Embed Size (px)
Citation preview
SUCESOS
PROBABILIDAD
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES
De utilidad para 1º y 2º de Bachillerato
Profesor: Francisco Sánchez Fernández
IES Poeta Paco Mollà
Petrer, 2001
SUCESOS
Experimento aleatorio.
Es aquel que al repetirlo en análogas condiciones, da resultados diferentes, es decir, no
se puede predecir el resultado que se va a obtener.
Ejemplos:
- Lanzar una moneda al aire y observar si sale cara o cruz.
- Sacar una carta de una baraja.
- Lanzar un dado para observar los posibles resultados de sus caras.
Espacio muestral de un experimento aleatorio.
Es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento.
Ejemplos:
El experimento consistente en lanzar dos monedas al aire y anotar los resultados
producidos tiene el siguiente espacio muestral: xxxccxccE ,,, .
El espacio muestral del experimento que consiste en lanzar un dado de quinielas
es el siguiente: 2,,1 XE
Suceso aleatorio:
Es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E.
Ejemplo:
En el experimento que consiste en lanzar una dado con las caras numeradas del 1
al 6, el espacio muestral es 6,5,4,3,2,1E y como ejemplos de sucesos tenemos:
6,4,2A que es el suceso “salir número par”
6,3B , suceso “salir múltiplo de 3”
4C
etc.
Distintos tipos de sucesos.
Sucesos elementales: Están formados por un solo elemento.
Sucesos compuestos: Están formados por dos o más elementos.
Suceso seguro: Es el que se verifica siempre. Es el propio espacio muestral.
Suceso imposible: ES el que no se verifica nunca. Se expresa por .
Ejemplo:
En el experimento anterior de lanzar un dado, tenemos:
6,5,4,3,2,1E (Suceso seguro)
6,4,2A (Suceso compuesto)
4C (suceso elemental).
El suceso imposible sería no obtener ninguno de los números que figuran en sus caras.
El conjunto de todos los sucesos de un espacio muestral recibe el nombre de espacio de
sucesos y se designa por S.
Si consideramos el experimento consistente en lanzar una moneda el espacio muestral
será xcE , y el espacio de sucesos ExcS ,,, .
Sucesos contrarios o complementarios.
Dado un suceso cualquiera A, se llama suceso contrario a que se realiza cuando no se
realiza A. Se expresa por A , A’ o bien por cA .
En el ejemplo anterior de lanzar el dado 5,3,1cA y 6,5,3,2,1cC
Nótese que la unión de un suceso y de su complementario da siempre el espacio
muestral.
Sucesos incompatibles.
Son aquellos que no se pueden verificar simultaneamente. Cuando pueden verificarse
ambos a la vez se llaman compatibles.
Si A y B son incompatibles, entonces BA
Si A y B son compatibles, entonces BA
En el experimento de lanzar un dado con las caras numeradas del 1 al 6,
- son sucesos compatibles 3,2,1A y 6,4,2B .
- son incompatibles 6,4,2P e 5,3,1I
Sistema completo de sucesos.
De una manera general, se dice que los sucesos A1, A2, A3, .......An constituyen un sistema
completo de sucesos para un determinado experimento si se verifica:
1º) EAAAA n ......321 .
2º) Los sucesos A1, A2, A3, .......An son incompatibles dos a dos.
Experimento compuesto.
Son los formados por varios experimentos simples.
Ejemplo: Lanzar un dado y una moneda.
PROBABILIDAD
Frecuencia absoluta.
Es el número de veces que se repite un suceso cuando el experimento se realiza N
veces.
Frecuencia relativa.
Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número de veces que se repite el
experimento.
Ejemplos:
Lanzamos un dado 600 veces y el suceso 2A se repite 90 veces.
La frecuencia absoluta del suceso A es 90 y la frecuencia relativa 90/600=3/20.
Ley del azar:
En un experimento, al realizar un gran número N de pruebas, la frecuencia relativa de
un cierto suceso A, tiende a estabilizarse, aproximadamente a un valor fijo, P(A), que se
llama probabilidad de A:
N
NAfAPAdeobabilida A
NN lím)(lím)( Pr .
Esta es la llamada ley de los grandes números.
Cuando lanzamos una moneda muchas veces la frecuencia relativa del suceso “salir
cara” tiende a aproximarse al valor de 0,5, decimos entonces que la 2
1cP
Definición clásica de probabilidad
La probabilidad de un suceso A, es el cociente entre el número de casos favorables al
suceso y el número de casos posibles.
posiblescasosdenúmero
fvorablescasosdenúmeroAP
)( (Regla de Laplace)
Definición axiomática de probabilidad.
La probabilidad es una función que asocia a cada suceso A, del espacio de sucesos, un
número real que representamos por P(A), que cumple las siguientes condiciones:
1º) La probabilidad de un suceso cualquiera es positiva o nula: )(AP 0
2ª) La probabilidad del suceso seguro es 1. 1)( EP
3º) Si dos sucesos A y B son incompatibles, )()()( BPAPBAP
Otras propiedades.
1.- Si dos sucesos son complementarios )(1)( APAP
2.- La probabilidad del suceso imposible es 0.
3.- Si un suceso A está contenido en otro B entonces, )()( BpAP
4.- La probabilidad de un suceso cualquiera es siempre igual o menor que 1.
5.- Si dos sucesos son compatibles, entonces )()()()( BAPBPAPBAP
Probabilidad condicionada.
Observa la siguiente tabla que representa a los empleados de una empresa:
Hombres (H) Mujeres (M)
Fuman (F) 70 10
No fuman (no F) 30 90
Si hay que elegir a uno de ellos, la elección puede realizarse bajo distintos criterios:
a) Elección sin condiciones:
2
1
200
100)( HP
2
1
200
100)( MP
b) Elección con condiciones:
8
7
80
70)/() /( FHPfumadorseaqueaHP
8
1
80
10)/() /( FMPfumadoraseaqueaMP
Estas probabilidades pueden obtenerse también de la forma siguiente:
8
7
20080
20070
)(
)()/(
FP
FHPFHP
8
1
20080
20010
)(
)()/(
FP
FMPFMP
Se llama probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A, y denotamos
por )/( ABP , al cociente )(
)(
AP
BAP
ABP
De aquí se deduce:
)/().()( ABPApBAP
)/().()( BAPBPBAP
Sucesos dependientes e independientes.
Cuando P(B/A)=P(B) se dice que A y B son sucesos independientes. En caso contrario
los sucesos se llaman dependientes.
Cuando dos sucesos son independientes se verifica que )().()( BPAPBAP . La
fórmula puede extenderse a tres o más sucesos.
Ejercicio.
Se extraen sucesivamente dos cartas de una baraja. Calcula la probabilidad de que sean
dos reyes.
Solución:
Sea R1=”sacar rey en la 1ª extracción” y R2=”sacar rey en la 2ª extracción.
Se pide la probabilidad del suceso 21 RR :
130
1
39
3.
40
4)/().()( 12121 RRPRPRRP
Teorema de la probabilidad total.
Sean A1, A2, ............,An un sistema completo de sucesos y S un suceso cualquiera. Se
tiene entonces:
)(.............)()( 21 SASASAS n
)(...............)()()( 21 SAPSAPSAPSP n
)/().(..........)/().()/().( 2211 nn ASPAPASPAPASPAP
En este tipo de probabilidad es recomendable utilizar el diagrama del árbol como se
muestra en el siguiente ejercicio:
Ejercicio.
Tenemos tres urnas. La primera contiene 4 bolas rojas y 4 negras, la segunda 3 rojas y 1
negra y la tercera 2 rojas y 4 negras. Elegimos una urna al azar y después extraemos una
bola. Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea negra.
Solución.
Las probabilidades son las que se muestran en el diagrama.
Teniendo en cuenta que hay tres caminos para llegar a la bola negra, podemos escribir:
36
17
36
836
9
2
12
1
6
1
3
2.
3
1
4
1.
3
1
2
1.
3
1)(
NP
Teorema de Bayes.
Sean A1, A2, ............,An un sistema completo de sucesos y S un suceso cualquiera. Se
tiene entonces que para cada suceso Ai se verifica:
)/().()/().()()( iiiii ASpApSApSpSApASp
)(
)/().(/(
SP
ASPAPSAP ii
i
En el ejercicio anterior, supongamos que realizamos el experimento que se indica y la
bola extraída ha resultado roja. Calcula la probabilidad de que proceda de la 1ª urna.
Para resolver el problema hemos de calcular, en primer lugar, la probabilidad de obtener
bola roja por un procedimiento análogo al utilizado para obtener bola negra, es decir,
36
19
36
496
9
2
4
1
6
1
3
1.
3
1
4
3.
3
1
2
1.
3
1)(
RP
Entonces resulta: 19
6
6.19
36
3619
61
3619
21.
31
)(
)/().()/( 11
1 RP
ARPAPRAP
Ejercicios resueltos. 1.- En un hospital hay 10 enfermos: 3 neuróticos, 5 psicópatas y 2 esquizofrénicos. Se
eligen tres enfermos al azar.
a) Halla la probabilidad de que los tres tengan enfermedad distinta.
b) Halla la probabilidad de que los tres tengan la misma enfermedad.
Solución:
a) posibles casos de número
favorables casos de númeropedida probab.
Los casos posibles son las distintas formas de elegir 3 enfermos entre un conjunto de
10, es decir,
1201.2.3
8.9.10
3
10
Para los casos favorables hemos de escoger 1 enfermo neurótico entre un conjunto de 3,
1 enfermo psicópata entre un conjunto de 5 y 1 enfermo esquizofrénico entre un
conjunto de 2, es decir,
302.5.31
2.
1
5.
1
3
La probabilidad de que los tres enfermos tengan distinta enfermedad es:
25,04
1
120
30p
b) La probabilidad de que los tres tengan la misma enfermedad es lo mismo que
calcular la probabilidad de que los tres sean neuróticos o los tres sean psicópatas o
los tres sean esquizofrénicos. Esta última no es posible puesto que sólo hay dos, por
tanto,
0916,0
3
10
3
5
3
10
3
3
)enfermedad misma la tengan treslos que de(
p
Recuerda como se calcula un número combinatorio:
1) allegar (hasta
numerador) elen factoresn tener hasta(
).....2)(1(
)......2)(1(
nnn
mmm
n
m
O bien, )!!.(
!
nmn
m
n
m
(Forma muy útil para hacerlo con calculadora y cuando los
números son grandes)
2.- ¿Cuál es la probabilidad de no coger ningún doble al seleccionar al azar 3 fichas de
un dominó?
Solución:
El dominó tiene 28 fichas, de las cuales 7 son dobles, por tanto,
Los casos favorables son: 13301.2.3
19.20.21
3
21
Los casos posibles son: 32761.2.3
26.27.28
3
28
Si llamamos A al suceso “no coger ningún doble”, resulta:
406,03276
1330)( Ap
3.- Un examen consta de 2 pruebas que hay que superar para aprobar. Sabemos que la
probabilidad de pasar la 1ª prueba es 0,6 y la de pasar la 2ª es 0,7.
a.- Cuál es la probabilidad de aprobar el examen?
b.- Calcula la probabilidad de suspender el examen en la segunda prueba.
Solución:
El camino que nos lleva a la meta “Ha superado las dos pruebas” se obtiene
multiplicando las probabilidades, es decir, P(aprobar el examen)=(0,6).(0,7)=0,42
El camino para llegar a la meta “Ha superado la 1ª prueba pero la 2ª no” se resuelve de
la misma manera, es decir,
P(superar la primera prueba pero la 2ª no)=(0,6).(0,3)=0,18
Otra manera:
Sea A el suceso “pasar la 1ª prueba” y B el suceso “pasar la 2ª prueba”
Se cumple entonces que 6,0)( Ap ; 4,0)( Ap ; 7,0)( Bp ; 3,0)( Bp
p(aprobar el examen)= 42,0)7,0).(6,0()().()( BpApBAp
p(superar la primera prueba pero no la
segunda)= 18,0)3,0).(6,0()().()( BpApBAp
p(pasar la 1ª prueba)=0,6
p(no pasar la 1ª prueba)=0,4
P(pasar la 2ª prueba)=0,7
P(no pasar la 2ª prueba)=0,3
Ha superado las
dos pruebas
Ha
superado
la 1ª
prueba
pero la 2ª
no
4.- La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es de 0,6, la de que apruebe
Lengua es 0,5 y la de apruebe las dos 0,3. Se elige un alumno al azar, calcula las
siguientes probabilidades:
a) Probabilidad de que apruebe al menos una asignatura.
b) Probabilidad de que no apruebe ninguna.
Solución:
Sea M el suceso “aprueba Matemáticas” y L el suceso “aprueba Lengua”
p(apruebe al menos una
asig.)= 8,03,05,06,0)()()()( LMpLpMpLMp
El suceso contrario de aprobar al menos una asignatura es no aprobar ninguna, por
tanto,
p(no apruebe ninguna)= 2,08,01)(1) LMpLM
Ejercicios propuestos. 1.- En un examen de Física, un alumno sólo ha estudiado 15 temas de los 25 que
contiene el cuestionario. El examen consiste en contestar dos temas extraídos al azar del
total de temas del cuestionario. Halla la probabilidad de que el alumno sepa los dos
temas que le han tocado.
(Solución: 0,35)
2.- Se tiene una bolsa con 10 bolas rojas y 6 negras, de la que se extraen dos bolas.
Halla la probabilidad de que ambas sean negras.
a) Con devolución a la bolsa de la 1ª bola extraída.
b) Sin devolución.
(Solución: 9/64; 1/8 )
3.- Un ratón huye de un gato. Puede escapar por los callejones A, B y C. La
probabilidad de que el ratón huya por el callejón A es 0,3 que lo haga por el B 0,5 y por
el C 0,2.
Si huye por A la probabilidad de ser alcanzado por el gato es 0,4.
Si lo hace por B hay una probabilidad de ser cazado de 0,6
Finalmente, si huye por el callejón C la probabilidad es 0,1.
Calcula la probabilidad de que el gato alcance al ratón.
Supongamos que el ratón ha sido cazado por el gato. Calcula la probabilidad de que
haya huido por el callejón B.
(Solución: 0,44; 0,68 )
4.- ¿Cuántas apuestas habría que rellenar para acertar los 6 números de la lotería
primitiva?. Si cada apuesta vale 150 pts, ¿cuánto nos costaría?.
(Solución: 13.983.816 apuestas; 2,0975724.109 pts. )
A L
5.- En un sorteo hay 20 papeletas y 5 están premiadas. Si se compran dos papeletas,
¿cuál es la probabilidad de que ambas tengan premio? (Solución: 1/19 )
6.- Halla la probabilidad de un suceso A sabiendo que la suma de su cuadrado y del
cuadrado de la probabilidad del suceso contrario es 5/9
(Solución: 2/3, o también 1/3)
7.- De los sucesos A y B se sabe que p(A) = 0,4; p(B) = 0,5 y 3,0)( BAp .
Halla )( BAp y )( BAp
Indicación: Aplica la propiedad: )( BABA
(Sol. 0,7 y 0,2)
8.- Se consideran dos sucesos A y B asociados a un experimento aleatorio con p(A) =
0,7, p(B) = 0,6 y 58,0)( BAp . Estudia si son independientes A y B.
Indicación: Aplica la propiedad )( BABA
9.-La probabilidad de que un hombre fume es 0,6 y la de que una mujer sea fumadora es
0,3. En una fábrica hay un 75 % de hombre y un 25 % de mujeres. Tomamos una
persona al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que fume?
Una persona desconocida ha dejado un cigarrillo encendido y se ha producido un
pequeño incendio. ¿Cuál es la probabilidad de que el causante fuera un hombre?. ( Sol. 0,525; 0,857 )
10.- Un avión tiene 5 bombas. Se desea destruir un puente. La probabilidad de destruirlo
de un bombazo es 1/5. ¿Cuál es la probabilidad de que se destruya el puente si se lanzan
las cinco bombas? ( Sol. 0,67232 )
11- En un cierto país, los ascensos de barrendero a jefe de escoba son muy disputados.
Se puede acceder por tres conductos: por oposición, por concurso de méritos o por
enchufe con el ministro de Limpieza Pública.
La probabilidad de que un opositor alcance la plaza es de 0,2.
La probabilidad de que se obtenga la plaza si se concurso es o,8.
Todos los enchufados del ministro de Limpieza Pública consiguen puesto.
Sabiendo que los aspirantes a jefes de escoba se reparten del siguiente modo: 70 % son
opositores; 25 % concursan; 5 % consiguen el enchufe, calcular:
a) ¿Cuántos de los 2730 jefes de escoba del país consiguieron el ascenso por enchufe?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cierto jefe de escoba alcance la plaza por
oposición?
(Sol. 350; 0,358)
12.- Sean A y B dos sucesos tales que p(A)=1/2, p(B)=3/5.
Probar que si 5
4)( BAp entonces A y B son independientes.
13.- Un hombre y una mujer de la misma edad se casan a los 20 años. Las
probabilidades de que lleguen a los 70 años son 0,76 para el hombre y 0,82 para la
mujer.
Se pregunta cuál es la probabilidad de que a los 70 años:
a) Ambos estén vivos
b) No viva ninguno.
c) Viva solamente la mujer.
d) Viva al menos uno de los dos. (Sol. 0,6232; 0,0432; 0,1968; 0,9568)
14.- Dos sucesos A y B verifican: ;3,0)( BAp 4,0)( cAp y 5,0)( cBp
Halla )( BAp y )/( BAp
(Sol. 0,8; 3/5)
.15.- Laura y Javier se reparten los ejercicios que les ha propuesto su profesora. Laura se
queda con el 45 % y Javier con el resto. Por otro lado, sabemos que Laura resuelve
incorrectamente un 10 % de los ejercicios que intenta y Javier, un 8 %.
a) Halla la probabilidad de que al elegir la profesora un ejercicio al azar, esté
mal resuelto.
b) Halla la probabilidad de que al elegir la profesora un ejercicio al azar, halla
sido hecho por Javier, sabiendo que está mal resuelto.
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Concepto de variable aleatoria.
Se llama variable aleatoria a toda aplicación que asocia a cada elemento del espacio
muestral de un experimento, un número real.
Ejemplo:
Sea el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. El espacio muestral será:
xxxxxcxcxcxxxcccxcccxcccE ,,,,,,,
Si a cada elemento de E le hacemos corresponder, por ejemplo, el número de caras,
hemos definido una variable aleatoria.
2ccx 1; xxc2; xcc;3ccc
1 xcx2;cxc 0; xxx1;cxx
Se utilizan letras mayúsculas para designar las v.a. y sus respectivas letras minúsculas
para los valores concretos de las mismas.
Variable aleatoria discreta.
Es la que solo puede tomar determinados valores.
La variable aleatoria número de caras en el lanzamiento de tres monedas sólo puede
tomar los valores 0, 1, 2 y 3. (Es discreta).
La variable aleatoria suma de las caras superiores en el lanzamiento de dos dados puede
tomar solamente los valores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12. (Es también discreta)
Función de probabilidad de una v.a. discreta.
Es la aplicación que asocia a cada valor x de la v.a. X su probabilidad p.
Los valores que toma una v.a. discreta X y sus correspondientes probabilidades suelen
disponerse en una tabla con dos filas o dos columnas llamada tabla de distribución de
probabilidad:
X n321 x x xx
)( ixXP npppp 321
En toda función de probabilidad se verifica que 1 321 npppp
Ejemplo: La v.a. “número de caras en el lanzamiento de tres monedas” tiene la siguiente
función de probabilidad:
Nº de caras 0 1 2 3
f(x)= )( ixXP 8
1 8
3 8
3 8
1
Función de distribución de una v.a. discreta.
Sea X una v.a. cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor.
Se llama función de distribución de la variable X a la función que asocia a cada valor de
la v.a. la probabilidad acumulada hasta ese valor, es decir, )()( xXpxF
Media, varianza y desviación típica de una variable aleatoria discreta.
Se llama de una v.a. discreta X, que toma los valores nxxxx ........,, 321 con
probabilidades npppp ............,, 321 al valor de la siguiente expresión: ii px .
La varianza viene dada por la siguiente fórmula:
222 . ii px , bien ii px .)( 22
La desviación típica es la raiz cuadrada de la varianza.
Ejercicio.
La distribución de probabilidad de una v.a. X viene dada por la siguiente tabla:
xi 5 4 3 2 1
pi 0,1 0,3 0,2 0,3
¿Cuánto vale p(X=3)
Calcula la media y la varianza.
Solución:
La suma de todas las probabilidades es 1, por tanto,
13,02,0)3(3,01,0 Xp luego p(X=3)=0,1
Formamos la siguiente tabla:
ix ip ii px . ii px .2
1
2
3
4
5
0,1
0,3
0,1
0,2
0,3
0,1
0,6
0,3
0,8
1,5
0,1
1,2
0,9
3,2
7,5
3,35,18,03,06,01,0. ii px
01,2)3,3(9,12. 2222 ii px
Experimento de Bernoulli
Es un experimento que tiene las siguientes características:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso ha
llamado A llamado éxito y el suceso A llamado fracaso.
2. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados anteriores.
3. La probabilidad del suceso A es constante y no varía de unas pruebas a otras.
La distribución de probabilidad de este experimento recibe el nombre de distribución
binomial de parámetros n y p
n es el número de pruebas del experimento y p es la probabilidad del éxito.
Si representamos por X la variable aleatoria binomial que representa el número de
éxitos obtenidos en las n del experimento, podemos escribir:
p(obtener r éxitos )=p(X=r)= rnr ppr
n
)1.(
Esta expresión recibe el nombre de función de probabilidad de una distribución
binomial o de Bernoulli.
Dado que en este tipo de experiencias los cálculos pueden ser laboriosos, se han
construido unas tablas que nos proporcionan la probabilidad de que la variable X tome
distintos valores, según los distintos valores de n y r.
Media y varianza de una distribución binomial.
Media: pn.
Varianza: 1 ;..2 pqqpn
Desviación típica: qpn ..
Ejercicios resueltos.
1.- Calcula la probabilidad de que una familia que tiene 4 hijos, 3 de ellos sean varones.
Solución: Se trata de un experimento de Bernoulli donde n=4 y p=1/2
p(obtener 3 varones)=P(X=3)=4
15,0.5.0.
3
413
Recuerda:
3
4 es un número combinatorio cuyo valor se obtiene así:
1.2.3
2.3.4
3
4
En general
)!!.(
!
.12).....3.2-1).(n-n.(n
numerador elen factores )......2).(1.(
nmn
mntenerhastammm
n
m
2.- Se tiene una moneda trucada de modo que la probabilidad de sacar cara es cuatro
veces la de sacar cruz. Se lanza 6 veces la moneda. Calcula las siguientes
probabilidades:
Obtener dos veces cruz.
Obtener a lo sumo dos veces cruz.
Solución:
Calculamos en primer lugar la probabilidad de cara y de cruz:
p(cara)+p(cruz)=1. Si llamamos x a la probabilidad de sacar cruz, podemos escribir:
4x+x=1; 5x=1; x=0,2
Así resulta: p(cruz)=0,2 y p(cara)=0,8
Es una distribución binomial de parámetros n=6 y p=0,2
Probabilidad de obtener dos veces cruz:
24,0)4096,0).(04,0.(15)8,0.()2,0.(2
6)2( 42
Xp
Probabilidad de obtener a lo sumo dos veces cruz:
)2()1()0()2( XpXpXpXp
= 90,0)8.0.()2.0.(2
6)8,0.()2,0.(
1
6)8,0.()2,0.(
0
6425160
3.- La probabilidad de que un alumno de 1º de Bachillerato repita curso es de 0,3.
Elegimos 20 alumnos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 4
alumnos repetidores?
Solución:
Se trata de una binomial de parámetros 20 y 0,3, es decir, B(20; 0,3)
Si X es el número de alumnos que repiten,
13,07,0.3,0.!16!.4
!207,0.3,0.
4
20)4( 164164
Xp
4.- Calcula la esperanza matemática, la varianza y la desviación típica de la variable
aleatoria X, cuya función de probabilidad viene dada por la siguiente tabla:
xi -4 -1 2 5
)( ixXp 0,1 0,5 0,3 0,1
Solución:
La esperanza matemática es la media: 2,01,0.53,0.25,0).1(1,0).4(
76,52,01,0.53,0.25,0.)1(1,0.)4(. 22222222 ii px
4,276,5
5.- Sea la siguiente función de probabilidad:
xi 1 3 5 7 9
pi 0,2 0,2 0,4 0,1 0,1
Escribe la función de distribución y calcula: )5( Xp y )73( Xp
Solución:
xi 1 3 5 7 9
F(x)=P(X ≤ xi) 0,2 0,4 0,8 0,9 1
8,0)5( Xp ; )7()5()3()7( XpXpXpXp
7,01,04,02,0
Ejercicios propuestos.
1.- La probabilidad de que un reloj salga de fábrica defectuoso es del 4 %. Halla:
a) El número de relojes defectuosos esperados en un lote de 1000
b) La varianza y la desviación típica.
( Solución: 40 y 6,19)
2.- Una determinada raza de perros tiene 4 cachorros en cada camada. Si la probabilidad
de que un cachorro sea macho es de 0,55, se pide:
a) La probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembras
b) Probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras.
(Solución: 0,3675; 0,609 )
3.- Considera una variable aleatoria discreta X cuya distribución de probabilidad es la
siguiente:
xi 1 2 3
P(X = xi) k 0,45 k
a) Calcula el valor de k
b) Halla la función de probabilidad
c) Halla la función de distribución F.
Solución
k = 0,275.
Función de probabilidad:
xi 1 2 3
f(x)=P(X = xi) 0,275 0,45 0,275
Función de distribución:
xi 1 2 3
F(x)=P(X ≤ xi) 0,275 0,725 1
4.- Considera una variable aleatoria X cuya función de probabilidad viene dada por la
siguiente tabla:
x -25 -10 0 5
f(x) a 2a 3a 4a
a) Deduce el valor de a.
b) Halla la función de distribución F
c) Calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica.
Solución: a) 0,1; c) –2,5; 86,25; 9,29
5.- La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de arquitecto es 0,3. Calcula la
probabilidad de que un grupo de 7 estudiantes matriculados en primer curso:
a) Ninguno de los 7 finalice la carrera.
b) Finalicen los 7.
c) Al menos 2 acaben la carrera.
d) Sólo finalice uno la carrera.
Solución: 0,082; 0,00021; 0,671; 0,2471
6.- El 20 % de los tornillos de un gran lote so defectuosos. Se cogen tres tornillos al
azar y se pide calcular razonadamente:
a) La probabilidad de que los tres sean defectuosos.
b) La probabilidad de que ninguno sea defectuoso.
c) La probabilidad de que solamente uno sea defectuoso.
(Propuesto en Selectividad, Alicante, septiembre de 2001)
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA.
DISTRIBUCIÓN NORMAL.
Conocimientos previos
CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA.
Para hallar el área del recinto limitado por la curva f(x), el eje de abscisas y las rectas x=a y x=b, se utiliza
la siguiente fórmula:
b
adxxfArea )(
que recibe el nombre de integral definida de f entre los límites a y b
y se lee “integral entre a y b de f(x)”.
La integración es la operación inversa de la derivación.
Por ejemplo, si nxxf )( , la fórmula anterior se resuelve de la siguiente forma:
b
a
nb
a
n
n
xdxx
1
1
Primero se sustituye la x por b y al resultado obtenido le llamaremos F(b).
Después se sustituye la x por a y al resultado obtenido le llamaremos F(a)
Finalmente restamos los resultados, es decir,
)()( aFbFdxxb
a
n
Ejercicio:
Resuelve la siguiente integral definida: 3
1
2 )32( dxxx
Solución:
)1()3(33
)32(
3
1
23
3
1
2 FFxxx
dxxx
9999)3( F 3
531
3
1)1( F
luego 3
32
3
59)
3
5(9)32(
3
1
2 dxxx
Cuando se calculan áreas los resultados se toman en valor absoluto.
Variable aleatoria continua.
Es aquella que puede tomar infinitos valores dentro de un intervalo de la recta real. Por
ejemplo, la duración de las bombillas de una determinada marca y modelo.
En el caso de variables aleatorias continuas no tiene sentido plantearse probabilidades
de resultados aislados, por ejemplo, probabilidad de que una bombilla dure 100 horas,
22 minutos y 16 segundos. La probabilidad sería 0.
El interés de estas probabilidades está en conocer la probabilidad correspondiente a un
intervalo. Dicha probabilidad se conoce mediante una curva llamada función de
densidad y suponiendo que bajo dicha curva hay un área de una unidad.
Conociendo esta curva, basta calcular el área correspondiente para conocer la
probabilidad de un intervalo cualquiera.
La función de densidad de una v.a. continua cumple las siguientes condiciones:
Sólo puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1: 1)(0 xf
El área encerrada bajo la curva es igual a la unidad: 1).(
dxxf .
Ejercicio:
Sea 6,0con 18
)( xx
xf . Comprueba que es una función de densidad y calcula
)52( xp
Solución:
Para que sea función de densidad 6
0 18dx
x tiene que valer 1. Veamos:
102
36
18
1
218
1
18
6
0
26
0
xdx
x
12
7
36
21
2
4
2
25
18
1
218
1
18)52(
5
2
25
2
xdx
xxp
Función de distribución.
Como en el caso de la v.a. discreta, la función de distribución proporciona la
probabilidad acumulada hasta un determinado valor de la variable, es decir,
)()( xXpxF .
Cumple las siguientes condiciones:
Su valor es cero para todos los puntos situados a la izquierda del menor valor
de la variable.
Su valor es 1 para todos los puntos situados a la derecha del mayor valor de
la variable.
Media y varianza de una v.a. continua.
Existe cierta correspondencia entre la variable aleatoria discreta y la continua:
Variable aleatoria discreta Variable aleatoria continua
ii px .
b
adxxfx ).(.
222 ii px
b
adxxfx 222 )(
Lo que es pasa a ser y lo que es ip pasa a ser )(xf
Ejercicio 1.
La función de densidad de una v.a. continua viene definida por :
resto elen 0
1x0 si 2)(
xxf
a) Halla la función de distribución.
b) Calcula la media y la varianza.
Solución:
a) La función de distribución se obtiene integrando la función de densidad, es decir,
A la izquierda de 0, su valor 0.
A la derecha de 1, su valor es 1
Entre 0 y 1: 2
0
2
02)()( xxxdxxXpxF
xx
es decir,
1 xpara 1
1x0 si x
0 xsi 0
)( 2xF
b) Cálculo de la media: 3
2.2.).(.
1
0 dxxxdxxfx
b
a
Cálculo de la varianza: 18
1
9
4.2.)(
1
0
2222 dxxxdxxfxb
a
Ejercicio 2.
Calcula la media, la varianza y la desviación típica de una v.a. que tiene como función
de densidad: 5,1con 24
3)(
x
xxf
Solución:
Media:
9
29
2
3
324
1)3(
24
1
24
3.).(.
5
1
235
1
2 xxdxxxdx
xxdxxfx
b
a
Varianza:
5
1
2
235
1
2
2222
9
29)3(
24
1
9
29
24
3)( dxxxdx
xxdxxfx
b
a
28,181
104
9
29
424
125
1
34
x
x.
Desviación típica: 13,128,1
Ejercicio 3.
Sea 5,2con 36
1)(
2
xx
xf , una función de densidad.
a) Calcula su función de distribución.
b) Calcula )43( xp .
Solución:
a) 108
23)
3(
36
1)1(
36
1
36
1)()(
3
2
3
2
2
2
2
xxxxdxxdx
xxXpxF
xxx
Su valor es cero para todos los puntos situados a la izquierda de 2
Su valor es 1 para todos los puntos situados a la derecha de 5
b) 54
17
3
3
36
1
336
1)1(
36
1
36
1)43(
4
3
34
3
34
3
24
3
2
xxx
xdxxdx
xxp
Distribución normal.
Hay muchas v.a. continuas cuya función de densidad tiene forma de campana.
Ejemplos:
- La variable peso en una población de personas de la misma edad y sexo.
- La variable altura de la población citada.
- etc.
Se dice que estas variables tienen una distribución normal y la función de densidad
recibe el nombre de curva normal o campana de Gauss.
Para expresar que una v.a. continua X, tiene una distribución normal de media y
desviación típica , escribimos ),( N .
Representación gráfica de la función de
densidad de una distribución normal.
Distribución normal estándar.
De las infinitas distribuciones ),( N , tiene especial interés la de media 0 y
desviación típica 1, es decir, )1,0(N . Esta distribución recibe el nombre de estandar o
reducida
Existen unas tablas que permiten calcular probabilidades en distribuciones normales
reducidas. Por ello es aconsejable transformar cualquier v.a. X que sigue que sigue una
distribución ),( N en otra variable Z que siga una distribución N(0,1).
El cambio de variable que es necesario hacer es el siguiente:
XZ
Cálculo de probabilidades en distribuciones normales reducidas.
Sea Z una variable que sigue una distribución normal N(0,1).
Vamos algunos ejemplos que nos permiten calcular determinadas probabilidades en las
tablas:
a) )23,1( Zp
La probabilidad pedida se encuentra directamente en las tablas. Basta buscar 1,2 en la
columna y 0,03 en la fila. Su intersección nos da la probabilidad.
b) )24,1( Zp
En este caso la probabilidad pedida no está en las tablas. Sin embargo, si tenemos en
cuenta que el área total bajo la gráfica ha de ser 1, deducimos de la figura que:
1075,08925,01)24,1(1)24,1( ZpZp .
c) )72,0( Zp
Como la gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas, )72,0()72,0( ZpZp
y ya estamos en el caso anterior. Comprueba que el resultado final es 0,2358.
d) )76,15,0( Zp
Observando la figura se deduce que
2693,06915,09608,0)5,0()76,1()76,15,0( ZpZpZp
Ejercicio 4
El peso de los individuos de una población se distribuye normalmente con media de 70
Kg. y desviación típica 6 Kg. De una población de 2000 personas, calcula cuántas
tendrán un peso comprendido entre 64 y 76 Kg.
Solución:
Se trata de una distribución N(70,6)
)1()1()11(6
7076
6
7064)7664(
ZpZpZpZpXp
8413,0)1( Zp (directamente en las tablas)
8413,01)1(1)1()1( ZpZpZp .
Por tanto, 6825,08413,018413,0)8413,01(8413,0)7664( Xp
Esto significa que el 68,25 % de las personas pesan entre 64 y 76 Kg..
Como hay 2000 personas, calculamos el 68,25% de 2000 y obtenemos 1365 personas.
Ejercicio 5.
La duración media de un lavavajillas es de 15 años y su desviación típica 0,5. Sabiendo
que su vida útil se distribuye normalmente, halla la probabilidad de que al adquirir un
lavavajillas dure más de 15 años.
Solución:
Es una distribución normal de media 15 y desviación típica 0,5, es decir, N(15; 0,5).
5,0)0()0()5,0
1515()15(
ZpZpZpXp
Ejercicio 6.
La nota media de las pruebas de acceso correspondientes a los estudiantes que querían
ingresar en una facultad era 5,8 y la desviación típica 1,75. Fueron admitidos los de nota
superior a 6.
a) ¿Cuál fue el porcentaje de admitidos si la distribución es normal?
b) ¿Con qué probabilidad exactamente cuatro de diez estudiantes son admitidos?
Solución:
Apartado a):
%62,454562,054381)11,0(1)11,0()75,1
8,56()6(
ZpZpZpXp
Apartado b):
Es una distribución binomial de parámetros n=10 y p=0,4562
p(obtener r éxitos )=p(X = r)=
= rnr ppr
n
)1.( =
64 )4562,01()4562,0(
4
10)4(Xp
235,0)5438,0()4562,0(1.2.3.4
7.8.9.10 64
Aproximación de la distribución binomial mediante la normal. (Corrección de Yates)
Cuando n es grande y p está próximo a 0,5 el comportamiento de una distribución
binomial B(n, p) es aproximadamente igual a una distribución normal, ),( npqnpN
Esto permite sustituir el estudio de una ),( pnB por el de una ),( npqnpN .
Suele considerarse que la aproximación es buena cuando np>5 y nq>5
Dado que por mucho que se parezca nunca es igual una binomial que una normal, es
necesario aplicar en el cálculo de probabilidades un ajuste que recibe el nombre de
corrección de Yates.
Si X es la binomial y X’ la normal, la corrección consiste en lo siguiente:
2
1
2
1)( rXrprXp
(Se asocia un intervalo unidad centrado en el punto)
2
1
2
1)( bXapbXap
(se alarga el intervalo ½ por la izquierda y ½ por la derecha.)
Para valores de n mayores de 1.000 se puede suprimir la corrección.
Ejercicio 7.
Se lanza una moneda correcta al aire 400 veces. Calcula la probabilidad de obtener un
número de caras comprendido entre 180 y 210, ambos inclusive.
Solución:
Calculamos la media y la desviación típica de la distribución binomial:
2002
1.400 np ; 10
2
1.
2
1.400 npq . Por tanto,
10
2005,210
10
2005,179)5,2105,179()210180( ZpXpXp
)05,2()05,1()05,105,2( ZpZpZp
pero 8531,0)05,1( Zp
y 0202,09798,01)05,2(1)05,2()05,2( ZpZpZp
luego 8329,00202,08531,0)210180( Xp
Ejercicio 8.
Un tirador acierta en el blanco en el 70% de los tiros. Si el tirador participa en una
competición y tira 25 veces, ¿cuál es la probabilidad de que acierte más de 10 tiros?
Solución:
Es una distribución B(25; 0,7) que podemos aproximar a través de la normal:
55,73,0.25.
55,177,0.25.
qn
pn
La aproximación será buena.
29,23,0.7,0.25 npq
)06,3(
29,2
5,175,10)5,10()11()10( ZpZpXpXpXp
9998,0)06,3( Zp
Ejercicios propuestos.
1.- Un profesor de matemáticas ha observado que las notas obtenidas por sus alumnos
en los exámenes de Estadística siguen una distribución N(6; 2,5).
Se han presentado al último examen 32 alumnos, ¿cuántos sacaron al menos un 7?.
( Sol. 11 )
2.- Una empresa lleva a cabo una prueba para seleccionar nuevos empleados. Por la
experiencia de pruebas anteriores, se sabe que las puntuaciones siguen una distribución
normal de media 80 y desviación típica 25.
¿Qué porcentaje de candidatos obtendrá entre 75 y 100 puntos?
(Sol. 36,74% )
3- Calcula el valor de k para que la función kxxf 5
1)( si 10 ,0x sea función de
densidad.
Obtenido el valor de k, calcula la media y la desviación típica de la distribución.
( Sol. k = 1/50 ; media = 3,33; desviación típica = 2,36 )
4.- El peso de los toros de una determinada ganadería se distribuye normalmente con
una media de 500 Kg. y 45 Kg. de desviación típica. Si la ganadería tiene 2000 toros,
a) Cuántos pesarán más de 540 Kg.?
b) Cuántos pesarán menos de 480 Kg.?
c) Cuántos pesarán entre 490 y 510 Kg.?
( Sol. 373; 660; 348 )
5.- Una de las pruebas de acceso a la Universidad para mayores de 25 años consiste en
un test con 100 preguntas, cada una de las cuales tiene 4 posibles respuestas y sólo una
correcta. Para superar esta prueba deben obtenerse, al menos, 30 respuestas correctas.
Si una persona contesta al azar, ¿cuál es el número esperado de respuestas correctas?.
¿Qué probabilidad tendrá de superar la prueba?
(Sol. 25; Utilizando la aproximación a través de la normal: p= 0,1492)
6.- Después de realizar varios sondeos sobre una población con escasa cultura, se ha
conseguido averiguar que únicamente el 15 % de la misma es favorable a los
tratamientos de psicoterapia. Elegida al azar una muestra de 50 personas de dicha
población, se desea saber:
a) La probabilidad de que haya más de 5 personas favorables a dichos tratamientos.
b) La probabilidad de que a lo sumo haya 6 personas favorables.
(Sol. 0,7852; 0,3446 )
DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES
RESULTAN DE ESTUDIAR FENÓMENOS EN LOS QUE PARA CADA OBSERVACIÓN
SE OBTIENE UN PAR DE MEDIDAS Y, EN CONSECUENCIA, DOS VARIABLES.
Ejemplos.
Talla y peso de los soldados de un regimiento.
Calificaciones en Física y Matemáticas de los alumnos de una clase.
Gastos de publicidad y ventas de una fábrica.
Etc.
Estas variables resultantes de la observación de un fenómeno respecto de dos
modalidades se llaman variables estadísticas bidimensionales.
Los valores de una variable estadística bidimensional son pares de números reales de la
forma (xi, yi).
Representados en un sistema de ejes cartesianos se obtiene un conjunto de puntos
llamado diagrama de dispersión o nube de puntos.
Ejemplo: Nube de puntos de la distribución dada por la tabla siguiente:
Notas de Matemáticas y Física de 10 alumnos
Matemáticas 5 6 2 9 4 5 1 3 7 7
Física 4 5 3 8 4 5 2 2 6 8
Notas de Matemáticas
Notas
de
Física
Parámetros estadísticos.
Media de la variable X: N
xnx
ii
Media de la variable Y: N
yny
ii
Varianza de la variable X: 2
2
2 xN
xns
ii
x
Varianza de la variable Y: 2
2
2 yN
yns
ii
y
Covarianza: yxN
yxns
iii
xy .
Correlación.
Estudia la relación o dependencia que existe entre dos variables que intervienen en una
distribución bidimensional.
Coeficiente de correlación lineal.
Es un número que mide el grado de dependencia entre las variables X e Y.
Se mide mediante la siguiente fórmula: yx
xy
ss
sr
.
Su valor está comprendido entre – 1 y 1.
Si r = -1 ó r = 1 todos los valores de la variable bidimensional se encuentran
situados sobre una recta.
Si – 1< r < 0 se dice que las variables X e Y están también en dependencia
aleatoria. La correlación es negativa.
Si 0 < r < 1 la correlación es positiva. Las variables X e Y están también en
dependencia aleatoria.
La correlación es tanto más fuerte a medida que r se aproxima a –1 ó 1 y es tanto más
débil a medida que se aproxima a 0.
Recta de regresión.
Tenemos una distribución bidimensional y representamos la nube de puntos
correspondiente. La recta que mejor se ajusta a esa nube de puntos recibe el nombre de
recta de regresión. Su ecuación es la siguiente:
Recta de regresión de y sobre x: )(2
xxs
syy
x
xy
Recta de regresión de x sobre y: )(2
yys
sxx
y
xy
A partir de esta recta podemos calcular los valores de x conocidos los de y. La fiabilidad
que podemos conceder a los cálculos obtenidos viene dada por el coeficiente de
correlación: si r es muy pequeño no tiene sentido realizar ningún tipo de estimaciones.
Si r es próximo a – 1 ó 1, las estimaciones realizadas estarán cerca de los valores reales.
Si r = 1 o r = -1 , las estimaciones realizadas coincidirán con los valores reales.
Ejercicios resueltos. 1.- Una compañía de seguros considera que el número de vehículos (Y) que circulan por
una determinada autopista a más de 120 kms/h, puede ponerse en función del número de
accidentes (X) que ocurren en ella.
Durante 5 días obtuvo los siguientes resultados:
X 5 7 2 1 9
Y 15 18 10 8 20
a) Calcula el coeficiente de correlación lineal.
b) Si ayer se produjeron 6 accidentes, ¿cuántos vehículos podemos suponer que
circulaban por la autopista a más de 120 kms/h?
c) ¿Es buena la predicción?
Solución:
Disponemos los cálculos de la siguiente forma: (Accidentes)
xi Vehículos
yi
xi2
yi2
xiyi
5
7
2
1
9
15
18
10
8
20
25
49
4
1
81
225
324
100
64
400
75
126
20
8
180
24 71 160 1113 409
8,45
24
N
xx
i; 2,14
5
71
N
yy
i; 96,88,4
5
160 222
2
xN
xs
i
x
96,202,145
1113 222
2
yN
ys
i
y ; 2,14.8,45
409.
yx
N
yxs
ii
xy =13,64
a) 996,096,20.96,8
64,13
.
yx
xy
ss
sr
b) Recta de regresión de y sobre x: )(2
xxs
syy
x
xy
)8,4(96,8
64,132,14 xy ; )8,4(53,12,14 xy
Para x = 6, )8,46(53,12,14 y , es decir, y = 16,04. Podemos suponer que
ayer circulaban 16 vehículos por la autopista a más de 120 kms/h.
c) La predicción hecha es buena ya que el coeficiente de correlación está muy
próximo a 1.
2.- Las calificaciones de 40 alumnos en psicología evolutiva y en estadística han sido
las siguientes:
X
calif. en psicol.
Y
calif. en estad.
Número
de alumnos.
3
4
5
6
6
7
7
8
10
2
5
5
6
7
6
7
9
10
4
6
12
4
5
4
2
1
2
Obtener la ecuación de la recta de regresión de calificaciones de estadística respecto de
las calificaciones de psicología.
¿Cuál será la nota esperada en estadística para un alumno que obtuvo un 4,5 en
psicología?
Solución:
Se pide la recta de regresión de y sobre x:
)(2
xxs
syy
x
xy
Disponemos los datos de la siguiente forma:
xi yi ni nixi niyi nixi2
niyi2
nixiyi
3
4
5
6
6
7
7
8
10
2
5
5
6
7
6
7
9
10
4
6
12
4
5
4
2
1
2
12
24
60
24
30
28
14
8
20
8
30
60
24
35
24
14
9
20
36
96
300
144
180
196
98
64
200
16
150
300
144
245
144
98
81
200
24
120
300
144
210
168
98
72
200
40 220 224 1314 1378 1336
5,540
220
N
xnx
ii; 6,5
40
224
N
yny
ii
6,28,304,33)6,5).(3,5(40
1336.
yx
N
yxns
iii
xy
6,225,3085,32)6,5(40
1314 222
2
xN
xns
ii
x
Sustituyendo en la ecuación de la recta de regresión, resulta:
)5,5(6,2
6,26,5 xy , es decir, 1,0 xy
Si un alumno que tiene una nota de 4,5 en psicología, la nota esperada en estadística
será:
y(4,5) = 4,5 + 0,1 = 4,6
Se sustituye en la recta de regresión.
La fiabilidad viene dada por el coeficiente de correlación: yx
xy
ss
sr
.
6,2xys ; 61,16,22 xx ss
09,3)6,5(40
1378 222
2
yN
yns
ii
y ; 75,109,3 ys
y resulta 92,0)75,1).(61,1(
6,2r
La correlación es positiva, es decir, a medida que aumenta la nota de estadística
aumenta también la nota en psicología. Su valor está próximo a 1 lo que indica que se
trata de una correlación fuerte, las estimaciones realizadas están cerca de los valores
reales.
Tablas de doble entrada.
En las distribuciones bidimensionales, cuando hay pocos pares de valores, se procede
como hemos hecho, es decir, enumerándolos. Si algún par está repetido se pone dos
veces, pero cuando el número de datos es grande, se recurre a las tablas de doble
entrada.
En cada casilla se pone la frecuencia correspondiente al par de valores que definen esa
casilla.
Ejemplo:
x
y
0
1
2
0 2 1 0
1 3 4 1
2 0 5 3
Lo que indica el número de veces que está cada par. El par (0, 1) está 3 veces.
El par (1, 2) está 5 veces. Etc.
Ejercicios propuestos.
1.- Las notas obtenidas por 10 alumnos en Matemáticas y en Música son:
Alumnos Mat. Mús.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6
4
8
5
3,5
7
5
10
5
4
6,5
4,5
7
5
4
8
7
10
6
5
a) Calcula la covarianza, las varianzas y el coeficiente de correlación.
b) ¿Existe correlación entre las dos variables?
c) Calcula la recta de regresión. ¿Cuál será la nota esperada en Música para un alumno
que hubiese obtenido un 8,3 en Matemáticas?
(Soluc. 3,075; 3,76; 2,96; 0,92; y = 1,6 + 0,817x; 8,38)
2.- Cinco niñas de 2, 3, 5, 7 y 8 años de edad pesan respectivamente 14, 20, 30, 42 y 44
Kg. Halla la ecuación de la recta de regresión de la edad sobre el peso. ¿Cuál sería el
peso aproximado de una niña de 6 años?.
( Sol. x = 0,192y-0,76; 35,2 Kg.)
3.- La tabla adjunta da el índice de mortalidad de una muestra de población en función
del consumo diario de cigarrillos:
Número de cigarrillos x 3 5 6 15 20
Índice de mortalidad y 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7
a) Determina el coeficiente de correlación e interpreta el resultado.
b) Halla la recta de regresión de y sobre x
c) ¿Cuál será el índice de mortalidad para un consumidor de 40 cigarrillos diarios?
TABLA DE LA DITRIBUCION NORMAL
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5000
0,5398
0,5793
0,6179
0,6554
0,5040
0,5438
0,5832
0,6217
0,6591
0,5080
0,5478
0,5871
0,6255
0,6628
0,5120
0,5517
0,5910
0,6293
0,6664
0,5160
0,5557
0,5948
0,6331
0,6700
0,5199
0,5596
0,5987
0,6368
0,6736
0,5239
0,5636
0,6026
0,6406
0,6772
0,5279
0,5675
0,6064
0,6443
0,6808
0,5319
0,5714
0,6103
0,6480
0,6844
0,5359
0,5753
0,6141
0,6517
0,6879
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,6915
0,7257
0,7580
0,7881
0,8159
0,6950
0,7291
0,7611
0,7910
0,8186
0,6985
0,7324
0,7642
0,7939
0,8212
0,7019
0,7357
0,7673
0,7967
0,8238
0,7054
0,7389
0,7703
0,7995
0,8264
0,7088
0,7422
0,7734
0,8023
0,8289
0,7123
0,7454
0,7704
0,8051
0,8315
0,7157
0,7486
0,7793
0,8078
0,8340
0,7190
0,7517
0,7823
0,8106
0,8364
0,7224
0,7549
0,7652
0,8133
0,8389
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
0,8413
0,8643
0,8849
0,9032
0,9192
0,8438
0,8665
0,8869
0,9049
0,9207
0,8461
0,8686
0,8888
0,9066
0,9222
0,8485
0,8708
0,8907
0,9082
0,9235
0,8508
0,8729
0,8925
0,9099
0,9251
0,8531
0,8749
0,8944
0,9115
0,9265
0,8554
0,8770
0,8962
0,9131
0,9279
0,8577
0,8790
0,8980
0,9147
0,9292
0,8599
0,8810
0,8997
0,9162
0,9306
0,8621
0,8930
0,9015
0,9177
0,9319
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0,9332
0,9452
0,9554
0,9641
0,9713
0,9345
0,9463
0,9564
0,9649
0,9719
0,9357
0,9474
0,9573
0,9656
0,9726
0,9370
0,9485
0,9582
0,9664
0,9732
0,9382
0,9495
0,9591
0,9671
0,9738
0,9394
0,9505
0,9599
0,9678
0,9744
0,9406
0,9515
0,9608
0,9686
0,9750
0,9418
0,9525
0,9616
0,9693
0,9756
0,9429
0,9535
0,9625
0,9699
0,9762
0,9441
0,9545
0,9633
0,9706
0,9767
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
0,9773
0,9821
0,9861
0,9893
0,9918
0,9778
0,9826
0,9865
0,9896
0,9920
0,9783
0,9830
0,9868
0,9898
0,9922
0,9788
0,9934
0,9871
0,9901
0,9925
0,9793
0,9838
0,9875
0,9904
0,9927
0,9798
0,9842
0,9878
0,9906
0,9929
0,9803
0,9846
0,9881
0,9909
0,9931
0,9808
0,9850
0,9884
0,9911
0,9932
0,9812
0,9854
0,9887
0,9913
0,9934
0,9817
0,9857
0,9890
0,9916
0,9936
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,9938
0,9953
0,9965
0,9975
0,9981
0,9940
0,9955
0,9966
0,9975
0,9982
0,9941
0,9956
0,9967
0,9976
0,9983
0,9943
0,9957
0,9968
0,9977
0,9984
0,9945
0,9959
0,9969
0,9978
0,9984
0,9946
0,9960
0,9970
0,9978
0,9985
0,9948
0,9961
0,9971
0,9979
0,9985
0,9949
0,9962
0,9972
0,9980
0,9985
0,9951
0,9963
0,9973
0,9980
0,9986
0,9952
0,9964
0,9974
0,9981
0,9986
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
0,9987
0,9990
0,9993
0,9995
0,9997
0,9987
0,9991
0,9993
0,9995
0.9997
0,9987
0,9991
0,9994
0,9995
0,9997
0,9988
0,9991
0,9994
0,9996
0,9997
0,9988
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9989
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9989
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9989
0,9992
0,9995
0,9996
0,9997
0,9990
0,9993
0,9995
0,9996
0,9997
0,9990
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
3,5 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
