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1. Principi di finitura a letto fluido
La tecnologia a letto fluido nasce e si sviluppa nel panorama
industriale come tecnica di lavaggio di pezzi di geometria complessa. I
bassi costi operativi, l ’elevata produttività ed efficienza, aggiunti al
vantaggio di ottenere superfici pulite e asciutte, nonché di avere
emissione inquinanti prossime allo zero, ne hanno consentito lo sviluppo
in questo importante settore. La fluidizzazione di finissime particelle di
vetro permette, attraverso l’energia cinetica sviluppata dagli urti sulla
superficie del pezzo, la rimozione di contaminanti blandamente adesi,
senza alterare al contempo lo stato superficiale.
La possibilità di disporre di polveri metalliche sottili e con
caratteristiche meccaniche molto elevate, permette di spostare
l’attenzione degli studi su tale tecnologia indirizzandola verso operazioni
di f initura superficiale. Il miglioramento delle condizioni della superficie
è affidato all ’interazione superficie-particelle che, a seconda delle
velocità di impatto, può avvenire con i seguenti meccanismi:
• Rolling: per velocità minori di 2,5-2,7 m/s, i grani fluidizzati
colpiscono la superficie di lavorazione, penetrano leggermente nel
substrato e vengono espulsi rimbalzando.
• Sliding: i grani urtano sul materiale ad alta velocità (maggiore di
2,7 m/s). Grazie all’elevata energia cinetica posseduta, penetrano
nella superficie, scorrono per qualche decimo di millimetro e poi
fuoriescono.
Dall’ impatto delle particelle abrasive sulla superficie discendono
cambiamenti della morfologia valutabili attraverso due fattori: il Vdi t c h e
Vpi le . I l primo rappresenta il volume inflesso rispetto alla linea originaria
del profilo (volume della cavità realizzata durante l’impatto); ovviamente
avremo una variazione di tale quantità durante e dopo l’urto a causa del
ritorno elastico del materiale. Parte del profilo inflesso in condizioni di
deformazione elasto-plastiche muta la sua morfologia ed, una volta
rilasciata l’aliquota elastica, può estroflettersi dalla linea media andando
a caratterizzare il volume di piles. Al termine dei fenomeni deformativi
possiamo perciò trovarci di fronte ai tre casi seguenti:
a) Vpi le s=Vdi t c h : ovvero il materiale in lavorazione subisce solo un
cambio di morfologia a causa delle deformazioni plastiche indotte
nel materiale dagli urti ad elevata velocità. Questo comportamento
accade sovente nel caso di polveri f luidizzate molto dure e pezzi in
lavorazione costituiti di materiali duttili ;
b) Vpi le s < Vdi t ch : in questo caso il fenomeno è il cosidetto microcutting;
ci troviamo perciò in presenza di una piccola asportazione di
truciolo.
c) Vpi le s=0: ovvero il volume di inflessione è nullo, il materiale subisce
piccole rotture fragili (microcracking) dovute alla micro-fatica
superficiale.
L’asportazione delle creste di rugosità avviene secondo due
meccanismi: micro-taglio e micro-fatica. Il primo ha luogo quando le
particelle dotate di elevata energia cinetica incontrano la superficie di
lavorazione, anch’essa in rotazione ad elevate velocità angolari, andando
a fratturare le creste di rugosità attraverso elevati sforzi tangenziali. La
micro-fatica deriva dalla presenza di urti normali di particelle abrasive
sulla superficie: tutti i punti sono soggetti ad un ciclo di fatica
superficiale oligociclica con valore della tensione normale massima pari a
quella generata dall’urto e valore della tensione minima pari a zero.
Entrambi i fenomeni contribuiscono alla finitura mediante letto
fluido, ma il prevalere dell’uno rispetto all’altro dipende da molti fattori.
Primo fra tutti i l materiale in lavorazione. Se il materiale è ad elevata
durezza la frattura fragile delle creste di rugosità risulta il fenomeno
prevalente unitamente alla presenza di microfratture superficiale dovuti
agli urti . Nel caso, invece, di materiale molto duttile la micro-fatica
prevale sugli altri due fenomeni.
Risulta evidente che, nel caso di pezzo in rotazione rispetto alla corrente
fluida, i fenomeni siano entrambi presenti contemporaneamente, in
maniera minore o maggiore a seconda di quanto detto in relazione al
materiale della superficie interessata.
Le superficie così ottenuta è caratterizzata da due parametri:
ampiezza dei solchi causati dall’abrasivo e spaziatura fra di essi . Al fine
di adeguare le qualità della superficie realizzata con le specifiche di
tolleranza dimensionale richieste, si può agire sul materiale fluidizzato,
la dimensione dei grani e la velocità d’impatto. Impostati i parametri di
fluidizzazione della polvere in funzione del materiale da trattare, la
minima rugosità media aritmetica realizzabile variando il solo tempo di
residenza del pezzo nella camera di fluidizzazione è funzione dei
parametri scelti .
I materiali delle polveri fluidizzabili sono generalmente materiali
ceramici (elevata durezza e fragilità) ma anche carburi, nitruri e metalli
(acciai soprattutto con durezze di 600-700HV).
La dimensione dei grani e la velocità sono i parametri che
maggiormente influenzano lo stato finale della superficie, agendo
sull’energia cinetica scambiata fra abrasivo e superficie in lavorazione
(Ec i n = 1/2mv2). Realizzando urti più energetici si riducano i tempi di
lavorazione a fronte di tolleranze dimensionali ottenibili più basse
(solchi profondi). Con urti meno energetici , invece, si ottiene minore
finezza della superficie con tempi di lavorazione più elevati. La velocità
relativa fra pezzo e polvere abrasiva è ottenuta modulando
opportunamente la velocità di f luidizzazione e quella periferica di
rotazione del pezzo. Esistono perciò molte combinazioni
granulometria/velocità possibili per ottenere le medesime condizioni di
finitura sul pezzo: esse andranno studiate caso per caso.
1.1 Parametri per la misura della rugosità
La f initura del materiale dipende dalle microimperfezioni geometriche della
superficie.
Queste possono essere raggruppate in tre categorie: errori di forma,
ondulazione e rugosità. Prendendo in considerazione una stessa lunghezza
nominale le microimperfezioni si distinguono per le differenti lunghezze di
oscil lazione. Si parla di rugosità quando la distanza fra due creste o due vall i
successive è nell’ordine di 0,1 mm, di ondulazione quando questa distanza
sale f ino a 10 mm.
Figura 1 Difett i micro geometrici in relazione alla lunghezza d’onda
In questo contesto verranno prese in considerazione entrambe le
imperfezioni geometriche (rugosità e ondulazione) e, per conoscerne al
meglio l’andamento in un assegnato profilo, saranno uti l izzati alcuni
markers, detti parametri di rugosità e parametri di ondulazione. Nelle norme
internazionali sono stati inserit i una quantità notevole di parametri in grado
di darci informazioni su profil i bidimensionali e tridimensionali, ma in
questo studio ne saranno presi in considerazione 6 per ogni tipo di
imperfezione. Di seguito verrà spiegato i l signif icato f isico e le modalità di
calcolo per i parametri di rugosità scelt i, gli equivalenti parametri di
ondulazione si ottengono nello stesso modo tenendo in considerazione che i
calcoli devono essere effettuati sul profi lo d’ondulazione. I parametri di
rugosità adottati sono: Ra, Rz, RSm, RDq, Rsk, Rku, mentre quelli relativi
all ’ondulazione sono: Wa, Wz, WSm, WDq, Wsk, Wku.
3.1 Ra
Rappresenta lo scostamento medio aritmetico del profilo ed è calcolato con la
funzione:
∫=L
a dxxZL
R0
)(1
dove L è la lunghezza del profi lo e Z(x) la funzione:
Figura 2 Ra
L’asse x rappresenta la l inea media del profilo misurato. Ra risulta essere,
dunque, l’altezza equivalente del rettangolo avente per area quella sottesa
alla funzione Z(x) e per base la lunghezza L del profi lo.
Ra è i l parametro solitamente più uti l izzato per una descrizione sommaria
delle qualità di un profi lo, ma esso risulta insensibile alla distribuzione dei
picchi e delle vall i lungo la corda misurata.
4.2 Rz
E’ definito come l’altezza massima del profilo ovvero la distanza che esiste
fra il picco più alto e la valle più profonda rispetto alla l inea media misurato
su una lunghezza di base:
Figura 3 Rz
4.3 RSm
Rappresenta la larghezza media degli elementi del profilo, dove ogni
elemento è calcolato a partire dall ’ intersezione del f ianco del profilo con la
linea media dello stesso:
Figura 4 Rsm
∑= Xsim
RSm1
4.4 RDq
E’ un parametro ibrido, indica la pendenza quadratica media del profilo
mediata su una lunghezza di base
4.5 Rsk
Detto anche “skewness”. Misura la simmetria di un profi lo rispetto alla
sua linea media, dipende perciò dalla distribuzione dei picchi e delle vall i su
tutto l ’arco di misura. Analit icamente è definito come:
dxxZLRq
RskL
∫⋅=0
33
)(11
Dove Rq è la rugosità quadratica media calcolata secondo la relazione:
dxxZRqL
∫=0
2)(
Figura 5 Rsk
Superfici con Rsk posit ivi presentano alti picchi che si protendono al di
fuori della linea media, superfici con Rsk negativi presentano invece
profonde valli (superfici porose).
4.6 Rku
Definita dalla relazione analitica:
( )∫∫=a
qku dxdyyxZ
RR 4
4),(
1
dove Rq è lo stesso visto in precedenza.
Figura 6 Rku
Il signif icato di questo parametro è quello di darci un’informazione
sull’appiatt imento delle creste di rugosità, inoltre per valori molto diversi da
3 si ha un’idea sulla distribuzione irregolare delle creste e delle vall i su tutto
il profilo di misura.
2. La teoria della fluidizzazione
La teoria della f luidizzazione studia l ’analisi dei fenomeni di interazione
tra f lussi f luidi e solidi, in genere, sotto forma di particolato di piccole
dimensioni. La prima condizione che si presenta nella descrizione di un Letto
f luido è quella in cui all ’ interno del reattore tubolare, che in genere presenta
sezione circolare o rettangolare, vengono poste delle polveri senza che queste
vengano investite da un f lusso di gas: tale configurazione statica in cui le
particelle occupano un volume minimo viene definita Letto f isso. Quando si
convoglia all ’ interno del contenitore un f lusso di gas si ha il sollevamento
delle particelle e si possono individuare due zone. La prima è occupata dal
particolato f luidizzato, la seconda, detta free board zone, si trova
immediatamente sopra alla prima ed ha la funzione di impedire che i solidi
trasportati dal gas escano dal reattore evitando il fenomeno caratteristico dei
letti f luidi detto elutriazione.
Figura 7 Nomenclatura delle zone di f luidizzazione del Letto
FREE B OARD ZONE
FLU ID ISED BED
F IXED BED
TU R BU LE N T
R E G I M E
(d )
F I X ED
B E D
(a )
S LU G G IN G
R E G I M E
(c )
FA S T
F LU ID I Z A T I O N
(e )
PN E U M A T IC
C O N V EY IN G
( f )
B U B B LI N G
R E G I M E
(b )
La f luidizzazione si osserva quando un Letto di particelle solide viene in
contatto con un flusso di gas o di l iquido che sale verso l ’alto con una
velocità intermedia: le particelle solide sono trasformate in stato f luido
attraverso sospensione in un gas o in un l iquido. Quando si esaminano le
caratteristiche f luidodinamiche di un Letto f luido il primo aspetto da
evidenziare è che all ’aumentare della portata del gas di f luidizzazione si
riscontra un progressivo mutamento delle caratteristiche del sistema formato
dalle particelle e dal gas.
I regimi che si incontrano a partire dalla condizione di f lusso nullo sono:
• f ixed bed
• bubbling regime
• slugging regime
• turbulent regime
• fast f luidization
• pneumatic conveying
Figura 8 Regimi di fluidizzazione
I regimi di f luidizzazione si susseguono tra loro al variare della portata
del gas f luidizzante a parità degli altri parametri, quali le dimensioni del
Letto e le proprietà f isiche e geometriche delle particelle. In conseguenza
all ’aumento della velocità del gas si ha un aumento del grado di vuoto nel
Letto definito come:
f r
r
V V
Vε
−= (2.1)
dove:
- V f è il volume del Letto in sospensione
- V r è il volume del Letto f isso
Se la velocità è bassa i l f luido f i ltra tra gli spazi vuoti delle particelle
stazionarie, questa è la condizione di Letto f isso (f ig. 2a); all ’aumentare
della velocità le particelle iniziano a vibrare e a muoversi in regioni ristrette,
questa è la condizione di Letto espanso.
Il primo regime che si incontra è quello di minima fluidizzazione al quale
si giunge per una velocità del gas pari a Umf. Questo valore è quello riferito
ad una portata di gas che garantisce una spinta suff iciente a bilanciare il peso
delle particelle e a portarle in sospensione: in altr i termini le condizioni di
f luidizzazione si ottengono allorquando la “drag force” esercitata dal f luido
sulle particelle eguaglia il peso delle particelle stesse, o, equivalentemente,
quando il prodotto tra la perdita di carico attraverso il Letto e la sezione
trasversale del tubo uguaglia i l prodotto tra il volume del Letto, la frazione
del Letto costituita da solidi e il peso specif ico dei solidi stessi.
Il salto di pressione necessario aff inché ciò avvenga è dato dalla
relazione:
gHp fp ))(1( ρρε −−=∆ (2.2)
dove:
- H è l ’altezza del Letto
- ε è il grado di vuoto
- g è l ’accelerazione di gravità
- ρp e ρ f sono rispettivamente la densità delle particelle e del f luido
L’andamento della perdita di pressione attraverso il Letto in funzione
della velocità superficiale del f l
Figura 9 Caduta di pressione in funzione della velocità del f luido
La regione del piano individuata dal segmento rettil ineo OA rappresenta
la condizione di Letto f isso. Qui le particelle
relativo e le distanze tra di esse rimangono costanti. La relazione che lega il
salto di pressione e la velocità del f luido in questa regione à descritta nel
caso generale dall’equazione che segue proposta da
trattazione non viene riportata.
La regione BC è quella in cui si ha la f luidizzazione ed è in questa che si
applicano le relazioni prima riportate per stimare
al perdita di pressione cresce fino al raggiungimento di un deter
H è l ’altezza del Letto
g è l ’accelerazione di gravità
sono rispettivamente la densità delle particelle e del f luido
L’andamento della perdita di pressione attraverso il Letto in funzione
della velocità superficiale del f luido è rappresentato in f igura 3:
Caduta di pressione in funzione della velocità del f luido
La regione del piano individuata dal segmento rettil ineo OA rappresenta
la condizione di Letto f isso. Qui le particelle solide non possiedono moto
relativo e le distanze tra di esse rimangono costanti. La relazione che lega il
salto di pressione e la velocità del f luido in questa regione à descritta nel
caso generale dall’equazione che segue proposta da Ergun
trattazione non viene riportata.
La regione BC è quella in cui si ha la f luidizzazione ed è in questa che si
applicano le relazioni prima riportate per stimare ∆p. Nel punto A si nota che
al perdita di pressione cresce fino al raggiungimento di un deter
sono rispettivamente la densità delle particelle e del f luido
L’andamento della perdita di pressione attraverso il Letto in funzione
uido è rappresentato in f igura 3:
Caduta di pressione in funzione della velocità del f luido
La regione del piano individuata dal segmento rettil ineo OA rappresenta
solide non possiedono moto
relativo e le distanze tra di esse rimangono costanti. La relazione che lega il
salto di pressione e la velocità del f luido in questa regione à descritta nel
ma che in questa
La regione BC è quella in cui si ha la f luidizzazione ed è in questa che si
p. Nel punto A si nota che
al perdita di pressione cresce fino al raggiungimento di un determinato
valore. Questa crescita è più marcata nelle polveri che hanno subito una
compattazione prima delle prove ed è dovuta alla forza in più richiesta per
vincere le azioni di attrazione interparticellari.
Per determinare analiticamente il valore della velocità di minima
fluidizzazione Umf la letteratura propone varie espressioni tra cui:
21 2 1Remf C C Ar C= + − (2.3)
dove:
- Remf è i l numero di Reynolds dato dalla relazione: g
mfpg
mf
Ud
µ
ρ=Re ,
- Ar è il numero di Archimede definito come: 2
3
g
pg dgAr
µ
ρρ ∆= ,
- ρg e µg indicano la densità e la viscosità del gas
- dp è il diametro medio delle particelle
- g è l ’accelerazione di gravità
Le costanti C1 e C2 dipendono dalla forma e dal tipo di particelle, secondo
quanto proposto da Lucas [1] e Adanez & Abanades [2]. Qualora nel corso
della f luidizzazione si formino degli agglomerati di particelle allora sarà
necessaria una velocità del gas molto maggiore rispetto a quella calcolata con
la precedente relazione per raggiungere la condizione di sospensione del
Letto. In generale però si possono verif icare due eventualità per quello che
concerne la minima fluidizzazione e cioè non è detto che vi sia
necessariamente la formazione delle bolle ma si può avere anche una
condizione priva di bolle. Di questo argomento si discuterà nel paragrafo
seguente.
Aff inché si possa ottenere un valore per la Umf da queste espressioni è
necessario conoscere il grado di vuoto del letto nel momento di incipiente
f luidizzazione cioè ε = εmf . Supponendo che si abbia εmf dalla condizione di
letto f isso, si può ottenere un valore di prima approssimazione per U
Tuttavia nei casi pratici l ’ indice di vuoto all’ inizio della f luidizzazione può
essere considerato più grande di quello in condizioni di f issità. Un tipico
valore di mf è 0,4.
I ricercatori Wen e Yu [3] (1966) hanno ricavato una correlazione
empirica per Umf che è simile all ’equazione sopra in due formulazioni
equivalenti:
Re 33,7 1 3,59 10 1
Queste leggi sperimentali hanno validità per particelle sferiche
appartenenti all ’ intervallo: 0.01 < Re
Per la f luidizzazione la correlazione di Wen e Yu è presa come inizio per
il calcolo quando si hanno particelle più grandi di 100
correlazione di Baeyens [4] (1974), mostrata nell’equazione di seguito,
rappresenta in maniera migliore le condizioni di particelle più piccole di 100
µm:
Queste leggi sperimentali hanno validità per particelle sferiche
appartenenti all ’ intervallo: 0.01 < Re
Per la f luidizzazione la correlazione di Wen e Yu è presa come inizio per
il calcolo quando si hanno particelle più grandi di 100
correlazione di Baeyens (1974), mostrata nell’equazione di segui
rappresenta in maniera migliore le condizioni di particelle più piccole di 100
µm:
letto f isso, si può ottenere un valore di prima approssimazione per U
Tuttavia nei casi pratici l ’ indice di vuoto all’ inizio della f luidizzazione può
essere considerato più grande di quello in condizioni di f issità. Un tipico
I ricercatori Wen e Yu [3] (1966) hanno ricavato una correlazione
che è simile all ’equazione sopra in due formulazioni
21652Re 24,5Remf mfAr = +
( )0,55Re 33,7 1 3,59 10 1mf Ar− = + × −
Queste leggi sperimentali hanno validità per particelle sferiche
appartenenti all ’ intervallo: 0.01 < Remf < 1000.
Per la f luidizzazione la correlazione di Wen e Yu è presa come inizio per
il calcolo quando si hanno particelle più grandi di 100
correlazione di Baeyens [4] (1974), mostrata nell’equazione di seguito,
rappresenta in maniera migliore le condizioni di particelle più piccole di 100
066,087,0
8,1934,0934,0
1110
)(
g
PfPmf
xgU
ρµρρ −
=
Queste leggi sperimentali hanno validità per particelle sferiche
ppartenenti all ’ intervallo: 0.01 < Remf < 1000.
Per la f luidizzazione la correlazione di Wen e Yu è presa come inizio per
il calcolo quando si hanno particelle più grandi di 100
correlazione di Baeyens (1974), mostrata nell’equazione di segui
rappresenta in maniera migliore le condizioni di particelle più piccole di 100
066,087,0
8,1934,0934,0
1110
)(
g
PfPmf
xgU
ρµρρ −
=
letto f isso, si può ottenere un valore di prima approssimazione per Umf .
Tuttavia nei casi pratici l ’ indice di vuoto all’ inizio della f luidizzazione può
essere considerato più grande di quello in condizioni di f issità. Un tipico
I ricercatori Wen e Yu [3] (1966) hanno ricavato una correlazione
che è simile all ’equazione sopra in due formulazioni
(2.4)
(2.5)
Queste leggi sperimentali hanno validità per particelle sferiche
Per la f luidizzazione la correlazione di Wen e Yu è presa come inizio per
il calcolo quando si hanno particelle più grandi di 100 µm, mentre la
correlazione di Baeyens [4] (1974), mostrata nell’equazione di seguito,
rappresenta in maniera migliore le condizioni di particelle più piccole di 100
(2.7)
Queste leggi sperimentali hanno validità per particelle sferiche
Per la f luidizzazione la correlazione di Wen e Yu è presa come inizio per
il calcolo quando si hanno particelle più grandi di 100 µm, mentre la
correlazione di Baeyens (1974), mostrata nell’equazione di seguito,
rappresenta in maniera migliore le condizioni di particelle più piccole di 100
(2.8)
Dopo aver raggiunto questa condizione di minima fluidizzazione in un
sistema l iquido-solido un aumento della velocità provoca un’espansione del
Letto in maniera progressiva, mentre in un sistema solido-gas un aumento
della velocità produce una grande instabili tà del flusso con la nascita di
bolle: l ’agitazione del f lusso diventa più evidente, il movimento del
particolato più vigoroso. Questo tipo di regime è chiamato f luidizzazione a
bolle (f ig. 2c).
In funzione del t ipo di particelle si presenta un campo di transizione tra i
due regimi di diversa ampiezza. In particolare è stato evidenziato che per
polveri di t ipo A, secondo la classif icazione di Geldart, si ha un campo
apprezzabile di velocità tra quella di minima fluidizzazione e quella di
minimo regime a bolle (Umb), mentre per le polveri del gruppo B le due
velocità coincidono. Sulle ragioni che influenzano la transizione tra i due
regimi ci sono varie teorie che interpretano il fenomeno in modo differente. I
modelli proposti da Foscolo & Gibilaro [5] e Batchelor [6] individuano cause
di tipo idrodinamico, altr i studi invece si fondano su considerazioni legate
alle forze interparticellari. Inoltre all ’aumento della pressione per entrare
nella condizione di Letto a bolle bisogna incrementare sia la velocità che i l
grado di vuoto.
In un Letto a bolle queste ultime salgono, si uniscono ingrandendo la loro
dimensione, potrebbero diventare grandi quanto la sezione del contenitore
tubolare. Questo Letto è chiamato slugging (f ig. 1d).
Quando il particolato è f luidizzato ad un velocità suff icientemente alta il
trascinamento diventa apprezzabile, si instaura un moto turbolento tra parti
di polvere e vuoti di gas di varie grandezze e forme: questo è il Letto f luido a
regime turbolento (f ig. 1e). La transizione al regime turbolento avviene in
corrispondenza della velocità superficiale Uc a cui i l salto della pressione
raggiunge un massimo, oppure in corrispondenza della velocità superficiale
Uk a cui la f luttuazione della pressione diventa indipendente dall’aumento
della velocità del gas.
Per calcolare Uc in letteratura sono disponibil i le equazioni di Cai (1989)
riportate di seguito:
0,45c
0,46c
Re 1,24
Re 0,57
Ar
Ar
=
= (2.9)
dove all’ interno del numero di Reynolds compare la velocità Uc.
Il passaggio al regime turbolento è dato al meccanismo per cui le bolle si
uniscono e si rompono in continuazione ad una certa altezza del Letto.
Questo fenomeno dipende da molti fattori come ad esempio la distribuzione
granulometrica. Anche per questa transizione si differenzia i l comportamento
per i diversi t ipi di polveri. Essa appare più repentina per le polveri di tipo
A, mentre per i gruppi B e D si ha interposizione di un regime alternato tra
“Slug-l ike” e turbolento.
Il regime successivo è la f luidizzazione veloce (o “fast f luidization”)
caratterizzata dalla velocità critica superficiale Usc data dalla relazione:
0,5
1,53 psc
g
g dU
ρρ
∆=
(2.10)
Infine l’ultimo grado di f luidizzazione, il “pneumatic conveying”, si
verif ica quando la velocità del gas è tale da non consentire la deposizione
delle particelle sul distributore di f lusso situato nel fondo del Letto. Anche
tale regime è caratterizzato da una velocità denominata Uca data dalla
relazione:
0,352
0,324 0,0687,34 ( ) sca p
G
GU g d Ar
ρ
= (2.11)
Aumentando la velocità del gas, le particelle possono fuoriuscire dal Letto
con le bolle. Questo stato è chiamato disperso, diluito, o fase magra del Letto
f luidizzato (f ig. 1f). La f igura 1g mostra un Letto con trasporto pneumatico
di particelle: le particelle hanno abbastanza energia per uscire e rientrare nel
Letto.
In tutte le f luidizzazioni veloci, gran parte del particolato è perso
precludendo la continuità dell ’operazione, è quindi necessario, per la
costanza dell’operazione, che i grani trascinati siano raccolti da cicloni e
riportati nel sistema. In altri termini da un punto di vista pratico le ultime tre
condizioni di f luidizzazione si possono realizzare solo in certune tipologie di
Letti f luidi. In particolare è necessario prevedere un ricircolo delle polveri.
Quando esse hanno alte velocità il regime idrodinamico non permette la
formazione di f lussi discendenti al l’ interno della colonna fluidizzata.
Aff inché ci sia una quantità costante di polvere sul diffusore di f lusso si può
prevedere la presenza di un condotto di ricircolo delle particelle che
dall’estremità di uscita del Letto le riconduce verso i l diffusore.
Figura 10 Schema di Letto fluido ricircolante
Lo studio sui diversi t ipi di f luidizzazione e sui moti realizzati dalle
particelle possono essere condotti anche tramite le teorie del caos. Risulta
infatti che i l comportamento seguito dalle masse in moto pur seguendo un
andamento caotico si r ipropone con una certa periodicità. Ci troviamo quindi
davanti ad un comportamento caotico deterministico. In questa sede, però,
analisi di questo tipo non verranno riportate.
2.2 Fluidizzazione con e senza bolle
In funzione del tipo di polveri con cui è caricata l ’apparecchiatura, dopo
che viene raggiunta la co
possono apparire bolle o vuoti tra le particelle.
Per velocità superficiali maggiori del valore di minima fluidizzazione
possiamo riscontare in generale l’ insorgenza sia di un regime a bolle che di
un regime che ne è privo. I diversi comportamenti sono dovuti a particolari
combinazioni tra f luido e particelle.
Si incontrano perciò alcuni t ipi di sistemi che presentano una
fluidizzazione l iquida (sistema solido
in cui si hanno particolati molto densi, non presentano la formazione di bolle.
Uno schema di questo comportamento è riportato nella f igura seguente che
mostra un Letto con particelle di vetro investite da un f lusso d’acqua che
esibiscono un comportamento di un Letto Fluido senza bolle.
Figura 11 Espansione di un Letto f luido; (i) condizione di minima fluidizzazione, con velocità del f luido appena maggiore della Ucondizione in cui la velocità del liquido è molto mag
luidizzazione con e senza bolle
In funzione del tipo di polveri con cui è caricata l ’apparecchiatura, dopo
che viene raggiunta la condizione di minima fluidizzazione nel Letto f luido
possono apparire bolle o vuoti tra le particelle.
Per velocità superficiali maggiori del valore di minima fluidizzazione
possiamo riscontare in generale l’ insorgenza sia di un regime a bolle che di
regime che ne è privo. I diversi comportamenti sono dovuti a particolari
combinazioni tra f luido e particelle.
Si incontrano perciò alcuni t ipi di sistemi che presentano una
fluidizzazione l iquida (sistema solido-liquido), i quali, ad eccezione dei
in cui si hanno particolati molto densi, non presentano la formazione di bolle.
Uno schema di questo comportamento è riportato nella f igura seguente che
mostra un Letto con particelle di vetro investite da un f lusso d’acqua che
ento di un Letto Fluido senza bolle.
Espansione di un Letto f luido; (i) condizione di minima fluidizzazione, con velocità del f luido appena maggiore della Ucondizione in cui la velocità del liquido è molto maggiore della U
In funzione del tipo di polveri con cui è caricata l ’apparecchiatura, dopo
ndizione di minima fluidizzazione nel Letto f luido
Per velocità superficiali maggiori del valore di minima fluidizzazione
possiamo riscontare in generale l’ insorgenza sia di un regime a bolle che di
regime che ne è privo. I diversi comportamenti sono dovuti a particolari
Si incontrano perciò alcuni t ipi di sistemi che presentano una
liquido), i quali, ad eccezione dei casi
in cui si hanno particolati molto densi, non presentano la formazione di bolle.
Uno schema di questo comportamento è riportato nella f igura seguente che
mostra un Letto con particelle di vetro investite da un f lusso d’acqua che
ento di un Letto Fluido senza bolle.
Espansione di un Letto f luido; (i) condizione di minima fluidizzazione, con velocità del f luido appena maggiore della Umf; (i i)
giore della Umf .
Di altra natura sono i cosiddetti sistemi di f luidizzazione a gas in cui al
raggiungimento del valore di Umf si presenta un regime a bolle a cui seguono
le varie condizioni f luide esaminate nel paragrafo precedente al crescere
della velocità del f lusso di trasporto.
Il regime fluido in assenza di bolle è anche noto come fluidizzazione
omogenea o particulate f luidization, quello con le bolle viene detto
f luidizzazione aggregativa o eterogenea.
2.3 Principali proprietà delle polveri
Quando si vanno definire i parametri caratterizzanti le particelle con cui
viene alimentato un Letto Fluido è necessario definire diversi t ipi di densità
che possano essere inserit i nelle relazioni per i calcoli idrodinamici in modo
da descrivere in maniera appropriata i fenomeni in esame. I principali
parametri che vengono adottati sono la densità particellare, la densità
assoluta, la densità delle particelle nel Letto e la densità di Bulk o del solido.
2.3.1 Densità particellare e densità assoluta
La corretta densità uti l izzata nelle equazioni di fluidizzazione è la densità
particellare, definita come la massa di una particella divisa per il suo volume
idrodinamico. Col termine volume idrodinamico si intende i l volume del
f luido nella sua interazione dinamica con le particelle e comprende i l volume
di ogni poro del particolato sia aperto che chiuso :
Figura 12 Volume idrodinamico di una particella
Pertanto abbiamo:
Densità particellarevolume idrodinamico della particella
=
Per solidi non porosi questo valore è facilmente misurato con un
pycnometer o con specif ica
essere per solidi porosi poiché essi forniscono i l valore della
assoluta, abs ,del materiale di cui la pa
è però adatto alla descrizione dei fenomeni che intervengono nell ’ interazione
tra particelle e f lusso fluido. Possiamo definire la densità assoluta come:
Densità assolutavolume del solido che forma la particell
=
Per solidi porosi la densità delle par
apparente o densità di inviluppo
diretta sebbene alcuni metodi sono stati proposti da Geldart (1990).
Volume idrodinamico di una particella
massa della particella
volume idrodinamico della particella
Per solidi non porosi questo valore è facilmente misurato con un
o con specif ica gravity bottle, ma questi sistemi non possono
essere per solidi porosi poiché essi forniscono i l valore della
,del materiale di cui la particella è composta. Questo valore non
è però adatto alla descrizione dei fenomeni che intervengono nell ’ interazione
tra particelle e f lusso fluido. Possiamo definire la densità assoluta come:
massa della particella
volume del solido che forma la particella
Per solidi porosi la densità delle particelle p (anche detta densità
apparente o densità di inviluppo-involucro) non è di facile misurazione
diretta sebbene alcuni metodi sono stati proposti da Geldart (1990).
Volume idrodinamico di una particella
Per solidi non porosi questo valore è facilmente misurato con un gas
, ma questi sistemi non possono
essere per solidi porosi poiché essi forniscono i l valore della densità
rticella è composta. Questo valore non
è però adatto alla descrizione dei fenomeni che intervengono nell ’ interazione
tra particelle e f lusso fluido. Possiamo definire la densità assoluta come:
(anche detta densità
involucro) non è di facile misurazione
diretta sebbene alcuni metodi sono stati proposti da Geldart (1990).
2.3.2 Densità del letto
La densità del Letto è un altro termine correlato ai feno
Letti Fluidi ed è definita come:
Densità del lettovolume occupato dalle particelle e dai v
=
2.3.3 Densità di Bulk
Un altro parametro di densità spesso usato quando si lavora con le polveri
è la densità di Bulk o del solido la cui definizione è simile a quella della
densità del Letto:
Densità di bulkvolume occupato dalle particelle e dai v
=
La più influente grandezza delle particelle usata nelle relazioni che
descrivono le interazioni che intervengono tra di esse e il f luido veicolatore è
il di ametro idrodinamico che è una definizione equivalente a un diametro
sferico derivato da misure sperimentali che coinvolgono i legami tra
particelle e f luido. Nella pratica tuttavia, in molte applicazioni industrial i, le
dimensioni sono scelte uti l izzando s
fori presenti su di essi, x
particelle sferiche o di forma prossima a quella di una sfera i l valore di x
può considerarsi paria quello di x
che xv 1.13 xp. Per gli impieghi nelle f luidizzazioni partendo da analisi
tramite setaccio la dimensione maggiore delle polveri è spesso calcolata con
la seguente relazione:
è un altro termine correlato ai feno
Letti Fluidi ed è definita come:
massa delle particelle nel letto
volume occupato dalle particelle e dai vuoti che le separano
Un altro parametro di densità spesso usato quando si lavora con le polveri
o del solido la cui definizione è simile a quella della
massa della particella
volume occupato dalle particelle e dai vuoti che le separano
La più influente grandezza delle particelle usata nelle relazioni che
descrivono le interazioni che intervengono tra di esse e il f luido veicolatore è
ametro idrodinamico che è una definizione equivalente a un diametro
sferico derivato da misure sperimentali che coinvolgono i legami tra
particelle e f luido. Nella pratica tuttavia, in molte applicazioni industrial i, le
dimensioni sono scelte uti l izzando setacci e correlazioni tra i diametri dei
fori presenti su di essi, xp ,e i l diametro del volume delle particelle, x
particelle sferiche o di forma prossima a quella di una sfera i l valore di x
può considerarsi paria quello di xp. Per particelle con spigoli si può stimare
. Per gli impieghi nelle f luidizzazioni partendo da analisi
tramite setaccio la dimensione maggiore delle polveri è spesso calcolata con
è un altro termine correlato ai fenomeni presenti nei
uoti che le separano
Un altro parametro di densità spesso usato quando si lavora con le polveri
o del solido la cui definizione è simile a quella della
uoti che le separano
La più influente grandezza delle particelle usata nelle relazioni che
descrivono le interazioni che intervengono tra di esse e il f luido veicolatore è
ametro idrodinamico che è una definizione equivalente a un diametro
sferico derivato da misure sperimentali che coinvolgono i legami tra
particelle e f luido. Nella pratica tuttavia, in molte applicazioni industrial i, le
etacci e correlazioni tra i diametri dei
,e i l diametro del volume delle particelle, xv. Per
particelle sferiche o di forma prossima a quella di una sfera i l valore di xv
spigoli si può stimare
. Per gli impieghi nelle f luidizzazioni partendo da analisi
tramite setaccio la dimensione maggiore delle polveri è spesso calcolata con
1p
i
i
xm
x
=
∑ (2.12)
Dove xi è i l valore aritmetico della media dell ’ i-esimo elemento vagliato
al quale è associata una frazione massica mi . Quella riportata è pertanto la
distribuzione armonica delle maggiori masse che si considera essere
equivalente alla distribuzione armonica delle maggiori superfici.
2.4 Classificazioni delle polveri
Il comportamento dei sistemi f luidizzati con un gas è strettamente
dipendente dalle proprietà delle particelle solide, dalla dimensione, dalla
densità, dal grado di particelle f ini presenti, dalla coesività, ecc.; è sbagliato,
quindi, assumere che le proprietà determinate per una polvere possano essere
applicate a polveri che hanno differenti caratteristiche.
Per superare queste diff icoltà Geldart [7] (1973) ha suggerito un
classif icazione per particelle solide, o polveri, in quattro differenti gruppi.
La classif icazione eseguita da Geldart segue la logica di una ripartizione in
base alle proprietà di f luidizzazione delle polveri e alle condizioni ambientali
in cui si trovano ad esser impiegate. La catalogazione di Geldart è tuttora
largamente impiegata in ogni campo delle tecnologie in cui sono uti l izzate le
polveri.
Geldart divide le polveri in 4 gruppi indicati con le lettere da A a D:
• Gruppo A: le particelle del t ipo A sono caratterizzate da avere un
campo di velocità apprezzabile tra la velocità di minima fluidizzazione
e quella di minimo regime a bolle e danno luogo ad un forte
mescolamento delle polveri (per superare la Umf ed entrare nel regime a
bolle necessitano di un deciso aumento della velocità del f lusso)
• Gruppo B: appena si supera la Umf danno immediatamente la
f luidizzazione a bolle (f luidizzano direttamente in regime a bolle).
Vengono identif icati inoltre due gruppi secondari:
• Gruppo C: sono polveri coesive molto sott il i incapaci di f luidizzare in
quanto sono particelle di piccole dimensione che tendono ad aggregarsi
ed a formare dei canali di salita dei gas piuttosto che bolle, per questo
sono diff ici lmente f luidizzabili .
• Gruppo D: al gruppo D infine appartengono le polveri di grandi
dimensioni che si caratterizzano, una volta investite dal gas, per la
formazione in superficie di un getto a zampillo che parte dalla zona
inferiore dell ’emulsione come si vede in f igura 12
Le proprietà di f luidizzazione di una polvere veicolata in aria può essere
prevista stabilendo a quale gruppo essa appartiene. E’ importante notare che
per temperatura e pressione di lavoro maggiori di quelle ambientali un
polvere può sembrare appartenente ad un gruppo differente da quello in cui la
troveremmo in condizioni ambientali. Questo è dovuto all ’effetto delle
proprietà del gas sul raggruppamento delle particelle e può avere importanti
influenze sulle condizioni di f luidizzazione. Il diagramma seguente mostra
come i gruppi in cui sono classif icate le polveri sono legati alle loro
proprietà:
Figura 13 Diagramma di Geldart
La tabella seguente riassume le t ipiche caratteristiche delle classi di polveri:
GRUPPO A GRUPPO B GRUPPO C GRUPPO D
Caratteristiche
principali
Ideal i per la
f luidizzaz ione.
Pres enta no u n
interval l o di
sos pensione
senza bol l e
Pres enta no la
formazione di
bol le a partire
dal la U m f
Coesiv e,di ff ico
ltà di
f luidizzaz ione
Sol id i di grana
grossa
Solidi tipici Catal iz zatori Sa bbia da
costru zione
Farina ,
cemento Ghia ia
Espansione nel
Letto Alta Modera ta
Bassa a cau sa
del l ’ inca nalam
ento
Bassa
Smaltimento di
calore Lento, l inea re Veloc e
Veloc e
al l ’ in izio , poi
es ponenz ial e
Veloc e
Proprietà delle
bolle
Le bol l e
cresc ono e s i
uniscono. B ol l e
di d imens ione
massima
Non c ’è l imite
a l la
dimensione
Niente bol l e
solo
inca nala menti
Non c ’è l imite
a l la
dimensione
Mescolamento
dei solidi Alta Modera ta Molto bassa Bassa
Mescolamento
dei gas Alta Modera ta Molto bassa Bassa
Spouted bed No Sol o in
profondità No
Si , a nc h e in
let t i profondi
Tabella 1 tabella delle tipologie di polveri
In considerazione del fatto che, i l range di valori di velocità che, per le
polveri di t ipo A, danno luogo a f luidizzazione senza bolle è molto limitato,
se ne deduce che la f luidizzazione a bolle è la t ipologia più diffusa nei letti
f luidizzati a gas in applicazioni industrial i.La velocità del gas alla quale le
bolle cominciano a formarsi è chiamata velocità di minima eboll izione Umb.
Una prematura ebollizione può essere causata da un distributore di f lusso
troppo piccolo o da perturbazioni all’ interno del Letto. Abrahamsen and
Geldart (1980) hanno stabilito una correlazione tra i l massimo valore di Umb
e le proprietà del gas e delle particelle:
0,06
0,3472,07exp(0,716 ) P g
mb
xU F
ρµ
=
(2.13)
dove F è la frazione di polvere di dimensione inferiore a 45 µm.
Per le polveri del Gruppo A quando Umb > Umf si formano bolle che si
uniscono e collassato in continuazione. Esse raggiungono in questa
condizione un valore di grandezza massimo. Per questo motivo si ha una
fluidizzazione molto l iscia e regolare come mostra la f igura sotto.
Figura 14 Bolle in un Letto fluido costituito da polveri di tipo A
Nel caso delle polveri dei Gruppi B e D per Umb= Umf le bolle crescono
progressivamente non raggiungendo mai una dimensione massima
predeterminabile. Questo influisce sulla bassa qualità della f luidizzazione
fino a quando non si raggiungono elevati valori della pressione del gas di
trasporto.
Figura 15 Getto a zampillo in un Letto f luido costituito da polveri di t ipo D
Nel caso delle polveri di gruppo C le forze d’interazione fra le particelle
sono comparabili con le forze che si sviluppano per l ’azione del gas (forze
d’inerzia), di conseguenza risulta favorita la compattazione e quindi non si
ha praticamente una fluidizzazione vera e propria. Di conseguenza non si
formano bolle ma i l gas attraversa i l Letto tramite creando, come si vede in
f igura, dei canali preferenziali.
Figura 16 Letto costituito da polveri di tipo C: si può notare la formazione di canali preferenziali attraverso cui i l gas oltrepassa il Letto di polveri
senza portarlo in fluidizzazione.
Dato che in questo caso il gas non sostiene i l peso del Letto la perdita di
pressione è minore del peso del Letto diviso per l’area della sezione
trasversale. Questo fenomeno indica anche un metodo strumentale per la
determinazione delle polveri appartenenti al gruppo C; c’è da dire che
uti l izzando questa classe di polveri è comunque possibile ottenere
f luidizzazione del Letto nel caso s’impieghi un sistema che lo metta in
vibrazione facil itando così la rottura dei legami tra le polveri.
2.5 Idrodinamica del letto a bolle
La conoscenza delle proprietà idrodinamiche dei letti f luidi quando si ha
la presenza di bolle è notevolmente importante in quanto si r iescono a
comprendere fenomeni di scambio termico e di massa, la capacità di
sviluppare reazioni, i meccanismi di usura e corrosione che i componenti
all ’ interno del Letto subiscono. Una schematizzazione con la quale si può
rappresentare una bolla prevede una suddivisione in tre zone: la bubble zone
che si trova al centro ed è composta solamente da gas, una corona attorno al
gas che lo separa dalla fase emulsione detta cloud zone ed una scia definita
wake zone in cui oltre al gas ci sono anche delle particelle veicolate dalla
bolla e pertanto aventi la stessa velocità.
Figura 17 Struttura e nomenclatura di una bolla.
Per calcolare la dimensione della bolla nella porzione di Letto l ibero da
vincoli si può uti l izzare la relazione di Darton:
2,0
8,05,04,00 )4()(54,0
g
AZuud cmf
b
+−= (2.14)
dove:
• A c è la “catchment area”
• g è l ’accelerazione di gravità
• Z è la distanza parallela all ’asse del Letto che la bolla può
percorrere nel suo sviluppo senza essere vincolata.
Se invece nel Letto ci sono dei vincoli che tendono ad impedire lo
sviluppo delle bolle, come possono essere dei tubi per lo scambio termico,
allora la dimensione della bolla può essere ricavata con un’altra relazione:
0,4
0 0,5 0,8
0,2
( )0,54 ( 4 )
1
mfc
t
bedb
U UZ A
A
Ad
g
− + − = (2.15)
dove:
• A t indica l’area della sezione trasversale del Letto all ’altezza del
diffusore
• A bed è l ’area della sezione ostruita dai vincoli presenti nel Letto
(nella maggior parte dei casi si tratta proprio di tubi)
Per lett i f luidi bidimensionali dove sono presenti di tubi è stato studiato
l’andamento della pressione e delle forze dinamiche su di essi esercitati a
causa del passaggio di una bolla. In particolare nello studio di Y. Nagahashi
si ha una trattazione sperimentale ed analit ica del fenomeno che viene di
seguito descritto.
Il tubo, quando non sono presenti bolle, è soggetto ad una forza verso
l’alto dovuta alla spinta di Archimede che gli deriva dall’essere immerso
nell’emulsione. Quando una bolla si avvicina alla parte inferiore del tubo la
forza diretta verso l ’alto aumenta.
L’andamento della pressione all’ interno dell’emulsione causato dal
passaggio di una bolla può essere determinato con la seguente equazione:
2
cosa
P J rr
ϑ = −
(2.16)
dove:
• J è i l gradiente di pressione presente nel Letto
• r è i l raggio della bolla
• a è la distanza tra i l punto nel quale si vuole calcolare la pressione
dal centro della bolla
• � è l ’angolo formato rispetto al segmento che unisce il centro con
il punto estremo della bolla.
Questo incremento di sollecitazione si verif ica f ino a quando i l tubo non
viene completamente ad essere assorbito nella bolla. A questo punto si
riscontra una forte riduzione della spinta dovuta al cambio di densità del
f luido all’ interno del quale è immerso il tubo. Il decremento che si realizza,
considerando come condizione imperturbata quella del tubo nell’emulsione in
assenza di bolle, dà luogo ad una forza netta diretta verso il basso.
Una volta che la parte gassosa della bolla i l tubo viene dalla wake zone:
si r iscontra una variazione repentina della direzione e dell’ intensità della
forza che determina l’ insorgenza di una pulsazione verso l’alto.
Figura 18 Andamento della forza al passaggio di una bolla su un tubo.
Da questo modello si evince che i l valore di questa pulsazione è molto
maggiore rispetto al valore della spinta di Archimede nell ’emulsione in
quiete. Infine è presente anche una forza diretta verso il basso dovuta alla
dispersione della scia della bolla una volta che questa è passata oltre la
sommità del tubo.
Una volta che la bolla ha superato l’ostacolo il tubo torna nella
condizione di partenza. La sperimentazione ha anche ri levato che il valore
della pulsazione della forza dinamica è influenzato dalla velocità e dalle
dimensioni della bolla e cresce all’aumentando di questi due parametri.
Se invece si vuole conoscere il valore della pressione agente su un
oggetto presente all’ interno di una bolla bidimensionale in base alla sua
posizione rispetto al centro, si può sfruttare la relazione dovuta a Davidson
di seguito riportata:
2
( , ) (1 ) cosbr mf p r
RP r g r
rθ ε ρ ϑ
= − − −
(2.17)
dove:
• r e θ r sono presi in un sistema di r iferimento che ha per origine i l
centro della bolla
• Rb è il raggio della bolla
• g l ’accelerazione di gravità
• ρp la densità delle particelle
• εmf i l grado di vuoto in minima fluidizzazione.
Quando si ha la necessità di calcolare la velocità delle bolle in assenza di
vincoli si r icorre di solito alla seguente relazione:
0( )b mf b bU U U K gd= − + (2.18)
dove:
• K b è i l coeff iciente di velocità di risalita delle bolle che per Letti
Fluidi tr idimensionali vale 0,71
• d b è i l diametro delle bolle.
La presenza di vincoli quindi influenza sia la dimensione delle bolle che
la velocità con cui esse risalgono il reattore. Precedentemente si è già
proposta una formula per calcolare la dimensione media delle bolle in
presenza di tubi ma quando si ha la necessità di uno approccio più
approfondito ci si può riferire ad uno studio dovuto a A.S. Hull. In proposito
viene proposta una relazione per determinare la dimensione delle bolle una
volta passate attraverso una fila di tubi. Questa formulazione ha validità
generale per la valutazione della velocità delle bolle ed è applicabile anche
nella zona con presenza di vincoli:
02 1
(9 )
( ) 11
1
mf
b b
U
U
bedb b b b bf u
t
A A z eu f u K gd
A e
− −
−
− −= − + −
(2.19)
in cui vale la nomenclatura f ino ad ora adottata:
• A(z) che indica la sezione trasversale del Letto all ’altezza z
• f b è la frazione di fase gassosa della bolla.
Infine oltre alla dimensione delle bolle e alla loro velocità bisogna tenere
conto di un ultimo fenomeno denominato throughtflow. Questo meccanismo
consiste in un f lusso di gas all’ interno delle bolle che va dalla zona inferiore
alla zona superiore ed è causato dal gradiente di pressione presente. I l f lusso
così generato è importante perché consente di stabilizzare la superficie
superiore della bolla e di regolare sia i l trasporto di massa dalla zona densa a
quella diluita che la quantità di gas presente nelle due.
Per Letti tridimensionali è stata misurata una velocità di throughtflow Ut f
pari a 2,7 volte la velocità di minima fluidizzazione Umf. Inoltre è stato
trovato sperimentalmente che la velocità Ut f aumenta col crescere dell ’altezza
del Letto di particelle, mentre risulta praticamente indipendente dalla
posizione e dalla quota all’ interno della bolla.
2.6 Dimensionamento fluidodinamico di un letto fluido
2.6.1 Fluidizzazione senza bolle
In un Letto Fluido in cui si realizza un regime di f luidizzazione in cui
non si ha la formazione di bolle per velocità del gas inferiori a Umf la
separazione delle particelle aumenta con la crescita della velocità
superficiale mentre la perdita di pressione attraverso i l Letto si mantiene
costante. La relazione che intercorre tra la velocità del f luido e il grado di
vuoto può essere determinato dall ’analisi dei sistemi multiparticellari
(Rhodes, 1998). Per una sospensione di particelle stabile in un f luido essendo
verif icato il bi lancio delle forze agenti la velocità relativa tra polveri e
f luido, Ure l , può essere ricavata da:
( )rel P f TU U U U fε ε= − = (2.20)
Dove Up e Uf sono le velocità in direzione verticale e dirette verso i l
basso delle particelle e del f luido, U
particella nel f luido. Per un Letto Fluido si ha in media che il valore della
velocità delle particelle U
oppure
Dove Uf s è il f lusso volumetrico verso il basso del f luido. Nella maggior
parte dei casi pratici si indica con i l termine d
flusso volumetrico del f luido. Quando la velocità superficiale del f luido
verso l ’alto (U) uguaglia i l f lusso volumetrico (
ott iene:
Richardson e Zaki (1954) hanno proposto un funzione f(
applicabile sia al regime di f luidizzazione con o senza di bolle. In generale,
posto f( ) = n :quando si hanno numeri di Reynolds del f luido piccoli (in
corrispondenza dei quali si ha che la forza di spin
viscosità del f luido) allora l ’esponente n è indipendente dal numero di
Reynolds delle particelle; tale esponente è anche indipendente dalla viscosità
del f luido quando si hanno elevati numeri di Reynolds del f luido.
Possiamo porre allora in generale:
Avremo dunque:
sono le velocità in direzione verticale e dirette verso i l
basso delle particelle e del f luido, UT è la velocità l imite della singola
particella nel f luido. Per un Letto Fluido si ha in media che il valore della
particelle Up si può considerare nulla (Up = 0) e allora:
)(εε fUU Tf −=
2fs ( )TU U fε ε= −
è il f lusso volumetrico verso il basso del f luido. Nella maggior
parte dei casi pratici si indica con i l termine di velocità superficiale U il
f lusso volumetrico del f luido. Quando la velocità superficiale del f luido
verso l ’alto (U) uguaglia i l f lusso volumetrico (-U f s), avendo U
)(2 εε fUU T=
(1954) hanno proposto un funzione f(
applicabile sia al regime di f luidizzazione con o senza di bolle. In generale,
:quando si hanno numeri di Reynolds del f luido piccoli (in
corrispondenza dei quali si ha che la forza di spinta è indipendente dalla
viscosità del f luido) allora l ’esponente n è indipendente dal numero di
Reynolds delle particelle; tale esponente è anche indipendente dalla viscosità
del f luido quando si hanno elevati numeri di Reynolds del f luido.
e allora in generale:
nTU U ε= ⋅
sono le velocità in direzione verticale e dirette verso i l
è la velocità l imite della singola
particella nel f luido. Per un Letto Fluido si ha in media che il valore della
= 0) e allora:
(2.21)
(2.22)
è il f lusso volumetrico verso il basso del f luido. Nella maggior
i velocità superficiale U il
f lusso volumetrico del f luido. Quando la velocità superficiale del f luido
), avendo Uf s = Uf , si
(2.23)
(1954) hanno proposto un funzione f() che rimane
applicabile sia al regime di f luidizzazione con o senza di bolle. In generale,
:quando si hanno numeri di Reynolds del f luido piccoli (in
ta è indipendente dalla
viscosità del f luido) allora l ’esponente n è indipendente dal numero di
Reynolds delle particelle; tale esponente è anche indipendente dalla viscosità
del f luido quando si hanno elevati numeri di Reynolds del f luido.
(2.24)
( ) per Re 0,3
( ) per Re 500
f U U
f U U
ε ε ε
ε ε ε
= → = ≤
= → = ≥
I r icercatori Khan and Richardson (1989) hanno proposto una
correlazione che permette di determinare l ’esponente n per valori intermedi
del numero di Reynolds (sebbene n sia espresso rispetto al numero di
Archimede Ar sussiste un proporzionalità diretta tra R
In essa viene anche tenuto conto dell ’effetto del diametro del recipiente
per la stima del valore di n:
Le Equazioni (2.25) e (2.26) unite alla sopra citata relazione di Khan and
Richardson permettono di quantif icare la variazione del grado di vuoto nel
Letto per velocità superiori a U
consente di calcolare l’alte
seguito riportata:
Definiamo la massa delle particelle nel Letto come
Nella condizione di Letto f isso sono noti l ’altezza delle polveri (H
grado di vuoto iniziale (
possiamo ricavare i nuovi valori di altezza del Letto e di indice di vuoto:
pertanto
2,65 2,65
0,4 0,4
( ) per Re 0,3
( ) per Re 500
T p
T p
f U U
f U U
ε ε ε
ε ε ε
= → = ≤
= → = ≥
I r icercatori Khan and Richardson (1989) hanno proposto una
correlazione che permette di determinare l ’esponente n per valori intermedi
ro di Reynolds (sebbene n sia espresso rispetto al numero di
sussiste un proporzionalità diretta tra Rep e Ar
In essa viene anche tenuto conto dell ’effetto del diametro del recipiente
per la stima del valore di n:
−=−
− 27,057,0 4,21043,0
4,2
8,4
D
xAr
n
n
Le Equazioni (2.25) e (2.26) unite alla sopra citata relazione di Khan and
Richardson permettono di quantif icare la variazione del grado di vuoto nel
Letto per velocità superiori a Umf. La conoscenza dell ’ indice di vuoto
consente di calcolare l’altezza del Letto come mostrato nella procedura di
Definiamo la massa delle particelle nel Letto come
(1 )B pM AHε ρ= −
Nella condizione di Letto f isso sono noti l ’altezza delle polveri (H
1); nell’ ipotesi poi che la massa rimanga costante
possiamo ricavare i nuovi valori di altezza del Letto e di indice di vuoto:
112 )1()1( AHAH pp ρερε −=−
12
12 )1(
)1(HH
εε
−−
=
(2.25)
I r icercatori Khan and Richardson (1989) hanno proposto una
correlazione che permette di determinare l ’esponente n per valori intermedi
ro di Reynolds (sebbene n sia espresso rispetto al numero di
r).
In essa viene anche tenuto conto dell ’effetto del diametro del recipiente
(2.26)
Le Equazioni (2.25) e (2.26) unite alla sopra citata relazione di Khan and
Richardson permettono di quantif icare la variazione del grado di vuoto nel
. La conoscenza dell ’ indice di vuoto
zza del Letto come mostrato nella procedura di
(2.27)
Nella condizione di Letto f isso sono noti l ’altezza delle polveri (H1) e il
); nell’ ipotesi poi che la massa rimanga costante
possiamo ricavare i nuovi valori di altezza del Letto e di indice di vuoto:
(2.28)
(2.29)
2.6.2 Fluidizzazione in presenza di bolle
Il modo più semplice per descrivere i fenomeni che intervengono in un
Letto Fluido in regime di f luidizzazione a bolle è quella di seguire i l modello
bifasico proposto da Toomey and Johnstone (1952). Quest’approccio
considera il Letto in presenza di bolle come
data dalle bolle stesse e la fase composta dal particolato (il solido f luidizzato
veicolato dal gas). Quest’ult ima fase è anche nota come emulsione.
Questa teoria afferma che tutto il gas in eccesso che cioè non partecip
alla sospensione delle polveri oltrepassa il Letto sotto forma di bolle.
Pertanto l’espansione del Letto per velocità maggiori a U
all ’evoluzione del comportamento bolle.
Figura 19 Flussi di gas in Letto Fluido secondo la teoria bifasica
Con Q viene definito l’effettivo andamento della portata del f lusso di gas
e con Qmf si fa riferimento alla portata del f lusso di gas al momento
dell’ inizio della f luidizzazione, dunque abbiamo ch
attraversa i l Letto come bolle è pari a:
Fluidizzazione in presenza di bolle
do più semplice per descrivere i fenomeni che intervengono in un
Letto Fluido in regime di f luidizzazione a bolle è quella di seguire i l modello
bifasico proposto da Toomey and Johnstone (1952). Quest’approccio
considera il Letto in presenza di bolle come caratterizzato da due fasi: la fase
data dalle bolle stesse e la fase composta dal particolato (il solido f luidizzato
veicolato dal gas). Quest’ult ima fase è anche nota come emulsione.
Questa teoria afferma che tutto il gas in eccesso che cioè non partecip
alla sospensione delle polveri oltrepassa il Letto sotto forma di bolle.
Pertanto l’espansione del Letto per velocità maggiori a U
all ’evoluzione del comportamento bolle.
Flussi di gas in Letto Fluido secondo la teoria bifasica
Con Q viene definito l’effettivo andamento della portata del f lusso di gas
si fa riferimento alla portata del f lusso di gas al momento
dell’ inizio della f luidizzazione, dunque abbiamo che la quantità di gas che
attraversa i l Letto come bolle è pari a:
do più semplice per descrivere i fenomeni che intervengono in un
Letto Fluido in regime di f luidizzazione a bolle è quella di seguire i l modello
bifasico proposto da Toomey and Johnstone (1952). Quest’approccio
caratterizzato da due fasi: la fase
data dalle bolle stesse e la fase composta dal particolato (il solido f luidizzato
veicolato dal gas). Quest’ult ima fase è anche nota come emulsione.
Questa teoria afferma che tutto il gas in eccesso che cioè non partecipa
alla sospensione delle polveri oltrepassa il Letto sotto forma di bolle.
Pertanto l’espansione del Letto per velocità maggiori a Umf è legata
Flussi di gas in Letto Fluido secondo la teoria bifasica
Con Q viene definito l’effettivo andamento della portata del f lusso di gas
si fa riferimento alla portata del f lusso di gas al momento
e la quantità di gas che
Per i l gas nella fase emulsione si ha che:
Andando ad esprimere
frazione del Letto occupata dalle bolle
dove H è l’altezza del Letto alla velocità U,
velocità Umf e UB è i l valore di massima velocità di r isalita delle bolle. Il
grado di vuoto della fase emulsione è lo stesso che si ha nella condizione di
minima fluidizzazione e può essere ricavato nel modo seguente:
Nella pratica però la teoria bifasica sovrastima i l volume di gas che
oltrepassa i l Letto come bolle (cioè i l f lusso di bolle visibi le), pertanto una
stima più accurata della dilatazione del Letto si ottiene andando a inserire la
portata QB in luogo di (Q
portata delle bolle visibil i è:
Dove il parametro Y varia a seconda del tipo di polvere impiegata assumendo
i seguenti valori:
• per polveri del Gruppo A
• per polveri del Gruppo B
• per polveri del Gruppo D
L’analisi appena descritta richiede la conoscenza della velocità delle
bolle UB la quale dipende dalla dimensione principale delle bolle d
( ) ( )mf mfQ Q U U A− = −
Per i l gas nella fase emulsione si ha che:
mf mfQ U A=
Andando ad esprimere la dilatazione del sistema gas-solido in termini di
frazione del Letto occupata dalle bolle, B, si ha:
B
mf
B
mfmfB U
UU
AU
H
HH )( −=
−=
−=ε
dove H è l’altezza del Letto alla velocità U, Hmf è l’altezza del Letto alla
è i l valore di massima velocità di r isalita delle bolle. Il
grado di vuoto della fase emulsione è lo stesso che si ha nella condizione di
minima fluidizzazione e può essere ricavato nel modo seguente:
(1 ) (1 )(1 )b mfε ε ε− = − −
ò la teoria bifasica sovrastima i l volume di gas che
oltrepassa i l Letto come bolle (cioè i l f lusso di bolle visibi le), pertanto una
stima più accurata della dilatazione del Letto si ottiene andando a inserire la
in luogo di (Q-Qmf) in modo da ricavare che l’andamento della
portata delle bolle visibil i è:
( )B mfQ Y A U U= −
Dove il parametro Y varia a seconda del tipo di polvere impiegata assumendo
per polveri del Gruppo A 0.8<Y<1.0
per polveri del Gruppo B 0.6<Y<0.8
per polveri del Gruppo D 0.25<Y<0.6
L’analisi appena descritta richiede la conoscenza della velocità delle
la quale dipende dalla dimensione principale delle bolle d
(2.30)
(2.31)
solido in termini di
(2.32)
è l’altezza del Letto alla
è i l valore di massima velocità di r isalita delle bolle. Il
grado di vuoto della fase emulsione è lo stesso che si ha nella condizione di
minima fluidizzazione e può essere ricavato nel modo seguente:
(2.33)
ò la teoria bifasica sovrastima i l volume di gas che
oltrepassa i l Letto come bolle (cioè i l f lusso di bolle visibi le), pertanto una
stima più accurata della dilatazione del Letto si ottiene andando a inserire la
icavare che l’andamento della
(2.34)
Dove il parametro Y varia a seconda del tipo di polvere impiegata assumendo
L’analisi appena descritta richiede la conoscenza della velocità delle
la quale dipende dalla dimensione principale delle bolle dBv e dal
diametro del Letto D. Il diametro dBv ad una certa quota dal distributore di
f lusso è a sua volta dipendente dal numero N di orif izi del distributore, dalla
distanza L dalla sezione di ingresso del gas e dalla differenza di velocità (U -
Umf).
Per polveri del Gruppo B:
0,4 0,5 0,80,2
0,5
0,54( ) ( 4 ) (Darton et al.,1977)
( ) (Werther,1983)
Bv mf
B B Bv
d U U L Ng
U gd
− = − + = Φ
(2.35)
dove:
0,4
0,64 per 0,1
1,6 per 0,1 1
0,64 per 1
B
B
B
D m
D D m
D m
Φ = ≤Φ = < ≤Φ = >
(2.36)
Per polveri del Gruppo A come noto le bolle raggiungono una
dimensione massima che è possibile stimare:
22,7
max
( )( ) 2 (Geldart,1992)T
Bv
Ud
g= (2.37)
dove UT2.7 rappresenta la velocità di caduta libera di particella aventi
diametro pari a 2,7 volte quello delle particella in esame.
Un modo per determinare i l valore della velocità delle bolle per
particelle di tipo A è stata fornita da Werther (1983):
0,5( ) (Werther, 1983)B A BvU gd= Φ (2.38)
dove:
0,4
1 per 0,1
2,5 per 0,1 1
2,5 per 1
A
A
A
D m
D D m
D m
Φ = ≤Φ = < ≤Φ = >
(2.39)
2.6 Forze scambiate durante la fluidizzazione
In condizioni statiche, come nella condizione di Letto f isso, tra le
particelle si sviluppano una serie di forze di piccola entità i cui effett i sul
Letto possono essere trascurati. Quando però le particelle vengono
fluidizzare queste forze sviluppano delle conseguenze non trascurabili . Le
azioni in gioco sono essenzialmente tre: forze di Van der Waals, i ponti
l iquidi e la sinterizzazione.
Le forze di Van der Waals possono essere calcolate nel caso di interazione
tra due particelle di forma sferica di uguali dimensioni:
212vw
ARF
a= (2.40)
dove:
• R è i l raggio delle due sfere
• A è la costante di Hamaker che dipende dal materiale
• a è la distanza tra le particelle
In realtà più che dalle proprietà delle superfici la forza dipende dalle
caratteristiche della volume delle polveri. È pertanto più appropriato far
dipendere la forza dal raggio di curvatura locale piuttosto che da quello
dell’ intera particella. Nel grafico che segue sono riportate le forze di Van der
Waals con tratto continuo nel caso di applicazione della formula
considerando i l raggio dell ’ intera particella e con l inea tratteggiata
considerando i l raggio di curvatura locale.
L’ interazione tra particelle causata dalle azioni di Van der Waals è stata
sfruttata da Molerus per spiegare la differente modalità di passaggio tra i l
regime di minima fluidizzazione e il minimo regime a bolle per le particelle
appartenenti ai gruppi A e B. In particolare si sottol inea che il passaggio tra i
due regimi corrisponde ad un ben definito valore del rapporto tra le forze
interparticellari e la forza peso: nel gruppo A queste forze sono comparabil i,
mentre nel gruppo B le forze tra particelle sono trascurabil i r ispetto al
contributo del peso. Questo spiega perché nella f luidizzazione di particelle
del gruppo A si ha un campo di velocità tra lai minima fluidizzazione e
l’ insorgenza del regime a bolle, mentre per i l gruppo B le due velocità
vengono a coincidere. Manca da stabilire l’effetto delle alte due forze.
La prima dipende dalla presenza di l iquido tra le particelle che determina
la formazione di un ponte di fase. La sinterizzazione si ha in ambiente ad alta
temperatura che favorisce la reazione tra le polveri formando un agglomerato
solido.
Dato che l’att ività sperimentale di questa tesi non ha comportato
l’ impiego di Letti Fluidi ad alta temperatura vengono omesse le trattazioni
analitiche sia della sinterizzazione delle polveri f luidizzate, sia della
formazione dei ponti l iquidi. È importante però sottolineare che alle forze
dovute ai legami a ponte l iquido è correlato il fenomeno di aggregazione di
particelle a temperatura ambiente che determina un deciso aumento della
soglia individuata dalla velocità di minima fluidizzazione.
2.7.1 Influenza delle forze tra particelle e della distribuzione granulometrica delle particelle.
Come in precedenza accennato le forze scambiate tra le particelle vanno
ad influire nel regime di passaggio tra minima fluidizzazione e regime a bolle
in particolar modo per quanto riguarda le polveri di tipo A e B. Risulta
invece che una volta che le bolle si sono formate il comportamento reologico
delle particelle influenza solo marginalmente il loro sviluppo, in particolare
per le polveri di t ipo A, B e D, e può pertanto essere trascurato in prima
approssimazione.
La distribuzione granulometrica è stata molto studiata, specialmente per
quanto riguarda l’uti l izzo di Lett i per reazioni chimiche. Si è visto che a
parità di quantità di polvere presente, una distribuzione che abbia una
presenza particelle sotti l i migliora la reazione.
Questo è dovuto essenzialmente a tre motivi:
• nel regime a bolle i vuoti tendono ad essere più piccoli in presenza di
una vasta distribuzione granulometrica e questo probabilmente è
associato anche ad una viscosità effettiva della fase densa minore;
• ci sono più particelle disperse all’ interno della fase diluita quando sono
presenti polveri sottil i;
• con una vasta distribuzione granulometrica è più facile raggiungere i l
regime turbolento dove l ’ interazione gas-solido è migliore rispetto al
regime a bolle.
2.7 Trasporto delle particelle ed elutriazione.
Quando si raggiungono alte velocità superficiali del gas le particelle
all ’ interno del Letto possono avere una velocità tale da permetterne
l’allontanamento dalla colonna fluidizzata. Questo fenomeno definito
elutriazione si verif ica in particolare quando nel Letto sono presenti
particelle di piccole dimensioni dovute a prodotti di reazione o a
sgretolamento per attri to delle polveri f luidizzate. Nel caso che le particelle
costituiscano i l reagente o i l catalizzatore della reazione e devono quindi
essere presenti nel Letto in quantità ben definite è importante determinare
un’altezza del Letto che non ne permetta la fuoriuscita.
L’arresto delle particelle solide all ’ interno del freeboard zone del Letto
tipicamente decresce esponenzialmente al crescere dell’altezza. Da un punto
di vista costrutt ivo l’uscita dei gas deve essere collocata al di sopra
dell’altezza chiamata TDH (transport disengagement height) definita come
l’altezza a cui i l f lusso di solido diviene costante.
Le particelle vengono portate nell’estremità superiore del Letto
dall’esplosione delle bolle che arrivano sulla superficie della zona
fluidizzata. La struttura del f lusso di gas nella freeboard zone determina la
distribuzione ed i l moto delle particelle presenti in questa area.
L’origine del fenomeno di trasporto rimane una questione non del tutto
chiarita. In particolare sembra che a seconda della classe di appartenenza
delle particelle f luidizzate, i l trasporto sia dovuto alla parte sommitale delle
bolle nel caso di particelle del gruppo B e alla fase rarefatta per quelle del
gruppo A.
Il coeff iciente di trasporto laterale delle particelle nella freeboard zone
del Letto è correlato alla turbolenza della zona a sua volta generata da sbuffi
di gas denominati bolle fantasma. Tali sbuffi sono dovuti al gas liberato
dall’esplosione delle bolle presenti nell’emulsione. I l fenomeno di trasporto è
strettamente correlato all ’ idrodinamica del Letto in quanto dipende dalla
frequenza di coalescenza, dalla velocità e dalla dimensione delle bolle. La
velocità delle particelle espulse nella freeboard zone del Letto è poi
ovviamente strettamente correlata alla velocità delle bolle.
Da un punto di vista analit ico si può analizzare la presenza di particelle
sotti l i al l ’ interno del Letto e la velocità di elutriazione tramite un modello
che in questa sede non andiamo a trattare.
Alla base del modello ci sono quattro ipotesi:
• i l fenomeno di logoramento è dovuto alla rimozione di polveri di
piccole dimensioni ancorate alla superficie di particelle più grandi
dello stesso materiale;
• i l logoramento delle particelle grandi è trascurabile;
• la generazione di particelle f ini per attri to è una funzione non lineare
del tempo e dipende dalla percentuale di particelle piccole
agglomerate;
• le particelle f ini sono presenti nel Letto in una delle seguente forme: a)
particelle l ibere in movimento, b) particelle agglomerate o attaccate a
particelle più grandi.
La produzione di particelle f ini all’ interno di un Letto è dovuta
all ’ interazione di diverse cause di sgretolamento: in generale però si può
assumere che la principale sia la forza idrodinamica a cui sono soggette le
particelle all’ interno del Letto.
Le curve sperimentali r icavate hanno una buona rispondenza con gli
andamenti descritti dal modello: da esse appare chiaramente come la velocità
di elutriazione sia molto alta all ’ inizio e tenda a zero dopo un tempo
relativamente breve di funzionamento. Di seguito è riportato i l grafico che dà
l’andamento della massa di al lumina espulsa in funzione del tempo a diverse
velocità del f lusso gassoso.
Figura 20 Andamento della massa espulsa dal Letto per elutrizione in funzione del tempo di funzionamento del sistema.
Si possono fare delle altre considerazioni sull’elutriazione delle polveri.
Andiamo infatti a considerare una singola particella immersa in un gas che si
trova in condizioni statiche e supponiamo che essa sia sottoposta alla sola
azione della forza di gravità e cioè sia in caduta libera.
Sappiamo che la particella raggiungerà una velocità f inale limite a causa
dell’azione di spinta del gas. Qualora il gas, ipotizzato come presente in un
volume infinito, incominci a muoversi in direzione opposta a quella del moto
della particella raggiungendo i l valore di velocità limite allora si instaurerà
su quest’ultima una condizione di equilibrio stazionario.
1) Se il gas si muove in un tubo alla velocità pari a quella terminale
della particella allora si possono avere varie condizioni:
in condizione di f lusso laminare: la particella può muoversi verso l ’alto o
verso i l basso a seconda della sua posizione radiale dentro il condotto a causa
del profilo parabolico che la velocità del gas assume in condizioni di moto
laminare
2) in condizione di f lusso turbolento: come nel caso precedente la
particella può andare in alto o in basso a seconda della sua
posizione nel condotto però ad un profilo di velocità medio, che è
possibile valutare, va a sovrapporsi un andamento casuale di
complessa definizione: per questo motivo la posizione del corpo in
moto è meno prevedibile
Se si introducono all ’ interno della corrente di gas un certo numero di
particelle di diversa grandezza allora alcune di esse tenderanno a cadere e
altre risaliranno a seconda della loro dimensione e della posizione all’ interno
del f lusso: questo dimostra come il comportamento delle particelle in un
f lusso di gas sia un processo molto complesso essendo dipendente da
numerosi fattori.
Possiamo notare come il comportamento del particolato all’ interno del
Letto sia influenzato dalle dimensioni dei grani e dalla densità della miscela,
dalle proprietà del gas, dalla sua velocità, dal regime di f lusso, dal profilo di
velocità radiale e dalle f luttuazioni che essi possono avere all ’ interno del
recipiente. Inoltre:
1) i l meccanismo per i l quale le particelle sono espulse dall’azione del gas
fuori dal Letto Fluido dipendono dalle caratteristiche del Letto in
particolare dalla dimensione delle bolle dalla loro velocità superficiale.
2) i l profilo di velocità del gas immediatamente sopra alla superficie del
Letto è distorto dalla rottura delle bolle. Questo fa comprendere il
motivo per cui descrizione dei fenomeni studiati sia affrontata tramite
approcci empirici che, almeno in prima approssimazione, fanno capire
come tali fenomeni evolvano.
Il metodo empirico definisce come particelle grosse quelle la cui velocità
terminale è maggiore della velocità superficiale del gas (UT>U) e particelle
sottoli quelle per cui si ha UT<U.
Si nota che, sebbene in generale le particelle sottil i tendano a risalire e ad
essere espulse dal sistema mentre quelle grosse a rimanere nel Letto, si
possono incontrare comportamenti opposti: le particelle piccole possono
rimanere nel sistema per velocità molte volte maggiori la loro velocità
terminale e quelle grosse possono uscire. L’altezza dalla superficie del Letto
f ino al l imite della Disengagement zone è nota come altezza di trasporto
libero (Transport Disengagement Height, TDH).
Figura 21 Andamento della densità del letto al variare della distanza dalla base del letto
Sopra alla TDH il f lusso in uscita e la concentrazione delle particelle
restano costanti. Quindi dal punto di vista della progettazione aff inché si
ottenga il massimo beneficio dall’effetto che ha la gravità nella freeboard
zone il gas deve uscire dal contenitore ad una distanza dalla superficie del
Letto maggiore della TDH. Molte correlazioni empiriche sono proposte in
letteratura (Zenz, 1983, Horio 1980) e tra le vari riportiamo quella proposta
da Horio:
Density
5,047,4 BvsdTDH = (2.41)
(dBvs = diametro del volume equivalente di una bolla).