Konstrukce Ročník 6 - 9

Konstrukce – metodické poznámky

Téma je věnováno geometrickým konstrukcím a řešením geometrických úloh. Má žáky naučit využívat specifických předností programových produktů Geogebra, resp. Cabri, tedy snadnému konstruování základních geometrických objektů, možnostem modifikace konstrukce změnou zadávaných prvků, užívání základních geometrických zobrazení, vytváření stop při pohybu geometrických objektů, atd.

Oddíl Základní objekty v trojúhelníku jednak systematicky rekapituluje základní pojmy a poznatky z geometrie trojúhelníka, jednak je dále rozvíjí a podněcuje objevování dalších poznatků (například poloha průsečíku osy úhlu a osy protější strany).

Oddíl Konstrukční úlohy s parametry – diskuse je věnován řešení konstrukčních úloh. Důležité pro žáky je zejména pochopení vlastního pojmu diskuse (vazba na parametr v zadání úlohy, úplný rozklad parametrického prostoru podle počtu řešení, pochopení úmluv o tom, jaká řešení považujeme za odlišná, atd.), a dále pak pochopení toho, že konstrukce může být v různých vydiskutovaných případech odlišná.

V Dalších zajímavých konstrukčních úlohách jsou navrženy konstrukce některých zajímavých objektů z geometrie trojúhelníka, a pak úlohy podporující dynamické představy – zorný úhel, resp. kotálení objektu po jiném objektu. Zde je vhodné pole pro tvořivost žáků, mohou si sami generovat řadu vlastních podobných problémů.

Oddíl Úlohy o elipsách přináší důležité poznatky o jejich vlastnostech, jejich výskytu v kinematice a fakta užitečná například i při kreslení válců či kuželů ve volném rovnoběžném promítání.

Poslední dva oddíly – Úlohy o stínech a Úlohy o parketážích přinášejí praktické úlohy s použitím v architektuře. V problematice stínů je dána přednost centrálnímu promítání (bodová lampa) před rovnoběžným promítáním (zdroj je například slunce), přestože jde o problém matematicky složitější, žáci však snadněji pochopí konstrukci stínu, když je zdroj světla na nákresně přímo zobrazen. Je samozřejmě možné téma posléze rozvinout – při rovnoběžném promítání se stíny zadají jen dvěma vektory, určujícími směr stínu a výšku slunce. Při parketážích je důležité podporovat tvoření vlastních problémů a při jejich řešení užívat v programech dostupná geometrická zobrazení (posunutí, symetrie, atd.).

V rozsáhlé zahradě geometrie si každý najde kytičku podle svého vkusu.

David Hilbert

V celém tomto projektu budeme užívat programové produkty Cabri či Geogebru.

Základní objekty v trojúhelníku

ÚlohaSestrojte obecný trojúhelník ABC a změřte délky stran AC a BC a velikosti úhlů CAB a CBA. Sestrojte těžnici trojúhelníka, jeho výšku a osu úhlu, které všechny procházejí bodem C. Sestrojte osu strany AB. Pohybujte bodem C a zjistěte, kdy těžnice, výška, osa úhlu a osa strany „splývají“.

Úloha Ověřte, že výšky trojúhelníka se protínají v jednom bodě (průsečíku výšek říkáme též

ortocentrum). Může průsečík výšek ležet na hranici trojúhelníka nebo dokonce mimo něj? Kdy to nastane?

Ověřte, že těžnice trojúhelníka se protínají v jednom bodě (průsečíku těžnic říkáme též těžiště). Víte, „kde přesně“ leží těžiště na každé z těžnic? Ověřte to! Může těžiště ležet na hranici trojúhelníka nebo dokonce mimo něj?

Ověřte, že osy úhlů trojúhelníka se protínají v jednom bodě. Víte, jakou důležitou vlastnost má tento bod? (Pomůže vám fakt, že každý bod osy úhlu má stejnou vzdálenost od obou jeho ramen.) Odtud plyne, že tento bod je středem význačné kružnice v trojúhelníku – víte jaké? Sestrojte ji (i s dotykovými body)! Může tento střed ležet na hranici trojúhelníka nebo dokonce mimo něj?

Ověřte, že osy stran trojúhelníka se protínají v jednom bodě. Víte, jakou důležitou vlastnost má tento bod? (Pomůže vám fakt, že každý bod osy úsečky má stejnou vzdálenost od obou jejích krajních bodů.) Odtud plyne, že tento bod je středem význačné kružnice v trojúhelníku – víte jaké? Sestrojte ji! Může tento střed ležet na hranici trojúhelníka nebo dokonce mimo něj? Kdy to nastane?

ÚlohaSestrojte trojúhelník. Sestrojte jemu opsanou kružnici. Sestrojte jemu vepsanou kružnici a její dotykové body se stranami trojúhelníka. Sestrojte všechny spojnice vrcholu a dotykového bodu na protější straně.

Povšimněte si, jaké další body (kromě vrcholů) leží na kružnici opsané. Pohybujte vrcholy trojúhelníka. Dokážete objevený fakt vyslovit ve tvaru matematické věty?

Co platí o spojnicích vrcholu s dotykovým bodem vepsané kružnice na protější straně? Dokážete objevený fakt vyslovit ve tvaru matematické věty?

Konstrukční úlohy (o trojúhelníku) s parametry - diskuse

Pokud jsou všechny zadané prvky v konstrukční úloze (například o trojúhelníku) zadány číselnými hodnotami (například , , nebo , ,

), diskusi neprovádíme. Konstrukční úloha je v těchto případech buď řešitelná, anebo není, je-li řešitelná, pak může mít jedno nebo více řešení, která se liší tím, že trojúhelníky mají různé velikosti stran a úhlů. Samotné toto rozhodování o počtu řešení nepovažujeme za diskusi.

Diskuse se provádí jen tehdy, pokud alespoň jeden ze zadaných prvků v konstrukční úloze je zadán obecně, bez udání číselné hodnoty (například můžeme zadat , , nebo

, , ). V těchto případech říkáme, že úloha má jeden, dva nebo více parametrů. V diskusi musíme určit, pro jaké hodnoty parametrů úloha nemá řešení, pro jaké hodnoty parametrů má jedno řešení, pro jaké hodnoty parametrů má dvě řešení, atd. a pro všechny tyto případy sestavit příslušné konstrukce (mohou se v jednotlivých případech diskuse lišit). Diskuse musí být úplná, tj. počet řešení a příslušná konstrukce musí být stanoveny pro všechny hodnoty parametru, resp. jejich kombinace.

PříkladProveďte diskusi úlohy: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno , , .

Rozborem zjistíme, že jsou-li již sestrojeny body A, B takové, že , pak bod C má vzdálenost od bodu A rovnu 3 cm a vzdálenost od bodu B rovnu 5 cm, a leží tedy v průniku dvou kružnic. Pomocí obrázku v Cabri a pohyby bodu B si můžeme uvědomit, že pro „příliš malé“ hodnoty c, a stejně tak pro „příliš velké“ hodnoty c se tyto kružnice neprotínají – úloha pak nemá řešení.

Diskuse vychází z trojúhelníkových nerovností:musí platit ,dále musí platit ,a konečně musí platit , což je samozřejmé.

Je-li tedy , pak úloha nemá řešení, je-li , pak úloha má jediné (právě jedno) řešení – jeho konstrukce spočívá

v sestrojení průsečíků obou kružnic, ale oba trojúhelníky jsou shodné, a konečně je-li tedy , pak úloha opět nemá řešení.

PříkladProveďte diskusi úlohy: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno , , .

Označme střed strany AC písmenem S. Rozborem zjistíme, že jsou-li již sestrojeny body A, B takové, že , pak bod S leží jednak na polopřímce AX, která svírá s přímkou AB úhel , a jednak na kružnici k se středem B a poloměrem . Pomocí obrázku v Cabri a pohyby jednak polopřímky AX, a jednak kružnice k si můžeme uvědomit, že průnik těchto útvarů může být prázdný, jednobodový či dvoubodový. Jsou-li již sestrojeny body A, S , je sestrojení bodu C snadné.

Potíž s konstrukcí bodu S nastává tehdy, když je polopřímka AX tečnou kružnice k , tedy

když pro parametry platí, že (také v Cabri se tečný bod nezobrazí).

V tomto případě musíme bod S sestrojit pomocí kolmice z bodu B na polopřímku AX.

Výslednou diskusi můžeme shrnout takto:

Velikost úhlu Délka těžnice Počet řešenížádné řešení

právě jedno řešeníprávě dvě řešení

žádné řešenížádné řešení

právě jedno řešení

ÚlohaSestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno (ve všech případech proveďte diskusi):

, , , , , , , , , , , , , , , , , .

ÚlohaPokuste se řešit tyto složitější úlohy:Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno (proveďte diskusi, i když je jednoduchá):

, , ,(návod: při rozboru doplňte trojúhelník na rovnoběžník),

, , (poloměr vepsané kružnice), (návod: střed vepsané kružnice leží na ose úhlu).

ÚlohaZkuste řešit vlastní úlohy, které si sami vymyslíte! Pokuste se u nich provést i diskusi (může být i hodně těžká).

Důležitá poznámkaVíme, že konstrukční úlohy o trojúhelníku jsou zadávány pomocí tří nezávislých prvků. Existují však mezi nimi i úlohy, které nelze řešit eukleidovskými konstrukčními prostředky, které ve školské geometrii běžně používáme. Takovýmito úlohami jsou například:

sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno , , (poloměr vepsané kružnice), sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno , , (poloměr opsané kružnice),

a řada dalších.

Další zajímavé konstrukční úlohy

ÚlohaSestrojte v Cabri „dva čtverce nad sebou“ a středy všech jejich stran. Vepisujte pak do nich čáry, které jsou podobné hůlkovým písmenům a číslicím. Vypočítávejte a měřte celkové délky těchto čar.

ÚlohaSestrojte libovolný trojúhelník ABC a průsečík jeho výšek (ortocentrum) označme V.

Ověřte, že středy jeho stran, paty jeho výšek a středy úseček AV, BV a CV leží na jedné kružnici (tzv. Feuerbachova kružnice devíti bodů).

Ověřte, že ortocentrum, těžiště, střed kružnice opsané a střed Feuerbachovy kružnice leží na jediné přímce (tzv. Eulerova přímka čtyř bodů).

ÚlohaSestrojte libovolný trojúhelník. Nad jeho stranami sestrojte rovnostranné trojúhelníky, které leží vně trojúhelníka. Sestrojte těžiště těchto tří trojúhelníků. Jakou vlastnost má trojúhelník tvořený těmito těžišti?

ÚlohaSestrojte libovolný lichoběžník ABCD ( AB je rovnoběžné s CD) a průsečík jeho úhlopříček P. Zjistěte pomocí obrázku v Cabri a měřením, v jakém vztahu jsou obsahy trojúhelníků APD

a BPC. Dokážete tento fakt odůvodnit? Sestrojte příčku lichoběžníka, která prochází bodem P. V jakém poměru je dělena bodem

P? Co můžete říci o bodu P, středech základen a průsečíku ramen?

Chceme-li sestrojit body, z nichž je „úsečka AB vidět pod ostrým úhlem “, postupujeme takto:

Sestrojíme nejprve na ose této úsečky bod S tak, aby úhly při základně v rovnoramenném trojúhelníku ABS měly velikost .

Z toho plyne, že velikost úhlu ASB je (tzv. „středový úhel“).

Dále sestrojíme kružnici o středu S, která prochází body A, B.

Pak z libovolného vnitřního bodu kruhového oblouku kružnice, který leží v polorovině ABS, je úsečka AB vidět pod ostrým úhlem (tzv. „obvodový úhel“).

(Jak s touto konstrukcí souvisí Thaletova věta?)

Úloha Sestrojte množinu bodů, z nichž je rovnostranný trojúhelník vidět pod úhlem . Sestrojte množinu bodů, z nichž je čtverec vidět pod úhlem . Sestrojte množinu bodů, z nichž je pravidelný pětiúhelník vidět pod úhlem .

ÚlohaSestrojte množiny bodů, z nichž je daná kružnice vidět pod úhlem , a .

Řada zajímavých úloh vzniká, pokud nějaký obrazec necháme „kotálet“ po jiném „pevném“ geometrickém útvaru a sledujeme přitom, jakou dráhu vykonává zvolený bod pohyblivého útvaru.

Na obrázku je dráha středu čtverce, který se kotálí po pravidelném pětiúhelníku (oba mají stejnou délku strany).

Úloha

Sestrojte následující dráhy:

středu úsečky, která se kotálí po přímce (jako když na zemi odměřujete metrovou tyčí vzdálenost),

jiného bodu úsečky, která se kotálí po přímce, těžiště rovnostranného trojúhelníka, který se kotálí po přímce, těžiště rovnostranného trojúhelníka, který se kotálí po čtverci, těžiště pravidelného pětiúhelníku, který se kotálí po čtverci.

Vymýšlejte si sami další úlohy.

Úlohy o elipsách

Elipsa je křivka, kterou můžete v Cabri sestrojit, zadáte-li pět bodů, kterými má procházet. Následující obrázek ukazuje, jak narýsovat elipsu, která je vepsána do daného rovnoběžníka:

Sestrojíme daný rovnoběžník ABCD.Sestrojíme jeho střed S a jeho střední příčky KL a MN, kde a .Sestrojíme střed U úsečky SN a střed V úsečky CN.Sestrojíme průsečík O přímek KU a LV.Sestrojíme elipsu KLMNO.

Úloha Sestrojte elipsy, které jsou vepsány obecnému rovnoběžníku, obdélníku a čtverci. Umíte dokázat, že elipsa vepsaná čtverci je kružnice? Pomůže vám shodnost trojúhelníků

a Thaletova věta.ÚlohaProveďte si v Cabri konstrukce, které ukazují, jak vznikají elipsy pohybem určitého bodu:

Sestrojte dvě soustředné kružnice s různými poloměry a se společným středem S. Bodem S veďme libovolnou přímku a její průsečíky s větší kružnicí označme A, B. Sestrojme libovolnou polopřímku s počátečním bodem S a její průsečíky s větší, resp. menší kružnicí označme X, resp. Y. Bodem X veďme kolmici k přímce AB, bodem Y veďme rovnoběžku s přímkou AB. Průsečík těchto přímek označme P. Pohybujte polopřímkou a vyznačte stopu bodu P.

Zkonstruujte úsečku (konstantní délky), jejíž krajní body „klouzají“ po dvou navzájem kolmých přímkách (jako když žebřík opřený o stěnu sklouzne po hladké podlaze). Vytvořte stopy několika bodů úsečky.

Zkonstruujte úsečku (konstantní délky), jejíž jeden krajní bod se

pohybuje po kružnici a druhý krajní bod se pohybuje po přímce, která prochází středem kružnice. Pohybujete-li bodem na kružnici (bod vykonává kruhový pohyb), druhý krajní bod pak vykonává kmitavý pohyb po zvolené přímce. Tak jste vytvořili model tzv. „ojnice“, která se využívá v mnoha druzích strojů právě pro převod jednoho druhu pohybu na druhý. Vytvořte stopy několika bodů úsečky.

ÚlohaProveďte si v Cabri podle obrázku konstrukci, která ukazuje zajímavou vlastnost bodů elipsy:

Jsou dány dva body a každý z nich je středem kružnic o poloměrech 0,5 cm, 1 cm, 1,5 cm, atd. Pro každý průsečík kružnic tedy snadno určíme jeho vzdálenosti od obou středů.

Vyberte si některou z elips a zjistěte obě vzdálenosti od středů pro body, které na ní leží. Co jste objevili zajímavého?

Úlohy o stínech

Na obrázku je naznačena konstrukce stínů, které vrhají na vodorovnou zem svislé tyče (úsečky), jsou-li osvětleny „pouliční lampou“ (bodovým zdrojem světla).

Uvědomte si, že: směr stínu určuje přímka

spojující patu lampy a patu tyče, délku stínu pak určuje přímka

spojující vrcholek lampy a vrcholek tyče.

Úloha

Proveďte v Cabri konstrukci stínů několika svislých úseček, pohybujte lampou, tyčemi, měňte jejich výšku, a pozorujte, jak se odpovídajícím způsobem mění stíny.

Úloha

Na obrázcích je naznačena konstrukce stínů, které vrhají na vodorovnou zem fotbalová branka, resp. trojúhelníková dopravní značka. Proveďte v Cabri konstrukci, objekty pohybujte.

Úloha

Sestrojte v Cabri stíny například těchto objektů: ragbyové branky (písmeno H), svislé obdélníkové desky, svislé trojúhelníkové desky, krychle, jednoduchého stolu (čtyři svislé úsečky jako nohy a nahoře čtvercová deska).

Vymýšlejte si jednoduché útvary a rýsujte jejich stíny.

Úlohy o parketážích

Parketáže se často vyskytují na ozdobných podlahách či stropech, dlážděních či dlaždicových obkladech stěn. Jsou složeny z pravidelných n-úhelníků (rovnostranných trojúhelníků, čtverců, pětiúhelníků, atd. Podstatné je, že v každém vrcholu určité parketáže se stýkají vždy stejné mnohoúhelníky.

Na obrázku vlevo se v každém vrcholu stýkají čtverec a dva pravidelné osmiúhelníky, na obrázku vpravo se v každém vrcholu stýká rovnostranný trojúhelník, dva čtverce a pravidelný šestiúhelník.

Ověřme, že složíme-li takto obrazce ve vrcholu, získáme plný úhel . Využijeme údaje z této tabulky:

n 3 4 6 8Vnitřní úhel pravidelného n-úhelníka 600 900 1200 1350

trojúhelník 600

čtverec 900 dva čtverce 2 . 900 = 1800

dva osmiúhelníky 2 . 1350 = 2700 šestiúhelník 1200

celkem 3600 celkem 3600

Úloha Využívejte v Cabri vhodná zobrazení, tedy posunutí, otáčení, osovou souměrnost, atd.

Sestrojte obrázky tří nejjednodušších parketáží, které jsou složeny jen z jednoho druhu mnohoúhelníků (jen čtverce, jen rovnostranné trojúhelníky, jen pravidelné šestiúhelníky).

Sestrojte parketáže na výše uvedených obrázcích.

Úloha Sestrojte v Cabri či v Corelu parketáže z následujících obrázků. Opět využívejte vhodná zobrazení, tedy posunutí, otáčení, osovou souměrnost, atd.

Úloha Dokážete vymyslet, jak budou vypadat následující parketáže a sestrojit je v Cabri či v Corelu? Nejprve vždy ověřte součtem vnitřních úhlů, že je parketáž dobře navržena.

V každém vrcholu parketáže se stýkají:

dva rovnostranné trojúhelníky a dva pravidelné šestiúhelníky, tři rovnostranné trojúhelníky a dva čtverce, čtverec, pravidelný šestiúhelník a pravidelný dvanáctiúhelník.