Mathcadpruka k matematickmu programu Mathcad 7

Vladimr leger, Pavel Vrecion 2005

1

Obsah

ObsahObsah...............................................................................................................................2 1. Co je to Mathcad...........................................................................................................6 2. Novinky v Mathcadu 7.................................................................................................7 3. Co byste mli vdt, ne zanete..................................................................................9 3.1 Prce s prukou....................................................................................................9 3.2 Ne napete prvn vztahy....................................................................................10 4. Jednoduch vpoty...................................................................................................11 4.1 Mathcad jako lep kalkulaka.............................................................................11 4.2 Vpoty s promnnmi........................................................................................13 4.2.1 Nzev promnn..........................................................................................13 4.2.2 Pouit zkladn typ rovntek....................................................................14 4.2.3 etzcov promnn...................................................................................15 4.3 Opravy vztah......................................................................................................17 5. Prce s jednotkami......................................................................................................18 5.1 Rozmrov kontrola.............................................................................................18 5.2 Pouit vestavnch a uivatelskch jednotek.....................................................19 6. Texty...........................................................................................................................20 6.1 Vkldn text......................................................................................................20 6.2 pravy text.........................................................................................................20 6.3 Vkldn matematickch vztah do text............................................................21 7. prava dokumentu.....................................................................................................22 7.1 Vbr st dokumentu........................................................................................22 7.2 pravy vybranch st.......................................................................................23 7.3 Vzhled strnky.....................................................................................................24 7.4 ablony................................................................................................................24 7.5 Uzamen dokumentu..........................................................................................25 7.6 Vytvoen vazeb s jinmi dokumenty..................................................................26 7.6.1 Hyperlink.....................................................................................................26 7.6.2 Odkaz (Reference)......................................................................................27 7.6.3 Vkldn a propojovn objekt (OLE).......................................................27 8. Posloupnosti, vektory a matice...................................................................................29 8.1 Definice promnn s uritm rozsahem hodnot...............................................29 8.2 Vektory................................................................................................................30 8.2.1 Indexovan promnn.................................................................................30 8.2.2 Zmna indexu prvnho prvku pole..............................................................31 8.2.3 Zadvn vektor.........................................................................................31 8.2.4 Matematick operace s vektory...................................................................33 8.2.5 Operace s jednotlivmi prvky.....................................................................33 8.2.6 Aplikace funkc...........................................................................................36 8.3 Matice..................................................................................................................38 8.3.1 Zadvn matic............................................................................................38 8.3.2 Operace s maticemi.....................................................................................39 8.4 Vnoen pole........................................................................................................41 (Pouze u verze Mathcad Professional)......................................................................41 9. Zpracovn dat............................................................................................................42 9.1 Komponenty.........................................................................................................42 2

Obsah 9.2 Prce s komponentami.........................................................................................43 9.2.1 File Read or Write.......................................................................................43 9.2.2 Input Table, Output Table...........................................................................44 9.2.3 Komponenty pro vmnu dat mezi aplikacemi..........................................44 10. Grafy.........................................................................................................................46 10.1 Rovinn graf x-y................................................................................................46 10.1.1 Vytvoen grafu..........................................................................................46 10.1.2 Grafy funkc...............................................................................................48 10.1.3 prava grafu...............................................................................................49 10.2 Polrn graf.........................................................................................................51 10.3 Graf vektorovho pole.......................................................................................52 10.4 Prostorov grafy.................................................................................................53 10.5 Animace.............................................................................................................56 11. een rovnic............................................................................................................57 11.1 Jedna rovnice pro jednu neznmou....................................................................57 11.1.1 Funkce root.................................................................................................57 11.1.2 Chybov hlen nekonverguje...............................................................58 11.1.3 Funkce polyroots........................................................................................59 11.2 Soustavy rovnic..................................................................................................59 11.2.1 Pravidla pi vytven soustav....................................................................59 11.2.2 een soustav linernch rovnic................................................................60 11.2.3 Soustavy nelinernch rovnic.....................................................................61 11.2.4 Vznam funkce Minerr..............................................................................62 11.2.5 Promnn ve form pol.............................................................................64 ................................................................................................................................64 11.2.6 Chybov hlen Cant find a solution ......................................................65 12. Symbolick procesy..................................................................................................66 12.1 Odlinost symbolickch proces od numerickch vpot...........................66 12.2 Pklady pouit poloek menu Symbolics........................................................67 12.3 Zvltn funkce...................................................................................................74 12.4 iv symbolika...................................................................................................74 12.4.1 Vznam iv symboliky.............................................................................74 12.4.2 Vyeit symbolicky....................................................................................75 12.4.3 Dal symbolick operace..........................................................................76 12.4.4 Vcensobn symbolick pravy................................................................78 12.4.5 Ignorovn pedchoz definice....................................................................78 12.4.6 Optimalizace vztah...................................................................................79 13. Programovn............................................................................................................80 13.1 Vytvoen programu...........................................................................................80 13.2 Cykly..................................................................................................................81 13.2.1 Cyklus for...................................................................................................81 13.2.2 Cyklus while...............................................................................................82 13.3 Rozhodovac stromy..........................................................................................82 13.4 Rekurze..............................................................................................................83 13.5 Ovldn prbhu programu..............................................................................83 13.5.1 Break..........................................................................................................83 13.5.2 Continue.....................................................................................................84 13.5.3 Return.........................................................................................................85 3

Obsah 13.5.4 Pkaz on error a funkce error....................................................................85 13.6 Symbolick een program.............................................................................86 14. MathConnex.............................................................................................................87 14.1 Popis okna..........................................................................................................87 14.2 Vytven projekt.............................................................................................87 14.3 Konkrtn pklad...............................................................................................89 15. Elektronick pruky...............................................................................................92 15.1 Prce s prukami..............................................................................................92 15.2 Seznam dalch existujcch pruek.................................................................94 15. 3 Pruka Mathcad 7 Treasury (Pokladnice).......................................................95 16. Nkolik drobnch rad...............................................................................................96 17. Nejastj chyby......................................................................................................98 18. Pklady k procvien..............................................................................................100 18.1 Proudn kapaliny v potrub.............................................................................100 18.2 Vynucen tlumen kmitn..............................................................................101 18.3 Vzpr................................................................................................................103 Seznamy.......................................................................................................................107 Poloky menu..........................................................................................................107 File.....................................................................................................................107 Edit....................................................................................................................108 View..................................................................................................................108 Insert..................................................................................................................109 Format...............................................................................................................110 Math..................................................................................................................111 Symbolics..........................................................................................................111 Window.............................................................................................................112 Help...................................................................................................................112 Pehled tlatek a klvesovch zkratek...................................................................113 Nstrojov lita..................................................................................................113 Formtovac lita.............................................................................................114 Sady nstroj...................................................................................................114 Poloky menu a tlatka MathConnexu..................................................................121 File.....................................................................................................................121 Edit....................................................................................................................121 View..................................................................................................................121 Insert..................................................................................................................122 Run....................................................................................................................123 Help...................................................................................................................123 Nstrojov lita..................................................................................................123 Lity komponent................................................................................................124 Seznamy.......................................................................................................................125 Poloky menu..........................................................................................................125 File.....................................................................................................................125 Edit....................................................................................................................126 View..................................................................................................................126 Insert..................................................................................................................127 Format...............................................................................................................128 Math..................................................................................................................129 4

Obsah Symbolics..........................................................................................................129 Window.............................................................................................................130 Help...................................................................................................................130 Pehled tlatek a klvesovch zkratek...................................................................131 Nstrojov lita..................................................................................................131 Formtovac lita.............................................................................................132 Sady nstroj...................................................................................................132 Poloky menu a tlatka MathConnexu..................................................................139 File.....................................................................................................................139 Edit....................................................................................................................139 View..................................................................................................................139 Insert..................................................................................................................140 Run....................................................................................................................141 Help...................................................................................................................141 Nstrojov lita..................................................................................................141 Lity komponent................................................................................................142 Vestavn funkce....................................................................................................143 Goniometrick funkce.......................................................................................144 Inverzn goniometrick funkce.........................................................................144 Hyperbolick funkce.........................................................................................144 Inverzn hyperbolick funkce............................................................................144 Exponenciln a logaritmick funkce................................................................144 Funkce pro een rovnic...................................................................................145 Vektorov a maticov funkce............................................................................145 Funkce pracujc se soubory a obrzky.............................................................148 Tdic funkce....................................................................................................150 Zaokrouhlovac funkce......................................................................................151 Statistick funkce..............................................................................................151 Distribun funkce.............................................................................................151 Interpolan a extrapolan funkce...................................................................156 Regresn funkce.................................................................................................158 Funkce pro vyhlazen graf...............................................................................159 Komplexn funkce.............................................................................................159 Podmnkov a dal nespojit funkce................................................................159 Funkce pro een diferencilnch rovnic..........................................................160 Transforman funkce.......................................................................................161 Besselovy funkce..............................................................................................161 etzcov funkce..............................................................................................162 Dal funkce......................................................................................................162 Vvoj verz Mathcadu.............................................................................................164

5

1.Co je to Mathcad

1.

Co je to Mathcad

Mathcad je n nejoblbenj program. Myslme, e jeho autoi odvedli vynikajc prci, kdy za jednoduch a pjemn prosted ukryli neuviteln bohatstv postup a lidskch znalost. Mathcad je mocnm nstrojem pro studenty, uitele, konstruktry a vbec pro vechny, kdo v ivot potebuj vce ne kupeck poty. S Mathcadem provdme sloit technick vpoty, kter lze doplnit vestavnmi jednotkami, pracujeme s datovmi soubory, vyuvme statistick funkce, pehledn programujeme rozshl projekty. Matematick vrazy na obrazovce vypadaj stejn jako na tabuli nebo v poznmkovm seit. Meme je eit nejen numericky, ale i symbolicky. Do vpot se snadno umisuj texty. Vsledky je mono zobrazit ve form graf. Pi vytven dokument lze pracovat se ablonami. Mte-li pstup na Internet, mete pmo z Mathcadu vyuvat rzn sluby WWW serveru firmy PTC, nap. zapojit se do komunikace mezi uivateli.

6

2.Novinky v Mathcadu 7

2.

Novinky v Mathcadu 7

Tato kapitola je urena spe pokroilejm uivatelm a zatenci by ji mli radji peskoit. Clem zmn bylo uspokojit poadavky uivatel, ale t napodobit co nejvce prosted program Microsoft Office. Uvedeme pouze nkter podstatnj zmny. Mnoh z nich jsou vysvtleny podrobnji v nsledujcch kapitolch. Dal zmny objevte mon pi vlastnm przkumu programu. Nov uspodn tlatek na paletch, ale i nkter zcela nov tlatka (viz. pehled tlatek na konci pruky). Po zaven si Mathcad pamatuje uivatelskou polohu palet. Pro nastaven dalch vlastnost dokument je zde nov monost pouit styl a ablon (viz. kap. 7.4). Jin zpsob tvorby a prav vztah, kter je podobn prci v textovch editorech (viz. kap. 4.1 a 4.3). Chceme-li nyn nechat vypsat hodnotu promnn, kter nebyla dve definovna, nahrad Mathcad automaticky rovntko pro vypsn hodnoty rovntkem piazovacm. Mezi seln koeficient a promnnou nebo mezi hodnotu veliiny a jej jednotku nen nutn vkldat opertor pro nsoben. Meme pst tak, jak jsme zvykl z poznmkovch seit (5x, 4m). Objevuje se kompletn systm jednotek SI (viz. kap. 5.1). Pro pidn resp. zruen przdnch dek v dokumentu meme nyn pout klvesy Enter resp. BkSp nebo Del. Rychlej monost grafickho znzornn funkc - QuickPlot (viz. kap. 10.1.2). Monost pouit pravho tlatka myi k vyvoln aktulnch pkaz (kontextov menu). Zapomeneme-li vloit textovou oblast a zaneme pst doprovodn texty, rozpozn Mathcad text ihned po vloen mezery (v promnnch neppustn). Dal monosti pi ivch symbolickch vpotech - nov klov slova, jin vznam nebo zruen nkterch pvodnch klovch slov, nov zpsob jejich pouit, nov paleta (viz. kap. 12.4).

7

2.Novinky v Mathcadu 7 Dal statistick funkce, funkce pstupn pouze ve verzi 6 PLUS nyn t ve verzi Standard a Student (viz. pehled vestavnch funkc na konci pruky). Nov lze definovat etzcov promnn a ve verzi Professional meme vyuvat i nov vestavn funkce pro prci s tmito uitenmi promnnmi (viz. kap. 4.2.3). Nov filtry pro vstup a vstup dat, zajiujc spoluprci se soubory z Excelu, MATLABu a s ASCII soubory (viz. kap. 9). Nov verze Mathcadu podporuje techniku OLE - vkldn a propojovn objekt (viz. kap. 7.6.3). Nov elektronick pruka (Resource Center), kter obsahuje krom dvjch nvod k vpotm a tabulek (nyn jet rozench) i vod do statistickch loh a monost jejich een pomoc Mathcadu (viz. kap. 15.1). Nov monosti vyuit pmho pipojen na Internet. Pi programovn (pouze u verze Professional) jsou k dispozici nov pkazy, meme vyut ivch symbolickch vraz a definovat vlastnch chybov hlen (viz. kap. 13). Ve verzi Professional je zcela nov programov modul MathConnex, kter umouje vytvet projekty toku dat mezi aplikacemi (viz. kap. 14).

8

3.Co byste mli vdt, ne zanete

3.3.1

Co byste mli vdt, ne zanetePrce s prukou

Dodvny jsou ti verze programu. Mathcad Student, Standard a Professional. Nkter popisovan funkce se vyskytuj pouze u verze Mathcad Professional a v textu na to vdy upozornme. Pi psan pruky jsme se snaili dodret nsledujc konvenci: nzvy promnnch, jmna funkc a chybov hlen (v textech) - typ psma Italic, klvesy nebo tlatka - psmo Bold Courier New, poloky menu stejn jako ostatn vznamn slova - Bold. Hovome-li v pruce o klepnut resp. taen my, je mnno klepnut levm tlatkem myi resp. taen se stisknutm levm tlatkem myi. Pi pouit pravho tlatka na to vdy vslovn upozornme. Pi psan matematickch vraz se nepou mezery. Mathcad si sm sprvn dopln mezery tak, aby napsan vztah hezky vypadal. Pokud je teba stisknout mezernk, pouijeme v pruce pro tuto klvesu standardn vraz Space. Doporuujeme pouvat pehled poloek menu a tlatek na zvr pruky, kde jsou odkazy na kapitoly, ve kterch podrobnji vysvtlujeme urit poloky nebo tlatka. V dnm ppad si neinme nrok na plnost. Pokud chcete o popisovan zleitosti vce informac, je teba se obrtit na manul nebo npovdu (Help) programu. V pruce pedpokldme, e uivatel zn zkladn matematick symboly, pojmy a postupy. Poznmka: Ve vjimench ppadech se me stt, e v pklad nebude pracovat stejn jako pklad uveden na obrzku v pruce. To me bt zpsobeno tm, e pklad na obrzku vyuv nkter definice z pedchozch pklad.

9

3.Co byste mli vdt, ne zanete

3.2

Ne napete prvn vztahy

Po sputn Mathcadu se objev przdn strnka, kter pipomn textov editor. Prvn zdn klame. Nejdve si musme uvdomit, e Mathcad nepracuje s dky, ale s oblastmi (Regions), kter rozmisujeme na pracovn ploe. Obsahem oblasti me bt matematick vraz, text nebo graf. Tyto oblasti se sm pekrvat. S tm souvis pomrn ast zatenick chyba, kdy vraz, kter na pracovn ploe zdnliv pokrauje, je ve skutenosti sloen ze dvou oblast, kter Mathcad chpe jako dva nezvisl vrazy. Kontrolujte, zda je objekt, kter tvote nebo upravujete, vdy cel v rmeku. Odlin je t tvar kurzoru: erven mal kek znamen, e hodlte umstit na pracovn plochu novou oblast, jin kurzor (modr skobika, erven svisl rka) znamen, e se chystte pst do ji existujcho objektu, tj. vrazu, grafu, textu. (Cel objekt je v tom ppad uzaven do rmeku.) Chcete-li od sebe oddlit pekrvajc se oblasti, pouijte poloku menu Format, Separate Regions. Jestlie vm sti ji vytvoench objekt dky pedchozmu pekryt kamsi zdnliv zmizely, nebo po vymazn zstaly sti objekt na obrazovce, mete ve napravit stisknutm klves Ctrl R (Refresh). Oblasti meme mazat, pesouvat po pracovn ploe, koprovat podle standardu Windows.1 Najdeme zde znm poloky menu Edit - Delete, Cut, Copy a Paste a znm tlatka na nstrojov lit. Polohu lit meme mnit taenm my a lity skrt i znovu zobrazit pomoc poloky menu View - Toolbar, Format Bar a Math Palette. Funguj i dal standardn, typick funkce pro aplikace pod Windows, kter v tto strun publikaci z pochopitelnch dvod opomineme. Mete je najt v prukch o Windows. Odlin jsou sady tlatek (Math Palette), kter se otvraj klepnutm my a obsahuj potebn matematick nstroje (viz. obr. 1).2 Nejastji uvan sady meme taenm my rozmstit na vhodn msta obrazovky. Mathcad si jejich polohu pamatuje a pi ptm oteven je najdeme na stejnm mst. obr. 1

Soust Mathcadu je elektronick pruka (Resource Center), kde najdete zajmav informace, vukov program, pklady vpot a adu uitench vzorc, fyziklnch a technickch konstant. Mte-li pstup na s, mete hledat informace na Internetu, nap. na WWW serveru firmy PTC, kde jsou umisovny aktuln zprvy o Mathcadu (viz. kap. 15.1).1 2

Dal informace viz. kap. 7 - prava dokumentu. est sada (nstroje potebn k programovn) se vyskytuje pouze ve verzi Mathcad Professional. 10

4.Jednoduch vpoty

4.4.1

Jednoduch vpotyMathcad jako lep kalkulaka

Nejprve se budeme zabvat vrazy sloenmi z sel. Pi psan sel, zkladnch matematickch opertor a funkc je asi nejrychlej pouvat sadu tlatek, kter je ukryta pod ikonou . Meme samozejm pout i klvesnici. Nsledujc pklad je vytvoen sekvenc tlatek 1+23= . Vsledek je doplnn po stisku = (lze pout tlatko v sad nebo pslunou klvesu). obr. 2

1

2 3

= 1.667

Po zmn vrazu se vsledek automaticky pepot (pi umstn kurzoru mimo oblast nebo ihned po stisku klvesy F9). Dvoj klepnut my na vslednou hodnotu umon nastavit formt sel, nap. zobrazovan poet desetinnch mst.3 Vimnte si, e Mathcad pracuje s desetinnou tekou a nikoliv rkou. Pi psan vztah se nov verze Mathcadu chov obdobn jako textov editor. Pokud jste kurzorem ve vrazu a stisknete mezernk, zjistte, e kurzor zmn svoji velikost a ozna tak st vrazu. Cyklicky meme mnit velikost kurzoru dalmi stisky mezernku. Po pidn opertoru se kurzor (skobika) chov jako zvorka. Snadno to pochopme na nsledujcm pkladu. Chceme k vrazu na obr. 2 pist dal zlomek, napklad 1/3. Umstme svislou st kurzoru za slo 3 (my nebo ipkami vlevo - vpravo), stiskneme Space+13 Enter a dostaneme nsleduj vsledek: obr. 31 2 3 1 3 =2

Tmto zpsobem meme dodaten pidat opertor i ped vraz, je-li kurzor umstn vpedu. Pro plnost si mete tak vyzkouet, co by se stalo, kdybyste mezernk nestiskli. Chybn napsan sti vztah je samozejm mono opt vymazat klvesou BkSp.

3

V poloce Displayed Precision jsou standardn nastavena ti msta, co nem vliv na skutenou pesnost vpot. Avak pokud bychom chtli vsledky koprovat, bere se v vahu jen zobrazen poet desetinnch mst. 11

4.Jednoduch vpoty Vpoet meme dle zkomplikovat napklad tak, e vcensobnm stiskem mezernku uzaveme mezi editovac ry kurzoru cel vraz, kter pak umocnme i odmocnme. Tlatka pro mocninu a odmocninu najdete tak v sad pod ikonou obr. 4 1 2 3 1 = 1.414 3 .

Ve stejn sad tlatek je i nkolik zkladnch funkc. Na zvr pruky pp. v npovd (Help) pak najdeme mnostv dalch funkc, kter meme do vzorce dopsat run nebo pout poloku menu Insert, Function i tlatko . Argumenty funkce mus bt vdy v zvorce. Do vzorc pite jen kulat zvorky, na hranat se zmn podle poteby automaticky. Napklad: obr. 5 sin 1 2 3 1 3 = 0.988

obr. 6

1 sin

2 3 4. 32

1 3 = 0.081

Pi psan sloitjch vraz je mon nejprve umstit matematick opertory a operandy doplnit na pslun msta pozdji. Pro imaginrn jednotku v komplexnch slech meme pout buto i nebo j, ob znaky lze libovoln kombinovat a od sla je neoddlujeme dnm matematickm opertorem. Pokud chcete napsat nap. 5+i, je nutn napsat 5+1i. Je mon t pouvat tlatko v sad pod ikonou .

12

4.Jednoduch vpoty Shrme nejastj matematick operace, odpovdajc klvesy a tlatka ze sady operace stn odetn nsoben dlen umocnn odmocnn vypsn hodnoty tlatko + xy = klvesa + * / ^ \ = :

4.2

Vpoty s promnnmi

Kdy jsme probrali prci s selnmi vrazy, postupme dle k promnnm.

4.2.1

Nzev promnn

Nzev promnn me bt tvoen libovolnm potem psmen vetn kombinac s eckou abecedou a me obsahovat i sla (nikoliv na zatku). Stiskneme-li pi tvorb promnn klvesy Ctrl Shift P, dostaneme se do tzv. textovho reimu, kurzor zerven a meme pouvat i dal klvesy (%, ^, * apod.), kter ztrc svj matematick vznam, dokud nestiskneme opt Ctrl Shift P. Nejpouvanj eck psmena jsou v sad pod ikonou , pehled vech psmen eck abecedy a jim odpovdajcch klves naleznete pak v poloce menu Help, Mathcad Help - Keyboard help, Greek letters. Na eckou obdobu se zmn pedchoz psmenko po stisku klves Ctrl G. Ctte-li, e z estetickho hlediska by vae promnn mla obsahovat index (nap. Rax), napite jej nzev (R), potom stisknte . (teku) a pak psmena nebo sla, kter maj tvoit index (ax). Pozor! Mathcad rozliuje nejen psmena mal a velk, ale i jejich pouit styl.4

4

Vestavn promnn a funkce jsou definovny pro vechny styly. 13

4.Jednoduch vpoty

4.2.2

Pouit zkladn typ rovntek

V potai hodnota promnn zaujm pamov prostor o velikosti minimln 32 bit. U vs mon napad, e budeme potebovat prostedky jak pro zpis do tohoto pamovho prostoru, tak pro vpis hodnoty z pamti. Prostedkem pro zpis je piazovac rovntko := , kter dostaneme po stisku : (dvojteky) na klvesnici nebo tlatka s tmto typem rovntka v sad pod ikonou . Rovntko pro vpis hodnoty = jsme si ji vyzkoueli v pedchozch vpotech. V nsledujcm pkladu do promnn a vlome vsledek vpotu (viz. obr. 7) a nsledn nechme vypsat hodnotu promnn a (viz. obr. 8). obr. 7 a 1 2 3 1 3

obr. 8a =2

S promnnmi, kterm jsme piadili hodnotu (slem nebo vpotem), meme dle operovat. Napklad: obr. 9 c a 2 c =4 d a2

c

1 d =9

Kdybychom pouili promnnou dve, tzn. vlevo nebo nad mstem, kde j bude piazena urit hodnota, zabarvila by se neznm promnn erven a objevilo by se chybov hlen: This variable or function is not defined above (tato promnn nebo funkce nen ve definovna).5 Pokud bychom se zeptali na hodnotu takov promnn, zmn se automaticky rovntko pro vpis hodnoty na rovntko piazovac. Jinak je to u tzv. globlnho rovntka, kter dostaneme stisknutm tlatka v sad pod ikonou .

Pokud pouijeme pi vkldn hodnoty do promnn msto piazovacho rovntka globln, plat tato definice ji od zatku dokumentu a promnnou meme pouvat, i kdyby byla definovna a na posledn strnce. Globln rovntko vyuvme s vhodou v ppadech, kdy je dokument dlouh a pi zmnch vchozch hodnot se nechceme neustle pesouvat od zatku k vsledkm5

Dal informace o chyb dostaneme vdy po stisku klvesy F1 (kontextov npovda). 14

4.Jednoduch vpoty a zpt. Vchoz hodnoty je mono zadat pomoc globlnho rovntka na konci dokumentu pobl vsledk. Na obr. 10 vidme krom pouit globlnho rovntka i definici promnn hor pomoc jedn z mnoha funkc Mathcadu - podmnkov funkce if. Tato funkce m v zvorce vdy ti argumenty oddlen vzjemn rkou. Na prvnm mst je podmnka - libovoln rovnice i nerovnice. V rovnici bychom pouili tvrt typ rovntka - podmnkov rovntko (viz. obr. 12), kter dostaneme po stisku tlatka (Boolean Equals) v sad pod ikonou Znaky nerovnosti a znamnko nerovn se najdeme tamt.6 .

Pokud je podmnka splnna, nabv funkce if hodnoty, kterou m vraz na druhm mst, pokud nen splnna, m funkce hodnotu tetho argumentu. Vrazy mohou bt jakkoli sloit, dokonce mohou obsahovat i dal funkci if, a tak definici promnn mnohonsobn vtvit. Pro takov ppady je vak pehlednj pout programovac nstroje. obr. 10

hor

if glob < 5 , , 2

hor cos ( x) dx = 1 0

glob 4Tlatko potebn pro zadn uritho integrlu najdeme pod ikonou .

Hodnoty promnnch mohou bt kdykoli pedefinovny, a to i hodnoty dan globlnm rovntkem. Nov hodnota promnn pak plat pro nsledujc vzorce, kter jsou v oblastech dle na strnce, tj. vpravo nebo pod novou definic promnn. Napklad: obr. 11 a 3 a a 3 a=

6

a

3a

2

a

=

2 0

Povimnte si, e soust definice promnn me bt i jej pedchoz hodnota. Dle si meme vimnout, e mezi konstantou a promnnou nemusme stisknout znamnko * tak, jak jsme zvykl z bnch zpis.

4.2.3

etzcov promnn

Do promnn lze vloit v nov verzi Mathcadu i etzec znak. Meme pout psmena, sla, interpunkn znamnka, mezery, ale i speciln znaky pomoc ASCII kd. etzec znak zadvme vdy v uvozovkch a pi vypsn hodnoty promnn se zobraz rovn v uvozovkch (viz. obr. 12). Mathcad Professional m k dispozici6

Podmnkov rovntko m ir uplatnn, ne je zde uvedeno - viz. kap. 11.2 a 12.2. 15

4.Jednoduch vpoty i nkter funkce pro prci s etzcovmi promnnmi (viz. pehled vestavnch funkc na konci pruky). obr. 12 cesta slo x 0 "c:\work\Vlada\data.txt" "24383186" chyba cesta = "c:\work\Vlada\data.txt" slo = "24383186"

"nelze delit nulou !" if x 0 , chyba , 1 x

pevrcen_hodnota pevrcen_hodnota

= "nelze delit nulou !"

Pomoc vestavn funkce error(hlaseni) by napklad lo elegantnji nadefinovat chybov hlen v pedchozm pkladu (viz. kap. 13.5.4). etzcov promnn mohou bt pouity jako argumenty nkterch funkc i jako prvky vektor i matic.

16

4.Jednoduch vpoty

4.3

Opravy vztah

Na zvr nkolik rad, jak v nov verzi Mathcadu provdt bn opravy ji napsanch vztah (dal podrobnosti viz. kap. 7): Chybn napsan sti vztah vetn opertor, zvorek i rovntka je mono opt vymazat klvesou BkSp (vlevo od svisl sti kurzoru) nebo Del (vpravo od kurzoru). Chcete-li rychle zmnit st vztahu, oznate tuto st taenm my (podbarv se ern) a zante pst sprvn znn vztahu. Chcete-li dodaten aplikovat funkci na vraz, stisknte nkolikrt mezernk tak, abyste kurzorem oznaili cel vraz, vyberte pslunou funkci z tabulky pod ikonou a stisknte tlatko OK. Je zejm, e na zklad pedchozch pklad mete eit velk mnostv matematickch a technickch problm. Jak u asi tute, Mathcad vak um o nco vce.

17

5.Prce s jednotkami

5.

Prce s jednotkami

Vichni vme, jak snadno dojde ke zbyten chyb. Doporuujeme proto tam, kde je to mon, pouvat jednotek. Mathcad bude automaticky provdt rozmrovou kontrolu vztah a zrove si uetme pevdn palc na metry, kon na kilowatty, gram na slugy atd. Zjednoduen eeno: Pi pouit Mathcadu nemusme umt pevdt jednotky a nemusme ani znt pevodov vztahy. Do zadn uvedeme hodnoty v jakchkoli jednotkch a vsledky dostaneme v jednotkch, kter poadujeme. Jak je vidt z obrzk, jednotky lze pout tak, e jimi vynsobme dan slo nebo promnnou. V nov verzi Mathcadu nen nutn mezi slem a jednotkou uvdt dn opertor (viz. obr. 15).

5.1

Rozmrov kontrola

Program nepovol nap. stat metry a sekundy - nahls The units in this expression do not match (jednotky v tomto vrazu jsou nekompatibiln) a erven vyzna problmov veliiny. Na druh stran povol stat teba palce s milimetry a vsledek vype v zkladnch jednotkch zvolen soustavy (standardn je nastavena soustava SI - m, kg, s, A, K, cd, mol).7 obr. 13

7

Vybereme-li poloku menu Math, Options, Unit System, meme zvolit soustavu MKS (m, kg, sec), CGS (cm, gm, sec) nebo U.S. (ft, lb, sec). 18

5.Prce s jednotkami

5.2

Pouit vestavnch a uivatelskch jednotek

V Mathcadu je velk poet vestavnch jednotek. Vloit jednotku z jejich seznamu mete pomoc ikony na nstrojov lit, pp. klvesami Ctrl U nebo pomoc menu Insert, Unit. Kurzor mus bt na mst, kam chcete jednotku vkldat. Odpovdajc znaku jednotky (pokud ji znme) meme na pslun msto vypsat i run pomoc klvesnice. Jak ji bylo eeno, vsledek vpotu se zobraz vdy v zkladnch jednotkch soustavy. Za tmto vsledkem se vak objev ern tvereek (viz. obr. 14), kde meme vloit nebo vypsat nmi poadovanou jednotku (nap. watthodiny). Vsledek se automaticky pepot v nov jednotce (po umstn kurzoru mimo oblast nebo ihned po stisku klvesy F9). Pi zmn jednotky posta 2x klepnout my na msto, kde m bt nov jednotka umstna. Tm oteveme seznam jednotek stejn veliiny a vybereme jednotku novou. obr. 14

Stejn jako bnou promnnou si meme nadefinovat i jednotku vlastn, kter nen v seznamu vestavnch jednotek. Na nsledujcm obrzku definujeme vlastn (uivatelskou) jednotku kN a pouvme ji dle pi vpotech. obr. 15 k N 10 00 N h m 1 k 0 g a 1 0 m s2

F

h .a m

F

=

0 k .1 N

Povimnte si, prosm, e msto obvyklho m pro hmotnost jsme pouili hm, jeliko m je z hlediska Mathcadu promnn s hodnotou 1 metr a nen vhodn ji pedefinovat.8

8

Pozor t na konstanty e, g, a jednotky s, A, C, G, H, J, K, L, N, R, S, T, V, W, . 19

6.Texty

6.

Texty

Mathcad nen textov editor. Pesto zde meme snadno pst rozshl poznmky k provdnm vpotm. Text jako kad jin objekt je umstn v urit oblasti (viz. kap. 3.2) a od matematickch vraz se pi standardnm nastaven li mimo jin fontem.

6.1

Vkldn text

Nejjednodum zpsobem meme textovou oblast do dokumentu vloit stiskem klvesy " nebo v poloce menu Insert zvolme Text Region. Na mst kurzoru se vytvo oblast, kter roste spolu s psanm textem. ku oblasti meme stanovit stiskem klves Ctrl Enter. Na rozdl od ostatnch objekt se po stisknut klvesy Enter dostaneme na dal dek stejn textov oblasti. Chceme-li oblast opustit, klepneme my mimo ni nebo stiskneme Shift Enter. Pokud zapomeneme vloit textovou oblast a zaneme pst, zmn se promnn na text ihned po stisku mezery mezi slovy, kter je v nzvu promnn neppustn.

6.2

pravy text

Nkter monosti, kter mme pi prci s textem, vidme na formtovac lit. Vybereme-li taenm my uritou st textu, meme zmnit jej styl, font, velikost, podtrhnout ji atd. (viz. obr. 16). Dal monosti mme, pokud zvolme poloku menu Format, Text (nap. umstit vybranou st jako doln i horn index). Vechen ostatn text v celm dokumentu zmnme, pouijeme-li poloku menu Format, Style a modifikujeme styl, na kterm byly texty zaloeny. Pomoc tto poloky meme vytvet i vlastn nov styly, kter pak ulome do ablony (viz. kap. 7.4). Mazn, pesouvn a koprovn vybranch st text i celch textovch oblast se provd zpsoby bnmi ve Windows. Stejn jako u matematickch vztah lze pro hledn a zmnu uritho etzce znak pout poloky menu Edit, Find pp. Replace.

20

6.Texty

6.3

Vkldn matematickch vztah do text

V Mathcadu je mono pst i texty s vloenmi ivmi vztahy. Postup je nsledujc: Klepneme my na msto, kam chceme umstit text a vytvome textovou oblast nap. stiskem klvesy ", napeme text, do kterho budeme vztahy vkldat, umstme kurzor do textu tam, kde m bt vztah a zvolme poloku menu Insert, Math Region, vytvome poadovan matematick vztah a klepneme my mimo oblast. Tento postup meme pout i ppad, jestlie chceme pi psan text vyuvat symboly z palet matematickch nstroj. Chceme-li do textu umstit ji existujc vztah, meme ho na potebn msto vloit pmo z clipboardu pomoc pkazu Paste, ani bychom pouili poloku menu Insert, Math Region. Oznaen matematick vztah je mon z textu odstranit pouitm poloky menu Edit, Delete. Na obrzku vidte ukzku text s rznm formtem a v zvren vt pouit vloench vztah. obr. 16 Vpoet prmru a obvodu kruhu dan plochy S d 20. cm 4. S 2

plocha kruhu o .d vztahy pro prmr a obvod

Hledan prmr d = 50.463 mm a obvod kruhu o = 158.533 mm

21

7.prava dokumentu

7.7.1

prava dokumentuVbr st dokumentu

Rozliujeme dva zkladn zpsoby oznaen st dokumentu: Pokud se nachzme kurzorem ve vrazu, ozname nkolikansobnm stiskem mezernku jeho st nebo cel objekt pomoc editovacho kurzoru (skobiky). Vyzkouejte si t funkci klvesy Insert. Taenm my se stisknutm levm tlatkem pes objekty ozname st pp. cel objekt ern (pokud se kurzor na zatku nachzel v tomto objektu) nebo ozname vce objekt pomoc rkovanch rmek (pokud byl kurzor mimo objekty). Poznmka: Pouijeme-li tento posledn zpsob na osaml objekt, provede se jeho oznaen editovacm kurzorem, co bv nkdy rychlej ne nkolikansobn stisknut mezernku. Vce objekt meme oznait i jinmi zpsoby: Klepneme my na dva rzn objekty v dokumentu se stisknutou klvesou Shift. Uzaveme tak do rmek i vechny objekty, kter se nachzej mezi nimi. Postupnm klepnutm my na objekty se stisknutou klvesou Ctrl je mono vybrat vce objekt, kter spolu nesoused. Vechny objekty meme oznait, pouijeme-li poloku menu Edit, Select All.

22

7.prava dokumentu

7.2

pravy vybranch st

Pokud klepneme my do objektu, vykresl se kolem nj rmeek. Potom meme: Pesunout objekt na jin msto taenm my za okraj (my kurzor m tvar ruiky), mnit velikost graf a textovch oblast taenm za chytky na rmeku (my kurzor m tvar dvojit ipky), mnit nkter vlastnosti objektu. Zvolme-li poloku menu Format, Properties, je mono oblast barevn zvraznit (Highlight Region), u matematickch vztah meme nap. nechat provst symbolickou optimalizaci ped numerickm vpotem (Enable Optimization) - viz. kap. 12.4.6 nebo vztah doasn ignorovat (Disable Evaluation). V textov oblasti lze mnit styl psma, u graf zvolit vez nebo zjiovat souadnice bod - viz. kap. 10.1.3. Vechny zpsoby oznaen (viz. kap. 7.1) umouj pesun a koprovn vbru standardnmi zpsoby: Pomoc poloek menu Edit, Cut pp. Copy a Paste, pomoc odpovdajcch ikon na nstrojov lit a v nov verzi Mathcadu je pro tento el k dispozici i prav tlatko myi. K vymazn vbru meme pout poloku menu Edit, Delete. Editovac kurzor umouje navc taenm my pesunout oznaen sti objekt se stisknutou klvesou Shift a koprovat s klvesou Ctrl. Vrazn tak urychlme psan matematickch vztah. (Me se stt, e v nkter star neopraven verzi Mathcadu nebude fungovat.) Jak je popsno v kapitole 4.1 a 4.3, pouvme editovac kurzor i pro pidn matematickho opertoru za nebo ped oznaenou st vrazu a pro opravy vztah (nap. dodatenou aplikaci funkce). Vyuijeme ho tak pi symbolickch vpotech (viz. kap. 12.2). ern oznaen sti objekt umouj rychl opravy. Jak je zvykem ve Windows, sta zat pst sprvn vraz i text. rkovan rmeky umouj navc pesun objekt nejjednodum zpsobem - my kurzor umstme do jednoho z rmek (zmn se na ruiku) a taenm my pemstme rmeky na novou pozici. Zarmovan objekty je mono zarovnat pomoc ikon a klvesou Delete. na nstrojov lit. Obsah rmek meme vymazat

23

7.prava dokumentu

7.3

Vzhled strnky

Pi prav dokumentu potebujeme asto kvli pehlednosti pidat resp. zruit voln dek. Toho doshneme pomoc klves Enter resp. BkSp nebo Del. Okraje, velikost a orientaci papru nastavme ped tiskem dokumentu pomoc poloky menu File, Page Setup. Vtina prac v Mathcadu bv uspodna tak, e vlevo (obvykle na viditeln sti obrazovky) jsou umstny nejdleitj objekty - nadpis, dan hodnoty, vysvtlujc texty, grafy, vsledn hodnoty. Vpravo (zpravidla mimo obrazovku) pak jsou uvedeny vlastn vpotov vztahy, asto velice komplikovan, avak v ppad poteby si je meme snadno prohldnout i poopravit.9 S uvedenm uspodnm souvis zvltn vznam pravho okraje dokument. Proto si v poloce menu File, Page Setup meme vybrat, jestli chceme tisknout pouze objekty vlevo od nastavenho pravho okraje (Print single page width), nebo tisknout celou ku strnky a k rkovanmu okraji danmu velikost a orientac papru.10 Vzhled hlaviky a paty strnky meme upravit pomoc poloky menu Format, Headers/Footers.

7.4

ablony

Vytvoenou hlaviku, zvolen okraje, vlastn styly nadefinovan pomoc poloky menu Format, Style pp. Equation, hodnoty vestavnch promnnch, seln formt vsledk, zvolenou soustavu jednotek, nastaven barev, texty, vztahy a grafy, kter chceme mt i v jinch dokumentech, meme uloit jako ablonu. Zvolme poloku menu File, Save As, vybereme umstn souboru (adres Template), typ souboru (Mathcad Template) a zvolme nzev ablony. Chceme-li potom otevt nov dokument zaloen na tto ablon, zvolme poloku menu File, New a vybereme ze seznamu ablon. Stejn jako jin soubory meme otevt i vytvoen ablony a provst ppadn zmny. ablony v Mathcadu maj pponu .mct.

9

To je podle ns jedna z hlavnch pednost vpot vytvoench v Mathcadu oproti vpotm vytvoenm nronjm a pro uivatele neprhlednm programovnm. 10 Pokud vak nkter sti vztah peshnou i rkovan okraj, budou vytitny samostatn na zvr dokumentu. 24

7.prava dokumentu

7.5

Uzamen dokumentu

Uren dky dokumentu lze uzamknout, a tak je chrnit ped zmnami jinch autor. Postup je nsledujc: Umstme kurzor na voln msto a zvolme poloku menu Format, Lock Regions, Set Lock Area, na obrazovce se objev horn a doln hranice (viz. ipka na zmeku) uzamykateln oblasti, kterou meme na potebn msto pesunout jako ostatn objekty v Mathcadu (viz. obr. 17), pemstme kurzor do oblasti, kterou chceme uzamknout, zvolme poloku menu Format, Lock Regions, Lock Area a v ppad poteby vybereme heslo (password). Pozor! Rozliujte mal a velk psmena. obr. 17

Uzamenou oblast vidme na obr. 18. Nyn zde nememe provdt dn zmny, pouze koprovat vztahy z tto oblasti ven. obr. 18

Oblast, ve kter se nachz kurzor, lze opt odemknout pomoc pkazu menu Format, Lock Regions, Unlock Area a vypsnm pp. hesla. Uzamknout ped zmnami lze i jeden samotn vztah pomoc poloky menu Format, Properties. (Me se stt, e v nkter star neopraven verzi Mathcadu nebude fungovat.)

25

7.prava dokumentu

7.67.6.1

Vytvoen vazeb s jinmi dokumentyHyperlink

S jakmkoliv objektem ve vytvenm dokumentu, nejlpe s uritm slovem v textu, lze svzat jin, ji dve vytvoen a uloen dokument. Pokud potom dvakrt klepneme my na tento objekt, svzan dokument se oteve. Vazbu vytvme nsledujcm zpsobem: Ozname objekt, se kterm bude druh dokument svzn, nap. dvakrt klepneme my na urit slovo v textu (nejlpe v textu bez vloench matematickch vztah), zvolme poloku menu Insert, Hyperlink, New a oteve se okno, kde zadme adresu dokumentu (path nebo URL), kter m bt svzn s vybranm objektem naeho dokumentu, meme vyplnit hlen, kter se m objevit na stavovm dku, kdy podrme my nad vybranm objektem (Message that appears on the status line when mouse is over link), stiskneme tlatko OK. Vybran slovo se zobraz tun a podtren.11 Svzan dokument bychom u nemli nikam pesouvat, aby zadan adresa stle odpovdala. Pokud te umstme my kurzor nad objekt, objev se na dku zprv dole na strnce zvolen hlen. Kdy dvakrt klepneme my na oznaen slovo, svzan dokument se opt oteve. Tuto vazbu s vybranm objektem lze upravit pomoc poloky menu Insert, Hyperlink, Edit a zruit pomoc poloky menu Insert, Hyperlink, Erase.

11

U jinho objektu (matematick vztah, graf) bychom bohuel zmnu ve vzhledu nezaznamenali a navc by se zmnila pvodn funkce dvojho klepnut na objekt (nap. u graf formtovn). 26

7.prava dokumentu

7.6.2

Odkaz (Reference)

Do vytvenho dokumentu meme vloit odkaz na jin dokument pomoc poloky menu Insert, Reference. Tak lze vyut vechny definice promnnch a vpotov vztahy, kter jsou uvedeny v tomto vloenm dokumentu, ani bychom museli druh dokument otvrat, vztahy koprovat atd. Dokument se zobraz ve form ikony s uvedenou adresou. Definice z vloenho dokumentu je mon vyuvat vpravo i pod touto ikonou. S ikonou meme zachzet stejn jako s jinmi objekty. Pokud na ni dvakrt klepneme my, dokument se oteve a meme provst ppadn zmny.

7.6.3

Vkldn a propojovn objekt (OLE)

Do dokumentu meme vloit objekty z aplikac, kter podporuj techniku OLE. Provst to meme bu pomoc poloky menu Insert, Object nebo Edit, Copy (v pvodn zdrojov aplikaci) a Edit, Paste Special (v Mathcadu). Obdobn lze vloit objekt z Mathcadu do jinch aplikac. Objekt vloen tmto zpsobem do vytvenho dokumentu je mon editovat v pvodnm programu. Posta na nj dvakrt klepnout my (Object Embedded). Pokud vkldme ji uloen soubor (Create from File) a zakrtneme poloku Link, vytvo se navc propojen s pvodnm programem a veker zmny, kter tam provedeme, se projev i na vloenm objektu (Object Linked). Zmny v propojen je mono provdt pomoc poloky menu Edit, Links.

27

8.Posloupnosti, vektory a matice

8.

Posloupnosti, vektory a matice

Posloupnosti, vektory a matice jsou uiten matematick nstroje. V Mathcadu je asto pouvme napklad k rychlmu zpisu velkho potu vztah s promnnmi parametry, ke zpracovn namench hodnot, k vpotm linernch soustav rovnic a zejmna pro vykreslovn graf. Pi prci s vektory a maticemi je dobr umt zadat promnnou s uritm rozsahem hodnot (Range Variable).

8.1

Definice promnn s uritm rozsahem hodnot

Pomoc sekvence klves i:0;5 piadme promnn i posloupnost celch sel od 0 do 5 a pouijeme ji pozdji pi vytven vektor. Msto klvesy ; meme pout tlatko ze sady nstroj pod ikonou . O hodnot promnn i se pak pesvdme sekvenc i = . Obdobn to provedeme i s promnnou j. Vsledek akce vidme na obr. 19. obr. 19 i 0 .. 5 i 0 1 2 3 4 5 j 1 .. 4 j 1 2 3 4

S tmito posloupnostmi te meme dle pracovat. Nejastji je asi pouijete jako indexy vektor.12 Vyskytne-li se promnn s uritm rozsahem hodnot v matematickm vrazu, Mathcad vye vraz pro kadou hodnotu posloupnosti. Kdy zadvme promnnou, jej hodnoty tvo cel sla s krokem jedna, peme pouze prvn a posledn len posloupnosti (viz. obr. 19). Pokud bychom potebovali promnnou, kde mezi hodnotami nen krok jedna (nap. u graf), uvd se za prvnm lenem jet druh len posloupnosti (nikoliv krok), oddlen rkou (viz. obr. 45). Pokud maj hodnoty jednotku, nemusme ji pst jako v pedchoz verzi Mathcadu za kad slo (viz. obr. 47).12

V dalch pkladech kapitoly 8 budeme promnn i a j definovan na obr. 19 vyuvat a nebudeme je pokad znovu definovat ! 28

8.Posloupnosti, vektory a matice

8.28.2.1

VektoryIndexovan promnnpod ikonou

Indexovan promnn tvome pomoc klvesy [ , nebo tlatkem .

astou chybou je zmna indexu danho tmto zpsobem a indexu vytvoenho pomoc teky (viz. kap. 4.2.1). Index vytvoen pomoc teky je spe estetickou zleitost pi volb nzvu promnn a Mathcad ho za index nepovauje: obr. 20 F1 F1 100 . N 200 . N F F=

0 100 0 100

N N

F1

=

100 N=

indexovan promnn kosmetick index

=

F1

200 N

Promnnou vytvoenou sekvenc klves F.1 bere Mathcad jako skalrn promnnou s nzvem F teka 1, naproti tomu promnnou danou sekvenc F[1 (na obrazovce vypad tm shodn) chpe jako druh prvek vektoru F. Prvn prvek m toti standardn index nula (viz. kap. 8.2.2). Pokud pedchozm prvkm vektoru nepiadme dn hodnoty maj standardn hodnotu nula (viz. obr. 20).

29

8.Posloupnosti, vektory a matice

8.2.2

Zmna indexu prvnho prvku pole

Jestlie chcete, aby prvn dek i sloupec vektor a matic ml index 1, zavete promnnou s nzvem ORIGIN a piate j hodnotu 1. Obecn mete zvolit jakkoliv cel slo (tedy i zporn). Standardn m tato promnn hodnotu 0. Zmnu standardn hodnoty je mono provst, pokud zvolte poloku menu Math, Options a vyberete Built-in Variables. Postup pi zmn indexu prvnho prvku pole je vidt na obr. 33 nebo na obr. 36.

8.2.3

Zadvn vektor

Vektor me bt vytvoen vpotem. Na obr. 21 vidte definici vektoru s nzvem sinus, kde jednotliv prvky vektoru (s indexem 0 a 5) jsou hodnoty vypoten z funkce, do kter vstupuje tak posloupnost sel i definovan na obr. 19 obr. 21 0 0.588 sinus i sin i. 5 sinus = 0.951 0.951 0.588 0 Pro nzornost uvedeme dal pklad, ve kterm nejprve nadefinujeme vektor moc a potom sekvenc klves mocsin[i:moc[iSpace*sinus[i vytvome nov vektor s nzvem mocsin jako souin prvk dvou vektor (moc a sinus) se stejnm indexem i : obr. 220 1 moc i i2

0 0.588 mocsin i moc i. sinus i mocsin = 3.804 8.56 9.405 3.062 1015

moc =

4 9 16 25

30

8.Posloupnosti, vektory a matice Na tomto pkladu vidte dsledek zaokrouhlovac chyby u poslednho prvku (s indexem 5) vektoru mocsin, kde msto nuly dostvme slo nule se blc.13 Jak ji bylo uvedeno (kap. 4.1), dvoj klepnut my na vsledn sla umon nastavit jejich formt. Zde si mete vyzkouet poloku Zero Tolerance, kter se nastavuje globln pro cel dokument. Standardn m hodnotu 15, tzn., e sla men ne 1.10-15 se ji zobrazuj jako nuly. Vektory nemusme samozejm tvoit vdy vpotem, ale meme je pmo vypisovat pomoc tlatka pro zakldn matic s jednm sloupcem. (viz. kap. 8.3.1) jako matice

Vektory lze zadvat nap. sekvenc klves x[i:2,5,8,1,3,4 pomoc tabulky. Opt zde vyuijeme definici promnn i z obr. 19: obr. 23 vektor xi 2 5 8 1 3 4 2 5 x=

tabulka hodnot xj 5 8 1 3

8 1 3 4

Na obr. 23 jsme nechali nejprve pomoc sekvence klves x = zobrazit cel zadan vektor x a potom pomoc klves x [ j = pouze hodnoty prvk vektoru x s indexy j (viz. obr. 19) ve form tabulky. Rozliujme tato dv zobrazen vektor. V prvnm ppad se vektor, pokud m vce ne jedenct prvk, zobraz ve form okna s posuvnkem.14 Okno meme zmenovat i zvtovat taenm za chytky. Druh zpsob zobrazen uvme, pokud chceme zobrazit pouze vybran prvky vektoru a tento poet je omezen na 50 prvk. Pi zobrazen vektor mus mt vechny prvky stejnou jednotku. Vektor me bt obdobn jako matice vytvoen importovnm dat pomoc nstroj uvedench v kapitole 9. Vektor meme tak zadat petenm hodnot z datovho souboru pomoc funkce READPRN("cesta") - viz. pehled vestavnch funkc na konci pruky.13

Chyba je zpsobena tm, e pi numerickch vpotech (na rozdl od symbolickch - viz. kap. 12.1) bere Mathcad pedvolenou hodnotu s pesnost na pouhch 15 desetinnch mst. 14 Pokud nen v poloce menu Format, Number zakrtnuto Display as Matrix. Pokud je tato poloka zakrtnuta, zobrazuje se vektor cel a do 200 dk. 31

8.Posloupnosti, vektory a matice

8.2.4

Matematick operace s vektory

S vektory meme velice jednodue provdt vechny bn matematick operace. Nsoben a dlen ve nadefinovanho vektoru moc (viz. obr. 22) libovolnou konstantou. Pi dlen nulou nahls Mathcad: Found a singularity while evaluating this expression. You may be dividing by zero. obr. 24

0 0.5 s moc 2 s= 2 4.5 8 12.5 Tak stn (resp. odetn) a skalrn souin dvou vektor lze provst jednodue - stejn jako u skalr: 15 obr. 250 1.588 t moc sinus t= 4.951 9.951 16.588 25 u moc . sinus u = 22.356

Vektorov souin trozmrnch vektor bychom pak provedli pomoc tlatka v sad pod ikonou .

8.2.5

Operace s jednotlivmi prvkypod ikonou , s jeho pomoc

Nejprve si meme vyzkouet funkci tlatka seteme vechny prvky vektoru:

15

Samozejm je nutno dodret stejn poet prvk u obou vektor, jinak Mathcad nahls: The number of rows and/or columns in these arrays do not match. 32

8.Posloupnosti, vektory a matice obr. 26v mocsin v = 22.356

Poznmka: Sprvnost vpotu si ovte, srovnte-li tento souet prvk vektoru mocsin (vektor souin odpovdajcch prvk vektor moc a sinus - obr. 22) se skalrnm souinem vektor moc a sinus (viz. obr. 25). Vsledek mus bt stejn. Pomoc tlatka obr. 27 4 mocsin k = 17.964 k=3 Na obr. 26 je souet vech prvk vektoru mocsin, na obr. 27 jen souet 4. a 5. prvku (prvk s indexem k = 3 a 4). Zmna indexu prvnho prvku viz. kap. 8.2.2. V pkladech na obr. 26 a obr. 34 zachzme s vektory spe jako s mnoinami prvk. Operace, kter s nimi provdme, vektorov matematika nezn. Meme napklad pist (resp. odest) ke kadmu prvku libovolnou konstantu: obr. 28 pod ikonou meme stat pouze nkter prvky:

2 1 w moc 2 w= 2 7 14 23Pokud chceme s vektory provdt dal operace, kter vektorov matematika nedovoluje, musme pout tlatko (Vectorize) ze sady pod ikonou . Toto tlatko nm umon provdt rzn operace (mocniny, aplikace funkc) s kadm prvkem zvl. Pokud bychom ho nepouili, nahls Mathcad chybu: Cant perform this operation on the entire array at once. Try using vectorize to perform it element by element. Na obr. 29 vytvome pomoc sekvence S:2/w Space konstantu (dvojku) postupn vemi prvky vektoru w a vektor S, kde dlme

33

8.Posloupnosti, vektory a matice sekvenc T:moc^2 Space vektoru moc na druhou. obr. 29 1 2 S 2 w S= 1 0.286 0.143 0.087 T moc2 T= 0 1 16 81 256 625 vytvome vektor T, kde umocnme kad prvek

Obdobn dostaneme vektor U, kde konstantu (dvojku) umocnme postupn vemi prvky vektoru moc - viz. obr. 30. Na obr. 30 vidme, e je mon dokonce vytvoit vektor V, kde postupn umocnme prvn prvek vektoru S prvnm prvkem vektoru moc, druh prvek druhm atd. obr. 30 1 2 U 2moc

1 2 V 4 7 Smoc

16 U= 512 6.554 10 3.355 10

1 V= 1.269 10 3.009 10 0 5 14

U vs mon napadlo, e pouitm tlatka lohu na obr. 22 - vytvoen vektoru mocsin: obr. 310 mocsin ( moc . sinus ) mocsin = 0.588 3.804 8.56 9.405 3.062 10

meme nyn vyeit elegantnji

15

Rozdlnost obou postup vidme nzorn na obr. 32 . Vsledky jsou stejn, a je tvar vektoru sinus jakkoliv: 34

8.Posloupnosti, vektory a matice obr. 32 jednodussi sinus 2 i 0 .. last ( sinus )i

slozitejsi 0 0.345 jednodussi = 0.905 0.905 0.345 0

sinus i 0 0.345 0.905 0.905 0.345 0

2

slozitejsi =

Obecn plat, e bychom mli pouvat spe prvn zpsob (na obr. 32 vlevo), protoe je vrazn rychlej.

8.2.6

Aplikace funkc

Na pedchozm obrzku je vidt pouit jedn z mnoha funkc, kter u vektor znme: last(a) m hodnotu indexu poslednho prvku vektoru a. Dal destky vektorovch a maticovch funkc, kter Mathcad zn, nap. rows(a) poet dk vektoru a, cols(a) - poet sloupc, max(a) - nejvt prvek atd., najdete na konci pruky nebo v npovd. Mete si vyzkouet: obr. 33

ORIGIN

1 rows( moc ) = 6 cols( moc ) = 1 max( moc ) = 25

last( moc ) = 6 ORIGIN 0

last( moc ) = 5

rows( moc ) = 6

cols( moc ) = 1

max( moc ) = 25

Chceme-li aplikovat na vechny prvky postupn njakou funkci, pouijeme opt tlatko . Jinak se objev chybov hlen: You are trying to use an array or range as a scalar. Press F1 for help. Napklad k prvkm naeho vektoru sinus piteme 1 a vsledek zlogaritmujeme:

35

8.Posloupnosti, vektory a matice obr. 340 0.462 ln( sinus 1) = 0.668 0.668 0.462 0

36

8.Posloupnosti, vektory a matice

8.38.3.1

MaticeZadvn matic

Prvky matice mohou bt obdobn jako u vektor (viz. kap. 8.2.3) definovny: vpotem, vypsnm pomoc tlatka v sad pod ikonou ,

importovnm dat - viz. kap. 9, petenm hodnot z datovho souboru pomoc funkce READPRN ("cesta") - ble viz. pehled vestavnch funkc na konci pruky. Pi zobrazovn matic plat obdobn pravidla jako u vektor (viz. kap. 8.2.3). Na obr. 35 je nejprve matice definovan vpotem (vypoctena) a potom matice vytvoen pomoc tlatka (vypsana). Po klepnut my na toto tlatko se objev okno, kde zvolte poadovan poet dk (rows) a poet sloupc (columns) budouc matice a stisknete tlatko Create. Obdobn lze pidvat (Insert) a mazat (Delete) dky a sloupce matic ji vytvoench. Chcete-li pidvat dky i sloupce dopedu (ped prvn dku i sloupec), oznate pedem celou matici editovacm kurzorem (klvesa Space). Pokud je oznaen pouze nkter prvek, pidvaj se dky a sloupce za nj a maou se dky i sloupce oznaen a nsledujc. Tmto zpsobem meme nadefinovat matice s maximln 100 prvky.16 Ostatnmi zpsoby lze vytvoit matice, kter pr mohou mt dov milion prvk (max. 8 milion).

16

Tento problm je mon eit pomoc funkc augment nebo stack (viz. pehled vestavnch funkc na konci pruky). 37

8.Posloupnosti, vektory a matice obr. 35 i 0 .. 2 j sin 0 .. 4 i. 2 cos j. 4

vypoctenai , j

1 0.707 0 0.707 1 vypoctena = 2 1.707 1 0.293 0 1 0.707 0 0.707 1 0.1 0.5 0.6 0.9 1.1 vypsana 1.3 1.5 1.3 0.7 0.3 0.1 0.2 1 2.3 1.4

Vimnte si, e indexy oznaujc jednotliv prvky matice jsou od sebe oddleny rkou. Prvn index oznauje vdy dek a druh sloupec. Hodnota promnn ORIGIN uruje hodnotu indexu prvnho dku a sloupce matice (viz. kap. 8.2.2). obr. 36 ORIGIN 1 vypsana2, 1

= 1.3

ORIGIN

0

vypsana

2, 1

= 0.2

8.3.2

Operace s maticemi

Tyt operace, kter jsme provdli s vektory, meme provst i s maticemi. Stejnm zpsobem meme provdt vechny dovolen matematick operace nsoben konstantou, stn a odetn matic stejnho typu, nsoben dvou matic, z nich prvn m stejn poet sloupc jako druh dk. tvercov matice meme navc umocovat celm slem, piem umocnnm na -1 zskme matici inverzn.17 Stejn jako u vektor meme pi pouit tlatka provdt i dal operace (mocniny, aplikace funkc) s kadm prvkem matice zvl. V sadch nstroj pod ikonami a uitench pi prci s vektory a maticemi: najdeme jet nkolik dalch tlatek

Napklad tlatko , pomoc kterho meme stat prvky pol - sloupce i dky matic, pp. vechny prvky matice dohromady. Na obr. 37 vidme i monost pouit podmnky ve vpotech. Podmnka vdy nabv hodnoty 1, pokud je splnna, nebo hodnoty 0, kdy nen splnna (viz. kap. 16). Stme tedy jen prvky v prvnch17

Pi umocnn na kladn exponent n nsobme mezi sebou n pvodnch matic, pi zpornm exponentu nsobme matice inverzn. 38

8.Posloupnosti, vektory a matice tyech sloupcch matice vypsan, v ptm sloupci nabv podmnka nulov hodnoty (j = 4): obr. 37 vypsana i , j . ( j < 4 ) i 1.5 2.2 2.9 3.9 0 j 3.2 5.1 5 vypsana i , j i j vypsana i , j = 13.3

Tlatko nm pome rychle vytvoit vektor z vybranho sloupce matice. Na obr. 38 jsme vybrali 3. sloupec (s indexem 2) matice vypsana. obr. 38 vypsana < 2 > = 0.6 1.3 1 Tlatko , s jeho pomoc potme nejen absolutn hodnotu sel, ale i velikost vektor a determinanty: obr. 39 5 4 2 det 2 1 4 3 6 3 Pomoc tlatka je mono tvoit transponovan matice. det = 63

39

8.Posloupnosti, vektory a matice

8.4

Vnoen pole(Pouze u verze Mathcad Professional)

Prvkem vektoru nebo matice nemus bt skalr. Prvky pol mohou bt tvoeny dalmi vektory i maticemi. Tmto zpsobem vzniknou mnohorozmrn pole. Takov objekty slou pedevm k pehlednmu uchovn dat. Samozejm, e s nimi meme provdt pouze nkter operace. Meme je srovnvat pomoc podmnkovho rovntka, transponovat, vytvoit vektor z vybranho sloupce matice, vypsat hodnotu prvku. Na obr. 40 vidme jednu z monch definic matice s vnoenmi maticemi (matice d a matice A). Do prvku matice nememe vloit dal matici pomoc tlatka . Nechme-li mnohorozmrn pole zobrazit, nedostaneme hodnoty promnnch, ale rozsah (poet dk a sloupc) jednotlivch prvk matice ve sloench zvorkch. Pokud neztratte pehled v rznch rovnch index, lze tmto zpsobem i provdt rozshl vpoty. obr. 40 a 2 5 3 8 a 9 0 8 a c b d A=

b

5 2 7 6

c

9 1 3 4 d=

d A

{2,2} 9 0 0 8 8 {2,2} 9

d0 , 0 A1 , 1 A1 , 1

=

2 5 3 8=

{2,2} {2,2} {2,2} {2,2}

A1 , 1

=

2 5 3 8=

0, 0

i Si , l

0 .. 1

j Ai , j

0 .. 1 Ak , l

k

0 .. 1 S=

l 19

0 .. 1 27 S1 , 0=

0, 0 0, 1

5

20 23 21 26

j

k

k, l

i, j

{2,2} 33

40

9.Zpracovn dat

9.9.1

Zpracovn datKomponenty

Komponenty jsou zvltn objekty pouvan pro prci s daty v Mathcadu. Pro import a export dat z (do) datovch soubor rznch formt se uvaj: File Read or Write, Input Table a Output Table. Vmnu dat s jinmi aplikacemi zajiuj komponenty: Axum (pedpokld instalaci Axumu 5.0 z 18.5.1997 nebo vy verze), u verze Mathcad Professional t Excel (pedpokld instalaci Excelu pro Windows 95 nebo vy verze), MATLAB (pedpokld instalaci MATLABu Professional verze 4.2c) a Scriptable Object umoujc napsn vlastn uivatelsk komponenty specilnm jazykem (nap. Microsoft VBScript nebo JScript). Pro zachovn kompatibility s pedchozmi verzemi Mathcadu je mon pi prci s daty tak pout dvj funkce READPRN, WRITEPRN atd. (viz. pehled vestavnch funkc na konci pruky).

41

9.Zpracovn dat

9.2

Prce s komponentami

Rzn komponenty se ovldaj odlinm zpsobem. Obecn plat: Poadovanou komponentu vlome na voln msto pomoc poloky menu Insert, Component nebo pouijeme ikonu (Component Wizard).

Na vyznaen msta vyplnme nzvy vstupnch a vstupnch promnnch. Dal potebn vlastnosti komponenty zvolme tak, e na ni klepneme pravm tlatkem myi a vybereme poloku menu Properties.

9.2.1

File Read or Write

Umon vazbu mezi zvolenm datovm souborem a dokumentem v Mathcadu. Spojen se stle aktualizuje. Po klepnut na ikonu zvolme komponentu a objev se prvodce, kde postupn vybereme, zda chceme soubor st (Read from a data source) nebo zapisovat (Write to a data source), formt souboru (nap. Text Files s pponou .prn, .txt, .dat, .csv nebo Excel .xls atd.) a zadme jmno datovho souboru (Enter the name of the file or data source which will be associated with this component). Pomoc poloky menu Properties na pravm tlatku myi meme nap. zvolit, kter dky a sloupce dat chceme propojit. Vsledek akce vidme na obr. 41. Vlevo natme data ze souboru Pokus1 do promnn M1, vpravo zapisujeme hodnoty promnn M2 do datovho souboru Pokus2. Pokud by v promnn M2 byly vsledky njakho vpotu, pesunuly by se do datovho souboru Pokus2 s maximln (vpotovou) pesnost, bez ohledu na zobrazen poet desetinnch mst.

42

9.Zpracovn dat obr. 41

9.2.2

Input Table, Output Table

Pomoc tchto komponent meme opt st nebo zapisovat datov soubor, ale je mon t jednodue vkldat data run. Spojen se souborem se aktualizuje pouze v ppad, e provedeme nov import i export dat. Na obr. 42 vidme vloenou komponentu Input Table: obr. 42

Klepneme-li pravm tlatkem myi na tuto komponentu a zvolme poloku menu Import, meme vloit data z vybranho souboru. Klepneme-li dvakrt levm tlatkem myi, meme zat vkldat nebo upravovat data run. Do vynechanch bunk dopln Mathcad nuly. Obdobn funguje komponenta Output Table.

9.2.3

Komponenty pro vmnu dat mezi aplikacemi

Tyto komponenty zvolme v ppad, e chceme dynamicky pesouvat data z Mathcadu do jin aplikace (Axum, Excel, MATLAB), tam je zpracovvat prostedky druh aplikace ani bychom Mathcad opoutli a zpracovan data vracet zpt do Mathcadu. Nejlpe ve pochopme z pkladu na obr. 43, kde jsme vloili do Mathcadu komponentu Excel. V prbhu vkldn komponenty jsme pomoc prvodce zadali poet vstupnch promnnch (v naem ppad 3), adresu prvn buky, od kter se maj vkldat (A1, B1 a A5), poet vstupnch promnnch (2) a adresy bunk, ve kterch je najdeme (C1:C3 a C4:C5). Tyto definice meme pozdji zmnit pomoc pravho tlatka myi. Dvoj klepnut do komponenty zpsob vmnu lit a poloek menu a umon prci s daty v prosted Excelu. Klepnutm mimo tabulku se vrtme k pvodnm polokm menu a ikonm Mathcadu. 43

9.Zpracovn dat obr. 43 2 vstup1 5 8 4 vstup1 vstup22 5 8 4 0 1 3 6 9 7 3 8 14 13 7

1 vstup2 3 6 9 vstup3 (0 7 )

Do tetho sloupce jsme vloili souet prvnch dvou

( vstup1 vstup2 vstup3 ) 3 vstup1=

8 14

vstup2

=

13 7

Dal podrobnosti o komponentch a pklady jejich pouit najdete, pokud zvolte poloku menu Help, Resource Center nebo ikonu , vyberete QuickSheets a tam Components in Mathcad. Rozshl projekty toku dat je mon ve verzi Mathcad Professional vytvet pomoc programovho modulu MathConnex (viz. kap. 14).

44

10.Grafy

10.

Grafy

S problematikou posloupnost, vektor a matic, kter byla vnovna kapitola 8, i se zpracovnm dat, o kterm jsme hovoili v pedchoz kapitole, zce souvis grafy. Grafick zobrazen je vhodnm doplkem vpot a me slouit i k pehlednmu znzornn velkho mnostv dat. Przkum monost, kter Mathcad v tto oblasti poskytuje, nechvme z vt sti na vs. V tto kapitole uvdme pouze zkladn pehled.

10.1

Rovinn graf x-y

Nejastji patrn pouijete rovinn graf x-y (X-Y Plot). Proto mu zde vnujeme nejvce msta. U ostatnch druh graf jsou mnoh postupy obdobn.

10.1.1

Vytvoen grafu

Mathcad pracuje s body o souadnicch x-y, kter meme seln zadat (viz. obr. 44) nebo je potat z nadefinovan funkce y = f(x) (viz. obr. 45). Tyto hodnoty se znzorn podle zvolenho typu grafu. Nap. poadujeme-li sloupcov graf, vykresl v bodech x sloupeky o vce y, chceme-li rov graf, spoj jednodue body o souadnicch x-y sekami.18 Graf dostaneme na mst kurzoru (lev horn okraj), pokud klepneme my na tlatko v sad pod ikonou . Objev se obrys grafu, kde je teba vyplnit nzvy pol sel, kter maj bt na ose x a na ose y.19 Rozsahy jednotlivch os zadvat nemusme, Mathcad zvol ty nejlep. Chcete-li v jednom grafu znzornit na jedn ose vce pol, je teba jejich nzvy oddlit rkou. Pole souadnic bod meme zadvat rzn: vypsat jako vektor (vtinou v ppad nepravidelnho kroku mezi sly - viz. obr. 44), zadat jako posloupnost sel pomoc tlatka pole souadnic x na obr. 45), (v ppad pravidelnho kroku - viz.

vypotat jako funkn hodnoty v danch bodech - viz. pole souadnic y na obr. 45, vypotat jako posloupnost sel ve form vektoru - viz. obr. 48. Jak grafy funguj je nejlpe vidt z uvedenho pkladu. Na obr. 44 jsou vykresleny rov grafy, kde souadnice jsou pmo dny zvolenmi vektory a, b, c, d. Pokud18 19

U komplexnch sel se znzorn pouze jejich reln st. Jet jednodu je to u tzv. rychlch graf (QuickPlots) - viz. kap. 10.1.2. 45

10.Grafy chceme znzornit vechny prvky, posta na pslun osy uvst pouze nzvy vektor (viz. obr. 44 vlevo).20 Chceme-li vykreslit jen nkter prvky, uvedeme jejich indexy (viz. obr. 44 vpravo - index i). obr. 44 1 a 3 4 b 2 5 9 c 1 5 6 88 6 d 4 2 0 b i 4 2 0

5 d 7 2 i 0 .. 1

8 a c d 6

0

2

4 b

6

8

10

0

2 a, c i

4

6

20

Pokud maj vektory na vodorovn a svisl ose rzn poet prvk (nap. vektory b a c), odpovd poet znzornnch bod potu prvk kratho vektoru (b). 46

10.Grafy

10.1.2

Grafy funkc

Nejprve funkce nadefinujeme. Vimnte si, prosm, jakm zpsobem mete v Mathcadu definovat vlastn funkce, nap. s() a c() na obr. 45 a funkce(z) na obr. 46.21 Potom zvolme posloupnost bod, ve kterch bude Mathcad potat funkn hodnoty. Pi vykreslovn graf funkc si musme dt pozor, abychom toto pole nezvisle promnnch zvolili dostaten hust a graf funkce byl patin hladk. Na obr. 45 znzornme grafy dvou goniometrickch funkc pro x od 0 do 6. Tento sek rozdlme pravideln po jedn desetin (tedy asi na 190 bod). Zpsob vytven takov posloupnosti je vysvtlen v kapitole 8.1. Potom u pemstme kurzor na nov msto a klepneme do tlatka . Na vodorovnou osu napeme nzev zvolen posloupnosti sel a na svislou osu jeden nebo vce nzv funkc, oddlench rkami. U nzv funkc mus bt v zvorce uvedeno, pro kter body m bt vypotena funkn hodnota. obr. 45s( ) x sin( 2. ) c( ) 2. cos( )

0 , 0.1 .. 6. 2 1 s( x ) 0 c( x ) 1 2

0

5

10 x

15

20

Nov verze Mathcadu umouje vytvoit tzv. rychl graf (QuickPlot): Na voln msto napeme vztah obsahujc pouze jednu promnnou (nap. tan()), klepneme na ikonu a umstme kurzor mimo graf. Nadefinovan vztah bude na svisl ose a nezvisle promnn na ose vodorovn, piem Mathcad automaticky vybere rozsah tto promnn od -10 do +10 (viz. obr. 46). Pokud chceme umstit na svislou osu vce funkc, oddlme jednotliv funkce rkou a teprve pak klepneme na ikonu (viz obr. 46 vpravo).

21

U funkc vce promnnch me bt argument funkce i nzev vektoru promnnch. 47

10.Grafy obr. 46funkce ( z)40 20 funkce ( z ) tan ( ) 0 20 40 3 w 4. w 4000

3. z

3

2. z

2.5

1000

2000

0

10

0

10

2000

10

0 z, w

10

Meme nakreslit tak parametrick graf. Na vodorovnou i svislou osu vypeme funkce jedn promnn, jej rozsah (pokud nezadme jinak) opt zvol Mathcad automaticky: obr. 47 Pklad pouit parametrickho grafu xo 3.m vo 15 . m s 60 . deg v o . cos( ) . t 1. . 2 gt 2 0 , 0.1 .. 2 . s xo

zvislost vodorovn vzdlenosti na ase: x( t) zvislost svisl vzdlenosti na ase: zvolen asov sek:(Mathcad by zvolil od -10 do +10 bez jednotky) 10

y( t) t

v o . sin( ) . t

y( t )

5

0

5

10 x( t )

15

20

Hledan trajektorie y = f(x)

10.1.3

prava grafu

Na obr. 44 a 47 jsou vykresleny grafy u po jistch pravch. Chcete-li grafy formtovat, posta na n dvakrt klepnout my. Objev se tystrnkov dialogov 48

10.Grafy okno, ve kterm si sami vyzkouejte funkce jednotlivch poloek.22 Po kad zmn stisknte tlatko Apply (Pout). Dialogov okno zstane na obrazovce a mete pozorovat zmny grafu. Za zmnku stoj poloka Show Markers na strnce X-Y Axes, jej funkce by nemusela bt ihned zejm. Tato poloka umon umstit do grafu ve zvolench souadnicch x resp. y svisl resp. vodorovn ry. Poloka Legend Label na strnce Traces umon zvolit popis jednotlivch ar, kter se objev, pokud nen zakrtnuta poloka Hide Legend (viz. obr. 47). Stisknutm tlatka Change to Defaults na strnce Defaults se vrtte ke standardnmu nastaven pro dan dokument. Zakrtnutm poloky Use for Defaults zmnte podle upravenho grafu standardn nastaven pro vechny pt grafy v dokumentu. Zmnit standardn nastaven vech graf v dokumentu meme tak hned na zatku prce, pokud vybereme poloku menu Format, Graph, X-Y Plot nebo oteveme nov dokument zaloen na ablon se zmnnm standardnm nastavenm graf (viz. kap. 7.4). Po jednom klepnut my na graf mete provdt dal pravy grafu: Pomoc poloky menu Format, Graph, Trace nebo tlatka v sad pod ikonou

urte pesn souadnice bodu, do kterho klepnete my, a mete je koprovat do clipboardu. Zakrtnete-li poloku Track Data Points, odette souadnice bod, ze kterch byl graf sestrojen (souadnice se pohybuj ve skocch a k pesunu mezi jednotlivmi body meme pout klvesy se ipkami). Poloka menu Format, Graph, Zoom nebo tlatko grafu, kter lze rychle vybrat taenm my. umon provst vez

Dle se objev automaticky zvolen rozsahy os ve vanikch a mete je prostm pepsnm zmnit. Pokud nejste spokojeni s velikost grafu, pothnte my za chytky na okraji rmeku.

22

Pokud jsme klepli pmo na osu grafu, nzev grafu nebo nzev osy, meme formtovat pouze tyto objekty. 49

10.Grafy

10.2

Polrn graf

V ppadech, kdy nezvisle promnn je hel, me bt vhodn polrn graf (Polar Plot). Prce s polrnm grafem je obdobn prci s rovinnm grafem x-y (viz. kap. 10.1). Po klepnut my na ikonku s polrnm grafem se objev obrys grafu se dvma ernmi tvereky. Do spodnho vyplnme nezvisle promnnou - hel,23 do levho tvereku vyplnme zvisle promnnou, kter by mla pokud mono nabvat pouze kladnch hodnot.24 Do ernch tverek, kter se potom objev po prav stran mete zvolit rozsah, piem hodnoty rostou od stedu grafu k okraji a nejni hodnota (uprosted) me bt nula. Na ukzku uvdme sinusoidu, kter se v tomto typu grafu zobraz jako krunice. Pole nezvisle i zvisle promnnch jsou dan vpotem jako posloupnosti sel ve form vektor (x a s). Znzorujeme vechny prvky vektoru, tedy nemus bt uveden jejich index. Interval od 0 do jsme rozdlili na 20 dlk: obr. 48 i xi 0 .. 20 0.05 . i . 90 0.8 0.4 0

si120 60

sin xi

150 s 180 210 240

30 0 330

270 x

300

U polrnho grafu je tak mon k zobrazen vraz s jednou promnnou vyut tzv. rychl graf (viz. kap. 10.1.2). Nezvisle promnnou pak vol Mathcad v rozmez 0 a 2. Formtovn polrnho grafu se provd obdobn jako u rovinnho grafu x-y (viz. kap. 10.1.3).

23

Pokud nen uvedena jin jednotka, povauje Mathcad dan sla za hodnoty hl v radinech. 24 Mathcad toti povauje v tomto typu grafu zporn hodnoty za kladn, kter pooto o 180, take graf me bt zcela zdeformovan. 50

10.Grafy

10.3

Graf vektorovho pole

Jestlie znme x-ov a y-ov sloky vektor, meme vytvoit graf vektorovho pole (Vector Field Plot). Tento druh grafu umon zobrazit i matici komplexnch sel. Po stisknut tlatka se objev rmeek s jednm ernm tverekem. Zde vypeme nzev matice x-ovch sloek a rkou oddlen nzev matice y-ovch sloek vektor. Po klepnut my mimo graf se objev pole vektor o stejn ploe jako maj dan matice a rozmry kadho vektoru jsou dny vdy odpovdajc dvojic prvk matic. Prvky s indexy (0,0) jsou zobrazeny vlevo dole. obr. 49 1 2 3 X 2 3 4 3 4 5 4 5 6 Y 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

X, Y Msto dvou matic x-ovch a y-ovch sloek je mono uvst jedinou matici komplexnch sel. Reln sti prvk se pak zobraz jako x-ov sloky a imaginrn jako y-ov sloky vektor. Graf vektorovho pole meme opt formtovat, pokud na nj dvakrt klepneme my.

51

10.Grafy

10.4

Prostorov grafy

Prostorov grafy slou vtinou ke grafickmu zobrazen matic. Osy x a y pak maj vznam dk a sloupc matice a na ose z je hodnota odpovdajcho prvku matice. Do ernho tvereku, kter se po stisku pslun ikony grafu objev, vyplnme nzev matice. Vjimkou je prostorov graf x-y-z (3D Scatter Plot). Mathcad umouje nsledujc zpsoby zobrazen matic: Prostorov plocha (Mesh): obr. 50 i 0 .. 15 sin i . 15 j 0 .. 15 cos j . 15 (Surface Plot). Tomuto typu zobrazen se tak k s

vypoctenai , j

2 1 0 1 0 5 10 15 5 10 15 0

vypoctena Pokud u tohoto typu zobrazen vyplnme do ernho tvereku pod grafem nzvy t stejn rozshlch matic oddlen rkou, vykresl se tzv. parametrick prostorov graf. Mathcad interpretuje tyto ti matice jako x-ov, y-ov a z-ov souadnice bod na ploe.

52

10.Grafy Sloupcov graf obr. 51

(3D Bar Chart):

2 1 0 1

vypoctena Vrstevnicov graf obr. 5215 0.5 10 0 0.5 5 1 0 0 1.5 1 1.5 1 0 0.5 0.5 1 0 0.5

(Contour Plot):

0

5

10

15

vypoctena Formtovn vech tchto graf se provd stejnm zpsobem - dvakrt klepneme na upravovan graf a mme obdobn jako u rovinnho grafu x-y (viz. kap. 10.1.3) k dispozici tystrnkov formtovac okno. Upozorujeme zvlt na poloku Display As na strnce View, kde meme pepnat mezi rznmi zpsoby zobrazen matice. Krom pedchozch t druh zobrazen je zde jet monost Data Points. Jedn se o zobrazen prvk matice ve form bod v prostoru dek-sloupec-hodnota. Vechny pedchoz druhy prostorovch graf zobrazovaly matici. Osy x a y pedstavovaly dky a sloupce dan matice. Jinak je to u prostorovho grafu x-y-z (3D Scatter Plot). Zde meme nadefinovat obvyklmi zpsoby (viz. kap. 8.2.3) 53

10.Grafy vektory souadnic x, y, z a jmna tchto t vektor (oddlen rkou) vypeme do ernho tvereku, kter se objev po stisku tlatka obraz bod v nadefinovanch souadnicch: obr. 53 0.1 2.3 a 3.8 0.9 5.6 b 2.7 1.5 3 0 0.7 c 4.1 3.8 0.5 1.8 0 . Dostaneme prostorov

6

4

2

6 4 2 0

0

1

2

3

a, b, c Formtovn tohoto grafu je obdobn jako u graf pedchozch.

54

10.Grafy

10.5

Animace

Mathcad umouje vytvoen pohybujcho se grafu nebo mncho se matematickho vpotu. To je mon dky vestavn promnn FRAME, kter doke mnit svoji hodnotu s asem. Postup vzniku pohybujcho se grafu je nsledujc: Vytvome graf podle pravidel popsanch v pedchozch kapitolch, avak pi zadvn zobrazovanch hodnot pouijeme nkde promnnou s nzvem FRAME, nap. x:0,0.1;(FRAME+1)*/4 , zvolme poloku menu View, Animate, taenm my uzaveme vytvoen graf do rmeku, zadme odkud kam se m hodnota promnn FRAME pohybovat a ppadn i rychlost pehrvn, stiskneme tlatko Animate, vidme ukzku animace pro nastaven hodnoty promnn FRAME a potom se na obrazovce objev okno, ve kterm si meme vytvoenou animaci pehrvat (stiskem ipky vlevo dole), hotovou animaci lze uloit pomoc tlatka Save As (koncovka .avi) a pehrt pozdji pomoc poloky menu View, Playback a na pravm tlatku myi Open. Pro sputn animace je vhodn pout nap. hyperlink (viz. kap. 7.6.1). Nezapomnejte, e Mathcad vol pi grafickm zobrazovn automaticky rozsahy os tak, aby graf dobe vypadal. Pi animacch je nkdy vhodnj zadat rozsahy os pevn (viz. kap. 10.1.3). Dal monosti, kter existuj pi animaci objekt, nechme na przkumu uivatele. Doporuujeme vyut pklady obsaen v menu Help, Resource Center v sti QuickSheets, Animations.

55

11.een rovnic

11.11.1

een rovnicJedna rovnice pro jednu neznmou

Mathcad je schopen eit i velmi sloit rovnice, kdy hledan neznm je obsaena souasn v nkolika rznch funkcch apod.

11.1.1

Funkce root

Ped vlastnm eenm je zapoteb: eenou rovnici pevst do tvaru, kdy na jedn stran je nula. Tak vznikne na druh stran rovnice vztah f(z), se kterm budeme dle pracovat. Uvst poten odhad neznm. Pokud m rovnice nkolik een, pak zle na tom, z jak strany se Mathcad bude ke sprvn hodnot pibliovat a pro rzn odhady meme dostat jin, by sprvn, vsledky. Jestlie ns zajm een v oblasti komplexnch sel, ml by bt i zvolen odhad komplexn slo. Rovnici vyeme pomoc funkce root(f(z),z), kter m v zvorce dva argumenty vzjemn oddlen rkou. Na prvnm mst je vztah, kter vznikl uvedenou pravou rovnice. Na druhm mst je nzev hledan neznm. obr. 54

x x

10 root 1 x 1 3. sin ( x) ex

7, x

x = 1.249Na dalm obrzku vidme, e je mono eit i rovnici s promnnmi parametry. Hledan neznm y je tentokrt v horn mezi integrlu. Nadefinujeme vlastn funkci f, ve kter jako argument zvolme promnn parametr a do n piadme hodnotu funkce root. Pro poadovan parametry a dostvme potom hodnoty y sekvenc klves f(a)= .

56

11.een rovnic obr. 55

y f( a )

1 y root 0 log( x a ) dx, y

a

0.2 , 0.4 .. 1

f( a ) 1.926 1.356 0.864 0.417 0.061

11.1.2

Chybov hlen nekonverguje

Pokud Mathcad nenalezne een rovnice, nahls: Cant converge to a solution. Try a different guess value or check that a solution really exists. Co meme v takovm ppad udlat: Doporuujeme nejprve zmnit poten odhad. Vzhledem k pouit metod een (metoda seen - regula falsi) se me stt, e u sloitjch funkc s mnoha loklnmi extrmy i nespojitostmi nen pi nkterch potench volbch een nalezeno. eenou funkci meme znzornit graficky (viz. kap. 10.1.2) a ovit, zda vbec njak reln een existuje. Pokud ani pi rznch zmnch odhadu nedostaneme vsledek, zadme odhad jako komplexn slo. Meme zvit povolenou chybu een - viz. konec kapitoly 11.

57

11.een rovnic

11.1.3

Funkce polyroots

Pomoc funkce polyroots(v) meme zskat narz vechna een rovnice n-tho stupn ve tvaru: vnzn + ...+ v1z + v0 = 0. Nejprve nadefinujeme vektor koeficient v. Me obsahovat i komplexn prvky. Na rozdl od funkce root nemusme volit poten odhady koen. Potom zskme vsledek ve form vektoru sekvenc klves polyroots(v)=. Na obr. 56 eme rovnici 2x3 + 8x2 - 5 = 0: obr. 56 5 v 0 8 2 polyroots ( v )=

3.83 0.898 0.727

11.2

Soustavy rovnic

V kapitole 4.2.2 jsme vysvtlili vznam jednotlivch typ rovntka. Na pedchozch stranch jsme pouit dvou hlavnch typ rovntka pro vloen (:=) a vypsn (=) hodnoty procviili na mnoha pkladech. Pi een soustav rovnic vyuijeme podmnkov rovntko. Zskme ho stiskem tlatka (Boolean Equals) v sad pod ikonou .

11.2.1

Pravidla pi vytven soustav

Pi psan soustav rovnic je zapoteb dodret nkolik pravidel: Uvst poten odhady hledanch promnnch. Pro jejich volbu plat stejn pravidla jako u jedn rovnice (viz. kap. 11.1.1). Pro rzn odhady meme opt dostat rzn vsledky (viz. obr. 59 a obr. 60). Za odhady neznmch zan soustava rovnic klovm slvkem Given (je dno) a kon funkc Find, nebo Minerr. Ob funkce dvaj ve vtin ppad stejn vsledky. Me se vak stt, e prvn funkce nenajde een a druh ano (viz. obr. 61). Argumenty tchto funkc jsou v obou ppadech nzvy hledanch neznmch oddlen rkou. Promnn v soustav nesm bt ve form pol.

58

11.een rovnic Mathcad by ml umt eit 50 nelinernch rovnic pro 50 neznmch. Mezi pravou a levou stranou rovnic mus bt podmnkov rovntko. V soustav mohou bt i nerovnice (nikoliv nerovnost ). Mezi Given a Find (resp. Minerr) se nesm objevit dn pomocn vztahy. Pokud je rovnic mn ne neznmch, ohls Mathcad: This system of equations has more unknowns than there are equations.

11.2.2obr. 57 a 3 Given a 5a 3a 4b 5b 7b b 7c 4 8c 3 9c 2 3

een soustav linernch rovnic

eme soustavu t rovnic pro ti neznm a, b, c:

c

2

0.244 Find ( a , b , c )=

1.467 1.444

Soustavu linernch rovnic meme vyeit jet snadnji, kdy pouijeme bnho matematickho postupu s vyuitm matic a vektor. Koeficienty z lev strany rovnic pepeme do tvercov matice (nap. L) a prav strany rovnic uvedeme ve form vektoru (nap. P). Vektor hledanch neznmch R dostaneme tak, e k matici L vypoteme matici inverzn a tu vynsobme vektorem P. V nsledujcm pkladu budeme takto eit soustavu rovnic z obr. 57.

59

11.een rovnic obr. 58 1 4 7 L 5 5 8 3 7 9 R L1.

4 P 3 2

P

0.244 R=

1.467 1.444

Hledan een je tedy: a = - 0,244; b = - 1.467; c = 1.444, co je stejn vsledek jako na obr. 57. Ve verzi Mathcad Professional je pro een soustav linernch rovnic k dispozici funkce lsolve(L,P).

11.2.3

Soustavy nelinernch rovnic

Nelinern rovnice mohou mt vce een. V tom ppad zle, jak jsme ji uvedli, na pvodnm odhadu hodnot. Napklad prnik krunice a pmky dv dv een.25 Napeme rovnici krunice se stedem v potku a polomrem 1 a rovnici pmky, kter prochz potkem pod hlem 45. Nyn najdeme jeden z prsek: obr. 59 r x 1 100 y 100 polomr krunice odhad neznmch klov slovo rovnice krunice rovnice pmky=

Given x2 y x Find ( x , y) Pozor: 0.707 0.707=

y2 r 2

hledan prsek y=

x

100

100

Vimnte si, prosm, poslednho dku na pedchozm obrzku. Zde varujeme ped astou chybou uivatel Mathcadu, kter vyplv z nepochopen vznamu funkce

25

Abychom byli pesn, nkdy je jen jedno een a nkdy dn. 60

11.een rovnic Find. Find je funkce a nikoliv promnn. Do neznmch x a y nebyly dosud piazeny vypoten hodnoty. Neznm maj stle hodnotu odhadu! Pokud bychom chtli s vypotenmi sly dle pracovat, musme hodnoty funkce Find vloit do njak promnn, nap. do vektoru s nadefinovanmi nzvy prvk x, y (nebo a, b - viz. obr. 60 a obr. 61). 26 Nali jsme een, tj. souadnice prseku v I. kvadrantu krunice. Zmnou odhadu promnnch x a y najdeme een pro prsek ve III. kvadrantu krunice. 27 een je doplnno grafickm znzornnm lohy. Vypoten souadnice a, b jsou zobrazeny v grafu tverekem. obr. 60r x 1 100 y 100 jin odhad

Given x2 y x pole neznmch: Grafick znzornn x( ) r . cos ( ) y( ) r . sin ( ) primka( t) t r .. r t posloupnost nezvisle promnnch a b Find ( x , y) y2 r 2 soustava rovnic een: a = 0.707 b = 0.707 k nakreslen krunice vyuijeme parametrick graf (viz. kap. 10.1.2)

1 y( ) primka ( t ) b 1 1 0 x( ) , t , a 1 0

26 27

Obdobn to bylo i u funkce root - viz. obr. 54. Jin een lze nkdy nalzt, pokud do soustavy pidme vhodn zvolenou nerovnici podmnku pro hledanou neznmou. 61

11.een rovnic

11.2.4

Vznam funkce Minerr

Na dalm obrzku si ukeme vznam funkce Minerr pro een soustavy rovnic. Pouijeme stejnou krunici jako u pedchozho pkladu, ale pmku posuneme tak, e se s krunic neprotn. Soustava rovnic nem reln een. Pouijeme-li funkci Find, ohls Mathcad chybu: Cant find a solution to this system of equations. Try a different guess value or check that a solution really exists. Pouijeme-li funkci Minerr, dostaneme een znzornn v nsledujcm grafu kkem - een, kter pokud mono spluje ob rovnice s minimln chybou. Poznmka: Soustava rovnic m ve skutenosti een v oblasti komplexnch sel. Zadme-li v odhadu neznmch za x, y jakkoliv komplexn sla, dostaneme i pomoc funkce Find sprvn een: x = 1+0.707i ; y = -1+0.707i. obr. 61r x 1 100 y 100

Given x2 y x y2 r 2 2 nov rovnice pmky a b Minerr ( x , y) een: a = 0.794 b = 0.794

pole neznmch: Grafick znzornn x( ) r . cos ( ) y( ) r . sin( ) primka( t ) t t r .. r 12 1 y( ) primka ( t ) b 0 1 2 3 2 1

2

0 1 x( ) , t , a

2

62

11.een rovnic

11.2.5

Promnn ve form pol

Nyn si ukeme, jak obejt zkaz pouvn promnnch ve form pol v soustavch rovnic. Udlme to obdobn jako u jedn rovnice v pkladu na obr. 55.28 Budeme opt eit pklad s krunic a pmkou, ale polomr krunice se bude tentokrt mnit - bude postupn nabvat hodnot 1, 2 a 3. Promnnch parametr by v soustav mohlo bt vce, vechny bychom uvedli jako argumenty nov nadefinovan funkce f : obr.