Probabilidades: Definiciones y Conceptos

Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemtica que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cul ser en particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extraccin de una carta de un mazo de naipes. Ms adelante se ver que debemos distinguir entre los conceptos de probabilidades matemticas o clsicas de las probabilidades experimentales o estadsticas. Probabilides, Algunas Definiciones

Espacio Muestral.- Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {sale cara, sale sello} E = {c, s}.

Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6} E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es E = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}.

Al lanzar tres monedas, el espacio muestral es E = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (c,s,s), (s,c,c), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)}Evento o Suceso. Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:

1. Obtener un nmero primo A = {2, 3, 5}2. Obtener un nmero primo y par B = {2}3. Obtener un nmero mayor o igual a 5 C = {5, 6}Eventos mutuamente excluyentes.- Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultnea, esto es, si y slo si su interseccin es vaca. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado los eventos B = {2} y C = {5, 6} son mutuamente excluyentes por cuanto B C = Eventos Complementarios.- Si A B = y A B = E, se dice que A y B son eventos complementarios: Ac = B y Bc = A Su Medicin Matemtica o Clsica. Si en un experimento aleatorio todos los resultados son equiprobables (iguales probabilidades), es decir, la ocurrencia de uno es igualmente posible que la ocurrencia de cualquiera de los dems, entonces, la probabilidad de un evento A es la razn: P(A) = nmero de casos favorables para A/nmero total de casos posibles

A partir de esta definicin las probabilidades de los posibles resultados del experimento se pueden determinar a priori, es decir, sin realizar el experimento.

Se deduce de la definicin lo siguiente:0 P(A) 1 La medicin probabilstica es un nmero real entre 0 y 1, inclusive, 0% P(A) 100% en porcentaje. P() = 0 y P(E) = 1 Su Medicin Experimental o Estadstica.- La frecuencia relativa del resultado A de un experimento es la razn FR = nmero de veces que ocurre A/nmero de veces que se realiza el experimento

Si el experimento se repite un nmero grande de veces, el valor de FR se aproximar a la medicin probabilstica P del evento A. Por ejemplo, si lanzo 100 veces una moneda, el nmero de veces que obtengo cara es cercano a 50, o sea FR es cercano a 50%.Teora de la probabilidad

La teora de la probabilidad es la teora matemtica que modela los fenmenos aleatorios. Estos deben contraponerse a los fenmenos determinsticos, en los cuales el resultado de un experimento, realizado bajo condiciones determinadas, produce un resultado nico o previsible: por ejemplo, el agua calentada a 100 grados Celsius, a nivel del mar, se transforma en vapor. Un fenmeno aleatorio es aquel que, a pesar de realizarse el experimento bajo las mismas condiciones determinadas, tiene como resultados posibles un conjunto de alternativas, como el lanzamiento de un dado o de una moneda.

Los procesos reales que se modelizan como procesos aleatorios pueden no serlo realmente; cmo tirar una moneda o un dado no son procesos aleacin en sentido estricto, ya que no se reproducen exactamente las mismas condiciones iniciales que lo determinan, sino slo unas pocas. En los procesos reales que se modelizan mediante distribuciones de probabilidad corresponden a modelos complejos donde no se conocen a priori todos los parmetros que intervienen; sta es una de las razones por las cuales la estadstica, que busca determinar estos parmetros, no se reduce inmediatamente a la teora de la probabilidad en s.

Esta aproximacin axiomtica que generaliza el marco clsico de la probabilidad, la cual obedece a la regla de clculo de casos favorables sobre casos posibles, permiti la rigorizacin de muchos argumentos ya utilizados, as como el estudio de problemas fuera de los marcos clsicos. Actualmente, la teora de la probabilidad encuentra aplicacin en las ms variadas ramas del conocimiento, como puede ser la fsica (donde corresponde mencionar el desarrollo de las difusiones y el movimiento Browniano), o

Definicin clsica de probabilidad [La probabilidad es la caracterstica de un evento, que existen razones para creer que ste se realizar.

La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles igualmente probables es igual a la razn entre el nmero de ocurrencias h de dicho evento (casos favorables) y el nmero total de casos posibles n.

La probabilidad es un nmero (valor) que varia entre 0 y 1. Cuando el evento es imposible se dice que su probabilidad es 0, si el evento es cierto y siempre tiene que ocurrir su probabilidad es 1.

La probabilidad de no ocurrencia de un evento est dada por q, donde:

Sabemos que p es la probabilidad de que ocurra un evento y q es la probabilidad de que no ocurra, entonces p + q = 1

Simblicamente el espacio de resultados, que normalmente se denota por , es el espacio que consiste en todos los resultados que son posibles. Los resultados, que se denota por 1,2, etctera, son elementos del espacio .

Definicin segn la frecuencia relativa y definicin axiomtica [editar]Segn Spiegel (1) la definicin clsica de la probabilidad se define con base a s misma (igualmente factible es sinnimo de igualmente probable) se define la probabilidad estimada o emprica basada en la frecuencia relativa de aparicin de un suceso S cuando es muy grande. La probabilidad de un suceso es una medida que se escribe como

,

y mide con qu frecuencia ocurre algn suceso si se hace algn experimento indefinidamente.

La definicin anterior es complicada de representar matemticamente ya que debiera ser infinito. Otra manera de definir la probabilidad es de forma axiomtica esto estableciendo las relaciones o propiedades que existen entre los conceptos y operaciones que la componen.

Probabilidad discreta [editar]Este tipo de probabilidad, es aquel que puede tomar slo ciertos valores diferentes que son el resultado de la cuenta de alguna caracterstica de inters.

Estos Valores pueden ser de varios tipos ya sean Finitos o Infinitos, Numerables o innumerables

EJEMPLO 1: sea X el nmero de caras obtenidas al lanzar 3 veces una moneda. Aqu los valores de X son x = 0, 1, 2, 3

Como se muestra en el ejemplo 1 estos valores son Numerables, y Finitos, ya que se nos da un nmero de especifico de casos y solo nos pueden dar un nmero especifico de resultados.

Probabilidad continua [editar]Una variable aleatoria es una funcin

que da un valor numrico a cada suceso en .

Funcin de densidad [editar]Artculo principal: Funcin de densidadLa funcin de densidad, o densidad de probabilidad de una variable aleatoria, es una funcin a partir de la cual se obtiene la probabilidad de cada valor que toma la variable. Su integral en el caso de variables aleatorias continuas es la distribucin de probabilidad. En el caso de variables aleatorias discretas la distribucin de probabilidad se obtiene a travs del sumatorio de la funcin de densidad.

Probabilidad condicional [Se llama probabilidad condicional o probabilidad condicionada a la probabilidad de que un suceso se cumpla habindose cumplido ya otro. Se nota "probabilidad de A sabiendo que B se ha cumplido" de la siguiente manera:

Dicha probabilidad se calcular de la siguiente forma:

Clculo de probabilidades: nociones bsicas

La estadstica, junto con la epidemiologa, es un instrumento indispensable en el proceso de investigacin en medicina. Formalmente, se puede clasificar la estadstica en descriptiva, cuando se utiliza simplemente para la presentacin y sntesis de la informacin recogida en un estudio, e inferencial, que tiene por objetivo generalizar la informacin obtenida en una muestra a resultados vlidos para la poblacin de la que procede1. Supongamos, por ejemplo, que nos interesa comparar dos frmacos A y B y determinar cul de ellos es ms eficaz para el tratamiento de una determinada enfermedad. Para ello, se disea un estudio distribuyendo 100 enfermos en dos grupos, cada uno de los cuales recibe uno de los dos tratamientos. Al cabo de 1 mes, la tasa de curacin en cada grupo es del 80% y del 70%, respectivamente. Ante esta informacin, es correcto suponer que el tratamiento A es mejor que el tratamiento B para esta enfermedad en concreto? La respuesta a esta pregunta, como a la mayor parte de problemas que pueden plantearse en medicina, est sujeta a un cierto grado de incertidumbre que hacen muy complicado tomar una decisin al respecto. En la respuesta de un paciente al tratamiento pueden influir diversos factores, entre los que se incluye el azar, que pueden provocar una gran variabilidad en los resultados. La aplicacin de los principios de la estadstica a la clnica permite reducir y cuantificar dicha variabilidad y ayudar a la toma de decisiones. En particular, el clculo de probabilidades suministra las reglas apropiadas para cuantificar esa incertidumbre y constituye la base para la estadstica inductiva o inferencial.

El objetivo de este trabajo consiste en introducir algunos de los conceptos bsicos del clculo de probabilidades, as como las reglas necesarias para el desarrollo de la inferencia estadstica en medicina. Una exposicin ms detallada de estos y otros conceptos puede encontrarse en referencias ms especializadas2-8.

El concepto de probabilidad resulta familiar a cualquier profesional del mbito sanitario, pero una definicin ms precisa exige considerar la naturaleza matemtica de dicho concepto. La probabilidad de ocurrencia de un determinado suceso podra definirse como la proporcin de veces que ocurrira dicho suceso si se repitiese un experimento o una observacin en un nmero grande de ocasiones bajo condiciones similares. Por definicin, entonces, la probabilidad se mide por un nmero entre cero y uno: si un suceso no ocurre nunca, su probabilidad asociada es cero, mientras que si ocurriese siempre su probabilidad sera igual a uno. As, las probabilidades suelen venir expresadas como decimales, fracciones o porcentajes.

La definicin anterior de probabilidad corresponde a la conocida como definicin frecuentista. Existe otra descripcin ms formal desde el punto terico que permite definir el concepto de probabilidad mediante la verificacin de ciertos axiomas a partir de los que se deducen todas las dems propiedades del clculo de probabilidades2. En otros contextos, se ha defendido una interpretacin ms amplia del concepto de probabilidad que incluye las que podemos denominar probabilidades subjetivas o personales, mediante las cuales se expresa el grado de confianza o experiencia en una proposicin. Esta definicin constituye la base de los llamados mtodos bayesianos, que se presentan como alternativa a la estadstica tradicional centrada en el contraste de hiptesis9-11. No obstante, y en relacin con el propsito de este trabajo, bastar con considerar la definicin frecuentista anterior. As, a partir de una poblacin con N elementos, de los cuales k presentan una caracterstica A, se estimar la probabilidad de la caracterstica A como P(A) = k/N. As, por ejemplo, en una poblacin de 100 pacientes, 5 de los cuales son diabticos, la probabilidad de padecer diabetes p(Diabetes) se estimar como el cocient:e 5/100= 0.5.

Es conveniente conocer algunas de las propiedades bsicas del clculo de probabilidades:

Para un suceso A, la probabilidad de que suceda su complementario (o equivalentemente, de que no suceda A) es igual a uno menos la probabilidad de A:

donde denota al suceso contrario o suceso complementario de A.

Si un fenmeno determinado tiene dos posibles resultados A y B mutuamente excluyentes (es decir, que no pueden darse de forma simultnea, como ocurre en el lanzamiento de una moneda al aire), la probabilidad de que una de esas dos posibilidades ocurra se calcula como la suma de las dos probabilidades individuales:

(1)

La extensin de la ley aditiva anterior al caso de ms de dos sucesos mutuamente excluyentes A, B, C... indica que:

Consideremos, como ejemplo, un servicio de urologa en el que el 38,2% de los pacientes a los que se les practica una biopsia prosttica presentan una hiperplasia benigna (HB), el 18,2% prostatitis (PR) y en un 43,6% el diagnstico es de cncer (C). La probabilidad de que en un paciente que se somete a una biopsia de prstata no se confirme el diagnstico de cncer prosttico ser igual a:

Es decir, en un 56,4% de los casos se logra descartar un diagnstico maligno. De modo equivalente, la probabilidad anterior podra haberse calculado como la probabilidad del suceso contrario al del diagnstico de cncer:

Ntese la importancia del hecho de que los sucesos anteriores sean mutuamente excluyentes. Sin esta condicin, la ley de adicin no ser vlida. Por ejemplo, se sabe que en una determinada Unidad de Cuidados Intensivos (UCI) el 6,9% de los pacientes que ingresan lo hacen con una infeccin adquirida en el exterior, mientras que el 13,7% adquieren una infeccin durante su estancia en el hospital. Se conoce adems que el 1,5% de los enfermos ingresados en dicha unidad presentan una infeccin de ambos tipos. Cul ser entonces la probabilidad de que un determinado paciente presente una infeccin de cualquier tipo en UCI? Para realizar el clculo, si se suman simplemente las probabilidades individuales (0,069+0,137) la probabilidad de un suceso doble (infeccin comunitaria y nosocomial) se estar evaluando dos veces, la primera como parte de la probabilidad de padecer una infeccin comunitaria y la segunda como parte de la probabilidad de adquirir una infeccin en la UCI. Para obtener la respuesta correcta se debe restar la probabilidad del doble suceso. As:

Si un fenmeno determinado tiene dos posibles resultados A y B, la probabilidad de que una de esas dos posibilidades ocurra viene dada, en general, por la expresin:

Por lo tanto, si dos o ms sucesos no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra uno de ellos o ambos se calcula sumando las probabilidades individuales de que ocurra una de esas circunstancia, pero restando la probabilidad de que ocurra la comn.

Resulta evidente que, para el caso de procesos mutuamente excluyentes, y se obtiene (1).

En el ejemplo anterior, la probabilidad de infeccin en UCI vendr dada, por lo tanto, como:

Es decir, 19 de cada 100 enfermos registrar alguna infeccin (ya sea de tipo comunitario o nosocomial) durante su ingreso en la citada unidad.

A veces, la probabilidad de que un determinado suceso tenga lugar depende de que otro suceso se haya producido o no con anterioridad. Esto es, en ocasiones el hecho de que se produzca un determinado fenmeno puede hacer ms o menos probable la aparicin de otro. Este tipo de probabilidades se denominan probabilidades condicionadas, y se denotar por a la probabilidad condicionada del suceso A suponiendo que el suceso B haya ocurrido ya.

La ley multiplicativa de probabilidades indica que la probabilidad de que dos sucesos A y B ocurran simultneamente es igual a:

(3)

La ley multiplicativa anterior se utiliza tambin con el fin de determinar una probabilidad condicional a partir de los valores de y :

(4)

Supongamos, por ejemplo, que queremos estudiar la incidencia del hecho de ser fumador como factor de riesgo en el desarrollo de una enfermedad en una determinada poblacin. Para ello se dise un estudio prospectivo y, tras seleccionar una muestra de 180 sujetos, los resultados son los que se muestran en la Tabla 1. Considerando toda la muestra, la probabilidad de desarrollar la enfermedad (E) en la poblacin de estudio es:

Mientras que la probabilidad de padecer la enfermedad un fumador (F) es:

Y un no fumador:

Teniendo en cuenta que:

Podra haberse aplicado la frmula (4) para obtener cualquiera de las dos probabilidades condicionadas anteriores, resultando idnticos valores:

En el ejemplo, se constata por lo tanto que la incidencia de la enfermedad es diferente en la poblacin fumadora que en la no fumadora (85,7% vs 18,2%). As pues, la probabilidad de desarrollar la enfermedad depende de si se es o no fumador. En otras ocasiones, sin embargo, sucede que la ocurrencia o no de un determinado fenmeno B no influye en la ocurrencia de otro suceso A. Se dice entonces que los sucesos A y B son independientes y se verificar que:

(5)

Sustituyendo (5) en (3) se obtiene entonces que:

Es decir, en caso de independencia, la probabilidad de que ocurran dos sucesos de forma simultnea es igual al producto de las probabilidades individuales de ambos sucesos.As, dos sucesos son independientes, si el resultado de uno no tiene efecto en el otro; o si el que ocurra el primero de ellos no hace variar la probabilidad de que se de el segundo.

Obviamente, en la prctica, y debido a las variaciones en el muestreo, ser extremadamente difcil encontrar una muestra que reproduzca de forma exacta las condiciones de independencia anteriores. El determinar si las diferencias observadas son o no compatibles con la hiptesis de independencia constituye uno de los principales problemas que aborda la estadstica inferencial.

Si se considera un fenmeno con k resultados posibles, mutuamente excluyentes, B1, B2,...,Bk y se conoce la probabilidad de cada uno de ellos, el llamado Teorema de las Probabilidades Totales permite calcular la probabilidad de un suceso A a partir de las probabilidades condicionadas:

Utilizando la expresin para el clculo de la probabilidad de la interseccin de dos sucesos se tiene que y, por lo tanto:

En el ejemplo anterior, podra aplicarse este resultado para el clculo de la incidencia de la enfermedad en la poblacin de estudio:

Las leyes aditiva y multiplicativa, junto con la nocin de probabilidades condicionadas y el teorema de las probabilidades totales se han empleado para desarrollar el llamado Teorema de Bayes, de indudable inters en la aplicacin de la estadstica al campo de la medicina. Si se parte de la definicin de probabilidad condicionada (4):

siempre que y . Aplicando adems el teorema de las probabilidades totales se llega a que:

El diagnstico mdico constituye un problema tpico de aplicacin del Teorema de Bayes en el campo mdico, puesto que permite el clculo de la probabilidad de que un paciente padezca una determinada enfermedad una vez dados unos sntomas concretos. La capacidad predictiva de un test o de una prueba diagnstica suele venir dada en trminos de su sensibilidad y especificidad12. Tanto la sensibilidad como la especificidad son propiedades intrnsecas a la prueba diagnstica, y definen su validez independientemente de cul sea la prevalencia de la enfermedad en la poblacin a la cual se aplica. Sin embargo, carecen de utilidad en la prctica clnica, ya que slo proporcionan informacin acerca de la probabilidad de obtener un resultado concreto (positivo o negativo) en funcin de si un paciente est realmente enfermo o no. Por el contrario, el concepto de valores predictivos, a pesar de ser de enorme utilidad a la hora de tomar decisiones clnicas y transmitir informacin sobre el diagnstico, presenta la limitacin de que dependen en gran medida de lo frecuente que sea la enfermedad a diagnosticar en la poblacin objeto de estudio. El Teorema de Bayes permite obtener el valor predictivo asociado a un test al aplicarlo en poblaciones con ndices de prevalencia muy diferentes.

Consideremos como ejemplo un caso clnico en el que una gestante se somete a la prueba de sobrecarga oral con 50 gramos de glucosa para explorar la presencia de diabetes gestacional, obtenindose un resultado positivo. Es sabido que dicho test presenta unos valores aproximados de sensibilidad y especificidad en torno al 80% y al 87%, respectivamente. Si se conoce adems que la prevalencia de diabetes gestacional en la poblacin de procedencia es aproximadamente de un 3%, por medio del teorema de Bayes podemos conocer la probabilidad de que el diagnstico sea correcto o, equivalentemente, el valor predictivo positivo:

Se puede concluir por lo tanto que, a pesar de obtener un resultado positivo en la prueba, existe slo una probabilidad de un 15,9% de que la paciente padezca diabetes gestacional.

Supongamos que adems dicha paciente tiene ms de 40 aos de edad. Se sabe que en grupos de edad ms avanzada la prevalencia de diabetes gestacional entre las gestantes llega a aumentar hasta aproximadamente un 8%. En este caso, el valor predicativo positivo asociado vendr dado por:

En este caso las posibilidades de un diagnstico de diabetes gestacional aumentan hasta un 34,86%.

En un caso como este, en que se realiza una prueba para obtener informacin sobre un diagnstico, suele hablarse de probabilidad a priori, que es la disponible antes de realizar la prueba (la prevalencia, en este caso) y probabilidad a posteriori, que es la obtenida despus de realizarla (los valores predictivos). A su vez, se suele denominar verosimilitudes a las probabilidades de un suceso bajo distintas hiptesis. El teorema de Bayes permite as obtener los valores de las probabilidades a posteriori a partir de las probabilidades a priori mediante una multiplicacin proporcional a las verosimilitudes.

Tal y como se indic al inicio del presente artculo, la teora de la probabilidad constituye la base matemtica para la aplicacin de la estadstica inferencial en medicina. El clculo de probabilidades constituye una herramienta que permitir hacer inferencia sobre distintos parmetros poblacionales a partir de los resultados obtenidos en una muestra, y despus tomar decisiones con el mnimo riesgo de equivocacin en situaciones de incertidumbre.

Probabilidad

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teora de la probabilidad se usa extensamente en reas como la estadstica, la fsica, la matemtica, la ciencia y la filosofa para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecnica subyacente de sistemas complejos.El estudio cientfico de la probabilidad es un desarrollo moderno. Los juegos de azar muestran que ha habido un inters en cuantificar las ideas de la probabilidad durante milenios, pero las descripciones matemticas exactas de utilidad en estos problemas slo surgieron mucho despus.

Segn Richard Jeffrey, "Antes de la mitad del siglo XVII, el trmino 'probable' (en latn probable) significaba aprobable, y se aplicaba en ese sentido, unvocamente, a la opinin y a la accin. Una accin u opinin probable era una que las personas sensatas emprenderan o mantendran, en las circunstancias."[1]DISTRIBUCION DE POISSON

La Distribucin de Poisson se llama as en honor a Simen Dennis Poisson (1781-1840), francs que desarroll esta distribucin basndose en estudios efectuados en la ltima parte de su vida. La distribucin de Poisson se emplea para describir varios procesos, entre otros la distribucin de las llamadas telefnicas que llagan a un conmutador, la demanda (necesidades) de servicios en una institucin asistencial por parte de los pacientes, los arribos de los camiones y automviles a la caseta de cobro y el nmero de accidentes en un cruce. Los ejemplos citados tienen un elemento en comn, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que asume valores enteros (0,1,2,3,4,5 y as sucesivamente).

El nmero de enfermos que llegan a un consultorio en cierto intervalo de tiempo ser de 0,1,2,3,4,5 o algn otro nmero entero. De manera anloga, si se cuenta el nmero de automviles que llegan a una caseta de cobro durante un periodo de diez minutos, el nmero ser entero. Caractersticas de los procesos que producen una distribucin de la probabilidad de Poisson. El nmero de vehculos que pasan por una caseta de cobro en las horas de mayor trfico sirve como ejemplo para mostrar las caractersticas de una distribucin de probabilidad de Poisson. El promedio (media) de los arribos de vehculos por hora de gran trfico puede estimarse a partir de los datos anteriores del trfico. Si dividimos las horas de gran trfico en periodos (intervalos) de un segundo cada uno, encontraremos que los siguientes enunciados son verdaderos: a) La probabilidad de que exactamente un vehculo llegue por segundo a una caseta individual es un nmero muy pequeo y es constante para que cada intervalo de un segundo.b) La probabilidad de que dos o ms vehculos lleguen en un intervalo de un segundo es tan reducida que podemos asignarle un valor cero.c) El nmero de vehculos que llegan en determinado intervalo de un segundo es independiente del momento en que el intervalo de un segundo ocurre durante la hora de gran trfico.d) El nmero de llegadas en cualquier intervalo de un segundo no depende del nmero de arribos de cualquier otro intervalo de un segundo. Ahora bien, podemos generalizar partiendo de las cuatro condiciones que hemos descrito en este ejemplo, si estas condiciones se cumplen nos apoyaremos en una distribucin de probabilidad de Poisson para describirlos. Clculo de probabilidades mediante la distribucin de Poisson. La distribucin de Poisson, segn hemos sealado, se refiere a ciertos procesos que pueden ser descritos con una variable aleatoria discreta. La letra X suele representar esa variable y puede adems asumir valores enteros (0,1,2,3 etc..) . Utilizamos la letra X mayscula para representar la variable aleatoria y la x minscula para designar un valor especfico que puede asumir la X mayscula. La probabilidad de exactamente x ocurrencias en una distribucin de Poisson se calcula mediante la frmula: P(x) = l x * e-l / x! l x = Lambda(nmero medio de ocurrencias por intervalo de tiempo) elevada a la potencia x. e-l = e= 2.71828 elevado a la potencia de lambda negativa. x! = x factorial. Ejemplo :Supngase que estamos investigando la seguridad de un crucero muy peligroso. Los archivos de la polica indican una media de cinco accidentes por mes en l. El nmero de accidentes est distribuido conforme a la distribucin de Poisson, y la divisin de seguridad en carreteras quiere calcular la probabilidad de exactamente 0,1,2,3 y 4 accidentes en un mes determinado. Aplicando la frmula anterior: P(0) = (5)0 (e-5) /0! = 0.00674 P(1) = (5)1 (e-5) /1! = 0.03370 P(2) = (5)2 (e-5) /2! = 0.08425 P(3) = (5)3 (e-5) /3! = 0.14042 P(4) = (5)4 (e-5) /4! = 0.17552 Para saber cual es la probabilidad en 3 o menos, sumaremos las probabilidades de 0,1,2,3 lo que ser igual a :P(0) = 0.00674 P(1) = 0.03370 P(2) = 0.08425 P(3) = 0.14042 P(3 o menos) = 0.26511 Dado que la probabilidad de que haya 3 o menos accidentes es de 0.26511 entonces la probabilidad de que ocurran ms de tres debe ser = 1 0.26511 = 0.73489. La distribucin de Poisson como una aproximacin a la distribucin binomial. Algunas veces, si se desea evitar el tedioso trabajo de calcular las distribuciones binomiales, se puede usar a cambio la de Poisson, pero debe cumplir con ciertas condiciones como : n=>20p= 100 y p < 0.05 y en ese caso = np. El interes por sustituir la distribucin Binomial por una distribucin de Poisson se debe a que esta ultima depende unicamente de un solo parmetro, , y la binomial de dos, n y p.Veamos un ejemplo:Si en promedio, llegan tres pacientes por minuto al servicio de emergencia del hospital del Nio durante la hora del almuerzo. Cul es la probabilidad de que en un minuto dado, lleguen exactamente dos pacientes? Y Cul es la probabilidad de que lleguen ms de dos pacientes en un minuto dado?

Datos: = 3 pacientes por minutoP(X=2) = ? Para resolver esto utilizamos al Excel. De las funciones estadsticas, seleccionamos la funcin POISSON.

Ingresamos la informacin que tenemos: y listo, tenemos el resultado:P(X=2) = 0.2240

Para resolver la segunda parte del problema P(X>2) = ?Con el Excel encontraremos P(X 2) y hacemos el siguiente clculo:

P(X > 2 ) = 1 - P(X 2)

Utilizando nuevamente el Excel:

Entonces:P(X>2) = 1 0.4232 = 0.5768

Trabajo realizado por:

Enma Irma Alvarez Cordero

Alumna de la Maestra Salud Publica con mencin en Salud Reproductiva de la Universidad Federico Villarreal

en el curso de Estadstica dictado por el Dr. Jorge Crdova Egochea.

5) DISTRIBUCIN DE POISSON.

Caractersticas:En este tipo de experimentos los xitos buscados son expresados por unidad de rea, tiempo, pieza, etc, etc,:

- # de defectos de una tela por m2- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por da, hora, minuto, etc, etc.

- # de bacterias por cm2 de cultivo

- # de llamadas telefnicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.

- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por da, mes, etc, etc.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x xitos por unidad de tiempo, rea, o producto, la frmula a utilizar sera:

donde:

p(x, () = probabilidad de que ocurran x xitos, cuando el nmero promedio de ocurrencia de ellos es (( = media o promedio de xitos por unidad de tiempo, rea o producto

( = 2.718

x = variable que nos denota el nmero de xitos que se desea que ocurra

Hay que hacer notar que en esta distribucin el nmero de xitos que ocurren por unidad de tiempo, rea o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, as como cada rea es independiente de otra rea dada y cada producto es independiente de otro producto dado.

Ejemplos:

1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por da, cules son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un da dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos das consecutivos?

Solucin:

a) a) x = variable que nos define el nmero de cheques sin fondo que llegan al banco en un da cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.

( = 6 cheques sin fondo por da

( = 2.718

b)x= variable que nos define el nmero de cheques sin fondo que llegan al banco en dos das consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.( = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos das consecutivos

Nota: ( siempre debe de estar en funcin de x siempre o dicho de otra forma, debe hablar de lo mismo que x.

2. En la inspeccin de hojalata producida por un proceso electroltico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfeccin en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando ms una imperfeccin en 15 minutos. Solucin:

a) a) x = variable que nos define el nmero de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.

( = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata

b) b) x = variable que nos define el nmero de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.

( = 0.2 x 5 =1 imperfeccin en promedio por cada 5 minutos en la hojalata

=1-(0.367918+0.367918) = 0.26416

c) c) x = variable que nos define el nmero de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc.

( = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata

= 0.0498026 + 0.149408 = 0.1992106