareconsideramcatrebuiesafaca partedinalfabetulfiecaruistudentcaresespecializeazainsistemeleeconomice,tehnice, matematice,fizice,chimice,biologice(casanumindoarcateva)sialcercetatorilorinteresatiin asemeneastudii.Nune-ampropus,deasemenea,sarezolvamproblemelespecifice,dintr-un anumedomeniudepreocupari,caceleconomicsausocial,deexemplu,aceastafiindexclusiv sarcinaspecialistilordinaceldomeniucare,insa,nuvorputeaobtinerezultateriguros fundamentatestiintificfaraaimplica,instudiilelor,modelematematicecacelepecarele promovam aici, sau ca altele, dar, bineinteles la fel de eficiente.6 Lucrareaesteconceputainpatrucapitole,capitolulpreliminarfiindrezervatprezentarii catorvaelementedeteoriamultimilorsiasemigrupurilor.Acesteasuntdeunrealfolosin aplicatiiledininformatica,studiullimbajelorformalesialautomatelor,disciplinecareofera modeleeficiente,siusordemanevrat,pentrudiferiteaspectealefenomeneloreconomice, lingvistice,biologice,sociologice,etc..Prinacestcapitolpreliminarsperamsaacoperim,cel putin partial, lipsa unor cunostinte temeinice in aceasta directie, pe care multi cititori o acuza. In acestfelseinlesnesteintelegereafaptelor,discutateinlucrare,decatreocategoriefoartelarga de cititori.Celelaltetreicapitolesuntdedicateunorproblemebebazadinteoriaprobabilitatilorsi statistica matematica.Istoria dezvoltarii teoriei probabilitatilor evidentiaza o armonioasa si stimulativa mbinare intre teorie si aplicatii: progresul teoriei deschide noi campuri pentru aplicatii care, la randul lor, conduclanoiproblemesicercetarifructuoase.Astaziteoriaprobabilitatiloresteaplicatainatat demultedomeniidiferiteincatestenecesaraoteoriegeneralafoarteflexibilapentruaputea prevedea instrumentele de lucru cele mai potrivite pentru o varietate atat de mare de cerinte.La inceput, scopul teoriei probabilitatilor a fost de a descrie domeniul extrem de marginit alexperienteilegatadejoculintamplarii,efortulprincipalfiindindreptatsprecalcularea anumitor probabilitati. Abia din deceniul al patruleaal secolului nostru putem vorbi de o tratare axiomatica,reprezentanddezvoltareamodernaateorieiprobabilitatilor,siaceastaodatoramlui A.N. Kolmogorov. Aceasta linie este urmata si in lucrarea de fata. Pornind de la o serie de neclaritati privind fenomenul probabilistic, constatate de autor din discutiile purtate cu diferite persoane, in lucrare au fost introduse multe si variate exemple, culese cu deosebita grija, dar trebuie inteles faptul ca probabilitatilenumericenufacobiectulprincipalalteoriei.Scopullorestedeascoatelaiveala legi generale si de a constitui modele teoretice satisfacatoare.Incapitolul2suntintrodusenotiuniledecampdeevenimente,probabilitatesicampde probabilitate,suntstabiliteformuleutiledecalculsisediscutauneleproblemereferitoarela independentastochastica.S-apusaccect,inacestcapitol,peconceptuldealgebrabooleanaca modelmatematicadecvatstudieriiproprietatilorunuicampdeevenimente.Multipleleexemple prezentate au menirea de a stimula interesul cititorului pentru chestiunile discutate.Capitolulurmatorestededicatrepartitiilorbinomiala,Poison,multinomialasinormala, precum si discutarii unor aspecte privitoare la aproximarea normala a repartitiei binomiale.Notiuneadevariabilaaleatoareesteintrodusaincapitolul4undesedefinescsi caracteristicilesalenumerice.Infinal,secerceteazafunctiadeprobabilitatesifunctiade repartitie a unei variabile aleatoare. LucrareaseadreseazamaialesstudentilordelaI.I.D,fiecaestevorbadespecializari economice,matematica si informatica, matematica-fizica, biologie, fizica, specializarile tehnice. Desi este restrictiva ea poate fi folosita cu succes si de profesorii din invatamantul preuniversitar (inclusivpentrupregatireaexamenelorinvedereaobtineriigradelordidactice),inginerilor, 7 economistilor,precumsicercetatorilorinteresatiinutilizareamodelelormatematicebazatepe metode ale teoriei probabilitatilor si statisticii matematice. CAPITOLUL 1 Preliminarii de teoria multimilor OBIECTIVE Elementeledeteoriamultimilorsiteoriasemigrupuriorancoreazaulterioareleelemente probabiliste in cadrul matematicii de termininiste. Astfel cele doua laturi, cea probabilista si cea determinista, coexista si se completeaza reciproc. La sfarsitul acestui capitol, studentii trebuie sa-si insuseasca: -Operatiile cu multimi -Indicatorul unei multimi. Acestcapitolcontinenotiunidebazasiunelerezultaterelevantedinteoriamultimilorsi teoria semigrupurilor. El este introdus tinand seama de faptul ca nu toti cititorii poseda, in egala masura,unfondmatematic,debaza,inacestdomeniu.Speramca,prinnotiunilesirezultatele prezentate,sareamintim,sisafixam,chestiunilefundamentaleinlesnind,astfel,uneicategorii foarte largi de cititori, intelegerea multora dintre faptele discutate. 1.1Elemente de teoria multimilor Notiuneademultime(saudecolectie,defamilie)areuncaracterprimitivsinuse defineste. Ea se considera ca fiind deja cunoscuta.Omultimepoatefipusainevidentaindouamoduridiferite.Astfel,puteminsira obiectele (elementele) multimii intre doua acolade, separandu-le prin virgula. De exemplu: {2,3,5}, {a,b,c,d,e}, {1,2,3,4,5,...., n}. Maiputemindicaomultimeexprimandproprietateacarecaracterizeazaelementele multimii.De exemplu : {x , x este un numar intreg six>2}. Sa notam elementele multimii prin litere mici din alfabetul latin sau grec:a, b ,...,x, y, z; o, |, , ...Multimile vom fi notate prin litere mariA, B, C, ... O multime de multimi se numeste clasa sau familie. Clasele se noteaza prin literemari rondeA,B, C, ... .Daca obiectula este un element al multimii A, se scrie aeA, in timp ce daca acesta nu apartine multimiiA, se scrie aeA.8 Vom nota o multime care nu are nici un obiect prinC si o vom numi multime vida. De exemplu C={x, x este un numar real ai x2y inseamna y0} si fie s ordinea naturala definta pe A. Atunci, s este o relatie de ordine liniara pe A si cel mai mic elementalluiAeste0.MultimeaA,insa,cuaceastaordine,nuestebineordonatadeoarece existasubmultiminevidealeluiAcarenucontinuncelmaimicelement.Astfel,considerand multimea B={xeA , x= 0} , ori de cate ori xeB , avem x/2eB , deci B nu contine un cel mai mic element. 2.MultimeaN*atututornumerelorintregipozitive,curelatiadeordinenaturala,esteo multime liniar ordonata. De asemenea,N* este si o multime bine ordonata. Daca f este o relatie si A o multime atunci, prin definitie, multimeaf(A)={y ,(x,y)ef pentru xeA} poarta denumirea de imagine a lui A prin f. 13 Definitia1.14.Dacafesteofunctieastfelincatdomf=Xsicodomf.Y,atuncisespune ca f este o functiede la(pe) X in(la) Y. Se scrief:XY. Daca codomf= Y, atunci se spune caf este o functie pe Y. Revenind la definitia 1.9, se poate spune ca o secventa este o functie al careidomeniu de definitieesteN*.Dacaxesteosecventa,valoareasainnsenoteazxnsaux(n).Valoareaxnse numeste al n-lea termen al secventei. Secventa x avand al n-lea termen xn se noteaza prin, , xnn=1 sau simplu prin (xn). O secventa (xn) se spune ca este din X daca xneX pentru orice neN* 1) . Prin abuz de notatie se scrie (xn).X. Teorema1.3.FieFofamiliedefunctiiastfelincatf,geFimplicaorif.g,orig.f, adica F este ordonata liniar relativ la .. Sa notam h= F. Atunci:1) h este o functie; 2) dom h={dom f , fe F }; 3) xe dom h implica h(x)=f(x) pentru orice fe F astfel incatxe dom f; 4) codom h={codom f , fe F}. Demonstratie: 1)Inmodclarhesteorelatiedeoareceesteoreuniunedemultimideperechiordonate. Ramane,deci,dearatatcahestemonovalenta.Fie(x,y)ehsi(x,z)eh.AtunciexistafsiginF astfelincat(x,y)efsi(x,z)eg.Sestieinsa,diniopteza,caf.gsaug.f.Sapresupunemcaf.g. Atunci (x,y)eg si (x,z)eg, iar, pentru ca g este o functie, avem y=z. Prin urmare, h este o functie. 2) Aceasta rezulta din faptul ca urmatoarele afirmatii sunt doua cate doua echivalente:x edom h; (x,y)eh pentru elemente y; (x,y)ef pentru feF; xe dom f pentru feF. 3) Fie xe dom h dom f = dom f, unde feF. Atunci, (x,f(x))ef.h si h este monovalenta asa ca h(x)=f(x). 4) Are loc succesiunea de egalitati codom h=h ( dom h) = h( { dom f , feF}) = {h (dom f) , feF}= {f (dom f), feF} = {codom f, feF}. Insfarsit,urmatoareadefinitieintroducenotiuneadefunctiecaracteristica(sau indicatorul ) unei multimi. Definitia1.15.FieAomultimesiBosubmultimeasa.FunctiaIB,cudomeniulde definitie A si domeniul de valori continut in{0,1} astfel incatIB(x) = 10,,daca x Bdaca x A C BAee ,

1) N*={1,2,3,...,n,...}, N={0,1,2,3,...,n,...}, Z={..., -n,...,-1,0,1,...,n,...}. 14 se numeste functia caracteristica ( sau indicatorul ) a multimii B. Reciproc, fiecare functie de x care ia valori 0 sau 1 este o functie caracteristica a multimii pentru punctele in care aceasta ia valoarea 1. Se verifica urmatoarele corespondente biunivoce si relatii (: va insemna corespondenta biunivoca): IC=0, IE=1, IA +IAC =1, IAsIB : A .B, IA = IB : A=B, IAB=0 : AB=C, IAn =H IAn , daca An sunt multimi disjuncte, atunciIAn =_ Ian , IAn =I I I I I IA A A A A A1 1 2 1 2 31 1 1 + + + ( ) ( )( ) ........ Exista o functie caracteristica particulara careia, datorita frecventei cu care este folosita, i s-aatribuitunsimbolspecial.InacestscopsedefinestediagonalaDaprodusuluicartezian A AcafiindmultimeaD={(x,x),xeA}.ValoareafunctieicaracteristiceamultimiiDin(x,y)se noteaza prin oxy si se numeste simbolul o al lui Kronecker. Astfel, pentru punctele arbitrare x si y din A avemoxydac x ydac x y===10, \ ,, \ . Definitia 1.16. O multime se numeste recursiva daca are o functie caracteristica recursiva 2) . Cu alte cuvinte, o multime A este recursiva daca si numai daca exista o functie recursiva f astfel incat, oricare ar fi x, atunci xeA implica f(x)=1 si xeCA implica f(x)=0. Prinurmare,oridecateoriexistaunprocedeuefectivpentruadecide,dandu-seunx, dacaxestesaunuunelementalmultimiiA,sevaspunecaAesterecursiva.Deexemplu, multimeanumerelorintregipozitivepare{0,2,4,...}esterecursiva.Ingeneral,oricemultime finita este recursiva. Definitia1.17.SespunecamultimeaAesteenumerabilarecursivdacaoriareloc egalitatea A=C, ori exista o functie recursiva f astfel incatA=codom f. Prin urmare, o multime este enumerabila recursivdaca exista un procedeu efectiv pentru inregistrarea elementelor multimii ( care se pot repeta).Amintim urmatoarele doua rezultate importante. Teorema1.4.DacaAesteomultimerecursivaatunci,eaesteomultimeenumerabila recursiv.

2)O procedura consta, in general, dintr-o multime finita de instructiuni care pot fi executate intr-un interval fixat de timp si cu un volum de munca, de asemenea, fixat. O procedura poate avea un numar arbitrar de intrari si iesiri. Ea defineste o aplicatie de la multimea tuturor intrarilor permise la o multime de iesiri. Aplicatia definita de o procedura se numeste functie partial recursiva sau functie recursiva. 15 Teorema1.5.MultimeaAesterecursivadacasinumaidacaAsiCAsuntambele enumerabile recursiv. 1.2Elemente de teoria semigrupurilor Olegeinternadecompozitie(saulegedecompozitie)peomultimeAesteoaplicatiea produsuluicartezianAAinA,adicaoaplicatiecareasigurafiecareiperechiordonate(a,b),de elemente din A, un element C din A, numit compusullor. Ingeneral,compusulelementelorasibsenoteazaa+bsauabsauab.Inprimulcaz compusul se numeste suma elementelor a si b si se va spune ca legea de compozitie este aditiva ; iarincelelaltedouacazuricompusulsenumesteprodusulelementelorasibsisevaspuneca legea de compozitie este multiplicativa. Exista,insa,situatiiincarenusefacedistinctieintrelegeaaditivadecompozitiesicea multiplicativa.Inacestcazcompusulelementelorasibpoatefinotatatb,acestaputandfiori suma ori produsul dintre a si b. Sevaspunedespreolegedecompozitiet,definitapemultimeaA,caesteasociativa daca, , , , a b c a b c t t t t = pentru toate elementele a, b si c din A. Exemplu. Fie S o multime arbitrara si A multimea tuturor aplicatiilor luiS in ea insasi, cu legea de compozitie (f,g) fg, unde (f g)(x)=f(g(x)) pentru oricexeS. Aceasta lege de compozitie este asociativa intrucat dacaf, g si h sunt elemente din A, atunci , , , , , , , , , , , , , , , , , ,f g h x f g h x f g h x == Si , , , , , , , , , , , , , , , , , ,f g h x f g h x f g h x == , oricare ar fi xeS, ceea ce dovedeste ca legea de compozitie data este asociativa.Unelemente se numesteelement neutru, pentru o lege de compozitie t din A, daca a e e a a t t = = , oricare ar fi aeA. Teorema 2.1. Exista un element neutru si numai unul singur pentru o lege de compozitie t pe A. Demonstratie. Sa presupunem ca exista doua elemente neutre distinctee si e .Atunci au loc egalitatile ete=e siete=e, de unde rezulta e=e . Elementulneutrupentruolegedecompozitieaditivasenoteaza,deobicei,prin0,in timpceelementulneutrupentruolegedecompozitiemultiplicativaseobisnuiestesasenoteze prin 1. 16 Definitia2.1.Unsemigrupesteoperecheordonata(A,),undeAesteomultimenevida, iaro operatie binara asociativa (adica o aplicatie a produsului cartezianAA in A). Prinurmare,dacax1,x2,x3,suntelementearbitraredinA,arelocrelatia (x,x2)x3=x1(x2x3). Ori de cate ori nu exista pericolul unei confuzii, vom nota semigrupul prinA in loc de (A, ) ; de asemenea, vom scrie x1x2 in loc de x1x2. SevaintelegeprinordinulsemigrupuluiAcardinalulmultimiiA,carevafinotatprin card A. ElementuleeAesteunidempotentdacasinumaidacae2=e.Sevaspunecaeesteun elementunitatestang(drept)dacasinumaidacapentruoricexeA,ex=x(xe=x).Inparticular, dacaex=e(xe=e),semaispunecaeesteunzerostang(drept).Evident,oriceelementunitate (inparticularzero)esteidempotent.DacapentruoricexeAarelocdublaegalitatexe=x=ex, atunci eeA este un element unitate (dacaxe=e=ex, atuncieeA este un zero). Definitia 2.2. Un monoid este un semigrup cu element unitate. Un grup este un monoid A astfel incat pentru fiecarexeA exista un elemet x-1eA , numit invers lui x , cu proprietatea ca xx-1=e=x-1x, unde e este elementul unitate al lui A. Seobservafaradificultatecadacax1six2arfidouainversedistinctealeelementului xeA, atunci x1=xxx2=(x1x)x2=ex2=x2. Prin urmare, orice element xeA are cel mult un invers. UnsemigrupAestecomunicativsauabeliandacasinumaidacax1x2=x2x1pentruorice x1,x2eA . Daca (x1, . . . ,xn) este o secventa finita de elemente dinA, atuncix1x2 . . . xn = x1(x2 . . . (xn-1xn) . . . ).Definitia 2.3.Fie semigrupulA. AtunciS_A este un subsemigrup al lui A daca si numai daca S=C si, pentru orices1,s2eS, s1s2eS,.Se spune ca S este un subsemigrup propriu maximal al lui A daca si numai daca S=A si, ori de cate ori au loc incluziunileS_V_A cu V un semigrup al lui A, atunci S= V sau V= S. DacaXesteosubmultimenevidaaluiAatunci,seobisnuiestesasenotezeprin subsemigrupul generat de X ,adicacel mai mic subsemigrupal luiA care contine peX. Cu alte cuvinte,subsemigrupulgeneratdeXesteintersectiatuturorsubsemigrupurilorluiAcarecontin peX.Estevizibilcaintersectiasubsemigrupurilorunuisemigrupestevidasauesteunalt subsemigrup. este, atunci, multimea tuturor produselor finitex1x2 . . . xn ale elementelor lui X. Se va spune ca X genereazamultimea A daca si numai daca =A. Este evident ca = A. 17 Definitia2.4.FieA1siA2douasemigrupuri.Atunciaplicatiah:A1A2esteun omomorfism daca si numai daca h(x1x2)=h(x1)h(x2) pentru oricex1,x2eA1. Daca X_A1, se va nota prin h(X) multimea {yeA2 , y=h(x) pentru xeX}. Avandinvedereclasificareaaplicatiilor,sepoatefaceoclasificareaomomorfismelor. Astfel,unomomorfismcareesteinjectivsenumestemonomorfism(adicadacapentruorice x1,x2eA1, x1=x2 implica h(x1)=h(x2) ). Un omomorfism care este surjectiv se numesteepimorfism (adica daca h(A1)=A2); in acest caz se va spune despre A2 ca este imaginea omomorfa a lui A1. Un omomorfism care este o bijectie poarta numele deizomorfism. Se va spune ca A1 este izomorf cu A2 (se scrie A1~A2) daca si numai daca exista un izomorfismh al lui A1 cu A2. Daca heste un izomorfism, atunci se poate definiinversul lui h, notath-1, astfel: pentru fiecare xeA2, h-1(x) este unicul element din A1 astfel incath|h-1(x)] = x. Cum h-1 este unizomorfism,nuestegreudeobservatca~esteorelatiedeechivalentapeclasa semigrupurilor. Unomomorfismalunui semigrupAinelinsusipoartadenumireadeendomorfismallui A; in cazul in care acesta este un izomorfism al lui A cu el insusi, se numeste un automorfism al lui A. Teorema 2.2. Fie h un omomorfism al lui A1 in A2 si se presupune ca exista o aplicatie f aluiA2inA1cuurmatoareleproprietati:f hesteaplicatiaidentitatealuiA1sihfesteaplicatia identitate a lui A2. Atunci h este un izomorfism al lui A1 cu A2. Demonstatie. Fie pentru aceasta x1 si x2 elemente din A1 astfel incat h(x1)=h(x2). Atunci x1 =(f h)(x1)=f(h(x1))=f(h(x2))=(f h)(x2)=x2,ceeacedovedestecahesteoinjectie.Fiex3un element oarecare din A2 astfel incat f(x3)=x. Atunci h(x)=h(f(x3))=(h f)(x3)=x3, de unde rezulta ca h este o surjectie. Prin urmare,h este un izomorfism. Exemple: 1.FieXomultimedata.Printr-orelatieRdefinitapeXseintelegeoricesubmultime R_XX (conform definitiei 1.10). Pentrux1,x2eX se va scrie x1Rx2 sau x1x2 (mod R) daca sinumaidaca(x1,x2)eR.AtuncisemigrupultuturorrelatiilordefinitepeX,adica(2XX,)are legea de compozitie R1R2 ={(x,y) ,exista zeX, (x,z)eR1,(z,y)eR2}. FieRorelatiesisanotamR-1={(y,x),(x,y)eR}.Atunci(RT)-1=T-1R-1pentrutoate relatiile T, R definite pe X. Se poate defini pe X o relatie identica I(X)={(x,x) , xeX}. IncluziuneaesteorelatiedeordinepartialapemultimeatuturorrelatiilordefinitepeX (conformcu1.1.);aceastaordinepartialaformeazaolaticecandestelimitatalarelatiide echivalenta. Astfel, o latice este o relatie de ordine partiala pentru care orice pereche de elemente are o cea mai mica margine superioara (M) si o cea mai mare margine inferioara (m).Daca R1 si R2 sunt relatii de echivalenta, m(R1,R2)=R1 R2, iarM(R1,R2)={(R1R2)n , 1s n< }, 18 inchidereatranzitivaaluiR1R2.DecixesteechivalentcuyinM(R1,R2)dacasinumaidaca existasecventax=x0,x1,....,xn=yastfelincatxiR1xi+1sauxiR2xi+1pentrui=0,1,2,...,n-1.DacaR1si R2 sunt relatii de echivalenta pentru care R1R2=R2R1 atunci, se observa ca R1 R2 este o relatie de echivalenta si R1R2=M(R1R2) de asemenea. 2.FieSomultimenevida.Atuncisemigrupullibernecomutativfaraelementunitate generatdeS,notat_S,estemultimeatuturormultimilorfinitenevideordonatedeelementeale luiScuoperatiadesemigrupdefinitaprinconcatenare,adica(x1,...,xn) (y1,...,ym)=(x1,...,xn,y1,...,ym) . _S este un semigrup infinit. Se spune ca _S este semigrupul liber generat de S, deoarece orice aplicatie a multimii S intr-unsemigrupAareoextensieunicaIlaun omomorfismallui_S inA,definitprinrelatia I(x1,...,xn)=(x1)...(xn).Inparticular,dacaSesteomultimedegeneratoriailuiA,iar aplicatiaidenticaatunci,I>_SAesteunepimorfismastfelincatfiecaresemigrupesteo imagine omomorfa a unui semigrup liber.3.FieAunsemigrup.a)SedefinestesemigrupulA1dupacumurmeaza.DacaAeste monoid, A1=A. Daca A nu este un monoid atunci, A1=A{1}, unde 1eA, operatia de multiplicare inAramaneneschimbatasi1opereazacaunelementunitatepentruA{1}.b)Sedefineste semigrupulA0infelulurmator.DacaAareunzerosicardA>1atunci,A0=A.Incazcontrar, A0=A{0}, unde oeA, operatia de multiplicare inA ramane neschimbata,iar 0 actioneaza ca un zeropentruA{0}.c)SedefinestesemigrupulAIcafiindA{I},undeIeA,operatiade multiplicareinAramaneneschimbata,iarIactioneazacaunelementunitatepentruA{I}.De retinut ca A=AI, chiar daca A este un monoid. De asemenea, A este un subsemigrup al lui A1, A0 si AI. Elementul 1 din (_A)1 va fi identificat cu multimea vida. Vom utiliza pentru ( _A)1 notatia A*. 4.FieAsiBmultiminevidesiF(A,B)multimeatuturorfunctiilordelaAlaB.Sescrie F(A)inlocdeF(A,B).SenoteazaprinFS(A)semigrupul(F(A),)unde(fg)(a)=f(g(a))pentru aeA.InmodsimilarFD(A)estesemigrupul(F(a),),unde(f g)(a)=g(f(a)).Incazul semigrupului FD(A) se mai obisnuieste sa de scrie (a)f in loc de f(a) , astfel ca (a)(f g)=(((a)f)g). Fie A un semigrup. Se defineste aplicatiaS:FS(A1) prin S(x)(y)=xy pentru xeA si yeA1. Aplicatia S este un omomorfism injectiv deoareceS(x1x2)(y)=x1x2y=S(x1)|S(x2)(y)]=S(x1)S(x2)(y) siS(x)(1)=xpentruoricex,x1,x2eAsiyeA1.MonomorfismulSsenumestereprezentarea regulatastangaaluiA.Prinurmare,fiecaresemigrupesteizomorfcuunsemigrupalluiFS(A) pentru o multime A. AnalogsedefinesteaplicatiaD:AFD(A1)dataprin(y)D(x)=yxpentruyeA1sixeA.De asemenea, D este un momomorfism numit reprezentarea regulata dreapta a lui A. Este bine deretinut caFD(X) este izomorf cu subsemigrupul semigrupului (2XX ,), care constadintoaterelatiileRavandproprietateaca,pentrufiecarex,(x,y)eRpentruunsingury. Analog,FS(X) este izomorf cu subsemigrupul care consta din toate relatiileR cu proprietatea ca, pentru orice y,(x, y)eR pentru un singur x. 19 CAPITOLUL2 CAMP DE PROBABILITATE OBIECTIVE ElementeledebazaaleTeorieiProbabilitatii:(campdeevenimente,campde probabilitate, scheme probabiliste) sunt de natura pragmatica. Este facuta legatura intre multime si probabilitate. Se face trecerea spre abstract. La sfarsitul acestui capitol, studentii trebuie sa-si insuseasca: -Definitia empirica a Probabilitatii -Probabilitate ca functie de multime si proprietatile ei-Probabilitati conditionate -Scheme de probabilitate 2.1. Camp de evenimente Inacestparagrafsearatacamultimeaevenimentelorasociatauneiexperienteprovocate sau nu, in care apar fenomene intamplatoare, are o structura algebrica asemanatoare cu structura algebrica a partilor unei multimi, anume are o structura de algebra Boole. Rezultatul central este exprimatinteoremacareafirmacaoricecampdeevenimentefinit,esteizomorfcualgebra Booleamultimiipartiloruneimultimifinite.Deasemenea,sepuninevidentaparticularitatile carediferentiazaalgebraBooleasociataunuicampdeevenimenteinfinitsialgebraBoolea multimii partilor unei multimi de cardinal transfinit (multime infinita).Saefectuam,deexemplu,experientaaruncarii,peosuprafataplana,aunuizar.Acest obiectparalelipipedicregulatarefetelenumerotatedelaunulasase.Aruncandu-lpesuprafata considerata, el se vaopri aratand una dinfete; iar aparitiaacesteia este unfapt intamplator, caci putem fi in prezenta fetei 1, sau 2, sau ... a fetei 6.Aparitia fetei numerotata cu numarul natural i, 1s i s6, este un evenimentsi l notam cu Ei. Saasociemexperienteiuneleregulidejoc.Deexemplu,saceremcadeclaratcastigator safie cel care obtine o fata numerotata cu un numar par. Sa indicam acest eveniment cu literaA. Dacaapare o fata pecare figureaza un numar impar zicem ca suntem in prezenta evenimentului non A pe care l indicam prin A (numit si eveniment comlementar sau contrar).EvidentnuputemaveainacelasitimpAsiA,insaareloccusigurantaevenimentulA sau evenimentulA. Ne vom exprima spunand ca evenimentul A si A este evenimentul imposibil si ca A sau A este evenimentul sigur. Observandcaaparitiafetei2atragedupasine realizarea evenimentului A, spunem ca evenimentul E2 implica evenimentul A si scriem E2 A. 20 Astfel, E2 A , E4 A , E6 A , E3 A etc.; insa E2 nu implica evenimentul A si scriem E2/ A. Asociindjoculuidefatasiregula:jucatorulprimestedublulmizeidacaareloc evenimentulEicuis3,evenimentpecareldesemnamprinliteraB,rezultacaevenimentulE2 este privilegiatsi are loc, daca si numai daca au loc evenimenteleAsi B. Imaginand diverse reguli de joc se vede ca experientei aruncarii cu zarul i putem asocia o multime de evenimente. Sa indicam aceasta multime prin literaP. Daca facem conventia, de altfel naturala, sa consideram ca doua evenimente sunt identice (egale) daca se implica reciproc, observam ca implicatia este o relatie binara pe multimea P care are urmatoarele proprietati: 1.Orice AeP se autoimplica, adica avem A A. 2.Daca A1, A2 e P si A1 A2, A2 A1 atunci A1 = A2. 3.DacaA1,A2,A3ePsiA1A2,A2A3atunciA1A3faptcarenepermitesaspunemca implicatia este o relatie de ordine peP. Deasemenea,observandcaodatacuevenimenteleA1,A2ePapartinmultimiiPsi evenimentele A1 sau A2, respectiv A1 si A2, ultimul putand fi si evenimentul imposibil, pe care l desemnam prin simbolulC , primul putand fi si evenimentul sigur pe care l desemnam prinE, suntem in prezenta a doua legi de compozitie interne definite pe multimeaP , disjunctia sau si conjunctia si. Punand s in loc de , v in loc de sau si . in loc desi, se poate constata, fara dificultate ca : Oricare ar fi evenimentele A, A1, A2, A3 e P avem : a.A1s A1 v A2, A2 s A1 v A2 ; b.Daca A1s A, A2 s A atunci A1 v A2 s A; c.A1 . A2 s A1, A1 . A2 s A2; d.Daca A s A1, A s A2 atunci A s A1. A2; e.A1 . ( A2v A3) = (A1 . A2 )v (A1 . A3); f. Odata cu Ae P, A apartine lui P si A vA =E, A .A =C, faptecareaulocpemultimeaevenimentelorasociateoricareiexperienteincareintervin fenomene intamplatoare. Pentru a fixa ideile introducem Definitia2.1.1OmultimeLsenumestelaticedacapeLs-adatorelatiesnumita relatiedeordinesidouaoperatiiv,.numitesupremumsiinfimum,caresatisfac urmatoarele axiome:L1. Oricare ar fi elementele m,n,p e L avem : a.m s m; b.daca m s n si n s m atunci m=n; c.daca m s n si n s p atunci m s p. 21 L2. Oricare ar fi elementele m,n,pe L avem : a.m s m v n, n s mv n; b.relatiile m s p, n s pimplica mv n s p; c.m . n s m, m . n s n; d.relatiile p s m, p s n implica p s m. n . O latice L se zice ca este distributiva daca oricare ar fi m,n,pe L avemm . (nv p) = (m . n )v (m . p). O latice L se zice ca este complementata daca in L exista : e.un element T numit element total cu proprietatea ca orice le L satisface conditia lsT; f. un element C numit element nul cu proprietatea ca orice le L satisface conditiaC s lsig.pentru orice leL exista cel putin un ldin Lnumit complementulelementului l, astfel incat sa avem l .l =C, l v l=T. O latice L complementata si distributiva se numeste algebra Boole. Indicand,ingeneral,cuKmultimeaevenimentelorasociateuneiexperiente,incare intervin fenomene intamplatoare, avem Teorema2.1.1.MultimeaKareostructuradealgebraBooleinraportcuimplicatia consideratadreptrelatiedeordine,disjunctia,respectivconjunctiaevenimentelorconsiderate dreptsupremumsiinfimum,rolulelementuluitotalfiindjucatdeevenimentulsigur,iarcelal elementului nul de evenimentul imposibil. Un exemplu tipic de algebra Boole l constituie multimea partilor unei multimi finite sau infiniteXnotatadeobiceicuP(X).Incluziuneajoacarolulderelatiedeordine,reuniunearolul desupremum,intersectiadeinfimum,elementultotalfiindinsasimultimeaX,iarelementulnul multimea vida. Definitia2.1.2.AlgebraBooleKasociatauneiexperienteincareintervinfenomene aleatoare (intamplatoare) poarta numele de camp de evenimente. Campul de evenimente se spune ca este finit daca cardinalul multimii K este un numar natural, si se spune ca este infinit in cazul contrar. Astfel,algebraBooleaparecaunmodelmatematicalnotiuniinoastreintuitivedecamp de evenimente. UnexempludecampdeevenimentefinitestecampulPasociatexperienteiaruncariicu zarul. In adevar Peste multimea alcatuita din 6 evenimente de tipul Ei, 15 evenimente de tipul E E i ii i1 21 2v = , 20 evenimente de tipulE E E i i ii i i1 2 31 2 3v v = = , 15 evenimente de tipul E E E E i i i ii i i i1 2 3 41 2 3 4v v v = = = ,6evenimentedetipul E E E E E i i i i ii i i i i1 2 3 4 51 2 3 4 5v v v v = = = = ,evenimentul 22 E E E E E Ei i i i i i1 2 3 4 5 6v v v v v careeste,defapt,evenimentultotalsievenimentulimposibil C, cum se constata imediat daca observam ca in orice algebra BooleL avem : mv m = m ; m . m =m ; m v(n v p) = (m v n )v p ; m .(n . p) = (m . n ) . p ; m v (n . p) = (m v n ) . (m v p) oricare ar fi m, n, p eL. Numarultotaldeevenimentecarealcatuiescacestsistemesteegalcu26.Vomspuneca multimea P, considerata mai sus, formeaza unsistem complet de evenimente. Deasemenea,campuldeevenimenteasociatexperienteiaruncariicubanulestefinitsi este alcatuit din evenimentele: E1 (stema), E2 (banul), E1 v E2 evenimentul total si E1 . E2 =C evenimentul imposibil. Campuldeevenimenteasociatexperienteiurmatoarenuestefinit.Seconsideraun recipientumplutcuunfluid.Inacestrecipientsadistingemuneleportiunidelimitateprin membrane permeabile. Aparitia unei particole intr-o portiune S este un eveniment intamplator. Pozitiaparticoleiintr-unpunctoarecaredinrecipientesteunevenimentsi,cum recipientulareoinfinitatedepuncte,campulevenimentelorasociatexperienteiesteinfinit. EvenimentulsiguresteSvS,iarcelimposibileste,deexemplu,S.Sdeoareceparticolanu poate fi in acelasi timp si in portiuneaS si in afara ei. Definitia2.1.3.FieLoalgebraBoole.UnelementaeL,nenul,(a=C),dacaexista,se numeste atom daca relatia x< a , (xs a, x=a), implica x= C. Astfel,inalgebraBooleasociataexperienteiaruncariicuzarul,evenimenteleE1,E2,...,E6 sunt atomi. In algebra Boole P(X) a partilor unei multimi X, multimile {x} cu xe X sunt atomi. Definitia2.1.4.OalgebraBoolesezicecaesteelementaradacaareatomisidacaorice elementalalgebreiseexprimacasupremulatomilorcarelpreced,anumedaca { }x L x p Ao oo e s e , estemultimeatuturoratomilorcareprecedelementulp,avem p xA=ve oo. Aici A este o multime de indici care indexeaza atomi ce preced elementulp. Algebra partilor unei multimi este elementara.De asemenea un alt exemplu este dat inTeorema 2.1.1 Orice algebra Boole finita este elementara. In adevar, fie L o algebra finita. Sa numerotam elementele nenule ale luiL astfel x1, x2, ..., xn.Dacaelementulx1nuareprecedentielesteunatom.Dacax1areprecedenti,renumerotand elementelexicui=1convenabil,putempresupunecax2esteunuldintreacestia.Dacax2nuare precedentielesteunatom.Dacaareprecedenti,putemprocedacuacestaasacumamprocedat cux1.InacestmodputemafirmacaoricarearfielementulxeL,existaunatomaeLcu proprietatea as x. Fie { }aAooefamilia tuturor atomilor care preced elementulx. Multimea A este o multime finita.Afirmamcax aA= ve oo.Sapresupunemcontrarul,adicav se ooA a x. Indicandcu 23 ve ooA a complementulelementuluive ooAa trebuiesaavemx aA. v|\

|.| = Ce oo.Conformcelorde mai sus, exista un atom a cu proprietateaa x aAs . v|\

|.|e oo. Deaicirezultacaasxsicontrazicemfaptulcafamilia { }aAooeestealcatuitadintoti atomii care-l preced pe x. O consecinta importanta a rezultatului infatisat in teorema 2.1.1. l exprimam inTeorema 2.1.2. Orice algebra Boole finita este izomorfa cu algebra partilor unei multimi finite X, convenebil aleasa. Inaintedeadademonstratiateoremei2.1.2vomprecizatermeniisivomdaunrezultat exprimat in propozitia 2.1.1 privind izomorfismele algebrelor Boole. SpunemcadouaalgebreBooleL1,L2suntizomorfedacapotfipuseincorespondenta bijectiva printr-o aplicatie : L1 L2 astfel incat pentru orice x, y eL1 sa avem, x.y, =, x, ., y,, xvy, =, x, v, y, . Propozitia2.1.1.ConditianecesarasisuficientacadouaalgebreBooleL1,L2safie izomorfe este sa existe o bijectie : L1 L2 astfel incat pentru orice x, y eL1, din xs y sa rezulte , x)s (y) si din (x)s (y) sa rezulte xs y. Inadevar,sapresupunemca:L1L2esteunizomorf.Deoarecerelatiaxsyeste echivalentacux=x.y,avem(x)=(x).(y),deci(x)s (y).Deoarecerelatia(x)s(y)este echivalentacu(x)=(x).(y)si(x).(y)=(x.y)rezulta(x)=(x. y).Caurmarex=x.yde unde xs y. Reciproc,saaratamcaansamblulimplicatiilor(xsyimplica(x)s(y))si((x)s(y) implica xsy) implica calitatea bijectiei : L1 L2 de a fi un izomorfism. Din x.ys x, x.ys y rezulta (x.y) s (x), (x.y) s (y) de unde(x.y) s (x) . (y). Insa(x).(y)s(x),(x).(y)s(y).Cum(x).(y)eL2existazeL1astfel incat sa avem (z) =(x) . (y). Asadar (z) s (x), (z) s (y) de unde z s x, z s y, fapt care ne spune ca z s x.y. Drept urmare(z) s (x . y). Deci(x) . (y) s (x . y). Dar, dupa cum am aratat, (x.y) s (x) . (y), de unde rezulta (x.y) = (x) . (y). Procedandasemanator,lasaminseamacititoruluisaaratecaarelocsirelatia(xvy)= (x) v (y). Acestea fiind spuse, sa trecem la demonstratia teoremei 2.1.2.Fie L o algebra Boole finita. Sa notam cu X multimea atomilor ei. Daca pe L sa notam cu Xpmultimea { }x X x p e s .EvidentXpeP(x),undeP(x)estemultimeapartilorluiX. Considerandaplicatia:LP(x)definitaprinconditia(p)=xp,sunteminprezentaunui izomorfism intre algebrele L si P(x). Evidentimagineaelementuluinulestemultimeavida,iarimagineaelementuluitotalT este X. In plus (pv q) = XpXq, (x.y) =Xp Xq. 24 Drept consecinte ale teoremelor 2.1.1, 2.1.2 avem Teorema 2.1.3 Orice camp de evenimente poate fi identificat cu algebra Boole a partilor unei multimi finite, convenabil aleasa. Inaceastaidentificareatomiicampuluiseidentificacumultimilealcatuitedincateun element,implicatiaseinlocuiestecurelatiadeincluziune,supremulcureuniuneaiarinfimulcu intersectia. Definitia2.1.5.Dacaadmitemcaatomiicampuluisuntevenimenteelementareale acestuia,campulevenimentelorasociatexperienteiaruncariicuzarulseidentificacualgebra BooleapartilormultimiiE={1,2,3,4,5,6}carejoacarolulevenimentuluisigur.Multimile {1},{2},...,{6},seidentificacuevenimenteleelementare.Sacercetamacumcazulalgebrelor Boole infinite. Un exemplu de algebra Boole infinita este algebra partilor unei multimi infinite 1) . Fie X o astfel de multime si P(x) algebra Boole a partilor ei. O particularitate deja semnalata a acestei algebre este aceea ca este o algebra elementara, sau punctuala daca vrem sa ne apropiem de limbajul geometric punand atom punct. O alta particularitate a acestei algebre este aceea ca este o algebra completa.Prin definitie o algebra Boole infinita L se zice ca este completa daca oricare ar fi familia {Po}oeA cu PoeL elementelev .e e ooooA AP P , numite supremul si infimul familiei {Po}oeA exista si apartin algebrei L. 2) Astfel daca {Xo}oeA este o familie arbitrara de parti ale luiX, ooeA Xsi ooeA X exista si apartin multimii P(x). Fie, acum, o latice infinita oarecareL, de exemplu un camp de evenimente infinit.In general algebrele Boole infinite nu sunt elementare (punctuale) si nici complete.Inceleceurmeaza,dinconsideratiidenaturapractica,vomluainconsideratienumai campuri de evenimente infinite care sunt algebre Boole elementareo - complete. Definitia2.1.6.OalgebraBooleinfinitaLseziceo-completadacaodatacuorice familie {Po}oeA , cel mult numerabila 3) , cu Po e L,v .e e ooooA AP P ,exista si apartin algebrei. FieLoalgebraelementarao-completasiOmultimeaatomilor(punctelor)ei.DacapeL,fie Op={eeO,esp}multimeatuturoratomilorluiLcareprecedelementulp.Dinmodulcuma fostdefinitaOpeP(O)sip = ve pppOO ,considerandaplicatia:LP(O)definitaprinconditia (p)=Op, suntem in prezenta unei aplicatii injective a algebrei Boole L pe multimea (L) . P(O).

1)Amintimca,dacaindicamprincardXnumarulelementeloruneimultimiX,cardinalul multimii P(X) se calculeaza dupa formula P(X)=2card X. 2)vePAoo se defineste astfel: pentru orice oeA avem PosvePAoo si, daca pentru orice oeA, avem Pos p eL, atuncivePAoosp ; .ePAoo se defineste astfel: pentru oriceoeA avem.ePAoosPo si, daca pentru orice oeA avem ps Po (peL), atunci ps.ePAoo .3) Adica multimea A este finita sau in corespondenta biunivica cu multimea numerelor naturale.25 Injectivitatea aplicatiei confera multimii(L) o structura de algebraBoole in raport cu .incluziunea,intersectia,sireuniuneadeelementecareorganizeazamultimea partilor lui O drept algebra Boole. Cum(L)esteizomorfacuLprin,(L)esteoalgebrao-completa.Caurmare(L) este o familie de parti ale multimii O care are proprietatile-C e( ) L-odata cu Xe (L), complementara multimii X apartine lui (L) si- ooeeI X L ( ) pentruoriceoeI,undeIesteomultimecelmultnumarabila.Am demonstrat astfelTeorema2.1.4.OricealgebraBooleLo-completaesteizomorfacuuncorpo- complet (corp borelian) de parti ale unei multimi O convenabil aleasa. Definitia2.1.7.Intelegemprincorpo-complet(corpborelian)departialeunei multimi infinite O, orice familie K(O) . P(O) de parti ale lui O care satisface conditiile:a)C e K(O) ( C multimea vida ); b) odata cu X e K(O),complementara X a lui X, apartine lui K(O); c) oricare ar fi familia ce l mult numarabila {Xo}oeI cu Xo e K(O)avem ooeeI XK(O). Rezultateleformulateinteoremele2.1.3,2.1.4.,nepermitsaidentificamcampurilede evenimentecucarelucramfiecualgebraBooleapartiloruneimultimifiniteO,fiecuuncorp borelianaluneimultimiinfiniteO..Deaceea,deacumincolovomdesemnaacestecampuride evenimenteprin(O,P(O)),respectiv(O,K(O)),punandinevidentamultimeaOganditaca ansamblulevenimentelorelementare,careestetotodataevenimentulsigur.Deci,ingeneralun campdeevenimentenuesteizomorfcufamiliapartiloruneimultimiinfinite.Cuplul(O,K(O)) l vom numi camp borelian de evenimente. Exemplul 2.1.1. (Distributia a trei bile in trei urne).Tabelul de mai jos infatiseaza toate situatiile posibile care apar in experimentul constand din asezarea a trei bile in trei urne.1.{abc, - , - }10.{a, bc , - }19.{-, a , bc } 2.{- , abc, - }11.{ b , ac , - }20.{ - , b , ac } 3.{ - , - ,abc}12.{ c , ab , - }21.{ - , c , ab } 4.{ab , c , - }13.{ a , - , bc }22.{ a , b ,c } 5.{ab , b , - }14.{ b , - , ac }23.{ a , c , b} 6.{bc , a , - }15.{ c , - , ab }24.{ b , a , c} 7.{ab , - , c }16.{ - , ab,c }25.{ b , c ,a } 8.{ac , - , b }17.{ - , ac,b }26.{ c , a ,b } 9.{bc , - , a }18.{ - , bc,a }27.{ c , b ,a } Tabelul 2.1 26 Fiecaredintreacestearanjamentereprezintaunevenimentsimplu,adicaunpunct. Evenimentul Aintr-o urna se afla un produs este realizat in grupele 1-21 si exprimam acest fapt spunandcaevenimentulAestetotalitateapunctelor1-21.Inmodsimilar,evenimentulBprima urnanuestegoalaestetotalitateapunctelor1,4-15,22-27.Insfarsit,evenimentulCdefinit astfel evenimentele A si B se realizeaza simultan este totalitatea celor treisprezece puncte 1, 4-15. In acest exemplu particular s-a intamplat ca fiecare din cele 27 de puncte sa apartina fie lui A, fie luiB,fieambelorevenimente.Prinurmare,evenimentuloriAoriBoriambeleserealizeaza estetotspatiulsimplusiserealizeazacucertitudine.EvenimentulDdefinitprinAnuse realizeazaconstadinpunctele22-27sipoatefidescrisprinconditiacaniciournanuramane goala. Evenimentul prima urna este goala iar in celelalte nu se afla vreun produs este imposibil (adica nu se realizeaza) deoarece nici un punct nu satisface aceste conditii.Exemplul 2.1.2. (Distribuirea a r bile in n urne).Cazulgeneralalrepartizariiarbileinnurnepoatefistudiatinacelasimod,doarca numarularanjamentelorcresterapidmpreunacursin.Pentrur=3bilesin=4urne,spatiul simplu contine deja 64 puncte; iar pentrur=n=10 sunt 1010 puncte. Folosimacestexemplupentruailustrafaptulimportantcanaturapuncteloreste neesentialadinpunctdevederealteoriei.Lanoispatiulsimplu(mpreunacuprobabilitateade distributie definita in el)defineste experimentul idealizat. Utilizam limbajul pitoresc al bilelor si urnelor dar, de fapt, acelasi spatiu simplu admite o mare varietate de interpretari practice diferite. Deaceea,atatpentruaclarificaacestaspect,catsiinvedereareferirilornoastreulterioare, prezentam,maijos,unnumardesituatiiincarefundamentulintuitivvariaza.Toatesunt,insa, prin abstractizare echivalente cu schema plasarii a r bile in n urne, in sensul ca rezultatele difera numaiprindescrierealorverbala.Atribuireaadecvataaprobabilitatilornuesteaceeasiintoate cazurile, dar aceasta chestiune o vom discuta mai tarziu.a.Ziledenastere.Configuratiileposibilealezilelordenasterearoamenicorespunde diferitelor aranjamente a r bile in n=365 urne (presupunand ca anul are 365 zile).b.Accidente.Clasificareaaraccidentedupazileledinsaptamana,incareeles-au produs, este echivalenta cu introducerea a r bile in n=7 urne. c.In tragerea asupra a n tinte loviturile corespund bilelor, iar tintele urnelor.d.Oamenisiprofesii.Fieungrupdeoameniclasificatidupaprofesiapecareoau. Clasele joaca rolul urnelor, iar oamenii pe acela al bilelor.e.Iradiatiainbiologie.Atuncicandceluleledinretinaochiuluisuntexpuseluminii, particuleledeluminajoacarolulbilelor,iarcelulelesunturnelemodeluluinostru.In modsimilar,instudiulefectuluigeneticaliradiatiei,cromozomiicorespundurnelor din modelul discutat iar particulele o bilelor. f. InexperimentelecurazecosmiceparticulelecarelovesccontoareleGeigerreprezinta bilele, in timp ce contoarele functioneaza ca urne.g.Unliftpornestecurpersoanesiseoprestelanetaje.Diferitelearanjamenteincare coboara persoanele corespunde diferitelor distribuiri ar bile in n urne. 27 h.Zarul.Rezultateleposibilealeuneiaruncaricurzaruricorespundplasariiarbilein n=6 urne. In cazul aruncarii unei monede, insa, avem numai n=2 urne. i. Cifrealeatoare.Posibilitatiledeordonareauneisecventedercifrecorespund distribuiriiarbile(corespunzatoarelocurilorpecareleocupacifreleinsecventa)in zece urne numite 0,1,...,9.j. Distribuirea dupa sex a r persoane. In aceasta situatie avem n=2 urne si r bile. k.Colectiedetimbre.Diferitelefeluridetimbrereprezintaurnele,iartimbrele colectionate reprezinta bilele. l. Distributia genelor. Fiecare descendent dintr-un individ (persoana, plantasau animal) mostenestedelastramosianumitegene.Dacaogenaparticularapoatesaaparainn formeA1, ...,An, atunci descendentii pot fi clasificati dupa tipul de gena.Descendentii corespund bilelor, in timp ce genotipurileA1, ..., An corespund urnelor. m. Chimie.Presupunemcaunlunglantdepolimerireactioneazacuoxigenul.Unlant partal al acestuia poate reactiona cu 0,1,2,3,... molecule de oxigen. Aici, moleculele de oxigen cu care se reactioneaza joaca rolul bilelor, iar lanturile de polimeri rolul urnelor in care sunt puse bilele. n.Greseli de tipar. Distributiile posibile a r greseli de tipar in cele n pagini ale unei carti corespundtuturordistributiilordiferitearbileinnurne,cuconditiacarsafiemai mic decat numarul de litere pe pagina.Exemplul 2.1.3. (Cazul bilelor care nu se pot distinge).Saneintoarcemlaexemnlul2.1.1sisapresupunemcaceletreibilenusunt distincte. Aceasta inseamna ca nu mai putem distinge intre trei aranjamente cum ar fi, de exemplu, 4,5,6 din tabelul 2.1, si, prin urmare, tabelul 2.1 se reduce la urmatoru l 1.{xxx, - , - }6.{x, xx , - } 2.{- , xxx, - }7.{ x , -, xx } 3.{ - , - ,xxx}8.{ - , xx ,x } 4.{xx , x , - }9.{ - , x, xx } 5.{xx , - , x }10.{ x, x,x } Tabelul 2.2. Tabelul2.2definestespatiulsimplualexperimentuluiidealizatpecarelnumimplaseazatreibilenedistincteintreiurne.Unprocedeusimilarseaplicaincazuldistribuiriiar bile in n urne.Daca bilele pot sau nu pot fi distincte, in practica nu este un fapt semnificativ din punctul devederealteoriei.Chiardacaelesuntdistincte,putemdecidesaletratamcanedistinctesi vice-versa.Persoaneledintr-unlift(exemplul2.1.2.g)evidentcasuntdistinctesitotusiadesea estepreferabilsaletratamcanedistincte.Deasemenea,zaruriledinexemplul2.1.2.hpotfi coloratepentrualefacedistinctedar,dacaindiscutareauneiproblemeparticulare,folosim modelulbilelordistinctesaunedistincte,aceastaestenumaiochestiunedependentadescopul 28 urmarit si de comoditate. Alegerea poate fi dictata de natura unei probleme concrete, dar in toate mprejurarileteoriaincepenumaidupaceafostalesmodeluladecvat,adicadupaceafost definit spatiul simplu. In schema de mai sus am considerat bilele nedistincte, dar tabelul 2.2 inca se mairefera la prima,adoua,atreiaurna,ordinealorfiindesentiala.Samergem,acuma,maidepartesisa presupunem ca nici urnele nu sunt distincte( adica urna poate fi alesa la intamplare fara a privi continutulei).Atunci,dacabilelesiurnelesuntnedistincte,suntposibilenumaitrei aranjamente diferite, adica {xxx, - , - }, {xx , x , - }, { x, x,x }. Exemplul 2.1.4. (Selectia). Presupunemcaseiaoselectiede100oamenipentruaestimacatioamenifumeza. Singuraproprietateaselectieicareintereseaza,inaceastaordinedeidei,estenumarulxde fumatori,carepoatefioriceintregintre0si100.Inacestcazputemacceptacaspatiulnostru abstractconstadincele101puncte0,1,...,100.Fiecareselectieparticularasauobservatieeste descrisacompletprinindicareapunctuluicorespunzatorx.Unexempludeevenimentcompus esterealizareaevenimentuluimajoritateaoamenilorselectionatisuntfumatori.Aceasta inseamnacaexperimentulserealizeazaintr-unuldincele50deevenimentesimple51,...,100, darnuseprecizeazaincare.Inmodsimilarfiecareproprietateaselectieipoatefidescrisaprin enumerareacazurilorcorespunzatoaresauapunctelor.Pentruuniformitate,vomfolositermenul deevenimenteinlocdeproprietatialeselectiei.Matematic,unevenimentestepursisimplu totalitatea punctelor corespunzatoare. Sa presupunem, acum, ca cei 100 de oameni din selectia noastra sunt clasificati nu numai cafumatorisaunefumatoridarsidupasex.Selectiapoateficaracterizata,deci,printr-un cvadruplu(Bf,Ff,Bn,Fn)deintregireprezentand,inordine,numaruldebarbatisifemeicare fumeaza,barbatisifemeicarenufumeaza.Putemluacapunctecvadrupleledeintregisituati intre0si100.Acesteaconstituiespatiulabstract.Evenimentulsuntmaimultifumatoribarbati decat femei inseamna ca in modelul nostru raportul Bf / Bneste mai mare decat Ff / Fn. Punctul (73,2,8,17)areaceastaproprietate,intimpce(0,1,50,49)nuoare.Evenimentulformula t anteriorpoatefidescrisinprincipiuprinenumerareatuturorcvadrupleloravandproprietatea specificata. Exemplul 2.1.5. (Aruncarea monedei).Considerandexperimentulconstanddinaruncareauneimonededetreiori,spatiul abstractconstadinoptpunctecarepotfireprezentateastfel:BBB,BBM,BMB,MBB,BMM, MBM,MMB,MMM.EvenimentulAaparebanuldecelputindouaoriestetotalitateaprimelor patru punte; iar evenimentul C apare o singura data marca inseamna ori BBM ori BMB ori MBB, deci A contine aceste trei puncte. Dupa cum s-a vazut, nu ne referim la probabilitati decat in legatura cu unspatiu abstract dat. Pornim, deci, de la notiunea de spatiu abstract si puncte ale sale pe care le vom considera, de acumincolo,cafiinddate.Eleconstituienotiuniprimitivesinedefinitealeteoriei,asacum notiuniledepunctsidreapta,deexemplu,ramannedefiniteintratareaaxiomaticaageometriei euclidiene.Naturapunctelornuprivesteteoria.Spatiulabstractreprezintaunmodelde 29 experimentidealinsensulca,prindefinitie,fiecarerezultatimaginabilalexperimenuluieste completdescrisprintr-unpunctsinumaiunulsingur.Aresenssasevorbeascadespreun evenimentAnumaiatuncicandesteclarpentrufiecarerezultatalexperimentuluidaca evenimentulAs-arealizatsaunu.Colectiatuturoracelorpunctecarereprezintarezultatelein careAs-arealizatdescriecompletevenimentul.Invers,oricecolectiedataAcarecontineunul sau mai multe puncte sepoate numi un eveniment; acest eveniment poatesau nu sa se realizeze dupacumrezultatulexperimentuluiestesaunuestereprezentatprintr-unpunctalcolectieiA. Prin urmare, definim cuvantuleveniment pentru a insemna acelasi lucru ca o totalitate de puncte. VomspunecaunevenimentAconstadinanumitepuncte,anumeaceleacarereprezinta rezultatele experimentului ideal in care se realizeazaA. Exemplul 2.1.6.Inspatiulabstractdinexemplul2.1.1.saconsideramevenimentulUconstanddin punctelenumerotate1,7,13.Evidentaceastaesteodefinitieformalasisimpla,darUpoatefi descrisinmultemoduriechivalente.Deexemplu,Upoatefidefinitcaevenimentpentrucare sunt satisfacute urmatoarele trei conditii: 10 urna a doua este goala, 20 bila a se gaseste in prima urna, 30 bila b nu apare dupa c.Fiecaredintreacesteconditiidescrieeainsasiuneveniment.EvenimentulU1definitprin conditia10constadinpunctele1,3,7-9,13-15.EvenimentulU2definitnumaiprinconditia20 consta din punctele 1, 4, 5, 7, 8, 10, 13, 22, 23. In sfarsit , evenimentul U3 definit prin conditia 30 contine punctele 1-4, 6, 7, 9-11, 13, 14, 16, 18-20, 22, 24, 25.Evenimentul U poate fi descris, de asemenea, ca realizarea simultana a celor trei evenimenteU1, U2, U3. Aplicatii 2.1.Fie L o algebraBoole elementara. Sa se arate ca, dacaa,b sunt atomi si a=b, atunci a.b=C. 2.2.Fie (O, P(O)), (O, K(O)) un camp de probabilitate finit, respectiv infinit. Sa se arate caoconditienecesarasisuficientacaunevenimentoeP(O),(oeK(O))safieuneveniment elementar este ca, dat fiind Xe P(O), (XeK(O)), sa avem:sau Xo= C sau oe X. Solutii.2.1.Evidenta.bsa,a.bsb.Dacaamaveaa.b=a,atunciasb.Cuma=brezultaa= C, fapt care nu poate avea loc. Asadara.b=a, deci a.b=C.Inlimbajulcampurilordeevenimenteaplicatia2.1poatefiformulatasiastfel:inoricecampde evenimente,oricedouaevenimenteelementaresuntincompatibile.Spunemcadouaevenimente X,YeP(O)sauX,YeK(O)suntincompatibiledacaXY = C.Cualtecuvintedouaevenimente sunt incompatibile daca realizarea unuia exclude posibilitatea realizarii celuilalt in aceeasi proba.2.2. Sa presupunem ca o este un eveniment elementar. Atunci, dandu-se X arbitrar, avem Xo . o. De aici rezulta ca:Xo =C; sau Xo =ode unde urmeaza o.X. 30 Reciproc,sapresupunemcao= CsicaXfiinddat,avem:sauXo=Csauo.X.Luand X.o cu X=o, avem Xo = X . Daca Xo =C, rezulta X= C; iar daca o.X rezulta X=o faptcaretrebuieexclus.Asadar,pentruoriceX=ocuX.orezultaX=Csidecioesteun eveniment elementar. Observatie.Sepoateface,deci,oprimaclasificareaevenimentelor:sigure,imposibile, intamplatoare. De asemenea, drept consecinta a aplicatiei 2.1 avem o a doua clasificare a evenimentelor: compatibile si incompatibile. 2.2. Probabilitate pe campuri finite de evenimente Inparagrafulprecedents-auintrodusnotiuniledecampdeevenimentefinitsiinfinit.In acestparagrafsubiectulfundamentalilconstituiestudiulcampurilorfinitedeevenimente inzestrate cu o posibilitate de evaluare a sansei,evaluare care sa dea o idee asuprarealizarii sau nerealizarii intr-o experienta a unui eveniment dorit. Amintim ca orice camp finit de evenimente seidentificacualgebraBooleamultimiipartiloruneimultimifiniteO,multimecareeste evenimentul sigur. In aceasta identificare, rolul evenimentelor elementare este jucat de multimile alcatuite din cate un element din multimeaO, rolul evenimentelor oarecare este jucat de partile luiO,rolulimplicatieideincluziune,aldisjunctieievenimentelordecatrereuniune,iarcelal conjunctiei evenimentelor de intersectia lor. Probabilitatilediferitelorevenimentesuntnumeredeaceeasinaturacasidistantelein geometriesaumaseleinmecanica.Teorialepresupunecafiinddate,darnupresupunenumic referitor la valoarea lor numerica reala sau la modul in care ele sunt masurate in practica. Unele dintrecelemaiimportanteaplicatiisuntdenaturacalitativasinudepinddevalorilenumerice. Concluziile generale ale teoriei sunt aplicate in multe moduri, tot asa cum teoremele geometriei, spreexemplu,servesccaobazatemeinicapentruteoriifizicesaupentruaplicatiitehnice.In relativputineleexempleundesuntnecesarevalorinumericepentruprobabilitati,metodelede procedura variaza la felde mult ca si metodele de determinare a distantelor. Spre exemplu, sunt putineelementecomuneinpracticamasurariidistantelordecatreuntamplar,untopograf,un pilot sau un astronom. In contextul nostru, insa, putem considera gradul de difuzie constant, care esteonotiuneateorieiprobabilitatilor.Pentruagasivaloareasanumericasuntnecesare consideratiifizicecaresaolegecualteteorii,omasuraredirectafiindimposibila.Dincontra, tabeleleprivindprocesulmortalitatiiseintocmescpebazaunorobservatiineprelucrate.Incele maimulteaplicatiiconcretedeterminareaprobabilitatilor,saucomparareateorieisiobservatiei, necesita metode statistice mai rafinate care, la randul lor, se bazeaza pe o teorie a probabilitatilor perfectionata. Candaruncamomonedaperfecta,obisnuimsaasociemprobabilitateaoricubanul oricustema.Aceastaesteechivalentcuaspuneca,atuncicandsearuncaomonedadenoritoate cele 2n rezultate posibile au aceeasI probabilitate. Din punct de vedere teoretic aceasta este oconventie.Inmodfrecvents-asustinutcaaceastaconventieesteinmodlogicinevitabilasi singuraposibila,desiuniistatisticieniaudesconsiderataceastaconventie,luandcapunctde 31 plecarepresupunericontradictorii(uniformitateasauneuniformitateadinnatura).Deasemenea, s-arevendicatfaptulcaprobabilitatilesedatorescexperientei.Defapt,oridecateoris-au folositmetodestatisticerafinatepentruadescrieoaruncarerealaamonedei,rezultatulafost invariabil pentru ca banul si stema nu sunt egal probabile . Si totusi, asociem modelului nostru o monedaideala,chiardacanuexistamonedeperfecte.Astfelcavommentineacestmodelnu numaipentrusimplitateasalogicaci,inspecialpentruutilitateasiaplicabilitateasa.Desiin multeaplicatiiestesuficientaodescriereexactaarealitatii,maiimportanteste,insa,faptul empiric caabaterile de la schema noastra sunt totdeauna cuplate cu fenomene ca acela al pozitiei excentrice a centrului de gravitate, spre exemplu.In acest mod, modelul nostru idealizat poate fi extremdefolositorchiardacaelnuseaplicaniciodataexact.Deexemplu,incontrolulstatistic de calitate modern, bazat pe metodele lui Shewhart, modelele probabiliste idealizate sunt folosite pentruadescopericauzeleplauzibilealeabaterilorflagrantedelaacestemodelesi,astfel,ale reduce cat mai mult intr-o etapa urmatoare. Observatii similare se pot face si in alte cazuri.Exemplul 2.2.1. (Bile care se pot distinge). Inexemplul2.1.1.aparecutotulnaturalsasepresupunacatoateevenimentele elementaresuntegalprobabile,adicafiecareevenimentelementarareprobabilitatea1/27.Sa consideramcapunctdepornireaceastadefinitiesisacercetamconsecintelesale.Dacamodelul nostruvadevenisaunusuficientdeadecvatuneiexperientereale,vadepindedetipulde fenomenelacareelesteaplicat.Inuneleaplicatii,presupunereaprobabilitatiloregaleeste impusadeconsideratiifizice;inalteleeaseintroducepentruaservicacelmaisimplumodel pentruoorientaregeneralachiardaca,inmodcutotulevident,eareprezintanumaioprima aproximatiebruta(spreilustrarepotficonsiderateexemplele2.1.2.(a)-zileledenastere; 2.1.2.(g) - liftul; 2.1.2.(k) - colectia de timbre). Exemplul 2.2.2. (Bile carenu se pot distinge; statistica Bose-Einstein).Saneintoarcemlaexemplul2.1.3.alrepartizariiatreibilenedistincteintreiurne.Se poatearatacaexperimentulfazicrealnuesteafectatdeneputintanoastradeadistingebilele intreele;dinpunctdevederefizicraman27deposibilitatidiferite,chiardacasepotdistinge numai zece forme diferite. Aceasta consideratie ne conduce sa atribuim urmatoarele probabilitati celor zecepuncte din tabelul 2. Numarulde ordineal punctului 12345678910 Probabilitatea1/271/271/271/91/91/91/91/91/92/9

Trebuieremarcatcapentrucelemaimultedintreaplicatiilecareurmeazaexemplului 2.1.2.acestrationamentaparelogic,iaratribuireaprobabilitatilorrezonabila.Dinpunctde vedereistoricacestrationamentafostacceptatmultavremefararezervesiaservitinmecanica statistica drept baza pentru derivarea statisticii Maxwell-Boltzmann pentru repartizarea a r bile in 32 nurne.Inacestcontextafost,evident,osurprizacandBosesiEinsteinauaratatcaanumite particulesesupunstatisticiiBose-Einstein(veziaplicatii).Incazulnostru,cur=n=3modelul Bose-Einstein atribuie probabilitatea 1/10 fiecaruia dintre cele zece puncte. Acestexempluaratacaatribuireadiferitelorprobabilitatiestecompatibilacuaceeasi multimedeevenimenteelementaresiilustreazacomplicatacorelatiedintreteoriesiexperienta. Inparticular,elneinvatasanuavemincrederepreamareinrationamenteapriori,cisafim pregatiti sa acceptam scheme noi si neprevazute.Exemplul 2.2.3. (Aruncarea monedei).O frecventa interpretare a postulatului probabilitatilor egale necesita informatii cu privire laexperientereale.Dar,inrealitate,fiecaremonedasuferainfluentesiesteposibilsase conceapa experimente fizice care sa fie mult mai apropiate de modelul ideal al aruncarii monedei decat ar face-o monedele adevarate vreodata.Pentru a avea o idee asupra fluctuatiilor la care ne putemastepta,prezentamrezultateleunuiastfeldeexperimentsimulatcarecorespundeunui numarde10000probecuomoneda.Tabeluldemaijoscontinenumaruldeaparitiiale banuluiintr-o serie de100 experiemente., fiecare corespunzand unei secvente de 100 probecu omoneda.Totalulgeneraleste4979.Privindacesterezultateestefoarteprobabilcacititorul,la primavedere,saseintrebe:estenecesara,oare,oteoriemaiavansatapentruajudecaince masuraasemeneadateempiriceconcordacumodelulnostruabstract?Vomreveni,deci,asupra acestei chestiuni. Numarulprobelor Numarul de ori in care a aparut banulTotal 0 - 100054465355465441485153501 - 200048464053494948545345485 - 300043525851515052505349509 - 400058605455504847575255536 - 500048515149445250465341485 - 600049504552524847474751488 - 700047474151495950555350500 - 800053524652445148514654497 - 900045474652474859574548494 - 1000047415148595152553941484 Tabelul 2.3 Saneoprim,acum,asupradefiniriiprobabilitatiiunuievenimentoarecaresisastabilim cateva reguli importante de calcul. Fie, , { }O O , Pun camp finit de evenimente asociat unei experiente. 33 FiinddatunevenimentAeP(O)seridicaintrebarile:Efectuandexperienta,evenimentul A va avea loc sau nu ? Care este sansa ca evenimentul A sa aiba loc ? Ce se intelege prin sansa si cum o evaluam ?Pentru a preciza ideile sa consideram, de exemplu, experienta aruncarii cu banul. Campul asociatexperienteiincauzaestealcatuitdinpartilemultimii{ } { } O = 1 2 1 , unde esteevenimentul care marcheaza aparitia stemei, iar {2} este evenimentul care marcheaza aparitia valorii.Alegandevenimenul{ } 1 ,laintrebarea:careestesansacaaruncandmoneda,aceastasa prezinte fata marcata cu stema? Credem ca oricine va raspunde: sansele aparitiei stemei, sau fetei pe care este marcata valoarea monedei, sunt egale.In esenta, cel chestionat, gandeste sansa aparitiei evenimentului{ } 1 , sau a evenimentului{} 2 , ca numar. Definitia2.2.1.Senumesteprobabilitate(dupamatematicianulA.A.Kolmogorov)a evenimentului AeP(O) o functie nenegativa P(A)>0, care satisface axiomele: a)P(O) = 1; b)Daca A,B , , . P OsiA B = | , atunci are loc relatia, , , , , , P A B P A P B= +. Definitia2.2.2.OriceperechedeevenimenteA,BeP(O)caresatisfacconditia A B = Cse spune ca sunt evenimente incompatibile. Proprietati ale probabilitatii. Luand in definitia 2.2.1. b) A B = = C obtinem , , , , , , , , , , P P P P P C= CC= C+ C= C 2de unde rezulta (2.1)P(|)=0,fapt care ne spune ca evenimentul imposibil are probabil itatea nula. Luand, acum, in 2.2.1. b),B A =, undeA este evenimentul contrar 4) evenimentului A, obtinem relatia (2.2) , ,, , P A P A = = 1 formulacareexprimalegaturaintreprobabilitateaevenimentuluiAsiprobabilitatea evenimentului contrar. Definitia2.2.3.EvenimenteleA1,...,Andin, , P O sespunecasuntevenimente incompatibile daca oricare ar fi numerele i,j e{1,2, ..., n} in relatia i =j, avemA Ai j = C. Fara dificultate, prin inductie, se poate demonstra Teorema 2.2.1. Daca, , A P i n11 e = O , ,...,suntn evenimente incompatibile, atunci , , P A P Aiiniin==|\

|.|= _11U.

4)UniiautoriutilizeazanotatiaCAsauAcpentruadesemnaevenimentulcontrar(numitsicomplementar)al evenimentului A. 34 Saobservamcaaceastaegalitateramaneadevaratasiincazulcandseiaomultimede indici I infinita, adica , , P A P AIIooooee|\

|.|= _ U. Intr-adevar,dacaIesteomultimeinfinitadeindici,atunci,deoarece, , P O esteo multimefinita,celputinunuldintreevenimenteleAserepetademaimulteori.Dar evenimentelecareserepetatrebuiesacoincidacuevenimentulimposibilC;iarevenimentele care nu se repeta sunt in numar finit.Fie J multimea indicilor o pentru care evenimentul A nu se repeta. Atunci, dacao e I J urmeaza ca An=C si, prin urmare, P AIooe|\

|.|=U PA P A P AJ J Ioooooo e e e|\

|.| = = _ _ ( ) ( ).Teorema 2.2.2. Daca, , A B P , e Osi A.Batunci,P(A)s P(B)si exprimam acest fapt spunand ca probabilitatea este functie monotona peste P(O) . Inadevar,observandcaO=A(BA)BsicaevenimenteleA,BAB , sunt evenimenteincompatibile, aplicand teorema 2.2.1. rezulta , ,, , , ,P A P B A P B + + = 1Dar , ,, , P B P B = 1astfel ca , ,, ,, , P A P B A P B + = . Cum numerele P(A), P(B), P(B A)sunt numere pozitive, rezulta P(A) s P(B) . Fie A, Be P (O) si A . B. Atunci, , , B A B A =si cum, , A B A = C obtinem , , , , , , P B P A P B A = + sau , , , , , , P B A P B P A = . Sa ne reamintim ca, in acest paragraf, campurile de evenimente luate in consideratie, suntcampuri finite. Aceasta inseamna ca multimeaO este o multime finita. Indicand prin x1, . . . , xn elementele ei, O= {x1, . . . , xn }, evenimentele elementare {x1}, {xj}, i=j, suntincompatibile. Daca P este o probabilitate pe campul (O,P(O)) atunci, punand P({x1})=pi, avem (2.3)P P Pn 1 21 + + + = ..., iar daca Ae P(O) este evenimentul A= { }x xi ip 1,..., atunci (2.4)P(A) = P Pi ip 1+ + ... . 35 Acest fapt ne spuneca putem intotdeauna definio probabilitate P peste un campfinit de evenimente (O,P(O)), O= {x1, . . . , xn }, daca luam P(xi) = pi, unde pi sunt numere reale

arbitrare supuse conditiei pie|0,1], astfel incat sa avem indeplinita conditia (2.3) si, daca pentru orice A= { }x xi ip 1,..., e P(O), calculam probabilitatea evenimentului A cu (2.4).Inparticular,dacapresupunemcaevenimenteleelementarealecampuluideevenimente (O={x1,...,xn},P(O)),suntegalprobabile,decidacaluam { } , , { } , , { } , , | ]P x P x P x p p pn 1 20 01 = = == = = e .... , , , , atunci np=1 deci p=1/n , (adica probabilitatile evenimentelor sunt egale intre ele) si (2.5) , , P AcardAcardnum rul elemntelor mlimii Anum rul elemntelor mlimii= =OO\ ]\ ] formula care poatefi luata drept definitie a probabilitatii unui eveniment oarecare A apartinand unui camp finit cu evenimente. Aceasta este definiia clasica a probabilitatii.NereferimlacardAcafiindnumarulrezultatelorfavorabilerealizariievenumentuluiA, iar la cardO ca fiind numarul rezultatelor incompatibile egal posibile ale experimentului in urma caruia se poate realiza evenimentul A (cardA s cardO). Existasituatii,insa,incareaceastadefinitieclasicaaprobabilitatiisedovedeste insuficienta, manifestand lipsuri care nu pot sa nu fie luate in seama. Ne vom referi aici, pe scurt, latreiaspectecarevorevidentiafieimposibilitateaclasificariievenimentelorincazuriegal posibile,atuncicandseaplicadefinitiaclasicaaprobabilitatii,fieneputintadeadetermina,in general, numarul cazurilor. Amvazutcanotiuneadeprobabilitateapareinlegaturacuprocesulefectuariiunei experiente. Dar, cand se arunca zarul, sa zicem de 100 de ori, se poate numara efectiv de cate ori a aparut fata sase. Suntem, astfel, in prezenta unei noi notiuni numitafrecventa relativa, definita inmodulurmator:Dacainnexperienteuneveniments-aprodusdevori,raportulv/nse numeste frecventa relativa a evenimentului considerat in seria de experienteefectuate. Dacaexperientaserepetadeunnumarmaredeori,atunciseconstatacafrecventele relative ale unor evenimente oscileaza in jurul unor anumite valori. Deci, se poate vorbi despre o stabilitateafrecventelorrelative,notiuneateoreticadeprobabilitateaunuievenimentneputand fidespartitadenotiuneadefrecventarelativa.Maimultchiar,sepoatespunecateoria probabilitatilorsepoateaplicanumaiacelorfenomenepentrucareexistaostabilitatea frecventelorrelativeinjurulprobabilitatii.Aiciesteesentalegilordeprobabilitatedupacarese desfasoaraomultimedefenomenealenaturiisialevietiisociale.Dar,pentrumultefenomene, indeplinireaunuisistemdeconditiinuconduceinmodnecesarlaunevenimentA.Inschimb, daca se repeta experienta de un numar de ori, cu indeplinirea de fiecare data a conditiilor date, se vaobservaoanumitalegitateexprimataprinoscilareafrecventeirelativeinjurulunuinumar reprezentandelementulstabil,pecareobisnuimsa-lnotamcup.Sevaspuneca,pentruaceste fenomene,probabilitateacalaindeplinireasistemuluideconditiidatesaserealizeze evenimentul A este egala cu p. 36 Prinurmareprobabilitateaunuievenimentaresensnumaiatatatimpcatnuseschimba conditiileincarearelocexperientarespectiva.Schimbareaacestorconditiiimplicaschimbarea probabilitatii.Inacestsens,aparedejaoprimadeficientaadefinitieiclasiceaprobabilitatii anume, aceea de a fi rupta de realitate.Darnumaiatat.Prinrelatia(2.5)sedefinesteprobabilitateaunuievenimentAprin raportul dintre numarul cazurilor favorabile realizarii lui A si numarul cazurilor egal posibile. Or, oastfeldedefinitiearelabazatocmaiposibilitateadeadiscriminaacestecazuriegalposibile. Dar,dacanegandimnulafenomenemaicomplexe,cidoarlaaceeasiexperientasimplacare consta din aruncarea cu zarul, acest zar, presupus ipotetic perfect construit si omogen, in realitate nuposedaacestecalitatirelativelaperfectiuneasa.Deciinconditiilerealitatiidisparechiar probabilitateadeclasificareafetelorzaruluiincazuriegalposibileastfelca,niciatuncicandse considera un numar finit de cazuri posibile, de cele mai multe ori nu se poate face discriminarea lor in cazuri egal posibile. Insfarsit,altreileaaspectpecare-ldiscutamsereferalasituatiileincaretrebuie consideratunnumarinfinitdecazuri.Sapresupunem,deexemplu,cavremsadeterminam probabilitateadeaobtineunnumarprimluandlaintamplareunnumardinsirulnumerelor naturale.Esteclarcainacestcaz,nunumaicanuputemdiscriminanumarulcazurilorposibile, dar ne lovim de dificultatea determinarii chiar a numarului total de cazuri.Daca, in plus, ne gandim si la faptul ca definitia clasica a probabilitatii nu se poate aplica uneicategoriilargidefenomenenaturalesisociale,tocmaidincauzaimposibilitatiidea determinanumarulcazurilorfavorabilesaualtuturorcazuriloregalposibile,ajungemla concluziacaacesteneajunsurialedefinitieiclasiceaprobabilitatiitrebuiescinlaturatepentrua puteavorbideoteorieaprobabilitatiiconsistenta,puternicancoratainrealitatesiaplicabila fenomenelor care apar in natura si societate. Iatadoarcatevaaspectecarejustifica,pedeplin,incercarilefacutede-alungultimpului pentruadaodefinitieaprobabilitatiicaresaraspundaacestorcerintesideconstruioteoriea probabilitatilorbazatapealgebrasianalizamoderna(negandimlacercetarilecareauurmat orientarilor date de Banach si Lebesgue). Asacums-apututconstatapanaacum,unadinnotiunilefundamentalealeteoriei probabilitatiloresteaceeadecampdeevenimentedatoratainitialluivonMises 5) .Aceasta notiuneafacutposibilaconstruireauneiteoriiaprobabilitatilorriguroasadinpunctdevedere matematic,bazatapeteoriamasurii.Acestmoddeabordareateorieis-afacutremarcatinmod treptat datorita influentei multor autori. Otratareaxiomatizata,reprezentanddezvoltareamodernaateorieiprobabilitatilorafost realizatadeA.N.Kolmogorov 6)caruiaisedatorestedefinitia2.2.1,capabilasaelimine neajunsuriledefinitieiclasiceaprobabilitatii.Deaceea,siinexpunereadefatas-apreferat

5) Este vorba de cartea sa Wahrscheinlichkeitsrechnung, Leipzig ind Wien , 1931 cu referiri la articolele sale originale datand din jurul anului 1921. 6)A.Kolmogoroff,Grundhegriffe derWahrscheinlichkeitsrechnung,fasc..3,vol.2dinErgebnissederMathematic, Berlin, 1933, 37 obtinereaformulei(2.5)caoconsecintaadefinitieiaxiomatice2.2.1,inloculintroduceriiei apriori, prin definitie. Revenind la cazul experientei aruncarii cu zarul nefalsificat, avem{ } { } , ,O = = = 1 23 4 56161 2 6 , , , , , , , ,..., P pentru iisi, de exemplu, daca{ } A = 235 , , , atunci { }P Acardcard( ), ,= = =2353612 O,adicaP A ( ) = + + = =1616163612. Definitia2.2.4.Uncampfinitdeevenimente, , , ,O O P inzestratcuoprobabilitateP poarta numele de camp finit de probabilitate si se noteaza astfel: (O, P(O), P) Tehnica prin care putem defini o probabilitate pe un camp finit de evenimente (O, P(O)), indicandprobabilitatileevenimentelorelementaresupuseconditiilorexprimateinformulele (2.3), (2.4), poate fi utilizata cu succes intr -o gama de probleme cu caracter aplicativ. De exemplu sa incercam sa rezolvam urmatoarea problema: Se stie ca un electromotor, o masina unealta, unautomobil etc., este un asamblaj de piese numit repere . Sa indicam cu R1, R2,...,RnrepereledincareesteasamblataomasinaM.Indepozituluzinei,ri%dinpiesele marcate Ri au defecte. Indicand cu r% numarul masinilor M la care se constata greseli de montaj, intrebarea care se ridica este urmatoarea: care este probabilitatea ca luand la intamplare o masina M, aceasta sa nu aiba nici un defect ? Luata ca atare, problema de mai sus pare dificil de rezolvat. Lucrurile nu stau, insa, chiar asa ea reducandu-se, in esenta la urmatoarea: Fie, , , , , , , ,O O O O1 1 1 2 2 2, , , , P P P P douacampurifinitedeprobabilitate.Saasociem campurilordeevenimente, , , , , , , ,O O O O1 1 2 2, , , P P campuldeevenimente , , , ,O O O O1 2 1 2 , P undeO O1 2 esteprodusulcartezianalmultimilorO1,O27) .Sase defineasca pe campul, , , ,O O O O1 2 1 2 , Po probabilitate intim legata de probabilitatile P1, P2. Urmarindscopulpropus,sapresupunemca { } O1 1= x xn,..., ,O2={y1,...,ym), P1({xi})=pi ,ieI={1,2, ..., n}, P2({yj})=qj ,jeJ={1,2, ..., m}.Observand ca

7) Produsul cartezian a doua multimi X,Y este multimea , , { }X Y x yx Xy Y = e e , ,38 , ,, , { }{ }{ }, , , ,, , { }O OO O O OO O1 21 2 1 21 2 = e e= =e ex y i I j Jx y x ysunt evenimenteleelementarealecampului Px yi ji j i ji ji J i I, , ,,,,U U punand (2.6){ } , ,{ } , , { } , ,P x y P x P y p qi j i j i j, = =1 28)

si cerand sa avem (2.7), , { }P x y p qi jj J J i I Ii ji I j J e. e. e e|\

|.| = _' ' ' 'U U pentru orice I.I , J.J, alcatuite din elemente distincte, functia P : P, , | ]O O1 201 ,definita mai sus, este probabilitate pe campul, , O O O O1 2 1 2 |\

|.||, P , numita produsul cartezian al pobabilitatilor P1, P2 . Va fi notatP P P = 1 2 . Verificarea ca functia P este o probabilitate se face fara dificultate astfel:a)Aratamca, , P O O1 21 = .Inadevar , , { }O O1 2 =e ex yi jj J i I,U Usitinandseamade formula(2.7) avem , ,{ } , , { } , ,P P x y P x y p q p qi jj J i Ii jjmini jjminiinjjmO O1 21 1 1 1 1 111 1 = _ _ = _ _ = = _ _ _|\

|.| _|\

|.| = =e e = = = = = =, , .b) Aratam ca, daca

8) In virtutea relatiei (2.5) avem { } , ,{ } { }{ } , ,{ } { }p P xcardxcardcardxmq P jcardycardcardymi ii ij jj j= = == = =1122OO Dar, fiecare din cele n rezultate incompatibileegal posibille ale experimentului in care poate sa se produca xi poate fi asociat cu fiecare din cele m rezultate incompatibile egal posibile ale experimentului in care poate sa se produca xj, astfel canumarulrezultatelorincompatibileegalposibilealeexperimentuluiincareseproducxi sixjesteegalcu nm.Dinacestenmrezultateegalposibilesededuce,rationandanalog,casuntfavorabileproduceriisimultanea evenimentelor xi si xj un numar de card{xi} card{xj} rezultate. Prin urmare 39 (X1Y1)(X2Y2) = C undeX1, X2eP(O1) , Y1, Y2eP(O2)rezulta P((X1Y1)(X2Y2)) = P(X1Y1) +P(X2Y2). In adevar, din teoria multimilor se stie ca , , , , , , , , X Y X Y X X Y Y1 1 2 2 1 2 1 2 = si ca relatia XY=Cimplica X=CsauY=Csau X=Y=C. Aceste fapte amintite, din, , , , X Y X Y1 1 2 2 = C rezulta ca (X1X2) (Y1Y2) = C si deci sau X X sau Y Y sau X X Y Y1 2 1 2 1 2 1 2 = C = C = = C , , . Pentru a face o alegere sa luamX1X2=Csi sa punem, ,{ }, ,{ }, ,{ }, ,{ }X x x I a IX x x I a IY y y J b JY y y J b Jaabab1 11 1 11 12 21 222 21 1111 12 21 222 21111= = .= = .= = .= = .,..., , ,...,,..., , ,...,,..., , ,...,,..., , ,...,

In virtutea ipotezeiX1X2 =C, avem x1i=x2ioricare ar fi ieI1 , i eI2. Asadar, , , ,, ,, ,, , , , , , { }, , , ,, ,, ,, , , , , , { }, , , ,, , , ,X Y x y x y x y x y x y x y x yX Y x y x y x y x y x y x y x yX Y X Yx y x y x yb b a a bb b a a b1 1 11 11 11 12 11 1 112 11 12 1 11 111 1 11 12 2 21 21 21 22 21 2221 21 21 222221 22221 1 2 211 11 11 12 11 = = ==, , , ,..., , , , ,..., , ,..., , ,..., ,, , , ,..., , , , ,..., , ,..., , ,..., ,, , , ,..., ,U, ,, ,, , , , , ,, ,, , , , , ,, ,, ,, , , , , ,1 112 11 12 1 11 111 1 11 121 2121 22 21 21 21 22 21 2221 21 21 222221 2222b b a a bb b a a bx y x y x y x y x yx y x y x y x y x y x y x y x y, , ,..., , ,..., , ,..., , , , ,, , , , , ,..., , , , ,..., , ,..., , ,..., ,Or, , , { } , , { }x y x yi j i j 1 1 1 1, , = C

, , { } , ,{ }{ } { } { }{ } { }P x ycardx cardxnmcardxncardymcardxcardcardycardp qi ji jijiji j, = ====O O1 2 40 undeii I j j J daca i i sau j j , , , , e e = =1 1 , , { }x y x yi ji j2 22 2 '' ''' , ,|\

|.|`) = C undeii I j j J daca i i sau j j , , , ,''''',e e = =2 2 , , { }x y x yi ji j1 12 2, ,' '|\

|.|`) = C pentru cax x oricarear fi i I i Iii121 2= e e'', .Ca urmare, , ,, ,, , , ,P X Y pqP X Y p qP X Y X Y p q p q p qi Ii jj Ji Ii jj Ja b a b1 111 112 212 211 1 2 2 11 11 1 11 12222 =_ _ = _ _ = + + + +e ee e '' ''... ... unde am pus{ } , , { } , ,P x p P x pi i i i 1 1 1 2 2 2= = , ''. Asadar , , , , , , , , , , PX Y X Y pq p q P X Y X Yi Ii jj J i Ii jj J1 1 2 211 11 22 221 1 2 2 = _ _|\

|.| + _ _|\

|.| = + e e e e '''' ceea ce era de aratat. Observandcanotiuneadeproduscartezianadouacampurideprobabilitatepoatefi extins la un numar finit de campuri, raspunsul la problema pusa privind probabilitatea ca masina M sa nu aiba nici un defect poate fi dat in felul urmator.Fie{ } , , , ,O Oi i i iE E P =1 2 1, , campul de probabilitate asociat extragerii unei piese dintr-un numardeosutapiesepurtandindicativulRi,undeEi1esteevenimentulcapiesaextrasasafie fara defect, iarEi2 =Ei1 evenimentul contrar.Sa luam , , , , , , PE r si PE P E ri i i i i i i 2 1 2100 1 1 100 = = = / / . Notand cu (O0={E01, E02}, P( O0))campul de evenimente corespunzator extragerii unei masini M luata la intamplare, dintr-un lot de 100 bucati , unde E01 este evenimentul ca masina sa nuaibaviciidemontaj,luand, , , , P E E r P E r0 02 01 0 01100 1 100 = = = / / ,P0esteo probabilitate pe acest camp. Fie, , , , O O O O O O0 1 0 1 0 1 = |\

|.| ... , ... , ...n n nP P P P P campulde probabilitateproduscartezianalcampurilor(Ok,P(Ok),Pk)k=0,1,......,n.Caurmare, probabilitatea ca masina M sa nu aiba nici un defect este 41 , , { } , ,{ } , ,{ } , , { } , ,P E E P EP E P Er r rEnn nn0 1110 011 11 11110011001100,... ... .,...,== |\

|.| |\

|.| Aplicatie la problema distributiei bilelor. Exemplele dinparagraful 2.1 indica larga aplicabilitate a modelului privind introducerea inmodaleatorarbileinnune.Nepropunem,acuma,odiscutiepebazaacestuimodel presupunand,fireste,cafiecaredintrecelenrdistributiiposibileauprobabilitatean-r.Celemaiimportanteproprietatialeuneidistributiiparticularesuntexprimateprinnumerelede reprezentare r1, . . . , rn unde ri este numarul de bile din urna i. Avem (2.8)r1 + r2 + .... rn = r , ri > 0 ;1 s i s n . Convenimsatratambileleinideeacanuleputemdistinge.Atunci,distributialoreste completdescrisadenumereledereprezentareri,1sisn;iardouadistributiisepotdistingenumai daca n-uplele ordonate corespunzatoare (r1, . . . , rn) nu sunt identice. Un prim rezultat este continut in lema urmatoare. Lema2.2.1.Numaruldedistributiidistincte(adicanumaruldesolutiidiferiteale ecuatiei (2.8) este An rrn rnr n ,=+ |\

|.| =+ |\

|.|1 11 Numarul de distributii distincte in care nici o urna nuramane vida este rn|\

|.|11 . Demonstratie. Cazul r = 100, n = 4, a fost folosit in partea a douaa exemplului 2.1.4. Sa folosim,acum,formasimplaareprezentariicelornurneprinspatiisituateintren+1bare,iar bileleprinasteriscuri.Astfel,scrierea-------- estefolositainmodsimbolicpentruo distributiear=8bileinn=6urnecunumereledereprezentare3,1,0,0,0,4.Unasemenea simbolinmodnecesarincepesiseterminacuobara,darcelen-1barecareramansiceler asteriscuripotsaaparaintr-oordinearbitrara.Inacestfel,apareclarcanumaruldedistributii distincte este egal cu numarul de moduri in care se pot selectiona r locuri din n+ r - 1 posibilitati, adica n rr+ |\

|.|1. Pentru a doua parte a lemei se observa ca, prin conditia ca nici o urna sa nu fie vida, se impune ca doua bare sa nu fie adiacente. Cele rasteriscuri permit r-1 spatii, din care n-1 ar fi ocupate de bare. Astfel avemrn|\

|.|11posibilitati si lema este dovedita. Exemplul 2.2.4. Exista r +|\

|.|55rezultate distincte ale unei aruncari cu r zaruri identice.Exemplul 2.2.5. (Derivatii partiale).42 Derivatiilepartialedeordinulraleuneifunctiianalitice, , f x xn 1,..., denvariabilenu depinde de ordinea de derivare ci numai de numarulde ori in care apare fiecare variabila. Astfel, fiecarevariabilacorespundeuneiurnesi,deci,exista n rr+ |\

|.|1derivatepartialediferitede ordinulr.Deexempluofunctiedetreivariabileare15derivatepartialedeordinulpatrusi21 derivate partiale de ordinul cinci. Exemplul urmator ilustreaza o metoda extrem de simpla si obisnuita in rezolvarea multor probleme de analiza combinatorie. Exemplul 2.2.6. (Configuratiile a r=7 bile in n=7 urne).[Urnelearputeafiinterpretatecazilealesaptamanii,iarbilelecavizite,scrisori, accidenteetc.t.Saconsideramdistributiilecunumereledereprezentare2,2,1,1,1,0,0,care aparintr-oordinearbitrara.Aceatesaptenumeredereprezentareindicaopartitieacelorsapte urneintreisubpopulatii(categorii)constandrespectivdinceledouaocupatedecatedouabile, urmatoareletreiocupatedecateobilasiultimeledouaurnegoale.Oasemeneapartitieintrei grupedemarimi2,3si2sepoateefectuain 72!3! 2!!moduri.Fiecareiatribuiriparticularea numerelordereprezentarecelorsapteurneiicorespund 72! 2!1!1!1!0 072! 2!!! !!= distributii diferite ale celor r=7 bile in cele sapte urne. In consecinta, numarul total de distributii astfel incat numereledereprezentaresacoincidacu2,2,1,1,1,0,0,intr-oordineeste 72!3! 2!72! 2!!. Este bine de retinut ca acest rezultat a fost obtinut printr -o dubla aplicare a formulei (2.9) nr r rk!! !... !1 2 adica,atatbilelorcatsiurnelor.Bineintelescaacelasirezultatpoatefiobtinutsiscrisinmai multe moduri, dar metoda prezentata furnizeaza cea mai simpla tehnica, obisnuita pentru o mare varietatedeprobleme.Pentrucompletailustrareametodeidam,intabeluldemaijos,toate configuratiileposibilealenumerelordereprezentareincazulr n = = 7siprobabilitatile corespunzatoare. Numere de reprezentare Numarul de aranjamente egale cu7!7!impartite prin Probabilitatea (Numarul de aranjamente impartit prin 77) 1,1,1,1,1,1,17! .1!0,006120 2,1,1,1,1,1,05! . 2!0,128518 2,2,1,1,1,0,02!3!2! . 2!2!0,321295 2,2,2,1,0,0,03!3! . 2!2!2!0,107098 3,1,1,1,1,0,04!2! . 3!0,107098 3,2,1,1,0,0,02!3! . 3!2!0,214197 43 3,2,2,0,0,0,02!4! . 3!2!2!0,026775 3,3,1,0,0,0,02!4! . 3!3!0,017850 4,1,1,1,0,0,03!3! . 4!0,035699 4,2,1,0,0,0,04! . 4!2!0,026775 4,3,0,0,0,0,05! . 4!3!0,001785 5,1,1,0,0,0,02!4! . 5!0,005355 5,2,0,0,0,0,05! . 5!2!0,001071 6,1,0,0,0,0,05! . 6!0,000357 7,0,0,0,0,0,06! . 7!0,000008 Tabelul 2.4 Distributiile aleatoare a 7 bile in 7 urne Observatii.10. Am folosit mai sus termenul de populatie nu n indivizipentru a semnifica o totalitate denelementefaraaluainconsideratieordinealor.Astfel,douapopulatiisuntconsiderate diferite daca exista un element continut in una, dar nu si in cealalta. Extragand r elemente dintr-o populatiedatacunindiviziseformeazaosubpopulatiecurindivizi.Sepoatearatafara dificultate ca o populatie cu n indivizi poseda nr|\

|.| subpopulatii diferite cu r < n indivizi.20.Referitorlanumerele(2.2),numitesicoeficientimultinomialisicareseintalnesc frecvent in statistica matematica, precizam ca acestea se leaga de urmatoarea teorema:fier1, . . . ,rkintregiastfelincatr r r nk 1 2+ + + = ... .Numaruldemoduriincareopopulatiecunindivizi poatefiimpartitainkpartiordonate(adicapartitionatainksubpopulatii)dincareprima contine r1 elemente, a doua r2 elemente, etc.este nr r rk!! !... !1 2

adica tocmai (2.9). InincheiereaacestuiparagrafvomdacatevadetaliireferitorlastatisticileBose-Einstein si Fermi-Dirac, prima invocata deja la inceputul paragrafului.Ampresupusmaisus,cafiecaredintrecelenrdistributiiposibileareprobabilitatean-r. Este interesant ca faptele si experientele i-au constrans pe fizicieni sa abandoneze aceasta ipoteza si sa atribuie probabilitatile in diferite moduri. Saconsideramunsistemmecanicdinrparticulecarenusepotdistingeintreele.In mecanicastatisticaseobisnuiestesasesubimpartaspatiulfazelorintr-unnumarmare,n,de regiunimicisauceluleastfelincatfiecareparticulaesterepartizataintr-ocelula.Inacestmod, starea intregului sistem este descrisa in termenii unei distributii aleatoare a r particule in n celule. Pentrumoment,s-arparea(celputincuodefinitieadecvatacelorncelule)catoatecelenr aranjamentearaveaprobabilitatiegale.Dacaacestlucruesteadevarat,fizicieniivorbescdespre statistica Maxwell-Boltzmann (evident, termenulstatistica are aici un sens specific fizicii). S-au 44 facutnumeroaseincercaripentruadovedicaparticulelefizicesecomportapotrivitstatisticiiMaxwell-Boltzmann,darteoriilemoderneauaratat,faraindoialacaaceastastatisticanuse aplicaoricarorparticulecunoscute.Deci,inniciuncaz,nuneputemasteptacatoate aranjamentelenrsafieaproximativegalprobabile.Aufostastfelintrodusedouamodele probabiliste diferite, fiecare descriind in mod satisfacator comportarea unui tip de particule. Nici unuldintreelenuarecaracteruniversalsicum,justificareaoricaruimodeldepindedesuccesul pecare-lare,esteposibilcaintr-obunazisaseintroducaunaltreileamodelpentruanumite feluri de particule. Prinurmare,consideramrparticulenedistincteintreelesincelule.PrinstatisticaBose-Einsteinseintelegecaseconsideranumaiaranjamentedistinctesicafiecaruiaiseatribuie probabilitatea(2.10)n r 1r1+ |\

|.||| Dinmecanicastatisticasestiecaaceastapresupunereramaneadevaratapentrufotoni, nucleisiatomicarecontinunnumarpardeparticuleelementare.Pentruadescriealteparticule trebuie sa se introduca o noua posibilitate de atribuire a probabilitatilor. StatisticaFermi-Diracsebazeazapeurmatoareleipoteze:10esteimposibilcadouasau mai multe particule sa fie in aceeasi celula; 20 toate aranjamentele distincte care satisfac prima conditie au probabilitati egale. Primaipotezacerecarsn.Unaranjamentesteatunci descriscompletenuntandcaredintrecelencelulecontineoparticulasi,intrucatexistar particule,celulelecorespunzatoarepotfialesein nr|\

|.|moduri.Deci,existaintotalnr|\

|.|aranjamente posibile, fiecare avand probabilitatea nr|\

|.|1. Acest model se aplica la electroni, neutroni si protoni. Avem,prinurmare,unexempluinstructivprivitorlaimposibilitateaselectionariisau justificariimodelelorprobabilitateprindiscutiipurtateaprioriinconditiicutotulgenerale.De fapt,prinniciunrationamentpurnus-arputeaspunecafotoniisiprotoniinus-arsupune acelorasi legi de probabilitate. In concluzie, deci, putem spune ca probabilitatea ca celulele cu numarul de ordine 1, 2, 3 , ..., n sa contina r1, r2, r3, . . . , rnbile respectiv (unde r1+ r2+ r3+ . . . + rn=1) este egala cu rr r rnnr!! !... !1 2

incazulstatisticiiMaxwell-Boltzmann(estebinederetinutcastatisticaMaxwell-Boltzmann este,dealtfel,termenulfolositdefizicienipentruceeacenoinumimintroducereainmod intamplatorabilelorinurne).Aceastaprobabilitateestedatde(2.10)incazulstatisticiiBose-Einstein si este egala cu nr|\

|.|1din statistica Fermi-Dirac cu conditia ca fiecare rj sa fie egal cu 0 sau 1. 45 Exemplul 2.2.7.Fien=5,r=3.Atunciaranjamentul , ,* * * areprobabilitatea 6125135110, ,saudupa cum se considera statistica Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein sau Fermi-Dirac respectiv. Exemplul 2.2.8. Ocartecontinensimboluri(litere),dincarersunttiparitegresit.Distributiagreselilor de tipar corespunde unei distributii a r bile in n urne, nici o urna necontinand mai mult de o bila. Este,prinurmare,normalsapresupunemca,aproximativ,greseliledetiparsesupun,statisticii Fermi-Dirac . Aplicatii 2.3. Se arunca doua zaruri. Care este probabilitatea ca la o aruncare sa apara dubla (6,6) ?Solutie. Se considera campul de evenimente , , , , , , , , { } , ,, ,O O = 11 16 61 6 6 , ,..., , ,..., , ,..., , , P sisepresupunecaevenimenteleelementaresuntegalprobabile.Or,cardO=36.Caurmare, , , { } , ,P 6 6136, = .Seputeaprocedalarezolvareaacesteiproblemeconsiderandcampul{ } , ,, ,O O ' , ,... , , ' = 1 2 6 P Punde{ } , ,P i ' = 16 , asociat experientei aruncarii unui zarsi campul produs, ,, ,O O O O ' ' , ' ' , ' ' P P P . .Ca urmare,{ } , , {} , , {} , ,P P P P ' ' , ' ' == = 6 6 6 61616136 . 2.4.Searuncadouazaruri.Careesteprobabilitateacalaoaruncareambelezarurisa prezinte fete avand un numar par de puncte.Solutie. In campul , , , ,O O , , P Pconsiderat in problema precedenta, evenimentul in cauza este, , , , ,