1

Prirodni brojevi Definicija: Skup prirodnih brojeva je skup koji zadovoljava etiri Peanova aksioma: P1. postoji funkcija sljedbenika : ;s

P2. s je injekcija;

P3. postoji bar jedan element 1 koji nije niiji sljedbenik, odnosno 1s n za svaki ;n

P4. ako je M i ako vrijedi (i) 1 ,M

(ii) ,n M s n M onda je .M Aksiom P4 se zove princip matematike indukcije i koristi se za dokazivanje raznih korisnih tvrdnji. Operacije na skupu definiramo na sljedei nain: * zbrajanje je funkcija : sa svojstvima

1 , , ;m s m m s n s m n m n * mnoenje je funkcija : sa svojstvima

1 , , .m m m s n m n m m n Teorem: Postoji tono jedan skup koji zadovoljava etiri Peanova aksioma. Funkcije i jedine su funkcije s gornjim svojstvima. Teorem: Zbrajanje i mnoenje imaju sljedea svojstva: za sve , ,m n p vrijedi

(i) asocijativnost, odnosno

,m n p m n p ;m n p m n p (ii) komutativnost, odnosno

,m n n m ;m n n m

(iii) distributivnost, odnosno

,m n p m p n p ;m n p m n m p (iv) ,m n m p n p ;m n m p n p

2

(v) .m n m Definicija: Nake su , .m n Tada je m manji od n (oznaka: m n ), ako i samo ako postoji p

takav da je .m p n Nadalje, m je manje ili jednako n (oznaka: m n ), ako i samo ako

vrijedi m n ili .m n

, je (potpuno) ureen skup, odnosno je relacija potpunog ureaja na skupu . U skladu s definicijom ureenog skupa moemo definirati intervale u skupu . Tako je npr.

1, :1 1, 2, , ,

1, :1 1, 2,3, .

n p p n n

p p

Definicija:

Skup X ima n elemenata, odnosno card ,X n ako i samo ako je ekvipotentan s 1, .n

Skup X je prebrojiv ako i samo ako je ekvipotentan nekom podskupu od . Skup je neprebrojiv ako i samo ako nije prebrojiv. Skup X je prebrojivo beskonaan, odnosno

0cardX (alef nula), ako i samo ako je ekvipotentan s .

Skup prirodnih brojeva , je svuda diskretan ili diskretno ureen, tj. za svaki n

vrijedi : 1 .p n p n

Cijeli brojevi Motivacija za uvoenje skupa cijelih brojeva : Znamo da za ,m n vrijedi

! m n p m p n pa moemo pisati .p n m Ako je ,n m onda ,n m a eljeli bismo da jednadba

m p n ima rjeenje u nekom (irem) skupu brojeva, oznaimo ga sa , za svaki izbor

brojeva , .m n Stoga skup prirodnih brojeva proirujemo s njegovom negativnom kopijom

i dodajemo element 0 za koji vrijedi 0 0m i 0 ,m m .m

Ureaj na skupu uvodimo slino kao to smo uveli ureaj na skupu . Skup , je diskretan kao i skup , ali skup nema najmanji element.

Skupovi i su ekvipotentni, odnosno oba imaju jednako mnogo elemenata, jer je funkcija

:f definirana s

, za paran

2

1, za neparan

2

nn

f nn

n

bijekcija.

3

Raunske operacije , , na skupu definiramo na poznati nain. Te operacije imaju ista svojstva kao i raunske operacije u skupu .

Racionalni brojevi Na skupu

, :m n m n definiramo relaciju s

1 1 2 2 1 2 2 1, , .m n m n m n m n je relacija ekvivalencije. Skup racionalnih brojeva je skup svih klasa ekvivalencije na skupu , odnosno

: .m

q m nn

Raunske operacije , i : te relaciju potpunog ureaja na skupu definiramo redom

kako slijedi:

1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1

1 2 1 1 22

21 2 2 1

2

1 21 2 2 1

1 2

,

,

: , za 0,

.

m m m n m n

n n n n

m m m m

n n n n

m

m m n m nm

mn n m n

n

m mm n m n

n n

Raunske operacije , , na skupu imaju ista svojstva kao i raunske operacije u skupu .

Teorem: Skup je svuda gust, odnosno izmeu svaka dva razliita racionalna broja se nalazi

beskonano mnogo racionalnih brojeva. Dokaz: Dovoljno je dokazati da se izmeu svaka dva razliita racionalna broja nalazi bar jedan racionalni broj. Neka je

11

1

,m

qn

222

mq

n i 1 2q q odnosno 1 2 2 1.m n m n

Za broj 1 2 1 2 2 1

1 22 2

q q m n m nq

n n

vrijedi

* 1q q jer je 1 1 2 1 1 2 2 1 12m n n m n n m n n i

* 2q q jer je 1 2 2 2 1 2 2 1 22 .m n n m n n m n n

4

Iako je skup svuda gust, a svuda diskretan, oba skupa imaju jednako mnogo elemenata.

Naime, skupovi i su ekvipotentni jer je funkcija :f definirana s

1 1,1 ,

2 1, 2 , 3 2,1 ,

4 3,1 , 5 2,2 , 6 1,3 ,

f

f f

f f f

bijekcija. Kako je ekvipotentan s , to su skupovi i ekvipotentni.

Iz zakljuujemo da je takoer ekvipotentan s .

Realni brojevi Nanoenjem racionalnih brojeva na brojevni pravac, budui da je skup svuda gust, mogli

bismo pomisliti da njegovi elementi prekrivaju cijeli brojevni pravac. To, meutim, nije istina. Ako na brojevni pravac nanesemo dijagonalu kvadrata sa stranicom duljine jedan, dobit

emo po Pitagorinom pouku broj 2.

Teorem: 2 .

Pomona tvrdnja: Kvadrat prirodnog broja n je paran ako i samo ako je n paran. Dokaz tvrdnje: Neka je A sud: Kvadrat prirodnog broja n je paran, a B sud: n je paran. Treba dokazati da je sud A B istinit. Zadatak: Dokaite da za bilo koja dva suda C i D vrijedi:

,C D C D D C .C D D C

Dakle, sud A B je istinit ako i samo ako su istiniti sudovi A B i .B A Da bismo dokazali da je A B istinit sud koristit emo drugu ekvivalenciju iz zadatka, tj. pokazat emo da je sud B A (kvadrat svakog neparnog prirodnog broja je neparan) istinit. Za neparni ,n odnosno za 2 1, ,n k k

22 2 2je paran

2 1 4 4 1 4 1n k k k k k

je neparan jer je zbroj parnog i neparnog uvijek neparan. Preostaje dokazati da je sud B A (kvadrat svakog parnog prirodnog broja je paran) istinit. Za parni ,n odnosno za 2 , ,n k k

22 22 4n k k je paran

pa je dokaz tvrdnje zavren.

5

Dokaz teorema: Koristit emo tehniku kontradikcije ili protuslovlja:

Ako je TA B i ako pokaemo da je ,B onda je prema tablici istinitosti za implikaciju .A

Ako je :A 2 , a

:B 2 ,m

n pri emu su m i n relativno prosti (osim jedinice nemaju zajednikih

djelitelja, odnosno ne mogu se dalje skratiti),

onda je T.A B Pretpostavimo da je sud B istinit.

Meutim, onda je 2 22m n pa je prema pomonoj tvrdnji m paran, odnosno 2 .m k

Uvrstimo li 2m k u jednakost 2 22 ,m n imamo 2 22 2 ,k n odakle je 2 22n k pa je n

takoer paran. Zakljuujemo da m i n nisu relativno prosti pa je pretpostavka da je sud B

istinit pogrena, tj. sud B je neistinit. No, onda i sud A mora biti neistinit. Dakle, 2 .

Definicija: Iracionalni brojevi su brojevi koji se nalaze na brojevnom pravcu, a nisu elementi skupa .

Skup realnih brojeva je unija skupa racionalnih brojeva i skupa iracionalnih brojeva. Raunske operacije na skupu definiramo na poznati nain. Te operacije imaju ista svojstva kao i raunske operacije u skupu . Teorem: Vrijedi: (i) skup je svuda gust, odnosno izmeu svaka dva razliita realna broja postoji

beskonano mnogo realnih brojeva; (ii) skup je svuda gust u skupu , odnosno izmeu svaka dva razliita realna broja

postoji beskonano mnogo racionalnih brojeva; (iii) skup je svuda gust u skupu , odnosno izmeu svaka dva razliita racionalna

broja postoji beskonano mnogo realnih brojeva; (iv) skup je neprebrojiv; (v) elementi skupa prekrivaju cijeli brojevni pravac. Odnosi izmeu do sada opisanih skupova:

diskretni gusti

neprebrojivprebrojivi

,

.

6

Definicija:

Apsolutna vrijednost realnog broja je funkcija : 0, definirana s

, za 0,

, za 0.

x xx

x x

Teorem: Za apsolutnu vrijednost vrijedi:

(i) , 0;x r r x r r

(ii) nejednakost trokuta, ,x y x y odnosno openitije

1 1

;n n

i ii i

x x

(iii) ;x y x y

(iv) ,x y x y odnosno openitije

1 1

;n n

i ii i

x x

(v) xx

y y za 0.y

Dokaz:

(i) , za 0, , za 0,

;, za 0 , za 0

x r x x r xx r r x r

x r x x r x

(ii)

i

i

i;

x r x x x xx y x y x y x y x y

y r y y y y

Openitija tvrdnja dokazuje se indukcijom.

* *

1

1 1

1 11 1

1 1 1 1 1

;n n n n n

i i i n i n i n

n n

i ii ii i i i i

x x x x x x xx xx

(iii) ii

;x x y y x y y x y x y

(iv)

, ako je 0 0,, ako je 0 0,

, ako je 0 0,, ako je 0 0,;

, ako je 0 0,, ako je 0 0,

, ako je 0 0 , ako je 0 0

x y x yx y x y

x y x yx y x yx y x y

x y x yx y x y

x y x y x y x y

Zadatak: Openitiju tvrdnju dokaite indukcijom.

7

(v) Za svaki 0y vrijedi:

iv

1, za 0, , za 0,

1 1.

1, za 0 , za 0

xx y y

y y xxx x

y y y yxx y y

y y