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Definição de probabilidade
Vamos analisar o fenômeno aleatório lançamento deuma moeda perfeita.
Nesse caso, temos:
• = {C, C} p() = 1
• Os subconjuntos de são , {C}, { C} e {C, C}.
Assim:
p() = 0 p(C) =𝟏
𝟐p( C) =
𝟏
𝟐p(C, C) = 1
Vemos que p(A) 0, para todo A .
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2
Definição de probabilidade
Considerando A = {C} e B = { C}, vemos que:
A B = e p(A B) = p({C} { C}) = p(C, C)
= p() = 1 =1
2+
1
2= p({C}) + p({ C}) = p(A) +
p(B).
Assim, podemos teoricamente considerar
probabilidade como uma função definida nas
partes de um conjunto () com valores reais.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3
Propriedades
Podemos então definir as seguintes
propriedades:
P1: p(A) 0, para qualquer A ;
P2: p() = 1;
P3: p(A B) = p(A) + p(B), quando A B = .
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4
Consequências
Como consequências da definição de probabilidade,temos as seguintes propriedades:
• 1ª propriedade: Impossibilidade ou p() = 0
Como um evento qualquer A (A ) pode serescrito como A e como A = , podemosaplicar a propriedade P3 e temos:
p(A) = p(A ) = p(A) + p() p() = 0
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5
p() = 0
Consequências
• 2ª propriedade: Probabilidade do eventocomplementar
Observe que, sendo A a notação para“complementar de A”, temos:
A A = e A A =
Logo:
p() = p(A A )
Aplicando P2 e P3, temos:
1 = p(A) + p( A) p( A) = 1 - p(A)
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6
p( 𝐀) = 1 - p(A)
Consequências
• 3ª propriedade: Probabilidade da união
de dois eventos
Admitiremos sem justificativas que:
p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B) -
probabilidade da união de dois eventos
quaisquer.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7
p(A B) = p(A) + p(B), quando A B =
Vamos praticar...
No lançamento simultâneo de dois dados
perfeitos distinguíveis, qual é a
probabilidade de não sair soma 5?
Nesse caso, o espaço amostral tem 36
elementos:
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ...,(6, 5), (6, 6)}
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8
Vamos praticar...
Seja A o evento “sair soma 5”;
A = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)} n(A) = 4
p(A) =n(A)n()
4
36
1
9
p( A) = 1 - p(A) 1 -1
9=
9 −1
9=
𝟖
𝟗
A probabilidade de não sair soma 5 é𝟖
𝟗.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9
Vamos praticar...
Ao retirar uma carta de um baralho de 52
cartas, qual é a probabilidade de que essa
carta seja vermelha ou um ás?
Evento V: “a carta é vermelha”;
Evento A: “a carta é ás”
Evento (V A): “a carta é vermelha ou ás”
p(V A) = p(V) + p(A) – p(V A)
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 10
Vamos praticar...
Num baralho de 52 cartas, há 26 cartas vermelhas e26 cartas pretas. Há também 4 ases, dos quais 2 sãovermelhos.
Logo:
p(V) =26
52=
1
2
p(A) =4
52=
1
13
p(V A) =2
52=
1
26Assim:
p(V A) =1
2+
1
13-1
26=
14
26=
7
13
A probabilidade de a carta ser vermelha ou ás é de𝟕
𝟏𝟑.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 11
Vamos praticar...
Uma máquina produz 50 parafusos dos quais 5 eramdefeituosos. Ao pegar ao acaso 3 parafusos, qual é aprobabilidade de que:
a) Os três sejam perfeitos?
n() = 503
=50!
3!47!=
50 . 49 . 48 . 47!
3 . 2 . 47!= 50 . 49 . 8
Evento A: os três parafusos são perfeitos, como sãoperfeitos retiramos os 5 defeituosos dos 50 ecombinamos 3 a 3.
n(A) = 453
=45!
3!42!
45 . 44 . 43 . 42!
3 . 2 . 42!= 15 . 22 . 43
p(A) =15 . 22 . 43
50 . 49 . 8 0,72398 72%
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 12
Vamos praticar...
b) Os três sejam defeituosos
Evento B: os três parafusos são
defeituosos, que pode ocorrer de 53
maneiras. Logo:
n(B) = 53
=5!
3!2!=
5 . 4 . 3!
3! . 2= 10
p(B) =10
50 . 49 . 8=
1
1960 0,0005 0,05%
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 13
Vamos praticar...
c) Pelo menos um seja defeituoso?
Evento C: “pelo menos um é defeituoso”,
que é o complementar do evento A: “os três
são perfeitos” (que é o mesmo que “nenhum
é defeituoso”). Logo:
p(E) = p( A) = 1 – p(A) 1 – 0,72398
0,27602 28%
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 14
Probabilidade Condicional
Analisemos a seguinte situação:
Uma moeda é lançada três vezes. Nesse casoo espaço amostral é:
= {CCC, CC C, C CC, C C C, CCC, CC C, C CC, C C C}
Consideramos o evento A: sair caraexatamente duas vezes.
Então:
A = {CC C, C CC, CCC} p(A) =3
8
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 15
Probabilidade Condicional
Agora, consideremos que, ao ser lançada amoeda três vezes, “o resultado do primeirolançamento foi cara”. Qual é a probabilidade desair cara exatamente duas vezes?
O espaço amostral passa a ser B com:
B = {CCC, CC C, C CC, C C C} e A’ = {CC C,C CC} em que A’ = A B e a probabilidadepedida é:
p(A’) =n(A’)n(B)
=2
4=
𝟏
𝟐
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 16
Probabilidade Condicional
Observe que a probabilidade do evento “saircara em ambos os lançamentos” foi modificadapela presença do evento condicionante “oresultado do primeiro lançamento foi cara”.
Definimos:
• Evento A: exatamente dois dos trêslançamentos dão cara.
A = {CC C, C CC, CCC}
• Evento B: o primeiro lançamento dá cara.
B = {CCC, CC C, C CC, C C C}
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 17
Probabilidade Condicional
Denotamos por A/B o “evento A
condicionado ao fato de que o evento B já
ocorreu” e por p(A/B) a probabilidade
condicional de ocorrer A, tendo ocorrido B.
p(A/B) é a probabilidade de sair cara
exatamente duas vezes, tendo saído cara
no primeiro lançamento.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 18
Probabilidade Condicional
Vimos que:
p(A/B) = p(A’) =1
2Então:
p(A/B) =n(A’)n(B)
=n(A B)
n(B)Dividimos ambos os termos da fração por n() 0, temos:
p(A/B) =
n(A B)n()n(B)n()
=p(A B)
p(B)
Logo:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 19
p(A/B) = p(A B)
p(B)
p(A B) = p(A/B) . p(B)
Vamos praticar...
Uma família planejou ter 3 crianças. Qual é
a probabilidade de que a família tenha 3
homens, já que a primeira criança que
nasceu é homem?
Nesse caso, chamando M: mulher e H:
homem, temos:
= {HHH, HHM, HMM, MMM, MMH, MHH,
HMH, MHM} n() = 8
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 20
Vamos praticar...
Evento A: a família tem 3 homens A =
(HHH)
Evento B: a primeira criança é homem B
= {HHH, HHM, HMH, HMM}
A B = {HHH}; p(A B) = 1
8; p(B) =
4
8=
1
2
p(A/B) = p(A B)
p(B)=
1
81
2
= 𝟏
𝟒
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 21
Vamos praticar...
As pesquisas de opinião apontam 20% da
população é constituída de mulheres que
votam no partido X. Sabendo que 56% da
população são mulheres, qual a probabilidade
de que uma mulher selecionada ao acaso da
população toda vote no partido X?
B: pessoa escolhida mulher
A: a pessoa vota no partido X
A B: mulher que vota no partido X
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 22
Vamos praticar...
Procuramos p(A/B).
p(B) = 0,56, que é equivalente a dizer que 56%da população são mulheres.
p(A B) = 0,2, que é equivalente a dizer que20% da população são mulheres que votam nopartido X.
Portanto, p(A/B) =0,2
0,56= 0,35, que é
equivalente a dizer que 35% das mulheresvotam no partido X.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 23
Eventos Independentes
A independência de eventos é muito
importante em probabilidade. Após analisar
um exemplo, definiremos o que são
eventos independentes.
Consideremos o experimento “lançar dois
dados perfeitos de cores diferentes”. Seja A
o evento “sair o 6 no 1º dado” e B, “sair o 3
no 2º dado”.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 24
Eventos Independentes
Observemos que:
n() = 36
A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
B = {(1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)}
p(A) = 6
36=
1
6
p(B) = 6
36=
1
6
A B = (6, 3) = p(A B) = 1
36
p(B/A) = p(B A)
p(A)=
1
361
6
= 1
6
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 25
Eventos Independentes
Assim, p(B) = p(B/A) =1
6, ou seja, a
probabilidade de “sair 3 no 2º dado” não foiafetada pelo fato de “sair 6 no 1º dado”, ou,ainda a probabilidade de ocorrer B nãodependeu da ocorrência de A.
Nesse caso, dizemos que A e B sãoeventos independentes. A probabilidadede ocorrer um deles não depende do fato deter ou não ocorrido o outro.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 26
Eventos Independentes
Dessa forma, também é verdade que p(A) =p(A/B).
Assim, como p(A/B) =p(A B)
p(B), temos:
p(A B) = p(A/B) . p(B) = p(A) . p(B)
Logo, o fato de A e B serem eventosindependentes é equivalente a dizer que p(A B) = p(A) . p(B).
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 27
Eventos Independentes
Poderíamos, então, dar a definição:
Com isso, podemos afirmar que dois
eventos A e B são dependentes quando
p(A B) p(A) . p(B)
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 28
Dois eventos A e B de um espaço amostral (com p(A) 0 ep(B) 0) são independentes se, e somente se, p(A/B) = p(A),ou de modo equivalente:p(A B) = p(A) . p(B)
Vamos praticar...
Consideremos um cria de cachorros com 3
filhotes. Sejam os eventos A: obtenção de
pelo menos dois machos e B: obtenção de
pelo menos um de cada sexo. Os eventos A
e B são independentes?
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 29
Vamos praticar...
m: macho; f: fêmea
= {mmm, mmf, mfm, fmm, mff, fmf, ffm, fff}
A = {mmm, mmf, mfm, fmm} p(A) =1
2
B = {mmf, mfm, fmm, mff, fmf, ffm } p(B) =3
4
A B = {mmf, mfm, fmm} p(A B ) =3
8
Vemos que3
8=
1
2.3
4.
Como p(A B) = p(A) . p(B), temos que A e Bsão independentes.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 30
Método Binomial
• O método do produto probabilidades é
usado, por exemplo, quando se quer
saber qual a probabilidade de, numa
família, todas as crianças serem meninos
ou todas serem meninas. Se uma casal
planejou ter 4 filhos, a probabilidade de
que todos sejam meninos é:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 31
16
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Método Binomial
• Quando há mistura de sexos, por exemplo
3 meninos e 1 menina, 2 meninas, etc. e
não se especifica a ordem de ocorrência,
podemos usar o método binomial.
• Vejamos agora por meio de exemplos, no
que consiste o método binomial e quando
podemos usa-los.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 32
Método Binomial
• 1º) Consideremos uma família com duas
crianças. Se representarmos o
nascimento de um menino por M e o
nascimento de uma menina por F, temos:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 33
Método Binomial
• Como sabemos que cada nascimento é
independente de nascimentos anteriores,
temos:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 35
Método Binomial
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 36
4
1)()((MM) p²ppMpMpp
4
1
2
1
2
1)()((MF) qpFpMpp
4
1
2
1
2
1)()((FF) ² qFpFpp
4
1
2
1
2
1)()((FM) pqMpFpp
Método Binomial
• Observe que a probabilidade total é igual
a 1:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 37
14
1
4
1
4
1
4
1
Método Binomial
• Se não considerarmos a ordem em que
ocorrem os nascimentos, podemos
escrever:
• Onde p² é a probabilidade de nascerem
meninos, 2pq é a probabilidade de
nascerem 1 menino e 1 menina e q² é a
probabilidade de nascerem 2 meninas.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 38
1²2² qpqp
Método Binomial
• p² é a probabilidade de nascerem
meninos, ou seja:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 39
4
1
2
1
2
1
Método Binomial
• A probabilidade de nascerem 1 menino e
1 menina( desconsiderando a ordem) é
2pq, ou seja:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 40
2
1
2
1
2
12
Método Binomial
• A probabilidade de nascerem 2
meninas é q², ou seja:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 41
4
1
2
1
2
1
Método Binomial
• Observemos que:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 42
²12²1 qpqp
²2
221
²20
qpqp
1²1)²( qp
Método Binomial
• Em uma família, a probabilidade de
nascerem n crianças, das quais k sejam
meninos e n-k sejam meninas, é dada
por:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 43
knkqpnk
knkp
meninas) meninos, (
Método Binomial
• Quando usamos essa fórmula, dizemos
que estamos aplicando o método
binomial.
• Essa probabilidade é um termo da
expansão binomial
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 44
knkqpnk
knkp
meninas) meninos, (
nqp )(
Método Binomial
• 1º) uma casal pretende ter 5 filhos e
deseja saber qual é a probabilidade de ter:
• a) 5 meninos;
• b) 2 meninos e 3 meninas;
• c) 1 menino e 4 meninas;
• d) 3 meninos e 2 meninas
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 45
Método Binomial
• a) qual é a probabilidade de ter 5
meninos?
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 46
knkqpnk
knkp
meninas) meninos, (
Método Binomial
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 47
25151050 ²5
251
50
qpqpqp
555454353 5
554
53
qpqpqp
Método Binomial
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 48
34150 ²)!25(!2
!5
)!15(!1
!5
)!05(!0
!5qpqpqp
051423
)!55(!5
!5
)!45(!4
!5
)!35(!3
!5qpqpqp
Método Binomial
• a) qual é a probabilidade de ter 5
meninos?
;
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 50
knkqpnk
knkp
meninas) meninos, (
5p2
1p
32
1
2
15
Método Binomial
• b) qual é a probabilidade de ter 2 meninos
e 3 meninas?
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 51
knkqpnk
knkp
meninas) meninos, (
2
1 qp
16
5
2
1
2
110
32
;²10 3qp
Método Binomial
• c) qual é a probabilidade de ter 1 menino
e 4 meninas?
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 52
knkqpnk
knkp
meninas) meninos, (
2
1 qp
32
5
2
1
2
15
41
;5 41qp